lecciones del curso de modelaciÓn matemÁtica y...
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LECCIONES DEL CURSO DE MODELACIÓN
MATEMÁTICA Y COMPUTACIONAL POSGRADOS DE
CIENCIAS DE LA TIERRA Y DE
CIENCIA E INGENIERÍA DE LA COMPUTACIÓN
UNAM AUTOR:
ISMAEL HERRERA REVILLA 1
Basado en el Libro ‘‘Mathematical Modeling in Science and Engineering:
An Axiomatic Approach’’ Por
Ismael Herrera y George F. Pinder
2
3
John Wiley 2012
4
MODELOS CLÁSICOS
DE LA
FÍSICA MACROSCÓPICA
5
EL MODELO GENERAL
DE LOS
SISTEMAS DE UNA FASE
6
CARACTERÍSTICAS DE LOS SISTEMAS DE UNA FASE
Los modelos continuos de una fase satisfacen la siguiente hipótesis: "En cada punto del espacio físico, hay una y sólo una partícula material"
Un cuerpo mat
( )erial es un conjunto de partículas que en
cada instante ocupa un dominio en el sentido matemático del espacio físico. En cada dominio del espacío físico hayun cuerpo material, y sólo uno
Se usa la no( )
tación para el cuerpo material, el cual en el tiempo ocupa el dominio B del espacio físicot t
B
7
{ }1
:
,..., N
Cada sistema de una fase está caracterizado por Una familia de propiedades
extensivas E E
CARACTERIZACIÓN DE LOS MODELOS DE UNA FASE DE LA
FÍSICA MACROSCÓPICA
8
EL MODELO BÁSICO DE LA FÍSICA MACROSCÓPICA
DE UNA FASE El ‘modelo matemático básico’ del sistema está
constituido por el sistema de ecuaciones
diferenciales parciales (y de saltos) que se
obtiene al aplicar la ecuación general de
balance, expresada en términos de la propiedad
intensiva asociada, a cada uno de los miembros
de la familia de propiedades extensivas
9
MODELO MATEMÁTICO BÁSICO
CONDICIONES DE BALANCE
EN TÉRMINOS DE LAS PROPIEDADES INTENSIVAS
10
( )
EL MODELO GENERAL DE LOS SISTEMAS FÍSICOS MACROSCÓPICOS DE UNA FASE
, 1,...,
Las "ecuaciones diferenciales"
g Nt
ααα αψ ψ τ α∂
+∇ = ∇ + =∂
v
MODELOS CLÁSICOS DE LA
FÍSICA MACROSCÓPICA
11
CARACTERÍSTICAS GENERALES
● La teoría que se va a desarrollar es una teoría unificada de sólidos y fluidos;
●Ella constituye la mecánica clásica de medios continuos; ● Todos los sistemas de la mecánica clásica de medios continuos son de una fase;
● Esta teoría se basa en cinco propiedades extensivas.
12
PROPIEDADES EXTENSIVAS DE LA MECÁNICA CLÁSICA
●Masa ●Momento lineal ●Momento angular ●Energía cinética ●Energía interna
13
FAMILIA DE PROPIEDADES EXTENSIVAS
14
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
B t
212
Masa: ,
Momento lineal:
Momento angular:
Energía cinética:
Energía interna:
B t
aB t
CB t
IB t
M t x t d x
t x,t x,t d x
t x d x
E t d x
E t Ed x
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
≡
≡
≡ ×
≡ ≡
∫
∫
∫
∫
∫
M
M
v
v
v
15
( )
RECORDATORIO
gtψ ψ τ∂
+∇ = ∇ +∂
v
16
( ) ( )( )
( ) ( )
EXTENSIVA: LA MASA
,
INTENSIVA: LA DENSIDAD , ,
B t
M t x t d x
x t x t
ρ
ρ ψ
≡
←
∫
PRINCIPIO FÍSICO:
CONSERVACIÓN DE MASA
17
18
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )
( )
LUEGO
ASÍ QUE
, , 0
, 0 y , 0
0
B tB t
dM t g x t dx x t ndxdt
g x t x t
t
τ
τ
ρ ρ
∂
= + =∫ ∫
= =
∂ +∇⋅ =∂
LOS CUERPOS CONSERVAN SU MASA EN SU MOVIMIENTO
v
MOMENTO LINEAL
19
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
B t
t x,t x,t d x
x,t x,t x,t
ρ
ρ ψ
≡
←
∫M v
v
Observación:
EL MOMENTO LINEAL ES UNA
PROPIEDAD VECTORIAL
20
PROPIEDADES VECT0RIALES
21
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
1 1
2 2B t
3 3
Cada propiedad vectorial tiene tres componentes
B t
B t
B t
t x,t x,t d x
t x,t x,t d x t x,t x,t d x
t x,t x,t d x
ρ
ρ ρ
ρ
≡
≡ ⇔ ≡
≡
∫
∫ ∫
∫
v
v v
v
M
M M
M
22
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1
2 2
3 3
PROPIEDADES INTENSIVAS ASOCIADAS
i i
t x,t x,t
t x,t x,t
t x,t x,t
t x,t x,t ; i = 1,2,3
ρ
ρ
ρ
ρ
→
→
→
→
M
M
M
M
v
v
v
v
ECUACIONES VECTORIALES DE BALANCE
23
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )
2
3
11 1
2 2
3
, ,
, , , ,
,
Cada ecuación vectorial de balance es equivalente a tres
ecuaciones escalares de balance
B t B t
B t B t B t B t
d tdt
d tdt
q
q
d t x t dx x t dxdtd t x t dx q x t dx x t dx x t dxdt
x t
g
g g
g
∂
∂ ∂
⇔
= +∫ ∫
= + = +∫ ∫ ∫ ∫
=
M
M
M
M
( )( )
( )
( ) ( )
3
,
Aquí: , = , , 1,2,3
B t B t
ii
qdx x t dx
q x t x t n iτ
∂
+∫ ∫
=
ECUACIONES DIFERENCIALES DE BALANCE DE MOMENTO LINEAL
24
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( )
( )
( )
( )
2
3
111 1
222 2
333 3
11 1
2 2
3 3
, ,
, , , ,
, ,
B t B t
B t B t B t B t
B t B t
d tdt
d tdt
gt
gt
gt
q
q
q
d t x t dx x t dxdtd t x t dx q x t dx x t dx x t dxdt
x t dx x t dx
g
g g
g
ρ ρ τ
ρ ρ τ
ρ ρ τ
∂
∂ ∂
∂
⇔
∂ +∇ = ∇ + ∂ ∂ +∇ = ∇ + ∂ ∂
+∇ = ∇ +∂
= +∫ ∫
= + = +∫ ∫ ∫ ∫
= +∫ ∫
M
M
M
M
v v v
v v v
v v v
( ) , 1, 2,3 iii ig i
tρ ρ τ∂
⇔ +∇ = ∇ + =∂
v v v
ECUACIONES DE MOMENTO LINEAL REDUCIDAS POR CONSERVACIÓN DE MASA
25
( )
( )
Cuando cada una de las ecuaciones
, 1, 2,3
se combina con la ecuación de conservación de masa:
0
se obt
iii ig i
t
t
ρ ρ τ
ρ ρ
∂+∇ = ∇ + =
∂
∂+∇ =
∂
v v v
v
iene:
, 1, 2,3
, 1, 2,3
iii i
iii i
g it
g i gt t
ρ τ
ρ τ ρ τ
∂ + ∇ = ∇ + = ∂
∂ ∂ + ∇ = ∇ + = ⇔ + ∇ = ∇ + ∂ ∂
v v v
v vv v v v
ECUACIONES DE MOMENTO LINEAL EN NOTACIÓN VECTORIAL
26
( ) ( )11 21 31
1 2 3 12 22 32
13 23 33
NOTACIÓN : , ,
, , , , , , ,
, 1, 2,3
i i i i ij
iii ig i g
t t
τ τ ττ τ τ τ τ τ τ τ τ
τ τ τ
ρ τ ρ τ
= ≡ =
∂ ∂ + ∇ = ∇ + = ⇔ + ∇ = ∇ + ∂ ∂
v vv v v v
PRINCIPIO FÍSICO QUE GOBIERNA EL
BALANCE DE MOMENTO LINEAL
27
2A LEY DE NEWTON GENERALIZADA
La derivada con respecto al tiempo
del momento lineal de un cuerpo es
igual a la fuerza total que se ejerce
sobre el cuerpo 28
29
( ) ( )( )
( )( )
LA SEGUNDA LEY DE NEWTON
, ,B t B t
g fuerza por unidad de volumen b
q fuerza por unidad de superficie T
q n T n Fuerzas de contacto: tracciones
d t x t dx q x t dxdt g
ρ
τ σ
σ τ
∂
= ≡
= ≡
= ↔ = →
≡
= +∫ ∫M
Tensor de esfuerzos σ ≡
30
( ) ( )( )
( )
( )( )
( )
FUERZAS DE CUERPO Y TENSOR DE ESFUERZOS
,
ˆEJEMPLO: La gravedad (aceleración de la gravedad)
,
, ,
,
B t
B t
b x t fuerza por unidad de masa
b g
T x t fuerza por unidad de área ("tracción")
T T
x t x t dx
T x t dx
bρ
∂
=
=
=
=
∫
∫
⇒
⇒
( )
( )1 2 3
3
1
, ,
;
NOTACIÓN: "Tensor de esfuerzos"
ii ij j ijj
T T
T n n T n τ τ τ τ τ
σ τ
=
= = ⇒ = ≡
≡ →
∑
ECUACIONES DE MOMENTO LINEAL EN NOTACIÓN VECTORIAL
31
La ecuación :
Toma la forma :
Estados estacionarios : 1
Sistema en reposo :
gt
bt
b
b
ρ τ
ρ σ ρ
σρ
σ ρ
∂ + ∇ = ∇ + ∂
∂ + ∇ = ∇ + ∂
∇ = ∇ +
∇ = −
v v v
v v v
v v
32
La ecuación :
también puede escribirse en la forma :
OTRA NOTACIÓN
bt
D bDt
ρ σ ρ
ρ σ ρ
∂ + ∇ = ∇ + ∂
= ∇ +
v v v
v
33
( )
( )
2
212
Y multiplicando escalarmente por ,
y usando : 1 2
= :
se obtiene :
:
Esta ecuación se usa al analizar la energía
D bDt
D DDt Dt
D bDt
ρ σ ρ
σ σ σ
ρ σ ρ σ
= ∇ +
=
∇ ∇ − ∇
= ∇ + − ∇
vv
v vv
v v v
v v v v
Ecuación de Balance de
MOMENTO ANGULAR
34
Balance de momento angular
35
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
Momento angular: aB t
a
B t B t
a
B t B t
t x d x
d t x b d x x Td xdt
d t x b d x x nd xdt
ρ
ρ
ρ σ
∂
∂
≡ ×
= × + ×
= × + × ⋅
∫
∫ ∫
∫ ∫
M
M
M
v
36
( ) ( )( ) ( )
La ecuación de balance angular :
se satiface para todo cuerpo del sistema continuo, si y sólo si,
Es decir :
a
B t B t
T
d t x b d x x nd xdt
ρ σ
σ σ
∂
= × + × ⋅
=
∫ ∫M
= ij jiσ σ
ENERGÍA
37
CONCEPTOS BÁSICOS
38
Los cuerpos contienen energía en varias formas. Ellas son energía cinética (también llamada energía mecánica) y energía interna. Cuando el estado de los cuerpos evoluciona, como cuandoestán en movimiento, hay intercambio de estas dos formas de la energía, transformándose una en la otra. Además, ambas formas de energía constituyen propiedades extensivas. A su suma se le llama energía total.
LAS DIVERSAS CLASES DE ENERGÍA
39
( )( )
( )( )
( ) ( ) ( )
212
La energía cinética, la energía interna y la energía total se definen respec
tivamente por:
KB t
IB t
K I
t d x
t Ud x
t t t
ρ
ρ
≡
≡
≡ +
∫
∫
E v
E
E E E
BALANCE DE ENERGÍA
CINÉTICA
40
41
“RAPIDEZ DE CAMBIO”
DE
PROPIEDADES EXTENSIVAS
OBSERVACIÓN
42
( )
La ‘‘ ’’ (es decir, la derivada con respecto al tiempo) de una propiedadextensiva, es a su vez otra propiedad extensivacuya propiedad intensiva asociada es :
O,
rapidez de cambio
tψ ψ∂
+∇∂
v
lo que es lo mismo :
DDtψ ψ+ ∇v
DEBIDO A UN RESULTADO MATEMÁTICO
43
( ) ( )( )
( ) ( )( )
La ‘‘ ’’ (es decir, la derivada con respecto al tiempo) de una propiedadextensiva,
,
Está dada por
B t
B t
rapidez de cambio
E t x t d x
dE t d xdt t
ψ
ψ ψ
=
∂ = +∇ ∂
∫
∫ v
NOTACIÓN
44
( )
( ) ( )
( )
La ‘‘ ’’ de una propiedad extensiva , denotará por y la propiedad intensiva asociada por . Por lo mismo :
También :
rapidez de cambioE DE
DE
DE t
DDE Dt
ψψψ ψ
ψψ ψ
∂≡ +∇
∂
≡ + ∇
v
v
PROPIEDAD INTENSIVA ASOCIADA A
LA RAPIDEZ DE CAMBIO DE LA
ENERGÍA CINÉTICA
45
( )
( ) ( )212 21
2
La energía cinética, es decir , es una propiedad extensiva y su derivada , también lo es. La propiedad intensiva
, asociada a , es:
=
K
K
KK
K
EDE
DEDE
DDE
Dt
ψ
ρψ ρ+ ∇
vv v
46
( )
( ) ( )
( )
212 21
2
LA PROPIEDAD EN TÉRMINOS DEL TENSOR DE ESFUERZOS
Partiendo de
Utilizando la conservación de masa, se tiene que:
=
K
K
K
DE
DDE
Dt
DDEDt
ψ
ρψ ρ
ψ ρ
= + ∇
vv v
vv ( ) ( ) :b bσ ρ σρ σ∇ += = +∇ − ∆
vv v v
47
LA RAPIDEZ DE CAMBIO DE LA ENERGÍA
CINÉTICA
EN TÉRMINOS DEL TRABAJO
48
( ) { }( )
( )( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )
:
Aplicando el Teorema de Gauss:
Luego
:
Es
decir
K
B t B t
B t B t B t
K
B t B t B t
K
d t b d x d xdt
d x nd x Td x
d t b d x Td x d xdt
d t Wdt
σρ σ
σ σ
ρ σ
∂ ∂
∂
≡ − ∆ + ∇
∇ = =
≡ + − ∆
≡
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
E vv v
v v v
E v v v
E( )
( )
( )( ) ( )
:
Donde es el trabajo dado por las fuerzas que actúan en el cuerpo:
B t
B t B t
d xt
W
W b d x Td xt
σ
ρ∂
− ∆
≡ +
∫
∫ ∫
v
v v
POSTULADO PARA EL
BALANCE DE ENERGÍA CINÉTICA
49
( ) ( )( )
KKI
B t
dE t W g d xtdt≡ + ∫
50
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )
Pero,
:
Luego
:
Es decir : :
KKI
B t
K
B t
KI
B t B t
KI
dE t W g d xtdt
dE t W d xtdt
g d x d x
g
σ
σ
σ
≡ +
≡ − ∆
= − ∆
= − ∆
∫
∫
∫ ∫
v
v
v
“EQUIVALENTE MECÁNICO DEL CALOR”
51
( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )( )
( )
BALANCE DE ENERGÍA INTERNA
+
=
Usa
IB t
I IIK K
B t B t B t
IK
E t Ud x
dE t h g d x q nd x h q g d xdt
U Uh q g U Ut t
ρ
ρ ρ
ρρ ρ ρ
∂
≡
= + = +∇ +
∂ ∂ +∇ + +∇ = + ∇ ∂ ∂
∫
∫ ∫ ∫
v v
ndo
=0 que implica :
Se obtiene
:
I K IK I Kg g g
DU h qDt
σ
ρ ρ σ
+ = ∇
= +∇ + ∇
v
v
52
( )( )
( ) ( )
BALANCE DE ENERGÍA TOTAL
Por lo mismo
K I
B t
E E E
dE W h q d xdt
b h qDE
ρ
σψ ρ ρ
= +
= + +∇
= +∇ + +∇
∫
vv
53
RESUMEN
54
( )MASA 0
MOMENTO LINEAL
MOMENTO ANGULAR
T
t
D bDt
ρρ
ρ σ ρ
σ σ
∂+∇ =
∂
= ∇ +
=
v
v
55
( ) ( )2
ENERGÍA
ENERGÍA CINÉTICA
1 :2
ENERGÍA INTERNA
:
ENERGÍA TOTAL
D b bDt
DU h qDt
σ ρ σρ ρ σ
ρ ρ σ
∇ += = +∇ − ∆
= +∇ + ∇
v vv v v
v
( ) ( )2
12
EQUIVALENTE MECÁNICO DEL CALOR
:KI
D DU b b h qDt Dt
g
σ ρ σρ ρ ρ ρ
σ
∇ ++ = = +∇ + +∇
= − ∇
v vv v
v
CONCEPTOS BÁSICOS
DE
TERMODINÁMICA
56
57
CONCEPTOS BÁSICOS DE TERMODINÁMICA 1
1 1 :
Caso en que la matriz de esfuerzos es presión pura, o estado isotrópico
de esfuerzos:
DU q hDt
σρ ρ
= ∇ + + ∇ v
:
Estado isotrópico de esfuerzos implica
ij ij
i i iij ij
j j i
p
p
p p px x x
σ
σ δ
σ σ δ
= − Ι
= −
∂ ∂ ∂∇ = = − = − = − ∇
∂ ∂ ∂
v v vv v
1 DU pq hDt ρ ρ
= ∇ + − ∇ v
58
2
1
CONCEPTOS BÁSICOS DE TERODINÁMICA 2
1Conservación de masa implica =
1
El volumen específico es: . Así:
1
DDt
DU p Dq hDt Dt
V
DU Dq h pDt
ρρ
ρρ ρ
ρ
ρ
−
∇ −
= ∇ + +
≡
= ∇ + −
v
Cuando es adiabático: 0: y 0. Así:
0
VDt
q h
DU DVpDt Dt
= =
+ =
59
( ) ( )
1
1
MODELO PARA EL TRANSPORTE DE CALOR
1
Procesos isobáricos: , . Ecuación para la tempertura.
Ejemplo:
DU Dp q hDt Dt
T U T
nRTp
ρρ
ρ
ρ
−
−
+ − ∇ =
=
1 c
c and T
p
p H
T T q ht
dU nR q kdT
ρ∂ + ∇ − ∇ = ∂
≡ + = ∇
v
60
( )
( )
MODELO PARA EL TRANSPORTE DE CALOR 2
c T
Casos particulares:
c T
c
p H
p H
Hp
T T k ht
T T k ht
T hT k Tt
ρ ρ
ρ ρ
∂ + ∇ −∇ ∇ = ∂
∂ + ∇ −∇ ∇ = ∂
∂+ ∇ − ∆ =
∂
v
v
v
cH
p
T hk Tt
∂− ∆ =
∂