lección 5. integrales mÚltiples

Matematicas III (GIC y GITI, curso 2015–2016)

Leccion 5. INTEGRALES MULTIPLES

1. INTEGRALES DOBLES

Las integrales dobles y triples — integrales de funciones de dos o tres variables— son una generali-zacion natural de las integrales de funciones de una variable. La idea subyacente es la misma: dadauna funcion definida sobre un cierto conjunto, primero partimos este conjunto en trozos pequenos;luego tomamos un valor representativo de la funcion en cada uno de los trozos y hallamos la sumaponderada de dichos valores, o sea, la suma de dichos valores multiplicados por la medida del trozocorrespondiente (su longitud en el caso de una variable, su area en el caso de dos y su volumen enel caso de tres); finalmente, hallamos el valor lımite de esas sumas ponderadas cuando los trozos dela particion se hacen arbitrariamente pequenos. Un ejemplo es el calculo de un volumen medianteun proceso de paso al lımite en el que en cada etapa se calculan volumenes de figuras elementales.En esta leccion definiremos las integrales multiples y estudiaremos las tecnicas para calcularlas: sureduccion al calculo de varias integrales de una variable y los cambios de variables.

Integral doble. Sea R = [a, b]× [c, d] un rectangulo en R2 y sea f : R → R una funcion continua.Dividiendo el intervalo [a, b] enm subintervalos iguales y el intervalo [c, d] en n subintervalos iguales,generamos una particion P de R en m · n subrectangulos Rij (i = 1, 2, . . . ,m; j = 1, 2, . . . , n).

Solido limitado por z = f(x, y) sobre R y suma de Riemann (m = 5, n = 9).

Ahora elegimos en cada subrectangulo Rij un punto representativo (xi, yj) y, denotando porarea(Rij) el area de Rij , formamos la suma de Riemann de f con respecto a P dada por

m∑i=1

n∑j=1

f(xi, yj)area(Rij).

Si f es positiva, el sumando f(xi, yj)area(Rij) es el volumen de un paralelepıpedo de base Rij yaltura zij = f(xi, yj), que corresponde a un punto de la superficie de ecuacion z = f(x, y). Asıque la suma de Riemann es una aproximacion al volumen limitado por dicha superficie sobre R yla idea es que cuanto mas afinemos la particion mas nos acercaremos a dicho volumen.

72

5. Integrales multiples 73

Usando la continuidad se prueba que existe un valor al que tienden las sumas de Riemann cuandoel tamano de los subrectangulos tiende a cero. Este valor es la integral doble de f sobre R y sedenota ∫∫

R

f(x, y) dA = lımm,n→∞

m∑i=1

n∑j=1

f(xi, yi)area(Rij).

(“dA” se lee “diferencial de area”.)

Sumas de Riemann para diferentes particiones.

Cuando f es positiva, la integral doble de f sobre R es, como nos indica la intuicion geometrica, elvolumen del solido limitado por la superficie de ecuacion z = f(x, y) sobre el rectangulo R. Cuandof es la funcion constante e igual a 1 entonces todas las sumas de Riemann y, en consecuencia, laintegral son iguales al area del rectangulo R.

Integrales iteradas. Como ocurre con las integrales de una variable, aplicar la definicion paracalcular una integral doble suele ser imposible. Allı se usa la regla de Barrow, aquı la reduccion deuna integral doble a dos integrales de una variable, o sea, dos aplicaciones de la regla de Barrow.

Sea f : R → R una funcion continua en el rectangulo R = [a, b]×[c, d]. Para cada x ∈ [a, b] podemosconsiderar la funcion de la variable y que se obtiene manteniendo la x constante e integrar dicha

funcion en [c, d], es decir,∫ d

cf(x, y) dy, que se llama integral parcial con respecto a y.

Integrales parciales.

Naturalmente, esta integral depende del valor de x que hayamos fijado, lo cual nos define la funcion

g : [a, b] → R de la variable x dada por g(x) =∫ d

cf(x, y) dy. Puede probarse que g es continua, lo

que nos permite considerar su integral∫ b

a

g(x) dx =

∫ b

a

[∫ d

c

f(x, y) dy

]dx,

llamada integral iterada, primero con respecto a y, despues con respecto a x, de f en R.

74 Matematicas III (GIC y GITI, 2015–2016)

Si hallamos primero la integral parcial con respecto a x, h(y) =∫ b

af(x, y) dx, y luego integramos h

con respecto a y obtenemos la integral iterada, primero con respecto a x, despues con respecto a y.∫ d

c

h(y) dy =

∫ d

c

[∫ b

a

f(x, y) dx

]dy.

Estas formulas coinciden con la formula de calculo de un volumen por secciones paralelas quevimos en ”Matematicas II”, ası que ambas deben dar como resultado el volumen; lo que nos da elsiguiente resultado.

Teorema de Fubini para regiones rectangulares. Sea f : R → R una funcion continua en elrectangulo R = [a, b]× [c, d]. Entonces las dos integrales iteradas de f en R coinciden y son igualesa la integral doble de f en R:∫∫

R

f(x, y) dA =

∫ d

c

[∫ b

a

f(x, y) dx

]dy =

∫ b

a

[∫ d

c

f(x, y) dy

]dx.

Debido a esto, la integral doble∫∫

Rf(x, y) dA se representa tambien como

∫∫Rf(x, y) dx dy.

Integrales dobles sobre regiones no rectangulares. Supongamos que tenemos una superficiede ecuacion z = f(x, y) donde f : D ⊂ R2 → R es una funcion continua y positiva cuyo dominioD es un subconjunto acotado de R2 que no es un rectangulo. ¿Como calculamos el volumen delrecinto limitado por la superficie sobre D mediante una integral doble? Una idea serıa construir unrectangulo R de manera que D este contenido en R, extender la funcion f definiendo f(x, y) iguala cero en los puntos de R que no estan en D y calcular la integral doble de f en R. El problemaes que f no tiene por que ser continua en R; pudiera tener un salto, la pared del recinto, sobre lafrontera del dominio D. Existe una teorıa que permite construir la integral general en este caso,pero es demasiado compeja para esta asignatura. Lo que haremos es presentar un procedimientomas restringido, basado en la conclusion del teorema de Fubini sobre la igualdad de las integralesiteradas, que nos permitira definir la integral doble al menos en los dominios no rectangulares mastıpicos que aparecen en la practica (triangulos, cırculos, elipses, etc.).

Consideremos un intervalo [a, b] ⊂ R y dos funciones continuas c : [a, b] → R y d : [a, b] → R talesque c(x) ≤ d(x) para todo x ∈ [a, b]. Sea D la region limitada entre las graficas de estas funciones:

D = {(x, y) : x ∈ [a, b], c(x) ≤ y ≤ d(x)} ⊂ R2.

Diremos que este conjunto D es una region X-proyectable.

Region que es, a la vez, X-proyectable e Y -proyectable.


Ahora sea f : D → R una funcion continua. Definimos la integral doble de f sobre D como∫∫D

f(x, y) dA :=

∫ b

a

[∫ d(x)

c(x)

f(x, y) dy

]dx.

Analogamente, se dice que una region D es una region Y -proyectable cuando puede escribirse como

D = {(x, y) : y ∈ [c, d], a(y) ≤ x ≤ b(y)} ⊂ R2

para dos funciones continuas a, b : [c, d] → R tales que a(y) ≤ b(y) en [c, d]. Si f : D → R es unafuncion continua, entonces definimos la integral doble de f sobre D como∫∫

D

f(x, y) dA :=

∫ d

c

[∫ b(y)

a(y)

f(x, y) dx

]dy.

Teorema de Fubini para regiones generales. Si D es X-proyectable e Y -proyectable al mismotiempo, entonces las integrales previamente definidas coinciden.

Aplicaciones geometricas. La construccion hecha nos dice que si f es una funcion positiva,entonces el volumen del solido V limitado inferiormente por una region D del plano XOY ysuperiormente por la superficie de ecuacion z = f(x, y), o sea,

V ={(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ D, 0 ≤ z ≤ f(x, y)

}viene dado por la integral doble de f sobre D

vol(V ) =

∫∫D

f(x, y) dA.

En este caso, la aplicacion del Teorema de Fubini es, como puedes comprobar, la formula del calculode volumenes por secciones paralelas que vimos en “Matematicas II”.

El solido V .

En particular, si f es la funcion constante e igual a 1, entonces

area(D) =

∫∫D

dA

lo que nos permite expresar el area de un recinto plano como una integral doble.

Habitualmente, los dominios que encontraremos, y a los que nos restringiremos en lo que sigue,seran de alguno de los dos tipos anteriores o una union finita de ellos, en cuyo caso definimos laintegral de f sobre D como la suma de las integrales sobre cada uno de los trozos.

Las propiedades conocidas de la integracion de funciones de una variable (linealidad, monotonıa,aditividad sobre el recinto de integracion, relacion entre la integral de una funcion y la de su valorabsoluto, etc.) pasan a las integrales dobles practicamente sin cambios.


Propiedades de la integral doble. Sean f y g dos funciones continuas en un conjunto acotadoD ⊂ R2. La integracion verifica las siguientes propiedades:

(1) Linealidad: Dados α, β ∈ R, se tiene∫∫D

(αf(x, y) + βg(x, y)) dA = α

∫∫D

f(x, y) dA+ β

∫∫D

g(x, y) dA.

(2) Aditividad con respecto al recinto de integracion: Si expresamos D = D1 ∪D2 donde D1

y D2 no se solapan, entonces∫∫D

f(x, y) dA =

∫∫D1

f(x, y) dA+

∫∫D2

f(x, y) dA.

(3) Monotonıa: Si f(x, y) ≤ g(x, y) en D, entonces

∫∫D

f(x, y) dA ≤∫∫

D

g(x, y) dA.

(4) Desigualdad del valor absoluto:

∣∣∣∣∫∫D

f(x, y) dA

∣∣∣∣ ≤ ∫∫D

|f(x, y)| dA.

(5) El valor de la integral no cambia si se modifica f en un conjunto de area cero (como unpunto o un segmento).

EJERCICIOS DE LA SECCION 1

Ejercicio 1. Usa una integral doble para calcular el volumen de los siguientes solidos.

(1) El solido limitado superiormente por el plano z = 4−x−y e inferiormente por el rectanguloR = [0, 1]× [0, 2].

(2) La cupula limitada superiormente por el paraboloide x2 + y2 + z = 9 e inferiormente porel cuadrado R = [−1, 1]× [−1, 1].

(3) El prisma limitado por los vertices (0, 0, 0), (0, 2, 0), (3, 0, 0), (3, 2, 0), (0, 0, 6), (0, 2, 4),(3, 0, 12) y (3, 2, 10).

Ejercicio 2. Calcula las integrales dobles de las siguientes funciones sobre los rectangulos dados.

(1) f(x, y) = xy + x en R = [1, 2]× [0, 3].(2) f(x, y) = cos(x+ y) en R = [0, π/2]× [0, π/2].(3) f(x, y) = x2y + xey en R = [1, 3]× [−1, 1].(4) f(x, y) = x2 + y2 + xy − 3x en R = [1, 2]× [1, 2].

Ejercicio 3. Calcula las integrales dobles de las siguientes funciones sobre los recintos dados.

(1) f(x, y) = y + x en el triangulo limitado por las rectas y = 0, y = 2x y x = 1.(2) f(x, y) = y en la region limitada por las curvas y =

√x, y = 0 e y = 2− x.

(3) f(x, y) = 2xy en la region limitada por las curvas y = x2 e y = x3.(4) f(x, y) = x− y en el triangulo de vertices (0, 0), (1, 1) y (2, 0).

Ejercicio 4. En los siguientes casos, dibuja la regon sobre la que se esta integrando y aplica elteorema de Fubini para escribir las integrales intercambiando el orden en el que se integran lasvariables.∫ 1

0

[∫ 1

x

f(x, y) dy

]dx,

∫ 1

−1

[∫ 2x2

2x+2

f(x, y) dy

]dx,

∫ 2

0

[∫ 2√2x

x2

f(x, y) dy

]dx,

∫ 1

0

[∫ 2y+1

0

f(x, y) dx

]dy,

∫ 4

1

[∫ y+2

√y

f(x, y) dx

]dy,

∫ 2

1

[∫ ey

log(y)

f(x, y) dx

]dy.


Ejercicio 5. Aplica el Teorema de Fubini para, intercambiando el orden de integracion, calcularlas siguientes integrales:∫ 1

0

[∫ 1

x

ey2

dy

]dx,

∫ 1

0

[∫ πy/2

arc sen(y)

x dx

]dy,

∫ 1

0

[∫ 1

y2

√x sen(x) dx

]dy.

2. CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES DOBLES

Para calcular integrales dobles existe, ademas del teorema de Fubini, otra herramienta fundamentalque es la tecnica del cambio de variables. Recordemos que para funciones de una variable, sitenemos una funcion continua f : [a, b] → R y hacemos un cambio de variable mediante una funcionx = x(t) con derivada no nula, entonces se verifica la siguiente formula∫ b

a

f(x) dx =

∫ β

α

f(x(t)) |x′(t)| dt

siendo [α, β] el intervalo donde se mueve la t. La condicion de derivada no nula garantiza que x(t)transforma [α, β] de manera inyectiva en [a, b], el intervalo en el que se mueve la x; es decir, paracada valor de x ∈ [a, b] hay un unico valor t ∈ [α, β] tal que x(t) = x. En dos variables, la formulade cambio de variables establece una igualdad similar donde el papel de |x′(t)| lo representa eldeterminante jacobiano del cambio de variables.

Interpretacion geometrica del determinante jacobiano. Hemos visto que si x = x(u, v) ey = y(u, v) es un cambio de variables de clase C1, entonces el determinante de la matriz jacobiana

det

(∂(x, y)

∂(u, v)

)=

∣∣∣∣∣∣∣∂x

∂u

∂x

∂v∂y

∂u

∂y

∂v

∣∣∣∣∣∣∣ =∂x

∂u

∂y

∂v− ∂x

∂v

∂y

∂u

actua como factor de dilatacion de las areas a pequena escala, en el sentido de que si R es la imagenen el plano de las variables (x, y) de un rectangulo S del plano de las variables (u, v) que tiene

lados ∆u y ∆v muy pequenos, entonces area(R) ≈∣∣∣∣det(∂(x, y)

∂(u, v)

)∣∣∣∣ area(S).

Para S muy pequeno, area(R) ≈∣∣∣∣det(∂(x, y)

∂(u, v)

)∣∣∣∣ · area(S) .

Teorema del cambio de variable para integrales dobles. Sea (x, y) =(x(u, v), y(u, v)

)un

cambio de variables que transforma una region S del plano de las variables (u, v) en la region R delplano de las variables (x, y) de manera inyectiva (o sea, para cada punto (x, y) ∈ R hay un unico


punto (u, v) ∈ S que se transforma en el). Supongamos que el cambio de variables es de clase C1

y su determinante jacobiano det

(∂(x, y)

∂(u, v)

)solo se anula en un conjunto de area cero. Si f es una

funcion continua en R, entonces∫∫R

f(x, y) dx dy =

∫∫S

f(x(u, v), y(u, v)

)·∣∣∣∣det(∂(x, y)

∂(u, v)

)∣∣∣∣ du dv,donde hemos escrito “dx dy” y “du dv” en vez de “dA” para hacer enfasis en cuales son las variablesde integracion en cada integral.

Los cambios de variables permitiran, en general, simplificar o bien la funcion integrando o bien elrecinto de integracion. Recordemos los cambios de variables mas importantes en R2 indicando aque tipo de recintos de integracion estan asociados.

(1) Cambios lineales: Dada una matriz A invertible, el cambio de variables

(xy

)= A

(uv

)tiene determinante jacobiano igual a det(A). Los cambios lineales de variables son apropiadospara pasar de integrar en un paralelogramo (o en un triangulo) a integrar en un rectangulo conlados paralelos a los ejes coordenados (o en un triangulo rectangulo con catetos paralelos a los ejescoordenados).

(2) Coordenadas polares: El cambio a coordenadas polares, x = r cos(θ), y = r sen(θ), tienedeterminante jacobiano igual a r. Es apropiado para pasar de integrar en un cırculo, un anillo oun sector circular, a integrar en un rectangulo. Si el cırculo sobre el que hay que integrar tienecentro (a, b) se pueden considerar las coordenadas polares que tienen como polo el punto (a, b), esdecir, x = a+ r cos(θ), y = b+ r sen(θ).

En “Matematicas II” se vio que si r : [α, β] → R, es una funcion continua y no negativa, entoncesel area de la region limitada por la curva r = r(θ) y las semirrectas de ecuaciones θ = α y θ = β

viene dada por 12

∫ β

α

[r(θ)

]2dθ, lo que puede deducirse del teorema del cambio de variables.

(3) Coordenadas elıpticas: La parametrizacion habitual de la elipsex2

a2+y2

b2= 1 puede utilizarse

para pasar de integrar en la region limitada por dicha elipse a integrar en un rectangulo sin masque considerar el cambio de variables x = ar cos(t), y = br sen(t) con 0 ≤ t ≤ 2π y 0 ≤ r ≤ 1, quetiene determinante jacobiano igual al producto a b r.


Ejercicio 1. Calcula el area del paralelogramo cuyos vertices son los puntos (0, 0), (1, 2), (2, 1) y(3, 3) aplicando el teorema del cambio de variables.

Ejercicio 2. Sea R el paralelogramo de vertices (0, 0), (−1, 3), (2, 1) y (1, 4). Halla∫∫

Rxy dx dy.

Ejercicio 3. Sea R la region limitada por las rectas y = 2x, y = 2x − 2, y = x e y = x + 1.Calcula

∫∫Rxy dx dy.

Ejercicio 4. Dado el triangulo R de vertices (0, 0), (2, 3) y (1,−2), halla∫∫

R3xyex dx dy.

Ejercicio 5. Calcula las siguientes integrales sobre el disco unidad D:∫∫D

x2 dx dy,

∫∫D

(x+ y) dx dy,

∫∫D

(x2 + y2) dx dy.


Ejercicio 6. Sea D el cırculo de centro (0, 2) y radio 2. Calcula∫∫

D(x2 + y) dx dy.

Ejercicio 7. Halla el area de las siguientes regiones usando un cambio de variables adecuado.

(1) Una elipse.(2) La region limitada por x2 − y2 = 1, y2 − x2 = 1, x+ y = 1 y x+ y = 2.(3) La region comprendida entre las dos ramas de la hiperbola x2 − y2 = 1, el eje OX y la

recta horizontal y = a.

Ejercicio 8. Haciendo un cambio de variable adecuado, calcula

∫∫S

xy(x2 + y2) dx dy, siendo S

la region limitada en el cuadrante positivo por las circunferencias x2 + y2 = 2, x2 + y2 = 4 y lashiperbolas x2 − y2 = 1, x2 − y2 = 2.

Ejercicio 9. Considera la region plana D dada por

D ={(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x+ y ≤ 2, y ≤ x, x2 − y2 ≤ 1

}y el cambio de variables u = x2 − y2, v = x+ y.

(1) Dibuja la region D.(2) Sea E la region del plano de las variables u y v en la que se transforma D mediante el

cambio de variables. Describe y dibuja la region E.(3) Calcula el determinante jacobiano del cambio de variables y el del cambio inverso.(4) Calcula el area de la region D.(5) ¿Cual es el punto (x0, y0) que se transforma en el punto (u0, v0) = (1, 1) mediante el cambio

de variables dado? Prueba que en un entorno del punto (u0, v0), el cambio de variables esinvertible y permite obtener las variables x e y como funciones x = x(u, v) e y = y(u, v) delas variables u y v.

(6) Halla el polinomio de Taylor de grado 2 de la funcion x = x(u, v) alrededor de (u0, v0).

Ejercicio 10. Halla el area de la region D del primer cuadrante encerrada por las curvas

y2 − x2 = 1, x2 − y2 = 1, x+ y = 2, x+ y = 4.

Ejercicio 11. Tomamos un vaso cilındrico de radio r y altura h lleno de agua y empezamos abeber hasta que vemos que la lınea del fondo coincide con el diametro del cırculo, ¿A que alturadel vaso quedara el agua restante cuando lo pongamos vertical?


Ejercicio 12. Veamos dos formas de probar que I =

∫ ∞

0

e−x2

dx =√π/2. En primer lugar,

aplica el teorema de Fubini para probar la igualdad

I2 =

∫ ∞

0

∫ ∞

0

e−(x2+y2) dx dy,

Ahora, puedes proceder de dos maneras:

(1) Utiliza el cambio a coordenadas polares en la integral doble.(2) Usa el cambio de variables x = u, y = uv en la integral doble.

3. INTEGRALES TRIPLES

Integrales triples sobre paralelepıpedos. Sea U = [x1, x2]×[y1, y2]×[z1, z2] un paralelepıpedoen R3 y f una funcion continua en U . La integral triple de f en U , que se denota indistintamente∫∫∫

U

f(x, y, z) dx dy dz o bien

∫∫∫U

f(x, y, z) dV

(donde “dV ” se lee “diferencial de volumen”), se define de manera analoga a las integrales doblessobre rectangulos: Partiendo cada intervalo [x1, x2], [y1, y2], [z1, z2] en subintervalos generamos unaparticion de U formada por sub-paralelepıpedos Uk. En cada uno de los Uk tomamos un punto(xk, yk, zk) y formamos la suma de Riemann de f correspondiente a esta particion∑

k

f(xk, yk, zk)vol(Uk).

La integral triple∫∫∫

Uf(x, y, z) dV es, entonces, el lımite de las sumas de Riemann cuando el

tamano de estos sub-paralelepıpedos tiende a cero.

La manera practica de calcular la integral triple de f en U es ir calculando integrales parcialescon respecto a una variable cada vez. Segun el orden en el que vayamos realizando las integralesparciales podemos obtener seis integrales iteradas. Por ejemplo, lo habitual suele ser integrarparcialmente primero con respecto a z, despues con respecto a y y, finalmente, con respecto a x:∫ x2

x1

[∫ y2

y1

[∫ z2

z1

f(x, y, z) dz

]dy

]dx.

El resultado crucial es que, como en el caso de las integrales dobles, cualquiera que sea el orden enque se hagan las integrales parciales, el valor que se obtiene es la integral triple de f en U .

Teorema de Fubini para un paralelepıpedo. Si U es un paralelepıpedo en R3 entonces todaslas integrales iteradas de una funcion f continua en U coinciden con el valor de la integral triplede f en U . En particular, por ejemplo,∫∫∫

U

f(x, y, z) dV =

∫ x2

x1

[∫ y2

y1

[∫ z2

z1

f(x, y, z) dz

]dy

]dx,


Integrales triples sobre regiones proyectables. De forma analoga a lo hecho para integralesdobles, los solidos que pueden describirse como

U ={(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ D ⊂ R2, z1(x, y) ≤ z ≤ z2(x, y)

}para cierto recinto D ⊂ R2 y ciertas funciones continuas z1, z2 : D ⊂ R2 → R, se denominanXY -proyectables. Ahora, si f : U ⊂ R3 → R es una funcion continua, se define la integral de fsobre U como ∫∫∫

U

f(x, y, z) dV :=

∫∫D

[∫ z2(x,y)

z1(x,y)

f(x, y, z) dz

]dA.

Solido XY -proyectable.

Si, ademas, D es X-proyectable en el plano, entonces podemos calcular esta integral triple comotres integrales iteradas, o sea,∫∫∫

U

f(x, y, z) dV =

∫ x2

x1

[∫ y2(x)

y1(x)

[∫ z2(x,y)

z1(x,y)

f(x, y, z) dz

]dy

]dx,

y obtendrıamos una formula similar si D fuera Y -proyectable.

Esta definicion se traslada de forma totalmente analoga a solidos Y Z-proyectables o XZ-proyecta-bles. El teorema de Fubini nos dice que para un solido U que sea de los tres tipos a la vez, las seisposibles integrales iteradas son todas iguales a la integral triple de f en U . En particular, al igualque un area plana puede obtenerse como una integral doble, un volumen puede obtenerse comouna integral triple. Si tenemos un solido U en R3, su volumen es la integral vol(U) =

∫∫∫UdV.

Las propiedades de linealidad, monotonıa, aditividad y valor absoluto vistas para integrales doblestambien son validas para integrales triples.

Teorema del cambio de variable para integrales triples. Supongamos que el cambio de va-riables (x, y, z) =

(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)

)transforma una region U del espacio de las varia-

bles (u, v, w) en la region V del espacio de las variables (x, y, z) de manera inyectiva. Supongamos,

ademas, que el cambio de variables es de clase C1 y su determinante jacobiano det

(∂(x, y, z)

∂(u, v, w)

)solo se anula en un conjunto de volumen cero. Si f : V → R es una funcion continua, entonces∫∫∫

V

f(x, y, z) dx dy dz =

∫∫∫U

f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)

)·∣∣∣∣det( ∂(x, y, z)

∂(u, v, w)

)∣∣∣∣ du dv dw.


Recordemos los cambios de tres variables mas habituales, ya vistos en la Leccion 4.

(1) Lineales: Dada una matriz invertible A de orden 3, el cambio de variables

xyz

= A

uvw

tiene determinante jacobiano igual a det(A). Los cambios lineales son apropiados en recintoslimitados por planos paralelos dos a dos.

(2) Coordenadas cilındricas: El cambio a coordenadas cilındricas (r, θ, z),

x = r cos(θ), y = r sen(θ), z = z,

tiene determinante jacobiano igual a r y es util para integrar en solidos de revolucion.

(3) Coordenadas esfericas: El cambio a coordenadas esfericas (ρ, θ, ϕ),

x = ρ cos(θ) sen(ϕ), y = ρ sen(θ) sen(ϕ), z = ρ cos(ϕ),

tiene determinante jacobiano igual a −ρ2 sen(ϕ) y resulta apropiado cuando integramos en solidosque tienen simetrıa esferica.


Ejercicio 1. Calcula las integrales triples de estas funciones sobre los paralelepıpedos dados:

(1) f(x, y, z) = x+ y + z en U = [−1, 2]× [0, 2]× [1, 2].(2) f(x, y, z) = xy + 2z en U = [0, 1]× [1, 3]× [−1, 2].(3) f(x, y, z) = x2z en U = [1, 4]× [−2, 2]× [0, 3].

Ejercicio 2. Utiliza una integral triple para hallar el volumen del tetraedro limitado por los planoscoordenados y el plano x+ 2y + 3z = 6.

Ejercicio 3. Halla el volumen del solido del octante positivo interior a z = x2 + y2 con z ≤ 2.

Ejercicio 4. Sea V la peonza limitada inferiormente por el cono z2 = x2 + y2 y superiormentepor la esfera x2 + y2 + z2 = 9 (como en la figura de la p. 81). Calcula su volumen.

Ejercicio 5. Sea V el solido limitado superiormente por el elipsoide x2 + 4y2 + z2 = 9 e inferior-mente por el paraboloide z = x2 + 4y2 − 3. Calcula

∫∫∫Vz dx dy dz.

Ejercicio 6. Sea V el solido dado por V ={(x, y, z) : x2 + y2 + z2 ≤ 4, x2 + y2 ≤ 1, z ≥ |y|

}(se

parece a la punta de un destornillador). Calcula el volumen de V .

Ejercicio 7. Utiliza las propiedades de las integrales triples para deducir las formulas de losvolumenes de cuerpos de revolucion vistas en “Matematicas II”.

Ejercicio 8. Sea U el solido limitado de la siguiente manera: por debajo, por el cono 4x2+4y2 = z2

(z ≥ 0) y, por encima, por la esfera x2 + y2 + z2 = 2z. Calcula la integral∫∫∫

U(1 + x) dx dy dz.

Ejercicio 9. Sea V el solido definido por las desigualdades 1 ≤ x + y + z ≤ 2, 0 ≤ x + y ≤ 2,0 ≤ x ≤ 1. Calcula

∫∫∫V(x+ y + z) dx dy dz.

Ejercicio 10. Halla el volumen del solido limitado lateralmente por el cilindro 2x2 + y2 = 25 ysuperior e inferiormente por la superficie esferica x2 + y2 + z2 = 25.


Ejercicio 11. Sea V el trozo de la esfera unidad interior al cono de ecuacion z2 = (x − 1)2 + y2

en el octante positivo. Calcula

∫∫∫V

√x2 + y2 dx dy dz.

Algunas notas historicas. Aunque el procedimiento de integrales iteradas fue usado por Gottfried W. Leibnizpara obtener el teorema de derivacion de integrales parametricas en 1697, fue Leonhard Euler quien dio la primeradefinicion de integral doble, en 1769, y su calculo mediante integrales iteradas, ası como el primer teorema del

cambio de variables. Las integrales sobre regiones no rectangulares se emplearon desde los comienzos del calculopero su formalizacion inicial se debio a Gustav Dirichlet en 1839. El desarrollo posterior de la teorıa de integralesmultiples descansa, esencialmente, en los trabajos de Joseph Louis Lagrange, Carl F. Gauss, Mijail Ostrogradski,Carl G. Jacobi y Henri Cartan en el siglo xix.

A comienzos del siglo xx se planteo el problema general de saber cuanto mide una region cualquiera en el plano,

un solido en el espacio tridimensional o, mas generalmente, un cuerpo en un espacio de dimension mayor. Lascontribuciones esenciales del matematico frances Henri Lebesgue a esta cuestion en 1902 dieron lugar a la potenteteorıa de integracion de Lebesgue que hoy se usa en matematica avanzada. El teorema de Fubini se llama ası enhonor del matematico italiano Guido Fubini que lo probo en 1907 en el marco de esta teorıa.

La integracion de Lebesgue se ha empleado para dar fundamentacion matematica rigurosa a la teorıa de la proba-bilidad y la estadıstica matematica, logro del matematico ruso Andrei Kolmogorov en 1933, a la mecanica cuantica,

sistematizada por el matematico hungaro Janos von Neumann en 1932, y a los metodos de calculo aplicados enlos problemas de transmisiones electricas por el ingeniero ingles Oliver Heaviside, que fueron justificados, indepen-dientemente, por el matematico ruso Serguei Sobolev, con su teorıa de las funciones generalizadas de 1936, y elmatematico frances Laurent Schwartz con su teorıa de las distribuciones de 1950.

BIBLIOGRAFIA

G.L. Bradley y K.J. Smith, Calculo, vol. 2, Capıtulo 13.

R.E. Larson, R.P. Hostetler y B.H. Edwards, Calculo, vol. 2, Capıtulo 13.

G.B. Thomas, Jr., Calculo, varias variables, Capıtulo 15.

Paginas web de interes:

http://www.wolframalpha.com

http://web.monroecc.edu/manila/webfiles/calcNSF/JavaCode/CalcPlot3D.htm

lección 5. integrales mÚltiples

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