légcsavartervezéspropeller sizing

Upload: paranorbi

Post on 10-Oct-2015

6 views

Category:

Documents


0 download

DESCRIPTION

calculation scheme

TRANSCRIPT

  • DR. GAUSZ TAMS

    SZRNYPROFIL, SZRNY

    s

    LGCSAVAR VIZSGLATA

    szakmailag ellenrizte

    DR. GAUSZ ZSANNA

    Replgpek s Hajk Tanszk

    kiadvnya

    1995

  • 1

    Tartalomjegyzk

    1. Bevezets

    2

    2. Szrnymetszet krli ramls

    6

    2.1 A szrnyprofilok krl kialakul skramls fizikai tulajdonsgai

    6 2.2 Komplex potencil s konform lekpezs 9 2.3 Az rvny-panel mdszer 12 2.1 Mellklet: Az rvny-panel mdszer

    (szmtgp-program)

    20 2.2 Mellklet: rvny-panel mdszer numerikus

    integrlssal (szmtgp-program)

    26

    2.4 Tbb profil egyttes szmtsa 30

    2.3 Mellklet: Kt-profil program 32

    3. Vges szrnyakon kialakul cirkulci-megoszls szmtsa

    39

    3.1 rvny-fonalak sebessg indukcijnak vizsglata 39 3.2 Karcs, egyenes szrnyak vizsglata 41 3.1 Mellklet: Karcs, egyenes szrny

    szmtsa

    48 3.3 ltalnos szrny 51 3.2 Mellklet: Alkalmazott rvny elmlet (szmtgp-

    program)

    62

    4. A lgcsavar

    67

    4.1 Lgcsavar elzetes mretezse 68 4.2 Elzetes mretezs mrsek alapjn 70 4.3 Lgcsavar mretezs 71 4.1 Mellklet: Lgcsavar szmts

    (szmtgp-program)

    76

  • 2

    1. BEVEZETS

    E jegyzet clja a replgpszrnyak valamint a lgcsavarok krl kialakul ramls nhny krdsnek fizikai, matematikai vizsglata s a felvetett krdsekre szmtsi algoritmus kidolgozsa. A jegyzetben kzlt szmtsi eljrsok ltalban idelis (sszenyomhatatlan, homogn s srldsmentes ) kzegre vonatkoznak. A fizikai jelensgek magyarzatnl azonban - ahol ez lnyeges - figyelembe vesszk a leveg srldst is. A jegyzetben trgyalt krdsek vizsglatakor felttelezzk az [1]-ben foglalt, ide vonatkoz ramlstani alapok ismerett.

    A trgykrbe tartoz ismeretek szorosan kapcsoldnak egymshoz. Elfordulhat teht, hogy valamely krds szerepe illetve jelentsge a ksbbiek fnyben rthet meg igazn. Ezrt ajnljuk, hogy az rdekld Olvas ne elgedjen meg az anyag egyszeri tolvassval.

    ltalban arra treksznk, hogy a fizikai modell (rszecske szemllet) bemutatsn keresztl rtelmezzk a valsgos jelensgeket, rmutatva ezzel az elhanya-golsokra illetve a fizikai-matematikai modell s a valsg kztti leglnyegesebb eltrsekre. Ez azrt nagyon fontos, mert a szmtsainkat ennek alapjn rtel-mezhetjk s a fizikai korltokat is gy llapthatjuk meg.

    Itt, a bevezetben foglalkozunk a legalapvetbb krds nhny vonatkozsval: ltalban idelis kontinuummal, azaz a teret folytonosan kitlt kzeggel szmolunk; ezzel szemben a leveg s a tbbi valsgos folyadk is rszecskkbl ll. Arra treksznk, hogy a szmunkra rdekes fizikai tulajdonsgokat, jellemzket a rszecs-kk tmegbl, sebessgbl s esetleges egyb sajtossgaibl szrmaztassuk. Ez vizsglataink fizikai megalapozsa s rtelmezse miatt fontos.

    Az aerodinamikai (aerodinamika=lgertan) vizsglatokban alapvet szerepet jtszik a nyoms s a cssztat feszltsg. A kvetkezkben ezen fizikai jellemzk rszecske szemlleten alapul magyarzatt fogalmazzuk meg.

    Vizsgljuk elszr a nyugv levegt. (Folyadk vagy kzeg elnevezs helyett a kvetkezkben gyakran a leveg elnevezst hasznljuk majd, mivel a krdseink els sorban a replshez kapcsoldnak.) A leveg-rszecskk - a nyugv levegben is - rendezetlen hmozgst vgeznek. Ez, mint az elnevezse is mutatja, rendezetlen, azaz nincs kitntetett irnya - vagyis minden irny egyformn valszn. Ezrt beszlnk - makroszkpikus mretek esetn - nyugalomrl.

    A rszecskk mozgsa azonban nem akadlytalan: mozgsuk kzben akadlyokba (msik rszecske, szilrd test) tkznek s onnan visszapattannak. Ekzben mozgsmennyisgk megvltozik s emiatt az akadlyra ert gyakorolnak. A felletegysgre es, idegysgre vonatkoz mozgsmennyisg-vltozsbl szrmaz, normlis irny ert nevezzk statikus nyomsnak. (Ugyanezen er rint irny sszetevjbl szrmazik a cssztat feszltsg, ezt azonban rszletesen ksbb mutatjuk be.) A rendezetlensgbl kvetkezik - mivel minden irny egyformn valszn - hogy a statikus nyoms skalr mennyisg.

    Az aerodinamikus repls a Fldet krlvev levegburokban trtnik, amelyet els kzeltsben nyugalomban lvnek tekintnk. Tudjuk, hogy a leveg nyomsa a magassg cskkensvel nvekszik. Ez a statikus nyoms, nagy mretek esetn meghatrozott irnyban vltozik. E vltozs oka jl ismert: a Fld nehzsgi ereje. A kicsiben irnytl fggetlen statikus nyoms teht bizonyos esetekben meghatrozott irnyokban vltozhat.

  • 3

    Termszetesen az aerodinamikai (hidrodinamikai) hatsok is elidznek nyoms vltozst, de ennek vizsglata ksbb, a dinamikai vizsglatok keretben trtnik. Amgy az atmoszfrikus nyoms ilyen vltozsa igen kedvez, hiszen enlkl mr rg elfogyott volna az atmoszfra! A nyoms esetleges vltozst a nyoms gradiensvel vesszk figyelembe.

    Ha a nyugv lgtrben egy szilrd test tallhat, akkor az eredetileg rendezetlen mozgsnak lesz vrhat irnya s ez ppen a szilrd test vizsglt pontjnak a felleti normlisa. Ez a magyarzata annak hogy a statikus nyoms a felletre merlegesen hat.

    A statikus nyoms teht, az eddig elmondottak szerint arnyos a rendezetlen hmoz-gs sebessgvel s hasonlkppen arnyos az egysgnyi trfogatban elhelyezked rszecskk tmegvel is. Ezt matematikailag az ltalnos gztrvny rja le:

    p R T= ;

    ahol a rszecske-sebessg a hmrskletben, a rszecskk egysgnyi trfogatbeli tmege a srsgben jelenik meg. Az R gzlland a klnbz fizikai mennyisgek tvltszma.

    A levegben - minden ms folyadkhoz illetve gzhoz hasonlan - csak nyom-feszltsget rtelmezhetnk, hiszen a legkisebb elkpzelhet tkzs-szm a nulla. Ezek szerint hzfeszltsg nem ltezhet - egszen pontosan legfeljebb a kohzi (ez a rszecskk kztti vonzer) miatti hzfeszltsg ltezhet, de kohzit csak folykony kzegben rtelmeznk, ahol a rszecskk egymshoz igen kzel helyezkednek el. A gzokban - gy a levegben is - a rszecskk tlagos tvolsga a rszecske-tmrhz viszonytva igen nagy, ezrt elegend a mechanikai hatsok vizsglata.

    A dinamikus nyomst a statikus nyomshoz hasonlan rtelmezzk, a klnbsg csak az, hogy ez a nyomsfajta a rendezett mozgsbl szrmazik:

    p Vdin =2

    2 ;

    Valsgos (viszkzus) kzeg esetn a norml-feszltsg (nyoms) mellett cssztat feszltsg is bred, amelyet szintn a rszecske szemllet alapjn rtelmeznk. A cssztat feszltsg keletkezsnek a viszkozits mellett szksges felttele a rendezett mozgsbeli sebessg klnbsg is.

    Az 1.1 brn az "A" s a "B" kzvetlenl egyms mellett halad (raml) rszecske sorokat jell. Ha egy rszecske pl. az "A" sorbl a "B"-be lp t, akkor azt impulzus kifejtsvel gyorstja. Ha viszont a "B"-bl kerl az "A"-ba, akkor az "A" sort lasstja. Ez azt jelenti, hogy a szomszdos rtegek - amelyek kztt sebessg klnbsg van egyms mozgst befolysoljk: a gyorsabb a lassbbat gyorstani, a lassbb a gyorsabbat lasstani igyekszik. Gzok illetve leveg esetben ezt nevezzk cssztat feszltsgnek. Rteges (laminris)

  • 4

    ramls esetn a rszecske-csere a rendezetlen hmozgs hatsra; gomolyg (turbulens) ramls esetn a turbulens sebessgingadozsok hatsra jn ltre. Csak a teljessg kedvrt jegyezzk meg, hogy a folykony kzegben, rteges ramls esetn alapveten a rszecskk kztt fellp kohzis er miatt keletkezik a cssztat feszltsg; a turbulens folyadk ramlsra s a gzok ramlsra ltalban is igaz a rszecske-csere elmlet.

    A rszecske-csere nem csak a cssztat feszltsg keletezsre ad magyarzatot. Ezen az alapon lthat be a konvektv energia-transzport is. Hasonlkppen ez a fizikai magyarzata szmos egyb transzport jelensgnek (ilyen pl. a diffzi).

    A szilrd test felletn keletkez, nyomsbl szrmaz ert mr korbban megvizsgltuk. Az rdes felszn test felletn - valsgos kzegben trtn mozgs esetn - cssztat feszltsg is keletkezik. Ezt szintn a leveg molekulk mozgsra vezetjk vissza. Az 1.2 brn lthat mdon rkez rszecske a felletnek tkzik s onnan visszapattan. Ekzben a mozgsmennyisge megvltozik, azaz a felletre (testre) ert gyakorol. Ennek a felleti normlis irny sszetevje a nyoms (p), rint irny sszetevje a cssztat feszltsg ().

    Az bra szerint, ha a fellet rdes, akkor a falhoz rkez rszecskk nagyjbl az rkezsi irnyba pattannak vissza. Ez pedig azt jelenti, hogy ezen rszecskk sebessgnek az rint irny sszetevjrl kimondhatjuk: a vrhat rtkk nulla. Nagyon fontos: nem a sebessg-sszetev, csak a vrhat rtk nulla! A kontinuum-szemllet vizsglat sorn kimodjuk az un. "tapadsi felttel"-t (azaz a "szls rteg ll"), ennek fizikai magyarzata olvashat a fenti sorokban.

    A szilrd test felletn kialakul feszltsgek (nyoms s cssztat feszltsg) magyarzzk a testen keletkez ert. Az akci-reakci elve szerint azonban gy a test is ert gyakorol az t krlvev levegre. Emiatt pedig megvltozik a leveg mozgsmennyisge. Ezt az ramlstan "impulzus ttel"-nek nevezett integrl-egyenlete segtsgvel rhatjuk le. A mozgsmennyisg vltozs pedig sebessg vltozst jelent - ezt nevezzk induklt sebessgnek.

    A lger s az induklt sebessg teht szorosan sszetartoz fogalom, egymssal ok-okozati sszefggsben ll jelensgek kapcsolatt jelenti, azaz kimondhatjuk, hogy ha ltezik induklt sebessg, akkor van lger s ha ltezik lger, akkor van induklt sebessg is. Az ered lger s az ered induklt sebessg egymssal prhuzamos. Kls megfigyel szmra az rtelmk is azonos, az egyttmozg megfigyel ellenttes

    rtelmnek ltja ket.

    A ksbbiekben ltni fogjuk, hogy a testek krlramlsa utn a levegben nyoms-klnbsgek maradnak fenn (pl. szrnyprofil, szrny, lgcsavar). Ezek kiegyenltdse

  • 5

    tovbbi sebessgvltozshoz vezet. A kvetkezkben egy nagyon hasznos kzeltst alkalmazunk:

    a testtl tvoli induklt sebessg ktszerese a testhez kzeli induklt sebessgnek.

    Ez az gynevezett "ktszeres induklt sebessg trvnye", amelyet - jllehet csak kzelts - igen gyakran alkalmazunk majd. Pldaknt a 2. fejezet 2.2 s 2.3 brjra illetve a hozz kapcsold magyarzatra vagy a 4. fejezet 4.2 brjra s a hozz tartoz magyarzatra utalunk.

    Az aerodinamikai vizsglatokban megengedjk illetve figyelembe vesszk a levegben trtn mozgst. A mozgs kizrsval az aerostatika tudomnyhoz jutunk. A statikus felhajt-er - ami pl. a lghajk replsnek az alapja - mindig ltezik; az aerodinamikai er ltezsnek felttele viszont a mozgs! Az aerodinamikai feladatokban a statikus felhajtert - annak viszonylagos kicsinysge miatt - elhanyagoljuk.

  • 6

    2. SZRNYMETSZET KRLI RAMLS

    A replgpszrnyak jellegzetes skmetszete a szrnyprofil. A repls kezdetn sk vagy velt lapokat alkalmaztak. Innen indult az a fejlds, aminek eredmnyekppen napjainkra vltozatos kvetelmnyeknek eleget tv, rendkvl sokfle, korszer szrnyprofilt fejlesztettek ki.

    Ebben a fejezetben sszenyomhatatlan s ltalban srldsmentes kontinuum felttelezsvel szmolunk. Alkalomszeren azonban, klnsen a fizikai magyarzatok esetben, a srlds hatsaira is kitrnk.

    A vizsglataink alapveten a profil krl kialakul nyomseloszls meghatrozst clozzk, ez lehetsget ad a felhajter, az induklt ellenlls s a profil nyomatki tnyez szmtsra is. A tovbbiakban mindig sszenyomhatatlan kzeget tteleznk fel.

    2.1 A szrnyprofilok krl kialakul skramls fizikai tulajdonsgai

    A kvetkezkben elszr a szrnyprofil krl kialakul ramls fizikai sajtossgait vizsgljuk meg. A szrnyprofil - lett lgyen akr sklap akr tnyleges profil - az t krlraml levegt eltereli. A sebessg vltozs - ezt nevezzk induklt sebessgnek - mozgsmennyisg vltozssal jr. A mozgsmennyisg vltozs oka a levegt elterel profil illetve a profil levegre gyakorolt erhatsa; ennek ellentettje (reakciereje) a keresett er - ered lger, az alapfelttelek miatt termszetesen srlds nlkl.

    Kiss rszletesebben vizsglva ezt a krdst, lthatjuk, hogy az elterels az ramvonalak grbletvel jr egytt. Az ramvonalak grblse pedig (pl. az Euler egyenlet szerint) nyoms-vltozst jelent. Alulrl a profil fel kzeledve az atmoszfrikusrl (zavartalanrl) indul nyoms a profil als felletig n. A grblet azonban a profil felett is hasonl irny; gy a nyomsnak errefel is nvekednie kell. Ez a nvekeds egszen az atmoszfrikus (zavartalan) nyomsig tart, ezrt alacsony rtkrl kell indulnia. gy alakul ki a profil alatti tlnyoms s a profil feletti depresszi (2.1 bra).

    Az energia megmarads (pl. Bernoulli egyenlet) rtelmben pedig kimondhatjuk, hogy a nyoms nvekedse sebessg cskkenssel, a nyoms cskkense viszont sebessg nvekedssel jr. (Ez a gondolatsor igen hasznos s esetleg segthet a tves magyarzatok pl. "fent hosszabb az t" elkerlsben.) A nyomsbl szrmaz lger - ezt a ksbbiekben rviden lgernek nevezzk majd) keletkezsnek s a vele kapcsolatos vltozsoknak a mechanizmusa teht:

    Irnyelterels nyomsvltozs sebessgvltozs

  • 7

    Vizsgljuk meg a profil krli ramlst kiss rszletesebben. A kilplnl az ramvonalak tallkoznak s a nyoms is azonos lesz, de a sebessgek nem: a fels ramvonalon rkez rszecskk nagyobb sebessgek, mint a profil alatti ramvonalon rkezk. Ha a profil krli ramlsban csak nyoms (nyomfeszltsg) lenne, akkor ez a tny ellentmondana az energia egyenletnek. A magyarzathoz figyelembe kell venni, hogy cssztat feszltsg is keletkezik.

    A profil a nyugv levegben mozogva azzal energit kzl. Fent, ahol ltalban nagyobbak a sebessgek, nagyobb az energiatadst biztost cssztat feszltsg is. Emiatt alakul ki, vagy marad vissza a profil thaladsa utn a fent vzolt sebessg klnbsg.

    A profilrl lesz rvnyes nyom (2.2 bra) fels s als szle kztti sebessg klnbsg fokozatosan kiegyenltdik. A fels sebessg elemi cskkense elemi nyomsnvekedst; az als elemi nvekedse elemi nyomscskkenst eredmnyez. Ez pedig az rvnyes nyom, vagy rviden kilp ramvonal lefel grblst eredmnyezi. gy alakul ki a "msodik" induklt sebessg, vagy mskpp fogalmazva: itt is lthat, hogy a tvoli induklt sebessg ktszerese a kzelinek. A tovbbi ramvonal-grblsbl kvetkezik, hogy ez az ramkp az y* tengelyre (2.3 bra) nzve lesz szimmetrikus (legalbb is els kzeltsben). Ez pedig azt jelenti, hogy a replsi sebessg (V

    ) s a kzeli induklt

    sebessg (w ) sszegeknt ll el az a V sebessg, amire a lger ( F ) merleges. Ezt az ert a megszokott mdon felbonthatjuk V

    -re merleges sszetevre - gyakran ezt nevezik

    felhajternek - s V

    -nel prhuzamos sszetevre - ezt nevezzk induklt ellenllsnak. Alaki ellenlls idelis kzegben nem keletkezik.

    Itt is hangslyozzuk, hogy tbb esetben (pl. lgcsavar szmts) az induklt sebessget is figyelembe vesszk, ilyenkor nincs szksg az induklt ellenllsnak nevezett segd-fogalomra, a profil-mrsekbl szrmaz er-tnyezk kzvetlenl felhasznlhatk.

    A 2.3 brn lthat, valsgos ramkpet kzelti a 2.4 brn lthat, a komplex potencilok elmletbl ismert ramkp. Ilyen ramkpet kaphatunk pl. a Zsukovszkj fle lekpezssel. Nyomatkosan hangslyozzuk, hogy ez (2.4 bra) a kzelt ramkp, ennek kell hasonltania a valsgos ramkpre (2.3 bra). A hasonl-sg pedig - els kzeltsben - akkor ll fenn, ha ezt a profilt illetve a krltte kialakul ramlst az ( )x y* *, koordinta rendszerben vizsgljuk. A szmtsunk eredmnyekppen kapott lger (ami gyakorlatilag a felhajtervel azonos) a V sebessgre lesz merleges - ezrt kell a 2.3 brnak megfelel helyzetben az induklt s esetleg alaki ellenllst is rtelmezni.

  • 8

    Az alaki ellenlls keletkezsnek szksges felttele a srlds, mivel ez okozza a profil mentn kialakul ltalnos nyoms-cskkenst, aminek eredmnyekppen a profil krli nyomsklnbsgbl (ami a gyakorlatban mindig nyoms cskkens) add, mozgsirnnyal ellenttes er - ez az alaki ellenlls - ll el. Idelis kzegben - gondoljunk pl. a henger krli nyoms-eloszlsra - mivel a nyoms-eloszls az " y " tengelyre mindig szimmetrikus, alaki ellenlls nem keletkezik.

    A szmtst a cirkulci meghatrozsra ptjk. A cirkulci olyan segdfogalom, amit ppen a szmtsok elvgezhetsgnek rdekben vezetnk be. Ezt a 2.5 bra alapjn mutatjuk be. A profil krli sebessg-eloszlst gy kaphatjuk meg, ha a zavartalan alapramlsra egy cirkulci sebessg-eloszlst szuperponljuk.

    Az ered sebessg-eloszls az bra jobb oldaln lthat, vizsglatt csak nagy vonalakban vgezzk: eltekintnk ui. az rvny (cirkulci) kzppontjnl kialakul igen nagy sebessgektl. A ksbbiekben megoszl cirkulcival dolgozunk majd, ahol vges hatr-rtket kapunk, gy ez a problma thidalhat.

    A kvetkez vizsglatok egyik legfontosabb krdse ppen annak a cirkulci-megoszlsnak a meghat-rozsa, amivel a profil krli ramlst lerhatjuk.

  • 9

    2.2 Komplex potencil s konform lekpezs

    A komplex potencil s konform lekpezs a jelen munka feladatai megoldsnak klasszikus eszkze. Megismersk ezrt fontos, no meg azrt, mert szemlletes kpet adnak a potencilos rvny (cirkulci) s a diplus szereprl.

    Az idelis kzeg (leveg) profil krli ramlst lerhatjuk a komplex fggvnytan segtsgvel. Bevezetskppen vizsgljuk a legegyszerbb, Zsukovszkj fle profil krl kialakul ramlst. A trgyalst az [1]-ben kzltek szerint folytatjuk. Ezek szerint a

    ( ) ( ) ( )w z z i z= + ; (2.1)

    komplex vltozs, komplex rtk fggvny - amennyiben folytonos s differencilhat, azaz regulris - akkor egyben komplex potencil is, amelyben:

    ( ) z - valsrtk, komplex vltozs fggvny a sebessgi potencil s ( ) z - valsrtk, komplex vltozs fggvny az ramfggvny.

    Tekintsk a kvetkez komplex potencilt:

    w V z Mz

    = + 2 pi

    ; (2.2)

    Helyettestsk be a z r ei= alakot, ezzel nhny egyszer talakts utn kapjuk, hogy:

    w V r Mr

    i V r Mr

    = +

    +

    cos cos sin sin ;

    pi

    pi

    2 2

    azaz a sebessgi potencil: ( ) pi

    z V r Mr

    = +

    cos cos ;

    2

    s az ramfggvny: ( ) pi

    z V r Mr

    =

    sin sin .

    2

    Ha V r Mr

    =0

    020

    pi, azaz : r

    MV0 2

    =

    pi

    , akkor a ramfggvny a -tl fggetlenl

    lland, ez teht egy orig kzppont, r0 sugar kr krli ramls komplex potencilja.

    A (2.2)-ben az els tag egy prhuzamos ramls, a msodik egy diplus komplex potencilja. A vals tengelyre rvnyes szimmetribl kvetkezik, hogy a be- illetve kilp torlpont a kr s a vals tengely metszspontja (T1 s T2 , 2.6 bra). Ha a kr kzppontja nem az orig, hanem a komplex szmsk egy z0 pontja, akkor (2.2) a kvetkezkppen alakul:

  • 10

    ( )w V zMz z

    = +

    2 0pi; (2.3)

    Belthat, hogy ezzel az eltolssal a torlpontok helye a krn nem vltozik (2.7 bra).

    Vizsgljuk a ( ) = f z komplex vltozs, komplex rtk fggvnyt. Ez a fggvny a "z" sk egy tartomnyt (Tz ) lekpezi a " " sk egy tartomnyra (T ) .

    A lekpezst, ha az kicsiben szg s arnytart, konformnak nevezzk. Pontos definci szerint a lekpezs akkor s csak akkor konform, ha a

    ( ) = f z fggvny a Tz tartomny minden pontjban regulris, azaz egyrtk s differencilhat. Esetenknt a tartomny hatrt vagy annak nhny pontjt nem tekintjk a lekpezs rsznek - ezek lesznek a lekpezs szingulris pontjai.

    A kr krli ramlst konform lekpezssel egy msik skra vihetjk t. Alkalmazzuk a Zsukovszkj tarnszformcit, ami a: = +a z a

    z;

    fggvnnyel rhat le ( "a" vals szm). Kt szingulris pontot tallunk:

    dd z

    a

    zz a

    = = = 0 1 2 , .

    A Zsukovszkj fle lekpezssel teht a 2.7 brn lthat, z0 kzppont krt kpeztk le a 2.8 brn lthat profill. A " K " pont (profil kilple) a 2.7 brn lthat, "z" skon (- a ) tvolsgra van az origtl. Ez lesz a lekpezend krn a "K" pont, a profil kilple, mivel ez a lekpezs szingulris pontja (ahol a sima krvonal pont trspontba megy t, azaz megsznik a szgtarts). A msik szingulris pont a lekpezend kr belsejben van, ez az elrendezs eredmnyez egy velt profilt a "" skon.

    Az ekkor kialakul torlpontokat a 2.8 brn lthatjuk. Ez az ramlsi forma csak matematikailag lehetsges, fizikailag nem, mivel a kilpl megkerlse vgtelen nagy gyorsulssal jrna. Ezt a tnyt mutatja egybknt a 2.2, 2.3 s 2.4 brn lthat ramls is. A kilp torlpont (T2) pontosan a kilplen (K pont) kell legyen - ez a sma leramls felttele .

  • 11

    Ehhez a 2.7 brn lthat ramlst mdostani kell: olyan cirkulcit ( = V sd ) kell a kr kr elhelyezni, amely a T2 torlpontot a K-ba viszi. Ekkor a komplex potencil:

    ( ) ( )w V zMz z

    i z zo= +

    + 2 20pi pi

    ln ; (2.4)

    Az alkalmasan vlasztott cirkulci hatsra az ered ramkp mr megfelel a fizikai feltteleknek is (2.9 bra).

    A kiindul kpen ("z" sk) rgtn lthat a szimmetria, ebbl pedig kvetkezik, hogy a felhajter merleges a zavartalan ramls sebessgre. Mivel pedig ez a vals tengellyel prhuzamos, a felhajter a kpzetes tengely irnyba mutat.

    A vgtelen fesztvolsg szrny egysgnyi hossz darabjn keletkez felhajter a Kutta - Zsukovszkj ttel szerint szmthat ki:

    = =

    F V azaz cV hf

    ; .21

    (2.5)

    Itt c f a profil felhajter-tnyezje s h a profil hrhossza. Ezt az sszefggst a ksbbiekben tbbszr alkalmazzuk majd, ez a kplet adja meg a kapcsolatot a cirkulci s a felhajter kztt.

    A msodik fejezet lezrsakppen nhny szt kell szlnunk a felhajter kialakulsrl. A profil krli ramls megindulsakor (amg a sebessg nagyon kicsi) az ramkp hasonlt a 2.9 brn vzolthoz. (Nem azonos vele, hiszen ez fizikailag lehetetlen, de nem ll tvol tle).

    A sebessg nvekedsvel a kilp torlpont elindul a kilpl fel, mivel a kilpl megkerlse egyre kevsb lehetsges. Ekzben azok a rszecskk, amelyek a profil kilplt mr megkerltk, folytatjk a megkezdett forg mozgst. De a gyorsul ramls ezt a forgatagot - amit egybknt indulsi rvnynek neveznk - elsodorja. Az indulsi rvny intenzitsa idelis folyadkban lland, s a profiltl V

    sebessggel tvolodik.

    Hatstl egy id mltn eltekinthetnk. A gyakorlatban csak idben vltoz (instacionrius) feladatok megoldsakor szmolunk vele.

  • 12

    Valsgos levegben ez az rvny a srlds hatsra megsznik (hv alakul). Az az id, ami alatt megsznik, tbb tnyeztl fgg - nagyon nagyvonalan perc nagysgrenddel becslhetjk. Ez fontos tnyez pl. a repltereken, az egymst kvet startok kztti, minimlisan szksges vrakozsi id meghatrozsban. Az rvnyek megsznsre kiss konkrtabban a 3. fejezetben, a Lamb fle rvny-modell ismertetse kapcsn trnk ki.

    2.3 Az rvny-panel mdszer

    A profilok aerodinamikai vizsglata sorn szmos profilszmtsi eljrs alakult ki. E mdszerek lnyegben kt f feladat megoldst clozzk:

    adott profil krl kialakul ramls szmtsa adott nyomseloszlst elllt profil kontrjnak meghatrozsa.

    Az itt ismertetend rvny-panel mdszer az els ffeladat megoldsra szolgl, szisztematikus keresssel azonban a msodik ffeladat is megoldhat vele.

    A profilt a 2.10 brn lthat mdon trttvonallal helyettestjk, gy, hogy a trspontok a kontron legyenek. A trttvonal szakaszok mentn linerisan vltoz, megoszl cirkulcit vesznk fel (a vltoz a loklis koordinta, amely 0-tl S j -ig -ez a teljes szakaszhossz - fut):

    ( ) ( ) j j j j jjS

    = + + 1 ; (2.6)

    A ksbbiekben, amikor ez majd szksges lesz, az ered cirkulcit a megoszl cirkulci profilkontr menti integrlsval hatrozzuk meg.

  • 13

    A szmtsban kontrpontok (Xk Yki i, ) s ellenrz pontok (X Yi i, ) szerepelnek - ez utbbiak (a definci szerint) a kontrpontokat sszekt szakaszok felezpontjai. A szmtst a sebessgi potencil felrsval kezdjk. Az alapramls sebessgi potencilja, ha a profil llsszge :

    ( ) a V x y= + cos sin ; (2.7)

    Ebben a szmtsban az llsszg () rtke fontos, hiszen ez alapparamter. Az elz pontban mr meghatroztuk egy, z0 kzppont, intenzits rvny komplex potenciljt . Az ebbl szmthat sebessgi potencilt a z r ei= helyettests felhasznlsval fejezzk ki:

    ( )pi

    = =

    2

    , :aholy yx x

    j

    jArctan ; (2.8)

    A fenti kifejezsbl meghatrozhatjuk a " j "-edik vonalon elhelyezked megoszl rvny sebessgi potenciljt az (x,y) sk egy pontjban :

    ( ) pi

    =

    jjd

    j

    20Arctan

    y - yx - x

    j

    j

    S

    ; (2.9)

    Az ered potencilt rgtn az (X Yi i, ) ellenrz pontban szmtjuk. A profilkontr mentn "m" szm szakaszt vettnk fel, ezek rsz-potenciljait sszegezve s hozzadva az alapramls potenciljhoz (2.7 s 2.9 felhasznlsval):

    ( ) ( ) ( ) pi

    X Y Y yX x

    d V X Yi ij

    m j i j

    i jj i i

    j

    , cos sin=

    + +

    =

    1 0 2

    Arctan-

    -

    S

    (2.10) ahol:

    x Xkj j j j= + cos ; s y Ykj j j j= + sin .

    A 2.10 brrl lthat, hogy "m+1" darab rtket kell meghatrozni. Ehhez elszr az ellenrz pontokat hasznljuk fel. Azt mondjuk, hogy a sebessgi potencil ekvipotencilis vonalai itt a profilra merlegesek, azaz a profil kontrjra merleges sebessg-sszetev nulla. Ebbl kvetkezik, hogy a potencil normlis menti derivltja az ellenrz pontban nulla:

  • 14

    ( )

    X Yi i,n i

    = 0 ; i=1,2 , 3 , .........m. (2.11)

    A fenti derivltakbl "m" szm egyenlet addik, mg egy egyenletet kell keresnnk. Ezt a sma leramls felttelbl kapjuk:

    1 1 0+ =+m ; (2.12)

    A megoszl rvnyek potenciljnak normlis menti derivltjt a kvetkez mdon szmthatjuk ki: elszr a kls fggvnyt (Arctan) derivljuk, majd kiszmtjuk a bels vltozk normlis menti derivltjait. A msodik lpst a 2.11 bra alapjn a kvetkezkppen rhatjuk fel:

    X Xi ii

    n ni i

    = sin

    s

    Y Yi ii

    n ni i

    = cos

    Az "Arctan" fggvny derivltja a kvetkez lesz:

    ( )

    n n ni i i

    ArctanY yX x Y y

    X x

    X xY Y y

    X x

    Xi ji j i j

    i j

    i j

    i i j

    i j

    i

    =

    +

    1

    1

    12 2

    Ezzel egy szakasz (a j-edik) megoszl cirkulcijnak normlis menti derivltja a kvetkez mdon rhat fel:

    ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

    pi

    X Y X x Y yX x Y y

    di i j i j i i j i

    i j i jj

    , cos sinn i

    S j

    =

    +

    + 2 2 20

    ; (2.13)

    A (2.13)-ban megadott integrlok, a fenti felttelek mellett zrt alakban kiszmthatk. Ez valamely integrlsi kziknyv ( pl. [ 6 ] ) birtokban lehetsges. Itt hosszadalmassga miatt s mert vgeredmnyben ms utat ajnlunk, nem rszletezzk ezt a szmtst, csak a vgeredmnyt adjuk meg.

    Miutn a ( ) j (2.6)-tal adott kifejezsben ktfle rtk ( j jilletve + 1 ) fordul el, a (2.13)-ban adott integrlt kt rszletben clszer kiszmtani:

  • 15

    ( ) ( )( ) ( )c

    X x Y y

    X x Y ydn ij

    j i j i i j i

    i j i jj2 2 2

    0,

    cos sin=

    +

    +

    S j

    S j ; (2.14/a)

    s ( ) ( )

    ( ) ( )cX x Y y

    X x Y ydn ij

    j i j i i j i

    i j i jj1 2 2

    0

    1,

    cos sin=

    +

    +

    S j

    S j ; (2.14/b)

    A szmtsban a cirkulci rtkek ( j ) meghatrozsa a cl. Lthat, hogy a cn ij1, a j a cn ij2, pedig a j+ 1 egytthatja lesz. Az is lthat, hogy elszr a (2.14/a)-t clszer kiszmtani, ez ui. felhasznlhat a (2.14/b) meghatrozsban. Az integrls elvgzse utn kapjuk:

    ( ) ( )cha i j

    D Q F A C D E G ha i jn ij21

    2,=

    =

    + +

    S Sj j; (2.15/a)

    s

    cha i j

    D F C G c ha i jn ij n ij1 21

    2,,

    =

    =

    ; (2.15/b)

    A (2.15/a) s a (2.15/b) kpletben szerepl elnevezsek magyarzata a kvetkez:

    ( ) ( )A X Xk Y Yki j j i j j= cos sin ; ( ) ( )B X Xk Y Yki j i j= + 2 2 ;

    ( )C i j= sin ; ( )D i j= cos ;

    ( ) ( )E X Xk Y Yki j j i j j= sin cos ;

    FA

    Bj

    = ++

    ln 1

    22S S j ;

    GE

    B A=

    +

    Arctan

    SS

    j

    j;

    ( ) ( ) ( ) ( )P X Xk Y Yki j i j i j i j= + sin cos 2 2 ;

    ( ) ( ) ( ) ( )Q X Xk Y Yki j i j i j i j= cos sin 2 2 .

  • 16

    Az 1 s -1 rtk a (2.14/a) s a (2.14/b) integrlok eredmnye, abban az esetben, amikor a potencil derivltjt (az rvny-rteg induklt sebessgt) olyan pontra szmtjuk ki, amely rajta van az rvny-rtegen. Ekkor az integrlok magfggvnye szingulris lesz s meghatrozsuk az un. Cauchy fle frtk alkalmazsval lehetsges. (Ez rszletesen pl. [1]-ben olvashat).

    Az eljrs alapjn kszlt program - amelyet a 2.1 mellkletben ismertetnk - futtatsa sorn kiderlt, hogy a "G" egytthat rtknek kiszmtsa bizonyos esetekben pontatlan. Hasonlkppen pontatlan lehet a szgek meghatrozsa. Ezrt a ksbbiekben a (2.14/a) s a (2.14/b) integrlokat (a szingulris esettl eltekintve) numerikusan szmtjuk ki. Ez egy j programot eredmnyez, amelyet a 2.2 mellkletben ismertetnk.

    A tovbbiakban dimenzitlan cirkulcival szmolunk:

    =

    pi2 V

    ; (2.16)

    A profilkontrra merleges sebessg-komponens nulla voltbl szrmaz felttelbl (2.11 kifejezs) "m" egyenletet rhatunk fel:

    ( )c cn ij j n ij j ij

    m

    1 2 11

    , ,sin +

    = +

    =

    ; (2.17)

    Az "m+1"-edik egyenlet pedig a (2.12), a sma leramls felttele. Ez egybknt azt jelenti, hogy a feladat matematikailag tbbrtk s kell egy fizikai felttel, amely mintegy kivlasztja a sok matematikailag lehetsges kzl a fizikailag is megfelel megoldst. Vgeredmnyben a j szmtsra inhomogn, lineris, algebrai egyenletrendszert kapunk:

    A bn = ; (2.18)

    ahol az egytthat-mtrix elemei:

    a

    c ha i m jc c ha i m j mc ha i m j m

    ha i m j vagy j mha i m j m

    n ij

    n i

    n ij n i j

    n im=

    = =

    + = =

    = = +

    = + = = +

    = + =

    1 1

    1 2 1

    2

    1 2 11 2 2 31 2 1

    1 1 1 10 1 2 3

    ,

    , , ,

    ,

    , , ( ), , ,

    , ,

    ,

    s s s

    s

    Az A n mtrix elemeit a 2.4 pontban tblzatosan is megadtuk, ott ez a tblzat 1. s 2. sora illetve az 1. , 2. s 3. oszlop (azaz a bal fels almtrix)

  • 17

    az ismeretlenek vektora: =

    +

    1

    1

    m

    ;

    vgl pedig a jobboldal elemei: ( )b ha i mha i mi

    i=

    =

    = +

    sin , , 1 20 1

    Az egyenletrendszer megoldsa utn a profil krli sebessgeloszls - pontosabban a sebessg az ellenrz pontokban - a sebessgi potencil rint menti derivltjnak felhasznlsval szmthat ki, azaz keressk a

    ( )1V

    X Yi i

    ,

    t i derivltat.

    A szmts rszleteit illeten csak nagyvonal ismertetsre szortkozunk. Az rint menti derivlt, a 2.11 bra alapjn:

    X X Y Yi ii

    i iit t t ti i i i

    =

    =cos sin s

    Az rvny-rteg potencil rint menti derivltja:

    ( )

    t t ti i i

    ArctanY yX x Y y

    X x

    X xY Y y

    X x

    Xi ji j i j

    i j

    i j

    i i j

    i j

    i

    =

    +

    1

    1

    12 2

    ezzel:

    ( ) ( )( ) ( )c

    X x Y y

    X x Y ydt ij

    j i j i i j i

    i j i jj2 2 2

    0,

    sin cos=

    +

    S j

    S j ;

    s ( ) ( )

    ( ) ( )cX x Y y

    X x Y ydt ij

    j i j i i j i

    i j i jj1 2 2

    0

    1,

    sin cos=

    +

    S j

    S j ;

    ahonnan mr a (2.19)-ben adott, tangencilis egytthat mtrix elemei kiszmthatk.

  • 18

    ( ) ( )11

    1

    VX Y

    ai i

    i t ij jj

    m

    =

    +

    =

    ,

    cost i

    ; (2.19)

    ahol:

    a c ha i m jt i t ij1 1 1 2 1= = =, , ,L s

    a c c ha i m j mt ij t ij t ij= + = =1 2 1 2 2 3, , , , , ,L Ls

    a c ha i m j mt i m t im, , , ,+ = = =1 2 1 2 L s

    itt:

    ( ) ( )cha i j

    C P F A D C E G ha i jt ij22

    2,=

    =

    + +

    pi

    S Sj j

    s:

    cha i j

    C F D G c ha i jt ij t ij1 22

    2,,

    =

    =

    pi

    A kiszmtott sebessg eljele nagyon fontos: pozitv ott, ahol az irnytsa az velem irnytsval azonos s negatv, ahol ellenttes. A sebessg ismeretben meghatrozhat a nyoms-tnyez. A profil eltti pontbl a profil feletti vagy profil alatti pontra felrt Bernoulli egyenlet:

    p V p V + = +

    2 2

    2 2;

    innen trendezssel kvetkezik:

    p p V VV

    azaz cVVp

    =

    =

    2

    1 122 2

    ; (2.20)

    A szmtsbl eleve a ( )V V

    rtket hatrozzuk meg, gy a nyomstnyez (2.20) felhasznlsval egyszeren megkaphat.

    A felhajter-tnyezt ktflekppen szmtjuk. Ez egybknt a szmts egyfajta ellenrzse is: amennyiben e kt md szerint kb. azonos rtket kapunk, gy az eredmny elfogadhat. Az els mdszer a cirkulci felhasznlsval trtn szmts. Msodszorra a nyomsmegoszlsbl hatrozzuk meg majd a felhajter-tnyezt. Az els szmtst a (2.5) szerint vgezzk:

    ( )c V h h d hy j jjm

    = = = +

    +=

    2 4 4

    11

    pi pi S2

    j ; (2.21)

  • 19

    A felhajter-tnyez szmtsnak msik tja a nyomsbl szrmaz er meghatrozsa. Ez a szmtsi t tbb eredmnyt gr: a felhajter mellett meghatrozhat a nyomsklnbsgbl szrmaz er megfvsi sebessg irny sszetevje is. Ennek az er-sszetevnek elmletileg nullnak kell lennie, az eltrs jellemzi a szmts pontossgt.

    A 2.12 brn egy, a profil kontrpontjait sszekt vonaldarab s a r hat erk (f f fx y r, , ) lthatk. A nyomsbl szrmaz ert, definci szerint a kvetkez mdon szmthatjuk:

    ( )R dA n ds= = p p

    A

    1 ;

    A szmtsban a dimenzitlan ertnyezket kvnjuk meghatrozni, ehhez az ert a szoksos mdon dimenzitlantjuk:

    ( )f R n 1 dsr = =

    2

    12V hc p ; (2.22)

    (2.22)-nek megfelelen az " x " illetve " y " tengely irnyba es, az "i"-edik panelen keletkez er-sszetevk sszegzsvel kapjuk a kvetkez kifejezseket:

    fh

    c S fh

    c Sx pi i ii

    m

    y pi i ii

    m

    = =

    = =

    1 1

    1 1sin cos s ; (2.23)

    Ezek a dimenzitlan er-sszetevk elforgatandk gy a sebessgre merleges s prhuzamos sszetevt szmtjuk ki. Ez az llsszggel trtn elforgatssal lehetsges, vgl teht a felhajter-tnyez illetve a szmts pontossgt jellemz tnyez:

    c f fy y x= cos sin s: c f fhiba y x= +sin cos .

    A kvetkez a nyomatki tnyez szmtsnak bemutatsa. Ebben a munkban a hrnegyedre vonatkoztatott nyomatki tnyezt hatrozzuk meg. Az elbbiekben meghatrozott rsz erk (2.23-ban az sszegezett elemek) a nekik megfelel ellenrz pontban hatnak. A nyomatk szmtsa jobbsodrs koordinta rendszerben:

    M r F= =

    =

    i j kx y

    F F x F y Fx y y x

    00

    00 .

    Innen kvetkezik, hogy a " z " tengely krli nyomatk (az (x,y) helyre az (X Yi i, ) ellenrz-pont koordintkat rva):

  • 20

    M F X F Yz yi i xi ii

    m

    =

    =

    1

    ; illetve a nyomatki-tnyez: ( )

    mM

    V h h=

    2

    12;

    ahol az " 1 " a skra merleges (egysgnyi) mret.

    Vgeredmnyben, az ertnyezk alapjn, a hrnegyedre vonatkoz nyomatki tnyez:

    mh

    f X h f Yh yi i xi ii

    m

    4 21

    14

    =

    =

    ; (2.24)

    Ezzel a profilszmtsi eljrs elmleti rsze rendelkezsnkre ll.

    2.1 Mellklet :

    AZ RVNY-PANEL MDSZER (Szmtgp-program)

    A kvetkezkben a 2.3 pontban rszletezett szmtsra kidolgozott, TURBO-BASIC forrsnyelv programot ismertetjk. Az alkalmazott programnyelv egyszer s ezrt viszonylag knnyen ttekinthet programlistt eredmnyez. A nyelv szablyai [8]-ban olvashatk. A programhoz nem tartoz megjegyzseket dlt betvel rtuk. Ezek a megjegyzsek segtenek a program mkdsnek megrtsben, voltakppen helyettestik a blokkdiagrammot.

    A program kt nagy rszre oszlik: az els a "Fprogram", a msodik az inhomogn, lineris, algebrai egyenletrendszert megold, "Schmidt eljrs" elnevezs segdprogram.

    Ebben, a 2.1 mellkletben a zrt alakban kiszmtott integrlok felhasznlsval megrt programot ismertetjk. A hrhosszat s a zavartalan ramls sebessgt egyarnt egysgnyire vlasztottuk. Ez - idelis kzeg esetben, egy profil vizsglatakor - mindig megtehet s nem jelent kln megszortst.

  • 21

    FPROGRAM

    A program a kontrpontok szmnak (m+1) megadsval kezddik, majd ezutn kvetkezik az indexes vltozk dimenzionlsa.

    m=12 : m1=m+1 : pi=3.14159265358 dim Xk(m1),Yk(m1) , X(m) ,Y(m) , s(m),se(m) , ce(m),theta(m),v(m),cp(m),aq(m1,m1) dim cn1(m,m),cn2(m,m),ct1(m,m),ct2(m,m),an(m1,m1),rhs(m1),gw(m1),gamma(m1)

    Ezutn a kontrpontok adatai kvetkeznek (Xk(i),Yk(i)) - itt rgtn egysgnyi hrhosszhoz tartozan, ha nem ez lenne a helyzet, akkor ezeket az adatokat el kellene osztani a hrhosszal (vagy az elmleti rszben adott, hrhosszat is tartalmaz kpleteket kellene hasznlni). A pontokat a 2.10-es brn adott sorrendben rjuk be, azaz az (1,0) ponttal kezdnk s - mivel a profil zrt - ezzel vgznk is (ez lesz a 13. pont).

    data 1,0 , 0.933,-5e-3 , 0.75,-0.017 , 0.5,-0.033 , 0.25,-0.042 , 0.067,-0.033 data 0,0 , 0.067,0.045 , 0.25,0.076 , 0.5,0.072 , 0.75,0.044 , 0.933,0.013 , 1,0 for i=1 to m1 : read Xk(i),Yk(i) : next i

    A profil kontrpontjainak beolvassa utn, ellenrzs cljbl felrajzoltatjuk a profilt a kpernyre. Ekkor megllapthat s javthat az esetleges hiba.

    screen 11 : cls : print window(-0.1,0.5)-(1.1,-0.3):print " PROFILKONTUR" for i=1 to m : line(Xk(i),Yk(i))-(Xk(i+1),Yk(i+1)) : next i input " Tovabb ";tova$ : if tova$="n" then stop : screen 0 A tovbbiakban szksg lesz az ellenrz pontok koordintira (X(i),Y(i)), az egyes panelek vhosszra (s(i)) s a szgek sinus-ra (se(i)) illetve cosinus-ra (ce(i)). Ezek kvetkeznek itt.

    for i=1 to m X(i) = (Xk(i)+Xk(i+1))/2 : Y(i)=(Yk(i)+Yk(i+1))/2 s(i) = sqr((Xk(i) - Xk(i+1))^2 + (Yk(i) - Yk(i+1))^2) ce(i)=(Xk(i+1)-Xk(i))/s(i) : se(i)=(Yk(i+1)-Yk(i))/s(i) next i

    A szmtsban tbb mennyisget ismtelten is fel kell hasznlni. Idtakarkossgbl, a jobb ttekinthetsg rdekben s helytakarkossgbl is clszer segdvltozkat definilni. A segdvltozk meghatrozsa utn pedig kiszmthatk a (2.14/a s 2.14/b) kifejezsekkel adott cn2(i,j) s cn1(i,j) rtkek. Az els cmkt (cim1) az i=j eset kezelsre vezettk be. A msodik s harmadik cmke (cim2 s cim3) az Arctan fggvny szmtsa miatt vlt szksgess. Egyttal kiszmtjuk a ct2(i,j) s a ct1(i,j) mtix-elemeket is, ezzel hatrozhat majd meg a sebessg-eloszls (2.19 szerint).

    for i=1 to m for j=1 to m if i=j then goto cim1 ca=ce(j)*ce(j)-se(j)*se(j) : cb=2*se(j)*ce(j) a1=X(i)-Xk(j) : a2=Y(i)-Yk(j)

  • 22

    c=se(i)*ce(j)-ce(i)*se(j):d=ce(i)*ce(j)+se(i)*se(j) a=-a1*ce(j)-a2*se(j) : b=a1*a1+a2*a2 cl=se(i)*ca-ce(i)*cb : ck=ce(i)*ca+se(i)*cb e=a1*se(j)-a2*ce(j) : f=log(1+s(j)*(s(j)+2*a)/b) si=e*s(j):co=b+a*s(j) if abs(co)0 then g=pi/2 : goto cim3 if abs(co)

  • 23

    Az eddigiekkel meghatroztuk a megoldand egyenlet-rendszert, eztn a megolds kvetkezik. A megoldst a bevezetben emltett alprogram vgzi, a Schmidt fle orthogonalizcis eljrs alapjn. Erre nzve [ 7 ] tanulmnyozst ajnlhatjuk. A megoldsi mdszer egybknt egyike a legjobb direkt megold mdszereknek.

    call schmidt

    Az alprogram listja - a program szintaxisnak megfelelen - a fprogram vge utn kvetkezik. A "Schmidt" eljrs eredmnye a cirkulci megoszlst meghatroz gamma(i) rtkek sorozata. Ezek ismeretben, az aq(i,j) felhasznlsval a profil krli sebessg-eloszls meghatrozhat. Hasonlkppen kiszmthatk - (2.20) szerint - a nyomstnyezk is.

    print : print print "----------------------------------------------------------------" print " i v(i) cp(i)" : print

    for i=1 to m v(i)=ce(i)*cos(alfa)+se(i)*sin(alfa) for j=1 to m1 v(i)=v(i)+aq(i,j)*gamma(j) next j cp(i)=1-v(i)^2 print i,v(i),cp(i) next i print print "----------------------------------------------------------------" input " Tovabb (i/n) ";tt$ : if tt$="n" then stop cls

    A nyomtats - ebben az esetben - a kpernyre trtnik. Itt lesz lthat, hogy a sebessgek, ahol az velem irnytsa ellenttes a sebessg irnyval, negatv eljelet kapnak. Azrt, hogy az eredmnyeket meg tudjuk tekinteni, bertuk az utols eltti sort. E sor egybknt lehetsget ad a program futsnak megszaktsra is, ha ez mutatkozna szksgesnek.

    A szmts vgcljnak tekintett felhajter-tnyez (cycirk s cyprofil) meghatrozsa kvetkezik. Ezt az elmleti rszben bemutatott kt ton tesszk. A cirkulci alapjn vgzett szmts alapja a (2.21), a nyomseloszls alapjn trtn szmtst (2.23) szerint vgezzk. Ez utbbi eljrs, az elmleti rszben mondottak szerint, alkalmas a nyomatki tnyez (cm) szmtsra is (2.24).

    print "----------------------------------------------------------" cy=0 : cx=0 : s1=0 : cm=0 for i=1 to m fy=-s(i)*cp(i)*ce(i) fx=s(i)*cp(i)*se(i) fm=-fy*(x(i)-0.25)-fx*y(i) s1=s1+(gamma(i)+gamma(i+1))*s(i)/2 cy=cy+fy : cx=cx+fx : cm=cm+fm

  • 24

    next i cyprofil=cy*cos(alfa)-cx*sin(alfa) chiba=cy*sin(alfa)+cx*cos(alfa) cycirk=4*pi*s1 print print "Felhajtoero tenyezo - nyomasbol: ";cyprofil print " - cirkulaciobol: ";cycirk print print "Nyomas szamitas hibaja: ";chiba print print "A nyomateki tenyezo a hurnegyedre: ";cm print print alfa*180/pi;" fok allasszognel" print "---------------------------------------------------------------"

    Ez a vizsglat vgeredmnye. Abban az esetben, ha a ktfle felhajter tnyez egymshoz elegenden kzel van, illetve a "chiba" elg kicsi, akkor az eredmnyt elfogadhatjuk. Profilkatalgusbeli profilok szmtsakor cycirk kb. 10 %-kal a mrt eredmny felett, cyprofil kisebb, a mrt rtkhez kzelebb addik (mivel cycirk mindig nagyobb, mint a valsgos kzegben mrhet felhajter-tnyez). A programban egybknt a NACA 2412-es profil szerepel, a szmtsi eredmnyeket a programismertets utn mutatjuk be.

    A futtats lelltsa eltt md van j llsszggel trtn szmolsra. Ebben az esetben a program az "ujra" cmknl folytatdik.

    input " Lesz uj allasszog (i/n) ";uj$ : if uj$="i" then goto ujra end

    Itt kvetkezik az egyenletrendszer megold alprogram. Az alprogramban vannak loklis vltozk, melyeket csak itt hasznlunk ("local" deklarci) s globlis vltozk, amelyek itt is s a fprogramban is rvnyesek ("shared" deklarci).

    sub schmidt shared m1,an(),rhs(),gamma() local gw(),cw(),s1,s2,s3 dim cw(m1,m1),gw(m1)

    for i=1 to m1 for j=1 to m1:cw(i,j)=0:next j gw(i)=0 next i

    for i=1 to m1 : cw(1,i)=an(1,i) : next i gw(1)=rhs(1)

    for k=2 to m1 s3=0

  • 25

    for i=1 to k-1 s1=0:s2=0 for j=1 to m1 : s1=s1+an(k,j)*cw(i,j) : s2=s2+cw(i,j)*cw(i,j) : next j s1=-s1/s2 for j=1 to m1 : cw(k,j)=cw(k,j)+s1*cw(i,j) : next j s3=s3+s1*gw(i) next i gw(k)=rhs(k)+s3 for j=1 to m1 : cw(k,j)=cw(k,j)+an(k,j) : next j next k

    for i=1 to m1 s1=0 for k=1 to m1 : s1=s1+cw(i,k)*cw(i,k) : next k gw(i)=gw(i)/s1 next i

    for i=1 to m1 s1=0 for j=1 to m1 : s1=s1+gw(j)*cw(j,i) : next j gamma(i)=s1 next i

    end sub

    A program futtatsi eredmnyei:

    Amint azt mr emltettk, a programba a NACA 2312 profil adatait rtuk be. Az ellenrz pontokban szmtott sebessget s nyomstnyezt a kvetkez tblzatban mutatjuk be:

    Sorszm

    i

    Sebessg

    v(i)

    Nyoms tnyez

    cp(i)

    1 -0.8585 0.2630 2 -0.8962 0.1969 3 -0.8890 0.2097 4 -0.8563 0.2667 5 -0.7276 0.4707 6 0.0840 0.9929 7 1.6764 -1.8102 8 1.5839 -1.5088 9 1.3905 -0.9334 10 1.2288 -0.5099 11 1.0811 -0.1688 12 0.9125 0.1674

  • 26

    A sebessg eljelrl mr szltunk: ott, ahol a sebessg rtelme ellenttes az velem irnytsval - ez a helyzet a profil aljn, az 1-tl 6 kontrpontok kztt - ott a sebessg negatv. A 6. ellenrz pont kzel van a belp torlponthoz, itt a sebessg kzel nulla. A tbbi (fels) ellenrz pontban pozitv sebessget kapunk. Az is figyelemre mlt, hogy a profil alatti sebessgek abszolt rtke egynl kisebb; felette majdnem mindegyik egynl nagyobb. Ez azt jelenti: a profil alatt kisebb, felette nagyobb sebessg alakul ki - gy, ahogyan azt az elmleti ismereteink alapjn elvrjuk.

    A nyomstnyez - amit a (2.20) alapjn szmtottunk - ott, ahol a sebessg abszolt rtke egynl nagyobb - negatv. Annl nagyobb negatv szm, minl nagyobb a sebessg abszolt rtke. Ez egybknt szemlletes is, hiszen a negatv eljel depresszit jelez. A profil felett pedig tnyleg viszonylagos nyomscskkenst kell tallnunk. A profil alatti pozitv nyomstnyezk a viszonylagos tlnyomst mutatjk, ppen gy, ahogy annak lennie kell.

    A szmts vgeredmnye a felhajter-tnyez, a nyoms szmts hibja s a hrnegyedre vonatkoz nyomatki tnyez:

    cyprofil = 1.1036 cycirk = 1.1792 (a profilkatalgusbl: cy = 1.06) (chiba = 0.0747) s cm = -0.0714 (a profilkatalgusbl: cm= -0.15)

    A konkrt plda mutatja az eredmnyek egyezst egymssal s a szlcsatorna mrssel, a felhajter-tnyez esetben. A nyomatki tnyez rtke meglehetsen pontatlan. (A hrnegyedre vonatkoz nyomatki tnyez negatv, mivel jobbsodrs rendszerben az orrnehz nyomatk a negatv.) A nyoms-szmts hibja ( chiba ) viszonylag nagy rtk, utal az eljrs "knyessgre".

  • 27

    2.2 Mellklet:

    RVNY-PANEL MDSZER NUMERIKUS INTEGRLSSAL (Szmtgp-program)

    A cn2(i,j) s cn1(i,j) szmtsa, amint azt az elmleti rszben megjegyeztk, tbb okbl bizonytalan. Ezt brki igen egyszeren kiprblhatja: a fenti programot futtassa le gy, hogy egy kontrpont koordintjt kis mrtkben megvltoztatja. "Sikeres" vltoztats esetn az eredmny teljessggel hasznlhatatlan lesz. Ezen a problmn segt az albbi program. Ez majdnem minden vonatkozsban azonos az elbbivel, csak az integrlst vgzi el numerikusan, kivve a szingulris eseteket. A programnyelv s az ltalnos megjegyzsek azonosak az elbbiekkel.

    Fprogram:

    m=12 : m1=m+1 : pi=3.14159265358 dim Xk(m1),Yk(m1) , X(m) ,Y(m) , s(m),se(m) , ce(m),theta(m),v(m),cp(m),aq(m1,m1) dim cn1(m,m),cn2(m,m),ct1(m,m),ct2(m,m),an(m1,m1),rhs(m1),gw(m1),gamma(m1)

    '-------------------------

    'PROFIL ADATOK KOVETKEZNEK '-------------------------

    data 1,0,0.933,-5e-3,0.75,-0.017,0.5,-0.033,0.25,-0.042,0.067,-0.033 data 0,0,0.067,0.045,0.25,0.076,0.5,0.072,0.75,0.044,0.933,0.013,1,0 for i=1 to m1 : read Xk(i),Yk(i) : next i

    '--------------------------

    'PROFILKONTUR RAJZOLTATASA '--------------------------

    screen 11 : cls : print window(-0.1,0.5)-(1.1,-0.3):print " PROFILKONTUR" for i=1 to m:line(Xk(i),Yk(i))-(Xk(i+1),Yk(i+1)):next i input " Tovabb ";tova$ : if tova$="n" then stop screen 0 : locate 12,20 : print "SZAMOLOK"

    '------------------------------------------------------

    'IVHOSSZ, SZOG ES ELLENORZO PONT SZAMITAS KOVETKEZIK '------------------------------------------------------

    for i=1 to m X(i) = (Xk(i)+Xk(i+1))/2 : Y(i)=(Yk(i)+Yk(i+1))/2 s(i) = sqr((Xk(i) - Xk(i+1))^2 + (Yk(i) - Yk(i+1))^2) ce(i)=(Xk(i+1)-Xk(i))/s(i):se(i)=(Yk(i+1)-Yk(i))/s(i) next i

  • 28

    Itt kvetkezik az a programrsz, amely eltr az elztl. A numerikus integrlst [ 7 ] szerint, a Simpson formula alkalmazsval vgeztk el.

    for i=1 to m wxi=Xk(i+1)-Xk(i) : wyi=Yk(i+1)-Yk(i) for j=1 to m

    if i=j then goto clem wsum=0 : wsul=0 : qsum=0 : qsul=0 : dsj=s(j)/100 ctj=(Xk(j+1)-Xk(j))/s(j) : stj=(Yk(j+1)-Yk(j))/s(j)

    for k=0 to 100 sj=k*dsj : xj=Xk(j)+sj*ctj : yj=Yk(j)+sj*stj if int(k/2)k/2 then k1=4 else k1=2 if k=0 or k=100 then k1=1 wx=x(i)-xj : wy=y(i)-yj : wn=wx*wx+wy*wy wm=(-wx*wxi-wy*wyi)/wn/s(i) : wq=(-wx*wyi+wy*wxi)/wn/s(i) wm1=(1-sj/s(j))*wm : wm2=sj/s(j)*wm : wq1=(1-sj/s(j))*wq : wq2=sj/s(j)*wq wsum=wsum+k1*wm1 : wsul=wsul+k1*wm2 qsum=qsum+wq1*k1 : qsul=qsul+k1*wq2 next k

    ct1(i,j)=qsum*dsj/3 : ct2(i,j)=qsul*dsj/3 cn1(i,j)=wsum*dsj/3 : cn2(i,j)=wsul*dsj/3 goto adel

    clem: cn1(i,j)= -1 : cn2(i,j)=1 : locate 18,30 : print i;". panel" ct1(i,j)=pi/2 : ct2(i,j)=pi/2 adel: next j next i

    A program innentl teljesen azonos az elzvel.

    for i=1 to m1:for j=1 to m1:an(i,j)=0:aq(i,j)=0:next j:next i for i=1 to m an(i,1)=cn1(i,1):an(i,m1)=cn2(i,m):aq(i,1)=ct1(i,1):aq(i,m1)=ct2(i,m) for j=2 to m an(i,j)=cn1(i,j)+cn2(i,j-1):aq(i,j)=ct1(i,j)+ct2(i,j-1) next j next i an(m1,1)=1 : an(m1,m1)=1 ujra:

    cls : print : print input " Kerem az allasszoget [fok]: ";alfa : alfa=alfa*pi/180 for i=1 to m : rhs(i)=se(i)*cos(alfa)-ce(i)*sin(alfa) : next i rhs(m1)=0

  • 29

    call schmidt

    print : print print "----------------------------------------------------------------" print " i v(i) cp(i)":print for i=1 to m v(i)=ce(i)*cos(alfa)+se(i)*sin(alfa) for j=1 to m1 v(i)=v(i)+aq(i,j)*gamma(j) next j cp(i)=1-v(i)^2 print i,v(i),cp(i) next i print print "----------------------------------------------------------------" input " Tovabb (i/n) ";tt$:if tt$="n" then stop cls '---------------------------------------------------------

    ' A FEHAJTOERO TENYEZO ES ELLENALLAS SZAMITAS KOVETEKZIK '---------------------------------------------------------

    print "----------------------------------------------------------" cy=0:cx=0 : s1=0 : cm=0 for i=1 to m fy=-s(i)*cp(i)*ce(i) fx=s(i)*cp(i)*se(i) fm=-fy*(x(i)-0.25)-fx*y(i) s1=s1+(gamma(i)+gamma(i+1))*s(i)/2 cy=cy+fy : cx=cx+fx : cm=cm+fm next i cyprofil=cy*cos(alfa)-cx*sin(alfa) chiba=cy*sin(alfa)+cx*cos(alfa) cycirk=4*pi*s1 print print "Felhajtoero tenyezo - nyomasbol: ";cyprofil print " - cirkulaciobol: ";cycirk print print "Nyomas szamitas hibaja: ";chiba print "A nyomateki tenyezo a hurnegyedre: ";cm print print alfa*180/pi;" fok allasszognel" print print "---------------------------------------------------------------" input " Lesz uj allasszog (i/n) " ; uj$ : if uj$="i" then goto ujra end

    Itt kvetkezik az egyenlet-megold, azonos az elzekben ismertetettel.

  • 30

    Megjegyzsek a szmtshoz:

    A program szintn a NACA 2412-es profil adatait tartalmazza. A szmtsi eredmnyeket kln nem ismertetjk, mivel azok majdnem teljesen azonosak a zrt alak integrlssal szmtottakkal (csak a 7-8. rtkes jegyben van eltrs). Van azonban egy jelents klnbsg: ez az eljrs elbrja a profilkoordintk megvltoztatst. Az gy talaktott program sokkal szlesebb krben alkalmazhat mint az els eljrs. Htrnya, hogy a szmtsi id lnyegesen hosszabb.

    Amennyiben pontosabb eredmnyre van szksg, nvelhet a profilon felvett pontok szma. Ez egy bizonyos hatrig nveli az eredmny pontossgt, de termszetesen legfeljebb csak az elvileg megszabott hatrig - a gyakorlatban nyilvn eddig sem juthatunk el, hiszen az eljrs realizlsa sorn (esetleg jelents) numerikus hiba is elll.

    E pont befejezsekpp egy fontos megjegyzst tesznk. A cirkulci szmts inhomogn lineris algebrai egyenletrendszer megoldst kveteli. Ezt az egyenletrendszert klnbz mdszerekkel lehet megoldani s a megolds pontossga szksg esetn fokozhat is. A fenti plda adataival szmtott mtrix kondici-szma pl. 644.5, ami meglehetsen magas rtk (erre utaltunk a nyoms-szmts hibjnl alkalmazott "knyes" jelzvel). Ezt a kondic-szmot az un. x 2 normban szmtottuk. A vonatkoz szakirodalom ajnlja mg a Hadamard fle kodci-szmot is, ami akkor jelent rosszul kodicionltsgot, ha ez a szm jval kisebb 1-nl. Gyakorlatilag azonban minden eljrsban az egyhez kzeli kondci-szm a j. A feladatot fizikai oldalrl vizsglva azt tapasztaljuk, hogy a profilok aerodinamikai sajtossgait dnten befolysolja a profil alakja, azaz a kontrpontok elhelyezkedse. Ennek a tnynek felel meg az a matematikai megllapts, miszerint az egytthat-mtrix gyengn kondicionlt.

    Ezek szerint teht a feladat megoldsa ersen fgg a mtrix elemeitl, ezeket az elemeket a geometriai viszonyok hatrozzk meg - gy teht a megolds nagyon nagy mrtkben fgg a profil geometrijtl. Mivel pedig a geometrit csak kzeltleg vettk figyelembe - hiszen a profilt trttvonallal helyettestettk - ezrt a megolds e kzeltstl is ersen fgg. Az ltalunk alkalmazott mdszer az els mdszerek egyike, ignyesebb vizsglat esetn clszer a mdszert tovbb fejleszteni (lineris helyett jobb kzeltsek mind a kontrvonal mind a cirkulci-megoszls esetben). Ezt a pontatlansgot tapasztaltuk akkor, amikor az ellenlls-tnyez hibjt elemeztk s felbukkan majd abban az esetben is, amikor kt profilt szmolunk.

  • 31

    2.4 Tbb profil egyttes szmtsa.

    A gyakorlati feladatok megoldsa sorn felmerl tbb, egymshoz kzel elhelyezked profil szmtsnak a krdse is. Ilyen feladat lehet a szrny-csr egyttes vagy pl. a ktfedel replgpek als s fels szrnynak egyttmkdse. Ezt az esetet vizsgljuk meg itt.

    Az alapesetben - egy profil vizsglatnl - az egyes paneleken elhelyezett megoszl rvnyek sebessg-indukcijt szmtottuk az ppen szban forg ellenrz pontban. Jelen esetben ugyanezt kell tennnk, csak a sebessg-indukciban rszt vesz a msik profilt helyettest rvny-rendszer is. Ez azt jelenti, hogy az egytthat-mtrix tulajdonkppen egy hiper-mtrix lesz, a bal fels rsz az els profil sajt indukcija, a jobb fels rsz az a msodik profil indukcija az els profilon, a bal als rsz az els profil indukcija a msodik profilon, vgl a jobb als rsz a msodik profil sajt indukcija lesz.

    Legyen az els profil kontrpontjainak szma (n+1), a msodik profil kontrpontjai ekkor az (n+2) - tl indulnak s tartsanak (m+1) - ig. Ezzel - az elzekben lertak szerint - felrhat a cirkulci szmts egytthat mtrixa (tblzatos formban):

    an(i,1) =

    cn1(i,1)

    i =

    1,2,..n j=1

    an(i,j) =

    cn1(i,j) +

    cn2(i,j-1)

    i=1,2,..n s

    j=2,3,..n

    an(i,n+1) =

    cn2(i,n)

    i =

    1,2,..n j=n+1

    an(i,n+2) =

    cn1(i,n+2)

    i =

    1,2,..n j=n+2

    an(i,j) =

    cn1(i,j) +

    cn2(i,j)

    i=1,2,..n s

    j=n+3,..m

    an(i,j) =

    cn2(i,m+1)

    i =

    1,2,..n j=m+1

    1 i=n+1

    j=1

    0,0...0 i=n+1

    j=2,3,..n

    1 i=n+1 j=n+1

    0 i=n+1 j=n+2

    0,0...0 i=n+1

    j=n+3,..m

    0 i=n+1 j=m+1

    an(i,1) =

    cn1(i,1)

    i=n+2,...m

    j=1

    an(i,j) =

    cn1(i,j) +

    cn2(i,j-1)

    i=n+2,..m j=2,3,..n

    an(i,n+1) =

    cn2(i,n)

    i=n+2,..m

    j=n+1

    an(i,n+2) =

    cn1(i,n+2)

    i=n+2,..m j=n+2

    an(i,j) =

    cn1(i,j) +

    cn2(i,j-1)

    i=n+2,...m j=n+3,..m

    an(i,m+1) =

    cn2(i,m)

    i=n+2,..m j=m+1

    0 i=m+1

    j=1

    0,0,...0 i=m+1

    j=2,3,..n

    0 i=m+1 j=n+1

    1 i=m+1 j=n+2

    0,0,...0 i=m+1

    j=n+3,..m

    1 i=m+1 j=m+1

  • 32

    Az itt bemutatott egytthat-mtrix els hrom oszlopa s els kt sora szerepel az egyedlll profil szmtsnl. Hipermtrixknt tekintve, ez az els almtrix, a msodik a negyedik-tdik-hatodik oszlop s az els kt sor. A tovbbi almtrixok mr egyrtelmen kvetkeznek az eddig lertakbl.

    A msodik s a negyedik sor egybknt a sma leramls felttele; a msodik sor az els profilra, a negyedik sor a msodik profilra vonatkozik. Ennek megfelelen az ismeretlen cirkulcik oszlopvektora illetve a jobboldal a kvetkez mdon adhat meg:

    i

    i=1,2..n

    ( )sin i

    i=1,2,...n

    + n 1

    0

    i

    i=n+2,...m

    ( )sin i

    i=n+2,...m

    + m 1

    0

    Az egyenletrendszer ezen a mdon minden tovbbi nlkl sszellthat, a megolds pedig az elbbiekben lert ton meghatrozhat.

    A kvetkezkben egy pldaszmts programlistjt mutatjuk be. A bemutats elvei illetve a lers formja az elbbiekben alkalmazottakkal azonosak. A pldaprogramban kt NACA 2412-es profil szerepel, az els azonos az els pldaprogrambeli profillal, a msodik hrhossza (1/2) egysg s az els profil alatt kb. fl hrhossznyira helyezkedik el, gy, hogy az orrpontok egy fgglegesre esnek. Kln bra helyett ezt a helyzetet a pldaprogram bersval illetve futtatsval tanulmnyozhatjuk. Kvetkezzen teht a program-lista:

  • 33

    2.3 Mellklet: KT-PROFIL PROGRAM

    (Szmtgp-program)

    Az elbbiekhez hasonlan elszr a profilpontok szmt hatrozzuk meg (az els profil kontrpontjai 1-tl 13-ig; a msodik 14-tl 26-ig futnak). Az egyszersg kedvrt a msodik profilt az els koordintinak transzformlsval adtuk meg.

    m=25 : m1=m+1 : pi=3.14159265358 dim Xk(m1),Yk(m1),X(m),Y(m),s(m),se(m),ce(m),theta(m),v(m),cp(m),aq(m1,m1) dim cn1(m,m),cn2(m,m),ct1(m,m),ct2(m,m),an(m1,m1),rhs(m1),gw(m1),gamma(m1)

    Itt kvetkeznek a profil-adatok, elszr a nagyobbik, fels profil koordinti, a pontok a 2.10 brnak megfelelen a kilplnl kezddnek s ott is fejezdnek be:

    data 1,0 , 0.933,-5e-3 , 0.75,-0.017 , 0.5,-0.033 , 0.25,-0.042 , 0.067,-0.033 data 0,0 , 0.067,0.045 , 0.25,0.076 , 0.5,0.072 , 0.75,0.044 , 0.933,0.013 , 1,0 for i=1 to 13 : read Xk(i) , Yk(i) : next i

    Ezek itt a msodik profil koordinti, amelyeket az els profil koordintinak transzformlsval lltunk el:

    for i=14 to 26 : Xk(i)=Xk(i-13)/2 : Yk(i)=Yk(i-13)/2-0.5 : next i

    A profilok kirajzoltatsa kvetkezik, itt vlik lthatv a profilok elhelyezse s sszehasonlthat a hrhosszsguk is.

    screen 11 : cls : print window(-0.1,0.3)-(1.1,-0.8) : print " PROFILKONTUR" for i=1 to 12 : line ( Xk(i) , Yk(i)) - (Xk(i+1) , Yk(i+1)) : next i for i=14 to 25 : line( Xk(i) , Yk(i)) - (Xk(i+1) , Yk(i+1)) : next i

    input " Tovabb ";tova$:if tova$="n" then stop

    A program a tovbbiakban majdnem teljesen azonos a 2.2 mellletben kzlt programmal, ezutn ott fznk csak kommentrt a listhoz, ahol ez szksges.

  • 34

    screen 0 : locate 12,20 : print "SZAMOLOK" '------------------------------------------------------

    'Ivhossz, szog es ellenorzo pont - szamitas kovetkezik '------------------------------------------------------

    for i=1 to m X(i)=(Xk(i)+Xk(i+1))/2 : Y(i)=(Yk(i)+Yk(i+1))/2 s(i)=sqr((Xk(i)-Xk(i+1))^2+(Yk(i)-Yk(i+1))^2) ce(i)=(Xk(i+1)-Xk(i))/s(i):se(i)=(Yk(i+1)-Yk(i))/s(i) next i '-------------------------------------

    'Segedmennyisegek szamitasa kovetkezik '-------------------------------------

    for i=1 to m wxi=xb(i+1)-xb(i) : wyi=yb(i+1)-yb(i) for j=1 to m if i=j then goto clem wsum=0 : wsul=0 : qsum=0 : qsul=0 : dsj=s(j)/100 ctj=(Xk(j+1)-Xk(j))/s(j) : stj=(Yk(j+1)-Yk(j))/s(j) for k=0 to 100 sj=k*dsj : xj=Xk(j)+sj*ctj : yj=Yk(j)+sj*stj if int(k/2)k/2 then k1=4 else k1=2 if k=0 or k=100 then k1=1 wx=x(i)-xj : wy=y(i)-yj : wn=wx*wx+wy*wy wm=(-wx*wxi-wy*wyi)/wn/s(i) : wq=(-wx*wyi+wy*wxi)/wn/s(i) wm1=(1-sj/s(j))*wm : wm2=sj/s(j)*wm : wq1=(1-sj/s(j))*wq : wq2=sj/s(j)*wq wsum=wsum+k1*wm1 : wsul=wsul+k1*wm2 qsum=qsum+wq1*k1 : qsul=qsul+k1*wq2 next k ct1(i,j)=qsum*dsj/3 : ct2(i,j)=qsul*dsj/3 cn1(i,j)=wsum*dsj/3 : cn2(i,j)=wsul*dsj/3 goto adel clem: cn1(i,j)=-1 : cn2(i,j)=1 : locate 18,30 : print i ; ". panel" ct1(i,j)=pi/2 : ct2(i,j)=pi/2 adel: next j next i

    '----------------------------------------

    ' Az egyutthato matrix elemei kovetkeznek '----------------------------------------

    for i=1 to m1 : for j=1 to m1 : an(i,j)=0 : aq(i,j)=0 : next j : next i '------------ az elso profil sajat indukcioja ------------ for i=1 to 12 an(i,1)=cn1(i,1) : an(i,13)=cn2(i,12) : aq(i,1)=ct1(i,1) : aq(i,13)=ct2(i,12) for j=2 to 12 an(i,j)=cn1(i,j)+cn2(i,j-1) : aq(i,j)=ct1(i,j)+ct2(i,j-1) next j next i

  • 35

    '------------ masodik profil ----> elso profil --------- for i=1 to 12 an(i,14)=cn1(i,14) : an(i,26)=cn2(i,25) : aq(i,14)=ct1(i,14) : aq(i,26)=ct2(i,25) for j=15 to 25 an(i,j)=cn1(i,j)+cn2(i,j-1):aq(i,j)=ct1(i,j)+ct2(i,j-1) next j next i

    '-------------- elso profil ---> masodik profil ----------------- for i=14 to 25 an(i,1)=cn1(i,1) : an(i,13)=cn2(i,12) : aq(i,1)=ct1(i,1) : aq(i,13)=ct2(i,12) for j=2 to 12 an(i,j)=cn1(i,j)+cn2(i,j-1) : aq(i,j)=ct1(i,j)+ct2(i,j-1) next j next i

    '------------ masodik profil sajat indukcioja ----------------- for i=14 to 25 an(i,14)=cn1(i,14) : an(i,26)=cn2(i,25) : aq(i,14)=ct1(i,14) : aq(i,26)=ct2(i,25) for j=15 to 25 an(i,j)=cn1(i,j)+cn2(i,j-1) : aq(i,j)=ct1(i,j)+ct2(i,j-1) next j next i

    Az itt kvetkez sor a sma leramls felttele az els illetve a msodik profilrl:

    an(13,1)=1 : an(13,13)=1 : an(26,14)=1 : an(26,26)=1 '--------------------------------------

    'Az allasszog es a jobboldal kovetkezik '--------------------------------------

    ujra:

    cls : print : print input " Kerem az allasszoget [fok]: " ; alfa : alfa=alfa*pi/180 for i=1 to m : rhs(i)=se(i)*cos(alfa)-ce(i)*sin(alfa) : next i rhs(13)=0 : rhs(26)=0

    '--------------------------------

    'A megoldas kovetkezik '--------------------------------

    call schmidt

  • 36

    '---------------------------------------------

    ' A sebessegszamitas kovetkezik '---------------------------------------------

    print : print print "----------------------------------------------------------------" print " Felso profil" : print print " i v(i) cp(i)" : print for i=1 to 12 v(i)=ce(i)*cos(alfa)+se(i)*sin(alfa) for j=1 to m1 v(i)=v(i)+aq(i,j)*gamma(j) next j cp(i)=1-v(i)^2 print i,v(i),cp(i) next i print print "----------------------------------------------------------------" input " Tovabb (i/n) ";tt$ : if tt$="n" then stop cls print : print print "----------------------------------------------------------------" print " Also profil" : print print " i v(i) cp(i)" : print for i=14 to 25 v(i)=ce(i)*cos(alfa)+se(i)*sin(alfa) for j=1 to m1 v(i)=v(i)+aq(i,j)*gamma(j) next j cp(i)=1-v(i)^2 print i,v(i),cp(i) next i print print "----------------------------------------------------------------" input " Tovabb (i/n) ";ttwr$ : if ttwr$="n" then stop cls '---------------------------------------------------------

    ' A felhajtoero-tenyezo es ellenallas szamitas kovetkezik '---------------------------------------------------------

    print "-------------------Elso profil-------------------------" cy=0 : cx=0 : s1=0 : cm=0 for i=1 to 12 fy=-s(i)*cp(i)*ce(i) : fx=s(i)*cp(i)*se(i) : fm=-fy*(x(i)-0.25)-fx*y(i) s1=s1+(gamma(i+1)+gamma(i))*s(i)/2 cy=cy+fy : cx=cx+fx : cm=cm+fm next i cyprofil=cy*cos(alfa)-cx*sin(alfa) chiba=cy*sin(alfa)+cx*cos(alfa) cycirk=4*pi*s1

  • 37

    print print "Felhajtoero tennyezo - nyomasbol: ";cyprofil print " - cirkulaciobol: ";cycirk print print "Nyomas szamitas hibaja: ";chiba print "A nyomateki tenyezo a hurnegyedre: ";cm print alfa*180/pi;" fok allasszognel"

    print : print

    print "-------------------------Masodik profil-------------------------------------" cy=0 : cx=0 : s1=0 : cm=0 for i=14 to 25 fy=-s(i)*cp(i)*ce(i) : fx=s(i)*cp(i)*se(i) : fm=-fy*(x(i)-0.25)-fx*y(i) s1=s1+(gamma(i+1)+gamma(i))*s(i)/2 : cy=cy+fy : cx=cx+fx : cm=cm+fm next i cyprofil=(cy*cos(alfa)-cx*sin(alfa))*2 chiba=(cy*sin(alfa)+cx*cos(alfa))*2 cycirk=4*pi*s1/(1/2)

    A msodik profilnl, mivel annak hrhossza 1/2 egysg, a cirkulcibl szmtott felhajter-tnyeznl a hrhosszal osztani kell - ez az 1/2-es oszt a cycirk-ban.

    print print "Felhajtoero tenyezo - nyomasbol: ";cyprofil print " - cirkulaciobol: ";cycirk print print "Nyomas szamitas hibaja: ";chiba print "A nyomateki tenyezo a hurnegyedre: ";cm print alfa*180/pi;" fok allasszognel"

    print "------------------------V E G E-------------------------------------"

    input " Lesz uj allasszog (i/n) ";uj$:if uj$="i" then goto ujra

    end

    Ezzel a program gyakorlatilag vget rt, ezutn kvetkezik mg a 2.1 mellkletben lert Schmidt fle egyenletmegold eljrs, ezt azonban mr nem listzzuk, mivel az ismeretlenek szmtl eltekintve az elbbivel teljesen azonos.

  • 38

    A program futtatsi eredmnyei:

    A szmtst az elz esethez hasonlan, a 8 fokos llsszgre vgeztk el. gy a kapott eredmnyek kzvetlenl sszevethetek a 27. oldalon kzlt futtatsi eredmnyekkel. Elszr az els, az egysgnyi hrhosszsg, fell elhelyezked profil eredmnyeit mutatjuk be:

    A FELS PROFIL SZMTOTT JELLEMZI

    Sorszm i

    Sebessg v(i)

    Nyoms tnyez

    cp(i) 1 -0.8708 0.2418 2 -0.9347 0.1263 3 -0.9689 0.0612 4 -1.0112 -0.0225 5 -0.9403 0.1159 6 -0.1482 0.9780 7 1.5855 -1.5140 8 1.5764 -1.4852 9 1.3967 -0.9507

    10 1.2383 -0.5333 11 1.0934 -0.1954 12 0.9170 0.1590

    Elegend pl. a sebessgek sszehasonltsa, hiszen a nyomstnyez ebbl egyrtelmen kvetkezik. A profil feletti sebessgek kicsit kisebbek, mint az egyedlll profil esetben voltak (7 - 12-es pont), de az eltrs nem tl nagy. Mgis, a vrhat kisebb felhajter tnyeznek megfelelen, ezek a sebessgek ltalban kisebbek. Jelentsebb az eltrs a profil aljn: itt komoly sebessg-nvekedst tallunk (pl. 4-es pontban +18 %). Ez egyrtelmen az als profil hatsa a felsre, az als profilon keletkez cirkulci gyorstja a fels alatti ramlst.

    Az als, rvidebb profilon szmtott sebessg s nyomseloszlst szintn tblzatban foglaltuk ssze. Ezek az eredmnyek nagyobb mrtkben trnek el az alapknt tekintett, egyedlll profil eredmnyeitl, mint a fels profil megfelel jellemzi. Mind a profil alatt, mind a profil felett viszonylag jelents lassulst tallunk. Ez megfelel annak a fizikai elvrsnak, ami szerint a nagyobb profil kisebbre gyakorolt hatsa jelentsebb, mint a kisebb profil nagyobbra kifejtett hatsa.

  • 39

    AZ ALS PROFIL SZMTOTT JELLEMZI

    Sorszm i

    Sebessg v(i)

    Nyoms tnyez

    cp(i) 1 -0.8001 0.3598 2 -0.8383 0.2972 3 -0.8321 0.3077 4 -0.7979 0.3633 5 -0.6680 0.5537 6 0.1008 0.9898 7 1.5426 -1.3796 8 1.4219 -1.0218 9 1.2410 -0.5401

    10 1.1093 -0.2306 11 0.9899 0.0202 12 0.8441 0.2875

    A megfelel integrlsok elvgzse utn a felhajter-tnyez (ktfle rtk) s a nyomatki tnyez rtkt az albbi tblzatban foglaltuk ssze:

    Fels profil

    Felhajter-tnyez nyomsbl:

    cirkulcibl:

    Nyomatki-tnyez:

    0.90484 0.92222

    -0.05705

    Als profil

    Felhajter-tnyez nyomsbl:

    cirkulcibl:

    Nyomatki tnyez:

    0.86374 1.02706

    0.025551

    Az eredmnyek alapjn nhny megllaptst tehetnk:

    a fels profilra szmtott ktfle felhajter-tnyez eltrse elegenden kicsi; az als profilnl ugyanez az eltrs, egybknt azonos krlmnyek kztt

    jelentsen nagyobb - ez az eltrs taln mg elfogadhat, de ms pozciban mg ennl is nagyobb eltrst tallnnk;

    a nyoms szmts hibja (a fels profilnl 0.06439, az alsnl 0.055337) az elz szmtshoz hasonl nagysgrend, mg megengedhet rtk;

    az als profilra vonatkoz nyomatki tnyez nem az als profil orrpontjra, hanem a fels profil orrpontjra vonatkozik;

    a nyomatki tnyezk rtke is eltr a profilkatalgusban megadott rtktl.

  • 40

    Ez a szmtsi eljrs teht kell elvigyzattal alkalmazand, elssorban a felhajter-tnyez meghatrozsra alkalmas, a nyomatki tnyez rtke viszonylag messze van a relistl.

    A profilszmts itt befejezdik, de, termszetesen szmos krds nylik meg, amelyre a korszer szmtstechnika birtokban vlaszt kereshetnk. Nagyon fontos az alapeljrs fejlesztse, amelyre mr utaltunk is. Ezen tl ide tartozik az sszenyomhatsg hatsnak figyelembe vtele, amelyre tbb ismert mdszer ltezik.

    rdekes s fontos lehet a profil krl kialakul hatrrteg vizsglata is. Ezzel a valsgos viszonyokat sokkal jobban kzelt eredmnyeket kaphatunk.

  • 41

    3. VGES SZRNYAKON KIALAKUL CIRKULCI MEGOSZLS SZMTSA

    A vges szrnyak aerodinamikai tulajdonsgainak vizsglata fontos krds. A 2. fejezetben a szrnyprofilokkal foglalkoztunk. A szrnyprofilok, illetve a velk kapcsolatos szmtsok ktdimenzis, azaz skramlsban rvnyesek. A vges szrnyak krl trbeli, vagyis hrom-dimenzis ramls alakul ki. A kvetkez vizsglatok nagyon fontos rszt kpezik majd azok a felttelek, amelyek lehetv teszik, hogy a profilelmlet eredmnyeit a vges szrnyak analzisben alkalmazhassuk.

    E fejezetben kt mdszert mutatunk be; az els a klasszikus, karcs, egyenes szrnyak vizsglatra alkalmas mdszer (a Prandtl-Glauert fle integro-differencil-egyenlet megoldsa). Ez egy hatkony, jl bevlt, sokszor ellenrztt eljrs, de csak egyenes, nagykarcssg szrnyak vizsglatra alkalmas. Msodikknt egy fejlettebb mdszert mutatunk be. Ez a mdszer az eredeti, Biot-Savart trvny alapjn a replgpszrnyakra felrt alapegyenlet numerikus megoldsn alapul - nagyon szles krben alkalmazhat, igen hasznos eljrs.

    3.1 rvny-fonalak sebessg indukcijnak vizsglata

    A vges szrnyak elmletben a szrnyat rvny-rendszerrel helyettestjk (hordoz s lesz rvnyek, melyeket az indulsi rvny zr be), gy, hogy az ramls az rvny-rendszer hatsra hasonlan vltozzon, mintha a szrny lenne ott. Az rvnyekre rvnyesnek tekintjk a Kelvin ttelt, ami szerint: d

    dt

    = 0 . Lnyegben a Kelvin ttel kvetkezmnyei a

    Helmholz fle rvny-ttelek, amelyeket teht szintn rvnyesnek fogadunk el. E szerint felttelezzk, hogy az elemi intenzits rvny szlak rvny-nyalbot alkotnak, melynek ered cirkulcija lland ( = ll. ).

    Egy ilyen rvny-nyalbot egyetlen vonalra koncentrlva kapunk egy vges intenzits, rvny-fonalat, erre felrhatjuk a Biot-Savart trvnyt, ami szerint az " s " grbe mentn elhelyezked, " " intenzits rvny-fonal a " P " pontban " w " sebessget indukl:

    ( )w

    ds rr

    =

    4 3pi S

    . (3.1)

  • 42

    Vizsgljuk meg ezt az induklt sebessget abban az esetben, ha az rvny-fonal az "x" tengely mentn elhelyezked egyenes vonal (3.1 bra). Az induklt sebessget a "P" pontban keressk, amelyet az egyszersg kedvrt az " y " tengelyen vesznk fel. Legyen az rvny-fonal intenzitsa pozitv ( ). Az integrlst a ( x ) nylt intervallumon kell elv-gezni.

    A Biot-Savart trvny integranduszban lv vektori szorzat elemei ( a 3.1 bra alapjn ):

    dsdx

    ill rr

    r=

    =

    00 0

    .

    cos

    sin ;

    innen a vektori szorzat:

    ds rdx r

    =

    00

    sin ; helyettestsk be a 3.1 bra alapjn a dx r d= / sin

    sszefggst, ezzel kiszmthatjuk az induklt sebessget, melynek - termszetesen - csak " z " irny sszetevje lesz:

    ( )w

    r r dr

    drz

    = =

    4 431

    2

    1

    2

    pi

    pi

    sin / sin

    ; (3.2)

    Itt az integrlsi hatrokat mr az j vltoznak megfelelen ( ) rtuk be. Ezeket mindig az rvny-fonal hossznak megfelelen vlaszthatjuk, pl. a 3.1 brn vzolt esetben 1 0= s pi2 = . Vgezetl, az r r= 0 / sin helyettestssel:

    [ ]wr

    drz

    = =

    4 40 01

    2

    1

    2

    pi

    pi

    sin cos ; (3.3)

  • 43

    Jelen esetben, amikor az rvny-fonal vgtelen egyenes s gy a fent megadott hatrokat kell behelyettesteni, a vgeredmny ( a vektorjellst elhagyva ): w

    r=

    2 0pi

    , a jl ismert, klasszikus eredmnyt adja. A kvetkez vizsglatokban elfordul az az eset is, amikor a intenzits rvny az " x " tengelyt az " A " pontban ri el ( 3.2 bra ) s a + -ig tart.

    Ekkor az ered induklt sebessg:

    [ ] ( )wr r

    = = +

    41

    41

    01

    01pi

    pi

    cos cos ; (3.4)

    3.2 Karcs, egyenes szrnyak vizsglata

    Az egyenes, karcs szrnyak szmtsra alkalmas eljrst Ludwig Prandtl dolgozta ki - ezt, a legegyszerbbnek tekinthet eljrst ismertetjk itt. Az eljrst ltalban hordoz-vonal elmlet-nek is nevezik, mivel benne a szrnyat egy "hordoz vonallal" helyettestjk. Ezen a vonalon helyezkedik el az a megoszl cirkulci (rvny), ami a szrnynak megfelelen mkdik, azaz hatsra kzeltleg akkora s kzeltleg olyan eloszls felhajter keletkezik, mint a tnyleges szrnyon. Az eljrs termszetesen tbb tekintetben kzelt mdszer, ez a ksbbiekben rszleteiben is lthat lesz.

    A szrnyat egy, a 3.3 brn lthat hordoz vonallal helyettestjk, amely az " y " tengelyen, a (-s/2)-tl a (s/2)-ig tart. A hordoz vonalon megoszl rvnyt helyeznk el, amely a szrnyvgeken nulla intenzits. Felttelezzk, hogy - a Kelvin ttel rtelmben - a hordoz vonal mentn elhelyezett rvny vltozsnak (-1)-szerese lesz a lesz rvny. Felttelezzk azt is, hogy ezek a lesz rvnyek vgtelen hossz flegyenesek, a hordoz vonal megfelel pontjbl indulnak s a vgtelenig tartanak.

    A hordoz-vonal elmlet felttelezi, hogy az egyes profilok krl skramls alakul ki, de ezek llsszge "alkalmasan" vltozik. Ezt a vltozst az induklt llsszg (3.4 bra) bevezetsvel ri el.

  • 44

    Ismeretes, hogy az rvnyek sebessget induklnak. Azt lltjuk, hogy a hordoz rvnyek ltal induklt sebessg a hordoz vonalnl nagyon kicsi (ez pl. prbaszmolssal ellenrizhet), gy itt csak a lesz rvnyek ltal induklt sebessget kell figyelembe venni. A zavartalan ramls sebessge ( V

    ) s az induklt

    sebessg ( w) ltal meghatrozott szget nevezzk induklt llsszgnek. A profil alapvonala (lehetleg a nulla felhajter irny) s a zavartalan ramlsi sebessg ltal bezrt szg a geometriai llsszg. A profilelmlet alkalmazsa azt jelenti, hogy a profilok egy " effektv " llsszgn mkdnek, ami a geometriai s az induklt llsszg sszegzsvel - eljelet is figyelembe vev sszeadsval - ll el.

    A szrnyvgeken biztosan nem keletkezik felhajt-er, ezrt ott az effektv llsszgnek nullnak kell lennie. (Ez a szmts peremfelttele.) Mivel csak a lesz rvnyek sebessg-indukcijt szmtjuk s mert ezek vgtelen flegyenesek, az eljrs csak egyenesnek tekinthet hordozvonal esetn alkalmazhat, illetve a lesz rvnyek viselkedse (pl. felcsavarodsa, gyenglse) e szmtsban nem vehet figyelembe.

    A fesztv menti koordinta (y) helyett j vltozt vezetnk be (3.5 bra): y s=

    2cos ; (3.5)

    illetve az i-edik fesztv menti koordinta esetn:

    y si i= 2cos .

    Az j vltozra azrt van szksg, hogy a cirkulci-megoszlst Treffz nyomn egyenlre ismeretlen egytthatkkal rendelkez, Fourier sorral rhassuk le (ez a lers igen j tulajdonsggal rendelkezik : tetszleges - vges - Ak -k esetn kielgti az a felttelt, ami szerint a cirkulcinak a szrnyvgen nullnak kell lennie):

    ( )[ ] ( ) z a h V A km m kk

    =

    =

    12 0 1

    sin ; (3.6)

    ahol:

    ad cd

    f0 =

    , a profil mrt vagy szmtott jellemzje; h - a profil hrhossza; Ak - Fourier sor egytthat; m - a szimmetria-skot jelz index.

  • 45

    Annak rdekben, hogy a profil elmletet alkalmazhassuk, azt kell mondani: az egyes szrny-metszeteket nem a V

    sebessg megfvs ri, hanem egy, w induklt sebessggel elfordtott,

    V sebessg ramls (3.4 bra).

    Ezzel kapcsolatban nhny szt kell szlni az induklt sebessgrl. Ennek lnyegben kt sszetevje van.

    Az elsfaj induklt sebessget a hordoz rvny hozza ltre, abszolt rtke arnyos a szrnyon keletkez felhajt ervel - ezrt a szrnyvgeken rtke nulla s ltalban a szimmetria-skban maximlis.

    A msodfaj induklt sebessget a lesz rvny hozza ltre, rtke a szrny kzepn, szimmetrikus viszonyok esetn minimlis s ltalban a szrnyvgeken maximlis.

    E ktfle induklt sebessg rtke helyrl-helyre vltozik. A klnbz szmtsi eljrsokban klnbz vizsglati helyeket definilunk, gy az induklt sebessg-sszetevk ettl fggen szintn vltoznak. Egyenes szrny vizsglatakor csak a msodfaj induklt sebessget vesszk figyelembe, mondvn, hogy a vizsglat helye a hordoz-vonal, ahol az elsfaj induklt sebessg rtke nulla.

    Erre a msodfaj induklt sebessgre tesszk a fenti megllaptst, miszerint ez mr a hordoz vonalnl ltezik illetve mr ott kifejti a teljes hatst. Ez a feltevs nem teljesen fedi a fizikai valsgot, de alkalmazsval j eredmnyekhez juthatunk. Mivel a szrnyprofiloknl mondottak szerint a felhajter merleges az ered megfvsi sebessgre ( V - 3.4 bra ), azrt a vges szrnyon keletkez felhajt ernek lesz kt sszetevje; az els, V

    -re

    merleges az ltalban felhajternek nevezett er-sszetev, a msodik a V

    -nel prhuzamos, amit ltalban induklt ellenllsnak neveznk. Ez a magyarzata annak, hogy az induklt ellenllst ebben az elmletben a lesz rvnyeknek tulajdontjuk. Ezzel kapcsolatban ksbb, az induklt ellenlls szmtsnl kitrnk Munk ttelre, ami a fenti, fizikai okfejts matematikai formba nttt megfogalmazsa. A 2. fejezetben bemutattuk, hogy a profilokon is - ez a vgtelen karcs szrny esete - keletkezik induklt ellenlls, ennek fizikai oka a ktszeres induklt sebessg illetve az emiatt kialakul ramkp. gy magyarzhatjuk meg, hogy a szimmetria skban is ltrejn induklt ellenlls, illetve, hogy a vges szrny induklt ellenllsa a profil induklt ellenllsnak s a trbeli ramlsi viszonyok miatti induklt ellenllsnak az sszege. A szmts alapegyenlete a kvetkez:

    e g i= + ; (3.7)

    Ezt az egyenletet a 3.4 bra alapjn rhatjuk fel, azt mondja ki, hogy egy profil effektv llsszge a geometriai llsszg s az induklt llsszg sszege. Ne feledkezznk meg arrl, hogy a szgeknek is van eljelk, amit a pozitv forgsirny alapjn hatrozhatunk meg. (Ezt pl. a 3.3 brrl llapthatjuk meg.) Ennek megfelelen az induklt llsszg ltalban negatv, gy a (3.7)-beli sszegzs tulajdonkppen persze kivons, gy, ahogyan azt az egyszer geometriai szemllet alapjn el is vrnnk. Ugyangy ennek felel meg az a tny is, hogy amg a megfvsi sebessg pozitv, addig az induklt sebessg negatv (ez az ltalunk vlasztott koordinta-rendszerben igaz gy) - ezrt az induklt llsszg innen tekintve is negatv.

  • 46

    A (2.5) egyenlet - Kutta-Zsukovszkj ttel - szerint az egysgnyi szles szrnydarabon keletkez er: =

    F V . Ugyanezt az ert meghatrozhatjuk a felhajter-tnyez

    segtsgvel is: ( ) = = F V c h V a hf e 2 2

    2 2. Ez utbbi egyenlet ilyen felrsa

    megkveteli, hogy a geometriai llsszget a mindenkori nulla felhajter-irnytl mrjk. Eszerint a szrny esetleges konfigurci vltozsa (pl. vellap nyits, csr mozgats, orrsegdszrny nyits stb.) a felhajter-tnyez irnytangensnek vltozsn tl a geometriai llsszg-eloszls vltozsban is megjelenik.

    A fenti kt er-egyenletbl kifejezhet az effektv llsszg:

    em m

    kka V h

    a ha h

    A k= = =

    2

    0

    0

    0 1

    sin ; (3.8)

    Az induklt sebessget egy " P " pontban, a mr elmondottak szerint a lesz rvnyek ltal induklt sebessggel vesszk azonosnak. Ezt a (3.4) kifejezs felhasznlsval szmthatjuk, ha 1 0= rtket vlasztunk. A 3.3 brn megadott rvny-intenzitssal [(-d/dy)dy] s az r0 helyre ( )y yp -t rva a kvetkez sszefggst kapjuk:

    ( )w y yddy

    dypp

    =

    14 pi

    ;

    A 3.3 bra alapjn rtelmezhet az " yp " helyen keltett teljes induklt sebessg, amelyet az elemi induklt sebessgek fesztv menti integrlsval hatrozunk meg:

    wd dyy y

    dyps

    s

    =

    1

    42

    2

    pi

    /; (3.9)

    Elszr az induklt llsszg kifejezst rjuk fel, majd utna behelyettestjk a (3.5) szerinti, j vltozt (), illetve vgl figyelembe vesszk, hogy: ( ) ( ) ( ) ( )d dy dy d d d dy dy d d d / / / /= = , ezzel:

    pi pi

    pi

    ii

    p ps

    s

    w

    V Vd dyy y

    dyV s

    d d d =

    =

    1

    42

    4

    0

    2

    2

    / /cos cos

    ;

    rjuk be ide a cirkulci (3.6) szerinti kifejezsnek derivltjt, egyttal felcserljk az integrls hatrait s a nevezben szerepl szgfggvnyeket (gy az eljel nem vltozik):

    pi

    pi

    i

    m m kk

    pV s

    a h V A k kd=

    =

    24

    12 0 1

    0

    cos

    cos cos

    ; (3.10)

  • 47

    Az integrlban szerepl fggvny a kvetkez segd sszefggs felhasznlsval szmthat ki (ez rszletesen [1]-ben olvashat):

    cos

    cos cos

    sinsin

    k dk

    p

    p

    p

    = pipi

    0

    ; ezzel:

    im m

    kp

    pk

    a hs

    k Ak

    =

    =

    014

    sinsin

    ; (3.11)

    A (3.7) alapegyenletbe berjuk az effektv llsszg (3.8) kifejezst illetve az induklt llsszg (3.11) szerinti kifejezst, akkor a p - vel meghatrozott fesztv menti koordintnl a kvetkez egyenletet kapjuk:

    ( ) g p e i m m kk

    m mk

    p

    pk

    a ha h

    A k a hs

    k Ak

    = = +=

    =

    00 1

    0

    14sin

    sinsin

    ; (3.12)

    Ez a hordozvonal elmlet alapegyenlete, amelybl az Ak ismeretleneket - vges szmban persze - meghatrozhatjuk. Ehhez ismerni kell a geometriai llsszget, a hrhosszakat, a profiljellemzket s a szrny fesztvjt. A 3.5 brn (2m+1) db. pontot vettnk fel. Ebbl a 0 index s a (2m+1) index semmitmond, mivel ezek a perem-pontok s tudjuk, hogy itt a cirkulci nulla, amit egybknt (3.6) automatikusan teljest is. Ezrt, vgl is (2m-1) darab ismeretlent szmtunk majd ki.

    A (3.12) alapjn felrhatjuk a kvetkez inhomogn, lineris, algebrai egyenlet-rendszert:

    B A = g ; (3.13)

    ahol az egytthat mtrix elemei:

    ( )b a ha h

    ks

    kjk m mj j j

    j= +

    0

    0

    14 sin

    sin

    ;

    az ismeretlenek vektora, illetve a jobboldal pedig:

    A =

    A

    A

    A

    k

    m

    1

    2 1

    ;

    g

    g

    gk

    g m

    =

    1

    2 1

    ,

    .

    Ez, az eddigi eredmnyeinkhez hasonlan inhomogn, lineris algebrai egyenlet-rendszer, amelyet az elzekben lert mdon oldunk majd meg. Csak megjegyezzk, hogy egy feladat,

  • 48

    melynek modellje lineris, ltalban lineris egyenletrendszerre vezet illetve a nemlineris feladatok nem vezetnek lineris egyenlet-rendszerre.

    Belthat - br ezt a tnyt a ksbbiekben nem hasznljuk ki - hogy szimmetrikus cirkulci-eloszls esetn a pros egytthatk rtke nulla, hiszen ebben az esetben a Fourier sorban pratlan fggvnyt kapunk - a szimmetrikus eset approximcijban pedig ilyeneknek nincs helye. A szakirodalomban ebben az esetben a " k " helyett a k l= 2 1 jells bevezetsvel az l m= 1 2, ,L felhasznlsval csak a pratlan index Ak -kat szmtjk.

    Az egyenletrendszer megoldsa utn, Ak -k ismeretben szmthat a felhajter fesztv menti megoszlsa:

    ( ) ( )c V yq h a hh A kf j jj m mj k jkm

    = =

    =

    01

    2 1

    sin ; (3.14)

    ahol: q V

    =

    2

    2 (a dinamikai nyoms).

    A teljes szrnyra vonatkoztatott felhajter a fesztv menti tlagolssal hatrozhat meg (itt "A " -val a szrny fellett jelljk):

    ( )c q A c y q h dyf sz fs

    s

    = /

    /

    2

    2

    ; azaz: cc h

    Adyf sz

    f

    s

    s

    =

    /

    /

    2

    2

    . (3.15)

    ahol: dy s d= 2

    sin .

    Helyettestsk (3.15)-be a felhajter-tnyez (3.14)-ben adott kifejezst, alkalmazzuk ismt az j vltozt () s cserljk fel az integrls hatrait (0-pi), akkor a kvetkez sszefggsre jutunk:

    ( ) ( )[ ]c a hAs A k d a h s

    AAf sz m m k

    k

    m

    m m= =

    =

    01

    2 10

    102 4

    sin sin pipi

    ; (3.16)

    mivel: ( )sin sin /k dha kha k

    =

    =

    0 1

    2 10 pi

    pi

    .

    Ezek szerint teht az ered felhajter-tnyezt A1 egyedl hatrozza meg. Ez a szakirodalomban jl ismert eredmny: a szmunkra hasznos felhajt ert egyedl az els egytthat adja, az sszes tbbi egytthat csak az ellenlls nvelsben jtszik szerepet. Ezrt a legjobb az "elliptikus eloszls", hiszen ez az az eset, amikor az A1-en kvl az sszes tbbi egytthat nulla.

  • 49

    Az ered felhajter-tnyez kzprtk, a legkisebb (helyi) rtknl nagyobb s kisebb a (helyi) maximumnl. Ez fontos az tess vizsglatakor, hiszen az egsz szrny nyilvn nem rheti el az egyedlll profil (vgtelen szrny) felhajter maximumt. A kritikus llsszg rtke kvl esik a lineris tartomnyon, gy szigoran vve nem is szabad errl beszlni, de mivel ez egy nagyon fontos krds, megkockztatjuk az itt kvetkez, rvid megjegyzst. Els - igen nagyvonal - kzeltsknt kimondhatjuk, hogy az egyes profilok tess szempontjbl a geometriai llsszgn mkdnek, itt nem szabad az induklt llsszget figyelembe venni. Ez ugyan csbt lenne, de pl. a szrnyvgen az effektv llsszg nulla - gy a szrnyvg soha nem eshetne t, ami nyilvnval ellentmonds. Tulajdonkppen oda jutottunk, hogy a felhajter-tnyez szempontjbl az effektv llsszget kell figyelembe venni, az tessnl viszont marad a geometriai llsszg.

    Az induklt ellenlls szmtsa kvetkezik. Ezzel kapcsolatban egy fontos megjegyzst kell tennnk. A karcs, egyenes szrnyak elmlett Prandtl 1918-ban rta le, tantvnya Munk 1919-ben, a doktori rtekezsben kimondott egy ttelt, ami szerint rvnyek ramlsirnyban - bizonyos felttelek esetn - eltolhatk. Ennek a ttelnek szmos gyakorlati alkalmazsval tallkozunk, itt arra hvjuk fel a figyelmet, hogy e ttel kvetkezmnyeknt mondhat ki: induklt ellenllst a hordoz rvny nem kelt. Vagyis: az induklt ellenlls a lesz rvnyek hatsra keletkezik; szmtsa a kvetkez sszefggssel lehetsges:

    c cei i f= ; (3.17)

    A (3.17)-ben azrt kell negatv eljelet alkalmazni, mivel az ellenlls tnyezk hagyomnyosan pozitvak, az induklt llsszg viszont negatv. Ez a kifejezs egy-egy szrnymetszetre vonatkozik, gy a teljes szrny induklt ellenllst tlagolssal hatrozzuk meg:

    ( ) ( )

    =

    2/

    2/

    ~

    s

    s

    ieie dyAq

    yhqycc ; (3.18)

    ahol: ( ) ( ) ( )( )( )c y

    a hs h y

    A k y l Al y

    ye im m

    kk

    m

    ll

    m

    =

    =

    =

    02 2

    1

    2 1

    1

    2 1

    4sin

    sinsin

    .

    Ezt az integrlt ugyan nhny, specilis esetben zrt alakban is ki lehet szmtani, ltalban azonban clszer numerikusan integrlni. Erre mutat pldt a 3.1 mellklet-ben tallhat program is.

    Nhny tovbbi szmtst mutatunk mg be, ezek rszben helyi jellemzk, rszben ltalnos, az egsz szrnyra vonatkoz jellemzk meghatrozst clozzk. Elszr a vges szrny egy metszetben ( a fesztv menti koordintt - val jelljk ) rvnyes felhajter-tnyez meredeksget hatrozzuk meg:

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

    a c a a a ae f ge

    g i

    e

    0 0 01

    1

    = = = =

  • 50

    illetve behelyettestve ide az induklt llsszg (3.10) s az effektv llsszg (3.8) kifejezst, kapjuk a kvetkez kifejezst:

    ( ) ( )

    ( ) ( )( )

    ( )

    aa

    a hs

    k Ak

    A l

    kk

    m

    ll

    m

    =

    =

    =

    0

    0 1

    2 1

    1

    2 11 4

    sinsin

    sin

    Szmtsuk ki vgl a teljes szrnyra rvnyes felhajter-tnyez meredeksget:

    ( ) ( ) ( ) ( )aA

    a h dd

    dy sA

    a h ds

    s

    = =

    12 0

    2

    2

    sin ;pi

    Ezt a kifejezst nem rdemes zrt alakban kiszmtani, ltalban is numerikusan clszer integrlni. A bemutatott plda-program is numerikus integrlst alkalmaz.

    3.1 Mellklet:

    KARCS, EGYENES SZRNY SZMTSA (Szmtgp-program)