Las Matemáticas y la Música.¿Porqué la escala musical occidental tiene 12 notas?

2o Residencial AFAMaC

Arturo Portnoy

Departamento de Matemáticas, UPRM

Pitágoras y la Música

Un amor místico por las matemáticas y la música.

Descubre que existe una relación entre monocordios de longitudes cuyas razones son “muy” racionales y la armonía de los sonidos que emiten.

TODO ES NUMERO.Intervalos Pitagóricos: Octava (2/1),

Quinta (3/2), Cuarta (4/3).

Demostraciones físicas y musicales

Saltando la cuerda.El tubo que canta.Intervalos armónicos: generador de tonos

Círculo de quintas

Tono base: f. Quinta: (3/2)f. Quinta de la quinta (3/2)²f. etc… ¿Hasta cuando? Hasta cerrar en octava:

32

2

mnf f

Algo de matemáticas

Podemos reescribir la ecuación anterior:

Esta ecuación no tiene solución en los enteros. ¿Porqué?

Lo mejor que podemos hacer es aproximar:

Esto es un problema de aproximar un irracional con un racional.

Recordemos que m representa el numero de notas en la escala.

3 2m n m

log(3)

log(2)

n m

m

Notemos que de estar charlando sobre musiquita, anécdotas históricas, etc., de pronto, ¡estamos hasta el cuello en matemáticas!

Aproximaciones racionales de irracionales

Pensemos en un ejemplo famoso:

π=3.14159265...

Usualmente usamos la aproximación decimal: 3.1416=31416/10000.

Hay aproximaciones mucho “mejores”, mas eficientes, que con un denominador menor, hacen mejor trabajo: 22/7=3.142857…, | π-22/7|<1/100<1/(7²) 355/113=3.14159292…, | π-355/113|<1/(100³)<1/(113²).

El Teorema de Dirichlet y el principio del palomar Si tenemos n+1 palomas y n

palomares, al menos hay dos palomas durmiendo juntas.

Sea a>0 el irracional que deseamos aproximar y sean a·m-[a·m], m=1,2,3,…,n+1 las n palomas.

Dividamos el intervalo [0,1] en n partes iguales (estos son los n palomares).

Entonces hay dos palomas en un palomar:

1 1 2 2

1[ ] [ ]a m a m a m a m

n

1 2 1 2

1( ) [ ] [ ]a m m a m a m

n

1 22

1 2 1 2 1 2

[ ] [ ] 1 1

( ) | | ( )

a m a ma

m m n m m m m

Aproximación racional

Denominador al cuadrado

Teorema de Dirichlet, fortalezas y debilidades

Fortalezas: Argumento muy lindo, elegante, demuestra la existencia de una infinidad de estas “buenas” aproximaciones racionales para cualquier irracional.

Debilidades: No nos dice como construir estas “buenas” aproximaciones… Nada mas nos antoja…

Como construir estas aproximaciones: fracciones continuadas

Ejemplo: 19/12.

19 7 1 1 11 1 1 1

12 5 112 12 1 177 75

1 1 11 1 1

1 1 11 1 1

2 1 11 1 1

5 15 22 2

[1;1,1,2,2]

Fracción continuadafinita

Notación parafracción continuada

Nuevo concepto: convergente

Sabemos ya que 19/12=[1;1,1,2,2].

Consideremos ahora los convergentes asociados a esta fracción continuada:

Observemos ahora que:

Por lo tanto:

0 1

2 3

[1], [1;1],

[1;1,1], [1;1,1,2].

C C

C C

0 1

2 3

[1] 1, [1;1] 2,

[1;1,1] 3/ 2, [1;1,1,2] 8 / 5.

C C

C C

0 2 3 1

19

12C C C C

Observaciones

Los convergentes se van acercando al valor de la fracción continuada asociada.

Lo hacen “acorralando” al valor de la fracción continuada: los convergentes pares por abajo, y los impares por arriba.

Esto no lo hemos demostrado, solo sugerido, pero se demuestra en el módulo que se entregará.

Otras observaciones

A cada racional le corresponde una sola fracción continuada finita, y cada fraccion continuada finita representa a un solo racional.

Quizás podríamos hacer algo similar con los irracionales.

Fracciones continuadas infinitas

Sea α un irracional positivo.

0 0 0 0 0 1 21 1

0

1 1... [ ; , ,...]

1a a a a a a

a

Parte entera de

Parte entera de

Hagamos un ejemplo interesante: π.1 1

3 0.141592... 3 3 ... [3;7,15,1,...]1 7 0.062513...

0.141592...

Fracción continuada de π

3.14159265358979 3 3 1 3.000000000000007.06251330593105 7 22 7 3.14285714285714

15.99659440668410 15 333 106 3.141509433962261.00341723101500 1 355 113 3.14159292035398

292.63459087501200 292 103993 33102 3.141592653011901.57581843574470 1 104348 33215 3.141592653921421.73665853318280 1 208341 66317 3.141592653467441.35748105119942 1 312689 99532 3.141592653618942.79735106698611 2 833719 265381 3.141592653581081.25415270814132 1 1146408 364913 3.141592653591403.93464231529632 3 4272943 1360120 3.141592653589391.06992801806000 1 5419351 1725033 3.14159265358982

14.30041959922260 14 80143857 25510582 3.14159265358979

Observaciones

Los convergentes de las fracciones continuadas infinitas asociadas a un irracional son las “buenas” aproximaciones racionales que el teorema de Dirichlet nos asegura existen.

De hecho, es posible demostrar que si una aproximación es “buena”, entonces es un convergente de la fracción continuada. Para mas detalles, ver el módulo.

Volvamos al problema original

Recordemos que el problema que nos arrastro en esta dirección es:

log(3)

log(2)

n m

m

Representa el numerode notas en la escala.

Ya sabemos que las buenas aproximaciones son los convergentes, así que…

Fracción continuada de log(3)/log(2)

1.58496250072116 1 1 1 1.000000000000001.70951129135146 1 2 1 2.000000000000001.40942083965321 1 3 2 1.500000000000002.44247459618086 2 8 5 1.600000000000002.26001675267080 2 19 12 1.583333333333333.84590604154676 3 65 41 1.585365853658541.18216439046998 1 84 53 1.584905660377365.48954709216229 5 485 306 1.584967320261442.04270440170134 2 1054 665 1.58496240601504

Observaciones

Tienen que haber 12 notas en la escala. 5 son muy pocas, resulta en música

aburrida (escala penta tónica, música oriental).

41 notas son demasiadas, ni un pulpo podría tocar el piano.

Otro ejemplo interesante: la razón áurea

Razón áurea: 1 5

2

La razón áurea es solución de:

2 1 0x x Observemos entonces que:

1 1 11 1 ... [1;1,1,1,1,...]

11

xx

x xx

Últimas observaciones

Hemos visto que el deseo de recorrer el circulo de quintas y el de cerrar la escala en la octava son irreconciliables. El mejor compromiso es la escala de 12 notas.

Sin embargo, no hemos discutido como vamos a corregir la escala de 12 notas para que cierre en la octava. ¿Ponemos toda la corrección en la ultima nota? ¿Cómo hacemos?

Temperamentos de la escala musical

Durante siglos, matemáticos y músicos han propuesto muchas soluciones a este problema. Una de ellas se llama la escala bien atemperada, y Bach le dedico a esta solución en el clavecín una serie de composiciones: El clavecín bien atemperado.

La solución moderna es la escala equi-atemperada:

La escala moderna permite transposiciones arbitrarias, sin que cambie el temperamento de la composición.

12 2