le vocabulaire de la métrologiecours de qualite – metrologie f reynes - 2 - 0. introduction –...

COURS DE QUALITE – METROLOGIE F REYNES

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La Metrologie : Interprétation des résultats de mesurage Incertitudes de mesurage

Pour me contacter : [email protected] Pour récupérer les documents, présentations, outils, etc… : https://formationmetrologie.wordpress.com/

0. Introduction – Métrologie : une matière pluridisciplinaire La métrologie : c’est tout simplement la « science de la mesure », correcte mais d’une concision redoutable. Ce qui fait penser que la métrologie est réservée à des laboratoires de pointes ou à des entreprises dans des secteurs très spécifiques; et que le métrologue est soit un physicien des grandeurs de mesures, soit un technicien en charge de la mesure… Le diagramme présenté ci dessous est une représentation relativement intuitive de ce qu’est la métrologie : les concepts sont représentés dans des rectangles qui sont reliés entre eux par des flèches accompagnées de phrases de liaisons. Ce « concept map » (diagramme conceptuel) nous montre bien que la métrologie est une matière pluridisciplinaire : elle nécessite des compétences en Qualité, en Mathématiques, en Statistique, en physique, en instrumentation, en gestion, en production, etc… sans parler des compétences humaines pour former et convaincre chaque acteur de l’utilité de maîtriser la mesure.

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0. Introduction – Métrologie : une fonction transversale La norme ISO 9001, relatives aux systèmes de management de qualité, propose un découpage selon un cycle PDCA en en 4 phases qui s’enchaîne logiquement avec un objectif d’amélioration du fonctionnement de l’organisation en place.

La norme positionne la métrologie comme un processus transversale dans l’organisme : elle a une incidence direct sur la qualité des produits, mais aussi dans la gestion des risques de produire un produit inadapté. Que ce soit dans la norme ISO 9001 ou NF EN ISO 10012, la métrologie est directement placé sur un axe qui va de la « demande du client » à la fourniture du « produit, service», mais aussi sur la lignes des processus générant l’amélioration continue de la qualité.

Responsabilité de la

direction

Management des

ressources

Analyse

et amélioration

Realisation

du produit / service

CLIENTS

Exigences

CLIENTS

produit / service

Satisfaction

Amelioration continue

Responsabilité de la

direction

Management des

ressources

Analyse

et amélioration

Realisation

du produit / service

CLIENTS

Exigences

CLIENTS

produit / service

Satisfaction

Amelioration continue

Processus de mesure


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Interprétation des résultats de mesurage

Incertitudes de mesurage I. Introduction et quelques définitions Processus [ ISO 9000 ] (Process) « Ensemble d’activités corrélée ou interactives qui transforme des éléments d’entrée en élément de sortie » Mesurande [NF X 07-001] (measurand) « Grandeur que l’on veux mesurer. … Note : La spécification d'un mesurande nécessite la connaissance de la nature de grandeur et la description de l'état du phénomène, du corps ou de la substance dont la grandeur est une propriété, incluant tout constituant pertinent, et les entités chimiques en jeu. » Le mot « mesurande » ne figure pas dans les dictionnaires. Il s’agit en fait de la grandeur qui est mesurée en y associant les facteurs d’influences qui peuvent avoir de l’importance pour la valeur finale du résultat de mesurage. Exemple : Longueur d’une cale acier donné à 20°C Mesurage [NF X 07-001] (measurement) « processus consistant à obtenir expérimentalement une ou plusieurs valeurs que l’on peut raisonnablement attribuer à une grandeur»

Bien que figurant dans les dictionnaires, le mot mesurage n’est pourtant pas d’un usage courant pour le grand public : il préfère utiliser le mot « mesure ». Pourquoi utiliser le mot « mesurage » et non « mesure » ? L ‘explication se trouve dans les notes explicatives qui se trouvent situées au début du VIM: « Le mot « mesure » a dans la langue française courante plusieurs significations. Aussi n’est-il pas employé seul dans le présent vocabulaire. C’est également la raison pour laquelle le mot « mesurage » a été introduit pour qualifier l’action de mesurer. » Processus de mesure [ ISO 10012 ] (measuring process) « Ensemble d’opérations effectuées pour déterminer la valeur d’une grandeur » Si on compare sur les définitions données dans les deux normes, le processus de mesurage n’est autre que le mesurage. Il donne un résultat qui restera indépendant de la méthode employée. Exemple : une mesure de température peut se faire avec différents types de thermomètres (sonde pt100, dilatation de liquide, infrarouge …), la température (le mesurande) reste la même …

éléments

de sortieéléments

d'entrèe PROCESSUS

resultats de

mesurageMesurande

PROCESSUS DE MESURE

MESURAGE

facteurs d'influences

Un peu de théorie


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Grandeurs d’influences [NF X 07-001] (Influences quantity) « grandeur qui, lors d’un mesurage direct, n’a pas d’effet sur la grandeur effectivement mesurée, mais a un effet sur la relation entre l’indication et le résultat de mesure » Il s’agit de grandeurs physiques qui, lorsqu’elle varie peuvent perturber / parasiter le résultat de mesurage Et elles vont provoquer des erreurs de mesure ( variation ou décalage de la mesure ) Erreur de mesure [NF X 07-001] measurement error « différence entre la valeur mesurée d’une grandeur et une valeur de référence » Vous avez peut-être des difficultés à comprendre cette définition mais les définitions ci-dessous devraient vous aider : - Le « mesurande » , c’est le terme employé par les métrologues pour désigner la grandeur qu’il souhaitent mesurer

- Le «résultat d’un mesurage», c’est la valeur numérique de la grandeur - « Erreurs de mesure »

Y = y ± unité

II. Interprétation statistique des résultats de mesurage En disposant de n résultats de mesurage obtenus par la même méthode sur une grandeur, comment avoir des informations sur la fréquence d’apparition de ces mesures ??? Comment se présente la dispersion de ces mesures ???

Avoir une représentation graphique des résultats de mesurage


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II.1. Avoir une représentation graphique des résultats de mesurage II.1.1. Histogramme des effectifs En disposant de n résultats de mesurage obtenus par la même méthode sur une grandeur, cette série de mesurage peut être représenté par un graphique appelé histogramme des effectifs. L’histogramme des effectifs est une construction graphique représentant le nombre de donnée pour un intervalle. Chaque colonne (sur l’axe horizontal X) est une « classe » ou « catégorie ». Le nombre de résultats correspondant à la « classe » est un « effectif » : la hauteur du rectangle (sur l’axe vertical Y) est proportionnel au nombre de données appartenant à cette « classe ».

Cette représentation graphique donne la répartition des mesures mais reste dépendante du nombre de mesurage effectué. Pour faciliter les comparaisons, on utilisera l’histogramme des fréquences.

0

5

10

15

20

25

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

No

mb

re d

e d

on

nées

effectif

Nb de données

Nd

Resolution

du moyen de mesure

R

Données

(résultats de mesure)

Calculer le nombre de catégories C:

C = √Nd

Calculer l'intervalle I

I = (VMax - Vmin) /C

Choisir l'intervalle I1 tel que :

-I1 proche de I et

-I1 = n R avec n ≥ 1

Comptabiliser le nombre de données

comprises dans chaque intervalle

Tracer l’histogramme

0

5

10

15

20

25

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

No

mb

re d

e d

on

nées


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II.1.2. Histogramme des fréquences Pour faciliter les comparaisons, l’histogramme est « normalisée » en prenant la surface de chaque rectangle égale à :

Fréquence f = Effectif de la classe . Nombre total de résultats

L’histogramme obtenu s’appelle histogramme des fréquences. Sa surface est égale à 1. Voir en Annexe 6 E1 & Annexe 7 E1

II.1.3. Courbe de distribution : d’une représentation graphique à un modèle mathématique

Lorsque le nombre n de mesure augmente indéfiniment, l’ensemble des résultats de mesurage représente une population statistique. Pour n infini, la fréquence tend vers une valeur parfaitement définie dans chaque classe. L’histogramme des fréquences a donc, pour n infini, une limite qui est l’histogramme de la population. En diminuant la classe à l’infini, l’histogramme devient donc une courbe continue y = f(X) qui est appelée courbe de distribution de X

En pratique, les courbes de distribution sont inconnues puisqu’elles correspondent à un cas limite :

Nombre infini de résultats Sensibilité infini de l’instrument de mesure

Cependant un certain nombre de courbes de distribution permettent de décrire correctement des situations expérimentales : Il s’agit des lois de probabilité utilisées dans l’estimation de l’incertitude.

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

freq

uen

ce


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II.1.4. Lois de probabilité / distribution

La loi statistique la plus utilisée est la loi normale, car celle-ci permet d’effectuer une interprétation statistique de nombreuses variables dans des domaines aussi différents que les domaine scientifiques, techniques, la métrologie, les sciences humaines … Tout processsus ( de mesure, de production, …) soumis simultanément à plusieurs facteurs d’influence, génère une distribution normale (Théorème central limite) La loi normale est caractérisée par l’expression mathématique suivante :

²2

)²(

2)(

xx

en

xy

x est la valeur moyenne

est l’écart-type ( s( x ) )

La valeur moyenne x fixe la position de la distribution et l’écart-type son étalement Des calculs statistiques sur une loi normale montrent qu’il y a 68.3% pour que la moyenne d’une série de mesure

ait une valeur « vraie » dans l’intervalle x .

On dit aussi que la mesure a un niveau de confiance de 68.3 % pour l’intervalle x Mais donner un résultat en affirmant qu’il y a 68.3 % de chance d’être vrai, et donc 31.7 % d’être erroné, n’est certainement pas suffisant lors de la caractérisation d’une grandeur. Il est donc nécessaire de prendre un intervalle plus grand. On définit alors un intervalle de confiance par :

x k . avec k : facteur de confiance (ou d’élargissement)

Les niveaux de confiance sont obtenus par calculs statistiques et des tables permettent d’avoir directement les résultats.

Tableau des niveaux de confiance de la loi normale

Niveau de confiance (%) Facteur d’élargissement k

68.27 1

90 1.645

95 1.96

95.45 2

99 2.576

99.73 3

y(x)

x + x

68,3 %

95 %

98,8 %

y(x)

x + x

+ 1,96x 1,96x

+ 3,09x 3,09x


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II.2. Caractérisation de la mesure et de ses erreurs Lorsqu’on effectue n mesurages d’une grandeur X, appelées xi ( 1 i n ), ceux-ci sont généralement différent de la valeur nominale de x. De nombreux facteurs vont concourir à rendre les résultats de mesure incertains : l’incertitude instrumentale, la sensibilité des instruments aux conditions d’environnement ( température, pression, humidité, etc. ), la nature de l’échantillon, les facteurs humains, etc. D’une manière générale, l’ensemble de ces grandeurs d’influence génère des erreurs sur le résultat. Plus ces erreurs sont importantes, plus la valeur mesurée sera éloignée de la valeur « vraie » du mesurande et aura tendance à « varier »

Erreur de mesure [NF X 07-001] measurement error « différence entre la valeur mesurée d’une grandeur et une valeur de référence »

Valeur mesurée = Valeur de référence (« Vraie ») + erreurs de mesure

Grandeur

mesurée

Valeur "vraie" Valeur mesurée

Vm

Erreur


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En fonction qu’elles « décalent » ou qu’elles « font varier », on va séparer définir deux catégories d’erreurs

Valeur mesurée = Valeur de référence (« Vraie ») + erreurs de mesure

Erreur systèmatique [NF X 07-001] (Systematic error) « Composante de l’erreur de mesure qui, dans des mesurages répétés, demeure constante ou varie de façon prévisible» Pour la variable xi, dont la valeur de référence est xr, le mesurage donne une valeur qui s’écarte

systématique de la valeur « vraie » On pourra donc procéder à l’application de corrections sur le résultat de mesurage :

xr = xl + C avec

xr : Valeur de référence xl : Resultat de lecture (ou moyenne des résultats) C : Correction

Erreur aléatoire [NF X 07-001] (Random error) « composante de l’erreur de mesure qui, dans des mesurages répétés, varie de façon imprevisible» Pour nous aider à la compréhension de cette définition, la norme européenne «Guide pour l’expression de l’incertitude de mesure» [NF ENV 13005 § 3.2.2. ] nous définit l’origine des erreurs aléatoires: « L’erreur aléatoire provient probablement de variations temporelles et spaciales non prévisibles ou stochastiques de grandeurs d’influence. Les effets de telles variations, …, entraînent des variations pour les observations répétées du mesurande ».

Les erreurs aléatoires proviennent de l’influence de facteurs imprévisibles lors de la mesure. Les valeurs mesurées sont alors plus ou moins dispersés.

Valeur mesurée = Valeur « Vraie » + erreurs systématiques ± erreurs aléatoires

Biais de mesure et Incertitude de mesure :

la quantification des erreurs

Biais de mesure [NF X 07-001] (measurement bias) « estimation d’une erreur systématique » Le « biais de mesure» est la différence entre les valeurs mesurée et la valeur vraie (Erreur systématique) Incertitude de mesure [NF X 07-001] (Uncertainty of measurement) « paramètre non négatif qui caractérise la dispersion des valeurs attribuées à un mesurande, à partir des informations utilisées » L’incertitude de mesure (représentée par la lettre U) est une plage de valeurs caractérisant la dispersion d’un mesurage (Erreur aleatoire), de telle sorte qu’il y ait de fortes chances que la valeur vraie s’y trouve incuse.

cible

(Valeur "vraie")

erreur

systematique

erreur aleatoire


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II.2.3. Erreur accidentelle Elle résulte d’une fausse manœuvre, d’un mauvais emploi, ou de dysfonctionnement de l’instrument de mesure. Elles ne sont généralement pas prises en compte dans la détermination des erreurs de mesurage. Un certain nombre de méthode statistique permettent de déterminer quelles valeurs sont ou ne sont pas aberrante. La plus connue est le test de Grubbs et de Cochran.

II.3. Modélisation du résultat de mesurage II.3.1 Un modèle simple … En fonction des différents facteurs d’influences, le résultat de mesurage peut donc être modélisé par l’équation suivante :

Résultat de mesurage = Valeur vraie + Erreur systématique ± Erreur aléatoire

Ou

Résultat de mesurage = Valeur vraie + Biais de mesure ± Incertitude de mesure

II.3.2 Un outil d’analyse des facteurs d’influence : Le 5M Un mesurage peut être assimilé à un processus permettant d’obtenir une valeur numérique d’un mesurande. Ce processus étant perturbé par un certain nombre de facteurs d’influence, celui-ci est souvent représenté selon la technique dite des « 5M » (diagramme causes/effets, diagramme Ishikawa, « Fishbone diagram », « sapin à 5 branches » …). Ce diagramme est un outil graphique permettant d’identifier les éléments qui interviennent dans le processus de mesure, et de les classer selon catégories :

- Main d’œuvre : la personne effectuant la mesure - Milieu : l’environnement de la mesure (Température, hygromètrie …)

- Moyen de mesure : la performance de l’instrument de mesure - Méthodes : le mode opératoire - Matière : le mesurande lui-même

Ou plus sobrement :

Main d'oeuvre Milieu Matiere

Moyen

=> Machine

Methodes

resultat de

mesurageMesurande PROCESSUS DE MESURE


Moyen

=> Machine

Methodes


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II.4. Quantification de la mesure et de ses erreurs

On peut caractériser la mesure et ses erreurs (aléatoire et systèmatique) au moyen de différents outils statistiques : La moyenne arithmétique

des n mesurages x1, x2…xi…xn faits pour caractériser une grandeur X :

En retranchant la valeur de référence xR de la grandeur X à la moyenne x des mesures, on peut déterminer une

estimation de l’erreur systèmatique S. Remarque : Si l'erreur systématique est négligeable (ce que l'on suppose pour la suite),

alors x xR quand n (xR = valeur de référence).

L’étendue E

C'est l'intervalle entre la plus petite et la plus grande valeur. On dit d'un phénomène qu'il présente une « forte dynamique » lorsque l'étendue (ou la dispersion) est grande.

L’ecart type défini comme étant la racine carrée de la moyenne du carré de l'écart entre la mesure et la valeur réelle xR:

Mais généralement, xR est inconnu, on en a juste une estimation par la moyenne x On peut alors calculer une estimation de l'écart type notée s(xi) ou s :

L’ecart type

Mais lors de la caractérisation de la grandeur X, il a été effectué n mesurage et la moyenne x est representative du mesurande.

L’ecart-type de la moyenne est donné par :

n

s )x( s

La Variance V

est égale au carré de l'écart-type : V = ² Remarque 1: En fait, le mot variance (et sa racine carrée, l'écart type) est souvent employé plus généralement pour caractériser la dispersion d'un jeu de n valeurs d’une variable Z, même si cette variable n’est pas constante, et s'écrit alors:

On devrait donc, dans le cas précédent, parler de variance de l'erreur (ou écart type de l'erreur), mais ce n'est jamais le cas…


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III. Comment évaluer l’incertitude des résultats de mesure Incertitude de mesure [NF X 07-001] (Uncertainty of measurement) « paramètre non négatif qui caractérise la dispersion des valeurs attribuées à un mesurande, à partir des informations utilisées »

Pour connaître l’incertitude liée à un résultat, des règles claires, reconnues internationalement existent :

- Les normes ISO 5725-1 à 5 , communément appelée « Méthode Inter-laboratoire », qui définissent une méthode statistique permettant d’estimer l’ « Exactitude (justesse et fidélité) des résultats et méthodes de mesure »,

- Le « Guide pour l’expression de l’incertitude de mesure », document connu sous son acronyme GUM et publié sous la forme d’une norme française NF ENV 13005 (X 07-020).

La méthode « ISO 5725 » permet de quantifier l’incertitude de la méthode d’essai grâce à des comparaisons expérimentale d’essais effectués entre divers laboratoires.

La méthode « GUM » est issue de la métrologie et consiste à modéliser le processus de mesure : On va composer l’incertitude de mesure à partir des incertitudes intervenant dans le processus de mesures. III.1. METHODE GUM : Définir le mesurande, identifier les composantes d’incertitude, établir le modèle mathématique III.1.1. Définir le mesurande Définir le mesurande est une opération essentielle, de nombreuses sources d’incertitude pouvant provenir d’une définition incomplète du mesurande ou bien encore des différences que l’on introduit entre ce que l’on souhaite mesurer et la grandeur qui est réellement mesurée. Bien souvent, il faudra définir de nombreuses conditions qui permettent l’observation « répétable » du mesurande, telles que la méthode de mesure, la température, la pression, l’hygromètrie, etc.

Incertitude de mesure

Source d'erreur

PROCESSUS DE MESURE

Source d'erreur

Source d'erreur


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III.1.2. Analyser le processus de mesure Expression de l’équation physique de la mesure Dans de nombreux cas, le mesurande Y est mesurée indirectement par l’intermédiaire de n grandeurs X1, X2, … Xn On établit la relation physique qui relie grandeurs d’entrée X1, X2, …,Xn intervenant dans le processus de mesure. Cette relation fonctionnelle s’exprime sous la forme :

Y = f (X1, X2, … , Xn)

C’est définir le modèle mathématique propre au processus de mesure. Parmi les Xi figurent les facteurs correctifs ainsi que des grandeurs qui prennent en compte toutes les autres sources de variabilité telles que : les différents observateurs, les instruments, … La fonction f n’exprime donc pas simplement une loi physique, mais le processus de mesure et en particulier, la fonction doit contenir tous les facteurs qui contribuent significativement à l’incertitude du résultat final.

Un « outil qualité » pour analyser les processus de mesure :

III.1.3. La méthode des 5M Pour nous aider, on exploite la technique dite des « 5M » qui caractérise tous les processus de mesures. Elle va nous permettre, à partir d’une réflexion et d’une très bonne connaissance du processus de mesure, de déterminer ces différents facteurs.

Pour cela, on analyse successivement chaque « branche » du diagramme pour voir quelle est la contribution sur le résultat de mesure

- du matériel (appareil, étalon …), - de la méthode (nombre de mesures, points de mesures …) - du milieu environnant (température, hygrométrie, pression …) - de la main d’œuvre (nombre d’opérateur, lecture des mesures, manipulation …) - de la matière (positionnement, échantillonnage …)

On utilisera le diagramme 5M pour classer ces différents facteurs, mais aussi pour avoir une représentation plus « visuelle » des sources d’erreurs liées au processus de mesure


Moyen

=> Machine

Methodes


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III.2. Evaluer les incertitudes type des valeurs d’entrée Lorsque le modèle du processus de mesure aura été établi, tout le problème du métrologue est d’identifier la totalité des paramètres xi qui ont une incidence sur le résultat du mesurage et de quantifier leur incertitude type. Pour évaluer la valeur numérique de incertitudes types associées à chacune des composantes de l’incertitude, deux méthodes peuvent être employées :

La méthode de type A qui se fonde sur l’application de la statistique. Elle est utilisée pour quantifier

une partie de l’erreur aléatoire ainsi que les incertitudes de répétabilité de mesurage La méthode de type B qui se recouvre tout ce qui n’est pas statistique (facteurs d’influence, résolution

…) Remarque : Incertitude : « paramètre … qui caractérise la dispersion des valeurs …attribuées au mesurande »

On peut considérer que si l’on avait suffisamment de ressources (temps et argent) toutes les composantes pourrait - être évaluées avec une méthode de type A.

La méthode de type B requièrent de l’expérience et des compétences techniques.

III.2.1. Méthode de type A La méthode de type A consiste à quantifier l’incertitude type au moyen d’une analyse statistique. C’est à dire de réaliser une série de n mesurages xi et d’en déterminer l’ecart-type expérimental. L’incertitude type u(xi) est alors égale à l’écart-type expérimental :

Remarque : Les incertitudes types de type A permettent de regrouper plusieurs grandeurs dont l’effet est difficilement quantifiable isolément (fidélité de l’instrument de mesure, élément relatif à l’opérateur … « les phénomènes stochastiques »)

III.2.2 Méthode de type B (lorsque l’on ne peut / veut pas utiliser une méthode expérimentale …) La méthode de type B est utilisée pour estimer les incertitudes types u(xn ) des différents composantes xn à partir d’un « jugement scientifique fondé sur toutes les informations disponibles au sujet de la variabilité possible de X i » (NF ENV 13005). Estimer une l’incertitude type nécessite :

- de choisir a priori en fonction de ses connaissances, de son expérience, quelle loi de distribution représente le mieux la grandeur d’entrée considérée

- de définir l’étendue des variations possibles pour la grandeur d’entrée considérée Celles-ci sont parfois plus difficiles à quantifier car étant intimement liées à l’expérience du métrologue et à la maîtrise du processus de mesure. C’est pourquoi, le tableau suivant résume différent cas pratiques : la première colonne précise le type de composante, la seconde la loi de distribution retenue a priori et la troisième colonne indique les calculs à effectuer.


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Composante Distribution a priori Incertitude type Méthode de calcul

Quantification de la résolution d’un indicateur

Uniforme

U(xi) = a / 3

Si la quantification de la résolution est q a = q/2

Hystérésis : h est la différence maximal entre les indications obtenus par valeurs croissantes et décroissantes

Uniforme

U(xi) = a / 3 a = h/2

Instrument vérifié conforme à une classe ou connaissance d’une EMT sur l’instrument

Uniforme

U(xi) = a / 3 La tolérance est définie par ±a

Effet de grandeur d'influence variant entre deux extremum de façon sensiblement sinusoidale ( température dans un local régulé, ...)

Dérivée d’arc sinus

U(xi) = a / 2

Si les variations sont désigné par deux extremum Vmax et Vmin : a = 1/2 (Vmax – Vmin)

Effet mettant en œuvre plusieurs phénomènes physique ; ou non maitrisé

Normale

U(xi) = a / 3 Les variations de l’effet sont défini par ±a

Composante asymétrique de type erreur de parallelisme entre l'objet mesuré et l'instrument de mesure en métrologie

Triangle rectangle

U(xi) = a / 4.5

Si l’ecart de parallélisme est notée e : a = e/2

Versement du contenu d'une fiole jaugée en chimie ( la quantité versée est toujours inférieure au contenu de la fiole )

Triangle rectangle

U(xi) = a / 4.5

Si l’ecart de versement est notée e : a = e/2


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III.3. Calcul de l’incertitude composée III.3.1. Loi de propagation des incertitudes Après avoir : Défini le mesurande et établi le modèle mathématique Évalué les incertitudes types des grandeurs d’entrée On va pouvoir déterminer l’ « incertitude-type composée » uc(y) au moyen de la loi de propagation des incertitudes :

+

+

1

1 11

2

2

2 );(2)(n

i

ji

j

n

ij i

n

i

xi

i

c xxux

f

x

fu

x

yyu

La loi est composée de deux termes bien distincts :

- Le premier terme permettant de calculer la variance u²(y) à partir des grandeurs d’entrée xi - Le second terme (composé des termes de covariance u(xi ; xj) ) qui tient en compte du fait que les

grandeurs d’entrées xi et xj peuvent être dépendante entre elles

III.3.2. Hypothèse 1 : grandeurs d’entrée non corrélée Les grandeurs d’entrée x1, x2, … , xn sont non corrélées. C’est à dire que les grandeurs pour lesquelles la valeur prise par l’une n’a aucun effet sur la valeur prise par l’autre. Dans ce cas, les termes de covariance sont nuls et l’écriture de la loi de propagation se simplifie :

n

i

xic ux

yyu

1

2

2

2 )(

III.3.3. Hypothèse 2 : grandeurs d’entrée corrélées Dans le cas de grandeurs d’entrée corrélées, il existe un terme de covariance pour chaque couple de grandeurs corrélées. (C’est le cas, par exemple, si on utilise le même instrument de mesures pour déterminer de certaines grandeurs d’entrée ; le même étalon physique …) L’estimation des covariances passe par l’estimation d’un coefficient de corrélation r(xi,xj) liant l’incertitude type xi à l’incertitude type xj

)()();();( jijiji xuxuxxrxxu

L’équation de propagation des incertitudes peut alors s’écrire :

+

+

1

1 11

2

2

2 )()();(2)(n

i

jiji

j

n

ij i

n

i

xi

i

c xuxuxxrx

f

x

fu

x

yyu

Le coefficient de corrélation r peut varier de -1 à +1

- Si xi et xj sont totalement non corrélées, alors r(xi,xj) = 0 : cf hypothèse 1

- Si xi et xj sont liées par une relation linéaire, on obtient r(xi,xj) = 1 La loi de propagation des incertitudes peut alors s’écrire :

2

1

2 )(

n

i

xi

i

c ux

yyu


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IV. Calcul de l’incertitude élargie U On peut utiliser l’incertitude type composée pour exprimer l’incertitude sur le résultat de mesure. Mais si la distribution des erreurs répond à une loi normale (et le « théorème centrale limite » nous prouve que c’est généralement le cas), il n’y a que 68.3% de chance pour que la moyenne d’une série de mesure ait une

valeur « vraie » dans l’intervalle y uc.

Il va donc falloir choisir un facteur d’élargissement k en fonction du niveau de confiance requis pour que la valeur

de la grandeur soit comprise dans un intervalle y ± k.uc

On peut utiliser le tableau des niveaux de confiance de la loi normale, pour déterminer la valeur de k

Niveau de confiance (%) Facteur d’élargissement k

68.27 1

90 1.645

95 1.96

95.45 2

99 2.576

99.73 3

Et ainsi déterminer U = k . uc Actuellement, dans les certificats d’étalonnage édités à l’entête du COFRAC, le facteur d’élargissement k varie dans une plage allant de 2 à 3, pour un niveau de confiance de 95.45 % à 99.73% Cette valeur est aussi la plus fréquemment rencontrée dans toute l’Europe.

V. Expression finale du résultat de mesurage V.1. Prise en compte des erreurs systématiques Dans le cas où les facteurs de nature systématique existent, on devra impérativement procéder à l’application de corrections sur le résultat de mesurage :

xr = xl + C avec

xr : Valeur de référence xl : Resultat de lecture (ou moyenne des résultats) C : Correction des erreurs systèmatiques


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V.2. Expression finale du résultat : le problème de l’arrondissage V.2.1 Position du problème Les valeurs numériques de l’estimation Y, mesurées directement ou calculées, comporte souvent un nombre incompatible avec l’incertitude de mesure. L’expression finale du résultat de mesurage ne doit pas être donnée avec un nombre excessif de chiffres. Il est donc nécessaire de procéder à un arrondissage du résultat, de manière à ne conserver que les chiffres significatifs.

V.2.2. Règles d’arrondissage Les règles d’arrondissage, proposées par la normalisation sont résumées dans le tableau ci dessous

V.2.3. Arrondissage et incertitude Les limites d’incertitude doivent comporter au plus deux chiffres significatifs. Elles sont arrondies, le cas échéant, et, pour plus de sécurité, l’arrondissage se fait par excès.

V.2.4. Arrondissage et résultat de mesure Pour la valeur numérique du résultat le dernier chiffre à retenir est celui qui a la même position que le deuxième chiffre significatif dans l’expression de l’incertitude.

V.3. Expression finale du résultat de mesurage Le résultat d’un mesurage doit comporter 5 éléments :

Y = ( y - C ) ± U uSI (k=2)

1 2 3 4 5

1. y = Valeur numérique avec un nombre correct de décimales 2. C = Facteur de correction des erreurs systématiques 3. U = Incertitude élargie 4. Unité

5. Le facteur d’élargissement k


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Diagramme 5 M

Grandeurs d'entrée

X1, X2,,,,, Xn

Grandeurs d'entrée

Corrélées

Expression du modèle mathématique

de la mesure

Equation mathématique :

Y = f ( X1, ,,,, Xn )

Données de mesureIdentification des source d'erreur des

grandeurs d'entrée

Evaluation des incertitudes typesIncertitudes types

u(xi)

Détermination des corrélations sur les

valeur d'entrée

u (y) = f ( u(x i) ; u(xj) )

OUI

NON

Application de la loi de propagation

des incertitude sur le modèle de

mesure

Corrélation entre les

grandeurs d'entrée corrélées:

r ( xi ; xj )

Calcul de de l'incertitude composéeIncertitude composée

uc(y)

Détermination du facteur

d'élargissementFacteur d'élargissement : k

Prise en compte des erreurs

systématiques non corrigée

Incertitude elargie :

U(y) = ± k x uc(y)Incertitude Elargie

Erreur systematique totale

Es

DONNEES PROCESSUS RESULTATS

Expression finale du résultat de

mesure

Résultat final :

Y = y ± ( U + Es )Y = y ± U uSI ( k=2 )


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Annexe 1

Histogramme des effectifs / fréquences

EXCEL / FREQUENCE : un outil précieux

FREQUENCE calcule la nombre d'apparition des valeurs dans une plage de valeurs, puis renvoie des nombres sous forme de matrice verticale. En d’autres termes calcul les effectifs en fonction des classes. Syntaxe FREQUENCE(tableau_données;matrice_intervalles) Arguments

o tableau_données représente une matrice de valeurs dont vous souhaitez calculer le nombre d’apparitions (Résultats de mesurage)

o matrice_intervalles représente une matrice d'intervalles (Classe) dans lesquels vous voulez regrouper les valeurs de l'argument « tableau_données » .

L'illustration suivante montre la méthodologie à suivre pour déterminer le tableau des effectifs sur excel.

Formules matricielles et modalités de saisie Une formule matricielle peut effectuer plusieurs calculs et renvoyer des résultats simples ou multiples. Les formules matricielles interviennent sur deux ensembles de valeurs ou plus appelés arguments matriciels. Chaque argument matriciel doit avoir le même nombre de lignes et de colonnes. Vous créez des formules matricielles de la même façon que d'autres formules, sauf que vous devez appuyer sur CTRL+MAJ+ENTRÉE pour taper la formule.


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Annexe 2 - Ecart-type expérimental Annexe 2.1. Cas d’une limitation du nombre de mesures et d‘une certitude de loi normale (de Gauss). Si, pour des raisons techniques, économiques … le nombre de mesure est inférieur à 6, l’incertitude type u(xi) est calculée à partir de l’étendue E des mesurages. C’est-à-dire la différence entre les valeurs extrêmes xmin et xmax.

u(xi) = E = xmax - xmin Q Q

Annexe 3 - Quelques rappels : Les dérivés

Fonction y = f(x) Dérivé partiel y/x

y = a y/x = 0

y = x y/x = 1

y = a x y/x = a

y = 1/x y/x = -1/x²

y = xn y/x = n xn-1

y = x y/x = 1 / 2x

y = g(x) + h(x) y/x = g(x)/x + h(x)/x

y = g(x) . h(x) y/x = g(x)/x . h(x) + h(x)/x . g(x)

y = g(x) / h(x) y/x = [ g(x)/x . h(x) - h(x)/x . g(x) ] / h²(x)

y = 1 / g(x) y/x = - g(x)/x / g(x)²

Annexe 4 - Loi de propagation des incertitudes Annexe 4 – E1 Application de la loi de propagation des incertitudes - Pour les grandeurs x1 et x2, déterminer uc²(y) en fonction des relation mathématique « type » ci dessous :

Relation « type » uc² (y)

y = x1 + x2

y = x1 - x2

y = x1 . x2

y = k . x1

y = x1 x2

n 2 3 4 5

Q 1.128 1.653 2.059 2.326


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Annexe 5

le vocabulaire de la métrologiecours de qualite – metrologie f reynes - 2 - 0. introduction –...

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