Lebensversicherungsmathematik - ein ,,weniger ausgefallenes ais ausgefahrenes Gebiet"? *)

Georg Reichel (G6ttingen)

Vor fast dreiBig Jahren bezeichnete Helmut Kracke im Vorwort zu seiner ,,Lebens- versicherungstechnik" [1] die Lebensversicherungsmathematik als ein weniger aus- gefallenes als ausgefahrenes Gebiet. Uberblickt man die an deutschen Hochschulen gelehrte Versicherungsmathematik, so stellt man fest, dab sich hauptberufliche Lehr- kr~ifte fiberwiegend der Risikotheorie widmen, wiihrend die Lebensversicherungs- mathematik mehr ein Aufgabenfeld von in Lebensversicherungsunternehmen t~itigen Lehrbeauftragten ist. Auch hierin k6nnte man eine Best~itigung von Kracke's )kufSerung sehen. Bekanntlich vertritt der Verfasser dieser Anmerkungen eine andere Meinung. Sie soil durch einige wenige Beispiele untermauert werden. Dabei haben wir unsere Beispiele mit Bedacht im Grenzbereich zwischen Theorie und Praxis angesiedelt.

Be i sp ie l 1 - Das S t o r n o p r o b l e m

Es werde eine Bev61kerungsgruppe aus gleichgeschlechtlichen, gleichaltrigen Personen fiber eine gewisse Zeitspanne (etwa ein Jahr) hinweg betrachtet. Die Gruppe bestehe aus L0 Personen. Sind diese mit der Sterbewahrscheinlichkeit q behaftet, so m6gen in dieser Zeitspanne T1 Personen sterben und L~ = L 0 - Tl Personen fiberleben. Eine Wanderungsbewegung sei ausgeschlossen. Wir k6nnen diesen Verlauf wie folgt darstellen:

Lg

L1 Wir sehen uns nun einen Ausschnitt dieses Bev61kerungsteils an, n~imlich die bei uns Versicherten. Da jetzt Stornierungen zu berficksichtigen sind mfissen wir unsere Skizze vervollst~indigen:

*) Nach einem Vortrag auf der Tagung der Deutschen Gesellschaft ffir Versicherungsmathe- matik am 27. April 1984 in Titisee.

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Die Lebensversicherungspraktiker wissen, wie sie die Berticksichtigung von Storno- h~iufigkeiten innerhalb ihrer Rechnungsgrundlagen vermeiden: Sie legen fest, dab im Riickkaufsfall die Deckungsrfickstellung geleistet wird und machen dann Gebrauch yon der Theorie yon Cantelli . Wir wollen uns hier nicht mit der Ableitung dieser Theorie oder besser dieses Satzes der Versicherungsmathematik aufhalten. Sie ist in jedem Lehrbuch der Versicherungsmathematik zu finden (vgl. z.B. [2], S. 47). Wichtig ist ffir uns, dab sich durch die Anwendung dieses Satzes die Skizze wieder verein- facht zu

~ VT I

V L ~

An die Stelle der Sterbewahrscheinlichkeit q tritt also bei allen Berechnungen die Sterblichkeit q. Bis hierher ist mathematisch alles exakt und in Ordnung. Wird aber auf diesen Vorgang eingegangen, so h6rt und liest (vgl. z.B. [2] S. 47) man sinngem~iB die Formu- lierung ,,Mittels der Theorie von Cantelli kann die Stornoh~iufigkeit vergessen werden". Ist dies aber richtig? Sehen wir unsere Zeitspanne [0, 1] nochmals an und unterstellen wir - bislang war nichts dergleichen vorausgesetzt worden - , dab Stornierungen nur zur Zeit o vor- kommen:

[0, 1]

Werden immer mehr Vertr~ige storniert, strebt in der Grenze gar g gegen Eins, so muB gleichzeitig die Sterblichkeit Cl gegen Null streben, da Sterbef'~ille yon Vertragsin- habem nicht mehr beobachtet werden k6nnen: Also h~ingt die Rechnungssterblichkeit q tats~ichlich immer noch vom AusmaB des Stornos ab. Bedenken wi r , welchen Schwankungen heutzutage die Rfickk~iufe unterliegen, so sollte es doch wtinschens- weft sein, wenn man etwas fiber die hieraus resultierenden Schwankungen der Sterb- lichkeit q erfahren k6nnte. Hinzu kommt ja noch, dab wir gar nicht mit der Sterbewahrscheinlichkeit q unsere Pr~imien berechnen sondem mit der Wahrscheinlichkeit q und dab die Rfickver- gfitung in der Regel nicht mit der exakten Deckungsrfickstellung fibereinstimmt, da diese im Rfickkauf entweder durch Null ersetzt oder oftmals um einen Prozentsatz gekfirzt wird. Also wird die Theorie von Cantelli nicht exakt sondern nur n~iherungs- weise anwendbar. Nicht nur vor dem Hintergrund der (]berlegungen zu neuen Rfickkaufwertmodellen ist zu fragen: Wie gut sind diese Approximationen und wie weit sind sie vertretbar?

Be i sp i e l 2 - Das C h a r a k t e r p r o b l e m

Lebensversicherungen k6nnen bekanntlich entweder Todesfallcharakter oder Er- lebensfallcharakter haben. So hat eine Risikoversicherung Todesfallcharakter (dies gilt auch ffir die gemischte Versicherung), eine reine Altersrentenversicherung da-

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gegen Erlebensfallcharakter. Es gab vor einiger Zeit in dieser Zeitschrift eine ausge- dehnte Diskussion fiber den Charakter von Lebensversicherungen. Sie wurde gewis- sermaBen beendet durch die grundlegenden Betrachtungen von Hans Storck [3]. Hier wollen wir jedoch pragmatischer vorgehen. Wie wird der Charakter in der Praxis definiert?

Verfahrenl: Man legt Todesfallgrundlagen und Erlebensfallgrundlagen fest und berechnet die Beitrage mit beiden Grundlagen: Es sind die Grundlagen zu w~ihlen, die den h6heren Beitrag ergeben (vgl. [4], S. 57).

Verfahren2: Zur Feststellung des Erlebensfallcharakters . . . wird fiblicherweise untersucht, ob der Gesamtbetrag . . . mit wachsendem Eintrittsalter ab- nimmt. Entsprechende Berechnungen . . . sind jeweils fiir eine um ein Jahr erh6hte Altersverschiebung durchgeffihrt worden (v~l. [5], S. 129 u. 87).

Verfahren3: Wie Verfahren 2, jedoch mit einer Altersverschiebung von 5 Jahren (vgl. [61, S. 72).

Interessant sind in diesem Zusammenhang die Mischformen, d.h. Versicherungs- formen, die in einzelnen Jahren z.B. Todesfall-, in anderen Jahren Erlebensfallcharak- ter aufweisen. Bei der Versicherung einer Altersrente mit Anwartschaft auf Witwen- renten hat der eine Teil, die Altersrente, Erlebensfallcharakter, der andere Teil, die Witwenrente, Todesfallcharakter. So stellt sich die Frage, welches MaB an Witwen- rente noch mitversichert werden daft, wenn dadurch der Erlebensfallcharakter nicht hinf~illig werden soil. Die drei pragmatischen, aber zum Teil vom Bundesaufsichtsamt ffir das Versicherungswesen gestiitzten Verfahren fiihren nun zu bemerkenswert unter- schiedlichen Resultaten, die allerdings nicht vollst~indig miteinander vergleichbar sind, wenngleich die Leistungsunterschiede nicht bedeutend sind:

Verfahren Versicherungsform Alter zul~issige Witwenrente in % der Altersrente

1 Sofort beginnende x = 63 440% AR + Anwartschaft y = 58 aufWR in 1985

2 Sofort beginnende x = 63 100% AR + Anwartschaft auf WR

3 Aufgeschobene x = 60 185% AR + Anwartschaft x + n = 65 auf WR y = 55

Die festzustellenden Unterschiede zeigen deutlich, dab wir zu pragmatisch vorge- gangen sind. Nehmen wir an, wir wiirden die wahre maximale Witwenrente kennen, bei der sich der Obergang von Erlebensfallcharakter zu Todesfallcharakter vollzieht, so haben wi re s nach dem Verfahren 1 mit einer Versicherung zu tun, bei der die Priimie nicht mehr vonder Sterblichkeit abh~ingt. Zwischen Erlebensfallcharakter und Todesfallcharakter ist n~tmlich der reine Sparvorgang angesiedelt. Hfmgt die Pr~imie nicht mehr von den Sterbewahrscheinlichkeiten ab, kann auch kein Sterblichkeits-

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gewinn entstehen. Oder genauer: Die anf'~inglichen Sterblichkeitsgewinne werden ben6tigt um kfinftige Sterblichkeitsverluste auszugleichen, oder umgekehrt. Denken wir einen Schritt weiter. Es mehren sich die Versicherungsformen mit immer komplizierteren Leistungsversprechen. Man denke z.B. an Teilauszahlungstarife (viel- leicht noch mit Risikozuschl~igen mit Riickgew~ihr versehen). Bedienen wir uns weiter eines der pragmatischen Verfahren, so k6nnen wir uns leicht - ohne es zu merken - Charaktergrenzen n~ihem, was bedeutet, dab wir sinkende Sterblichkeitsgewinne zu erwarten haben und ohne da$ sich diese Tendenz z.B. in der l~lberschuBverteilung widerspiegelt. Sollte nicht im Zeitalter der Computer und variabler Tarife (wie immer dies zu verstehen ist) untersucht werden, wie eine lokale Festlegung der Rechnungsgrund- lagen (lokal: Jahr fiir Jahr) definiert werden kann, wie Versicherungen mit selbstver- st~indlich vorher festgelegtem Wechsel von Todes- und Erlebensfallgrundlagen tech- nisch verarbeitet werden k6nnen und welche Konsequenzen sich dann in der Rechnungslegung ergeben werden. Natiiflich ist eine solche Untersuchung nicht einfach und besonders ihre Verwirk- lichung in der Praxis unbequem. Sie h~itte aber den groBen Vorteil, dab die Rechnungsgrundlagen fiJr Versicherungen mit Todesfallcharakter und fiJr Versiche- rungen mit Erlebensfallcharakter nicht mehr so weit auseinander fallen miissen wie dies zur Zeit ist. Hierin liegt n~imlich der wahre Grund fiir das erstaunliche Ergebnis des Verfahrens 1. Folgt man diesem Gedanken, dfirften sich die Pr~imien fiir Misch- formen durch die lokale Festlegung der Sterblichkeitsgrundlagen vielleicht gar nicht so stark anheben, was zun~ichst beim ersten Anschein vermutet werden k6nnte.

Be i sp ie l 3 - Ein G l e i c h u n g s p r o b l e m

Zur Zeit scheinen sich Praktiker in Lebensversicherungsunternehmen mit versiche- rungstechnischen Verfahren zur Berechnung yon Beitr~gen und Deckungsrfickstel- lungen zu befassen, die allgemeinere Ans~tze bezfiglich Leistungen und Rechnungs- grundlagen erm6glichen. Sie basieren auf einem Verzicht der Bildung yon Kommuta- tionswerten. Die Verfahren gehen u.a. zurfick z.B. auf eine Arbeit yon Edgar Neuburger [7]. Dabei handelt es sich um eine j~hrliche Darstellung des )~quivalenzprinzips. Sei ffir t = 0 . . . . . n - I

qx+t die Sterblichkeit, vt der Diskontierungsfaktor, Tx+t die Todesfalleistung, L• die Erlebensfalleistung,

jeweils im ( t+ l ) t en Versicherungsjahr, wobei die Todesfalleistung am Ende, die Erlebensfalleistung am Anfang des Jahres fallig sein soil. Sei weiter

Vt die Deckungsrfickstellung am Beginn des (t + 1)ten Versicherungsjahres und ftB die Beitragszahlung zum gleichen Zeitpunkt.

Hierbei beschreiben die Werte ft die Modalit~t der Beitragszahlung (z.B. f0 = 1, 1"1 = ... = fn-i = 0: Einmalbeitragszahlung). Dann gelten, wenn der Einfachheit halber

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auf Kostenans~itze verzichtet wird, die folgenden Gleichungen:

f t 'B = vt qx+t Tx+t + vt Px+t Vt+l + Lx+t - Vt (t = 0 . . . . . n - 1)

oder

ft" B + Vt - vt Px+t Vt+l = vt qx+t Tx+t + Lx+t (t = 0 . . . . . n - 1).

Kennen wir It, vt, Px+t, Tx+t, Lx+t, so liegen n Gle ichungen vor ffir n + 2 Gr6gen: B, v0 . . . . . Vn. Legen wir noch

V0 = 0 (well ohne Kosten gerechnet)

und

V ~ = S

fest, so haben wir ein lineares Gleichungssystem aus n Gle ichungen mi t n Unbekann- ten. In Matrizenschreibweise (o0px0 10 )()(~ fl 1 -- Vl Px+l �9 Cl

f .-2 0 1 -Vn-2Px+n- ,-2 Cn-2 \ f n - I 0 0 t-I \ C n - I /

Wit bezeichnen die Matrix mit An. Man zeigt leicht, dab die Dete rminante der Matrix An, wenn mindestens ein f~ > 0 ist, positiv ist; also ist das System eindeutig aufl6sbar. Lassen wir die zugeh6rige Rechentechnik (Ffir x = 20, x + n = 85 sind dies 60 Glei- chungen mit 60 Unbekannten!) beiseite und fragen wit nach tier ZuRissigkeit der L6sungen, so werden wir (bei a = 0) Vt >_-0 zu fo rdem haben. Gesucht sind also

Leistungsvektoren (Co / , die dies erm6glichen.

\Cn-,/

Schreibt man An = E - Bn, so hat B n die Gestal t

1 - fo ao 0 t

311 ~ �9 .

n - I

fn-I 0

Bis auf die erste Spalte gilt fiir die Matr ixelemente

avu >= O , avv = O

und ffir die Spaltensummen

v

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Diese Eigenschaften ~ihneln (bis auf die erste Spalte) einem in der Literatur (z. B. A. Jaeger/K. Wenke [8], S. 294) behandelten Minkowski-Leontiefschen System, bei dem eine nicht negative L6sung X von

(E - B~) X = Y

bei nicht negativem Y angegeben werden kann. Bis auf die erste Spalte erfiillt unsere Matrix B~ die dort verlangten Anforderungen - sogar sehr viel einfacher. Leider ist die Beweismethode nicht iibertragbar. Aber warum sollte man nicht doch versuchen, hinreichende Bedingungen zu erhalten?

S c h l u B b e m e r k u n g

Diese drei Beispiele - denen durchaus weitere hinzugefiigt werden k6nnten - sollen mit der folgenden Bemerkung abgeschlossen werden: Wir wollten verdeutlichen, dab nicht nur in der Risikotheorie, in der Schadenver- sicherungsmathematik offene Probleme zur Bearbeitung auffordern. Die erl~iuterten Beispiele betrafen Fragen, deren Beantwortung u.E. sowohl fiir Praktiker als auch fiir Theoretiker von Interesse sein diirfte. Da sie obendrein leicht zug~inglich sind eignen sie sich insbesondere auch fiir eine Bearbeitung durch junge Versicherungsmathe- matiker. Bekanntlich hat die DGVM durch ihre Grundlagenseminare eine stattliche Anzahl neuer junger Mitglieder aufnehmen k6nnen. Man k6nnte sich vorstellen, daB einige von ihnen gemeinsam mit anderen erfahrenen Mitgliedern bereit sein k6nnten, in Arbeitsgemeinschaften vorgegebene Probleme dieser und ahnlicher Art zu bearbeiten. Auf der Jahrestagung der DGVM k6nnte dann fiber die Ergebnisse durch einen der Bearbeiter berichtet werden. Diese Arbeits- gemeinschaften sollten natiirlich nicht zu viele Mitglieder haben, damit erfolgver- sprechend gearbeitet werden kann. Wenn man bedenkt, in welch kurzer Zeit eine produktive deutsche ASTIN-Gruppe aufgebaut werden konnte, kann man der Meinung sein, dab sein solches Vorhaben im Bereich der Lebensversicherung eben- falls Erfolg haben wird.

LITERATURVERZEICHNIS

[1] Kracke, Helmut: Lebensversicherungstechnik. Berlin 1955. [2] Zwinggi, Ernst." Versicherungsmathematik, 2. Aufl. Basel/Stuttgart 1958. [3] Storck, Hans: Der Charakter einer Lebensversicherung als Hilfsmittel zur Ermittlung risiko-

technisch ausreichender Pr~imien und Reserven. Bl~itter der DGVM, Bd. III, S. 417-460 (1956).

[4] Storck, Hans." Feststellung des Erlebensfall- bzw. des Todesfallcharakters von Lebensversiche- rungen, Gesch~iftsbericht 1970 des Bundesaufsichtsamtes fiir das Versicherungswesen, S. 57.

[5] Braa, Peter: Der Gesch~iftsplan fiir die Rentenversicherung, Ver6ffentlichungen des Bundes- aufsichtsamtes fiir das Versicherungswesen, 28. Jahrgang 1979, S. 84-95, 126-131,157-164.

[6] Rueff, Fritz: Ableitung von Sterbetafeln fiir die Rentenversicherung und sonstige Versiche- rungen mit Erlebensfallcharakter. W~irzburg 1955.

[7] Neuburger, Edgar: Notiz fiber einen rechnerangepaBten Algorithmus zur Berechnung von Pr~imien und Reserven. Bl~itter der DGVM, Bd. XI, S. 641-648 (1974).

[8] Jaeger, Arno und Wenke, Klaus: Lineare Wirtschaftsalgebra, Band 2. Stuttgart 1969.

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Zusammenfassung

Mit einigen Beispielen - die ein Stornoproblem, Fragen zum Charakter einer Versicherung und die die Behandlung allgemeiner Lebensversicherungen durch lineare Gleichungssysteme betref- fen - zeigt der Verf., dab die Lebensversieherungsmathematik durchaus reizvolle Aufgaben enth~ilt. Diese sollten nach Meinung des Verf. zur Bildung von Arbeitsgemeinschaften im Rahmen der DGVM anregen.

Summary

The author shows a few examples - impact of surrender of policies, distinction of mortality and longevity risks and description of insurance terms by systems of linear equations - which should represent an interesting task for working groups of the DGVM.

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