2011

Las Matemáticas y la Robótica Julieta Yasmín Goldsmidt

MONOGRAFÍA ANUAL

Tema: “Las matemáticas y la robótica para la humanidad”

Alumna: Julieta Yasmín Goldsmidt

Profesor/a: Paolo Corradini

Materia: Matemática

Director/a: Mónica Márquez

Colegio: Escuela Argentina del Oeste

Curso: 3º Polimodal; Orientación “Humanidades”

Año: 2011

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Introducción

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Introducción

"Las Matemáticas no son un recorrido prudente por una autopista despejada, sino un viaje a

un terreno salvaje y extraño, en el cual los exploradores se pierden a menudo."  W.S. Anglin

(1992)

Desde el inicio de nuestra razón nos preguntamos qué somos. Aparentemente

esto es imposible de responder; pero, si hubiera alguna forma de acercarnos a la

respuesta, rápidamente nos enfocaríamos en aquello que hacemos a lo largo de

nuestras vidas en relación a nuestros objetivos personales.  Hay situaciones en

donde esta pregunta es fundamental  para definir nuestro futuro y yo me he

encontrado en una de ellas.

A los cuatro años, mis padres me habían regalado una cocina de juguete y, a

diferencia de cualquier niña, me sentía algo decepcionada. No podía entender

para qué a una nena de tan poca edad le iban a regalar una cocina, que no

servía ni siquiera para crear algo “real”, cuando con semejante estructura de

plástico podían hacerse tantas otras cosas. Con el tiempo la cocina nunca se usó

hasta que un día se me ocurrió: ¿Por qué no usarla de laboratorio?, y así

sucedió: junto a el  microscopio que me habían regalado para Navidad y  todos el

resto de juguetes  rotos que iba acumulando comencé a inventar. Desde ese

momento supe que lo mío era crear; lo que sea, pero crear. Esta anécdota puede

aparentar ser inadecuada pero, a la hora de elegir mi carrera en lo primero que

pensé fue en ese recuerdo  y es el día de hoy que pude descubrir mi más

profundo sueño: el de crear tecnología con fines positivos para el ser humano.

Para quienes  lean esto último, les puede parecer una frase altamente

desgastada, pero puedo asegurar que abarca mi más auténtico deseo.

Día tras día observo como la evolución de  la ciencia aporta a nuevas

herramientas tecnológicas que automatizan la vida cotidiana, pero poco se hace

conocer acerca de éstas para la aplicación de recursos con fines  realmente

beneficiosos para el hombre. Estamos más acostumbrados a saber sobre los

nuevos modelos de teléfonos celulares existentes en las grandes industrias, que

en las extremidades robóticas capaces de habilitar a un paralítico el poder

caminar, correr y vivir mejor. Es por esto que la tecnología generalmente es

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analizada desde un punto muy pesimista, pero realmente sucede a causa del

desconocimiento de todo lo que se puede lograr cuando se la utiliza

correctamente.

Curiosamente ocurre una analogía entre este hecho y cómo se observa a la

matemática. Esta ciencia ha aportado una cantidad de recursos invaluables para

el desarrollo del hombre y su entorno; pero a pesar de todo lo que nos ofreció, se

mantiene oculta humildemente detrás  de las grandes pirámides, edificios,

monumentos,  medios de transporte, hasta el mismo suelo que pisamos o la silla

en la que estamos sentados. Mientras, la sociedad, para no caer tan

específicamente en los posibles factores,  se ha ocupado de darle tan mala fama

categorizándola muchas veces como ciencia “pesada” o “aburrida”, como se ha

hecho con los avances tecnológicos prejuzgándolos al nivel de dañinos.

Realmente se desconoce que la matemática puede ser tan interesante  y

misteriosa que no alcanzaría una vida entera para poder apreciarla en su

totalidad.

El objetivo de este trabajo monográfico es demostrar o verificar de diversas

formas el hecho de que la matemática, a través de su aporte cinemático y

dinámico, ha perfeccionado la robótica generando un desarrollo tecnológico que

mejoró la calidad de vida de la humanidad.

Éste es un tema muy amplio que depende de diversos conocimientos que serán

explicados brevemente para luego poder adentrarse en el hermoso arte de la

creación, como son la matemática y la robótica. En el capítulo 1 se observarán

los conceptos matemáticos y físicos esenciales para la comprensión del trabajo.

Luego, en el capítulo 2 se dará una básica explicación del área robótica que no

debe dejarse de lado. Y por último, en el capítulo 3 podrá asimilarse como estos

3 ejes de conocimiento nombrados se fusionan para lograr una verificación de la

hipótesis de investigación que he expuesto.

Espero que este trabajo realizado pueda lograr un aporte, aunque sea mínimo,

al alcance de nuevos conceptos que nos puede otorgar la matemática.

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Desarrollo

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Capítulo IConceptos matemáticos y físicos básicos

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I. Conceptos previos para la comprensión de la monografía

Antes de comenzar con el tema central de la monografía, es requerido abarcar los conceptos fundamentales y básicos para la comprensión e investigación de lo que llamaremos dinámica* y cinemática* asociadas al análisis de la robótica que se pasará a exponer a continuación.  

I .1. Conceptos matemáticos I.1.A.Matrices

Una matriz es un arreglo rectangular que agrupa elementos (pueden ser vectores, puntos, ecuaciones, funciones u otras matrices). Son un recurso muy importante para expresar y discutir problemas que surgen en la vida real y nos muestra una representación más clara y fácil de los datos.  Las matrices, así como los vectores, son un instrumento importante para presentar cálculos complejos, expresiones y relaciones de una forma más sencilla.

Esta matriz llamada A contiene “m” filas y “n” columnas y se expresa de la siguiente forma:

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[aij] Є Amxn; [aij] Є R

a11 a12 a13… a1n

a21 a22 a23…a2n A= a31 a32 a33… a3n

: : : :

am1 am2 am3… amn

Ejemplo: A Є M3x4

2 5 9 3A= 1 6 7 0 5 8 4 2

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Tipos de matrices: Matriz cuadrada: [n=m] => Mmxm Matriz cero o nula: Cuando todos sus elementos son 0. Matriz fila: Cuando esta formada por una sola fila. Matriz columna : Cuando esta formada por una sola columna. Matriz opuesta : Cuando sumada a la primitiva da cero. Se indica

simbólicamente –M. Los elementos componentes de la matriz opuesta son los opuestos de los correspondientes a la primitiva. Ej. A= [-3 2] ; –A = [3 -2]

Matriz diagonal: Cuando todos los elementos que componen la diagonal principal (a11; a22; a33… anm) son distintos de cero y el resto de los elementos son nulos.

Matriz escalar: Tipo de matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal no solo son distintos a cero sino que además son iguales. Es decir a11=a22=a33=…=anm.

Matriz unidad: Tipo de matriz escalar en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a uno.

Matriz transpuesta( At) : A= [aij] => At =[aji] Matriz simétrica: (At = A) <=> [aij] = [aji] Matriz anti simétrica: At [aji] = -A= [-aij]. Matriz identidad : Matriz cuadrada en la cual todos los elementos de la diagonal

principal son iguales a 1 y todos los demás elementos son iguales a 0. Se puede expresar simbólicamente como In Є Mnxn.

Operaciones entre matrices:

-Suma entre matrices : [ A ∪ B Є Mmxn] => [A+B = aij + bij = cij = C] => [C Є Mmxn]Propiedades: Asociativa: [A ∪ B ∪ C Є Mmxn] => [(A + B) + C = A + (B + C)] Conmutativa: [A ∪ B Є Mmxn] => [A + B = B + A] Existencia de matriz cero nula: [A Є Mmxn] => [A + 0 = 0 + A = A] Existencia de matriz opuesta: [(A Є Mmxn) . ( A = [-aij])] => [A + (-A) = 0]

-Producto por un escalar (α) [A Є Mmxn] . [α Є N] => [αA = αaij]

Propiedades:

Asociativa: [A Є Mmxn] . [α∪β Є N ] => (αβ)A = α(βA) Elemento Neutro: [A Є Mmxn] =>[ 1·A = A] Distributiva: [A ∪ B Є Mmxn]. [α∪β Є N] => [α (A+B) = α A+ α B]. [(α+β)A =

αA+βA]

-Producto de matrices [A Є Mmxp ] . [ B [A Є Mmxp ]] => [AB = ai1 b1j + ai2 b2j + …+ aip bpj = C]. [C Є Mmxn ]

Propiedades : Propiedad asociativa: (AB) C = A (BC). Propiedad distributiva [(A + B) C = AC + BC] ^ [C(A + B) = CA + CB]. Existencia de producto de matrices con divisor nulo: [AB = 0] => [∃ A ^ B ≠ 0] Simplificación no siembre existente: [AB = AC] => [ ∃ B ≠ C] No conmutativa: [AB ≠ BA]. Por lo tanto no existe la división entre matrices. Matriz identidad: [AI = IA = A]

El determinante: El determinante de una matriz cuadrada es un número que se obtiene a partir de los elementos de ésta. El escalar* obtenido tiene el fin de representar a la matriz. En el caso de que ésta sea de orden 3, es decir A 3x3, el determinante se logra de la siguiente forma:

I.1.B. Vectores

Un vector es un segmento orientado que resulta como herramienta para representar magnitudes físicas como puede ser la fuerza o la velocidad. Este elemento siempre posee un origen (el punto de aplicación) y un extremo que lo determinan, otorgándole una dirección (la recta que lo forma), longitud (módulo* de la distancia entre el origen y el extremo) y sentido (orientación). Los vectores se representan mediante dos letras mayúsculas que indican su origen y el extremo, los cuales llevan superpuesta una flecha, también se puede señalar con una letra minúscula acompañada de una flecha en la parte superior. Operaciones con vectores y sus propiedades.

- Suma: Se define la suma como a + b = (a1+b1, b2 + b2, a3+b3,…., an+bn). Ocurre lo mismo en la resta. Suponiendo que haya dos vectores llamados “v” y “w”, su suma será equivalente a la diagonal formada a partir del paralelogramo que posea los lados “v” y “w”. (Ley del Paralelogramo). En la adición también se cumple la propiedad asociativa y conmutativa, como también la existencia de un elemento neutro y uno opuesto.

- Producto: Producto entre un vector y un escalar: Esta multiplicación da por resultado un vector y se realiza multiplicando al escalar por cada una de las componentes del vector de la siguiente forma [v = (x, y)] => k v =  k (x, y) = (kx, ky)

Producto Escalar: Multiplicación entre dos vectores que da por resultado un escalar. Se realiza de la siguiente forma v (x, y, z) * w (wx, wy ,wz ) = x wx + y wy +w wz

= Escalar-Producto Vectorial: Multiplicación entre dos vectores que da por resultado otro

vector. Esto puede realizarse a partir de la aplicación de determinantes. Los

Cosθ -Senθ

Senθ Cosθ

elementos “i”, “j” y “k” son versores* que se hallan simbólicamente, permitiendo la resolución del producto.

I.1.C Transformaciones

“Una transformación en un plano, es una aplicación que se hace corresponder a cada punto P de coordenadas (x, y) del plano, otro punto P’ de coordenadas (x’, y’) del mismo plano. En consecuencia, cualquier punto conjunto de puntos F se pueden transformar en otro conjunto de puntos F’ ”1

Las transformaciones que se requiere conocer para poder desempeñarse en los modelos cinemáticos son la traslación y la rotación.La traslación representa el desplazamiento de un punto o un conjunto de éste, a partir de un vector fijo ( “v”), que no es nulo. Para resolver la traslación de un punto “P” de coordenadas (x,y) se le asocia un vector “r” = (x,y) y una matriz columna (x,y), de forma que una translación “T” según el vector v = ( v1,v2), se puede representar como la suma de matrices. Es decir, [(x’= x +v1) ^ (y’= y+v2)] => T = = P’ (x’, y’)

La rotación, geométricamente es la transformación o giro de una figura en torno a un punto fijo, que se lo denomina centro de rotación (puede estar en tanto en interior como en el exterior de la figura). Cuando la figura “F” rota un ángulo θ en sentido antihorario, se obtiene la figura F’. Para poder determinar la figura transformada es necesario multiplicar la matriz de rotación por la matriz columna asociada a ese punto.

La matriz de rotación que se utiliza en dos dimensiones es :

1 VALDIVIESO Renato, Caracas, Venezuela. Matematica Maravillosa, Matrices y Transformaciones, Fascículo 21; Caracas; Fundación Polar; 1º edición; 2006; p.162.

x+v1y+v2

En cuanto a tres dimensiones, existen 3 tipos de matrices, de acuerdo a cual sea su centro de rotación:

I.1.D Aplicaciones matriciales en la física

Las matrices como pudimos observar también pueden representar expresiones lineales. Por lo tanto muchas veces en la física se suelen utilizar estas, en su calcificación de tensores* para análisis dinámicos. Algunos de los casos pueden ser: El tensor de inercias*, la matriz que da cuenta de las aceleraciones centrífuga y de Coriolis, la matriz de gravedad y la de rozamiento viscoso.

Para comprender al menos lo básico de este tema es necesario comprender los siguientes conceptos.

Momento de inercia: El momento de inercia (I) es una medida de la inercia rotacional* de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional ser puede representar como una magnitud escalar llamada momento de inercia. Sin embargo, la inercia rotacional debe ser representada por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado tensor de inercia.

Aceleración centrífuga: La aceleración centrífuga es la aceleración que toma un cuerpo determinado por causa de la fuerza centrifuga. Esta última en realidad es una fuerza de inercia, producida por, justamente, la inercia de los cuerpos al moverse en torno a un eje. Es importante aclarar que la fuerza centrífuga aumenta con el radio del giro (r) y con la masa (m) del cuerpo.

El efecto Coriolis: es el que se observa en un sistema de referencia en rotación (no siendo inercial) cuando un cuerpo se halla en movimiento en relación a un sistema de referencia. Ésto consiste en la producción de una aceleración relativa del cuerpo en dicho sistema en rotación. Esta aceleración siempre supone ser perpendicular al eje de rotación del sistema y a la velocidad del cuerpo.

La gravedad: Es una fuerza física que la Tierra ejerce sobre todos los cuerpos hacia su centro. También se trata de la fuerza de atracción de los cuerpos en relación a su masa.

La viscosidad: Es el rozamiento interno entre las capas de un fluido*. A causa de la viscosidad, es necesario ejercer una fuerza para obligar a una capa de fluido a deslizar sobre otra.

Capítulo IILa robótica

II. La robótica

II.1 Introducción a la robótica

La robótica es una ciencia que estudia el diseño y construcción de máquinas capaces de desempeñar tareas realizadas por el ser humano. Las ciencias y tecnologías de las que deriva son: el álgebra*, los autómatas programables*, las máquinas de estados*, la mecánica* y la informática*. Estás maquinas que poseen la capacidad de manipular objetos y realizar actividades propias de los humanos se denominan robots. Un robot es una estructura electromecánica* que se desempeña con un determinado nivel de autonomía, a través de un procesador de datos, para la realización de una cierta tarea. Éste debe disponer de un sistema sensorial que pueda captar información del entorno. “La palabra Robot surge con la obra RUR, los "Robots Universales de Rossum" de Carel Capee, es una palabra checoslovaca que significa trabajador, sirviente”2

II.2 Estructura mecánica de un robot

Mecánicamente, un robot está constituido por un encadenamiento de elementos o eslabones unidos a partir de articulaciones que permiten un movimiento relativo entre cada dos eslabones consecutivos. La estructura física de la mayoría de los robots industriales es muy parecida a la anatomía del brazo humano. (ANEXO1)

Los movimientos posibles para las articulaciones son: (ANEXO 2) Desplazamiento (articulación lineal o prismática), Giro (articulación rotacional o de revolución), La combinación de ambos, (este último es menos común en la práctica).

Cada movimiento independiente que puede ejecutar una articulación en relación a su anterior se lo llama grado de libertad (GDL). El número de GDL del robot es resultado de la suma de los grados de libertad de las articulaciones que lo forman. Habitualmente el número de GDL suele coincidir con la cantidad de articulaciones que lo constituyen. Si se quiere posicionar un objeto de cualquier modo en el espacio se precisan 6 GDL (tomando en cuenta tanto la posición como la orientación).

2 GRUPO NORIEGA, Ciudad de México, México. Historia de la ciencia y tecnología III; Ciudad de México; Editorial Limusa; 1° edición; 2000; p. 24.

En definitiva, la ejecución de una tarea implica que el efector final* del manipulador produzca un movimiento establecido. Para que esto ocurra, se requiere de un sistema de control que garantice la eficaz realización del movimiento del efector final, para lo cual debe ser posible encontrar la manifestación parcial de las fuerzas y torques que se aplicarían a los actuadores con el objetivo de garantizar que las trayectorias de referencia se cumplan. Es fundamental disponer de un modelo que represente el comportamiento del robot. Este modelo debe aplicar la cinemática del manipulador, es decir; el movimiento del manipulador en relación a un sistema de referencia cartesiano fijo, y en otras palabras, el comportamiento del robot en función de las fuerzas y momentos aplicados.

Capítulo IIILa matemática en acción

III. La matemática en acción

En este trabajo monográfico se podrán apreciar los diversos recursos matemáticos que se utilizan en la robótica. El problema más elemental que debe resolverse es lograr un modelo geométrico de la estructura del robot que permita relacionar los grados de libertad (las variables generalizadas) con las coordenadas cartesianas de cada punto que constituye el robot. Esto se lo conoce como problema cinemático directo, y para robots clásicos tiene una solución muy sencilla. Pero el inconveniente que surge cuando se intenta ubicar un brazo robótico o una pierna de un humanoide es justamente el opuesto, ya que se inicia a partir de las posiciones cartesianas como valores de entrada y lo que se debe hallar son los valores de las variables generalizadas. El problema cinemático inverso sólo puede solucionarse de manera analítica en casos sencillos, y puede poseer desde cero hasta infinitas soluciones. En algunos casos particulares se puede hacer un proyecto relativo establecido a partir de matrices jacobianas*.

Debe observarse que el planteamiento cinemático no es válido cuando se pretende manipular objetos en movimiento. Es necesario entonces plantear modelos dinámicos donde intervenga el tiempo. Debe también tenerse en cuenta que un robot debe moverse en tiempo real, por lo cual es necesario plantear soluciones de baja complejidad computacional.

III.1 Modelo cinemático

“La cinemática del robot estudia el movimiento del mismo con respecto a un sistema de referencia. La cinemática se interesa por la descripción analítica del movimiento espacial del robot como una función del tiempo, y en particular por las relaciones entre la posición y la orientación de la herramienta del robot con los valores que toman sus coordenadas de sus articulaciones”. 3

Existen dos problemas elementales en la cinemática del robot. El primero se conoce como el problema cinemático directo. Éste reside en establecer la posición y orientación del efector final del robot en relación a un sistema de coordenadas 3 ACOSTA SÁNCHEZ, Leopoldo & SIGUT SAAVEDRA, Marta. Islas Canarias, España. Curso Interuniversitario “Sociedad, Ciencia, Tecnología y Matemáticas”; Departamento de Física Fundamental y Experimental, Electrónica y Sistemas, Universidad de La Laguna; 1º edición 2005; p.3.

tomado como referencia, conociendo los valores de las articulaciones y los parámetros geométricos de los componentes del robot. El segundo, llamado problema cinemático inverso, consiste en establecer la configuración que debe poseer el robot para una posición y orientación del extremo (que se conocen previamente).

III.2 Problema cinemático directo

La cinemática directa se basa en obtener la ubicación en el espacio del cuerpo a partir de los valores de las variables generalizadas. Éstas están relacionadas con la disposición de las articulaciones y establecen sus propiedades de movimiento. A partir de esto se puede decir que para las articulaciones de revolución la variable generalizada debe ser un ángulo, y para las prismáticas un desplazamiento. Frecuentemente, las variables generalizadas se representan como q, y su subíndice al número de articulación. Generalmente se debe numerar tanto las articulaciones como los eslabones para hallar su identificación y expresar su rotación o traslación en relación al anterior.Para un robot de n grados de libertad se tiene:

X = fx (q1,q2,q3,q4,q5,…qn)Y = fy (q1,q2,q3,q4,q5,…qn)Z = fz(q1,q2,q3,q4,q5,…qn)α = fα (q1,q2,q3,q4,q5,…qn)β = fβ (q1,q2,q3,q4,q5,…qn)γ = fγ (q1,q2,q3,q4,q5,…qn)

q1…n = Son las variables de las articulaciones.

x, y , z = Coordenadas de la posición del extremo del robot.

fx (q1,q2,q3,q4,q5,…qn) = Ángulos de la orientación del extremo del robot.

A partir de un básico modelo geométrico para una articulación de 3 GDL en dos dimensiones se tiene

En este caso

X= l1 Cos θ1 + l2 Cos( θ1 + θ2 )+ l3 Cos (θ1 + θ2 + θ3)

Y= l1 Sen θ1 + l2 Sen( θ1 + θ2 )+ l3 Sen (θ1 + θ2 + θ3)

Para robots de más de 3 GDL es dificultoso emplear procedimientos geométricos para la solución de su cinemática directa. Por eso, a cada eslabón se le asocia un sistema coordenado y a partir del uso de transformaciones homogéneas es posible expresar las rotaciones y traslaciones relativas entre los distintos eslabones que forman el robot.

III.2.A Aplicación Matricial

Para representar la transformación de un sistema de coordenadas con respecto al anterior se deben usar matrices de transformación homogéneas.Siendo la matriz: Ai

i-1 de transformación homogénea que representa la posición y orientación relativa entre los sistemas asociados a dos eslabones consecutivos del robot. Para el caso de un robot de 6 ejes, su cadena cinemática queda representada por la siguiente matriz de transformación homogénea:

T= A06 = A0

1 • A 12 • A 2

3 • A 34 • A 4

5 • A 56

Esta matriz T4x4 representa la transformación de un vector de un sistema de coordenadas a otro y se constituye por 4 submatrices*:

R3x3 = Submatriz de RotaciónP3x1 = Submatriz de Traslación F1x3 = Submatriz de PerspectivaE1x1 = Submatriz de Escalado Global

En la robótica, se suele aplicar a la Submatriz de Perspectiva como nula y la de Escalado Global con la constante uno.

III.2.B Algoritmo* de Denavit - Hartenbeng

Para arreglos de enlaces más complejos es preferible usar una notación estandarizada para describir la geometría de un manipulador. Esto fue propuesto en 1955 por Denavit and Harbenterg y actualmente su uso es muy beneficioso.Según la representación DH, escogiendo adecuadamente los sistemas de coordenadas asociados para cada eslabón, sería posible pasar de uno al siguiente mediante 4 transformaciones básicas que dependen exclusivamente de las características geométricas del eslabón. Estas transformaciones básicas consisten en una sucesión de rotaciones y traslaciones que permitan relacionar el sistema de referencia del elemento i con el sistema del elemento i-1. Las transformaciones en cuestión son las siguientes:

1. Rotación alrededor del eje ´ Zi−1 un Angulo θi

2. Traslación a lo largo de ´ Zi−1 una distancia di; Vector di (0, 0, di).3. Traslación a lo largo de Xi una distancia ai; Vector ai (0, 0, ai).4. Rotación alrededor del eje Xi, un ángulo αi

1. θ i: Es el ángulo que forman los ejes Xi-1 y Xi medido en un plano perpendicular al eje Zi-1, utilizando la regla de la mano derecha. Se trata de un parámetro variable en articulaciones giratorias.

2. d i: Es la distancia a lo largo del eje Zi-1 desde el origen del sistema de coordenadas (i-1)- esimo hasta la intersección del eje Z i-1 con el eje Xi. Se trata de un parámetro variable en articulaciones prismáticas.

3. a i; Es a la distancia a lo largo del eje X i que va desde la intersección del eje Zi-1

con el eje Xi hasta el origen del sistema i-esimo, en el caso de articulaciones giratorias. En el caso de articulaciones prismáticas, se calcula como la distancia más corta entre los ejes Zi-1 y Zi.

4. α i: Es el ángulo de separación del eje Z i-1 y el eje Zi, medido en un plano perpendicular al eje Xi, utilizando la regla de la mano derecha.

Una vez obtenidos los parámetros DH, el cálculo de las relaciones entre los eslabones consecutivos del robot es inmediato, ya que vienen dadas por las matrices A, que se calcula según la expresión general:

i−1 [A] i = [T, zi−1, di] [T, zi−1, θi ] [T, xi, ai] [T, xi, αi ]

Obteniéndose la expresión general DH:

En el anexo se puede observar paso por paso y gráficamente cómo es posible determinar cada transformación para la realización eficaz del algoritmo. (ANEXO 3)

III.3 Problema cinemático inverso

El fin del problema cinemático inverso se basa en hallar los valores que deben adoptar las coordenadas articulares del manipulador para que su extremo se posicione y oriente según una determinada localización espacial. Así como se puede utilizar el problema cinemático directo de forma sistemática a partir del de matrices de transformación homogéneas, e independientemente de la configuración del robot, no

sucede igual con el problema cinemático inverso. En este caso el medio de obtención de las ecuaciones es altamente dependiente de la configuración del robot.

Igualmente, a pesar de esta dificultad, la mayoría de los robots tienen cinemáticas relativamente sencillas que facilitan de alguna forma la resolución del problema cinemático inverso.

Los métodos geométricos generalmente consiguen obtener los valores de las primeras variables articulares, que son las que permiten posicionar el robot (desconociendo la orientación de su extremo). Para esto se utilizan relaciones trigonométricas y geométricas sobre los componentes del robot. Frecuentemente se recurre a la resolución de triángulos constituidos por los elementos y articulaciones del robot que, a veces, llegan a infinitas soluciones.

III.4 Modelo dinámico

“La dinámica se ocupa de la relación entre las fuerzas que actúan sobre un cuerpo y el movimiento que en él se origina como resultado de las mismas. Por lo tanto, el modelo dinámico de un robot tiene por objeto conocer la relación entre el movimiento del robot y las fuerzas aplicadas”.4

La elaboración de este modelo para robots de 1o 2 GDL no llega a ser tan complicada pero, a medida que la cantidad de GDL crece, el diseño y obtención del modelo dinámico se dificulta considerablemente. Es por esta razón que no siempre se

4 ACOSTA SÁNCHEZ, Leopoldo & SIGUT SAAVEDRA, Marta. Islas Canarias, España. Curso Interuniversitario “Sociedad, Ciencia, Tecnología y Matemáticas”; Departamento de Física Fundamental y Experimental, Electrónica y Sistemas, Universidad de La Laguna; 1º edición 2005; p.6

Conclusión

logra obtener un modelo dinámico representado a través de una serie de ecuaciones, que permita saber qué movimiento surge a partir de una determinada fuerza o qué fuerzas se deben aplicar para la obtención de un movimiento específico. Por lo tanto este modelo debiera ser resuelto de manera reiterada a partir de la utilización de un procedimiento numérico.

El inconveniente que surge a partir de la obtención del modelo dinámico de un robot es uno de los aspectos más confusos y complejos de la robótica, que lo ha llevado a ser evadido en diversas situaciones. No obstante, el modelo dinámico es fundamental para efectuar tareas como la simulación del movimiento de un robot, su diseño y

Conclusión

En este trabajo monográfico se ha podido observar la gran diversidad de recursos

que puede ofrecer la matemática para el desarrollo de la tecnología. Retomando mi

hipótesis expuesta en la introducción, afirmo que la matemática, a través de su aporte

cinemático y dinámico, ha perfeccionado la robótica generando un desarrollo

tecnológico que mejoró la calidad de vida de la humanidad. Como puede apreciarse,

a través del algoritmo Denavit- Hartenberg, o simplemente la aplicación matricial para

las transformaciones del movimiento de cuerpos rígidos, claramente mi hipótesis

puede verificarse y afirmarse muy fácilmente. Ya que a través de todo el trabajo

realizado se han dado nítidos aportes de las matemáticas para la función de la

estimación de su estructura mecánica, dimensionamiento* y la elección de los actuadores*.

“La obtención del modelo dinámico de un determinado mecanismo, y en particular de un robot, se basa fundamentalmente en el planteamiento del equilibrio de fuerzas establecido en la segunda ley de Newton, o su equivalente para movimientos de rotación, la denominada ley de Euler. Del planteamiento del equilibrio de fuerzas y pares que intervienen sobre el robot se obtienen los denominados modelos dinámicos directo e inverso, que consisten en lo siguiente:

robótica ( por ejemplo, los casos nombrados recientemente)

La matemática interviene en todo lo que nos rodea. Si esta no existiera, o no hubiera

tenido los progresos algebraicos que hemos visto como matrices y vectores; quizás

nunca se habría podido establecer el modelo para realizar un robot, o ni siquiera

podríamos estar usando computadoras (ya que estas se basan en el sistema binario y

en matrices), por lo tanto el hecho de que la matemática es una fundadora de la

tecnología actual y de sus avances, queda más que claro.

Una vez aclarado este punto fundamental, es necesario destacar más allá del cómo

(visto en todo este trabajo), desarrollar el dónde y el porqué. En esta monografía

únicamente he manifestado cómo la matemática aporta a la robótica, pero no se

puede observar en donde se puede aplicar. Es por eso que es necesario aclarar que

sus utilidades son prácticamente infinitas, pues, si la monografía tratara sobre este

tema, directamente nunca se lograría finalizar. Para generalizar, se puede decir que

esta ciencia, junto a la robótica, ha favorecido sustancialmente a la medicina , la

informática, la accesibilidad, las diversas industrias, otras ciencias como la física,

química, biología, arqueología; también a la agricultura, la astronomía, y la lista podría

ser interminable.( Para ver ejemplos específicos ver ANEXO)

De esta forma se puede observar claramente que estos dos pilares (la robótica y las

matemáticas) fueron, son y serán un recurso ilimitado para que el hombre pueda

mejorar su calidad de vida.

Anteriormente nombré al porqué, y esto surge a partir de una pregunta muy sencilla:

¿El hombre se merece y puede ser responsable de semejante poder que le otorga la

tecnología? Quizás la respuesta no se pueda establecer en unas simples páginas,

pero lo que sí se puede plantear, es que mientras la ética exista y nos intervenga,

podemos confiar en la tecnología.

Es por esto que debemos ocuparnos , desde nuestras más diminutas posibilidades,

para que los nuevos recursos estén en manos de quienes luchan día a día por el

Modelo dinámico directo: expresa la evolución temporal de las coordenadas articulares del robot en función de las fuerzas y pares que intervienen.

Modelo dinámico inverso: expresa las fuerzas y pares que intervienen en función de la evolución de las coordenadas articuladas y sus derivadas

El diseño del equilibrio de fuerzas en un robot real de a partir de 5 GDL es altamente complejo y se debe tomar en cuenta que, a partir de las fuerzas de inercia y gravedad, surgen fuerzas de Coriolis debidas al movimiento relativo existente entre los distintos elementos, así como fuerzas centrípetas que dependen de la configuración instantánea del manipulado”4

Como modelo alternativo para la resolución del modelo dinámico existe la formulación lagrangiana, basada en elementos energéticos, el cual posee una mayor

avance de la humanidad, los que luchan para conseguir una beca del Estado y que

no pueden seguir sus avances de investigación, para aquellos que hacen todo lo

posible por construir brazos y piernas a quien no las tiene, los que construyen casas

inteligentes especializadas para personas con capacidades distintas, quienes

implementas mejoras diariamente a la cirugía robótica, para aquellos que quieren un

mundo mejor, todos y cada uno de ellos se merecen la existencia de una ciencia tan

altruista y desinteresada como es la matemática. Esencia del progreso y arma

creada para la paz.

“No sé lo que pareceré a los ojos del mundo, pero a los míos es como si hubiese sido un

muchacho que juega en la orilla del mar y se divierte de tanto en tanto encontrando un guijarro

más pulido o una concha más hermosa, mientras el inmenso océano de la verdad se extendía,

inexplorado frente a mí”. (Isaac Newton, 1642-1727)

practicidad y se puede considerar más atractivo matemáticamente, facilitando extraordinariamente a una estructura tan compleja como el de un robot Pero, lo negativo de esta alternativa es el coste computacional que posee, siendo mucho más superior al de la formulación Newtoniana. Justamente por esta razón, a la hora de elegir formulaciones para robots con una dinámica muy sencilla, se continúa optando por la de Newton-Euler.

III.4.1 Aplicación algebraica

La ecuación que constituye el modelo dinámico inverso de un robot es la siguiente:

τ = D (q) q + H (q, q) + C (q) + Fv (q) ,

Glosario

D (q) = matriz de inerciasH (q, q) = matriz que da cuenta de las aceleraciones centrífuga y de Coriolis, C (q) = matriz de gravedad Fv = matriz de rozamiento viscoso.

Se trata de una expresión no lineal, por lo que no siempre se obtiene el modelo dinámico directo.

Glosario

Actuadores: Dispositivos que tienen como misión generar el movimiento de los

elementos del robot según las órdenes dadas por la unidad de control.

Álgebra: Parte de las matemáticas en la cual las operaciones aritméticas son

generalizadas empleando números, letras y signos. Cada letra o signo representa

simbólicamente un número u otra entidad matemática. Cuando alguno de los signos

representa un valor desconocido se llama incógnita.

Algoritmo: Conjunto de instrucciones o reglas bien definidas, ordenadas y finitas que

permite realizar una actividad mediante pasos sucesivos que no generen dudas a

quien deba realizar dicha actividad.

Autómatas programables: En electrónica un autómata es un sistema secuencial,

(donde los valores de las salidas, en un momento dado, no dependen exclusivamente

de los valores de las entradas en dicho momento, sino también dependen del estado

anterior o estado interno) aunque en ocasiones la palabra es utilizada también para

referirse a un robot. Puede definirse como un equipo electrónico programable en

lenguaje no informático y diseñado para controlar, en tiempo real y en ambiente

industrial, procesos secuenciales.

Cinemática: Rama de la física y la mecánica clásica que estudia las leyes del

movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen,

limitándose, esencialmente, al estudio de la trayectoria en función del tiempo.

Dimensionamiento: Proceso para determinar la medición deseada de la

característica de una pieza.

Dinámica: Parte de la física que describe la evolución en el tiempo de un sistema

físico en relación con las causas que provocan los cambios de estado físico y/o

estado de movimiento. El objetivo de la dinámica es describir los factores capaces de

producir alteraciones de un sistema físico, cuantificarlos y plantear ecuaciones de

movimiento o ecuaciones de evolución para dicho sistema de operación.

Efector Final: Herramental especial que permite al robot de uso general realizar una

aplicación particular. Se encuentra en el extremo de su estructura.

Escalar: Número real o complejo.

Estructura electromecánica: Dispositivos que combinan partes eléctricas y

mecánicas para conformar su mecanismo

Fluido: Fluido a un conjunto de sustancias donde existe entre sus moléculas poca

fuerza de atracción, cambiando su forma.

Informática: Conjunto de conocimientos científicos y técnicas que hacen posible el

tratamiento automático de la información por medio de ordenadores.

Inercia: Propiedad que tienen los cuerpos de permanecer en su estado de

movimiento, mientras no se aplique sobre ellos alguna fuerza.

Máquinas de estados: Modelo de comportamiento de un sistema con entradas y

salidas, en donde las salidas dependen no sólo de las señales de entradas actuales

sino también de las anteriores. Las máquinas de estados se definen como un

conjunto de estados que sirve de intermediario en esta relación de entradas y salidas,

haciendo que el historial de señales de entrada determine, para cada instante, un

estado para la máquina, de forma tal que la salida depende únicamente del estado y

las entradas actuales.

Matriz jacobiana: Matriz formada por las derivadas parciales de primer orden de una

función. Una de las aplicaciones más interesantes de esta matriz es la posibilidad de

aproximar linealmente a la función en un punto. En este sentido, el jacobiano

representa la derivada de una función multivariable.

Mecánica: Rama de la física que trata del equilibrio y del movimiento de los cuerpos

sometidos a cualquier fuerza.

Módulo: Valor absoluto de un número real. Longitud del segmento que define un

vector.

Submatriz: Matriz formada por la selección de ciertas filas y columnas de una matriz

más grande.

Versor: Vector de módulo 1

Tensor: Cierta clase de entidad algebraica de varios componentes, que generaliza

los conceptos de escalar, vector y matriz de una manera que sea independiente de

cualquier sistema de coordenadas elegido.Para definir un tensor es necesario partir

de un espacio físico que defina cual es el espacio vectorial base sobre el que se

construirán tensores de diferente tipo y orden. Por ejemplo, un tensor de orden 2 es

una matriz.

Bibliografía

Bibliografía

ACOSTA SÁNCHEZ, Leopoldo & SIGUT SAAVEDRA, Marta. Islas Canarias, España.

Curso Interuniversitario “Sociedad, Ciencia, Tecnología y Matemáticas”;

Departamento de Física Fundamental y Experimental, Electrónica y Sistemas,

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BARRIENTOS, Peñin; Madrid, España; Fundamentos de Robótica, Madrid;.Ed. McGraw-

Hill, 1º edición;1997

EINSTEIN, Albert; Barcelona, España; Mi visión del mundo, Ed. de Carl Seelig, 1º

edición; 1981.

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Ciudad de México; Editorial Limusa; 1° edición; 2000

MURRAY, Richard; Florida, U.S.A; A Mathematical Introduction to Robotic

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TORRES TORRITI, Miguel; Santiago de Chile, Chile. Manipuladores Robóticos:

Cinemática Directa y el Procedimiento de Denavi- Hartenberg; Pontifica Universidad

Católica de Chile, Departamentos de Ingeniería Eléctrica; 1º edición; 2005.

TSAI, Lung- Wen; Londres, Inglaterra; Robot Analysis: The Mechanics of Serial and

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VALDIVIESO Renato, Caracas, Venezuela. Matemática Maravillosa, Matrices y

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Diario Clarín, Directora: Herrera de Noble, Ernestina. www.clarin.com/ .Consultado el

29 de agosto de 2011.

Diario Página 12. Director: Tiffenberg, Ernesto. www.pagina12.com.ar/ Consultado el 1

de septiembre de 2011.

Diario La Crónica Presidente: Kahwagi, Jorge Gastinewww.cronica.com.mx Consultado

el 5 de octubre.

Anexo

Anexo

1. Similitudes entre el brazo humano y el mecánico

2. Tipos de movimiento

3. Parámetros D-H

DH1

DH2

DH3

DH4 – DH6

DH7

DH8

DH9-DH12

DH13-DH14

Aumenta el uso de robots cirujanos para atender cáncer de próstataAntimio Cruz | Academia| 2011-09-25 | Hora de creación: 21:43:36| Ultima modificación: 22:36:35

En los últimos 11 años la cirugía robótica abdominal y pélvica para atender cáncer de próstata ha aumentado aceleradamente, según un reporte publicado esta semana por el Instituto Nacional del Cáncer, de Estados Unidos. El sistema de robot cirujano Da Vinci (Da Vinci Surgical System) ahora se utiliza en 4 de cada 5 prostatectomías radicales en ese país y aumenta su adopción en Europa y América Latina. Su uso también es cada vez más frecuente en el tratamiento de

otros cánceres, como los relacionados con tumores ginecológicos, de cabeza y de cuello. En México, la Facultad de Medicina de la UNAM ya tiene un robot cirujano Da Vinci, para educación, y algunos hospitales privados, como la Torre Metropolitana, ya usan ese sistema para hacer cirugías abdominales desde 2005. El informe del Instituto Nacional de Cáncer de Estados Unidos indica que, sólo en América del Norte, existen ya mil robots cirujanos laborando diariamente.Más allá de ser un interesante dato tecnológico, el aumento de cirugías robóticas de próstata ha coincidido con una disminución en el número de muertes por cáncer de próstata en Estados Unidos, pero aún no se puede decir que haya una relación directa entre más robots y menos muertes. Ese es un tema que aún forma parte de una controversia entre cirujanos.Lo que sí es un hecho irrebatible es que el número de cirugías de próstata hechas por robots ha crecido a partir de 2004. Mientras en ese año se realizaron 9 mil prostactectomías robóticas, en 2010 rebasaron las 60 mil anuales.El cambio parece haber alterado para siempre el tratamiento quirúrgico para el cáncer de próstata, según comentó el doctor Hugh Lavery, cirujano urólogo del Centro Médico Mount Sinaí en Nueva York.“Creo que las prostatectomías abiertas y la laparoscopía han desaparecido”, indicó el doctor Lavery. Los datos disponibles indican que los pacientes y los cirujanos “están pidiendo robots, y los están consiguiendo”, agregó.PACIENTES PIDEN ROBOTS. De acuerdo con la periodista Carmen Phillips, quien elaboró un reportaje de investigación sobre robots cirujanos para el Instituto Nacional de Cáncer de Estados Unidos, los médicos han comenzado a experimentar y padecer la exigencia de muchos pacientes que exigen ser operados con robots, aunque no en todos los casos se justifique.Según Carmen Phillips, un estudio de 400 sitios web de hospitales, publicado en línea en mayo pasado, encontró que el 37 por ciento de esos sitios destacaban la cirugía robótica en su página principal, el 61 por ciento utilizó texto preparado por el fabricante del sistema robótico y cerca de uno de cada tres sitios afirmaba que los procedimientos con robot han llevado a mejorar el control del cáncer.

Los pacientes a menudo llegan a la consulta médica con la idea de que les hagan una prostatectomía robótica, de acuerdo con el doctor William Lowrance, oncólogo urólogo del Instituto Oncológico Huntsman de la Universidad de Utah. “Se pueden basar en algo que vieron por Internet o porque un amigo o pariente tuvo una buena experiencia” con la cirugía robótica, explicó. Aproximadamente el 70 por ciento de las prostatectomías que realiza las hace con da Vinci.Varios estudios han documentado que para que los cirujanos perfeccionen su habilidad para manipular el robot se requiere de una amplia curva de aprendizaje. Pero, según el Instituto Nacional del Cáncer de EU, los cirujanos siguen interesados en aprender a usarlo porque con el robot es más fácil realizar un gran número de procedimientos mínimamente invasivos.

Carpincho, un robot made in argentina07/11/10Por SILVIA NAISHTAT

Decididamente, casi no existen robots como Robocop, aquel súper policía con cuerpo mecánico de la pantalla. Algunos son una caja, otros un brazo o una oruga. Lo esencial es que toman decisiones y eso significa una escala superior respecto a los procesos automáticos, en los que se definen previamente todos los pasos a seguir.La última semana en el Itba (Instituto Tecnológico de Buenos Aires) los expertos en robótica e inteligencia artificial hablaban en idioma incompresible. Se referían con las siglas UAV, UGV y UWV a robots de aire, tierra o agua. En Argentina no existen fábricas como la estadounidense I Robot que factura US$ 500 millones. Ni siquiera las dos que se destacan en Chile. Y mucho menos un Instituto como en Japón. Pero en silencio floreció la actividad en distintas universidades.Carpincho , por ejemplo, es un robot desarrollado por la Universidad Nacional del Centro: puede reconocer el terreno para transitar en forma segura . Utiliza un sensor láser para la detección precisa de obstáculos cercanos y corrige posibles errores. La Universidad de Bahía Blanca rompió una frontera con un robot submarino para tareas de mantenimiento en las tuberías de extracción del petróleo. Transporta un sistema de sensores para tomar información de interés en el pozo petrolero. Al robot aéreo que creó el INAU de San Juan no se lo engaña fácilmente.Se le pide que busque un objetivo en base a un GPS y puede cambiar el rumbo en función del viento u otra adversidad climática. Hay helicópteros robots y aviones fumigadores que también lo son. En el ITBA inventaron uno para recolectar residuos. En medicina hay una revolución a partir del Da Vinci que opera con precisión sobre humana.

¿Cómo llegar de un lugar a otro? ¿Cómo actuar en una situación extrema?, son desafíos según Juan Miguel Santos, doctor en Ciencias de la Computación y profesor del ITBA. Igual que en otros campos, la investigación va por delante de las necesidades. Santos concluye que la robotización es irreversible. Y aunque aún falta mucho, teme “por la sustitución de mano de obra por parte de estos aparatos inteligentes que trabajan sin horario y no discuten salarios”.

CIENCIA › DIALOGO CON PABLO DE CRISTOFORIS, ESPECIALISTA EN ROBOTICA, DE LA FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS DE LA UBA

La oscura autonomía de los robots¿Pueden aprender los robots? La posibilidad de que puedan tomar decisiones propias sin la intervención de los humanos y aprender de sus acciones es una búsqueda eterna de la robótica, que plantea, por ahora, más preguntas que respuestas. Por Leonardo Moledo

–A ver, este asunto de los robots... Cuénteme qué hace usted.–Básicamente, en este laboratorio...–Aclaremos que es un laboratorio del Departamento de Computación de la Facultad de Ciencias Exactas de la UBA... no pude ponerlo en la volanta porque era muy largo...–...que es donde se conciben, se piensan, se diseñan, se construyen, crecen, se desarrollan e incorporan diferentes capacidades a robots móviles de distinto tipo, con distintos sensores, con distintos motores, con distintas configuraciones. Esa es toda un área de desarrollo del laboratorio de robótica. Otra área tiene que ver con cómo se dota al robot de todo el software necesario para que pueda llevar adelante distintas tareas.–Hablemos de la primera de las áreas entonces.–Una línea de investigación que tenemos en el laboratorio tiene que ver con la capacidad de navegación autónoma de los robots móviles. En “navegación”

incluimos la exploración del entorno, la construcción de un modelo del mundo (imprescindible para que el robot pueda interactuar con el medio) que se dae a través de mapas y la localización del robot en el propio ambiente.–¿A qué se refiere cuando habla de entorno? ¿Entorno topológico?–Puede ser un entorno topológico. Por ejemplo, si yo quiero ir de acá a mi casa, no voy a tener un mapa preciso de todas las instancias del entorno que voy a tener que recorrer; lo que voy a hacer, mentalmente, es recordar que existe una parada de colectivos, que yo tengo que ir a esa parada de colectivos, que para ir ahí tengo que salir de la facultad, que luego de tomarme el colectivo tengo que bajarme en determinada parada, etc. Eso es lo que hacemos los humanos. Y también es lo que procuramos que hagan los robots. Y eso es lo interesante. Esa misma metodología se le puede asignar a un robot: existen mapas topológicos, mapas métricos.–Y existe el GPS.–Sí, claro. Que también se utiliza en robótica, fundamentalmente en entornos abiertos, exteriores, porque en ambientes cerrados no se puede utilizar.–¿Por qué?–Porque necesita poder “ver” los satélites que envían la información.–¿Y a dónde apunta todo esto?–Una de las cosas que se busca permanente en la robótica móvil es la autonomía: que los robots puedan hacer cada vez tareas más complejas sin la intervención humana. La capacidad de sensado, de control, de moverse en un entorno desconocido es algo muy interesante y atractivo desde el punto de vista del desarrollo. Por ejemplo, los robots que se mandaron a Marte tuvieron la capacidad de navegar y explorar la superficie marciana sin que un humano lo manejara desde acá. Eso hubiese sido imposible porque el tiempo que tarda en llegar una orden desde la tierra habría hecho que los robots chocaran con las rocas. Ahí hay una aplicación bien concreta. Si uno quiere inspeccionar un lugar que puede estar contaminado por material radiactivo, también es bueno tener un robot que cuente con autonomía para poder tomar decisiones sin intervención humana.–¿Cómo toma las decisiones?

–Lo más interesante es que muchas veces no es el programador el que decide cuál es la acción que va a realizar el robot ante cada situación, sino que el robot puede ir tomando decisiones que va aprendiendo de la propia interacción con el medio. Eso también existe y es toda un área de desarrollo. Es decir que el robot puede aprender.–Pero el programador, imagino, le pone una función del tipo: “Si hay más que x humedad, salí del lugar”. ¿O el robot puede tomar decisiones por sí mismo?

–Sí, puede. De alguna forma, construye una representación del mundo, conoce cuáles son las acciones que puede ejecutar y cuáles las variables que puede incorporar del medio ambiente, y en función de esas dos cosas puede ir mejorando las acciones que puede ir tomando. Básicamente se realiza un esquema de aprendizaje por refuerzo (es el caso del perro de Pavlov), donde uno al robot lo deja que tome acciones y lo premia cuando las tareas que ejecuta son las que se están buscando y se lo castiga cuando las acciones no son las que uno espera. Ese algoritmo se puede ejecutar muchas veces y a medida que se va ejecutando mejoran las decisiones que puede tomar el robot.–Pero hay un algoritmo que pone usted...–Sí, eso es cierto. También hemos utilizado redes neuronales artificiales para ver si pueden aprender un determinado comportamiento. Si uno quiere que un robot evite obstáculos, puede entrenar determinada red neuronal.–El asunto de las redes neuronales, ¿no está un poquito en decadencia? Tuvo su boom y ahora parecería ser que...–Como toda nueva área, en sus comienzos parece que va a resolver todos los problemas del universo y luego se lo acota para abordar determinadas cuestiones puntuales. Hoy por hoy, se sabe que las redes neuronales no se pueden aproximar a cualquier función y que, por lo tanto, tienen una aplicación que no es universal (como se creía en sus inicios). Pero sí tiene utilidad para nuestros temas.–Pareciera ser que las decisiones que toma uno, como ser humano, se basan en un conjunto de estímulos no infinito pero sí muy grande. Por otro lado, pareciera ser que las que toma el robot no contemplan tantas variables. ¿O sí? El sistema por el cual el robot toma decisiones, ¿es parecido al humano?

¿Tiende al humano?–El mundo es muy complejo y uno establece modelos. Cuando uno establece un modelo, lo que hace es acotar las variables.–Pero el proceso de toma de decisiones, ¿tiende al proceso de toma de decisiones de los humanos?–En realidad, eso hay que verlo en el desarrollo de la historia de la robótica. Si uno tiende a ver cómo fue mejorando la capacidad de autonomía de los robots desde los orígenes hasta hoy en día, de alguna forma puede tener una visión optimista. Los robots van ganando en autonomía y eso es posible porque cuentan con una información del entorno más rica, más capacidad de sensado, más capacidad de procesamiento. Cada vez se parecen más...–¿Por qué llama a eso “optimista”?

–Bueno, porque de alguna forma es lo que estamos buscando: que se acerque al desempeño de un animal vivo en el entorno. Por otra parte, habría que señalar que no está definido cómo toman decisiones los humanos.–Pero tenemos ciertas intuiciones. Uno podría pensar que el proceso de toma de decisiones en humanos funciona de manera computacional (es decir, que hay determinada cantidad de variables, enorme pero finita, y que en base a esa enorme cantidad de variables se elige) o que funciona de una manera que no puede compararse con la manera computacional de tomar decisiones. Lo que a mí me intriga es si la manera de tomar decisiones de los humanos es una versión complejizada de la manera de tomar decisiones de los robots o si, más bien, es de un tipo completamente diferente.–Uno lo que puede medir, para tratar de ser objetivo, son determinadas capacidades...–No pido objetividad. Pido una intuición.–Libre albedrío no se le puede atribuir a un robot.–Pero el libre albedrío nadie sabe lo que es.–Bueno, la capacidad de tener conciencia y de actuar en función de eso. Lo que sí se imita, para que los robots actúen de manera libre, es la aleatoriedad del mundo. Uno necesita que el robot responda a acciones al azar cada tanto para que progrese en su autonomía.

Índice

Introducción __________________________________________________Pág.5

Desarrollo ____________________________________________________Pág.7

I. Conceptos matemáticos y físicos básicos__________________________Pág.8

I.1. Conceptos matemáticos_________________________________Pág.9

I.1.A. Matrices ______________________________________Pág.9

I.1.B. Vectores______________________________________Pág.11

I.1.C.Transformaciones _______________________________Pág.11

I.1.D. Aplicaciones matriciales en la física_________________Pág.12

II. La robótica__________________________________________________Pág.14

II.1. Introducción a la robótica________________________________Pág.15

II.2. Estructura mecánica de un robot__________________________Pág.15

III. La matemática en acción ____________ __________________________Pág.16

III.1. Modelo cinemático ___________________________________Pág.17

III.2. El problema cinemático directo____________________________Pág.17

III.2.A. Aplicación matricial______________________________Pág.19

III.2.B. Algoritmo de Denavit -Hatrenbeng__________________Pág.19

III.3. El problema cinemático inverso___________________________Pág.20

III.4. Modelo dinámico_______________________________________Pág.21

III.4.A.Aplicación algebraica_____________________________Pág.22

Conclusión _____________________________________________________Pág.23

Glosario _______________________________________________________Pág.26

Bibliografía _____________________________________________________Pág.30

Anexo_________________________________________________________Pág.33