lecture14 (1)

8/8/2019 lecture14 (1)

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C o n v e c t i o n

C h a p t e r 5 i n H K .

F o c u s o n a s p e c t s o f m i x i n g l e n g t h t h e o r y . P r e s e n t p i c t u r e r s t , t h e n g e n e r a l i d e a s , t h e n

m o r e s p e c i c s . A t t h e e n d , s t u d e n t s s h o u l d h a v e a n i d e a o f h o w t o c a l c u l a t e w i t h i t , b u t

a l s o a s o l i d a p p r e c i a t i o n o f i t s s t r e n g t h s a n d w e a k n e s s e s .

W e a r e n o w g o i n g t o t a c k l e t h e t h i r d m a j o r t y p e o f e n e r g y t r a n s p o r t , c o n v e c t i o n . T h e r e

a r e a s p e c t s o f t h i s t h a t d i e r s i g n i c a n t l y f r o m o u r t r e a t m e n t o f r a d i a t i v e a n d c o n d u c t i v e

e n e r g y t r a n s p o r t . I n t h o s e c a s e s i t m i g h t b e d i c u l t i n p r a c t i c e t o c a l c u l a t e a p a r t i c u l a r

o p a c i t y , b u t i n p r i n c i p l e i t ' s f a i r l y c l e a r : s i n c e m i c r o s c o p i c q u a n t u m m e c h a n i c s u n d e r l i e s a l l

o f i t , o n e \ s i m p l y " c a l c u l a t e s t h e e q u i l i b r i u m p r o p e r t i e s o f a t o m s a n d e l e c t r o n s f o r a g i v e n

s e t o f l o c a l c o n d i t i o n s .

C o n v e c t i o n i s d i e r e n t . T h e g e n e r a l p r o c e s s o f c o n v e c t i o n h a s s o m e u i d e l e m e n t r i s i n g

o r f a l l i n g a n d d i s s i p a t i n g i t s e n e r g y a s i t d o e s s o . I n i t s f u l l g e n e r a l i t y , t h e r e f o r e , c o n v e c t i o n

i s a n o n l o c a l p r o c e s s a n d i n v o l v e s v e r y p o o r l y d e t e r m i n e d d e t a i l s o f u i d m e c h a n i c s . A l a s ,

i t i s a l s o e x c e e d i n g l y i m p o r t a n t f o r m o s t s t a r s , e s p e c i a l l y t h e l o w - m a s s o n e s .

A s a w a y a r o u n d t h i s , \ m i x i n g l e n g t h t h e o r y " h a s b e e n d e v e l o p e d . I t h a s t h e a d v a n t a g e

t h a t i t m o c k s u p a l o c a l t r e a t m e n t o f c o n v e c t i o n , a n d o f t e n d o e s n ' t d o t o o b a d l y f o r r e a l

s t a r s . U n f o r t u n a t e l y , i n s t a r s l i k e t h e S u n i t v i o l a t e s i t s o w n a s s u m p t i o n s a n d i s l a c e d

t h r o u g h w i t h e s t i m a t e s a n d a p p r o x i m a t i o n s . C o n v e c t i o n i s s t i l l a m a j o r p r o b l e m i n s t e l l a r

m o d e l s , a n d n o c l e a r a l t e r n a t i v e t o m i x i n g l e n g t h t h e o r y h a s a r i s e n y e t .

G e n e r a l i d e a o f c o n v e c t i o n

( d r a w o n b o a r d ) S u p p o s e y o u h a v e s o m e e l e m e n t o f u i d a t a h i g h e r t e m p e r a t u r e t h a n

t h e s u r r o u n d i n g s . A s k c l a s s : f o r p r e s s u r e b a l a n c e w i t h i t s s u r r o u n d i n g s , w h a t d o e s t h i s

m e a n a b o u t t h e d e n s i t y ? D e n s i t y i s l e s s , s o b u o y a n c y e e c t s c a u s e i t t o r i s e . N o w i t ' s u p

f u r t h e r , s o t h e d e n s i t y a n d p r e s s u r e o f t h e s u r r o u n d i n g m e d i u m i s l e s s . A s k c l a s s : i f t h e

p r e s s u r e i s l e s s , w h a t h a p p e n s t o t h e u i d e l e m e n t ? I t e x p a n d s u n t i l t h e p r e s s u r e i s i n

e q u i l i b r i u m w i t h i t s s u r r o u n d i n g s . S o , A s k c l a s s : w h a t h a p p e n s t o i t s d e n s i t y ? T h e d e n s i t y

d r o p s . A s k c l a s s : w h a t i s t h e c o n d i t i o n f o r t h e e l e m e n t t o k e e p r i s i n g ? T h e n e w , a d j u s t e d

d e n s i t y n e e d s t o s t i l l b e l e s s t h a n t h e d e n s i t y o f t h e s u r r o u n d i n g s , s o t h a t b u o y a n c y e e c t s

c o n t i n u e t o c a u s e t h e u i d e l e m e n t t o a s c e n d . A s k c l a s s : w h a t d o e s t h a t m e a n a b o u t t h e

n e w t e m p e r a t u r e o f t h e e l e m e n t c o m p a r e d t o t h e t e m p e r a t u r e o f i t s n e w s u r r o u n d i n g s ? I t

m e a n s t h a t t h e t e m p e r a t u r e o f t h e e l e m e n t h a s t o b e g r e a t e r t h a n t h e t e m p e r a t u r e o f t h e

s u r r o u n d i n g s .

N o w l e t ' s t h i n k a b o u t w h a t t h i s m e a n s f o r e n e r g y t r a n s p o r t . S u p p o s e t h a t t h e u i d

e l e m e n t r i s e s m u c h m o r e s l o w l y t h a n t h e s p e e d o f s o u n d , s o t h a t p r e s s u r e b a l a n c e i s

8/8/2019 lecture14 (1)


m a i n t a i n e d , b u t m u c h m o r e r a p i d l y t h a n t h e t i m e n e c e s s a r y t o h a v e h e a t l e a k o u t o f ( o r

i n t o ) t h e u i d e l e m e n t . T h e n t h e t o t a l h e a t i n t h e u i d e l e m e n t i s c o n s e r v e d , a n d i f w e c a n

i g n o r e v i s c o s i t y ( w h i c h w e u s u a l l y c a n f o r t h i s p u r p o s e ) , i t m e a n s t h a t t h e e l e m e n t m o v e s

a d i a b a t i c a l l y . T h i s m e a n s t h a t t h e e n t r o p y i s c o n s e r v e d , s o t h a t t h e t e m p e r a t u r e g r a d i e n t i s

x e d f o r a g i v e n p r e s s u r e g r a d i e n t . C a l l t h i s g r a d i e n t r T

a d

. T h u s , f o r a g i v e n u i d e l e m e n t

w i t h a n i n i t i a l l y s m a l l p e r t u r b a t i o n , w e k n o w h o w i t s t e m p e r a t u r e w i l l c h a n g e a s i t r i s e s .

G i v e n t h i s , A s k c l a s s : w h a t i s t h e c o n d i t i o n o n t h e g r a d i e n t o f t h e t e m p e r a t u r e o f

t h e s u r r o u n d i n g m e d i u m s u c h t h a t t h e u i d e l e m e n t w i l l c o n t i n u e t o r i s e o n c e p e r t u r b e d

u p w a r d s ? S i n c e t h e s u r r o u n d i n g t e m p e r a t u r e h a s t o c o n t i n u e t o b e s m a l l e r t h a n t h e

t e m p e r a t u r e o f t h e u i d e l e m e n t , i t h a s t o d r o p w i t h i n c r e a s i n g h e i g h t f a s t e r t h a n t h e

t e m p e r a t u r e o f t h e e l e m e n t d r o p s . T h e r e f o r e , t h e t e m p e r a t u r e g r a d i e n t r T

m u s t s a t i s f y

r T >

r T

a d

. T h i s i s t h e S c h w a r z s c h i l d c r i t e r i o n f o r c o n v e c t i o n , b r o u g h t t o y o u b y t h e s a m e

p e r s o n w h o c a m e u p w i t h t h e S c h w a r z s c h i l d s p a c e t i m e f o r u n c h a r g e d , n o n r o t a t i n g b l a c k

h o l e s .

I f t h i s c r i t e r i o n i s s a t i s e d , i t i m p l i e s l a r g e - s c a l e m o t i o n o f u i d . I n a d d i t i o n t o h o t

p a r c e l s o f u i d r i s i n g , c o l d p a r c e l s w i l l d r o p , s o t h e r e i s a n e t t r a n s f e r o f e n e r g y f r o m t h e

h o t s t u b e l o w t o t h e c o l d s t u a b o v e . N o t e t h a t t h e m a c r o s c o p i c m o t i o n s m e a n t h a t

c o n c e p t s s u c h a s m e a n f r e e p a t h a r e a b i t d i c e y , c o m p a r e d t o t h e i r r a t h e r c l e a r e r a n a l o g u e s

f o r r a d i a t i v e o r c o n d u c t i v e e n e r g y t r a n s p o r t . T h e r e a r e a l s o c o m p l i c a t i n g e e c t s i n r e a l i t y .

F o r e x a m p l e , h e a t r e a l l y c a n l e a k i n t o o r o u t o f t h e u i d e l e m e n t a s i t r i s e s o r s i n k s . B e f o r e

a d d r e s s i n g i s s u e s l i k e t h a t , t h o u g h , l e t ' s h o l d o n a b i t a n d d e v e l o p o u r g e n e r a l i n t u i t i o n

a b o u t c o n v e c t i o n s o m e m o r e .

P e o p l e f r e q u e n t l y d e t e r m i n e w h e t h e r a g i v e n l a y e r o f u i d i s c o n v e c t i v e l y u n s t a b l e b y

c a l c u l a t i n g i t s s t r u c t u r e w i t h o u t i n c l u d i n g c o n v e c t i o n , t h e n a p p l y i n g t h e S c h w a r z s c h i l d

c r i t e r i o n o r a n a l t e r n a t i v e . L e t ' s a s s u m e t h a t f o r t h e l a y e r s o f i n t e r e s t , a l l t h e e n e r g y w a s

g e n e r a t e d a t a m u c h d e e p e r l a y e r . G i v e n t h a t l a r g e t e m p e r a t u r e g r a d i e n t s a r e n e e d e d f o r

c o n v e c t i o n , A s k c l a s s : w h a t d o e s t h i s i m p l y a b o u t o t h e r o p a c i t i e s ? T h e a m o u n t o f e n e r g y

t o b e t r a n s p o r t e d i s x e d b y t h e d e e p e r l a y e r s , s o l a r g e t e m p e r a t u r e g r a d i e n t s w o u l d h a v e

t o m e a n h i g h o p a c i t i e s . A s k c l a s s : d o t h e y e x p e c t w h i t e d w a r f s o r n e u t r o n s t a r s t o h a v e

c o n v e c t i v e l a y e r s u n d e r o r d i n a r y c o n d i t i o n s ? N o , b e c a u s e f o r t h e s e s t a r s c o n d u c t i o n i s

e x t r e m e l y e e c t i v e , s o t h e t e m p e r a t u r e g r a d i e n t i s t i n y a n d c o n v e c t i o n i s s u p p r e s s e d . O n l y

w h e n o t h e r f o r m s o f e n e r g y t r a n s p o r t a r e i n e e c t i v e d o e s c o n v e c t i o n c o m e t o t h e r e s c u e .

T h i s , b y t h e w a y , i s o n e r e a s o n w h y w e c a n o f t e n i g n o r e t h e d i u s i o n o f e n e r g y o u t o f o u r

u i d e l e m e n t s : f o r c o n v e c t i o n t o b e i m p o r t a n t a t a l l , t h i s d i u s i o n n e e d s t o b e r e l a t i v e l y

w e a k . I n m a i n s e q u e n c e s t a r s i t t e n d s t o b e i n t h e s o m e w h a t c o o l e r l a y e r s ( w h e r e l i n e a n d

e d g e o p a c i t i e s a r e i m p o r t a n t ) t h a t c o n v e c t i o n o c c u r s . L o w m a s s s t a r s h a v e l a r g e c o n v e c t i v e

z o n e f o r t h i s r e a s o n , w i t h t h e i n t e r e s t i n g c o n s e q u e n c e t h a t d y n a m o s g e n e r a t e p r e t t y s t r o n g

m a g n e t i c e l d s , i m p l y i n g l o t s o f m a g n e t i c a c t i v i t y . H i g h e r - m a s s s t a r s h a v e f e w e r s o u r c e s o f

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o p a c i t y a n d t h e r e f o r e h a v e r e l a t i v e l y w e a k e r e l d s .

S o h o w d o w e p u t t h i s i n t o a d e s c r i p t i o n o f e n e r g y t r a n s p o r t ? T h e m o s t w i d e s p r e a d

m o d e l i s m i x i n g l e n g t h t h e o r y . I n m i x i n g l e n g t h t h e o r y t h e a s s u m p t i o n i s t h a t t h e u i d

e l e m e n t r i s e s s o m e d i s t a n c e ̀

, t h e n r e l e a s e s i t s e n e r g y ( i . e . , c o m e s i n t o t h e r m a l e q u i l i b r i u m

w i t h t h e n e w e n v i r o n m e n t ) . T h e r e v e r s e p r o c e s s c a n a l s o h a p p e n : a c o o l u i d e l e m e n t ,

w h i c h i s d e n s e r t h a n a v e r a g e b e c a u s e o f p r e s s u r e b a l a n c e , s i n k s s o m e d i s t a n c e ̀

a n d g a i n s

e n e r g y f r o m t h e e n v i r o n m e n t . I n b o t h c a s e s , e n e r g y i s t r a n s p o r t e d o u t w a r d . O f c o u r s e , t h e

u i d e l e m e n t c a n \ l e a k " e n e r g y o n i t s w a y u p o r d o w n a s w e l l .

T h i s i s t h e c o r e o f m i x i n g l e n g t h t h e o r y . T h e a m o u n t o f e n e r g y t h a t i t t r a n s p o r t e d

d e p e n d s o n ̀

, t h e b u o y a n t v e l o c i t y w

, t h e h e a t c o n t e n t o f t h e s t a r a s a f u n c t i o n o f d e p t h ,

a n d h o w m u c h e n e r g y d r i f t s o u t o f t h e e l e m e n t s a s t h e y r i s e o r f a l l . T h e s e q u a n t i t i e s c a n

b e c o m p u t e d a t a s i n g l e r a d i u s , m a k i n g M L T a \ l o c a l " t h e o r y a n d t h e r e f o r e u s e f u l f o r

c o m p u t a t i o n .

A s s u m p t i o n s o f M L T

T h e s e a s s u m p t i o n s c o n s t i t u t e t h e \ B o u s s i n e s q " a p p r o x i m a t i o n : ( k e e p t h e s e o n t h e

b o a r d ) .

1 . A r e a d i l y i d e n t i a b l e u i d e l e m e n t h a s a d i m e n s i o n c o m p a r a b l e t o

̀ .

2 . T h e m i x i n g l e n g t h i s m u c h s h o r t e r t h a n a n y o t h e r s c a l e l e n g t h a s s o c i a t e d w i t h t h e s t a r

( e . g . , p r e s s u r e , t e m p e r a t u r e s c a l e h e i g h t s ) . V i o l a t e d f o r t h e s u n , w h e r e t h e p r e s s u r e s c a l e

h e i g h t i s c o m p a r a b l e t o w h a t i s n e e d e d f o r ̀ !

3 . T h e u i d e l e m e n t i s a l w a y s i n p r e s s u r e e q u i l i b r i u m w i t h i t s s u r r o u n d i n g s . T h i s m e a n s ,

f o r e x a m p l e , t h a t ` = v

s

i s m u c h s h o r t e r t h a n a s c e n t o r d e s c e n t t i m e s .

4 . A c o u s t i c a l p h e n o m e n a , s h o c k s , e t c . , m a y b e i g n o r e d .

5 . T h e d e n s i t y a n d t e m p e r a t u r e o f t h e u i d e l e m e n t d e v i a t e o n l y s l i g h t l y f r o m t h e

e n v i r o n m e n t .

T o g e t h e r , t h e s e a s s u m p t i o n s m e a n t h a t t h e u i d i s a l m o s t i n c o m p r e s s i b l e a n d t h a t

d e n s i t y a n d t e m p e r a t u r e v a r i a t i o n s a r e s m a l l . N o t e t h a t a s s u m p t i o n 2 i s o f t e n v i o l a t e d , a n d

t h a t a s s u m p t i o n 1 i s t r o u b l e s o m e b y i t s e l f : i f t h e u i d e l e m e n t i s t h e s a m e s i z e a s ̀

, i t i s

t o u g h t o p i c t u r e t h e s l o w d r i f t a n d l e a k a g e o f e n e r g y !

A n o t h e r p r o b l e m i s t h a t l a b e x p e r i m e n t s c a n ' t s i m u l a t e t h e c o n d i t i o n s i n s t a r s , i n t h e

s e n s e t h a t s o m e o f t h e d i m e n s i o n l e s s n u m b e r s t h a t c h a r a c t e r i z e t h e u i d a r e a f a c t o r o f

a b i l l i o n o r s o d i e r e n t b e t w e e n s t a r s a n d l a b o r a t o r i e s . H o w e v e r , n o t e a l s o t h a t t h i s i s a

c o m m o n s i t u a t i o n i n a s t r o p h y s i c s . W h a t y o u h a v e t o d o i n t h e s e c i r c u m s t a n c e s i s d o t h e

b e s t y o u c a n , m a k e r e a s o n a b l e a s s u m p t i o n s , a n d s o l v e a s i m p l e r p r o b l e m . I t w o u l d , o f

8/8/2019 lecture14 (1)


c o u r s e , m a k e n o s e n s e t o g o w i l d w i t h t h i s a n d e n d u p w i t h a n e l y r e n e d v a r i a n t o f M L T

w h e n y o u k n o w t h a t s o m e o f t h e i n i t i a l a s s u m p t i o n s a r e s u s p e c t !

A s k c l a s s : s u p p o s e t h a t c o n v e c t i o n o c c u r s . W h a t d o e s t h i s d o t o t h e t e m p e r a t u r e

g r a d i e n t ? I t t e n d s t o r e d u c e t h e t e m p e r a t u r e g r a d i e n t , b y p u t t i n g h o t u i d h i g h e r a n d c o l d

u i d l o w e r . A s k c l a s s : i f w e w e r e t o t r y t o i n c o r p o r a t e c o n v e c t i o n i n t o t h e s a m e g e n e r a l

o p a c i t y s c h e m e a s w e u s e d f o r r a d i a t i o n a n d c o n d u c t i o n , w o u l d w e i n c l u d e i t l i n e a r l y o r

h a r m o n i c a l l y ? H a r m o n i c a l l y , b e c a u s e a s a n o t h e r c h a n n e l f o r e n e r g y t r a n s p o r t i t i n c r e a s e s

t h e u x a n d d e c r e a s e s t h e e e c t i v e o p a c i t y .

A s k c l a s s : s u p p o s e t h a t c o n v e c t i o n i s e x t r e m e l y e c i e n t . T o a r s t a p p r o x i m a t i o n ,

w h a t i s t h e t e m p e r a t e g r a d i e n t y o u ' d e n d u p w i t h a f t e r c o n v e c t i o n h a d c h a n g e d t h e

g r a d i e n t ? I t w i l l b e v e r y c l o s e t o , b u t s l i g h t l y l a r g e r t h a n , t h e a d i a b a t i c g r a d i e n t . I t h a s t o

b e l a r g e r t o c o n t i n u e c o n v e c t i o n , b u t i f c o n v e c t i o n i s e c i e n t t h e n r T

d o e s n ' t h a v e t o b e

m u c h l a r g e r t h a n r T

a d

t o t r a n s p o r t l o t s o f e n e r g y .

A s i n d i c a t e d i n t h e p r e v i o u s n o t e s a n d i n t h e b o o k , t h e u x d u e t o e c i e n t c o n v e c t i o n

i s

F

c o n v

= w c

P

T : ( 1 )

H e r e a p a r c e l o f e n e r g y i s t y p i c a l l y g o i n g a t a s p e e d w

, t h e t y p i c a l t e m p e r a t u r e c o n t r a s t

w i t h t h e s u r r o u n d i n g s i s T ,

i s t h e d e n s i t y o f u i d a n d c

P

i s t h e s p e c i c h e a t a t c o n s t a n t

p r e s s u r e ( e n e r g y p e r m a s s p e r t e m p e r a t u r e ) . H o w c a n w e t e s t i f t h i s i s r e a s o n a b l e ? T h e

u n i t s w o r k ( c a n v e r i f y ) . I t m a k e s s e n s e t h a t i f t h e r e i s n o t e m p e r a t u r e c o n t r a s t ( T

= 0 )

t h e r e w i l l b e n o u x . T h e h i g h e r t h e s p e e d t h e l a r g e r t h e u x , w h i c h i s r i g h t . I f t h e s p e c i c

h e a t i s l o w , l i t t l e e n e r g y c a n b e t r a n s p o r t e d , s o F

s h o u l d d e p e n d d i r e c t l y o n c

P

a s i t d o e s .

F i n a l l y , i f t h e r e i s m o r e m a t t e r ( h i g h

) , m o r e u x i s t r a n s p o r t e d .

M o r e d e t a i l s , i n c l u d i n g r a d i a t i v e l e a k a g e , b u o y a n c y , a n d d e t a i l s a b o u t h o w t o c o m p u t e

r a d i a t i v e u x , c a n b e f o u n d i n t h e y e a r 2 0 0 0 n o t e s a n d i n t h e b o o k . S u c e i t t o s a y

t h a t a l t h o u g h m i x i n g l e n g t h t h e o r y d o e s a d e c e n t j o b , f u l l c o n v e c t i o n i s a t o u g h n u t t o

c r a c k . T h e r e a r e a n u m b e r o f a t t e m p t s t o d o b e t t e r t h a n M L T ; o v e r s h o o t i n g , f o r e x a m p l e .

\ C o r r e c t " t r e a t m e n t w o u l d r e q u i r e f u l l u i d ( M H D i n g e n e r a l ) e q u a t i o n s , a n d i s v e r y

d i c u l t a n d c o m p l i c a t e d . W h e n w e g e t t o m o d e l i n g s t a r s , w e ' l l s e e a b i t m o r e h o w t o

i n c l u d e c o n v e c t i o n i n r e a l i t y .

lecture14 (1)

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