las matemáticas chinas

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Las Matem´ aticas Chinas Mar´ ıa Nieves Algarra L´ opez Cruz Enrique Borges Hern´ andez Isabel Garc´ ıa Dorta Ver´ onica Hern´ andez Negr´ ın Bego˜ na Hern´ andez P´ erez 16 de octubre de 2004

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  • Las Matematicas Chinas

    Mara Nieves Algarra LopezCruz Enrique Borges Hernandez

    Isabel Garca DortaVeronica Hernandez NegrnBegona Hernandez Perez

    16 de octubre de 2004

  • Indice

    1. Introduccion historica 3

    1.1. Los orgenes y el perodo formativo: dinastas Shang, Zhou, Qn y Han . . . . . 3

    1.2. El periodo de desarrollo: Dinastas Wei, Jn, dinastas del Norte y Sur, Su y Tang 3

    1.3. El perodo de esplendor: Dinastas Song y Yuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    1.4. Primera entrada de las matematicas occidentales: Dinasta Mng . . . . . . . . . 5

    1.5. El periodo feudal y la segunda entrada de las matematicas occidentales . . . . . 5

    2. Los comienzos de las matematicas en la antigua China 6

    2.1. El origen del concepto de numero y de las figuras geometricas . . . . . . . . . . 6

    2.1.1. Leyendas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    2.1.2. Arqueologa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    2.2. Sistemas de numeracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    2.2.1. Numeracion oracular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    2.2.2. Varillas de contar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    2.3. El conocimiento matematico en los antiguos textos de antes de la dinasta Qn(221 - 206 a.C.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    2.3.1. El Libro de las artes, el Libro del maestro Mo y otros . . . . . . . . . . . 12

    2.3.2. La educacion matematica y la aparicion de los oficiales Sihu, Fasuan yChouren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    3. La formacion de sistemas matematicos en la antigua China. Dinasta Han(206 a.C. - 220 d.C.) 16

    3.1. El clasico de la aritmetica del gnomon y las sendas circulares del cielo . . . . . . 16

    3.1.1. El dialogo sobre matematicas entre Rong Fang y el maestro Chen. . . . . 17

    3.1.2. El teorema Gougu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    3.1.3. Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    3.2. Nueve captulos sobre el arte matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    3.2.1. Logros en aritmetica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    3.2.2. Logros en geometra: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    3.2.3. Logros en algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    4. Desarrollo de las matematicas Chinas 24

    4.1. Dinastas Wei, Jn, Norte y Sur (221 - 589) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    4.2. Dinastas Su y Tang (589 - 907) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

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  • 5. Matematicas durante el periodo de esplendor chino. Dinastas Song y Yuan(960 - 1368) 35

    5.1. Metodos de extraccion de races . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    5.2. Trabajos con ecuaciones polinomicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    5.3. Investigaciones en series finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    5.4. Investigaciones en otras areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    5.4.1. Analisis indeterminado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    5.4.2. Cuadrados Magicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    5.4.3. Trigonometra esferica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    5.5. Intercambio de conocimientos matematicos duranteeste periodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    6. El abaco. Dinasta Mng (1368 - 1644) 52

    7. La primera entrada de las matematicas occidentales. Dinasta Mng (1368 -1644) 55

    8. Matematicas durante el periodo feudal de Puerta cerrada. Dinasta Qng(1796 - 1911) 63

    8.1. Estudio y comentario de las obras antiguas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    8.2. Investigaciones y desarrollos propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

    8.2.1. Estudio de la trigonometra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

    8.2.2. Investigaciones en Teora de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    8.2.3. Suma de series finitas1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

    8.2.4. Investigaciones en otras areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    9. Segunda entrada de la matematica occidental. Siglo XX 74

    9.1. Cambio de mentalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    9.2. Traduccion de textos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    9.3. Nuevo metodo de ensenanza y los nuevos textos matematicos . . . . . . . . . . . 75

    A. Lista de libros chinos 76

    B. Bibliografa 78

    C. Recurso en red 78

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  • 1. Introduccion historica

    1.1. Los orgenes y el perodo formativo: dinastas Shang, Zhou, Qny Han

    Los primeros restos arqueologicos hallados en China datan del 400000 a.C. Pertenecen alllamado hombre de Pekn. Hacia el 200000 a.C. se establece el homo sapiens y finalmente elhomo sapiens sapiens se dispersa y crea varias culturas locales sobre el 50000 a.C. Es probableque desde tan antiguo prevenga las relaciones jerarquicas tradicionales chinas como el parentescoy autoridad. En el periodo entre el 8000 a.C. y el 2200 a. C. se comienza el cultivo del arrozalrededor de los grandes ros, la produccion de seda y el uso de la ceramica por los Yanshao yposteriormente por los Longshao.

    La primera dinasta fue los Xia y posteriormente los Shang que ostentaron el poder duranteel periodo comprendido entre el 2100 a.C. y el 1040 a.C. De estas primeras dinastas procedelos ritos oraculares con huesos de los cuales parece provenir la escritura China. Es tambien unperiodo de grandes obras publicas y se comienza la edad de los metales. La primera dinastaque unio gran parte del territorio que hoy conocemos como China fue los Zhou que reinaronprimero bajo el mandato occidental (1.040 a.C. - 771 a.C.) y luego bajo el mandato oriental(722 a.C. - 221 a.C.). De los primeros podemos destacar la unificacion del estado Chino, comocomentabamos anteriormente, as como la difusion de la cultura China por todo el territorio. Delos segundos podemos decir que fue un periodo de desunion y conflictos2 en el terreno polticoy de creacion de multitud de corrientes filosoficas, entre ellas la que marcara toda la sociedadmoderna China, el confucionismo.

    Tras este periodo de desunion surge el imperio Qn (221 a.C. - 206 a.C.). Los avancesmilitares permitieron el sometimiento de los pueblos cercanos y la reunificacion mientras que lacentralizacion del gobierno, unido a la unificacion de la escritura, moneda, pesos, medidas, etc.permitio un control mas eficaz del imperio. Es este tambien un periodo en el que se realizangrandes obras publicas, sobretodo carreteras y canales de irrigacion.

    A la muerte del emperador Qn el imperio cae con el. El testigo lo toma la dinasta Han(206 a.C. - 200 d.C.3.). Durante este periodo se someten a los pueblos de asia central al controlChino, se establecen monopolios de y surge la diplomacia. Un hito muy importante que seproducira durante este periodo es la creacion de las oposiciones como medio para obtener uncargo publico. Esto promovio la creacion de una clase dirigente culta.

    1.2. El periodo de desarrollo: Dinastas Wei, Jn, dinastas del Nortey Sur, Su y Tang

    La ascension de la nobleza durante los ultimos anos del periodo Han unido a las invasionesbarbaras4 y la ineptitud de los ultimos emperadores Han precipito la cada del imperio y su

    2Este periodo es conocido como Primavera y Otono(771 - 484 a.C) y como Estados combatientes(484 -221 a.C.).

    3A partir de aqu las fechas, si no se indica lo contrario, se referiran a d.C.4Por barbaras se entiende extranjeras, principalmente nomadas del norte.

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  • division: el norte bajo control mongol y el sur bajo dominio chino. Este es el periodo conocidocomo las dinastas del norte y del sur (220 - 589).

    Durante este periodo se produjo una expansion del budismo lo cual influyo en el arte y enaspectos socio-polticos de la China de la epoca. Debido a la fragmentacion del imperio y ladiversidad que ello conllevaba se produjo un periodo de innovacion y creatividad posteriormentemuy imitado.

    La reunificacion del imperio la realizo la dinasta Sui-Tang (220 - 907) mediante una cuidadapoltica de matrimonios de conveniencia. Este metodo permitio no solo reunificar la china, sinotambien controlar los territorios de asia central. Durante este periodo se realizo una reformaimportante en la burocracia, esto es, se crean los seis ministerios principales5: recursos humanos,hacienda, ceremonias, ejercito, justicia y obras publicas.

    1.3. El perodo de esplendor: Dinastas Song y Yuan

    La perdida del control economico junto con la ambicion de algunos miembros de la corte ylas las derrotas militares y/o rebeliones en los territorios controladosprovoca un periodo deanarqua y fragmentacion del imperio. Mediante un golpe de estado la dinasta Song del nortey sur (960 - 1220) sube al poder. Inmediatamente se toman medidas para controlar imperio: seretira de sus puesto a todos los altos cargos militares, se crea el ejercito de palacio, se centralizala burocracia, se toman medidas para difundir la cultura (creacion de escuelas) y se adopta elneoconfucionismo.

    Durante este periodo China goza del liderazgo mundial en practicamente todos los campo:tecnologa, ciencia, filosofa y cultural. Este liderazgo no solo se muestra en los libros publicadosdurante este periodo mediante la tecnica recien descubierta de impresion en papel, sino en laconstruccion de barcos de gran tamano, en los avances militares (polvora), inventos de la epoca(timones, brujulas...), uso de papel moneda, etc. Aparece tambien una nueva clase social, loseruditos, que se une a la agrcola, artesana y comerciante.

    La industria era muy activa y su mercado era puramente interior, casi exclusivo de palacio,y autosuficiente. Con la llegada de aventureros como Marco Polo y su posterior difusion delesplendor chino, se produce un aumento del comercio exterior y del intercambio cultural.

    En los ultimos anos del periodo aparecen estados fuerte no-chinos en la frontera norte(Liao, Jin, Yuan) a la vez que el regimen se debilita debido al descontento del ejercito con elmodelo neoconfucionista. La ineptitud diplomatica fue incapaz de evitar la invasion mongol y lainstauracion de la dinasta Yuan (1227 - 1368). Los dirigentes de este periodo gobernaban sobreuna extension de terreno extremadamente grande (practicamente toda Asia) y no se centraronen mantener el control sobre sus dominios.

    Este periodo se caracteriza por una tolerancia etnico-religiosa muy grande ademas de ungran intercambio cultural con occidente por medio de la ruta de la seda.

    5Esta organizacion ministerial permanecera invariante hasta el siglo XX.

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  • 1.4. Primera entrada de las matematicas occidentales: Dinasta Mng

    Una sublevacion militar consiguio recuperar el control del imperio y contener a los Yuan.Sube al poder la dinasta Mng (1368-1644) y instaura un regimen absolutista. Inmediatamentese procede a instaurar un codigo de conducta y un regimen de violencia y terror. La reformallevada a cabo en el sistema tributario para mejorar las condiciones de vida del pueblo y lacorrupcion generalizada ocasiona una debilidad economica muy fuerte y que se prolongaradurante siglos.

    En lo cultural se vuelve a los modelos Han y Sui-Tang obteniendo resultados exitosos encampos como la filosofa, la literatura o el arte. En contraposicion con estas medidas se abandonala flota, el comercio exterior y el imperio comienza a desinteresarse por los sucesos que ocurrenfuera de sus fronteras. Todo esto unido al periodo renacentista europeo hace perder a China elliderazgo tecnologico-cultural.

    Los manchu invaden China y ocupan el poder sin demasiada dificultad debido a la debilidaddel regimen. Se inaugura as la ultima dinasta, los Qng (1644 - 1911). Se desarrollo unacreciente interes por la cultura clasica y por la cultura introducida durante las misiones jesuitas.Por este motivo se promueve desde palacio la traduccion e impresion de obras occidentales tantode matematicas como de otras ciencias. Este gusto por los libros se complementa con la creacionde grandes enciclopedias de varios centenares de captulos que contenan gran parte del saberde la epoca. Sin embargo, el contraste es muy fuerte cuando nos damos cuenta del escaso interesen el comercio martimo o exterior que exista en la epoca.

    1.5. El periodo feudal y la segunda entrada de las matematicas oc-cidentales

    Durante el periodo manchu se produce un aumento de poblacion, pero paradojicamente laproductividad de la tierra desciende. No es lo unico que desciende en este periodo. La intro-duccion del opio por parte de los ingleses para mejorar la balanza comercial con China unidaa la corrupcion (motivada en gran parte por el opio) y la hambruna generalizada desmoralizanal pueblo. Pero no solo el pueblo ha perdido la confianza en si mismo, tambien los gobernantesdebido a las humillantes derrotas en las guerras (Guerras del opio) que se sucedieron con laspotencias occidentales por la negativa china a abrir sus fronteras al comercio exterior y por losposteriores tratados (Tratados desiguales) que dejan a la china imperial al borde de la quiebray con la confianza de sus dirigentes muy minada.

    Se produce una apertura al exterior motivada por la presion externa y comienza la invasioncultural en China. En contraposicion a esta corriente surge el nacionalismo y comienzan re-vueltas por todo el pas. Tras largos anos de levantamientos locales y guerras con las potenciasoccidentales la dinasta cae. En su lugar se proclama la Republica Popular China.

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  • 2. Los comienzos de las matematicas en la antigua China

    2.1. El origen del concepto de numero y de las figuras geometricas

    2.1.1. Leyendas

    Puesto que la civilizacion china es muy antigua, hay que remontarse mucho tiempo atras parapoder establecer cuando surgieron las matematicas. Es muy difcil responder a esta cuestion yno puede hacerse con precision, y por ello es por lo que en China han surgido diversas leyendasque hacen alusion a este tema.

    El Libro sobre los ancestros es un antiguo libro sobre la prehistoria china que se encuentraperdido, pero que conocemos por referencias que hacen de el en otros escritos. En este libroaparece la leyenda del emperador Amarillo, al cual se le atribuye haber reinado durante los anos2698 - 2598 a.C. Este emperador encargo a varios de sus subditos que cada uno realizara unatarea diferente: observar el Sol, la Luna, las estrellas, fijar la escala musical, establecer metodospara determinar el tiempo y la disposicion de las estaciones, y a uno de ellos le encargo crear laaritmetica. Esta leyenda se extendio ampliamente por China, en la antiguedad, y se encuentraen varios textos antiguos. Atribuirle la creacion de la nocion de numero a una sola personaes inverosmil, puesto que solo es posible que este concepto se haya ido formando a lo largode la historia, gradualmente, segun las necesidades de la actividad humana. Existen tambienleyendas que hablan de la utilizacion de quipus6 durante la prehistoria. Estas leyendas dicenque los hombres prehistoricos usaban varios tipos de nudos para recordar diferentes asuntos yque luego fueron sustituidos por la escritura. No es descabellado pensar que las tribus chinasde la Edad de Piedra usaran este metodo para registrar numeros, ya que el sistema de nudosaparece explicado en escritos antiguos.

    Otras leyendas atribuyen a diferentes personas la invencion de la escuadra y el compas.Se han encontrado grabados en los que aparecen los personajes de las leyendas usando dichosinstrumentos, uno de ellos data de la epoca de la dinasta Han, alrededor del siglo II d.C.Tambien se mencionan en relatos de la historia de la dinasta Xia. Por todo esto, se cree queestos instrumentos, aparecieron en una epoca bastante temprana, con los que se realizabanfiguras geometricas sencillas.

    De todos estos mitos podemos sacar en claro que desde tiempos remotos, los chinos em-pezaron a tener conciencia de los numeros y las figuras geometricas.

    2.1.2. Arqueologa

    Atendiendo a la arqueologa se pueden encontrar indicios de los comienzos de las matematicaschinas. Segun restos encontrados en excavaciones, hace alrededor de 100.000 anos, el hombrede He Tao tallaba sus utensilios de piedra en forma de diamante. En la cultura Yangshao, masavanzada (5.000 a.C.), se realizaban disenos de animales y figuras geometricas en los objetos deceramica. Algunos de estos dibujos geometricos estaban formados por combinaciones de lneasrectas y triangulos y otros por crculos y lneas curvas.

    6Un quipu es un juego de cuerdas anudadas segun un sistema codificado que permite llevar la contabilidad,y que tambien fue usado por los Incas debido a la necesidad de realizar inventarios.

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  • Despues de varias decenas de miles de anos desde las primeras poblaciones primitivas, sur-gio una sociedad con estructura de clases (2.000 a.C.). Esta fue la sociedad esclavista que existadurante la dinasta Shang (siglo XVI - XI a.C.), que estaba bastante desarrollada, pues habauna division de las labores dentro de la comunidad. Los chinos es esa epoca tenan una agricul-tura adelantada y se han encontrado construcciones de planta circular y rectangular que servanpara el almacenamiento del grano. Ademas se extendio el uso del bronce con el que fabricabanarmas y diversos utensilios. De la division de las tareas en la sociedad surgio el comercio, ycon el, el dinero. Se han encontrado monedas con un agujero en el centro que fueron usadasen esos tiempos. Alrededor del siglo XIV a.C., la dinasta Shang cambio de lugar la capitaly la economa y la cultura dieron un paso adelante. Y en las ultimas epocas de esta dinastaaparecieron algunas formas de calendario gracias a los requerimientos de la agricultura.

    2.2. Sistemas de numeracion

    2.2.1. Numeracion oracular

    Desde finales del siglo XIX d.C. se ha encontrado una gran cantidad de inscripciones rea-lizadas en conchas de tortuga (mas concretamente la concha inferior) y huesos de animales enexcavaciones hechas en la provincia de Henan. Las investigaciones han mostrado que los noblesdel periodo de la dinasta Shang rendan culto a los espritus de sus antepasados y los invocabanpara preguntarles toda clase de cuestiones, como por ejemplo, interrogarles para saber cualeseran los tiempos mejores para viajar, recoger las cosechas o celebrar fiestas. Las preguntas queformulaban eran registradas en conchas y huesos junto con las respuestas recibidas. Todas lasinscripciones que se han encontrado con esta clase de grafa son oraculos y por eso, este tipode caracteres se denomina escritura oracular.

    La forma mas temprana de escritura que se ha descubierto en China es la oracular, aunquetambien se han encontrado smbolos aislados en la alfarera del periodo Yangshao. Es un ma-terial valioso para entender mejor el tiempo de la dinasta Shang y gracias a ella tenemosinformacion escrita de epocas remotas.

    Por los restos encontrados, sabemos que durante la dinasta Shang, la gente utilizaba unaescritura de 5.000 caracteres y entre ellos estaban los numerales. A menudo, en estos huesosoraculares esta registrado el numero de animales cazados, prisioneros capturados, enemigoseliminados, animales domesticos ofrecidos en sacrificio a los espritus, etc. Tambien estan ins-critas fechas y aparecen computos de das. Los numerales de la escritura oracular forman unsistema multiplicativo de base diez, el numero menor que se encuentra es el uno, no habasmbolo para el cero, y el mayor es el treinta mil. Los numeros del uno al diez tienen caracteresespeciales, as como el cien, el mil y el diez mil, los demas numeros se forman combinando estoscaracteres. Estos son los ideogramas de los numeros del uno al diez, cien, mil y diez mil en laescritura oracular, junto con la numeracion moderna que se usa actualmente en china, tambienllamada numeracion estandar, que se deriva de la oracular:

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  • Podemos observar que el veinte, treinta,. . . , doscientos, trescientos,. . . , dos mil, tres mil,. . . ytreinta mil se expresan con smbolos compuestos por dos de los anteriores, por ejemplo, eldoscientos, se representa con el smbolo del dos pegado al del cien. En la numeracion estandarse escribe un smbolo a continuacion del otro, el doscientos se representa con el smbolo del dosseguido por el del cien.

    De esta manera, en la numeracion oracular, el dos mil seiscientos cincuenta y seis, se repre-

    senta

    Ademas de la escritura oracular se conocen otros tipos de escrituras antiguas posteriores.Durante la epoca de la dinasta Zhou (siglo XI - 221 a.C.) aparece la llamada escritura delbronce, denominada de esa forma porque se ha encontrado en grabados hechos en bronce. Losnumerales pertenecientes a este tipo de grafa son similares a los oraculares y se utilizaba el

    smbolo (en la escritura moderna es , que significa y) para separar las unidades de lasdecenas, las decenas de las centenas, etc. En la dinasta Han (206 a.C. - 221 d.C.) el caracterusado para las separaciones fue eliminado, y la forma de los numeros era casi igual a la actual.

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  • Actualmente tambien existen otros dos tipos de numeros derivados de los estandar, sonlos oficiales y los comerciales. Los numeros oficiales son una version mas decorativa de losnumeros estandar, que se utilizan en los documentos legales y los billetes de banco para evitarfalsificaciones. Y los numeros comerciales son una simplificacion de los numeros estandar, yfueron disenados en el siglo XVI d.C. para escribir mas rapidamente y poder usarlos en elcomercio.

    2.2.2. Varillas de contar

    Antiguamente en China, realizar calculos no implicaba directamente el manejo de numeralesescritos. El medio que se usaba para realizar operaciones eran las varillas de contar. Dichas varas,hechas de bambu, se utilizaban para operar con ellas, ordenandolas en diferentes configuracionessobre el suelo o cualquier superficie plana, para representar numeros y realizar calculos con ellos.

    Estas varillas se transportaban en un manojo hexagonal que se poda llevar comodamenteen la mano y su longitud ha variado mucho durante el transcurso del tiempo. Desde la dinastaHan hasta la dinasta Su ha ido disminuyendo gradualmente desde los 14 cm. a los 7 cm. Estose debe, probablemente, a que las varillas pequenas son mas faciles de manipular.

    Con respecto al momento historico en el que aparecieron, no se sabe nada a ciencia cierta,solo que surgieron debido a los requerimientos del desarrollo de la sociedad, el comercio, laadministracion y la ciencia, que precisaban de un sistema de calculo eficiente y rapido, y quedesde el periodo de los Estados Combatientes (481 - 221 a.C.) la gente estaba familiarizada conellas, puesto que se ha encontrado ceramica de esta epoca que tiene marcas hechas con varillas.Por lo que puede ser que el sistema de notacion decimal posicional haya aparecido durante laepoca Primavera y Otono (770 - 476 a.C.) o durante los Estados Combatientes. Las varas decontar mas antiguas que se han encontrado datan de la epoca de la dinasta Han.

    De este sistema de calculo se deriva la palabra matematicas (mecanismo para calcular) enchino, que se escribe , caracter formado por , que significa jugar con y por , que significabambu, por lo tanto, matematicas sera jugar con bambu.

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  • 2.2.2.1. Notacion decimal posicional

    La representacion de los numeros con varillas de contar es un sistema de numeracion decimalposicional. Hay dos maneras de expresar los numeros del uno al nueve, la forma vertical y laforma horizontal, y el cero se expresa con un espacio en blanco.

    Para formar cualquier numero, las unidades se pondran con la forma vertical, las decenascon la horizontal, las centenas con la vertical, y as alternativamente. Se colocan de derecha aizquierda, empezando por las unidades, de la misma manera que el sistema de numeracion quese utiliza en occidente hoy en da. Por ejemplo:

    Al hacer los calculos, dejar un espacio para el cero no plantea problemas, pues el calculistasiempre conoce las cantidades con las que esta trabajando, la dificultad aparecio cuando lasposiciones de las varillas pasaron a ser signos escritos. Entonces s podan producirse confusionesal interpretar los numeros. Esto se soluciono en 1247 d.C. con la aparicion de un signo circularpara esta cifra.

    A comienzos de la Era Cristiana aparecieron los numeros positivos y negativos, que ibancon varillas rojas y negras respectivamente. En la notacion escrita, los numeros negativos serepresentaban tachando su ultima columna.

    Notese que en las cifras del seis al nueve, la varilla de contar situada en la parte superiorsimboliza cinco varillas, as no se necesitan mas de cinco varas para cada dgito, se ahorraespacio y se trabaja mejor con ellos. De hecho, en este sistema se baso el abaco chino: cadacuenta que esta por encima de la barra se entiende como cinco cuentas de las de por debajo.Aunque este fue un invento muy posterior, su uso se generalizo a mitades del siglo XV d.C.

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  • 2.2.2.2. Operaciones aritmeticas con las varillas de contar

    Las cuatro operaciones aritmeticas basicas se usaron en China desde epocas muy tempranas,aunque es de suponer que se inventaran primero la suma y la resta.

    SUMA:

    ejemplo: 456+789

    Para sumar se representan los numeros con las varillas en filas y se va sumando de izquierdaa derecha, en este caso se empieza por las centenas, anadir 7 a 4, luego se suman las decenas ydespues las unidades, recolocando el resultado en cada paso.

    RESTA:

    ejemplo: 1245-789

    La resta es similar a la suma, se colocan los dos numeros y se empieza restando de izquierdaa derecha, en este caso comenzamos restando 7 de las centenas, (2-7 no se puede restar, entoncesconvertimos una unidad de mil en diez centenas y sustraemos 12-7) y luego hacemos lo mismocon las decenas y las unidades, recolocando el resultado en cada paso.

    La multiplicacion y la division estan asociadas a la Rima de los nueve nueves, que todoslos chinos conocen:

    Un uno es uno, un dos es dos, un tres es tres,. . . , un nueve es nueve. Dos dosson cuatro, dos tres son seis,. . .

    Como vemos, son las tablas de multiplicar, aunque parece ser que en el pasado esta rima eraun poco diferente, se cree que fue adoptada a lo largo de toda China no mucho despues de laepoca de Primavera y Otono o de los Estados combatientes y empezaba con nueve nueves sonochenta y uno y acababa con dos dos son cuatro. Y por empezar as, se le dio el nombre de

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  • Rima de los nueve nueves. Se han encontrado tiras de bambu de la epoca de la dinasta Hanen la que aparece la rima de esta manera, es en el siglo XIII o XIV d.C., durante la dinastaSong, cuando el orden de la rima se invierte y queda como hoy en da, empezando por la tabladel uno y acabando por la del nueve.

    MULTIPLICACION:

    ejemplo: 234 456 7

    Tenemos los dos numeros colocados como en el diagrama (1). Lafila superior es el multiplicador, la inferior es el multiplicando. Paramultiplicar se pone un numero encima del otro, de tal manera que lacifra de mayor valor del numero superior coincida con la de menor valordel inferior, dejando una fila en blanco en medio de los dos, que sera enla que obtengamos el producto. Seguidamente se multiplica la cifra demayor valor del numero de arriba, el 2, por cada uno de los dgitos de lafila de abajo, 4, 5 y 6, de izquierda a derecha, sumando el resultado enla fila del medio despues de cada multiplicacion. Obtenemos 912, comopodemos observar en el diagrama (2). Se quita el 2 del multiplicador,para indicar que ya ha sido usado para multiplicar. A continuacionmovemos el numero inferior un espacio hacia la derecha, situando sucifra de menor valor, debajo de la segunda cifra de mayor valor delnumero superior, el 3, como se aprecia en el dibujo (3), y multiplicamosel segundo dgito de mayor valor del numero superior por cada uno delos dgitos de la fila inferior, sumando los resultados en la fila del medio,obtenemos 10488. Se quita el 3 del multiplicador, y se vuelve a rodarel multiplicando, como vemos en (4). Usamos el ultimo dgito de lafila superior, 4, para multiplicarlo por cada uno de las cifras de la filainferior, sumando los resultados en el medio, obteniendo 106704, quees el producto que buscabamos y quitamos el 4, como aparece en (5).

    El metodo utilizado para dividir es el mismo que el de la multipli-cacion, pero a la inversa.

    2.3. El conocimiento matematico en los antiguostextos de antes de la dinasta Qn (221 - 206 a.C.)

    2.3.1. El Libro de las artes, el Libro del maestro Mo y otros

    El Libro de las artes fue escrito por letrados del estado feudal Q enla epoca de los Estados Combatientes (475 - 221 a.C.). Trata basica-mente sobre tecnicas de fabricacion de objetos, como coches de caballos,embarcaciones y arcos y flechas. Ademas describe pautas y dimensionespara su elaboracion. Por tanto contiene algunos datos sobre fracciones, angulos, y unidades demedida.

    7Esta escrito con numeros arabigos para una mejor comprension.

    12

  • En una parte del libro aparece la lnea una decima parte de una pulgada, que obviamenterepresenta una fraccion. En epocas posteriores tambien se uso ese tipo de terminologa parareferirse a las fracciones: una decima parte de una pulgada, dos decimas partes de una pulgada,etc8.

    Las unidades para medir angulos que se encuentran en este libro son:

    ju = 90o

    xuan = 45o (= 1/2 ju)

    zhu = 67o 30 (= 1 1/2 xuan)

    ke = 101o 15 (= 1 1/2 zhu)

    qngzhe = 151o 52 30 (= 1 1/2 ke)

    Aunque tambien se medan angulos usando arcos de circunferencia. Por ejemplo, nos encon-tramos el siguiente pasaje, que describe como se hacan los arcos para los nobles de la dinastaZhou:

    Hacer arcos para el emperador,

    nueve arcos juntos forman una circunferencia.

    Hacer arcos para los senores feudales,

    siete arcos juntos forman una circunferencia.

    Arcos para los oficiales del emperador,

    cinco arcos juntos forman una circunferencia.

    Arcos para los letrados,

    tres arcos juntos forman una circunferencia.

    Este es un caso en el que se usa el arco de la circunferencia para medir el angulo de curvaturaque tiene que tener este arma en cada caso. En esta epoca, al concepto de angulo se le dabamucha importancia.

    En el libro mencionado anteriormente tambien aparece la medida estandar de capacidad, elfu, que es un recipiente de un pie cubico9. Tambien se dan los volumenes estandar dou y sheng.Naturalmente, las medidas que propuso el Libro de las artes solo se aplicaron en el estadofeudal Q, cuando llego la dinasta Qn y unifico China, se unificaron las medidas de longitud,volumen, capacidad y masa. Obviamente, para esto hicieron uso de las matematicas.

    El Libro del maestro Mo es otra obra escrita antes de la dinasta Qn, se cree que fueescrita por los discpulos del maestro Mo y es conocida tambien como Cuatro captulos deMozi. Contiene una coleccion de apartados con conceptos y definiciones, y muchos de ellostratan de matematicas, logica y fsica.

    8La pulgada en China ha tenido diferente longitud a lo largo de las distintas epocas de su historia, variandoentre 225 y 333 mm.

    9El pie, al igual que la pulgada, ha variado de valor a lo largo de la historia china.

    13

  • Este tratado contiene conceptos de geometra:

    Igual: Misma altura.

    En lnea recta: Tres puntos alineados.

    Misma longitud: Emparejar de forma exacta.

    Centro: Punto a la misma longitud.

    Circunferencia: Un centro con la misma longitud.

    Tambien contiene la nocion de punto, lnea, superficie, solido y las nociones de suma y resta.

    Hacia finales del periodo de los Estados Combatientes, algunos sabios empezaron a abstraerlo que vean en el mundo fsico y surgio la logica. Estos pensadores escribieron frases paradojicascomo un pollo tiene tres patas, el fuego no es caliente, etc. Muchas de estas frases sonabsurdas, pero otras tienen un significado matematico, como la siguiente:

    Un palo de un pie de largo, le quitamos la mitad cada da y no se terminara endiez mil generaciones.

    Lo que corresponde a la expresion:

    1

    2+

    1

    22+

    1

    23+ + 1

    2n 1

    A medida que vamos sumando terminos nos vamos aproximando a uno, pero nunca llegamos.Estos eruditos llegaron con esto al concepto matematico de que un segmento finito de una rectase puede representar como suma infinita de segmentos finitos.

    Muchos libros de texto matematicos usados actualmente en China, usan frecuentemente elejemplo de tomar la mitad diariamente para explicar la nocion de lmite.

    2.3.2. La educacion matematica y la aparicion de los oficiales Sihu, Fasuan yChouren

    Durante el gobierno de los Zhou, se establecieron varios cargos publicos, que se dedicaban adiversas tareas. Uno de ellos era el de oficial Bao Sh. Estos oficiales se dedicaban a la educacion,puesto que en esta epoca ya haba un sistema educativo para los ninos de la nobleza y se lesensenaban las seis artes que todo caballero deba conocer: rituales, musica, arquera, equitacion,caligrafa y matematicas.

    El plan de estudios era el siguiente:

    6 anos: Contar del uno al diez y los puntos cardinales.

    ...

    9 anos: Trabajar con das y fechas.

    14

  • 10 anos: Historia, escritura y calculo.

    Los oficiales llamados Sihua eran los encargados de los censos dentro de las fronteras delimperio, estaban bien organizados y eran los encargados de realizar las estadsticas.

    Durante los Estados Combatientes, en el ejercito haban oficiales especializados en hacer lasestadsticas militares. Tambien haba un rango de la armada llamado Fasuan. Quien tuvieraeste cargo, era el que tena bajo su responsabilidad la distribucion del armamento, comida,el sueldo de los soldados, las entradas de dinero y los gastos realizados por el ejercito. Porsupuesto, estos trabajos requeran de las matematicas.

    Haba tambien otros oficiales que tenan que saber mucho de calculo para poder realizar sutrabajo, eran los que se dedicaban a la astronoma y el calendario. Los oficiales Feng Xian Shse dedicaban a computar el calendario y establecer las cuatro estaciones, los Bao Zhang Shrealizaban mapas estelares y determinaban el movimiento de los astros, y los oficiales Chourentambien eran astronomos.

    15

  • 3. La formacion de sistemas matematicos en la antigua

    China. Dinasta Han (206 a.C. - 220 d.C.)

    En este periodo destacan dos libros importantes, que se veran a continuacion.

    3.1. El clasico de la aritmetica del gnomon y las sendas circularesdel cielo

    Poco despues de que la dinasta Han reemplazara a la Qn, hubo un gran incremento en lacapacidad de produccion que fue seguido por un rapido desarrollo en varias areas de la cienciay la tecnologa. Esto fomento un gran auge en las matematicas.

    El clasico de la aritmetica del gnomon y las sendas circulares del cielo. Es un escrito sobreastronoma y contiene algunos conceptos de matematicas. Esta obra es consecuencia de unaacumulacion gradual de resultados cientficos de los periodos de las dinastas Zhou y Qn, yse cree que fue escrito alrededor del final del siglo II a.C. Este libro ha sido comentado pormatematicos posteriores, y los contenidos matematicos que destacan son calculos sobre agri-mensura y cuerpos celestes utilizando el teorema Gougu (Pitagoras) y calculos con fracciones.

    Durante la epoca Han se estudio mucho la astronoma, y a finales de esta dinasta ya habatres escuelas que se dedicaban al estudio del cielo: la escuela Zhoub, la Xuan Ye y la Hun Tian.Esta ultima estaba representada por el escritor, astronomo, matematico y geografo Zhan Heng.

    Zhan Heng nacio en el ano 78 d.C. en el seno de una familia importante,y fue educado en el confucionismo. Primeramente, estudio literatura y rea-lizo varias obras que le dieron una fama considerable como poeta y escritor,pero a la edad de treinta anos se decanto por los estudios cientficos. En elano 116 d.C. lo designaron funcionario de la corte del emperador, llegandoa ser, mas tarde astrologo principal y ministro, aunque no eran ambiciosorespecto a ascender en su carrera y pasaba muchas temporadas alejado dela capital, en soledad, para meditar sobre la naturaleza del universo.

    Uno de sus inventos fue el sismografo, y como astrologo principal corri-gio el calendario, segun sus observaciones, en el ano 123 d.C. y fue la primerapersona en construir una esfera celeste. Su teora sobre el universo consistaen que la Tierra era muy pequena comparada con la inmensidad del universo.

    Desde su faceta de matematico investigo sobre los cuadrados magicos de orden 33, que fueronestudiados por matematicos de epocas posteriores, y seran explicados mas adelante. Tambienpropuso, en un tratado sobre las circunferencias inscritas y circunscritas en un cuadrado, quese le diera a el valor de

    10 3162 y dio la expresion del volumen de una esfera en funcion

    del volumen del cubo circunscrito. Aunque estos resultados no son muy exactos, su trabajo sediferencia de los logros matematicos anteriores en que fue basado en un calculo teorico y no enla practica, como se haca anteriormente. Zhan Heng murio en el ano 139 d.C.

    La escuela de astronoma Zhoub se dedico a estudiar y desarrollar una teora llamada GaiTian, que una de las cosas que afirma es que el cielo es como un paraguas y la Tierra es comoun cuenco al reves, haciendo referencia a los tamanos de nuestro planeta y la esfera celeste.

    16

  • A continuacion se detalla el contenido de El clasico de la aritmetica del gnomon y las sendascirculares del cielo.

    3.1.1. El dialogo sobre matematicas entre Rong Fang y el maestro Chen.

    En este libro aparece un dialogo entre Rong Fang y el maestro Chen, en el que el maestroChen da su punto de vista sobre los objetivos de las matematicas y sus metodos, y tambiencomenta sobre las actitudes que se tienen frente al aprendizaje de las matematicas. Lo queaparece en este pasaje no solo es interesante, sino que tiene un valor pedagogico.

    En este discurso del maestro, en primer lugar dice que las matematicas tienen una ampliaaplicacion y, en segundo lugar, recalca la importancia de instruirse en el pensamiento deductivoe inductivo.

    3.1.2. El teorema Gougu.

    El teorema Gougu es el conocido en occidente como teoremade Pitagoras. Este teorema se usaba mucho para medir distancias,ello se haca teniendo en cuenta la longitud de un palo verticaly la sombra que arrojaba, por lo que se considera a uno de loscatetos del triangulo rectangulo, llamado Gu, como dicho palo, yel otro cateto sera su sombra, que recibe el nombre de Gou. A lahipotenusa se le puso el nombre de Xian. Esto podemos apreciarloen la figura. El triangulo rectangulo recibe el nombre de formaGougu.

    En este libro, aparece una de las primeras demostraciones deeste teorema, realizada mediante diagramas, que se ilustra en lassiguientes figuras:

    La traduccion del texto dice lo siguiente:

    Cortemos un rectangulo (por la diagonal), de manera que la anchura sea 3(unidades) y la longitud 4 (unidades). La diagonal entre los (dos) extremos ten-dra entonces una longitud de 5. Ahora, tras dibujar un cuadrado sobre esta diagonal,circunscribirlo con semirrectangulos como el que ha sido dejado en el exterior, demodo que se forme una figura plana (cuadrada). As, los (cuatro) semirrectangulos

    17

  • exteriores, de anchura 3, longitud 4 y diagonal 5, forman en conjunto dos rectangu-los (de 24 de area); luego (cuando esto se resta de la figura plana cuadrada de area49), el resto tiene 25 de area. Este proceso se llama apilamiento de rectangulos.

    En terminos de la figura b), el cuadrado mayor ABCD tiene un lado de 3 + 4 = 7 y, conse-cuentemente, un area de 49. Si a partir de este cuadrado grande se eliminan cuatro triangulos(AHE, BEF , CFG y DGH), que en conjunto forman dos rectangulos, cada uno de ellos dearea 3 4 = 12, nos queda el cuadrado mas pequeno HEFG. Implcitamente tenemos:

    (3 + 4)2 2 (3 4) = 32 + 42 = 52

    Esta demostracion es un caso particular, la ampliacion de esta prueba a un caso mas generalse dio posteriormente.

    El teorema Gougu se consideraba muy importante en la epoca en la que se escribio el libro,ya que en el se menciona que el emperador no podra gobernar sin el conocimiento de esteteorema. Ademas aparecen muchos ejemplos de su aplicacion, como por ejemplo, calcular lahipotenusa de un triangulo rectangulo:

    Gou, Gu, cada uno multiplicado por s mismo y sumados, y entonces tomandola raz cuadrada obtenemos la hipotenusa.

    Es decir: c =

    a2 + b2

    Tambien hay ejemplos en los que se miden alturas, profundidades y distancias, estas medicionesen la superficie de la Tierra eran bastante exactas, aunque cuando se aplicaban a la astronomadaban lugar a resultados erroneos.

    Con ayuda del gnomon, que es la vara vertical de un reloj de sol, se medan alturas comovemos en la siguiente figura:

    El segmento CD es el gnomon, y conocidas las distancias AD, CD y AB, y por semejanzade triangulos y el teorema Gougu, se averiguaba la altura del arbol.

    18

  • 3.1.3. Fracciones

    El clasico de la aritmetica del gnomon y las sendas circulares del cielo contiene algunoscalculos con fracciones relativamente complicados, y aunque no hay duda de que estos calculosfueran hechos con varillas de contar, no hay explicaciones en el libro de los sistemas utilizadospara realizarlos.

    Todas estas manipulaciones con fracciones eran absolutamente necesarias para el computodel calendario y la astronoma, por eso aparecen en el libro dichos calculos, que tenan un nivelbastante avanzado.

    En la computacion del calendario, calculaban que un ano tiene una duracion de 35614

    das(vemos que usaban numeros mixtos), esto lo sacaban de consideraban que el Sol se rueda ensu posicion un grado cada da, observado desde la Tierra. Sacaron la cuenta de que deberananadir 7 meses lunares adicionales al cabo de 19 anos, por lo que cada ano debera tener enpromedio, 12 7

    19meses lunares y por eso el numero de das en cada mes lunar debera ser:

    3651

    4 12 7

    19= 29

    499

    940

    En la ultima seccion del libro, aparece un metodo para dividir las fracciones anteriores.

    Ahora se conoce que en cada mes hay 29499490

    das, por consiguiente la Luna se mueve enpromedio cada da 13 7

    19grados. Por ello, buscar la posicion de la Luna despues de 12 meses

    lunares requiere mas calculos complicados, de hecho, es equivalente a calcular el resto de lasiguiente division:

    (29499

    940 12 13 7

    19) 3651

    4

    El resto es: 354 661217860

    En el libro se calculan el angulo recorrido por la Luna en un ano bisiesto (un ano de 13meses solares) y en un ano promedio de 12 7

    19meses lunares.

    3.2. Nueve captulos sobre el arte matematico

    Nueve captulos sobre el arte matematico es un tratado matematico que se cree que fueconfeccionado alrededor del siglo I d.C., de autor anonimo, y hasta hace poco, se ha consideradocomo el escrito especializado en matematicas mas antiguo que se conservaba, pero en el ano 1984aparecio, en una excavacion arqueologica, una coleccion de tiras de bambu en las que estabagrabado un texto matematico mas antiguo que este. Dicho trabajo tiene por ttulo Un librosobre aritmetica y data de la primera mitad del siglo II a.C. o antes. Esta escrito con el mismoestilo que los Nueve captulos y tiene muchas similitudes con el, incluso aparecen fragmentosiguales, por lo que es de suponer que este escrito es un antecesor directo suyo. De hecho, Nuevecaptulos sobre el arte matematico es una recopilacion de lo mas basico de todos los trabajosque se haban hecho hasta entonces, puesto que algunos problemas que aparecen en el libro sonmuy antiguos, mientras que otros aparecieron mas tarde y luego fueron recopilados todos en elmismo libro. Esto se puede ver en que, por ejemplo, hay ejercicios en los que aparecen medidas

    19

  • usadas en el periodo de los Estados Combatientes, otros en los que salen rangos de la noblezaque se utilizaban en la dinasta Han.

    El desarrollo gradual de las antiguas matematicas chinas en los periodos Zhou y Qn ylos posteriores avances realizados en la dinasta Han, se acumularon hasta formar un sis-tema completo. Los Nueve captulos es un trabajo representativo del desarrollo de las antiguasmatematicas, desde la dinasta Zhou hasta la Han.

    Esta gran obra tuvo una importante influencia en el desarrollo posterior de las matematicasy formo su base. Esta escrito en forma de preguntas y respuestas, contiene un total de doscientoscuarenta y seis problemas y esta dividido en nueves captulos. Por una parte, el libro se puedever simplemente como una coleccion de ejercicios resueltos, y por otra, se puede usar comomanual para resolver problemas practicos del mismo tipo que los que aparecen en el, ya quecada tipo de ejercicios se resuelve con un metodo determinado.

    Esta forma de escribir los libros, en ejercicios resueltos, tuvo una gran influencia posterior,y a partir de entonces, los escritos matematicos de la antigua China se escribieron as.

    Los captulos en los que se divide el texto son los siguientes:

    Captulo I Medicion del terreno.

    Su tema central es el calculo de areas, y ademas contiene una detallada discusionsobre el calculo con fracciones.

    Captulo II Alpiste y arroz.

    Trata de porcentajes y proporciones relacionados con estos cereales.

    Captulo III Distribuciones proporcionales.

    Se ocupa de la distribucion de la propiedad y del dinero segun unas normasprescritas, que conducen, en algunos casos, a realizar progresiones aritmeticas ygeometricas, y muchas de las veces, se requiere la regla de tres.

    Captulo IV Que anchura?

    Dada el area del cuadrado o el volumen del cubo, encontrar el lado. En estaseccion se explican los metodos para realizar races cuadradas y cubicas.

    Captulo V Un texto de consulta para ingenieros.

    Calculo de volumenes de figuras solidas.

    Captulo VI Justos impuestos.

    Se calcula la manera mas justa de cobrar los impuestos, teniendo en cuenta eltamano de la poblacion de un lugar y su distancia a la capital.

    Captulo VII Exceso y defecto.

    Problemas con dos incognitas.

    Captulo VIII Metodo de las tablas.

    Sistemas de ecuaciones lineales y explicacion de los conceptos de numero positivoy negativo.

    20

  • Captulo IX Gougu.

    Se introduce el metodo para resolver ecuaciones cuadraticas y aparecen aplica-ciones del teorema Gougu.

    Vemos que los contenidos de Nueve captulos sobre el arte matematico estan ligados a lavida real y reflejan la sabidura colectiva y las habilidades de la gente en la antigua China.

    Este tratado ha sido utilizado como libro de texto durante dinastas posteriores y muchosmatematicos empezaron sus investigaciones haciendo comentarios sobre el. Circulo tambien porJapon y Corea y tuvo una gran influencia en la matematica que se desarrollo en estos pases.Finalmente, la comunidad cientfica internacional se ha dado cuenta de este importante trabajo.

    3.2.1. Logros en aritmetica.

    El trato sistematico de operaciones aritmeticas con fracciones, varios tipos de problemas deproporciones, problemas del tipo exceso y defecto y otros problemas difciles son los logrosobtenidos en aritmetica con este libro.

    Operaciones con fracciones:

    Para operar con fracciones se usaron varillas de contar y la representacion de estas tiene suorigen en el metodo de la division. Los procedimientos que aparecen en el libro son bastantesimilares a los que se usan en el presente, en el captulo Medicion del terreno aparece la sim-plificacion de fracciones, buscar denominadores comunes, comparar dos fracciones con distintodenominador y la suma, resta multiplicacion y division de fracciones.

    En la simplificacion fracciones, se utilizaba el metodo de la sustraccion sucesiva para encon-trar el maximo comun denominador10. Si consideramos una fraccion reducible de la forma m

    n,

    la regla es la siguiente:

    Si los dos numeros (m y n) pueden dividirse por la mitad, entonces divdanse.Si no, coloquese el denominador debajo del numerador y restese del numero mayorel numero menor. Continuese este proceso hasta que se obtenga el divisor comun,teng. Simplifquese la fraccion original dividiendo ambos numeros por el teng.

    Para la adicion y la sustraccion de fracciones es preciso que tengan el mismo denominador.En el captulo Medicion del terrenose usa como denominador comun el producto de todos losdenominadores, sin embargo, en Que anchura? se utiliza el mnimo comun multiplo.

    Para multiplicar fracciones se utilizaba el mismo metodo que el actual: numerador pornumerador y denominador por denominador.

    En la division se busca un denominador comun para el dividendo y el divisor, entonces elcociente se obtiene tomando el numerador del divisor como denominador y el numerador deldividendo como numerador.

    b

    a d

    c=

    bc

    ac ad

    ac=

    bc

    ad

    10El algoritmo de Euclides, que utilizamos actualmente, se deriva de este metodo.

    21

  • Proporciones:

    En el captulo Alpiste y arroz aparecen problemas en los que se hace uso de la regla detres, y en Distribuciones proporcionales salen problemas del tipo: Tenemos 5 piezas de cazay las tenemos que repartir entre oficiales de cinco rangos diferentes: 5, 4, 3, 2 y 1.

    En Justos impuestos se estudia la recaudacion de impuestos en en proporcion directa conel tamano de la poblacion de las provincias y en proporcion inversa a la distancia a la capital.

    Exceso y defecto:

    Los problemas de este tipo son como el siguiente:

    Un grupo de personas compran en conjunto unas gallinas. Si cada persona dio 9wen, quedaran 11 wen de sobra despues de la compra. Si, en cambio, cada personacontribuye con 6 wen, quedaran 16 wen a deber. Cuantas personas hay en el grupoy cual es el coste de las gallinas?

    En terminos algebraicos, llamando a las dos contribuciones a y a y al exceso y al defecto(lo que sobra y lo que deben) b y b, respectivamente, la solucion propuesta en el libro es lasiguiente: (

    a a

    b b

    )=

    (9 611 16

    ) (ab abb b

    )=

    (144 6611 16

    ) (ab + abb + b

    )=

    (21027

    )

    El coste total de las gallinas es:ab + ab

    a a=

    210

    3= 7

    El numero total de personas es:b + b

    a a=

    27

    3= 9

    El problema anterior se puede reformular como un sistema de ecuaciones de dos incognitas,siendo x el numero de personas e y el coste.

    ax cy = b 9x y = 11ax cy = b 6x y = 16

    Se puede observar que el metodo sugerido aqu es un caso particular de la regla de Cramerpara ecuaciones de dos incognitas con c = c.

    3.2.2. Logros en geometra:

    En el libro se muestra que conocan las areas y volumenes de las figuras geometricas mascomunes como:

    Rectangulo A = ab donde a y b son los lados del rectangulo.

    22

  • Triangulo A =1

    2bh donde b es la base del triangulo y h su altura.

    Crculo11 A =P

    2

    D

    2donde D es el diametro del crculo y P su permetro.

    Prisma rectangular V = abc donde a es el alto del prisma, b el ancho y c el largo.

    Piramide V =1

    3a2h donde a es el lado de la base de la piramide y h su altura.

    Cilindro V =1

    12P 2h donde P es el permetro de la base del cilindro y h su altura.

    Cono V =1

    36P 2h donde P es el permetro de la base del cono y h su altura.

    Esfera V =9

    16D3 donde D es el diametro de la esfera.

    3.2.3. Logros en algebra

    Los principales avances en el area del algebra que aparecen en Nueve captulos sobre elarte matematico son el metodo de resolucion de sistemas de ecuaciones, la introduccion de losnumeros negativos, los metodos para resolver ecuaciones, los algoritmos para obtener racescuadradas y cubicas y el metodo para resolver ciertas clases de ecuaciones cuadraticas.

    En el captulo VIII, titulado Metodo de las tablas, se resuelven sistemas de ecuaciones,y el sistema utilizado no es otro que el conocido metodo de Gauss para resolver sistemas devarias ecuaciones con varias incognitas.

    En este mismo captulo se introducen los numeros positivos y negativos. El metodo queusaban para sumarlos y restarlos es el mismo que el actual, pero la division y multiplicacioncon numeros negativos no la descubrieron hasta el siglo XIII.

    El principio fundamental en que se basan los algoritmos para realizar la extraccion de racescuadradas y cubicas que aparecen en los Nueve captulos es justamente el mismo que usamosactualmente. Y por eso el metodo para sacar races cuadradas es casi el mismo que el moderno.

    De dicho algoritmo se derivo un metodo para resolver ecuaciones de segundo grado.

    11En los calculos que impliquen conocer el valor de se ha tomado una aproximacion = 3.

    23

  • 4. Desarrollo de las matematicas Chinas

    4.1. Dinastas Wei, Jn, Norte y Sur (221 - 589)

    Este periodo se caracteriza por las revueltas de campesinos y levantamien-tos religiosos, es una etapa de desunion, en la que el territorio se fragmenta.Sin embargo, para la ciencia fue una epoca de creatividad e innovacion, sobretodo en el campo de las matematicas.

    En el periodo anterior, aparecieron varios libros que tuvieron una granrepercusion. Uno de ellos fue el libro Clasico de la aritmetica del gnomony las sendas circulares del cielo, del cual el matematico Zhao Shuang haceun comentario. Zhao vivio, aproximadamente, entre los periodos Wei y Jn.El captulo mas importante de dicho libro es el Comentario ilustrado deltriangulo rectangulo, crculo y cuadrado. El texto esta escrito con quinientos

    caracteres chinos. Contiene veintiun teoremas sobre cuatro sistemas relacionados con los angulosrectos de las triangulos y las relaciones con los tres lados. Usando la notacion actual se sigue12:

    se obtiene a2 + b2 = c2

    Esto es lo mismo, que el llamado Teorema Gougu que aparece en el libro original, cuyo resul-tado es el Teorema de Pitagoras, muy importante para la historia antigua de las matematicas,pues de este procedieron grandes descubrimientos en geometra.

    Desgraciadamente, todos los diagramas de este captulo se han perdido. Sin embargo,podemos deducir algunos como el Diagrama de la Hipotenusa, el Gou-gnomon y Gu-gnomon.En el primero se hace una demostracion del Teorema de Pitagoras, utilizando la representacionde figuras geometricas en las demostraciones.

    Es necesario, para poder demostrar el teorema de Pitagoras en el diagrama anterior que severifiquen las siguientes suposiciones:

    1. Tanto el area de una figura plana como el volumen del solido permanecen constante trassu traslacion rgida a otro lugar.

    2. Si una figura plana o solida se corta en varias secciones, la suma de las areas o volumenesde las secciones es igual al area o volumen de la figura original.

    Si son ciertas, es posible deducir relaciones aritmeticas sencillas entre las areas o volumenesde diversas secciones de las figuras planas o solidas resultantes de diseccion y reagrupamiento.

    12Usando la notacion actual se sigue que gou = a y gu = b.

    24

  • El proceso para la demostracion era el siguiente, como indica la figura: tomese un cuadradocon cada lado igual a la hipotenusa del triangulo original y quite un pequeno cuadrado cuyo ladosea igual a la longitud del lado horizontal, entonces la parte restante tiene de area c2 b2 = a2

    El gou-gnomon, como indica la figura anterior, representa el apilamiento de rectangulos. Eldesarrollo matematico de esto dos ultimas diagramas, gou-gnomon y gu-gnomon, es equivalentea resolver una ecuacion de segundo grado como la siguiente:x2 + Bx = A

    El siguiente matematico destacado es Liu Hui, vivio en la dinasta Jn,donde el territorio fue nuevamente unificado. Escribe dos libros, por los quesera reconocido como uno de los matematicos mas ingeniosos de la epoca. Elprimer libro es un comentario de los Nueve captulos sobre el arte matematico, enel que pretende hacer explicaciones de los textos, anadiendo nuevos metodos yverificando los calculos.

    Su descubrimiento mas destacado es el Metodo de la division del crculo,pues crea un nuevo metodo para calcular , mediante la razon de la circunferen-cia de un crculo a su diametro. Los cientficos chinos, se haban preocupado por

    encontrar , pero ninguno haba hallado un metodo para calcularlo. Ademas se conceptualiza ,no solo como la razon de la circunferencia de un crculo, sino como un objeto matematico. Solantomar =3, aun sabiendo que este valor no era el correcto, pues no saban como encontrar unabuena aproximacion. Las razones por las que ha despertado tanto interes matematico a lolargo de la historia son las siguientes: mayor exactitud en los calculos requeridos en astronoma

    25

  • por la construccion del calendario, poder utilizar para resolver el problema de la cuadraturadel crculo13 y averiguar el del valor del propio .

    Hui usa polgonos inscritos para aproximar el crculo y encontrar . El metodo de la divisiondel crculo aparece en un problema de los Nueve captulos sobre el arte matematico, del quesigue la formula S = r 2r

    2= r2, esto es exacto pues el valor tomado es = 3. Para aproximar

    el crculo se parte de un dodecagono inscrito, de forma que el area resultante es menor que elverdadero valor del area.

    El modo correcto de proceder, segun Hui es el siguiente: se inscribe un hexagono, y unpolgono con el doble de lados que el anterior, en este caso el dodecagono, luego conociendo elpermetro de estas dos figuras se aplica el teorema de Pitagoras dos veces, y as se encuentra unaaproximacion de , se continua partiendo de un dodecagono y el siguiente polgono con el doblede lados (polgono de 24 lados), se repite el proceso hasta encontrar una buena aproximacion de. Verificando los calculos de Nueve captulos sobre el arte matematico, calculo la longitud deun polgono regular de 96 lados y el area del polgono de 192 lados y hallo = 3, 141024, peroafirmaba que este resultado se poda seguir aproximando. Para ello, haba que incrementar elnumero de lados hasta un numero infinito entonces el lmite del area del polgono regular es elarea del crculo14.

    Finalmente, Hui llego a encontrar = 3, 1416, una buena aproximacion de , y la mejorhasta entonces. En el proceso del calculo se introduce la nocion de lmite, desarrollando la teoray practica sobre aproximacion en los calculos. Notar que es la primera vez que se utiliza esteconcepto para resolver problemas, no solo para este en particular sino tambien es utilizado paracalcular el area de figuras irregulares. Mas adelante, el lmite jugara un papel muy importanteen el desarrollo del analisis infinitesimal.

    Tambien, trabajo con geometra, desarrollando nuevos metodos. Por ejemplo, el problemade calcular la longitud del lado de un cuadrado inscrito en un triangulo rectangulo cuyos lados(a, b) adyacentes al angulo recto son dados, continuando con la formula que aparece en los Nuevecaptulos sobre arte matematico se tiene x = ab

    a+bSe comprueba que la formula es correcta pues

    ab = 2ABC, reorganizando el triangulo ADEF que aparece en la siguiente figura:

    13Se demostro que era imposible.14Paralelamente, Arqumides utilizaba para el calculo de areas no solo polgonos inscritos, sino tambien

    circunscritos.

    26

  • As, para calcular el volumen de los objetos, proceda de forma similar que para hallar el area,reorganizando varios tipos de figuras tridimensionales llamadas q. Este metodo de combinacionde figuras, es similar a lo que hoy conocemos en geometra plana como traslaciones y rotaciones.Las figuras que constituan el q eran: el cubo, prisma, piramide y tetraedro, las tres ultimasse relacionan con el cubo. El prisma se define como la mitad del cubo cortado diagonalmente.La piramide como 1

    3del cubo. El volumen del tetraedro era 1

    6del cubo. Analticamente, para

    calcular los volumenes sigue con la formula que aparece en los Nueve captulos sobre el artematematico V = 1

    3h(ab + a2 + b2).

    Usaba metodo similares para calcular el volumen de otros cuerpos, como muestra la figura:

    Para calcular el volumen de la primera figura usaba dos o cuatro tetraedros con un prisma.Para la segunda cuatro piramides y para la tercera empleaba dos cubos, ocho prismas y cuatropiramides.

    Para calcular volumenes de secciones planas utilizaban metodos geometricos. Descubre quela razon del volumen de la esfera respecto del volumen de lo que llamaba dos paraguas15 era

    15Los dos paraguas estan formados por la interseccion de dos cilindros que circunscriben a la esfera y por lainterseccion de ejes que forman angulos rectos.

    27

  • : 4. Sin embargo, no calculo el valor de dos paraguas, sino que lo dejo indicado para suresolucion por matematicos posteriores.

    Otro descubrimiento que se atribuye a Hui es la notacion en base decimal junto con laintroduccion del punto decimal, como por ejemplo 3, 1415 = 3 + 1

    10+ 4

    100+ 1

    1000+ 5

    10000

    De esta forma, continua con la geometra en su segundo libro: Manual matematico de la isladel mar. Actualmente, los dos libros de Hui aparecen como independientes, pero en realidad,el segundo fue una continuacion del primero, pues era un desarrollo del captulo que trata delGougu. Dicho segundo libro, desarrolla el llamado metodo de las segundas diferencias y recibesu nombre pues el principal problema que trata es el de calcular la altura y la distancia de unaisla. Gracias a este libro, se posee mayor exactitud, por lo que los mapas son mas precisos. Eramuy complicado calcular las distancias entre tierras y ros, por lo que dificultaba la construccionde mapas. En la actualidad se ha encontrado un mapa que utilizaba unicamente el metodo delas segundas diferencias.

    En el metodo de las segundas diferencias se necesitan basicamente dos observaciones, peroalgunos problemas requieren tres o cuatro, dependiendo de la naturaleza del mismo. Destaca elproblema del calculo de la altura x y la distancia y, se resuelve de la siguiente forma:

    Se toman dos astas AG y EK como se indica en la figura, la altura de las astas es h y ladistancia entre ellas es d. Mientras que las dos astas esten alineadas en el mismo plano vertical,se toma a1 la distancia del asta EK hasta que esten alineados la cima de la montana y laparte superior del asta. Se repite el proceso con el asta AG obteniendo a2, y de esta forma seencuentra la altura de la isla y la distancia entre la isla y el asta. Se obtienen las formulas:

    x =d

    a2 a1h + h y =

    d

    a2 a1a1

    Tambien, se utiliza este proceso otros problemas similares, como el calcular la altura de unarbol en una montana, que requiere tres observaciones.

    Otro matematico destacado de este periodo es Zu Chongzhi, junto a su hijoZu Geng. Vivieron en la dinasta Norte y Sur. Desde varias generaciones, lafamilia de Chongzhi se haba dedicado a la astronoma y a la computacion delcalendario. Por lo que, se interesa por las matematicas y hace un estudio delconocimiento matematico anterior. Destaca por mejorar los metodos utilizadosanteriormente y por corregir errores de los matematicos anteriores, como porejemplo Liu Hui, Liu Xin, Zhang Heng y Wang Fan.

    28

  • Hizo grandes contribuciones al campo de la ciencia y la tecnologa. Se interesa por la inge-niera y astronoma. Descubre graves errores en el calendario de He Chengtian, que era el usadoen aquel entonces. Por lo que construye, con tan solo 33 anos, un nuevo tipo de calendariollamado Calendario Da Ming, que provoco objeciones entre personas muy influyentes por locual no fue aceptado. En defensa de su trabajo, emprende un debate publico con Dai Fuaxing16,entre otros, y escribe un ensayo llamado Replica. El tema del debate era la distincion entereciencia y no-ciencia, progresar y conservar. Dai Fuaxing afirmaba que todo deba conservarseigual que en la antiguedad pues ningun humano tiene el derecho de cambiar el calendario, porlo que acusa a Zu Chongzhi de blasfemo y trabajar en contra de los clasicos. Sin embargo,Zu Chongzhi afirma que el Sol, la Luna y los cinco planetas conocidos no eran espritus nifantasmas y que conociendo la forma se puede trabajar sin numeros. Finalmente, su calendariofue instaurado a los diez anos de su muerte. Para la construccion del calendario, calculo elvolumen de la esfera como actualmente conocemos V = 4

    3r3. De esta forma, corrigio el error

    que apareca en los Nueve captulos sobre el arte matematico, el nuevo metodo fue desarrolladopor su hijo.

    El metodo usado por la familia Zu es el siguiente: tomese unpequeno cubo con lado igual al radio de la esfera r. Esto es 1

    8del

    cubo circunscrito en la esfera. En la figura se tomaba como centroO y r como radio de la esfera original, construyendo dos cilindrosque corten el lado y las caras frontales del cubo. As, el pequenocubo se corta en cuatro partes como se muestra desde la figura(b) a la (e). En (b), tenemos 1

    8Hui llamo dos paraguas cuadra-

    dos, aqu lo llamamos partes del paraguas. Ahora recombi-nando cuatro partes se toma un pequeno cubo y la altura h de laseccion cortada. En (f) se tiene un triangulo rectangulo ABC, ABes el radio r, BC la altura h y AC la longitud del lado de la sec-cion cuadrada a, y por el teorema Gougu se tiene que a2 = r2h2de la que se sigue S = r2 a2 = r2 (r2 h2) = h2 Siendo Sla seccion cuadrada. Finalmente se obtiene que el volumen de laparte del paraguas es 2

    3del volumen de un cubo pequeno. Luego

    se deduce que el volumen de dos paraguas cuadrados es 23

    delvolumen de un cubo grande, que es igual al diametro D, se sigue:

    V =

    4

    2

    3D3 =

    4

    3r3

    Sin embargo su mayor descubrimiento fue aproximar a siete cifras decimales, usando larazon de la circunferencia, a su diametro, situandolo en este intervalo

    3, 1415926 < < 3, 1415927

    De tal manera, que si el radio es de 10 Km., el error es como mucho de mm. Siglos mas tarde,haciendo uso del ordenador se encontraran una aproximacion mayor, pero en aquel entoncesesta aproximacion era un gran descubrimiento.

    16Cortesano.

    29

  • 4.2. Dinastas Su y Tang (589 - 907)

    La dinasta Su es un periodo de cambios en astronoma y en la computacion del calendario.Continuamente, se mejora el calendario, pues los eclipses solares y lunares, requieren saber conexactitud las posiciones del Sol, la Luna y los cinco planetas conocidos. Anteriormente, se creaque la velocidad de movimiento de los astros siempre era la misma. Sin embargo, en el periodoanterior, Jia Ku observa que el movimiento de los astros unas veces es mas rapido y otras es maslento. Sin embargo, fue Zang Zixn quien descubre que la trayectoria descrita por los cuerposcelestes conocidos es una elipse, no que se desplazan a lo largo de una orbita circular, de formaque los calculos necesitan una mayor exactitud. Se crea el metodo de las segundas diferenciasde interpolacion usado por Liu Zhuo. De esta forma, se pretende predecir los eclipses de Lunay Sol, por lo que se necesita conocer las posiciones de los astros en el firmamento. Para ello senecesitan dos observaciones, pues durante el da debido a los intensos rayos de sol era imposibleestudiar las posiciones de otros astros como los cinco planetas conocidos. Se sigue la formulaque conocemos como la formula de interpolacion de Newton.

    f(w + s) = f(w) + s +s(s 1)

    2!2

    Aplico el metodo, a lo que se llamo el calendario imperial estandar, usando intervalos detiempo iguales.

    Posteriormente en el periodo Tang (618-907), el famoso astronomo Monk Y Xng, uso estemetodo para sus calculos, pero tomando intervalos desiguales. Gracias a este metodo constru-yo un calendario llamado Da Yan.

    f(w + s) = f(w) + sd1L1

    +sL1

    L1 + L2

    (1L1

    2L2

    ) s

    2

    L1 + L2

    (1L1

    2L2

    )En los ultimos anos de este periodo, Xu Ang simplifico la formula de Monk construyendo

    as un calendario llamado Xuan Ming, simplificando tambien se obtiene la formula de Newton.

    f(w + s) = f(w) + sd1 +s

    2(d1 d2)

    s2

    2(d1 d2)

    Se crean Los diez manuales matematicos, en los cuales se recoge toda la informacion de laepoca, en forma de problemas y metodos para resolverlos. Fueron creados para ser utilizadospor la Academia Imperial y para los examenes de los soldados. Entre ellos destacan: Nuevecaptulos sobre el arte matematico, Clasico de la aritmetica del gnomon y las sendas circularesdel cielo, Manual matematico de la isla del mar, Manual matematico del maestro Sun, etc.

    El Manual matematico del maestro Sun esta dividido en tres volumenes. El primero tratasobre metodos de multiplicacion y division usando palillos; en el segundo se trabaja con frac-ciones y extraccion de races cuadradas. Ambos libros ponen en practica el trabajar con palillos,ademas en ellos se corrigen algunas erratas que aparecen en los Nueve captulos sobre el artematematico. El ultimo volumen recoge problemas difciles de aritmetica. Actualmente, hay unproblema de este libro que es muy famoso, el llamado problema del Maestro Sun. Escrito ennotacion algebraica, el problema es el siguiente: dado un numero N se divide por m1 y el resto

    30

  • es r1. Se divide por m2 y el resto es r2. Se divide por m3 y el resto es r3 Cuanto vale N? Estoes equivalente a encontrar N donde:

    N r1(mod m1)N r2(mod m2)N r3(mod m3)

    No es muy difcil de resolver. Se deben calcular a1, a2, a3 tal que a1 divide a m2 y m3con resto 1 cuando divide a m1. a2 divide a m1 y m3, pero da 1 cuando divide a m2. a3divide a m1 y m2 pero da 1 cuando divide a m3. Entonces, la solucion de las congruenciases a1r1 + a2r2 + a3r3 y se obtiene la solucion por sucesivas sustracciones del multiplo comunde m1, m2 y m3. Este problema desperto gran interes por lo que tambien fue conocido porotros nombres. Se utilizo para la computacion del calendario. Se supona que haca N anos,a medianoche, tuvo lugar el solsticio de invierno, en el que el sol, la luna y los cinco planetasconocidos estaban en la misma posicion. Sin embargo, se sabe que los astros tienen diferentesperiodos de rotacion, pero observando N anos despues en la hora Q del da P del mes M , susposiciones y trayectorias son diferentes. Entonces m1, m2, m3,. . . son los periodos de rotacion delos astros, el Sol, la Luna y los cinco planetas, respectivamente. Usando esto para dividir N anosM meses, P das y Q horas se tiene r1, r2, r3,. . . que indican el desplazamiento de los cuerposcelestes, en el mismo orden que antes. Conociendo m1, m2, m3. . . y r1,r2,r3. . . podemos calcularel numero total de anos N , y as encontrar la solucion del problema del Maestro Sun. Cuandose empezo a utilizar este metodo para calcular los anos fue llamado Metodo de Shang Yuan,siendo N el numero de anos. Sin embargo, en el calendario de Zu Chongzhi el metodo era mascomplicado, pues utilizaba once congruencias para N , ademas los periodos m1, m2,. . . no sonenteros. Desgraciadamente, a pesar de ser tan complicados los metodos se siguieron utilizando.

    Otros libros importantes son Cinco clasicos de aritmetica, Memorias de algunas tradicionesdel arte matematico y Manual matematico de las cinco secciones del gobierno. Estos tres librosfueron escritos por Zhen Luan, que vivio en la dinasta Norte y Sur. Era astronomo dedicadoa la construccion calendarica. Su calendario Tian He fue adoptado oficialmente.

    Su primer libro, Manual matematico de las cinco secciones del gobierno trata sobre aritmeti-ca aplicada. Estaba dividido en cinco bloques: finanzas, haciendas, armada, aduanas, almacenes.Cada captulo versaba sobre un bloque. El de haciendas trataba sobre el calculo de areas paracultivar en el terreno. Algunas areas eran calculadas por metodos de aproximacion. El segundocaptulo sobre problemas militares. El tercer captulo trata sobre los problemas de las aduanasoficiales con el comercio. El cuarto acerca de la comida y la capacidad de los almacenes. Elultimo sobre finanzas del gobierno. Los ultimos captulos de este libro no se rigen por los Nuevecaptulos sobre el arte matematico17. Se recurre a los metodos de multiplicacion, division yproporcion.

    En lo Cinco clasicos de aritmetica se discuten, como su nombre indica, clasicos del periodoHan. No aparece nada relevante en este libro, simplemente se recopilan problemas de aritmetica,pero no se crea un nuevo metodo.

    17Para sus calculos no trabajaban con varillas.

    31

  • En Memorias de algunas tradiciones del arte matematico, destaca por la complejidad delmismo. Se introducen frases budistas, taotistas y msticas en su desarrollo. Se exponen otrosmetodos de trabajar con numeros mediante palillos, pero la idea es impracticable. Se introducenpor primera vez diagramas de filas y columnas, que actualmente se conocen como cuadradosmagicos. Estos diagramas, se caracterizan por la suma constante de una fila, una columna ouna diagonal. El cuadrado magico de orden tres es llamado Luo-shu18, y la suma constante es15, de esto se siguen las siguientes formulas:

    S = 1/2n2(n2 + 1) s = S/n

    S es la suma total de todos los numeros contenidos en las n celdillas y s es la suma constantede los numeros de cada fila, columna o diagonal. La construccion del Luo-shu, es muy sencilla.Se colocan los nueve primeros numeros en forma de escalera, de tres en tres, como indica lafigura. Se cambian de lugar los extremos, el 1 y 9, 3 y 7. Se introducen los numeros en lasceldillas y as, ya tenemos el cuadrado magico.

    Ademas de esta forma tambien se representa un principio importante de la filosofa china: elequilibrio notable entre dos fuerzas complementarias del yin (femenino) y yang (masculino) enla naturaleza, representadas por numeros impares (cuentas blancas) y pares (cuentas negras),respectivamente, dispuestas alrededor del numero central que es el 5 como muestra la figurasiguiente:

    Posteriormente, trabajaron con cuadrados magicos de orden cuatro y cinco. Mas adelanteel orden de los cuadrados aumentara notablemente.

    El siguiente libro es el Manual matematico de Xiahou Yang sigue usando las varillas de con-tar. En tres captulos se pueden encontrar ochenta y tres problemas relacionados con situacionesde la vida diaria. Se recogen las leyes del periodo Tang, en forma de problemas que enunciaban

    18Aunque para su aprendizaje en la escuela se sola llamar nueve casas.

    32

  • la legislacion de propiedades particulares. Hay problemas de calculo de dos impuestos de arrozy dos impuestos de Palacio. Destaca por trabajar con varillas, esto se mantendra hasta quemuchos siglos despues se desarrollo un nuevo instrumento de calculo, el abaco.

    El Manual matematico de Zhang Qiujian esta dividido en varios volumenes, de los que solose conserva el primero con noventa y dos problemas. En el prefacio de este libro se recomendabapara personas que no tuvieran miedo de trabajar con multiplicaciones y divisiones, pero quetuvieran dificultades para encontrar denominadores comunes. Usando la notacion del algebramoderna, se siguen las siguientes formulas:

    1. Conociendo el primer termino a y el ultimo l, sabiendo que hay n terminos, la suma delos n terminos es:

    S =1

    2(a + l)n

    2. Dados a, n y s, encontrar la diferencia comun d:

    d =

    (2s

    n 2a

    )/(n 1)

    Destacan los problemas con fracciones y la dificultad de las multiplicaciones y divisionespara encontrar un denominador comun. Tambien, se trabaja con sucesiones, series y resolucionde sistemas de dos ecuaciones con tres incognitas.

    Por ultimo, encontramos el libro Continuacion de las matematicas antiguas, compuestopor veintidos problemas, escrito por Wang Xiaotong, astronomo y matematico. Problemas deconstruccion de plataformas y diques de diferentes alturas, reparacion de almacenes. Es elprimero en usar el metodo del corolario de races cubicas. Se preocupa por la resolucion deecuaciones de tercer grado.

    x3 + ax2 + bx = A

    Todo el contenido matematico de los libros anteriores era muy importante, sin embargo en laAcademia Imperial, el numero de estudiantes disminua. Se cambiaron las leyes, y se utilizabancomo material didactico estos libros. El conocimiento de los Diez manuales matematicos erafundamental, se deba saber resolver los problemas que aparecen en ellos, sin olvidar los librosimportantes de las etapas anteriores como Nueve captulos sobre el arte matematico, Manualde la isla del mar. Los examenes para militares consistan en la resolucion de problemas queaparecen en los libros.

    Este periodo, Tang, en el la China de la epoca esta unificada fue una etapa caracterizadapor la apertura de influencias extranjeras, siendo un renacimiento artstico y literario. Susprincipales innovaciones tecnologicas fueron la imprenta y la polvora. Se introduce el budismonotablemente, y otras corriente religiosos y razonamientos. Los primeros libros que se introducen

    33

  • son: Metodos de calculo de la escuela Brahma, Manual matematico de la escuela Brahma yCalculo del calendario de la escuela Brahma. Los conceptos que se introducen son en su mayoraconocidos por lo que no despiertan interes. Se introduce la medida de los arcos, tabla de senostrigonometricos y los numerales hindues, estos ultimos nunca fueron adoptados. Ademas, losconocimientos se expanden a Corea y Japon. Con la creacion de los Diez manuales matematicos,como hecho destacado, se dara lugar a una etapa de esplendor.

    34

  • 5. Matematicas durante el periodo de esplendor chino.

    Dinastas Song y Yuan (960 - 1368)

    Durante las dinastas anteriores, las matematicas se desarrollaron a partir de un sistema quetena como base los Diez libros de matematicas clasicos. En este periodo, las matematicas sedesarrollaron mas. La tecnica de impresion fue muy desarrollada. A partir de esto, el gobiernomando a copiar los libros que se encontraban en la administracion, donde se guardaban todos lostrabajos de las dinastas anteriores. Se mando a copiar libros como los Nueve captulos sobre elarte matematico y otros que fueron utilizados como libros de texto en escuelas y universidades.

    En este momento, dinasta Song, China estaba dividida en dos zonas: la zona norte y lazona sur. En la zona norte haba una estabilidad en las matematicas que se desarrollaba en laacademia imperial, pero haba momentos en los que las matematicas no se desarrollaban, puesse consideraban extravagantes y se pensaba que no contribuan al avance del pas. Sin embargo,en esta zona, las matematicas se estabilizaron con el paso de los anos. Por otro lado, en la zonasur, la situacion fue distinta. Las matematicas al inicio de la dinasta Song estaban estabilizadaspero llego un momento que no se continuaron y nunca mas se volvieron a estabilizar.

    En 1127, con la invasion de los Mongoles, los libros que se encontraban en laadministracion fueron destruidos. A partir de aqu comienza un nuevo periodo parala zona norte Mongol (periodo Yuan), mientras que en la zona sur, se encuentrael periodo Song.

    Los matematicos mas importantes de este momento fueron Qn Jishao y YangHui en la zona sur y Zhu Shjie y Li Zh en la zona norte, que reflejaron en sustrabajos todo el esplendor matematico del momento. Actualmente, los trabajos deYang Hui se conservan incompletos. Tambien destacaron otros matematicos en lazona norte durante la dinasta Song, es decir, antes de la invasion de los Mongoles,como son Shen Kuo, Zhu Ji y Jia Xian, que hicieron contribuciones al campo deastronoma, series y solucion de ecuaciones.

    Los tratados mas destacados de cada uno de estos matematicos son los sigu-ientes:

    Shen Kuo : Ensayos sobre un conjunto de suenos.

    Qn Jishao : Tratado matematico en nueve secciones.

    Li Zh : Espejo marino de las medidas circulares.

    Yang Hui :

    Analisis detallado de los metodos matematicos de los nueve captulos.

    Metodos de calculo para el uso diario.

    Metodos de calculo.

    Zhu Shjie :

    Introduccion a los estudios matematicos.

    35

  • Espejo precioso de los cuatro elementos.

    Las matematicas chinas en este periodo Song y Yuan constituyen un periodo de gran esplen-dor matematico, que se desarrollo durante el periodo medieval en Europa. Los campos que setrataron en este momento fueron muy diversos: metodos de extraccion de races, operaciones conpolinomios, series, analisis indeterminado, cuadrados magicos y trigonometra esferica; desta-cando mas los tres primeros. Ademas contribuyeron a avances tecnologicos y avances en lafabricacion de calendarios.

    5.1. Metodos de extraccion de races

    Durante las dinastas anteriores ya se haba desarrollado un metodo para resolver ecuacionesdel tipo x2 = A y x3 = B. Este metodo era el metodo de abrir el cuadradoque consista enextraer races cuadradas de las ecuaciones, pues todas las ecuaciones ordinarias se puedenreducir a ecuaciones del tipo x2 + ax = b. Este metodo se fue desarrollando y llego a serel corolario de extraccion de races cuadradas. Por otro lado, el metodo para solucionarecuaciones ordinarias de tipo cubico x3 +ax2 +bx = c, el corolario de tomar races cubicas sedesarrollo del metodo de extraer races cubicas. Estos metodos pueden ser encontrados en Losnueve captulos sobre el arte matematico y El manual matematico de Zhang Qiujian (corolariode extraccion de races cuadradas) y el corolario de tomar races cubicas se encuentra en ellibro Continuacion de las antiguas matematicas.

    La configuracion del conteo con varillas del metodo que aparece en los Nueve captulos sobreel arte matematico se explica a continuacion:

    Se daban cinco filas de arriba abajo:

    La primera fila shang, daba el resultado.

    La segunda fila sh, daba el numero dado.

    La tercera fila fang (el cuadrado) daba el coeficiente de x2.

    La cuarta fila, lian (el lado) daba el termino cubico, coeficiente de x3.

    La quinta fila, yu (la esquina).

    El procedimiento era el siguiente:

    Colocaban la primera aproximacion de la raz. Si, por ejemplo, resolvan un problema de tipox3 = N x = (a+ b+ c). Se tomaba la primera aproximacion de x en este caso a. Despues decolocar a en la fila del resultado, se desarrollaba aparte el binomio (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3

    y se colocaban los coeficientes de a en las filas correspondientes. A partir de esto, colocaban lasegunda aproximacion de la raz (a + b) en la fila resultado y desarrollaban aparte el binomio((a + b) + c)3 = (a + b)3 + 3(a + b)2c + 3(a + b)c2 + c3 y colocaban los coeficientes de (a + b) enlas filas correspondientes, y as, hasta llegar al tercer lugar de la aproximacion de la raz c.

    36

  • Los matematicos de este periodo se dedicaron a buscar metodos para la extraccion deraces de ecuaciones de grados arbitrarios. Jian Xian introdujo un metodo para extraer racescuadradas y cubicas que mas tarde se generalizo para encontrar races de grados arbitrarios.

    Todos los trabajos de Jian Xian se encuentran perdidos. Este metodo se encuentra recopiladoen el libro Reclasificacion de los metodos matematicos de los nueve captulos por Yang Hui. Estemetodo es el llamado metodo de extraccion de races cuadradas por sucesivas multiplicaciones.Este es mas directo que el anterior, pues los calculos se realizan en la misma distribucion deconteo con varillas.

    Veamos el procedimiento para el problema del ejemplo anterior, x3 = N x = (a+ b+ c).Despues de conseguir el primer lugar de la raz, el metodo de Jian Xian dice lo siguiente:

    Usando el resultado, a, multiplicando por la varilla de la esquina, se consigue el terminolineal a. Multiplicando el termino lineal por la raz, a, se consigue el termino cuadrado a2,multiplicando de nuevo, a, por el termino cuadrado a2, y restando esto al numero dado, seobtiene el nuevo numero dado N a3. Despues de esto, tomar de nuevo la raz multiplicadapor la esquina y sumarla al termino cubico anterior, a3, dando, 2a; multiplicar esto por eltermino lineal o el resultado, a y anadirlo al coeficiente de x2, esto es, 2a2 + a2 = 3a2. Denuevo, multiplicar por la fila esquina y anadir al coeficiente de x, dando 2a + a = 3a. Paraencontrar la segunda aproximacion de la raz (a+ b) se sigue el mismo procedimiento hasta quese encuentra N (a + b + c)3 y esta es la raz cubica (a + b + c)3.

    37

  • Este metodo es el que actualmente se conoce como el metodo de Horner veamos esto:

    Resolveremos el problema (a + b + c)3 = N por el metodo de Horner actual. Esto es,resolver x3 N = 0:

    1 0 0 N

    a a a2 a3

    1 a a2 N + a3

    a a 2a2

    1 2a 3a2

    a a1 3a

    38

  • 1 3a 3a2 (N a3)

    b b 3ab + b2 3a2b + 3ab2 + b3

    1 3a + b 3a2 + 3ab + b2 N + a3 + 3a2b + 3ab2 + b3= (N (a + b)3)

    b b 3ab + 2b2

    1 3a + 2b 3a2 + 6ab + 3b2

    = 3(a + b)2

    b b1 3a + 3b

    1 3a + 3b 3(a + b)2 (N (a + b)3)

    c c 3ac + 3bc + c2 3(a + b)2c + 3(a + b)c2 + c3

    1 3a + 3b + c 3(a + b)2 + 3(a + b)c + c2 N (a + b + c)3

    c c 3(a + b)c + 2c2

    1 3a + 3b + 2c 3(a + b)2 + 6(a + b)c + 3c3

    = 3(a + b + c)2

    c c1 3(a + b + c)

    Nota: Observar que los restos obtenidos coinciden con las columnas de las distintas aproxi-maciones de x del metodo de extraccion de races por sucesivas multiplicaciones

    El metodo de Horner fue publicado por Horner en Europa en 1819 y por Ruffini en 1804,sin embargo, Jian Xian introdujo el metodo de extraccion de races cuadradas y cubicas porsucesivas multiplicaciones a mediados del siglo XI, lo que equivale a unos 800 anos antes de loque se desarrollo en Europa.

    Ademas, el metodo de la extraccion de races cuadradas y cubicas por sucesivas multiplica-ciones influyo en el desarrollo de las matematicas durante este periodo.

    Jian Xian busco un metodo para encontrar los coeficientes binomiales, pues los necesitabapara el metodo de extraer races de alto grado. Ademas del metodo de encontrar los coeficientesbinomiales desarrollo un diagrama para estos. Este diagrama aparece en Analisis detallado delos metodos matematicos en los nueve captulos de Yang Hui. Se llamaba La fuente del metodode extraccion de races y fue desarrollado por Jian Xian hasta orden seis en el siglo XI. Laconfiguracion de los numeros es la siguiente:

    39

  • 11 1

    1 2 11 3 3 1

    1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

    1 6 15 20 15 6 1

    El numero de la fila (n + 1) es el que indica el grado del binomio (a + b)n. El diagramase desarrolla a partir del metodo de extraccion de races por sucesivas multiplicaciones. Parallegar a los coeficientes del binomio (a + b)6 Jian Xian uso el metodo de extraccion de racespor sucesivas multiplicaciones.

    Por otro lado, en el trabajo de Zhu Shjie, Espejo precioso de los cuatro elementos, aparece undiagrama similar desarrollado hasta orden ocho y al lado de cada fila aparecen unos caracteresque designan esta. Debajo aparece un comentario que explica la forma de su construccion y losusos a los que se puede aplicar:

    Los numeros en la fila (n + 1) muestran los coeficientes del desarrollo binomicode (a + b)n, siendo n un numero entero positivo. Los coeficientes unidad a lo largodel borde en pendiente a la izquierda (la chi shu) y de la lnea extrema en pendientea la derecha (la yu suan) son los coeficientes del primero y del ultimo termino,respectivamente, de cada desarrollo del binomio. Los numeros internos ((2)), ((3, 3)),((4, 6, 4)),. . . , son los terminos internos de las ecuaciones binomicas de segundo,tercero, cuarto,. . . , grados.

    Zhu Shjie continua indicando la estrecha relacion que existe entre la construc-cion del triangulo y la resolucion de ecuaciones numericas de orden superior.

    Multiplquense los coeficientes de la fila (n + 1) por un valor sugerido para laraz; a continuacion, sustraigase la potencia enesima de la fila sugerida de Shi (estoes, la constante cuya raz hay que extraer) y divdase la diferencia por el productodel valor sugerido y del coeficiente para obtener el nuevo valor de la raz.

    La cresta del pavo real

    40

  • Este diagrama es lo que se conoce en Europa como el triangulo de Pascal, (1623-1662). Porotro lado, el matematico arabe Al-Kashi en 1427 dio una tabla de coeficientes binomiales yen 1527, Apianus matematico