LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

1. Che cosa sono le trasformazioni geometriche

Introduciamo il concetto di trasformazione geometrica prendendo come esempio una rotazione. Consideriamo il punto O e un angolo orientato di ampiezza

Al punto A associamo il punto A′ tale che

e che

'OA OA ˆ 'AOA

Allo stesso modo, possiamo associare a un altro punto B il punto B′, a C il punto C′ e così via.Abbiamo creato una corrispondenza fra punti del piano. Tale corrispondenza è

biunivoca perché, fissato il punto O e l’angolo orientato , a ogni punto del piano corrisponde uno e un solo punto del piano stesso e viceversa.

Definizione

Una trasformazione geometrica è una corrispondenza biunivoca che associa a ogni punto del piano un punto del piano stesso.

In altre parole, una trasformazione geometrica è una funzione biiettiva del piano in sé.Ogni punto (o figura) che si ottiene mediante una trasformazione geometrica viene detto trasformato o immagine del punto (o della figura) di partenza.Nell’esempio precedente il punto A′ è immagine di A, il segmento A′B’ è immagine del segmento AB. Se indichiamo con r la rotazione, r rappresenta una funzione, quindi possiamo anche scrivere A′=r(A).Quando in una trasformazione a un punto corrisponde se stesso, diciamo che il punto è unito. Per esempio, nella rotazione precedente il punto O è un punto unito.

2. La composizioni di trasformazioni

Poiché le trasformazioni geometriche sono funzioni, possiamo considerare la loro composizione, cioè la trasformazione composta che si ottiene applicandole in successione.

Date due trasformazioni geometriche t e t′, se al punto P viene associatoil punto P ′=t(P) e a P ′ viene associato P ″=t′(P ′) P P’=t(P) P’’=t’(P’)

la composizione di t′ con t associa al punto P il punto P ″.

P P’’

Indichiamo la composizione delle due trasformazioni allo stesso modo della composizione di funzioni, ossia con la scrittura h= t′○t.

La figura F″, corrispondente della figura F mediante t′t, si trova applicando prima t e poi t′.

t t’

h=t’○t

Definizione

L’identità è la trasformazione che a ogni punto del piano associa il punto stesso.

Indichiamo l’identità con i. In una identità tutti i punti sono uniti:∀P, P = i(P).

La trasformazione inversa

Poiché le trasformazioni geometriche sono funzioni biiettive, l’inversa di una trasformazione geometrica è ancora una trasformazione geometrica.In generale, data una trasformazione t che associa a un punto P il punto P ′, la trasformazione inversa associa al punto P ′ il punto P e viene indicata con il simbolo t-1 :

P P’

P’ P

t

t-1

Fissato nel piano un vettore , una traslazione è una trasformazione geometrica che a ogni punto P fa corrispondere il punto P ′ tale che è equipollente a

La composizione di una trasformazione con la sua inversa ha come risultato la trasformazione identità t-1○t= t○ t-1 =i.

Abbiamo analizzato diverse trasformazioni del piano.

1.La traslazione

v

v

'PP��������������

Dimostriamo che una traslazione è un’isometria: basta dimostrare che, dati due punti qualsiasi A e B e i loro trasformati A′ e B ′, i segmenti e sono congruenti.Al punto A corrisponde il punto A′, a B corrisponde B ′. Il quadrilatero AA′B′B è un parallelogramma, perché ha due lati opposti AA′ e BB′ congruenti e paralleli (sono due rappresentanti del vettore ), quindi e .In questo modo abbiamo dimostrato anche che ad

AB' 'A B

v

' 'AB A B / / ' 'AB A B

retta corrisponde una retta parallela. Questa proprietà è comune a tutte le traslazioni: a ogni retta corrisponde una retta a essa parallela.Un caso particolare di traslazione è la traslazionenulla, ossia la traslazione di vettore nullo. La traslazione nulla coincide con l’identità.

La composizione di due traslazioni

Applichiamo la traslazione σ alla figura F (figura a lato). A F corrisponde la figura F ′. La traslazione Φ fa corrispondere a F ′ la figura F ″.La composizione delle due traslazioni σ e Φ è una nuova traslazione, λ il cui vettore è la somma vettoriale dei vettori di σ e Φ

In un sistema di assi cartesiani ortogonali, dato un vettore , la traslazione φ secondo il vettore

P(x;y) P(x’;y’)

è definita dalle equazioni:

;v

;v

'

'

x x

y y

2. ROTAZIONE

Si può dimostrare che una rotazione è un’isometria.Un caso particolare di rotazione è la rotazione nulla, ossia la rotazione di angolo nullo o di un angolo multiplo di un angolo giro. La rotazione nulla coincide con l’identità.

La composizione di rotazioni

Consideriamo due rotazioni con lo stesso centro O e con angoli di rotazionediversi α e β e le rotazioni indicate rispettivamente con: r (O;α ) e r (O; β). La trasformazione composta r (O;α ) ○ r (O;β ) è una nuova rotazione avente lo stesso centro O e angolo uguale all’angolo somma di α e β :

r (O;α ) ○ r (O; β)=r (O; α + β )N.B. Non è detto, invece, che la composizione di due rotazioni di centri diversisia ancora una rotazione.

Le equazioni delle rotazioni

Consideriamo la rotazione avente per centro l’origine O degli assi cartesiani e di angolo α,

P(x;y) P(x’;y’)

è definita dalle equazioni:

' cos

' cos

x x ysen

y xsen y

Se il centro della rotazione è il punto C(a;b) , si può pensare di ottenere la rotazione di centro C e angolo α come la composizione della traslazione che porta C in O, successivamente della rotazione di centro O angolo α e infine della traslazione che riporta C alla posizione iniziale:

Quindi

( ; ) " 'cos ' cos'

" 'cos ' cos'COt r O x x y sen x a y b senx x x a

y x y sen x a y b seny y y b

��������������

; ) " cos

" cosrCx x x ysen p

y y x ysen q

'" " cos cos"

'" " cos cos"CO

t x x a x a y b sen a x ysen px

y y b x a y b sen b x ysen qy

��������������

3. LA SIMMETRIA CENTRALE

Si può dimostrare che la simmetria centrale è un’isometria.

Infatti è sufficiente considerare Il quadrilatero ABB’A’: esso è un parallelogrammo in quanto le sue diagonali si dimezzano quindi eAB// A’B’.

Nelle simmetrie centrali a ogni retta corrisponde una retta a essa parallela

' 'AB A B

Equazioni della simmetria centrale

In un sistema di assi cartesiani ortogonali, dato un punto M( a;b), la simmetria centrale di centro M

P(x;y) P(x’;y’)

è definita dalle equazioni:

' 2

' 2

x a x

y b y

La simmetria centrale rispetto all’origine degli assi

Se il centro di simmetria è l’origine degli assi le equazioni della simmetria diventano:

'

'

x x

y y

LA SIMMETRIA ASSIALE

La retta r viene detta asse di simmetria.Si può dimostrare che la simmetria assiale è un’isometria.

La composizione di due simmetrie assiali

La composizione di simmetrie con assi non paralleli

LE AFFINITÀ

Le trasformazioni geometriche che abbiamo visto sono delle particolari biiezioni del piano: Una trasformazione geometrica è una funzione biunivoca che associa ad ogni P del piano un punto P’ dello stesso piano. Una trasformazione muta F in una figura F’ nel senso che associa ad ogni punto di F altri punti del piano che costituiscono una nuova figura F’.

Se F ha proprietà P1 , P2 ,… F’ avrà proprietà P’1 , P’2 ,…che in generale possono non coincidere con quelle di F : quelle che coincidono si dicono proprietà invarianti della trasformazione.

F’F

Ad esempio in una similitudine mantiene inalterate le forme ma non le misure

dei segmenti.

Si può dimostrare che per una affinità le proprietà più importanti sono:•Allineamento: tre o più punti allineati si trasformano in tre o più punti allineati quindi le rette si trasformano in rette e i segmenti si trasformano in segmenti.•Parallelismo: rette parallele sono trasformate in rette parallele. Da ciò consegue che i parallelogrammi vengono trasformati in parallelogrammi.•Incidenza: se due rette si incontrano in un punto P le loro immagini si incontrano in P’, immagine di P

• Coniche : un’ellisse è trasformata in un’ellisse, una parabola è trasformata in una parabola, un’iperbole in una iperbole, una circonferenza, in generale in una ellisse.• Rapporto tra le aree: il rapporto tra le aree di figure corrispondenti è costante; Indicando con S una figura piana e con S’ la sua immagine si ha:

Dove k è detto rapporto di affinità. Se k=1 allora l’affinità conserva le aree. Le affinità che conservano le aree si dicono equiaffinità o equivalenze.• punti medi : trasformano il punto medio di un segmento nel punto medio del segmento corrispondente

'S

S

Ak

A

In generale un’affinità non conserva le distanze. Anche la forma delle figure non è invariante, per esempio un triangolo rettangolo si può trasformare un triangolo ottusangolo.Nell’insieme delle affinità troviamo come casi particolari le similitudini e le isometrie.

Per le similitudini, in particolare oltre alle proprietà precedentemente elencate si conserva:•Rapporto tra lunghezze: il rapporto tra le lunghezze di segmenti corrispondenti è costante ed è uguale alla radice quadrata del rapporto di affinità.•Ampiezza degli angoli: ad un angolo del piano viene associato un angolo ad esso congruente. Da ciò segue che rette perpendicolari si trasformano in rette perpendicolari;•la forma: una circonferenza si trasforma in una circonferenza, l’immagine di una figura la figura stessa ingrandita o rimpicciolita.

Per le isometrie, oltre a tutte le proprietà precedenti si conservano: •La forma•le lunghezze•l’estensione delle superfici

EQUAZIONI DELLE AFFINITÀ

Un’affinità è una trasformazione geometrica di equazioni:

Esempio

'( ; ) ' ' 0

' ' ' ' ' '

x ax by c a bP x y con ab a b

y a x b y c a b

La trasformazione

È un’affinità pervhè è rappresentata da una coppia di equazioni lineari, in cui il determinante

' 2 5

' 1

x x y

y x y

2 12 1 3 0

1 1

In ogni affinità il rapporto k è dato dal valore assoluto del determinante dell’affinità

In particolare se l’affinità si dice diretta e conserva l’orientamento

dei vertici di un poligono, mentre se l’affinità si dice indiretta e

inverte l’orientamento

' '' '

a bk ab a b

a b

0' '

a b

a b

0' '

a b

a b

I PUNTI UNITI

Abbiamo visto che un punto unito di una trasformazione è un punto del piano che si trasforma in se stesso, cioè che è immagine di se stesso. Per esempio in una rotazione il centro della rotazione è un punto unito. Vediamo come si determinano i punti uniti di una trasformazione. Se:

Vuol dire che x’=x e y’=y, quindi gli eventuali punti uniti sono soluzione del sistema

( ; ) ( ; )P x y P x y

1 0

' ' 1 ' 0' ' '

a x by cx ax by c

a x b y cy a x b y c

Il sistema può essere:

•Determinato → una sola soluzione → un solo punto unito•Indeterminato → infinite soluzioni → infiniti punti uniti• Impossibile → nessuna soluzione → nessun punto unito

RETTE UNITE

Una retta unita è una retta del piano che si trasforma in se stessa. In particolare una retta unita può essere puntualmente unita, cioè costituita da punti uniti. Per esempio in una simmetria assiale l’asse di simmetria è puntualmente unita mentre ogni retta perpendicolare all’asse di simmetria è unita. Per determinare una retta unita si considera una generica retta del piano, si determina la sua immagine e si impone che le due rette coincidano. Vediamolo con un esempio

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