las matemáticas chinas

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Las Matem´ aticas Chinas Mar´ ıa Nieves Algarra L´ opez Cruz Enrique Borges Hern´ andez Isabel Garc´ ıa Dorta Ver´ onica Hern´ andez Negr´ ın Bego˜ na Hern´ andez P´ erez 16 de octubre de 2004

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Page 1: Las Matemáticas Chinas

Las Matematicas Chinas

Marıa Nieves Algarra LopezCruz Enrique Borges Hernandez

Isabel Garcıa DortaVeronica Hernandez NegrınBegona Hernandez Perez

16 de octubre de 2004

Page 2: Las Matemáticas Chinas

Indice

1. Introduccion historica 3

1.1. Los orıgenes y el perıodo formativo: dinastıas Shang, Zhou, Qın y Han . . . . . 3

1.2. El periodo de desarrollo: Dinastıas Wei, Jın, dinastıas del Norte y Sur, Suı y Tang 3

1.3. El perıodo de esplendor: Dinastıas Song y Yuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4. Primera entrada de las matematicas occidentales: Dinastıa Mıng . . . . . . . . . 5

1.5. El periodo feudal y la segunda entrada de las matematicas occidentales . . . . . 5

2. Los comienzos de las matematicas en la antigua China 6

2.1. El origen del concepto de numero y de las figuras geometricas . . . . . . . . . . 6

2.1.1. Leyendas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.2. Arqueologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2. Sistemas de numeracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.1. Numeracion oracular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.2. Varillas de contar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3. El conocimiento matematico en los antiguos textos de antes de la dinastıa Qın(221 - 206 a.C.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3.1. El Libro de las artes, el Libro del maestro Mo y otros . . . . . . . . . . . 12

2.3.2. La educacion matematica y la aparicion de los oficiales Sihuı, Fasuan yChouren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3. La formacion de sistemas matematicos en la antigua China. Dinastıa Han(206 a.C. - 220 d.C.) 16

3.1. El clasico de la aritmetica del gnomon y las sendas circulares del cielo . . . . . . 16

3.1.1. El dialogo sobre matematicas entre Rong Fang y el maestro Chen. . . . . 17

3.1.2. El teorema Gougu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.3. Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2. Nueve capıtulos sobre el arte matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2.1. Logros en aritmetica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2.2. Logros en geometrıa: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2.3. Logros en algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4. Desarrollo de las matematicas Chinas 24

4.1. Dinastıas Wei, Jın, Norte y Sur (221 - 589) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2. Dinastıas Suı y Tang (589 - 907) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

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5. Matematicas durante el periodo de esplendor chino. Dinastıas Song y Yuan(960 - 1368) 35

5.1. Metodos de extraccion de raıces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.2. Trabajos con ecuaciones polinomicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.3. Investigaciones en series finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.4. Investigaciones en otras areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.4.1. Analisis indeterminado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.4.2. Cuadrados Magicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.4.3. Trigonometrıa esferica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.5. Intercambio de conocimientos matematicos duranteeste periodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6. El abaco. Dinastıa Mıng (1368 - 1644) 52

7. La primera entrada de las matematicas occidentales. Dinastıa Mıng (1368 -1644) 55

8. Matematicas durante el periodo feudal de “Puerta cerrada”. Dinastıa Qıng(1796 - 1911) 63

8.1. Estudio y comentario de las obras antiguas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

8.2. Investigaciones y desarrollos propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

8.2.1. Estudio de la trigonometrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

8.2.2. Investigaciones en Teorıa de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

8.2.3. Suma de series finitas1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

8.2.4. Investigaciones en otras areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

9. Segunda entrada de la matematica occidental. Siglo XX 74

9.1. Cambio de mentalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

9.2. Traduccion de textos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

9.3. Nuevo metodo de ensenanza y los nuevos textos matematicos . . . . . . . . . . . 75

A. Lista de libros chinos 76

B. Bibliografıa 78

C. Recurso en red 78

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1. Introduccion historica

1.1. Los orıgenes y el perıodo formativo: dinastıas Shang, Zhou, Qıny Han

Los primeros restos arqueologicos hallados en China datan del 400000 a.C. Pertenecen alllamado hombre de Pekın. Hacia el 200000 a.C. se establece el homo sapiens y finalmente elhomo sapiens sapiens se dispersa y crea varias culturas locales sobre el 50000 a.C. Es probableque desde tan antiguo prevenga las relaciones jerarquicas tradicionales chinas como el parentescoy autoridad. En el periodo entre el 8000 a.C. y el 2200 a. C. se comienza el cultivo del arrozalrededor de los grandes rıos, la produccion de seda y el uso de la ceramica por los Yanshao yposteriormente por los Longshao.

La primera dinastıa fue los Xia y posteriormente los Shang que ostentaron el poder duranteel periodo comprendido entre el 2100 a.C. y el 1040 a.C. De estas primeras dinastıas procedelos ritos oraculares con huesos de los cuales parece provenir la escritura China. Es tambien unperiodo de grandes obras publicas y se comienza la edad de los metales. La primera dinastıaque unio gran parte del territorio que hoy conocemos como China fue los Zhou que reinaronprimero bajo el mandato occidental (1.040 a.C. - 771 a.C.) y luego bajo el mandato oriental(722 a.C. - 221 a.C.). De los primeros podemos destacar la unificacion del estado Chino, comocomentabamos anteriormente, ası como la difusion de la cultura China por todo el territorio. Delos segundos podemos decir que fue un periodo de desunion y conflictos2 en el terreno polıticoy de creacion de multitud de corrientes filosoficas, entre ellas la que marcarıa toda la sociedadmoderna China, el confucionismo.

Tras este periodo de desunion surge el imperio Qın (221 a.C. - 206 a.C.). Los avancesmilitares permitieron el sometimiento de los pueblos cercanos y la reunificacion mientras que lacentralizacion del gobierno, unido a la unificacion de la escritura, moneda, pesos, medidas, etc.permitio un control mas eficaz del imperio. Es este tambien un periodo en el que se realizangrandes obras publicas, sobretodo carreteras y canales de irrigacion.

A la muerte del emperador Qın el imperio cae con el. El testigo lo toma la dinastıa Han(206 a.C. - 200 d.C.3.). Durante este periodo se someten a los pueblos de asia central al controlChino, se establecen monopolios de y surge la diplomacia. Un hito muy importante que seproducirıa durante este periodo es la creacion de las oposiciones como medio para obtener uncargo publico. Esto promovio la creacion de una clase dirigente “culta”.

1.2. El periodo de desarrollo: Dinastıas Wei, Jın, dinastıas del Nortey Sur, Suı y Tang

La ascension de la nobleza durante los ultimos anos del periodo Han unido a las invasiones“barbaras4” y la ineptitud de los ultimos emperadores Han precipito la caıda del imperio y su

2Este periodo es conocido como “Primavera y Otono”(771 - 484 a.C) y como “Estados combatientes”(484 -221 a.C.).

3A partir de aquı las fechas, si no se indica lo contrario, se referiran a d.C.4Por barbaras se entiende extranjeras, principalmente nomadas del norte.

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division: el norte bajo control mongol y el sur bajo dominio chino. Este es el periodo conocidocomo las dinastıas del norte y del sur (220 - 589).

Durante este periodo se produjo una expansion del budismo lo cual influyo en el arte y enaspectos socio-polıticos de la China de la epoca. Debido a la fragmentacion del imperio y ladiversidad que ello conllevaba se produjo un periodo de innovacion y creatividad posteriormentemuy imitado.

La reunificacion del imperio la realizo la dinastıa Sui-Tang (220 - 907) mediante una cuidadapolıtica de matrimonios de conveniencia. Este metodo permitio no solo reunificar la china, sinotambien controlar los territorios de asia central. Durante este periodo se realizo una reformaimportante en la burocracia, esto es, se crean los seis ministerios principales5: recursos humanos,hacienda, ceremonias, ejercito, justicia y obras publicas.

1.3. El perıodo de esplendor: Dinastıas Song y Yuan

La perdida del control economico junto con la ambicion de algunos miembros de la corte ylas las derrotas militares y/o rebeliones en los territorios “controlados”provoca un periodo deanarquıa y fragmentacion del imperio. Mediante un golpe de estado la dinastıa Song del nortey sur (960 - 1220) sube al poder. Inmediatamente se toman medidas para controlar imperio: seretira de sus puesto a todos los altos cargos militares, se crea el ejercito de palacio, se centralizala burocracia, se toman medidas para difundir la cultura (creacion de escuelas) y se adopta elneoconfucionismo.

Durante este periodo China goza del liderazgo mundial en practicamente todos los campo:tecnologıa, ciencia, filosofıa y cultural. Este liderazgo no solo se muestra en los libros publicadosdurante este periodo mediante la tecnica recien descubierta de impresion en papel, sino en laconstruccion de barcos de gran tamano, en los avances militares (polvora), inventos de la epoca(timones, brujulas...), uso de papel moneda, etc. Aparece tambien una nueva clase social, loseruditos, que se une a la agrıcola, artesana y comerciante.

La industria era muy activa y su mercado era puramente interior, casi exclusivo de palacio,y autosuficiente. Con la llegada de “aventureros” como Marco Polo y su posterior difusion delesplendor chino, se produce un aumento del comercio exterior y del intercambio cultural.

En los ultimos anos del periodo aparecen estados “fuerte” no-chinos en la frontera norte(Liao, Jin, Yuan) a la vez que el regimen se debilita debido al descontento del ejercito con elmodelo neoconfucionista. La ineptitud diplomatica fue incapaz de evitar la invasion mongol y lainstauracion de la dinastıa Yuan (1227 - 1368). Los dirigentes de este periodo gobernaban sobreuna extension de terreno extremadamente grande (practicamente toda Asia) y no se centraronen mantener el control sobre sus dominios.

Este periodo se caracteriza por una tolerancia etnico-religiosa muy grande ademas de ungran intercambio cultural con occidente por medio de la “ruta de la seda”.

5Esta organizacion ministerial permanecerıa invariante hasta el siglo XX.

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1.4. Primera entrada de las matematicas occidentales: Dinastıa Mıng

Una sublevacion militar consiguio recuperar el control del imperio y contener a los Yuan.Sube al poder la dinastıa Mıng (1368-1644) y instaura un regimen absolutista. Inmediatamentese procede a instaurar un “codigo de conducta” y un regimen de violencia y terror. La reformallevada a cabo en el sistema tributario para mejorar las condiciones de vida del pueblo y lacorrupcion generalizada ocasiona una debilidad economica muy fuerte y que se prolongarıadurante siglos.

En lo cultural se vuelve a los modelos Han y Sui-Tang obteniendo resultados exitosos encampos como la filosofıa, la literatura o el arte. En contraposicion con estas medidas se abandonala flota, el comercio exterior y el imperio comienza a desinteresarse por los sucesos que ocurrenfuera de sus fronteras. Todo esto unido al periodo renacentista europeo hace perder a China elliderazgo tecnologico-cultural.

Los manchu invaden China y ocupan el poder sin demasiada dificultad debido a la debilidaddel regimen. Se inaugura ası la ultima dinastıa, los Qıng (1644 - 1911). Se desarrollo unacreciente interes por la cultura clasica y por la cultura introducida durante las misiones jesuitas.Por este motivo se promueve desde palacio la traduccion e impresion de obras occidentales tantode matematicas como de otras ciencias. Este gusto por los libros se complementa con la creacionde grandes enciclopedias de varios centenares de capıtulos que contenıan gran parte del saberde la epoca. Sin embargo, el contraste es muy fuerte cuando nos damos cuenta del escaso interesen el comercio marıtimo o exterior que existıa en la epoca.

1.5. El periodo feudal y la segunda entrada de las matematicas oc-cidentales

Durante el periodo manchu se produce un aumento de poblacion, pero paradojicamente laproductividad de la tierra desciende. No es lo unico que desciende en este periodo. La intro-duccion del opio por parte de los ingleses para mejorar la balanza comercial con China unidaa la corrupcion (motivada en gran parte por el opio) y la hambruna generalizada desmoralizanal pueblo. Pero no solo el pueblo ha perdido la confianza en si mismo, tambien los gobernantesdebido a las humillantes derrotas en las guerras (Guerras del opio) que se sucedieron con laspotencias occidentales por la negativa china a abrir sus fronteras al comercio exterior y por losposteriores tratados (Tratados desiguales) que dejan a la china imperial al borde de la quiebray con la confianza de sus dirigentes muy minada.

Se produce una apertura al exterior motivada por la presion externa y comienza la invasioncultural en China. En contraposicion a esta corriente surge el nacionalismo y comienzan re-vueltas por todo el paıs. Tras largos anos de levantamientos locales y guerras con las potenciasoccidentales la dinastıa cae. En su lugar se proclama la Republica Popular China.

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2. Los comienzos de las matematicas en la antigua China

2.1. El origen del concepto de numero y de las figuras geometricas

2.1.1. Leyendas

Puesto que la civilizacion china es muy antigua, hay que remontarse mucho tiempo atras parapoder establecer cuando surgieron las matematicas. Es muy difıcil responder a esta cuestion yno puede hacerse con precision, y por ello es por lo que en China han surgido diversas leyendasque hacen alusion a este tema.

El Libro sobre los ancestros es un antiguo libro sobre la prehistoria china que se encuentraperdido, pero que conocemos por referencias que hacen de el en otros escritos. En este libroaparece la leyenda del emperador Amarillo, al cual se le atribuye haber reinado durante los anos2698 - 2598 a.C. Este emperador encargo a varios de sus subditos que cada uno realizara unatarea diferente: observar el Sol, la Luna, las estrellas, fijar la escala musical, establecer metodospara determinar el tiempo y la disposicion de las estaciones, y a uno de ellos le encargo crear laaritmetica. Esta leyenda se extendio ampliamente por China, en la antiguedad, y se encuentraen varios textos antiguos. Atribuirle la creacion de la nocion de numero a una sola personaes inverosımil, puesto que solo es posible que este concepto se haya ido formando a lo largode la historia, gradualmente, segun las necesidades de la actividad humana. Existen tambienleyendas que hablan de la utilizacion de quipus6 durante la prehistoria. Estas leyendas dicenque los hombres prehistoricos usaban varios tipos de nudos para recordar diferentes asuntos yque luego fueron sustituidos por la escritura. No es descabellado pensar que las tribus chinasde la Edad de Piedra usaran este metodo para registrar numeros, ya que el sistema de nudosaparece explicado en escritos antiguos.

Otras leyendas atribuyen a diferentes personas la invencion de la escuadra y el compas.Se han encontrado grabados en los que aparecen los personajes de las leyendas usando dichosinstrumentos, uno de ellos data de la epoca de la dinastıa Han, alrededor del siglo II d.C.Tambien se mencionan en relatos de la historia de la dinastıa Xia. Por todo esto, se cree queestos instrumentos, aparecieron en una epoca bastante temprana, con los que se realizabanfiguras geometricas sencillas.

De todos estos mitos podemos sacar en claro que desde tiempos remotos, los chinos em-pezaron a tener conciencia de los numeros y las figuras geometricas.

2.1.2. Arqueologıa

Atendiendo a la arqueologıa se pueden encontrar indicios de los comienzos de las matematicaschinas. Segun restos encontrados en excavaciones, hace alrededor de 100.000 anos, el hombrede He Tao tallaba sus utensilios de piedra en forma de diamante. En la cultura Yangshao, masavanzada (5.000 a.C.), se realizaban disenos de animales y figuras geometricas en los objetos deceramica. Algunos de estos dibujos geometricos estaban formados por combinaciones de lıneasrectas y triangulos y otros por cırculos y lıneas curvas.

6Un quipu es un juego de cuerdas anudadas segun un sistema codificado que permite llevar la contabilidad,y que tambien fue usado por los Incas debido a la necesidad de realizar inventarios.

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Despues de varias decenas de miles de anos desde las primeras poblaciones primitivas, sur-gio una sociedad con estructura de clases (2.000 a.C.). Esta fue la sociedad esclavista que existıadurante la dinastıa Shang (siglo XVI - XI a.C.), que estaba bastante desarrollada, pues habıauna division de las labores dentro de la comunidad. Los chinos es esa epoca tenıan una agricul-tura adelantada y se han encontrado construcciones de planta circular y rectangular que servıanpara el almacenamiento del grano. Ademas se extendio el uso del bronce con el que fabricabanarmas y diversos utensilios. De la division de las tareas en la sociedad surgio el comercio, ycon el, el dinero. Se han encontrado monedas con un agujero en el centro que fueron usadasen esos tiempos. Alrededor del siglo XIV a.C., la dinastıa Shang cambio de lugar la capitaly la economıa y la cultura dieron un paso adelante. Y en las ultimas epocas de esta dinastıaaparecieron algunas formas de calendario gracias a los requerimientos de la agricultura.

2.2. Sistemas de numeracion

2.2.1. Numeracion oracular

Desde finales del siglo XIX d.C. se ha encontrado una gran cantidad de inscripciones rea-lizadas en conchas de tortuga (mas concretamente la concha inferior) y huesos de animales enexcavaciones hechas en la provincia de Henan. Las investigaciones han mostrado que los noblesdel periodo de la dinastıa Shang rendıan culto a los espıritus de sus antepasados y los invocabanpara preguntarles toda clase de cuestiones, como por ejemplo, interrogarles para saber cualeseran los tiempos mejores para viajar, recoger las cosechas o celebrar fiestas. Las preguntas queformulaban eran registradas en conchas y huesos junto con las respuestas recibidas. Todas lasinscripciones que se han encontrado con esta clase de grafıa son oraculos y por eso, este tipode caracteres se denomina escritura oracular.

La forma mas temprana de escritura que se ha descubierto en China es la oracular, aunquetambien se han encontrado sımbolos aislados en la alfarerıa del periodo Yangshao. Es un ma-terial valioso para entender mejor el tiempo de la dinastıa Shang y gracias a ella tenemosinformacion escrita de epocas remotas.

Por los restos encontrados, sabemos que durante la dinastıa Shang, la gente utilizaba unaescritura de 5.000 caracteres y entre ellos estaban los numerales. A menudo, en estos huesosoraculares esta registrado el numero de animales cazados, prisioneros capturados, enemigoseliminados, animales domesticos ofrecidos en sacrificio a los espıritus, etc. Tambien estan ins-critas fechas y aparecen computos de dıas. Los numerales de la escritura oracular forman unsistema multiplicativo de base diez, el numero menor que se encuentra es el uno, no habıasımbolo para el cero, y el mayor es el treinta mil. Los numeros del uno al diez tienen caracteresespeciales, ası como el cien, el mil y el diez mil, los demas numeros se forman combinando estoscaracteres. Estos son los ideogramas de los numeros del uno al diez, cien, mil y diez mil en laescritura oracular, junto con la numeracion moderna que se usa actualmente en china, tambienllamada numeracion estandar, que se deriva de la oracular:

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Podemos observar que el veinte, treinta,. . . , doscientos, trescientos,. . . , dos mil, tres mil,. . . ytreinta mil se expresan con sımbolos compuestos por dos de los anteriores, por ejemplo, eldoscientos, se representa con el sımbolo del dos pegado al del cien. En la numeracion estandarse escribe un sımbolo a continuacion del otro, el doscientos se representa con el sımbolo del dosseguido por el del cien.

De esta manera, en la numeracion oracular, el dos mil seiscientos cincuenta y seis, se repre-

senta

Ademas de la escritura oracular se conocen otros tipos de escrituras antiguas posteriores.Durante la epoca de la dinastıa Zhou (siglo XI - 221 a.C.) aparece la llamada “escritura delbronce”, denominada de esa forma porque se ha encontrado en grabados hechos en bronce. Losnumerales pertenecientes a este tipo de grafıa son similares a los oraculares y se utilizaba el

sımbolo (en la escritura moderna es , que significa “y”) para separar las unidades de lasdecenas, las decenas de las centenas, etc. En la dinastıa Han (206 a.C. - 221 d.C.) el caracterusado para las separaciones fue eliminado, y la forma de los numeros era casi igual a la actual.

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Actualmente tambien existen otros dos tipos de numeros derivados de los estandar, sonlos oficiales y los comerciales. Los numeros oficiales son una version mas decorativa de losnumeros estandar, que se utilizan en los documentos legales y los billetes de banco para evitarfalsificaciones. Y los numeros comerciales son una simplificacion de los numeros estandar, yfueron disenados en el siglo XVI d.C. para escribir mas rapidamente y poder usarlos en elcomercio.

2.2.2. Varillas de contar

Antiguamente en China, realizar calculos no implicaba directamente el manejo de numeralesescritos. El medio que se usaba para realizar operaciones eran las varillas de contar. Dichas varas,hechas de bambu, se utilizaban para operar con ellas, ordenandolas en diferentes configuracionessobre el suelo o cualquier superficie plana, para representar numeros y realizar calculos con ellos.

Estas varillas se transportaban en un manojo hexagonal que se podıa llevar comodamenteen la mano y su longitud ha variado mucho durante el transcurso del tiempo. Desde la dinastıaHan hasta la dinastıa Suı ha ido disminuyendo gradualmente desde los 14 cm. a los 7 cm. Estose debe, probablemente, a que las varillas pequenas son mas faciles de manipular.

Con respecto al momento historico en el que aparecieron, no se sabe nada a ciencia cierta,solo que surgieron debido a los requerimientos del desarrollo de la sociedad, el comercio, laadministracion y la ciencia, que precisaban de un sistema de calculo eficiente y rapido, y quedesde el periodo de los Estados Combatientes (481 - 221 a.C.) la gente estaba familiarizada conellas, puesto que se ha encontrado ceramica de esta epoca que tiene marcas hechas con varillas.Por lo que puede ser que el sistema de notacion decimal posicional haya aparecido durante laepoca Primavera y Otono (770 - 476 a.C.) o durante los Estados Combatientes. Las varas decontar mas antiguas que se han encontrado datan de la epoca de la dinastıa Han.

De este sistema de calculo se deriva la palabra matematicas (mecanismo para calcular) enchino, que se escribe , caracter formado por , que significa “jugar con” y por , que significa“bambu”, por lo tanto, matematicas serıa “jugar con bambu”.

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2.2.2.1. Notacion decimal posicional

La representacion de los numeros con varillas de contar es un sistema de numeracion decimalposicional. Hay dos maneras de expresar los numeros del uno al nueve, la forma vertical y laforma horizontal, y el cero se expresa con un espacio en blanco.

Para formar cualquier numero, las unidades se pondrıan con la forma vertical, las decenascon la horizontal, las centenas con la vertical, y ası alternativamente. Se colocan de derecha aizquierda, empezando por las unidades, de la misma manera que el sistema de numeracion quese utiliza en occidente hoy en dıa. Por ejemplo:

Al hacer los calculos, dejar un espacio para el cero no plantea problemas, pues el calculistasiempre conoce las cantidades con las que esta trabajando, la dificultad aparecio cuando lasposiciones de las varillas pasaron a ser signos escritos. Entonces sı podıan producirse confusionesal interpretar los numeros. Esto se soluciono en 1247 d.C. con la aparicion de un signo circularpara esta cifra.

A comienzos de la Era Cristiana aparecieron los numeros positivos y negativos, que ibancon varillas rojas y negras respectivamente. En la notacion escrita, los numeros negativos serepresentaban tachando su ultima columna.

Notese que en las cifras del seis al nueve, la varilla de contar situada en la parte superiorsimboliza cinco varillas, ası no se necesitan mas de cinco varas para cada dıgito, se ahorraespacio y se trabaja mejor con ellos. De hecho, en este sistema se baso el abaco chino: cadacuenta que esta por encima de la barra se entiende como cinco cuentas de las de por debajo.Aunque este fue un invento muy posterior, su uso se generalizo a mitades del siglo XV d.C.

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2.2.2.2. Operaciones aritmeticas con las varillas de contar

Las cuatro operaciones aritmeticas basicas se usaron en China desde epocas muy tempranas,aunque es de suponer que se inventaran primero la suma y la resta.

SUMA:

ejemplo: 456+789

Para sumar se representan los numeros con las varillas en filas y se va sumando de izquierdaa derecha, en este caso se empieza por las centenas, anadir 7 a 4, luego se suman las decenas ydespues las unidades, recolocando el resultado en cada paso.

RESTA:

ejemplo: 1245-789

La resta es similar a la suma, se colocan los dos numeros y se empieza restando de izquierdaa derecha, en este caso comenzamos restando 7 de las centenas, (2-7 no se puede restar, entoncesconvertimos una unidad de mil en diez centenas y sustraemos 12-7) y luego hacemos lo mismocon las decenas y las unidades, recolocando el resultado en cada paso.

La multiplicacion y la division estan asociadas a la “Rima de los nueve nueves”, que todoslos chinos conocen:

Un uno es uno, un dos es dos, un tres es tres,. . . , un nueve es nueve. Dos dosson cuatro, dos tres son seis,. . . ”

Como vemos, son las tablas de multiplicar, aunque parece ser que en el pasado esta rima eraun poco diferente, se cree que fue adoptada a lo largo de toda China no mucho despues de laepoca de Primavera y Otono o de los Estados combatientes y empezaba con “nueve nueves sonochenta y uno” y acababa con “dos dos son cuatro”. Y por empezar ası, se le dio el nombre de

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“Rima de los nueve nueves”. Se han encontrado tiras de bambu de la epoca de la dinastıa Hanen la que aparece la rima de esta manera, es en el siglo XIII o XIV d.C., durante la dinastıaSong, cuando el orden de la rima se invierte y queda como hoy en dıa, empezando por la tabladel uno y acabando por la del nueve.

MULTIPLICACION:

ejemplo: 234 · 456 7

Tenemos los dos numeros colocados como en el diagrama (1). Lafila superior es el multiplicador, la inferior es el multiplicando. Paramultiplicar se pone un numero encima del otro, de tal manera que lacifra de mayor valor del numero superior coincida con la de menor valordel inferior, dejando una fila en blanco en medio de los dos, que sera enla que obtengamos el producto. Seguidamente se multiplica la cifra demayor valor del numero de arriba, el 2, por cada uno de los dıgitos de lafila de abajo, 4, 5 y 6, de izquierda a derecha, sumando el resultado enla fila del medio despues de cada multiplicacion. Obtenemos 912, comopodemos observar en el diagrama (2). Se quita el 2 del multiplicador,para indicar que ya ha sido usado para multiplicar. A continuacionmovemos el numero inferior un espacio hacia la derecha, situando sucifra de menor valor, debajo de la segunda cifra de mayor valor delnumero superior, el 3, como se aprecia en el dibujo (3), y multiplicamosel segundo dıgito de mayor valor del numero superior por cada uno delos dıgitos de la fila inferior, sumando los resultados en la fila del medio,obtenemos 10488. Se quita el 3 del multiplicador, y se vuelve a rodarel multiplicando, como vemos en (4). Usamos el ultimo dıgito de lafila superior, 4, para multiplicarlo por cada uno de las cifras de la filainferior, sumando los resultados en el medio, obteniendo 106704, quees el producto que buscabamos y quitamos el 4, como aparece en (5).

El metodo utilizado para dividir es el mismo que el de la multipli-cacion, pero a la inversa.

2.3. El conocimiento matematico en los antiguostextos de antes de la dinastıa Qın (221 - 206 a.C.)

2.3.1. El Libro de las artes, el Libro del maestro Mo y otros

El Libro de las artes fue escrito por letrados del estado feudal Qı enla epoca de los Estados Combatientes (475 - 221 a.C.). Trata basica-mente sobre tecnicas de fabricacion de objetos, como coches de caballos,embarcaciones y arcos y flechas. Ademas describe pautas y dimensionespara su elaboracion. Por tanto contiene algunos datos sobre fracciones, angulos, y unidades demedida.

7Esta escrito con numeros arabigos para una mejor comprension.

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En una parte del libro aparece la lınea “una decima parte de una pulgada”, que obviamenterepresenta una fraccion. En epocas posteriores tambien se uso ese tipo de terminologıa parareferirse a las fracciones: una decima parte de una pulgada, dos decimas partes de una pulgada,etc8.

Las unidades para medir angulos que se encuentran en este libro son:

ju = 90o

xuan = 45o (= 1/2 ju)

zhu = 67o 30′ (= 1 1/2 xuan)

ke = 101o 15′ (= 1 1/2 zhu)

qıngzhe = 151o 52′ 30′′ (= 1 1/2 ke)

Aunque tambien se medıan angulos usando arcos de circunferencia. Por ejemplo, nos encon-tramos el siguiente pasaje, que describe como se hacıan los arcos para los nobles de la dinastıaZhou:

Hacer arcos para el emperador,

nueve arcos juntos forman una circunferencia.

Hacer arcos para los senores feudales,

siete arcos juntos forman una circunferencia.

Arcos para los oficiales del emperador,

cinco arcos juntos forman una circunferencia.

Arcos para los letrados,

tres arcos juntos forman una circunferencia.

Este es un caso en el que se usa el arco de la circunferencia para medir el angulo de curvaturaque tiene que tener este arma en cada caso. En esta epoca, al concepto de angulo se le dabamucha importancia.

En el libro mencionado anteriormente tambien aparece la medida estandar de capacidad, elfu, que es un recipiente de un pie cubico9. Tambien se dan los volumenes estandar dou y sheng.Naturalmente, las medidas que propuso el Libro de las artes solo se aplicaron en el estadofeudal Qı, cuando llego la dinastıa Qın y unifico China, se unificaron las medidas de longitud,volumen, capacidad y masa. Obviamente, para esto hicieron uso de las matematicas.

El Libro del maestro Mo es otra obra escrita antes de la dinastıa Qın, se cree que fueescrita por los discıpulos del maestro Mo y es conocida tambien como Cuatro capıtulos deMozi. Contiene una coleccion de apartados con conceptos y definiciones, y muchos de ellostratan de matematicas, logica y fısica.

8La pulgada en China ha tenido diferente longitud a lo largo de las distintas epocas de su historia, variandoentre 22′5 y 33′3 mm.

9El pie, al igual que la pulgada, ha variado de valor a lo largo de la historia china.

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Este tratado contiene conceptos de geometrıa:

Igual: Misma altura.

En lınea recta: Tres puntos alineados.

Misma longitud: Emparejar de forma exacta.

Centro: Punto a la misma longitud.

Circunferencia: Un centro con la misma longitud.

Tambien contiene la nocion de punto, lınea, superficie, solido y las nociones de suma y resta.

Hacia finales del periodo de los Estados Combatientes, algunos sabios empezaron a abstraerlo que veıan en el mundo fısico y surgio la logica. Estos pensadores escribieron frases paradojicascomo “un pollo tiene tres patas”, “el fuego no es caliente”, etc. Muchas de estas frases sonabsurdas, pero otras tienen un significado matematico, como la siguiente:

Un palo de un pie de largo, le quitamos la mitad cada dıa y no se terminara endiez mil generaciones.

Lo que corresponde a la expresion:

1

2+

1

22+

1

23+ · · ·+ 1

2n−→ 1

A medida que vamos sumando terminos nos vamos aproximando a uno, pero nunca llegamos.Estos eruditos llegaron con esto al concepto matematico de que un segmento finito de una rectase puede representar como suma infinita de segmentos finitos.

Muchos libros de texto matematicos usados actualmente en China, usan frecuentemente elejemplo de “tomar la mitad diariamente” para explicar la nocion de lımite.

2.3.2. La educacion matematica y la aparicion de los oficiales Sihuı, Fasuan yChouren

Durante el gobierno de los Zhou, se establecieron varios cargos publicos, que se dedicaban adiversas tareas. Uno de ellos era el de oficial Bao Shı. Estos oficiales se dedicaban a la educacion,puesto que en esta epoca ya habıa un sistema educativo para los ninos de la nobleza y se lesensenaban las seis artes que todo caballero debıa conocer: rituales, musica, arquerıa, equitacion,caligrafıa y matematicas.

El plan de estudios era el siguiente:

6 anos: Contar del uno al diez y los puntos cardinales.

...

9 anos: Trabajar con dıas y fechas.

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10 anos: Historia, escritura y calculo.

Los oficiales llamados Sihuaı eran los encargados de los censos dentro de las fronteras delimperio, estaban bien organizados y eran los encargados de realizar las estadısticas.

Durante los Estados Combatientes, en el ejercito habıan oficiales especializados en hacer lasestadısticas militares. Tambien habıa un rango de la armada llamado Fasuan. Quien tuvieraeste cargo, era el que tenıa bajo su responsabilidad la distribucion del armamento, comida,el sueldo de los soldados, las entradas de dinero y los gastos realizados por el ejercito. Porsupuesto, estos trabajos requerıan de las matematicas.

Habıa tambien otros oficiales que tenıan que saber mucho de calculo para poder realizar sutrabajo, eran los que se dedicaban a la astronomıa y el calendario. Los oficiales Feng Xian Shıse dedicaban a computar el calendario y establecer las cuatro estaciones, los Bao Zhang Shırealizaban mapas estelares y determinaban el movimiento de los astros, y los oficiales Chourentambien eran astronomos.

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3. La formacion de sistemas matematicos en la antigua

China. Dinastıa Han (206 a.C. - 220 d.C.)

En este periodo destacan dos libros importantes, que se veran a continuacion.

3.1. El clasico de la aritmetica del gnomon y las sendas circularesdel cielo

Poco despues de que la dinastıa Han reemplazara a la Qın, hubo un gran incremento en lacapacidad de produccion que fue seguido por un rapido desarrollo en varias areas de la cienciay la tecnologıa. Esto fomento un gran auge en las matematicas.

El clasico de la aritmetica del gnomon y las sendas circulares del cielo. Es un escrito sobreastronomıa y contiene algunos conceptos de matematicas. Esta obra es consecuencia de unaacumulacion gradual de resultados cientıficos de los periodos de las dinastıas Zhou y Qın, yse cree que fue escrito alrededor del final del siglo II a.C. Este libro ha sido comentado pormatematicos posteriores, y los contenidos matematicos que destacan son calculos sobre agri-mensura y cuerpos celestes utilizando el teorema Gougu (Pitagoras) y calculos con fracciones.

Durante la epoca Han se estudio mucho la astronomıa, y a finales de esta dinastıa ya habıatres escuelas que se dedicaban al estudio del cielo: la escuela Zhoubı, la Xuan Ye y la Hun Tian.Esta ultima estaba representada por el escritor, astronomo, matematico y geografo Zhan Heng.

Zhan Heng nacio en el ano 78 d.C. en el seno de una familia importante,y fue educado en el confucionismo. Primeramente, estudio literatura y rea-lizo varias obras que le dieron una fama considerable como poeta y escritor,pero a la edad de treinta anos se decanto por los estudios cientıficos. En elano 116 d.C. lo designaron funcionario de la corte del emperador, llegandoa ser, mas tarde astrologo principal y ministro, aunque no eran ambiciosorespecto a ascender en su carrera y pasaba muchas temporadas alejado dela capital, en soledad, para meditar sobre la naturaleza del universo.

Uno de sus inventos fue el sismografo, y como astrologo principal corri-gio el calendario, segun sus observaciones, en el ano 123 d.C. y fue la primerapersona en construir una esfera celeste. Su teorıa sobre el universo consistıaen que la Tierra era muy pequena comparada con la inmensidad del universo.

Desde su faceta de matematico investigo sobre los cuadrados magicos de orden 3×3, que fueronestudiados por matematicos de epocas posteriores, y seran explicados mas adelante. Tambienpropuso, en un tratado sobre las circunferencias inscritas y circunscritas en un cuadrado, quese le diera a π el valor de

√10 ≈ 3′162 y dio la expresion del volumen de una esfera en funcion

del volumen del cubo circunscrito. Aunque estos resultados no son muy exactos, su trabajo sediferencia de los logros matematicos anteriores en que fue basado en un calculo teorico y no enla practica, como se hacıa anteriormente. Zhan Heng murio en el ano 139 d.C.

La escuela de astronomıa Zhoubı se dedico a estudiar y desarrollar una teorıa llamada GaiTian, que una de las cosas que afirma es que “el cielo es como un paraguas y la Tierra es comoun cuenco al reves”, haciendo referencia a los tamanos de nuestro planeta y la esfera celeste.

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A continuacion se detalla el contenido de El clasico de la aritmetica del gnomon y las sendascirculares del cielo.

3.1.1. El dialogo sobre matematicas entre Rong Fang y el maestro Chen.

En este libro aparece un dialogo entre Rong Fang y el maestro Chen, en el que el maestroChen da su punto de vista sobre los objetivos de las matematicas y sus metodos, y tambiencomenta sobre las actitudes que se tienen frente al aprendizaje de las matematicas. Lo queaparece en este pasaje no solo es interesante, sino que tiene un valor pedagogico.

En este discurso del maestro, en primer lugar dice que las matematicas tienen una ampliaaplicacion y, en segundo lugar, recalca la importancia de instruirse en el pensamiento deductivoe inductivo.

3.1.2. El teorema Gougu.

El teorema Gougu es el conocido en occidente como teoremade Pitagoras. Este teorema se usaba mucho para medir distancias,ello se hacıa teniendo en cuenta la longitud de un palo verticaly la sombra que arrojaba, por lo que se considera a uno de loscatetos del triangulo rectangulo, llamado Gu, como dicho palo, yel otro cateto serıa su sombra, que recibe el nombre de Gou. A lahipotenusa se le puso el nombre de Xian. Esto podemos apreciarloen la figura. El triangulo rectangulo recibe el nombre de “formaGougu”.

En este libro, aparece una de las primeras demostraciones deeste teorema, realizada mediante diagramas, que se ilustra en lassiguientes figuras:

La traduccion del texto dice lo siguiente:

Cortemos un rectangulo (por la diagonal), de manera que la anchura sea 3(unidades) y la longitud 4 (unidades). La diagonal entre los (dos) extremos ten-dra entonces una longitud de 5. Ahora, tras dibujar un cuadrado sobre esta diagonal,circunscribirlo con semirrectangulos como el que ha sido dejado en el exterior, demodo que se forme una figura plana (cuadrada). Ası, los (cuatro) semirrectangulos

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exteriores, de anchura 3, longitud 4 y diagonal 5, forman en conjunto dos rectangu-los (de 24 de area); luego (cuando esto se resta de la figura plana cuadrada de area49), el resto tiene 25 de area. Este proceso se llama “apilamiento de rectangulos”.

En terminos de la figura b), el cuadrado mayor ABCD tiene un lado de 3 + 4 = 7 y, conse-cuentemente, un area de 49. Si a partir de este cuadrado grande se eliminan cuatro triangulos(AHE, BEF , CFG y DGH), que en conjunto forman dos rectangulos, cada uno de ellos dearea 3 · 4 = 12, nos queda el cuadrado mas pequeno HEFG. Implıcitamente tenemos:

(3 + 4)2 − 2 · (3 · 4) = 32 + 42 = 52

Esta demostracion es un caso particular, la ampliacion de esta prueba a un caso mas generalse dio posteriormente.

El teorema Gougu se consideraba muy importante en la epoca en la que se escribio el libro,ya que en el se menciona que el emperador no podrıa gobernar sin el conocimiento de esteteorema. Ademas aparecen muchos ejemplos de su aplicacion, como por ejemplo, calcular lahipotenusa de un triangulo rectangulo:

Gou, Gu, cada uno multiplicado por sı mismo y sumados, y entonces tomandola raız cuadrada obtenemos la hipotenusa.

Es decir: c =√

a2 + b2

Tambien hay ejemplos en los que se miden alturas, profundidades y distancias, estas medicionesen la superficie de la Tierra eran bastante exactas, aunque cuando se aplicaban a la astronomıadaban lugar a resultados erroneos.

Con ayuda del gnomon, que es la vara vertical de un reloj de sol, se medıan alturas comovemos en la siguiente figura:

El segmento CD es el gnomon, y conocidas las distancias AD, CD y AB, y por semejanzade triangulos y el teorema Gougu, se averiguaba la altura del arbol.

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3.1.3. Fracciones

El clasico de la aritmetica del gnomon y las sendas circulares del cielo contiene algunoscalculos con fracciones relativamente complicados, y aunque no hay duda de que estos calculosfueran hechos con varillas de contar, no hay explicaciones en el libro de los sistemas utilizadospara realizarlos.

Todas estas manipulaciones con fracciones eran absolutamente necesarias para el computodel calendario y la astronomıa, por eso aparecen en el libro dichos calculos, que tenıan un nivelbastante avanzado.

En la computacion del calendario, calculaban que un ano tiene una duracion de 35614

dıas(vemos que usaban numeros mixtos), esto lo sacaban de consideraban que el Sol se rueda ensu posicion un grado cada dıa, observado desde la Tierra. Sacaron la cuenta de que deberıananadir 7 meses lunares adicionales al cabo de 19 anos, por lo que cada ano deberıa tener enpromedio, 12 7

19meses lunares y por eso el numero de dıas en cada mes lunar deberıa ser:

3651

4÷ 12

7

19= 29

499

940

En la ultima seccion del libro, aparece un metodo para dividir las fracciones anteriores.

Ahora se conoce que en cada mes hay 29499490

dıas, por consiguiente la Luna se mueve enpromedio cada dıa 13 7

19grados. Por ello, buscar la posicion de la Luna despues de 12 meses

lunares requiere mas calculos complicados, de hecho, es equivalente a calcular el resto de lasiguiente division:

(29499

940· 12 · 13

7

19)÷ 365

1

4

El resto es: 354 661217860

En el libro se calculan el angulo recorrido por la Luna en un ano bisiesto (un ano de 13meses solares) y en un ano promedio de 12 7

19meses lunares.

3.2. Nueve capıtulos sobre el arte matematico

Nueve capıtulos sobre el arte matematico es un tratado matematico que se cree que fueconfeccionado alrededor del siglo I d.C., de autor anonimo, y hasta hace poco, se ha consideradocomo el escrito especializado en matematicas mas antiguo que se conservaba, pero en el ano 1984aparecio, en una excavacion arqueologica, una coleccion de tiras de bambu en las que estabagrabado un texto matematico mas antiguo que este. Dicho trabajo tiene por tıtulo Un librosobre aritmetica y data de la primera mitad del siglo II a.C. o antes. Esta escrito con el mismoestilo que los Nueve capıtulos y tiene muchas similitudes con el, incluso aparecen fragmentosiguales, por lo que es de suponer que este escrito es un antecesor directo suyo. De hecho, Nuevecapıtulos sobre el arte matematico es una recopilacion de lo mas basico de todos los trabajosque se habıan hecho hasta entonces, puesto que algunos problemas que aparecen en el libro sonmuy antiguos, mientras que otros aparecieron mas tarde y luego fueron recopilados todos en elmismo libro. Esto se puede ver en que, por ejemplo, hay ejercicios en los que aparecen medidas

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usadas en el periodo de los Estados Combatientes, otros en los que salen rangos de la noblezaque se utilizaban en la dinastıa Han.

El desarrollo gradual de las antiguas matematicas chinas en los periodos Zhou y Qın ylos posteriores avances realizados en la dinastıa Han, se acumularon hasta formar un sis-tema completo. Los Nueve capıtulos es un trabajo representativo del desarrollo de las antiguasmatematicas, desde la dinastıa Zhou hasta la Han.

Esta gran obra tuvo una importante influencia en el desarrollo posterior de las matematicasy formo su base. Esta escrito en forma de preguntas y respuestas, contiene un total de doscientoscuarenta y seis problemas y esta dividido en nueves capıtulos. Por una parte, el libro se puedever simplemente como una coleccion de ejercicios resueltos, y por otra, se puede usar comomanual para resolver problemas practicos del mismo tipo que los que aparecen en el, ya quecada tipo de ejercicios se resuelve con un metodo determinado.

Esta forma de escribir los libros, en ejercicios resueltos, tuvo una gran influencia posterior,y a partir de entonces, los escritos matematicos de la antigua China se escribieron ası.

Los capıtulos en los que se divide el texto son los siguientes:

Capıtulo I “Medicion del terreno”.

Su tema central es el calculo de areas, y ademas contiene una detallada discusionsobre el calculo con fracciones.

Capıtulo II “Alpiste y arroz”.

Trata de porcentajes y proporciones relacionados con estos cereales.

Capıtulo III “Distribuciones proporcionales”.

Se ocupa de la distribucion de la propiedad y del dinero segun unas normasprescritas, que conducen, en algunos casos, a realizar progresiones aritmeticas ygeometricas, y muchas de las veces, se requiere la regla de tres.

Capıtulo IV “¿Que anchura?”

Dada el area del cuadrado o el volumen del cubo, encontrar el lado. En estaseccion se explican los metodos para realizar raıces cuadradas y cubicas.

Capıtulo V “Un texto de consulta para ingenieros”.

Calculo de volumenes de figuras solidas.

Capıtulo VI “Justos impuestos”.

Se calcula la manera mas justa de cobrar los impuestos, teniendo en cuenta eltamano de la poblacion de un lugar y su distancia a la capital.

Capıtulo VII “Exceso y defecto”.

Problemas con dos incognitas.

Capıtulo VIII “Metodo de las tablas”.

Sistemas de ecuaciones lineales y explicacion de los conceptos de numero positivoy negativo.

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Capıtulo IX “Gougu”.

Se introduce el metodo para resolver ecuaciones cuadraticas y aparecen aplica-ciones del teorema Gougu.

Vemos que los contenidos de Nueve capıtulos sobre el arte matematico estan ligados a lavida real y reflejan la sabidurıa colectiva y las habilidades de la gente en la antigua China.

Este tratado ha sido utilizado como libro de texto durante dinastıas posteriores y muchosmatematicos empezaron sus investigaciones haciendo comentarios sobre el. Circulo tambien porJapon y Corea y tuvo una gran influencia en la matematica que se desarrollo en estos paıses.Finalmente, la comunidad cientıfica internacional se ha dado cuenta de este importante trabajo.

3.2.1. Logros en aritmetica.

El trato sistematico de operaciones aritmeticas con fracciones, varios tipos de problemas deproporciones, problemas del tipo “exceso y defecto” y otros problemas difıciles son los logrosobtenidos en aritmetica con este libro.

Operaciones con fracciones:

Para operar con fracciones se usaron varillas de contar y la representacion de estas tiene suorigen en el metodo de la division. Los procedimientos que aparecen en el libro son bastantesimilares a los que se usan en el presente, en el capıtulo “Medicion del terreno” aparece la sim-plificacion de fracciones, buscar denominadores comunes, comparar dos fracciones con distintodenominador y la suma, resta multiplicacion y division de fracciones.

En la simplificacion fracciones, se utilizaba el metodo de la sustraccion sucesiva para encon-trar el maximo comun denominador10. Si consideramos una fraccion reducible de la forma m

n,

la regla es la siguiente:

Si los dos numeros (m y n) pueden dividirse por la mitad, entonces divıdanse.Si no, coloquese el denominador debajo del numerador y restese del numero mayorel numero menor. Continuese este proceso hasta que se obtenga el divisor comun,“teng”. Simplifıquese la fraccion original dividiendo ambos numeros por el “teng”.

Para la adicion y la sustraccion de fracciones es preciso que tengan el mismo denominador.En el capıtulo “Medicion del terreno”se usa como denominador comun el producto de todos losdenominadores, sin embargo, en “¿Que anchura?” se utiliza el mınimo comun multiplo.

Para multiplicar fracciones se utilizaba el mismo metodo que el actual: numerador pornumerador y denominador por denominador.

En la division se busca un denominador comun para el dividendo y el divisor, entonces elcociente se obtiene tomando el numerador del divisor como denominador y el numerador deldividendo como numerador.

b

a÷ d

c=

bc

ac÷ ad

ac=

bc

ad

10El algoritmo de Euclides, que utilizamos actualmente, se deriva de este metodo.

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Proporciones:

En el capıtulo “Alpiste y arroz” aparecen problemas en los que se hace uso de la regla detres, y en “Distribuciones proporcionales” salen problemas del tipo: “Tenemos 5 piezas de cazay las tenemos que repartir entre oficiales de cinco rangos diferentes: 5, 4, 3, 2 y 1”.

En “Justos impuestos” se estudia la recaudacion de impuestos en en proporcion directa conel tamano de la poblacion de las provincias y en proporcion inversa a la distancia a la capital.

Exceso y defecto:

Los problemas de este tipo son como el siguiente:

Un grupo de personas compran en conjunto unas gallinas. Si cada persona dio 9wen, quedaran 11 wen de sobra despues de la compra. Si, en cambio, cada personacontribuye con 6 wen, quedaran 16 wen a deber. ¿Cuantas personas hay en el grupoy cual es el coste de las gallinas?

En terminos algebraicos, llamando a las dos contribuciones a y a′ y al exceso y al defecto(lo que sobra y lo que deben) b y b′, respectivamente, la solucion propuesta en el libro es lasiguiente: (

a a′

b b′

)=

(9 611 16

) (ab′ a′bb b′

)=

(144 6611 16

) (ab′ + a′bb + b′

)=

(21027

)

El coste total de las gallinas es:ab′ + a′b

a− a′=

210

3= 7

El numero total de personas es:b + b′

a− a′=

27

3= 9

El problema anterior se puede reformular como un sistema de ecuaciones de dos incognitas,siendo x el numero de personas e y el coste.

ax− cy = b 9x− y = 11

a′x− c′y = −b′ 6x− y = −16

Se puede observar que el metodo sugerido aquı es un caso particular de la regla de Cramerpara ecuaciones de dos incognitas con c = c′.

3.2.2. Logros en geometrıa:

En el libro se muestra que conocıan las areas y volumenes de las figuras geometricas mascomunes como:

Rectangulo A = ab donde a y b son los lados del rectangulo.

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Triangulo A =1

2bh donde b es la base del triangulo y h su altura.

Cırculo11 A =P

2

D

2donde D es el diametro del cırculo y P su perımetro.

Prisma rectangular V = abc donde a es el alto del prisma, b el ancho y c el largo.

Piramide V =1

3a2h donde a es el lado de la base de la piramide y h su altura.

Cilindro V =1

12P 2h donde P es el perımetro de la base del cilindro y h su altura.

Cono V =1

36P 2h donde P es el perımetro de la base del cono y h su altura.

Esfera V =9

16D3 donde D es el diametro de la esfera.

3.2.3. Logros en algebra

Los principales avances en el area del algebra que aparecen en Nueve capıtulos sobre elarte matematico son el metodo de resolucion de sistemas de ecuaciones, la introduccion de losnumeros negativos, los metodos para resolver ecuaciones, los algoritmos para obtener raıcescuadradas y cubicas y el metodo para resolver ciertas clases de ecuaciones cuadraticas.

En el capıtulo VIII, titulado “Metodo de las tablas”, se resuelven sistemas de ecuaciones,y el sistema utilizado no es otro que el conocido metodo de Gauss para resolver sistemas devarias ecuaciones con varias incognitas.

En este mismo capıtulo se introducen los numeros positivos y negativos. El metodo queusaban para sumarlos y restarlos es el mismo que el actual, pero la division y multiplicacioncon numeros negativos no la descubrieron hasta el siglo XIII.

El principio fundamental en que se basan los algoritmos para realizar la extraccion de raıcescuadradas y cubicas que aparecen en los Nueve capıtulos es justamente el mismo que usamosactualmente. Y por eso el metodo para sacar raıces cuadradas es casi el mismo que el moderno.

De dicho algoritmo se derivo un metodo para resolver ecuaciones de segundo grado.

11En los calculos que impliquen conocer el valor de π se ha tomado una aproximacion π = 3.

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4. Desarrollo de las matematicas Chinas

4.1. Dinastıas Wei, Jın, Norte y Sur (221 - 589)

Este periodo se caracteriza por las revueltas de campesinos y levantamien-tos religiosos, es una etapa de desunion, en la que el territorio se fragmenta.Sin embargo, para la ciencia fue una epoca de creatividad e innovacion, sobretodo en el campo de las matematicas.

En el periodo anterior, aparecieron varios libros que tuvieron una granrepercusion. Uno de ellos fue el libro Clasico de la aritmetica del gnomony las sendas circulares del cielo, del cual el matematico Zhao Shuang haceun comentario. Zhao vivio, aproximadamente, entre los periodos Wei y Jın.El capıtulo mas importante de dicho libro es el “Comentario ilustrado deltriangulo rectangulo, cırculo y cuadrado”. El texto esta escrito con quinientos

caracteres chinos. Contiene veintiun teoremas sobre cuatro sistemas relacionados con los angulosrectos de las triangulos y las relaciones con los tres lados. Usando la notacion actual se sigue12:

se obtiene a2 + b2 = c2

Esto es lo mismo, que el llamado Teorema Gougu que aparece en el libro original, cuyo resul-tado es el Teorema de Pitagoras, muy importante para la historia antigua de las matematicas,pues de este procedieron grandes descubrimientos en geometrıa.

Desgraciadamente, todos los diagramas de este capıtulo se han perdido. Sin embargo,podemos deducir algunos como el Diagrama de la Hipotenusa, el Gou-gnomon y Gu-gnomon.En el primero se hace una demostracion del Teorema de Pitagoras, utilizando la representacionde figuras geometricas en las demostraciones.

Es necesario, para poder demostrar el teorema de Pitagoras en el diagrama anterior que severifiquen las siguientes suposiciones:

1. Tanto el area de una figura plana como el volumen del solido permanecen constante trassu traslacion rıgida a otro lugar.

2. Si una figura plana o solida se corta en varias secciones, la suma de las areas o volumenesde las secciones es igual al area o volumen de la figura original.

Si son ciertas, es posible deducir relaciones aritmeticas sencillas entre las areas o volumenesde diversas secciones de las figuras planas o solidas resultantes de diseccion y reagrupamiento.

12Usando la notacion actual se sigue que gou = a y gu = b.

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El proceso para la demostracion era el siguiente, como indica la figura: tomese un cuadradocon cada lado igual a la hipotenusa del triangulo original y quite un pequeno cuadrado cuyo ladosea igual a la longitud del lado horizontal, entonces la parte restante tiene de area c2 − b2 = a2

El gou-gnomon, como indica la figura anterior, representa el apilamiento de rectangulos. Eldesarrollo matematico de esto dos ultimas diagramas, gou-gnomon y gu-gnomon, es equivalentea resolver una ecuacion de segundo grado como la siguiente:−x2 + Bx = A

El siguiente matematico destacado es Liu Hui, vivio en la dinastıa Jın,donde el territorio fue nuevamente unificado. Escribe dos libros, por los quesera reconocido como uno de los matematicos mas ingeniosos de la epoca. Elprimer libro es un comentario de los Nueve capıtulos sobre el arte matematico, enel que pretende hacer explicaciones de los textos, anadiendo nuevos metodos yverificando los calculos.

Su descubrimiento mas destacado es el Metodo de la division del cırculo,pues crea un nuevo metodo para calcular π, mediante la razon de la circunferen-cia de un cırculo a su diametro. Los cientıficos chinos, se habıan preocupado por

encontrar π, pero ninguno habıa hallado un metodo para calcularlo. Ademas se conceptualiza π,no solo como la razon de la circunferencia de un cırculo, sino como un objeto matematico. Solıantomar π=3, aun sabiendo que este valor no era el correcto, pues no sabıan como encontrar unabuena aproximacion. Las razones por las que π ha despertado tanto interes matematico a lolargo de la historia son las siguientes: mayor exactitud en los calculos requeridos en astronomıa

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por la construccion del calendario, poder utilizar π para resolver el problema de la cuadraturadel cırculo13 y averiguar el del valor del propio π.

Hui usa polıgonos inscritos para aproximar el cırculo y encontrar π. El metodo de la divisiondel cırculo aparece en un problema de los Nueve capıtulos sobre el arte matematico, del quesigue la formula S = r 2πr

2= r2π, esto es exacto pues el valor tomado es π = 3. Para aproximar

el cırculo se parte de un dodecagono inscrito, de forma que el area resultante es menor que elverdadero valor del area.

El modo correcto de proceder, segun Hui es el siguiente: se inscribe un hexagono, y unpolıgono con el doble de lados que el anterior, en este caso el dodecagono, luego conociendo elperımetro de estas dos figuras se aplica el teorema de Pitagoras dos veces, y ası se encuentra unaaproximacion de π, se continua partiendo de un dodecagono y el siguiente polıgono con el doblede lados (polıgono de 24 lados), se repite el proceso hasta encontrar una buena aproximacion deπ. Verificando los calculos de Nueve capıtulos sobre el arte matematico, calculo la longitud deun polıgono regular de 96 lados y el area del polıgono de 192 lados y hallo π = 3, 141024, peroafirmaba que este resultado se podıa seguir aproximando. Para ello, habıa que incrementar elnumero de lados hasta un numero infinito entonces el lımite del area del polıgono regular es elarea del cırculo14.

Finalmente, Hui llego a encontrar π = 3, 1416, una buena aproximacion de π, y la mejorhasta entonces. En el proceso del calculo se introduce la nocion de lımite, desarrollando la teorıay practica sobre aproximacion en los calculos. Notar que es la primera vez que se utiliza esteconcepto para resolver problemas, no solo para este en particular sino tambien es utilizado paracalcular el area de figuras irregulares. Mas adelante, el lımite jugara un papel muy importanteen el desarrollo del analisis infinitesimal.

Tambien, trabajo con geometrıa, desarrollando nuevos metodos. Por ejemplo, el problemade calcular la longitud del lado de un cuadrado inscrito en un triangulo rectangulo cuyos lados(a, b) adyacentes al angulo recto son dados, continuando con la formula que aparece en los Nuevecapıtulos sobre arte matematico se tiene x = ab

a+bSe comprueba que la formula es correcta pues

ab = 2∆ABC, reorganizando el triangulo ADEF que aparece en la siguiente figura:

13Se demostro que era imposible.14Paralelamente, Arquımides utilizaba para el calculo de areas no solo polıgonos inscritos, sino tambien

circunscritos.

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Ası, para calcular el volumen de los objetos, procedıa de forma similar que para hallar el area,reorganizando varios tipos de figuras tridimensionales llamadas qı. Este metodo de combinacionde figuras, es similar a lo que hoy conocemos en geometrıa plana como traslaciones y rotaciones.Las figuras que constituıan el qı eran: el cubo, prisma, piramide y tetraedro, las tres ultimasse relacionan con el cubo. El prisma se define como la mitad del cubo cortado diagonalmente.La piramide como 1

3del cubo. El volumen del tetraedro era 1

6del cubo. Analıticamente, para

calcular los volumenes sigue con la formula que aparece en los Nueve capıtulos sobre el artematematico V = 1

3h(ab + a2 + b2).

Usaba metodo similares para calcular el volumen de otros cuerpos, como muestra la figura:

Para calcular el volumen de la primera figura usaba dos o cuatro tetraedros con un prisma.Para la segunda cuatro piramides y para la tercera empleaba dos cubos, ocho prismas y cuatropiramides.

Para calcular volumenes de secciones planas utilizaban metodos geometricos. Descubre quela razon del volumen de la esfera respecto del volumen de lo que llamaba “dos paraguas15” era

15Los dos paraguas estan formados por la interseccion de dos cilindros que circunscriben a la esfera y por lainterseccion de ejes que forman angulos rectos.

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π : 4. Sin embargo, no calculo el valor de “dos paraguas”, sino que lo dejo indicado para suresolucion por matematicos posteriores.

Otro descubrimiento que se atribuye a Hui es la notacion en base decimal junto con laintroduccion del punto decimal, como por ejemplo 3, 1415 = 3 + 1

10+ 4

100+ 1

1000+ 5

10000

De esta forma, continua con la geometrıa en su segundo libro: Manual matematico de la isladel mar. Actualmente, los dos libros de Hui aparecen como independientes, pero en realidad,el segundo fue una continuacion del primero, pues era un desarrollo del capıtulo que trata delGougu. Dicho segundo libro, desarrolla el llamado “metodo de las segundas diferencias” y recibesu nombre pues el principal problema que trata es el de calcular la altura y la distancia de unaisla. Gracias a este libro, se posee mayor exactitud, por lo que los mapas son mas precisos. Eramuy complicado calcular las distancias entre tierras y rıos, por lo que dificultaba la construccionde mapas. En la actualidad se ha encontrado un mapa que utilizaba unicamente el “metodo delas segundas diferencias”.

En el metodo de las segundas diferencias se necesitan basicamente dos observaciones, peroalgunos problemas requieren tres o cuatro, dependiendo de la naturaleza del mismo. Destaca elproblema del calculo de la altura x y la distancia y, se resuelve de la siguiente forma:

Se toman dos astas AG y EK como se indica en la figura, la altura de las astas es h y ladistancia entre ellas es d. Mientras que las dos astas esten alineadas en el mismo plano vertical,se toma a1 la distancia del asta EK hasta que esten alineados la cima de la montana y laparte superior del asta. Se repite el proceso con el asta AG obteniendo a2, y de esta forma seencuentra la altura de la isla y la distancia entre la isla y el asta. Se obtienen las formulas:

x =d

a2 − a1

h + h y =d

a2 − a1

a1

Tambien, se utiliza este proceso otros problemas similares, como el calcular la altura de unarbol en una montana, que requiere tres observaciones.

Otro matematico destacado de este periodo es Zu Chongzhi, junto a su hijoZu Geng. Vivieron en la dinastıa Norte y Sur. Desde varias generaciones, lafamilia de Chongzhi se habıa dedicado a la astronomıa y a la computacion delcalendario. Por lo que, se interesa por las matematicas y hace un estudio delconocimiento matematico anterior. Destaca por mejorar los metodos utilizadosanteriormente y por corregir errores de los matematicos anteriores, como porejemplo Liu Hui, Liu Xin, Zhang Heng y Wang Fan.

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Hizo grandes contribuciones al campo de la ciencia y la tecnologıa. Se interesa por la inge-nierıa y astronomıa. Descubre graves errores en el calendario de He Chengtian, que era el usadoen aquel entonces. Por lo que construye, con tan solo 33 anos, un nuevo tipo de calendariollamado “Calendario Da Ming”, que provoco objeciones entre personas muy influyentes por locual no fue aceptado. En defensa de su trabajo, emprende un debate publico con Dai Fuaxing16,entre otros, y escribe un ensayo llamado Replica. El tema del debate era la distincion entereciencia y no-ciencia, progresar y conservar. Dai Fuaxing afirmaba que todo debıa conservarseigual que en la antiguedad pues ningun humano tiene el derecho de cambiar el calendario, porlo que acusa a Zu Chongzhi de blasfemo y trabajar en contra de los clasicos. Sin embargo,Zu Chongzhi afirma que el Sol, la Luna y los cinco planetas conocidos no eran espıritus nifantasmas y que conociendo la forma se puede trabajar sin numeros. Finalmente, su calendariofue instaurado a los diez anos de su muerte. Para la construccion del calendario, calculo elvolumen de la esfera como actualmente conocemos V = 4

3πr3. De esta forma, corrigio el error

que aparecıa en los Nueve capıtulos sobre el arte matematico, el nuevo metodo fue desarrolladopor su hijo.

El metodo usado por la familia Zu es el siguiente: tomese unpequeno cubo con lado igual al radio de la esfera r. Esto es 1

8del

cubo circunscrito en la esfera. En la figura se tomaba como centroO y r como radio de la esfera original, construyendo dos cilindrosque corten el lado y las caras frontales del cubo. Ası, el pequenocubo se corta en cuatro partes como se muestra desde la figura(b) a la (e). En (b), tenemos 1

8Hui llamo “dos paraguas cuadra-

dos”, aquı lo llamamos “partes del paraguas”. Ahora recombi-nando cuatro partes se toma un pequeno cubo y la altura h de laseccion cortada. En (f) se tiene un triangulo rectangulo ABC, ABes el radio r, BC la altura h y AC la longitud del lado de la sec-cion cuadrada a, y por el teorema Gougu se tiene que a2 = r2−h2

de la que se sigue S = r2 − a2 = r2 − (r2 − h2) = h2 Siendo Sla seccion cuadrada. Finalmente se obtiene que el volumen de laparte del “paraguas” es 2

3del volumen de un cubo pequeno. Luego

se deduce que el volumen de dos “paraguas” cuadrados es 23

delvolumen de un cubo grande, que es igual al diametro D, se sigue:

V =π

4

2

3D3 =

4

3πr3

Sin embargo su mayor descubrimiento fue aproximar π a siete cifras decimales, usando larazon de la circunferencia, a su diametro, situandolo en este intervalo

3, 1415926 < π < 3, 1415927

De tal manera, que si el radio es de 10 Km., el error es como mucho de mm. Siglos mas tarde,haciendo uso del ordenador se encontrarıan una aproximacion mayor, pero en aquel entoncesesta aproximacion era un gran descubrimiento.

16Cortesano.

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4.2. Dinastıas Suı y Tang (589 - 907)

La dinastıa Suı es un periodo de cambios en astronomıa y en la computacion del calendario.Continuamente, se mejora el calendario, pues los eclipses solares y lunares, requieren saber conexactitud las posiciones del Sol, la Luna y los cinco planetas conocidos. Anteriormente, se creıaque la velocidad de movimiento de los astros siempre era la misma. Sin embargo, en el periodoanterior, Jia Kuı observa que el movimiento de los astros unas veces es mas rapido y otras es maslento. Sin embargo, fue Zang Zixın quien descubre que la trayectoria descrita por los cuerposcelestes conocidos es una elipse, no que se desplazan a lo largo de una orbita circular, de formaque los calculos necesitan una mayor exactitud. Se crea el “metodo de las segundas diferenciasde interpolacion” usado por Liu Zhuo. De esta forma, se pretende predecir los eclipses de Lunay Sol, por lo que se necesita conocer las posiciones de los astros en el firmamento. Para ello senecesitan dos observaciones, pues durante el dıa debido a los intensos rayos de sol era imposibleestudiar las posiciones de otros astros como los cinco planetas conocidos. Se sigue la formulaque conocemos como la formula de interpolacion de Newton.

f(w + s) = f(w) + s∆ +s(s− 1)

2!∆2

Aplico el metodo, a lo que se llamo el calendario imperial estandar, usando intervalos detiempo iguales.

Posteriormente en el periodo Tang (618-907), el famoso astronomo Monk Yı Xıng, uso estemetodo para sus calculos, pero tomando intervalos desiguales. Gracias a este metodo constru-yo un calendario llamado Da Yan.

f(w + s) = f(w) + sd1

L1

+sL1

L1 + L2

(∆1

L1

− ∆2

L2

)− s2

L1 + L2

(∆1

L1

− ∆2

L2

)En los ultimos anos de este periodo, Xu Ang simplifico la formula de Monk construyendo

ası un calendario llamado Xuan Ming, simplificando tambien se obtiene la formula de Newton.

f(w + s) = f(w) + sd1 +s

2(d1 − d2)−

s2

2(d1 − d2)

Se crean Los diez manuales matematicos, en los cuales se recoge toda la informacion de laepoca, en forma de problemas y metodos para resolverlos. Fueron creados para ser utilizadospor la Academia Imperial y para los examenes de los soldados. Entre ellos destacan: Nuevecapıtulos sobre el arte matematico, Clasico de la aritmetica del gnomon y las sendas circularesdel cielo, Manual matematico de la isla del mar, Manual matematico del maestro Sun, etc.

El Manual matematico del maestro Sun esta dividido en tres volumenes. El primero tratasobre metodos de multiplicacion y division usando palillos; en el segundo se trabaja con frac-ciones y extraccion de raıces cuadradas. Ambos libros ponen en practica el trabajar con palillos,ademas en ellos se corrigen algunas erratas que aparecen en los Nueve capıtulos sobre el artematematico. El ultimo volumen recoge problemas difıciles de aritmetica. Actualmente, hay unproblema de este libro que es muy famoso, el llamado problema del Maestro Sun. Escrito ennotacion algebraica, el problema es el siguiente: dado un numero N se divide por m1 y el resto

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es r1. Se divide por m2 y el resto es r2. Se divide por m3 y el resto es r3 ¿Cuanto vale N? Estoes equivalente a encontrar N donde:

N ≡ r1(mod m1)

N ≡ r2(mod m2)

N ≡ r3(mod m3)

No es muy difıcil de resolver. Se deben calcular a1, a2, a3 tal que a1 divide a m2 y m3

con resto 1 cuando divide a m1. a2 divide a m1 y m3, pero da 1 cuando divide a m2. a3

divide a m1 y m2 pero da 1 cuando divide a m3. Entonces, la solucion de las congruenciases a1r1 + a2r2 + a3r3 y se obtiene la solucion por sucesivas sustracciones del multiplo comunde m1, m2 y m3. Este problema desperto gran interes por lo que tambien fue conocido porotros nombres. Se utilizo para la computacion del calendario. Se suponıa que hacıa N anos,a medianoche, tuvo lugar el solsticio de invierno, en el que el sol, la luna y los cinco planetasconocidos estaban en la misma posicion. Sin embargo, se sabe que los astros tienen diferentesperiodos de rotacion, pero observando N anos despues en la hora Q del dıa P del mes M , susposiciones y trayectorias son diferentes. Entonces m1, m2, m3,. . . son los periodos de rotacion delos astros, el Sol, la Luna y los cinco planetas, respectivamente. Usando esto para dividir N anosM meses, P dıas y Q horas se tiene r1, r2, r3,. . . que indican el desplazamiento de los cuerposcelestes, en el mismo orden que antes. Conociendo m1, m2, m3. . . y r1,r2,r3. . . podemos calcularel numero total de anos N , y ası encontrar la solucion del problema del Maestro Sun. Cuandose empezo a utilizar este metodo para calcular los anos fue llamado Metodo de Shang Yuan,siendo N el numero de anos. Sin embargo, en el calendario de Zu Chongzhi el metodo era mascomplicado, pues utilizaba once congruencias para N , ademas los periodos m1, m2,. . . no sonenteros. Desgraciadamente, a pesar de ser tan complicados los metodos se siguieron utilizando.

Otros libros importantes son Cinco clasicos de aritmetica, Memorias de algunas tradicionesdel arte matematico y Manual matematico de las cinco secciones del gobierno. Estos tres librosfueron escritos por Zhen Luan, que vivio en la dinastıa Norte y Sur. Era astronomo dedicadoa la construccion calendarica. Su calendario Tian He fue adoptado oficialmente.

Su primer libro, Manual matematico de las cinco secciones del gobierno trata sobre aritmeti-ca aplicada. Estaba dividido en cinco bloques: finanzas, haciendas, armada, aduanas, almacenes.Cada capıtulo versaba sobre un bloque. El de haciendas trataba sobre el calculo de areas paracultivar en el terreno. Algunas areas eran calculadas por metodos de aproximacion. El segundocapıtulo sobre problemas militares. El tercer capıtulo trata sobre los problemas de las aduanasoficiales con el comercio. El cuarto acerca de la comida y la capacidad de los almacenes. Elultimo sobre finanzas del gobierno. Los ultimos capıtulos de este libro no se rigen por los Nuevecapıtulos sobre el arte matematico17. Se recurre a los metodos de multiplicacion, division yproporcion.

En lo Cinco clasicos de aritmetica se discuten, como su nombre indica, clasicos del periodoHan. No aparece nada relevante en este libro, simplemente se recopilan problemas de aritmetica,pero no se crea un nuevo metodo.

17Para sus calculos no trabajaban con varillas.

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En Memorias de algunas tradiciones del arte matematico, destaca por la complejidad delmismo. Se introducen frases budistas, taotistas y mısticas en su desarrollo. Se exponen otrosmetodos de trabajar con numeros mediante palillos, pero la idea es impracticable. Se introducenpor primera vez diagramas de filas y columnas, que actualmente se conocen como cuadradosmagicos. Estos diagramas, se caracterizan por la suma constante de una fila, una columna ouna diagonal. El cuadrado magico de orden tres es llamado Luo-shu18, y la suma constante es15, de esto se siguen las siguientes formulas:

S = 1/2n2(n2 + 1) s = S/n

S es la suma total de todos los numeros contenidos en las n celdillas y s es la suma constantede los numeros de cada fila, columna o diagonal. La construccion del Luo-shu, es muy sencilla.Se colocan los nueve primeros numeros en forma de escalera, de tres en tres, como indica lafigura. Se cambian de lugar los extremos, el 1 y 9, 3 y 7. Se introducen los numeros en lasceldillas y ası, ya tenemos el cuadrado magico.

Ademas de esta forma tambien se representa un principio importante de la filosofıa china: elequilibrio notable entre dos fuerzas complementarias del yin (femenino) y yang (masculino) enla naturaleza, representadas por numeros impares (cuentas blancas) y pares (cuentas negras),respectivamente, dispuestas alrededor del numero central que es el 5 como muestra la figurasiguiente:

Posteriormente, trabajaron con cuadrados magicos de orden cuatro y cinco. Mas adelanteel orden de los cuadrados aumentara notablemente.

El siguiente libro es el Manual matematico de Xiahou Yang sigue usando las varillas de con-tar. En tres capıtulos se pueden encontrar ochenta y tres problemas relacionados con situacionesde la vida diaria. Se recogen las leyes del periodo Tang, en forma de problemas que enunciaban

18Aunque para su aprendizaje en la escuela se solıa llamar nueve casas.

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la legislacion de propiedades particulares. Hay problemas de calculo de dos impuestos de arrozy dos impuestos de Palacio. Destaca por trabajar con varillas, esto se mantendra hasta quemuchos siglos despues se desarrollo un nuevo instrumento de calculo, el abaco.

El Manual matematico de Zhang Qiujian esta dividido en varios volumenes, de los que solose conserva el primero con noventa y dos problemas. En el prefacio de este libro se recomendabapara personas que no tuvieran miedo de trabajar con multiplicaciones y divisiones, pero quetuvieran dificultades para encontrar denominadores comunes. Usando la notacion del algebramoderna, se siguen las siguientes formulas:

1. Conociendo el primer termino a y el ultimo l, sabiendo que hay n terminos, la suma delos n terminos es:

S =1

2(a + l)n

2. Dados a, n y s, encontrar la diferencia comun d:

d =

(2s

n− 2a

)/(n− 1)

Destacan los problemas con fracciones y la dificultad de las multiplicaciones y divisionespara encontrar un denominador comun. Tambien, se trabaja con sucesiones, series y resolucionde sistemas de dos ecuaciones con tres incognitas.

Por ultimo, encontramos el libro Continuacion de las matematicas antiguas, compuestopor veintidos problemas, escrito por Wang Xiaotong, astronomo y matematico. Problemas deconstruccion de plataformas y diques de diferentes alturas, reparacion de almacenes. Es elprimero en usar el “metodo del corolario de raıces cubicas”. Se preocupa por la resolucion deecuaciones de tercer grado.

x3 + ax2 + bx = A

Todo el contenido matematico de los libros anteriores era muy importante, sin embargo en laAcademia Imperial, el numero de estudiantes disminuıa. Se cambiaron las leyes, y se utilizabancomo material didactico estos libros. El conocimiento de los Diez manuales matematicos erafundamental, se debıa saber resolver los problemas que aparecen en ellos, sin olvidar los librosimportantes de las etapas anteriores como Nueve capıtulos sobre el arte matematico, Manualde la isla del mar. Los examenes para militares consistıan en la resolucion de problemas queaparecen en los libros.

Este periodo, Tang, en el la China de la epoca esta unificada fue una etapa caracterizadapor la apertura de influencias extranjeras, siendo un renacimiento artıstico y literario. Susprincipales innovaciones tecnologicas fueron la imprenta y la polvora. Se introduce el budismonotablemente, y otras corriente religiosos y razonamientos. Los primeros libros que se introducen

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son: Metodos de calculo de la escuela Brahma, Manual matematico de la escuela Brahma yCalculo del calendario de la escuela Brahma. Los conceptos que se introducen son en su mayorıaconocidos por lo que no despiertan interes. Se introduce la medida de los arcos, tabla de senostrigonometricos y los numerales hindues, estos ultimos nunca fueron adoptados. Ademas, losconocimientos se expanden a Corea y Japon. Con la creacion de los Diez manuales matematicos,como hecho destacado, se dara lugar a una etapa de esplendor.

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5. Matematicas durante el periodo de esplendor chino.

Dinastıas Song y Yuan (960 - 1368)

Durante las dinastıas anteriores, las matematicas se desarrollaron a partir de un sistema quetenıa como base los Diez libros de matematicas clasicos. En este periodo, las matematicas sedesarrollaron mas. La tecnica de impresion fue muy desarrollada. A partir de esto, el gobiernomando a copiar los libros que se encontraban en la administracion, donde se guardaban todos lostrabajos de las dinastıas anteriores. Se mando a copiar libros como los Nueve capıtulos sobre elarte matematico y otros que fueron utilizados como libros de texto en escuelas y universidades.

En este momento, dinastıa Song, China estaba dividida en dos zonas: la zona norte y lazona sur. En la zona norte habıa una estabilidad en las matematicas que se desarrollaba en laacademia imperial, pero habıa momentos en los que las matematicas no se desarrollaban, puesse consideraban extravagantes y se pensaba que no contribuıan al avance del paıs. Sin embargo,en esta zona, las matematicas se estabilizaron con el paso de los anos. Por otro lado, en la zonasur, la situacion fue distinta. Las matematicas al inicio de la dinastıa Song estaban estabilizadaspero llego un momento que no se continuaron y nunca mas se volvieron a estabilizar.

En 1127, con la invasion de los Mongoles, los libros que se encontraban en laadministracion fueron destruidos. A partir de aquı comienza un nuevo periodo parala zona norte Mongol (periodo Yuan), mientras que en la zona sur, se encuentrael periodo Song.

Los matematicos mas importantes de este momento fueron Qın Jishao y YangHui en la zona sur y Zhu Shıjie y Li Zhı en la zona norte, que reflejaron en sustrabajos todo el esplendor matematico del momento. Actualmente, los trabajos deYang Hui se conservan incompletos. Tambien destacaron otros matematicos en lazona norte durante la dinastıa Song, es decir, antes de la invasion de los Mongoles,como son Shen Kuo, Zhu Ji y Jia Xian, que hicieron contribuciones al campo deastronomıa, series y solucion de ecuaciones.

Los tratados mas destacados de cada uno de estos matematicos son los sigu-ientes:

Shen Kuo : Ensayos sobre un conjunto de suenos.

Qın Jishao : Tratado matematico en nueve secciones.

Li Zhı : Espejo marino de las medidas circulares.

Yang Hui :

Analisis detallado de los metodos matematicos de los nueve capıtulos.

Metodos de calculo para el uso diario.

Metodos de calculo.

Zhu Shıjie :

Introduccion a los estudios matematicos.

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Espejo precioso de los cuatro elementos.

Las matematicas chinas en este periodo Song y Yuan constituyen un periodo de gran esplen-dor matematico, que se desarrollo durante el periodo medieval en Europa. Los campos que setrataron en este momento fueron muy diversos: metodos de extraccion de raıces, operaciones conpolinomios, series, analisis indeterminado, cuadrados magicos y trigonometrıa esferica; desta-cando mas los tres primeros. Ademas contribuyeron a avances tecnologicos y avances en lafabricacion de calendarios.

5.1. Metodos de extraccion de raıces

Durante las dinastıas anteriores ya se habıa desarrollado un metodo para resolver ecuacionesdel tipo x2 = A y x3 = B. Este metodo era el “metodo de abrir el cuadrado”que consistıa enextraer raıces cuadradas de las ecuaciones, pues todas las ecuaciones ordinarias se puedenreducir a ecuaciones del tipo x2 + ax = b. Este metodo se fue desarrollando y llego a serel “corolario de extraccion de raıces cuadradas”. Por otro lado, el metodo para solucionarecuaciones ordinarias de tipo cubico x3 +ax2 +bx = c, “el corolario de tomar raıces cubicas” sedesarrollo del metodo de extraer raıces cubicas. Estos metodos pueden ser encontrados en Losnueve capıtulos sobre el arte matematico y El manual matematico de Zhang Qiujian (“corolariode extraccion de raıces cuadradas”) y el corolario de tomar raıces cubicas se encuentra en ellibro Continuacion de las antiguas matematicas.

La configuracion del conteo con varillas del metodo que aparece en los Nueve capıtulos sobreel arte matematico se explica a continuacion:

Se daban cinco filas de arriba abajo:

La primera fila shang, daba el resultado.

La segunda fila shı, daba el numero dado.

La tercera fila fang (el cuadrado) daba el coeficiente de x2.

La cuarta fila, lian (el lado) daba el termino cubico, coeficiente de x3.

La quinta fila, yu (la esquina).

El procedimiento era el siguiente:

Colocaban la primera aproximacion de la raız. Si, por ejemplo, resolvıan un problema de tipox3 = N x = (a+ b+ c). Se tomaba la primera aproximacion de x en este caso a. Despues decolocar a en la fila del resultado, se desarrollaba aparte el binomio (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3

y se colocaban los coeficientes de a en las filas correspondientes. A partir de esto, colocaban lasegunda aproximacion de la raız (a + b) en la fila resultado y desarrollaban aparte el binomio((a + b) + c)3 = (a + b)3 + 3(a + b)2c + 3(a + b)c2 + c3 y colocaban los coeficientes de (a + b) enlas filas correspondientes, y ası, hasta llegar al tercer lugar de la aproximacion de la raız c.

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Los matematicos de este periodo se dedicaron a buscar metodos para la extraccion deraıces de ecuaciones de grados arbitrarios. Jian Xian introdujo un metodo para extraer raıcescuadradas y cubicas que mas tarde se generalizo para encontrar raıces de grados arbitrarios.

Todos los trabajos de Jian Xian se encuentran perdidos. Este metodo se encuentra recopiladoen el libro Reclasificacion de los metodos matematicos de los nueve capıtulos por Yang Hui. Estemetodo es el llamado “metodo de extraccion de raıces cuadradas por sucesivas multiplicaciones”.Este es mas directo que el anterior, pues los calculos se realizan en la misma distribucion deconteo con varillas.

Veamos el procedimiento para el problema del ejemplo anterior, x3 = N x = (a+ b+ c).Despues de conseguir el primer lugar de la raız, el metodo de Jian Xian dice lo siguiente:

Usando el resultado, a, multiplicando por la varilla de la “esquina”, se consigue el “terminolineal” a. Multiplicando el “termino lineal” por la raız, a, se consigue el “termino cuadrado” a2,multiplicando de nuevo, a, por el “termino cuadrado” a2, y restando esto al “numero dado”, seobtiene el nuevo “numero dado” N − a3. Despues de esto, tomar de nuevo la raız multiplicadapor la “esquina” y sumarla al “termino cubico” anterior, a3, dando, 2a; multiplicar esto por el“termino lineal” o el “resultado”, a y anadirlo al coeficiente de x2, esto es, 2a2 + a2 = 3a2. Denuevo, multiplicar por la fila “esquina” y anadir al coeficiente de x, dando 2a + a = 3a. Paraencontrar la segunda aproximacion de la raız (a+ b) se sigue el mismo procedimiento hasta quese encuentra N − (a + b + c)3 y esta es la raız cubica (a + b + c)3.

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Este metodo es el que actualmente se conoce como el “metodo de Horner” veamos esto:

Resolveremos el problema (a + b + c)3 = N por el “metodo de Horner” actual. Esto es,resolver x3 −N = 0:

1 0 0 −N

a a a2 a3

1 a a2 −N + a3

a a 2a2

1 2a 3a2

a a1 3a

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1 3a 3a2 −(N − a3)

b b 3ab + b2 3a2b + 3ab2 + b3

1 3a + b 3a2 + 3ab + b2 −N + a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

= −(N − (a + b)3)b b 3ab + 2b2

1 3a + 2b 3a2 + 6ab + 3b2

= 3(a + b)2

b b1 3a + 3b

1 3a + 3b 3(a + b)2 −(N − (a + b)3)

c c 3ac + 3bc + c2 3(a + b)2c + 3(a + b)c2 + c3

1 3a + 3b + c 3(a + b)2 + 3(a + b)c + c2 −N − (a + b + c)3

c c 3(a + b)c + 2c2

1 3a + 3b + 2c 3(a + b)2 + 6(a + b)c + 3c3

= 3(a + b + c)2

c c1 3(a + b + c)

Nota: Observar que los restos obtenidos coinciden con las columnas de las distintas aproxi-maciones de x del metodo de “extraccion de raıces por sucesivas multiplicaciones”

El metodo de Horner fue publicado por Horner en Europa en 1819 y por Ruffini en 1804,sin embargo, Jian Xian introdujo el metodo de extraccion de raıces cuadradas y cubicas porsucesivas multiplicaciones a mediados del siglo XI, lo que equivale a unos 800 anos antes de loque se desarrollo en Europa.

Ademas, el metodo de la extraccion de raıces cuadradas y cubicas por sucesivas multiplica-ciones influyo en el desarrollo de las matematicas durante este periodo.

Jian Xian busco un metodo para encontrar los coeficientes binomiales, pues los necesitabapara el metodo de extraer raıces de alto grado. Ademas del metodo de encontrar los coeficientesbinomiales desarrollo un diagrama para estos. Este diagrama aparece en Analisis detallado delos metodos matematicos en los nueve capıtulos de Yang Hui. Se llamaba “La fuente del metodode extraccion de raıces” y fue desarrollado por Jian Xian hasta orden seis en el siglo XI. Laconfiguracion de los numeros es la siguiente:

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11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

El numero de la fila (n + 1) es el que indica el grado del binomio (a + b)n. El diagramase desarrolla a partir del metodo de extraccion de raıces por sucesivas multiplicaciones. Parallegar a los coeficientes del binomio (a + b)6 Jian Xian uso el metodo de extraccion de raıcespor sucesivas multiplicaciones.

Por otro lado, en el trabajo de Zhu Shıjie, Espejo precioso de los cuatro elementos, aparece undiagrama similar desarrollado hasta orden ocho y al lado de cada fila aparecen unos caracteresque designan esta. Debajo aparece un comentario que explica la forma de su construccion y losusos a los que se puede aplicar:

Los numeros en la fila (n + 1) muestran los coeficientes del desarrollo binomicode (a + b)n, siendo n un numero entero positivo. Los coeficientes unidad a lo largodel borde en pendiente a la izquierda (la chi shu) y de la lınea extrema en pendientea la derecha (la yu suan) son los coeficientes del primero y del ultimo termino,respectivamente, de cada desarrollo del binomio. Los numeros internos ((2)), ((3, 3)),((4, 6, 4)),. . . , son los terminos internos de las ecuaciones binomicas de segundo,tercero, cuarto,. . . , grados.

Zhu Shıjie continua indicando la estrecha relacion que existe entre la construc-cion del triangulo y la resolucion de ecuaciones numericas de orden superior.

Multiplıquense los coeficientes de la fila (n + 1) por un valor sugerido para laraız; a continuacion, sustraigase la potencia enesima de la fila sugerida de Shi (estoes, la constante cuya raız hay que extraer) y divıdase la diferencia por el productodel valor sugerido y del coeficiente para obtener el nuevo valor de la raız.

La cresta del pavo real

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Este diagrama es lo que se conoce en Europa como el triangulo de Pascal, (1623-1662). Porotro lado, el matematico arabe Al-Kashi en 1427 dio una tabla de coeficientes binomiales yen 1527, Apianus matematico aleman, tambien hizo su aportacion al triangulo, pero en China,Jian Xian desarrollo un “diagrama de la fuente de extraccion de raıces” unos 400 anos antesque Al-Kashi y unos 500 anos antes que la primera aparicion del metodo en Europa, dada porApianus.

Despues del desarrollo de este diagrama, la resolucion de ecuaciones de altos grados sedesarrollo en el siglo XIII, en el cual, el algebra era la cima del conocimiento matematico chino.

Hasta el momento para resolver ecuaciones cuadradas y cubicas todos los coeficientes eranno negativos. Lıu Jı en su obra Discusion sobre la antigua fuente la cual se encuentra perdiday lo unico que se tiene es una recapitulacion de algunos problemas en obras de Yang Hui.Estas ecuaciones, con coeficientes negativos, se resolvıan por el “metodo de extraer raıces porproductos acumulados” o bien por el “corolario de extraer raıces cuadradas por sustracciones”.Ademas de resolver ecuaciones con coeficientes negativos, se resolvıan ecuaciones con coefi-cientes en los terminos de altos grados. El metodo que se usaba es el mismo que el “metodo deextraccion de raıces por multiplicaciones sucesivas”, pero en vez de anadiendo (sumar), lo quese hace es restar.

Sin embargo, el metodo de generalizacion de raıces cuadradas por sucesivas multiplicacionesse dio en el siglo XIII y aparece en el libro Tratado sobre matematicas en nueve secciones de QınJishao. Esta generalizacion es llamada “metodo de extraccion de raıces” pues incluye extraccionde raıces de ecuaciones con grados arbitrarios y con coeficientes negativos o no.

5.2. Trabajos con ecuaciones polinomicas

En el campo de las ecuaciones se consideran dos pasos: el primero es encontrar la ecuaciony el segundo es resolver esa ecuacion. Para el segundo paso se tiene el “metodo de extraccion deraıces por sucesivas multiplicaciones” que se vio anteriormente. Para el primer paso, encontrarla ecuacion, se usaba la “tecnica del elemento celestial”, y la “tecnica de las cuatro incognitas”que surgio a partir de la anterior.

La “tecnica del elemento celestial” es el metodo general para obtener una ecuacion dadasunas condiciones. Esto se describe en el Espejo marino de medidas circulares y Nuevos pasos enlos calculos de Li Zhı. Ademas tambien se encuentra en los trabajos de Zhu Shıjie Introducciona los estudios de matematicas y el Espejo precioso de los cuatro elementos, donde generaliza

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la obtencion de ecuaciones de una a cuatro incognitas. Por tanto, la “tecnica del elementocelestial”, era usada para obtener ecuaciones.

El procedimiento de esta tecnica es similar al que se utiliza actualmente en los libros dealgebra. Ademas los matematicos chinos de este periodo sumaban, restaban, multiplicabany dividıan polinomios. Todos los polinomios los expresaban de forma racional, esto es, de laforma ax2 + bx + c. Si tenıan un polinomio de forma irracional, eliminaban los cuadrados, obien, multiplicaban en cruz.

El origen de esta tecnica se situa a principios del siglo XIII, finales del XII y se atribuyeal desarrollo social. Por lo que se cree que la tecnica se dio de forma local, segun el desarrollocultural y comercial de cada zona.

La configuracion del conteo con varillas era la siguiente:

Para indicar una ecuacion polinomica se usaban los caracteres ( yuan) coeficiente deprimer grado y ( tai) termino constante.

Los coeficientes del polinomio se escribıan en columna y, al lado, a la derecha, los caracterescorrespondientes.

Habıa varias formas, pero en este periodo, la mas usada era la forma B, caso 2.

La generalizacion de la “tecnica del elemento celestial” dio lugar a la “tecnica de las cuatroincognitas”. Esto tuvo lugar por el intento de obtener sistemas de ecuaciones mediante la tecnicaanterior. La “tecnica de las cuatro incognitas” se describe en el Espejo precioso de los cuatroelementos de Zhu Shıjie. Las cuatro incognitas que se consideran en esta tecnica son:

x como el elemento celestial.

y como el elemento tierra.

z como el elemento humano.

u como el elemento material.

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La configuracion en el metodo de conteo con varillas era la siguiente: se colocaba ( ) tai, eltermino constante y alrededor del caracter se ponıan los coeficientes de las distintas incognitas,x por abajo, y a la izquierda, z a la derecha y u por arriba del termino, esto es:

Para escribir los coeficientes de las distintas incognitas multiplicadas unas por otras lo quese hacıa es:

Si las incognitas multiplicadas estaban seguidas, se coloca el coeficiente en el cuadranteque esta entre las dos incognitas dadas.

Si las incognitas multiplicadas son opuestas en la configuracion de conteo con varillas, loscoeficientes se colocan en la diagonal.

Veamos ejemplos de ecuaciones de cuatro incognitas:

Para resolver estas ecuaciones se usaba el “metodo de eliminacion” que se basaba en elreemplazo de los distintos elementos. Veamos un ejemplo de este metodo para tres incognitas,que se desarrolla en un trabajo de Zhu Shıjie.

Resolvemos el sistema siguiente de tres ecuaciones por “la tecnica de las cuatro incognitas”:

Primera formula:

Segunda formula:

Tercera formula:

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La explicacion dada por Zhu Shijie en su texto original es la siguiente:

Usando la segunda formula separando y eliminando. El elemento humano reem-plaza la incognita celestial en las dos formulas. La primera formula da (despues desustituir por y2 desde la tercera formula y dividiendo por x)

y la segunda da

Eliminando por reduccion del denominador escondido19, da a la izquierda:

y a la derecha:

Multiplicar la columna interior por cada una dada

La columna exterior dada

Eliminar los productos usados de las columnas interior y exterior. Dividir por cuatroy obtener la formula

Solucionando esta ecuacion se consigue que z = 5.

19Consiste en multiplicar y dividir el polinomio por la constante necesaria para que no haya denominadoresen el.

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En notacion moderna la eliminacion final da:

Columna derecha:

Columna izquierda:

Lo cual es equivalente a resolver:

(7 + 3z − z2)x + (−6− 7z − 3z2 + 3z3) = 0 formula izquierda

(13 + 11z + 5z2 − 2z3)x + (−14− 13z − 15z2 +−5z3 + 2z4) = 0 formula derecha

Cuando las formulas de los lados son puestas −6−7z−3z2+z3 y 13+11z+5z2−2z3 son las“columnas interiores” y 7+3z−z2 y −14−13z−15z2 +−5z3 +2z4 son las columnas exteriores.Luego multiplicando juntas las dos columnas interiores y exteriores, restando y simplificandotenemos 4(−5 + 6z + 4z2 − 6z3 + z4) = 0 Dividiendo por cuatro llegamos a una ecuacioncuadratica que si la resolvemos obtenemos la respuesta z = 5.

5.3. Investigaciones en series finitas

Las investigaciones en series de igual diferencia en este periodo fueron llevadas a cabopor Shen Kuo, Yang Hui y Zhu Shıjie principalmente. De estas investigaciones se obtuvieronresultados excepcionales en las series de igual diferencia de altos ordenes.

El orden de una serie es el numero de veces que se deben realizar las diferencias entre losterminos de la serie hasta que las diferencias sean un mismo termino. Por ejemplo, si se tienela serie de los cuadrados, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, . . . hacemos las diferencias y tenemos que:

Serie Primera diferencia Segunda diferencia14 4− 1 = 39 9− 4 = 5 5− 3 = 216 16− 9 = 7 7− 5 = 225 25− 16 = 9 9− 7 = 236 36− 25 = 11 11− 9 = 2. . .

Por lo que se tiene que la serie es de orden dos. Las primeras investigaciones en este campofueron las desarrolladas por Shen Kuo con su “teorıa de los pequenos incrementos”, que sebasaba en problemas de amontonar pilas. Para resolver estos problemas se usaba el “metodo dela plataforma rectangular” que consistıa en contar las cosas que estaban amontonadas a partir

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de pilas de base rectangular donde hubiera n capas. El primer rectangulo de lo alto serıa deancho a y de largo b y el rectangulo de abajo serıa de ancho c y largo d; de lo que se obtiene laformula:

S = ab + (a + 1)(b + 1) + . . . + cd =n

6[(2b + d)a + (2d + b)c)] +

n

6(c− a)

que viene dada de calcular el volumen de la pila rectangular.

Esta tecnica se encuentra en la seccion de tecnicas del trabajo Ensayos sobre un conjuntode suenos de Shen Kuo. Por otro lado, otros matematicos tambien se dedicaron a investigaren los problemas de amontonar pilas, como por ejemplo el matematico Yang Hui, pues en sustrabajos un Analisis detallado de los metodos matematicos de nueve capıtulos y Alpha y omegade una seleccion sobre aplicaciones de metodos aritmeticos. Aparecen cuatro tipos de problemasde amontonar pilas que se basan en el “metodo de la plataforma rectangular” de Shen Kuo.

Pila rectangular20 o pila de frutas

S = ab + (a + 1)(b + 1) + . . . + cd =n

6[(2b + d)a + (2d + b)c)] +

n

b(c− a)

Pila de frutas o piramide de base cuadrada

S = 12 + 22 + 32 + . . . + n2 =n

3(n + 1)(n + 1/2)

Pilas cuadradas o plataformas cuadradas

S = a2 + (a + 1)2 + (a + 2)2 + . . . + b2 =n

3

(a2 + b2 + ab +

b− a

2

)Pila triangular o tetraedro

S = 1 + 3 + 6 + 10 + . . . +n(n + 1)

2=

n

6(n + 1)(n + 2)

Todas estas ecuaciones son casos particulares de la primera.

La investigacion de las series de diferencias finitas de alto orden, llego a relacionar los pro-blemas de series finitas de igual diferencia con los problemas de interpolacion. Los problemas deinterpolacion estaban relacionados con los movimientos del sol, la luna y los cinco planetas quese conocıan y eran utilizados en la fabricacion de calendarios. Por tanto, las investigaciones enseries de igual diferencia fueron utilizadas en los calendarios. De la observacion del movimientodel sol y de la luna, los astronomos chinos como Guo Shoujıng, realizaron Calendarios de trabajosy dıas en el cual, de las tablas de valores obtenidas, se sacaron dos series de igual diferencia,una de orden cuatro “diferencias acumuladas” y otra de orden tres “promedio de las diferenciasacumuladas” que se construıa dividiendo las diferencias acumuladas por el numero de dıas del

20Es la misma que la plataforma rectangular de Shen Kuo

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periodo considerado. La generalizacion de esto, dio lugar a los polinomios de interpolacion dealtos grados.

En el Espejo precioso de los cuatro elementos de Zhu Shıjie, se encuentran los mejores resul-tados en el campo de las series, ademas de la “tecnica del elemento celestial” y la “tecnica de lascuatro incognitas”. Las investigaciones de Zhu Shıjie se basaron en los problemas de amontonarpilas y en las diferencias finitas. Zhu Shıjie generalizo la formula de las pilas triangulares queen notacion moderna es:

n∑r=1

1

p!r (r + 1)(r + 2) · · · (r + p− 2)(r + p− 1) =

=1

(p + 1)!n(n + 1)(n + 2) · · · (n + p− 1)(n + p)

Variando p = 1, 2, 3 . . . se obtienen las distintas pilas triangulares. A estos problemas deamontonar pilas le anadıa una capa mas y generalizando esto llego a la formula de las pilas conpico. La formula en notacion moderna es:

∑r

1

p!r (r + 1)(r + 2) · · · (r + p− 2)(r + p− 1) =

=1

(p + 2)!n(n + 1)(n + 2) · · · (n + p)((p + 1) + (n + 1))

Ademas encontro mas subproblemas de las pilas triangulares, haciendo cambios y operacionesen la formula general de estos.

En el area del calculo de las diferencias finitas Zhu Shıjie introdujo la formula exacta de lasdiferencias finitas hasta orden cuatro que aparece en Europa por los trabajos de Newton unos400 anos mas tarde.

f(n) = n∆ +1

2!(n)(n + 1)∆2 +

+1

3!(n)(n + 1)(n + 2)∆3 +

+1

4!(n)(n + 1)(n + 2)(n + 3)∆4

Los coeficientes de los distintos ordenes de las diferencias vienen dados por la formula delas pilas triangulares para p = (orden de la diferencia).

Estas investigaciones en el campo de las series de igual diferencia y las diferencias finitasfueron utilizadas en astronomıa, pasando ası la astronomıa china a un nuevo nivel en esteperiodo.

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5.4. Investigaciones en otras areas

5.4.1. Analisis indeterminado

Otra area de investigacion en este periodo fue el analisis indeterminado. El analisis inde-terminado consiste en solucionar problemas de congruencias lineales que en notacion modernaes N ≡ r(mod m). Estos problemas aparecieron en China durante periodos anteriores puesen el Manual de matematicas del maestro Sun, aparece el siguiente problema de congruenciaslineales:

Problema: Tenemos un numero desconocido de objetos. Se cuentan en grupos de 5, el restoes 3 y cuando se cuentan en grupos de 7, el resto es 2. ¿Cuantos objetos hay? Respuesta: 23.

El problema da lugar a la resolucion de las siguientes congruencias:

N ≡ 2(mod 3)

N ≡ 3(mod 5)

N ≡ 2(mod 7)

Donde N es el valor entero mas pequeno que verifica el problema. Existen varias formas desolucionarlo. Si las condiciones y los numeros eran simples, se obtenıa el conjunto de solucionespor ensayo y error, pero si las condiciones y los numeros eran complicados se utilizaba el“metodo de encontrar uno por la mayor extension”, que es un metodo similar al algoritmode Euclides. Este metodo surgio a partir de la fabricacion de calendarios y el problema deencontrar exactamente el numero de anos (medidos en dıas) desde el comienzo del calendario. Ladescripcion sistematica del problema fue dada por Qın Jishao que con el “metodo de encontraruno por la extension”, resolvıa problemas de congruencias lineales, como se explica en su trabajoTratado matematico en nueve secciones. En notacion moderna, este metodo de Qın Jishao puedeser descrito de la siguiente forma:

Primero sustraer mi repetidamente desde M/mi ası que se llega al resultado final G, quesatisface

G ≡ M/mi(mod mi)

Usando la notacion moderna el procedimiento que se sigue para resolver estos problemaspor el “metodo de encontrar uno por la gran extension” es el siguiente:

mi = GQ1 + R1 K1 = Q1

G = R1Q2 + R2 K2 = K1Q2 + 1

R1 = R2Q3 + R3 K3 = K2Q3 + K1

R2 = R3Q4 + R4 K4 = K3Q4 + K2

R3 = R4Q5 + R5 K5 = K4Q5 + K3

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Rn−2 = Rn−1Qn + Rn, (Rn = 1) Kn = Kn−1Qn + Kn−2. Si Rn−1 = 1 y Kn−1 es impar,entonces se usa 1 para dividir Rn−1 ası que Rn−1 = 1, 0 + Rn, el Q es cero y el resto Rn = 1.

Veamos un ejemplo de esto:

Resolver la siguiente congruencia:

2970a1 ≡ 1(mod 83)

Se tiene que G = 2970− 35 · 83 = 65 y mi = 83, entonces:

83 = 1 · 65 + 18 K1 = 1

65 = 3 · 18 + 11 K2 = 3 · 1 + 1 = 4

18 = 1 · 11 + 7 K3 = 1 · 4 + 1 = 5

11 = 1 · 7 + 4 K4 = 1 · 5 + 4 = 9

7 = 1 · 4 + 3 K5 = 1 · 9 + 5 = 14

4 = 1 · 3 + 1 K6 = 1 · 14 + 9 = 23

Por tanto como R6 = 1 y K6 = 23, se tiene que el valor de a1 = 23 y se verifica que23 · 2970 ≡ 1(mod 83)

5.4.2. Cuadrados Magicos

Durante este periodo, los cuadrados magicos o diagramas de filas y columnas tambien fueronobjeto de estudio. Yang Hiu se dedico a esto en su libro Continuacion de los antiguos meto-dos matematicos para aclarar lo extrano (propiedades de los numeros) examina los cuadradosmagicos hasta el orden 10 × 10. El de orden 7 × 7 Yang Hui lo denominaba la extension delnumero del diagrama. Durante este periodo al cuadrado magico de orden 6 × 6 se le domino“cuadrado magico central”

Diagrama de numeros en extension: (cuadrados magicos) 9× 9 suma de columnas, filas ydiagonal es 369.

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5.4.3. Trigonometrıa esferica

Durante las dinastıas anteriores Suı y Tang se introdujeron en China conocimientos sobretrigonometrıa esferica desde la India, pero estos no fueron de interes para los matematicos yastronomos chinos de estos periodos.

Aunque en los Nueve capıtulos sobre el arte matematico se menciona una breve relacionsobre el arco, la sagita y la cuerda, no es hasta el siglo XI cuando realmente se introduce unaformula que relaciona el arco, la sagita y la cuerda. Esta formula fue dada por Shen Kuo yse llamo “tecnica de interceptar cırculos” que fue usada por los astronomos de la epoca paracalcular “la inclinacion hasta el ecuador”, esto es, la longitud y “los grados acumulados a lo largodel ecuador”, es decir, la latitud. De todos estos calculos aparecio el campo de la trigonometrıaesferica.

Sin embargo, estos conocimientos no se siguieron desarrollando, pues con la “tecnica deinterceptar cırculos” los calculos que se realizaban eran inexactos, ya que consideraban π = 3.Hasta el siglo XVII en Europa que usaron como base los conocimientos chinos de trigonometrıaesferica de este periodo.

5.5. Intercambio de conocimientos matematicos duranteeste periodo

En el periodo Song y Yuang el intercambio de conocimientos matematicos entre China yel resto del mundo fue mucho mejor que en los periodos anteriores. Con el avance de los deMongoles se desarrollaron avances en el intercambio entre China y los paıses islamicos duranteel siglo XIII. En el periodo Yuang se creo un observatorio islamico en la capital. A raız de esto,muchos textos islamicos fueron introducidos en China de los cuales muchos se han perdidopues no hubo traduccion de ellos. Todos estos textos astronomicos islamicos se recogieron en elColeccion de los recopilatorios oficiales del periodo Yuang en la seccion de libros islamicos. Almismo tiempo se pasaron los numerales arabigos y metodos de calculo.

En 1956, en una excavacion se encontro una plancha de hierro en la que estaba grabadoun cuadrado magico de orden 6 × 6 que era utilizado para derrotar los espıritus del diablo ypara exorcismos. En esta plancha de hierro, los dıgitos del cuadrado magico son similares a losnumeros llamados “numeros arabigos” procedentes de paıses islamicos.

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Se ha visto tambien que los chinos usaban metodos de calculo en arena o tierra para lo queutilizaban pizarras de arena o tierra con un palillo de bambu o de hierro, pero los calculos erancortos.

En este periodo tambien se introdujo el metodo de es-cribir los calculos “calculos escritos”. Para esto se exponıa unacuadrıcula y se traıa el multiplicando y el multiplicador portoda la cuadrıcula hasta rellenarla. De esta forma se mostra-ban los calculos realizados a lo largo de todo el proceso. Estemetodo tambien era de Arabia.

Sin embargo, no solo se introdujeron conocimientos islami-cos en China, sino que a la vez, los conocimientos matematicoschinos tambien fueron intercambiados. Cuando los Mongolesocuparon Bagdag construyeron un observatorio astronomico,Maraghah, en el que trabajaron muchos matematicos y as-tronomos que usaban los conocimientos matematicos chinos ensus trabajos, como son la descripcion de metodos de division,extraccion de raıces cuadradas, cubicas o de grados superioresy la tabla obtenida por Jia Xian para coeficientes binomialesdel “metodo de extraccion de raıces”, pues estos conceptos solohabıan sido mencionados en China en este periodo. Ademas,por otro lado, los conocimientos matematicos chinos influyerontremendamente en Corea y Japon, llegandose a transcribir al-gunos trabajos matematicos chinos a coreano como de Yang

Hui, Zhu Shıjie y otros trabajos. En Japon, sin embargo, se reescribieron estos textos anadiendoalgunos comentarios. Estas copias han hecho que algunos trabajos matematicos chinos de esteperiodo no se hayan perdido actualmente.

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6. El abaco. Dinastıa Mıng (1368 - 1644)

Como hemos observado anteriormente habıa un tremendo desarrollo en las matematicas,estos logros estaban basados en calculos con varillas de contar. Algunos de ellos son, por ejemplo,el “metodo del elemento celestial” o el “metodo de las cuatro incognitas”. Pero por el siglo XVlos matematicos no comprendıan estos metodos.

¿Como ocurrio esto? Hay muchas razones para ello, pero la mas importante fue la necesidadde la sociedad China en encontrar una aplicacion practica. Ademas el contenido de muchas deestas matematicas era difıcil y duro de comprender por lo que tantos conocimientos estabanperdidos.

Durante la dinastıa Mıng se desarrollaron varios tipos de artesanıas, en particular el co-mercio y la industria que aumentaron los problemas para los matematicos en llevar a cabo lascomputaciones para el trato con el crecimiento de tamano y compleja informacion. Los cuatrocalculos aritmeticos (suma, resta, multiplicacion y division) eran demandados para calculosrapidos. Bajo estas circunstancias las tecnicas de varillas de contar pasaron a la antiguedadporque llegaron a ser insuficientes en los siguientes conceptos:

1. Las operaciones de multiplicar y dividir requieren una muestra de tres filas desde la partede arriba al pie para los calculos con varillas de contar y esto no es muy conveniente.

2. En los calculos con varillas de contar las tecnicas para sumar y restar exigen continuoscambios en la configuracion.

Como consecuencia, nacio una nueva forma de calcular con el abaco para adaptarse a lanueva situacion.

La aparicion del abaco fue el mayor evento en la historia de las matematicas chinas. Elaparato de facil transporte y simple manejo es todavıa muy utilizado por toda China. En el

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tiempo de esta invencion, el abaco paso por Corea, Japon y otros paıses asiaticos, donde esutilizado hoy en dıa.

Los calculos con abaco se desarrollaron desde los calculos basicos con varillas de contar.

¿Cuales eran las condiciones requeridas para que los calculos con varillas de contar evolu-cionaran en calculos con abaco? Describire tres etapas:

1. La revolucion en los calculos con varillas de contar principalmente supuso la mejora detecnicas para multiplicar y dividir.

El metodo de multiplicacion y division en los calculos con varillas de contar requierenexhibir tres filas: la parte de arriba, centro y la parte de abajo. Los matematicos en el findel Tang trabajaron duro para encontrar un metodo rapido para multiplicar y dividir,la configuracion de las tres filas podrıa ser efectiva usando justo una fila de varillas decontar. Hay algunos ejemplos conservados en el Manual matematico de Xiahou Yang.

2. Las formulas de rimas tienen un importante lugar en el curso de la evolucion desde loscalculos con varillas de contar al abaco. Un ejemplo de problemas en la forma de poemaes el que sigue:

“Tomo una botella con algo de vino para una excursion en el manantial. Allocalizar una taberna doblo ese contenido y bebo uno y nueve decimos dou enla taberna. Despues pasando por cuatro tabernas la botella esta vacıa, ¿cuantovino habıa al principio?”

Ademas de problemas en la forma de rimas, algunas de las tecnicas de calculo erantambien presentadas en forma de versos. Entre los versos mas importantes debemos incluirel “convirtiendo a decimal” y “versos en division”. Esto era requerido para encontrar elprecio de un liang de artıculos con el precio dado por jin, que son las medidas de pesousadas en China.

Los “versos en division” tienen una importante marcacion en el cambio desde los calculoscon varillas de contar al abaco. En los calculos con varillas de contar la division fue llamada‘division directa’. Con los ‘versos a decimal’ uno tiene ‘1, va detras 625’, ası recitandoel verso inmediatamente das el cociente. Hoy en dıa casi todos los chinos conocen estosversos y muchos de ellos todavıa son aplicables en division cuando el divisor tiene un solodıgito.

3. La conclusion de los “versos en division” era una llave para dar un paso en el proceso deevolucion desde los calculos con varillas de contar a los calculos con abaco. Esto es debidoa que el movimiento de la mano no es tan rapido como recitando, y es incluso despaciocuando comparas con la velocidad de razonamiento en calcular. Una vez llegado a estaetapa, los calculos con varillas de contar han llegado al punto donde tuvo lugar el cambio.

Como una consecuencia, las cuentas en un abaco reemplazaron a las varillas de contar. Almismo tiempo las cuentas fueron diferenciadas en altura y compartimentos, en el inferiorlas cuentas toman el valor uno y en el superior cinco. Consecuentemente el abaco tuvocomo modelo los calculos con varillas de contar.

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¿Cuando fue el abaco introducido? ¿Quien fue ese primer inventor?

Estas dos preguntas permanecen sin una respuesta definitiva en el dıa de hoy. La situaciondescrita muestra que los calculos con abaco no fueron la invencion de una persona sino elproducto de una era. Fue a traves de la necesidad y demandas de la poblacion en su vida diariaque el abaco gradualmente se desarrollo y fue finalmente completado.

En este periodo debemos destacar a Cheng Dawei y su libro Tratado sistematico sobrearitmetica. Dicho libro es un texto practico matematico que usa como calculo principal elabaco. El libro consta de diecisiete capıtulos y contiene quinientos noventa y cinco problemas.

La completacion del Tratado sistematico sobre aritmetica y su amplia distribucion senalanla completacion de la evolucion desde calculos con varillas de contar a calculos con abaco.Desde ese tiempo el abaco llego a ser el principal aparato para realizar calculos. Por tanto, loscalculos con varillas de contar de tiempos remotos fueron gradualmente olvidandose y perdiendoutilidad.

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7. La primera entrada de las matematicas occidentales.

Dinastıa Mıng (1368 - 1644)

A finales del siglo XVI y comienzos del XVII habıa un gran desarrollo en la economıapor toda China y en algunos comercios habıan desarrollado varios metodos capitalistas deproduccion. Sin embargo, a causa de extrema crueldad y extorsion por las reglas Mıng y tambiena causa de las guerras que continuaron por bastante numero de anos desde el fin de la dinastıaMıng al comienzo de la dinastıa Qıng, la economıa fue incapaz de continuar expandiendo ypor un perıodo bastante largo eso fue estancado. En otra mano la Europa de estos dıas fuejustamente lo contrario. Durante el siglo XV y XVI, Europa gradualmente cambio desde unfeudalismo a una sociedad capitalista.

Como es bien sabido, el desarrollo capitalista es inseparable de la competicion por materialescrudos, mercados y trabajos. Como consecuencia los paıses europeos comenzaron a penetrar elExtremo Este y China.

Ademas llegaron a China una multitud de misioneros los cuales eran en su mayorıa miembrosde la Sociedad de Jesus21. La Sociedad de Jesus es una organizacion catolica conservativafundada en el siglo XVI por paıses sur europeos como una fuerza para la religion CatolicaRomana conservadora, los cuales eran opuestos a la Reformacion Protestante.

El sacerdote jesuita mas importante que llego a China fue Matteo Ricci.

En ese tiempo, China estaba preocupada por fortalecer el paıs economica y militarmente,por ello, mostro intenso interes en la ciencia y tecnologıa del occidente.

Los primeros trabajos occidentales traducidos a chino fueron Elementos de geometrıa deEuclıdes y la mas pura Expresion de aritmetica practica de Clavius.

Vamos a hablar de ello:

Xu Guangqi (1562 - 1633), tenıa conocimientos en astronomıa y agricultura. Fue la prin-cipal figura en la reforma del calendario en el fin de la dinastıa Mıng. Juntos, el y MatteoRicci tradujeron los Elementos de geometrıa o Elementos de Euclıdes compuesto de trecelibros. En 1607 completaron la traduccion de los seis primeros libros. No terminaron detraducirlos para ver si era provechoso para la gente. La traduccion termino en 1857 porAlexander Wylie y Li Shanlan. Fue el primer trabajo traducido del latın en China y secaracteriza por una deduccion logica.

21Jesuitas

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Li Zhizao (1565 - 1630) fue recomendado por Xu Guangqi para participar en el tra-bajo de corregir el calendario en el fin de la dinastıa Mıng. La expresion de aritmeticapractica conocida en China como Tratado sobre aritmetica europea fue traducida por ely Matteo Ricci. Dicho libro esta compuesto por once capıtulos. Los cuales introducenlos conocimientos aritmeticos occidentales, ademas de metodos de calculo usando papely pluma. Otra cosa a destacar es que para calcular fracciones el denominador es puestosobre la parte superior con el numerador en la parte inferior.

Como podemos observar, la entrada de las matematicas occidentales en China era basica-mente orientada a corregir el calendario. Veamos por que:

El calendario chino denominado Da Tong tenıa muchos errores ası que la correccion delcalendario llego a ser una importante tarea en el fin de la dinastıa Mıng. Ademas estaba elcalendario Islamico, para la gente islamica, que tambien tenıa errores.

Matteo Ricci supo las limitaciones de sus conocimientos, ası que el envio varias cartasa misioneros que supieran de ese tema. Los cuales no tardaron en llegar. Despues de variaspropuestas fallidas el gobierno Mıng decreto que el metodo occidental deberıa ser adoptadoy por tanto, cambiar el calendario. Poco despues el ejercito Manchu penetro en China y ladinastıa Mıng dejo de existir. Al segundo ano del comienzo de la dinastıa Qıng el gobiernodecreta la adopcion del nuevo calendario basado en el calendario occidental, el cual fue llamadoCalendario Shıxian.

Hay un monton de matematicas incluidas en varios libros de calendarios . Lo mas importantees trigonometrıa plana y esferica y las tablas que son requeridas para tales matematicas. Ademasde Huesos de Napier, divisores Galileanos y varios calculos ingeniosos.

Los metodos de trigonometrıa plana y esferica

Las longitudes de segmentos eran usadas para definir el significado de funciones trigonometri-cas. Por ejemplo en el capitulo siete de la Completa teorıa de observacion:

Cada arco y cada angulo tiene ocho tipos de lıneas: seno (zheng xian), tan-gente (zheng que xian), secante (zheng ge xian), versine22 (zheng shi), coseno(yu xian), cotangente (yu qie xian), cosecante (yu ge xian) y coversine23 (yu shi)24.

22(1− cos x)23(1− senx)24Los caracteres chinos significan ‘cortando’ en varios sentidos.

56

Page 58: Las Matemáticas Chinas

Aquı AD es el seno, CH es la tangente, BH la secante, AC el versine, DE el coseno, GFla cotangente, BG la cosecante y EF el coversine.

Ademas habıan varias formulas de trigonometrıa plana. En ese tiempo en Europa tampocohabıa notacion para funciones trigonometricas, por lo tanto, las formulas eran escritas enpalabras. Usando notacion moderna esas formulas eran equivalentes a:

sen α · cosec α = 1cos α · sec α = 1tan α · cot α = 1

tan α =sen α

cos α

cot α =cos α

sen α

sen2 α + cos2 α = 1

c2 = a2 + b2 − 2ab cos Cb2 = c2 + a2 − 2ac cos Ba2 = b2 + c2 − 2bc cos A

a

sen A=

b

sen B=

c

sen Ctan

A−B

2=

a− b

a + btan

A + B

2

{sen(α± β) = sen α cos β ± cos α sen βcos(α± β) = cos α cos β ± sen α sen β

sen 2α = 2 sen α cos α

senα

2=

√(1− cos α

2

)

sen α = sen(60o + α) + sen(60o − α) sec α = tan α + tan

(90o − α

2

)Por otro lado, llegaron a China una multitud de formulas de trigonometrıa esferica. Lostrabajos de Smogulecki y Xue Fengzuo trajeron metodos para calcular los lados y angulosde triangulos usando logaritmos, ası ellos introdujeron funciones trigonometricas logarıt-micas.

57

Page 59: Las Matemáticas Chinas

Logaritmos:

Los logaritmos fueron inventados por el matematico escoces John Napier (1550 - 1617).En ese tiempo no eran llamados ‘logaritmos’ sino ‘numeros correspondientes’ (Bi lı shu)o ‘numeros poderosos’ (jia shu).

Los logaritmos fueron originalmente traıdos para calculos astronomicos. Los calculos es-critos en varios libros por Smogulecki y Xue Fengzuo estaban hechos usando logaritmos.Ellos introdujeron metodos generales para varios tipos de calculos trigonometricos loga-rıtmicos.

Por ejemplo, la regla del seno:

a

sen A=

b

sen B=

c

sen C

fue cambiada a:

log b = log a + log sen B − log sen A

Por otra parte fueron introducidos varios aparatos de calculo como son:

‘Divisores Proporcionales’ tambien conocidos como ‘Divisores Galileanos’.

La mayorıa de ellos estan hechos de bronce o marfil, y algunos de ellos estaban hechos enChina. Tienen forma de compas. Hay dos tipos, con ocho puntos o patas poco afiladas.En sus dos patas son inscritas varias graduaciones. Los ‘Divisores Proporcionales’ fueronconstruidos usando el principio de comparacion de los lados correspondientes de triangulossimilares y ellos pueden ser usados para varios tipos de calculos como: multiplicaciones,divisiones, encontrando el termino medio de una proporcion, extrayendo raıces cuadradas,raıces cubicas, etc.

Para extraer raıces cuadradas o cubicas requiere usar otro tipo de graduaciones, por ellohabıan cuatro o cinco filas diferentes de tipos de graduacion a lo largo de las dos patas.

58

Page 60: Las Matemáticas Chinas

Un ejemplo de ello es el siguiente:

Para multiplicar 7 por 13 hacemos lo que sigue:

Localizamos la graduacion 10 en una pata. Abre los divisores ası como cons-truyas la distancia entre la graduacion 10 en las dos patas sea 13. Luego localizala graduacion 70 en las patas y mide la longitud de la base y de esta maneraconsigues la respuesta, 7× 13 = 91.

Otro tipo de calculo ingenioso traıdo a China durante el fin de la dinastıa Mıng y el comienzode la dinastıa Qıng fue el ‘varillas de contar occidental’ (Xi yang chou suan). Este tipo decalculos ingeniosos era tambien conocido como ‘huesos de Napier’.

‘Huesos de Napier’.

Son equivalentes a un tipo de tablas de multiplicacion separables. Usando esto, multipli-caciones y divisiones pueden ser cambiadas a sumas y restas.

Para multiplicar 85714 por 1260 se hace lo siguiente:

59

Page 61: Las Matemáticas Chinas

Tomas los huesos 8, 5, 7, 1, 4 y alinealos. Luego tomas las filas 1, 2 y 6.Esto es similar al metodo ‘calculando sobre el suelo’ (lo que es diferente es quenosotros no tenemos que dibujar ningun cuadrado).

Lo siguiente es sumar los resultados obtenidos.

Otros aparatos a destacar son las ‘reglas occidentales’ y la ‘maquina de calculo’ o ‘maquinade Pascal’. De las reglas occidentales habıan varios tipos: la ‘regla del logaritmo’, la ‘regla delseno’ y la ‘regla de la tangente’. De acuerdo a la informacion que se tiene, las ‘maquinas decalculo’ llegadas fueron del tipo que invento Pascal en 1642 y son el distante antepasado delreciente, no electronico, calculador de mano.

Despues de las matematicas occidentales que habıan llegado a China en el fin de la dinastıaMıng, varios trabajos matematicos escritos por Mei Wending aparecieron sobre el comienzo de ladinastıa Qıng. Estos trabajos indican que despues del estado inicial de la primera introduccionde las matematicas occidentales, los matematicos de China en ese tiempo eran capaces deencajar los varios tipos de metodos de introduccion y digerir los conocimientos matematicospasados en China. De estos conocimientos ellos emprendieron mas investigaciones.

Este matematico tambien fue recomendado por un amigo para participar en el trabajo deescribir el libro del calendario en la historia de la dinastıa Mıng. El dedico su vida a estudiarmatematicas y computacion calendarica, escribio mas de ochenta trabajos. Despues de la muertede Mei Wending, Mei Juecheng compilo sus comentarios escritos en la Coleccion trabajos dela familia Mei. En ello, estan coleccionados los trabajos de Mei Wending sobre matematicas,astronomıa y la computacion del calendario. Las partes concernientes a matematicas son:

1. Calculos con bolıgrafo.

2. Huesos de Napier.

3. Proporcionales divisores.

4. Introduciendo los metodos para extraer raıces de grandes grados desde antigua China25.

25La mayor es una raız de grado 12.

60

Page 62: Las Matemáticas Chinas

5. Teorıa de series rectangular.

Metodo de solucion de sistemas de ecuaciones lineales desde antigua China.

6. Triangulos de angulo recto.

7. Explicaciones en geometrıa.

8. Elementos de trigonometrıa plana.

9. Cuadrados y cırculos. Cubos y esferas.

Problemas sobre inscribir y circunscribir cırculos y cuadrados e inscribir y circunscribiresferas y cubos.

10. Suplemento de geometrıa.

Problemas de tetraedro regular, octaedro y solidos regulares.

11. Elementos de trigonometrıa esferica.

12. Geodesia.

Basicamente sobre pruebas de teoremas geometricos concernientes a cosenos de angulosen triangulos esfericos.

13. Observando solidos.

Teoremas geometricos concernientes a la relacion entre triangulos de angulos rectos sobreesferas y angulos esfericos. Qiandu es uno de los solidos especiales.

Todos sus trabajos eran presentados en su propio lenguaje.

Mei Wending no solamente sistematizo tratados, edito y describio las matematicas llegadas.El desarrollo todos estos temas. Un ejemplo de ello es el calculo de los volumenes de solidosregulares con doce superficies.

El es el primer ejemplo de matematico Chino que asimila las matematicas occidentales, porlo tanto, es una figura clave, pues recibe de sus precursores y abre el camino a sus sucesores.

Por otro lado debemos destacar al emperador Kang Xı. Fue el segundo emperador de ladinastıa Qıng, el cual mostro intenso interes en las ciencias matematicas26 y dedico a ello unaconsiderable cantidad de tiempo. Ademas pidio a expertos en la materia que le dieran clase. Lacompilacion de la Coleccion basica principios de matematicas era otro evento supervisado porel.

Este libro fue impreso en el primer ano del reinado Yong Zhing (1723), pero por ese tiempoel emperador Kang Xı estaba muerto.

La Coleccion basica principios de matematicas tomo los conocimientos de las matematicasoccidentales que habıan sido nuevamente introducidas en China y trato eso en un orden ysecuencia logica. Los libros cubrıan todos los conocimientos matematicos en ese momento y portanto podıan ser considerados como una enciclopedia, representando el nivel de matematicas.

26Astronomıa, computacion calendarica y matematicas.

61

Page 63: Las Matemáticas Chinas

Este libro permanecio como un texto obligatorio para aprender matematicas por un largoperıodo. Ademas era un importante libro de referencias para buscar informacion matematica.

La Coleccion basica principios de matematicas esta dividida en dos volumenes:

Los contenidos del primer volumen, dividido en cinco capıtulos, son establecer los objetivosy comprender el sistema. Los cuarenta capıtulos del segundo volumen estan divididos en partesespecıficas y para aplicaciones; ademas hay cuatro tipos de tablas contenidas en ocho capıtulos.

El primer capıtulo del primer volumen es la ‘Fuente de las matematicas’, el segundo, ter-cero y cuarto capıtulo son los ‘Elementos de geometrıa’. El capıtulo cinco es la ‘Fuente decomputacion en metodos’ y trata multiplicaciones de numeros naturales, multiplos comunes,divisores comunes, proporciones y series aritmetica y geometrica.

El segundo volumen esta dividido en cinco largas secciones: ‘Introduccion’, ‘Lıneas’, ‘Super-ficies’, ‘Solidos’ y ‘Conclusion’.

La ‘Introduccion’ son dos capıtulos, describe los sistemas de medida de longitudes y pesos.Contiene los sistemas para fijar el lugar decimal y las cuatro operaciones aritmeticas paraenteros y fracciones.

Las ‘Lıneas’ son ocho capıtulos y contienen problemas en varios tipos de proporcionalidad,el “metodo de calcular por exceso y defecto” y la “tecnica de series de rectangulos27”.

‘Superficies’ son diez capıtulos con problemas sobre triangulos, areas de varias figuras rec-tangulares, areas de cırculos y sus segmentos, elipses, problemas de extraccion de raıces, etc.

‘Solidos’ son ocho capıtulos, con calculos de varios volumenes como: esferas, segmentos deesferas, elipsoides, etc. Calculo de longitudes de los lados de varios tipos de solidos regularesy sus relaciones con sus diametros de circunscribir e inscribir esferas y problemas de extraerraıces cubicas.

La ‘Conclusion’ son diez capıtulos con el “metodo de completar el cuadrado” para resolverecuaciones cuadraticas. Esto es el algebra occidental que habıa sido introducido en China.Ademas tambien trata logaritmos y Divisores proporcionales galileanos.

27Metodo de resolucion de sistemas de ecuaciones lineales de la antigua China.

62

Page 64: Las Matemáticas Chinas

8. Matematicas durante el periodo feudal de “Puerta

cerrada”. Dinastıa Qıng (1796 - 1911)

8.1. Estudio y comentario de las obras antiguas

En este periodo se realizaron numerosas ediciones de libros antiguos que estaban perdidos. Seprodujo una busqueda de los manuales clasicos para su comentario y reedicion o para incluirlosen obras de mayor tamano como enciclopedias o colecciones. Este esfuerzo desperto un espıritu,entre la comunidad matematica china, de estudio de las obras clasicas antiguas. Este espıritupuede denotar una falta de originalidad o estancamiento, y de hecho en este periodo se produceun estancamiento, aunque mas adelante veremos que tambien se realizan algunos desarrollospropios.

Entre las colecciones de libros se realizaron durante este periodo podemos destacar estascuatro28:

Coleccion de libros antiguos y modernos (Enciclopedia de mas de diez mil capıtulos).

Librerıa completa de las cuatro ramas de la literatura (Enciclopedia con mas de treinta yseis mil volumenes).

Diez libros de matematicas clasicas.

Edicion de los trabajos de Qın Juishao y Li Zhı (matematicos del periodo Song y Yuan).

Una obra muy importante que se recupero fue el libro Diez manuales matematicos. Este,en particular, fue estudiado y comentado por Li Huang y Gu Guanguang lo que permitio sucomprension por los matematicos de la epoca.

Otras obras que ocuparon el interes de los matematicos fueron los escritos del periodo Songy Yuan como:

Tratado matematico en nueve secciones.

Los libros escritos por Yang Huı recogidos en la Gran enciclopedia del periodo del reinode Yang Le.

Espejo marino de la medicion del cırculo y Nuevos pasos en computacion recogidos en laBiblioteca Completade Li Zhı.

Este estudio de los escritos de este periodo se completo gracias al descubrimiento de unacopia coreana de Introduccion a los estudios matematicos, con la que fue posible recuperar losconocimientos de la epoca.

Otra tarea a la que se dedicaron editores y matematicos durante este periodo fue a lacreacion de biografıas de matematicos y astronomos, tanto chinos como extranjeros (la obrarecoge casi doscientas cincuenta). Esta coleccion de biografıas ha sido posteriormente ampliadaen varias ocasiones.

28En la pagina 64 se encuentra un cuadro resumen con las diversas obras y su estado en las diversas epocas.

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Page 65: Las Matemáticas Chinas

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Page 67: Las Matemáticas Chinas

8.2. Investigaciones y desarrollos propios

Aunque durante este periodo las matematicas chinas sufrieron un estancamiento y nogozaron del esplendor de antano, se realizaron avances muy importante en diversos camposcomo: el estudio de la trigonometrıa, teorıa de ecuaciones, suma de series, teorıa de numeros yla “Tecnica de los conos circulares”.

Muchos de estos descubrimientos ya se habıan realizado en occidente varios siglos antes.Esto no le resta merito, pues una particularidad de la cultura china ha sido su aislamiento delresto del mundo, por lo que podemos asegurar que estos matematicos descubrieron de formaindependiente sus resultado. En estos estudios habıan varios pasos al lımite y calculos complejos,por lo que podemos asegurar que estos avances apuntaban hacia el desarrollo independientedel calculo diferencial e integral de no ser por su introduccion por parte de los matematicosoccidentales en el siguiente periodo.

Veamos con mas detalle cada una de los campos en los que trabajaron.

8.2.1. Estudio de la trigonometrıa

El misionero jesuita Pierre Jartoux introdujo en China tres de las formulas de Gregory. Asaber:

π = 3 +3 · 12

4 · 3!+

3 · 12 · 32

42 · 5!+

3 · 12 · 32 · 52

43 · 7!+ . . . =

∞∑n=0

3

n∏m=0

(2m + 1)2

4n(2n + 1)!

r sen α = a− a3

3!r+

a5

5!r4− a7

7!r7+ . . . =

∞∑n=0

(−1)n a2n+1

(2n + 1)!r2n

r(1− cos α) =a2

2!r− a4

4!r3+

a6

6!r6± . . . =

∞∑n=1

(−1)n−1 a2n

(2n)!r2n−1

donde α =a

r

No se conoce si se les fue dada una prueba, pero los matematicos chinos usaron argumentosde tipo geometrico para demostrarlas como la tecnica “Encontrar la cuerda conocido el arco”que describimos a continuacion:

Intentamos aproximar el arco ADB mediante una lınea poligonal de m lados iguales Cm

Definimos la funcion f(m) = m · Cm longitud de la poligonal.

Logicamente cuando m se hace muy grande (m →∞) entonces la longitud de la poligonalse asemeja mucho a la longitud del arco (m · Cm → C).

Mediante diversos argumentos geometricos los matematicos de la epoca consiguieron demostrarla formula para hallar la longitud de la cuerda cuando m es par (en este caso resulta un suma-torio de infinitos terminos) y cuando m es impar (en este caso resulta un sumatorio finito). Enla demostracion de ambos caso se utilizan diversos pasos al lımite y uso del calculo de seriesy sumas finitas que se habıan desarrollado en los periodos anteriores. A nota de curiosidad, laformula general final que se dio fue la que se obtiene para m = 10000.

66

Page 68: Las Matemáticas Chinas

8.2.2. Investigaciones en Teorıa de ecuaciones

El redescubrimiento de los textos Song y Yuan y la reintroduccion del metodo de “Completarlos cuadrados” por parte de occidente abrio un nuevo camino en el estudio de la teorıa deecuaciones.

Antes de comenzar con los descubrimientos que se produjeron durante esta epoca comente-mos ciertas particularidades de la matematica china. Los matematicos chinos consideran queuna ecuacion esta resuelta cuando existe al menos una raız positiva. En notacion matematica29:

Sea P (x) = 0 entonces

P (x) resuelta ⇐⇒ ∃ x0 > 0 / P (x0) = 0 en otro caso P (x) no estarıa resuelta

Durante este periodo se introduce una definicion alternativa, ecuaciones completamentedeterminadas. Esto es, una ecuacion esta completamente determinada cuando existe una unicasolucion positiva. En notacion matematica:

P (x) esta completamente determinada ⇐⇒ ∃| x0 > 0 / P (x0) = 0

Si @ x0 > 0 / P (x0) = 0 entonces P (x) no se puede resolver

Si ∃ x0 . . . xn / P (x0) = . . . = P (xn) = 0 entonces P (x) no esta completamente determinada

En este periodo se descubre la relacion entre los coeficientes de la ecuacion y la resolubilidadde la ecuacion. Wang Lai realiza una coleccion con noventa y seis tipos distintos de ecuacionescuadraticas y cubicas del estilo:

a, b, c, d ∈ R

bx + c = ax2 completamente determinada

bx− c = ax2 no completamente determinada

cx + d = ax3 completamente determinada

cx− d = ax3 no completamente determinada...

...

Lo sorprendente es que en los escritos Wang Lai no se ven indicios que demuestren queconocıa el caso general. Sin embargo no tardaron en aparecer otros autores que comienzan aencontrar reglas pseudoregulares como Li Ruı, que resume las noventa y seis tipos de reglas entres proposiciones:

Sea P (x) =n∑

i=0

aixn−i = 0 entonces

29A partir de ahora se usara notacion matematica moderna pues resulta mucho mas comoda para representarlos conceptos matematicos descritos.

67

Page 69: Las Matemáticas Chinas

1. Si a0 ·an < 0 ∧ ∃| i ∈ {1 . . . n} / ai ·ai+1 < 0 entonces P (x) completamente determinado.

2. Si a0 · an < 0 ∧ ∃ i, j ∈ {1 . . . n} / ai · ai+1 < 0 ∧ aj · aj+1 < 0 ∧ P (α) = 0 , α > 0entonces:

P (x) = (x−α)

(n−1∑k=0

a′kxn−(k+1)

)— Si a0 . . . a′i > 0 ∀i entonces P (x) completamentedeterminado.— En caso contrario P (x) no completamentedeterminado.

3. Si a0 · an < 0 entonces P (x) no completamente determinado o no se puede resolver.

Observamos como la segunda proposicion es muy compleja y bastante impracticable (apartede darse en muy pocos casos).

Cuando Wan Lai vio el trabajo de Li Ruı quedo impresionado por la idea e introduce unaidea similar al actual discriminante. Los resultados a los que llego pueden resumirse en:

x2 − px + q = 0

{Si q ≤ (p

2)2 ⇒ ∃ x > 0 / P (x) = 0

Si q > p2

⇒ @ x > 0 / P (x) = 0

}≡ p2 − 4q ≥ 0 (discriminante)

x3 − px + q = 0 Si q ≤ 2p3

√p2⇒ ∃ x > 0 / P (x) = 0 ≡ 4p3 − 27q2 ≥ 0 (discriminante)

Los estudios de Wan Lai continuaron intentando encontrar una solucion al caso generalxn − pxm + q = 0. No se sabe cuando llegaron a manos de Li Ruı estos estudios, pero a partirde ellos llego a la siguiente conclusion:

Si los coeficientes de una ecuacion P (x) cambian de signo:

a) Una vez, entonces puede haber una solucion positiva.

b) Dos veces, entonces puede haber dos soluciones positivas.

c) Tres veces, entonces puede haber una o tres soluciones positivas.

d) Cuatro veces, entonces puede haber dos o cuatro soluciones positivas.

e) . . .

Como se puede observar es una version “china”de la “Regla de los signos” de Descartes. Estasinvestigaciones llegaron incluso mas lejos llegando a sospechar la existencia de “no numeros”y su presencia siempre emparejadas en las soluciones de las ecuaciones. En cierto sentido sepuede afirmar que descubrieron las raıces complejas de las ecuaciones.

68

Page 70: Las Matemáticas Chinas

8.2.3. Suma de series finitas30

Varios matematicos chinos se interesaron por el problema de las series finitas. Ademas deestudiar y comentar los resultados logrados por los matematicos del periodo Song y Yuantambien destacaron los desarrollos propios hechos por Chen Shıren y Li Shanlan.

Chen Shıren dio la formula general de las siguientes sumas (ya conocidas en el periodo Songy Yuan).

n∑r=1

r (pila de juncos)n∑

r=m

r (pila de juncos, suma parcial)

n∑r=1

r(r + 1)

2(pila triangular)

n∑r=m

r(r + 1)

2(pila triangular, suma parcial)

n∑r=1

r2 (pilas cuadradas)n∑

r=m

r2 (pilas cuadradas, suma parcial)

n∑r=1

r3 (pilas cubicas)n∑

r=1

2r−1 (pilas dobles)

A las cuales anade las sumas de los terminos pares o impares de algunas de ellas, las cualesdan resultados interesantes como los siguientes:

n∑r=1

(2r − 1) = n2 (pila de juncos, omitiendo los pares)

n∑r=1

(2r − 1)r =n

3

(n2 +

3

2n +

1

2

)(pila triangular, omitiendo los pares)

n∑r=1

(2r − 1)2 =n

3(4n2 − 1) (pilas cuadradas, omitiendo los pares)

n∑r=1

(2r − 1)3 = n2(2n2 − 1) (pilas cubicas, omitiendo los pares)

Li Shalan en su libro Suma de pilas de varios tipos hace un estudio en cuatro tipos de seriesfinitas usando el clasico sistema de “reduccion al caso anterior” para afrontar el calculo de seriescomplejas. Un resumen de su trabajo en este campo podrıa ser seguir la estructura propia dellibro, esto es:

30La traduccion palabra por palabra serıa “suma de pilas finitas”.

69

Page 71: Las Matemáticas Chinas

Capıtulo 1o “Pilas Triangulares”.

a) Pila Triangular.∑ 1

p!r(r + 1)(r + 2) · · · (r + p− 2)(r + p− 1) =

=1

(p + 1)!n(n + 1)(n + 2) · · · (n + p− 1)(n + p)

b) Pila Triangular multiplicada por una pila complementaria.∑ 1

p!r(r + 1)(r + 2) · · · (r + p− 2)(2r + p− 2) =

=1

(p + 1)!n(n + 1) · · · (n + p− 1)(2n + p− 1)

c) Pila Triangular doblemente multiplicada por una pila complementaria.∑ 1

p!r(r + 1)(r + 2) · · · (r + p− 2)(3r + p− 3) =

=1

(p + 1)!n(n + 1) · · · (n + p− 1)(3n + p− 2)

d) Pila Triangular triplemente multiplicada por una pila complementaria.∑ 1

p!r(r + 1)(r + 2) · · · (r + p− 2)(4r + p− 4) =

=1

(p + 1)!n(n + 1) · · · (n + p− 1)(4n + p− 3)

...

e) Pila Triangular m veces multiplicada por una pila complementaria. pile31∑ 1

p!r(r + 1)(r + 2) · · · (r + p− 2)(mr + p−m) =

=1

(p + 1)!n(n + 1) · · · (n + p− 1)(mr + p−m + 1)

Capıtulo 2o “Pilas Cuadradas”.

Realizaremos primero unas definiciones previas a fin de compactar lo mas posiblela notacion.

Definimos:

f rp =

1

p!r(r + 1) · · · (r + p− 1)

31Caso general.

70

Page 72: Las Matemáticas Chinas

Aip como la i-esima componente de la fila p-esima del siguiente “triangulo32”:

11 1

1 4 11 11 11 1

1 26 66 26 1· · ·

(∑rs)p

=∑∑

. . .∑

︸ ︷︷ ︸p veces

rs

a) Pilas cuadradas con una pila complementaria.

∑rp =

∑[Ai

p

n−i+1∑f r

p

]

b) Cuadrado de una pila cuadrada con una pila complementaria.(∑r2)p

similar al caso anterior.

c) Cubo de una pila cuadrada con una pila complementaria.

(∑r3)p

=n∑

f rp+2 + 4

n−1∑f r

p+2 +n−2∑

f rp+2

...

Capıtulo 3o “Pila triangular elevada al cuadrado”.

a) Pila triangular elevada al cuadrado33.

∑(f r

p )2 =

p+1∑i=1

[(Ai

p)2

n−i+1∑r=1

(f r2p)

2

]

Donde Aip denota la i-esima componente de la fila p-esima del “triangulo de

pascal”.

32Este triangulo se obtiene con la siguiente formula recursiva:• A1

p = 1 , App = 1

• Aip = (p− i + 1)Ai−1

p−1 + iA1p−1

33Esta es la conocida “Identidad de Li Shanlan”.

71

Page 73: Las Matemáticas Chinas

b) Pila triangular elevada al cubo....

Capıtulo 4o “Pila triangular modificada”.

a) Pila triangular modificada.

∑rf r

p =n∑

r=1

f rp+1 + p

n−1∑r=1

f rp+1

b) Segunda pila triangular modificada.

∑r2f r

p =n∑

r=1

f rp+2 + (1 + 3p)

n−1∑r=1

f rp+2 + p2

n−2∑r=1

f rp+2

c) Tercera pila triangular modificada.

∑r3f r

p =n∑

r=1

f rp+3 + (4 + 7p)

n−1∑r=1

f rp+3+

+ [(2p + 1)2 + 2p2]n−2∑r=1

f rp+3 + p3

n−3∑r=1

f rp+3

Observamos como comienza dando la formula general de la “pila triangular”, ya conocidacon anterioridad, y a medida que se progresa en la lectura del libro aumenta considerablementela complejidad del termino a sumar a la vez que el autor recurre a sistemas mas complejos parareducir las sumas a resolver otras ya conocidos.

8.2.4. Investigaciones en otras areas

Dentro de este apartado intentaremos destacar y resumir diversos logros que alcanzaron losmatematicos chinos en otras ramas.

Teorıa de numeros.

• Desarrollo de la “Tecnica de encontrar uno por gran extension” por Zhang Duren.

• Definicion china de los numeros primos34 y la descomposicion en numeros primospor Huang Zongxian.

• La demostracion del “Pequeno teorema de Fermat” y otros resultados basicos porLi Shanlan.

Estudios de la elipse y el calculo de su perımetro.

34Root numbers

72

Page 74: Las Matemáticas Chinas

Teorema binomial por Dı Xu.

(1 + α)m = 1 + m(1)α +m(2)

2!α2 + . . . =

∞∑i=0

m(i)

i!αi

Desarrollo de la “Tecnica de los conos circulares” por Li Shanlan y con ella obtener lossiguientes resultados:

• ∫ h

0

axndx =ahn+1

n + 1

•n∑

i=1

∫ h

0

aixidx =

∫ h

0

n∑i=1

aixidx

• Calculo del area del cırculo.

• Calculo del logaritmo natural.

loge n =

(n− 1

n

)+

1

2

(n− 1

n

)2

+1

3

(n− 1

n

)3

+ . . . =∞∑i=1

1

i

(n− 1

n

)i

• Desarrollo de la tangente.

tan a = a +a3

3+

2a5

3 · 5+ . . .

73

Page 75: Las Matemáticas Chinas

9. Segunda entrada de la matematica occidental. Siglo

XX

9.1. Cambio de mentalidad

Durante este periodo, la gran presion exterior que sufre China por parte de occidente laobliga a una apertura a “reganadientes” y posteriormente a un cambio de mentalidad. Se pro-duce una apertura hacia occidente, con el objetivo de aprender su ciencia para poder competircon ellos y modernizar la sociedad china.

Para ello comienza la traduccion de libros de ciencia, entre ellos de matematicas. Se traducenlibros de geometrıa analıtica, calculo diferencial e integral, teorıa de probabilidad, etc. Apartede las traducciones tambien se produce un cambio en la mentalidad popular china, se abole eluso del abaco35 y se introduce la notacion occidental moderna de calculo, tanto la simbologıacomo los algoritmos.

9.2. Traduccion de textos

Dos son los matematicos que se dedicaron mayoritariamente a la traduccion de libros: LiShanlan y Hua Hengfang. Hagamos un breve comentario de los libros mas importantes quetradujeron:

Li Shanlan

• Los elementos (ultimos nueve libros). Se trata de la unica traduccion china completadel texto.

• Los elementos de Algebra de A. de Morgan (1835) Fue el primer texto de algebraque llego a China. Esta rama de la matematica fue denominada “conocimiento desustituir numeros36” que es el termino usado actualmente no solo en China, sino(convenientemente adaptado) en Japon y otras zonas proximas.

• Dieciocho capıtulos de Los elementos de geometrıa analıtica y diferencial y el Calculointegral por E. Loomis (1850), que fue el primer texto de geometrıa analıtica y calculoen traducirse. Notar que el prologo esta escrito con la notacion de Leibniz aunqueen el cuerpo del libro se usa una notacion propia que es la que actualmente usadaen China. Fue de los pocos libros de Li Shanlan que se uso como libro de texto.

• Compendio de astronomıa de Herschel (1849) y algunos capıtulos de los Principiade Newton.

• Teorıa de las secciones conicas.

Los libros de este autor fueron criticados por ser excesivamente formales y poco practicos.Practicamente se podıa decir que estaban orientados para la especializacion matematica.

35De manera institucional, popularmente se continua usando ampliamente aun en nuestros dıas.36Knowledge of substituting numbers.

74

Page 76: Las Matemáticas Chinas

Hua Hengfang

• Algebra

• Flujos

• Tratado de Trigonometrıa Plana y Esferica

• Complemento al Algebra de Wood

• Probabilidad y combinatoria

Sin embargo Hua Hengfang tradujo libros de una manera mas simple y fueron mas usadospara la ensenanza que los de Li Shanlan.

9.3. Nuevo metodo de ensenanza y los nuevos textos matematicos

Para llevar a cabo el objetivo de estudiar la ciencia occidental los chinos crean diversoscentros de estudio. En un principio dichos centros tenıan como mision el estudio de las lenguasextranjeras, pero pronto aparecen departamentos de matematicas y otras ciencias. El primercentro fue el “Foreing Lenguages Institute” al que posteriormente se le unirıan varios mas.

El periodo academico en el instituto era de ocho anos. A partir del cuarto comenzaba laensenanza matematica. En 1898 se produce una reforma educativa que divide la ensenanza enetapas. El sistema fue ligeramente modificado durante la revolucion.

La cantidad de libros de texto publicada durante esta epoca es considerable. Las causas deestos es el “vacıo” que existıa pues no habıan textos susceptibles de ser usados como mate-rial didactico. Los primeros libros obtuvieron fuertes ventas y fueron muchas veces reimpresosaunque no por su calidad sino por el “vacıo” anteriormente citado. Una caracterıstica importantede estos libros de texto es el uso de la notacion occidental tanto numerica como simbolica (conalgunas excepciones) que fue convenientemente adaptada a la escritura china (de derecha aizquierda, de arriba a abajo).

75

Page 77: Las Matemáticas Chinas

A.

Lis

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76

Page 78: Las Matemáticas Chinas

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77

Page 79: Las Matemáticas Chinas

B. Bibliografıa

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Gheverghese J.G (1996)La cresta del pavo real. Madrid, Piramide.

Boyer C.B. (1996)Historia de la matematica. Madrid, Alianza Editorial.

Fairbank J.K. (1996)China: una nueva historia. Barcelona, Andres Bello.

C. Recurso en red

The MacTutor History of Mathematics archive. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/

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