44 The Laplace Transform

EXERCISES 4.1DeÒnition of the Laplace Transform

ïò ¥ºø¬÷£ ãï

ð

–»–­¬¼¬õï

»–­¬¼¬ ãï

­»–­¬

ï

ð

–ï

­»–­¬

ï

ãï

­»–­ – ï

­– ð– ï

­»–­ ã

î

­»–­ – ï

­ô ­ â ð

îò ¥ºø¬÷£ ãî

ð

ì»–­¬¼¬ ã –ì

­»–­¬

î

ð

ã –ì

­ø»–î­ – ï÷ô ­ â ð

íò ¥ºø¬÷£ ãï

ð

¬»–­¬¼¬õï

»–­¬¼¬ ã –ï

­¬»–­¬ – ï

­î»–­¬

ï

ð

–ï

­»–­¬

ï

ã –ï

­»–­ – ï

­î»–­ – ð– ï

­î– ï

­øð– »–­÷ ã

ï

­îøï– »–­÷ô ­ â ð

ìò ¥ºø¬÷£ ãï

ð

øî¬õ ï÷»–­¬¼¬ ã –î

­¬»–­¬ – î

­î»–­¬ – ï

­»–­¬

ï

ð

ã –î

­»–­ – î

­î»–­ – ï

­»–­ – ð– î

­î– ï

­ã

ï

­øï– í»–­÷ õ

î

­îøï– »–­÷ô ­ â ð

ëò ¥ºø¬÷£ ãð

ø­·² ¬÷»–­¬¼¬ ã – ­

­î õ ï»–­¬ ­·² ¬– ï

­î õ ï»–­¬ ½±­ ¬

ð

ã ð õï

­î õ ï»– – ð– ï

­î õ ïã

ï

­î õ ïø»– õ ï÷ô ­ â ð

êò ¥ºø¬÷£ ãî

ø½±­ ¬÷»–­¬¼¬ ã – ­

­î õ ï»–­¬ ½±­ ¬õ

ï

­î õ ï»–­¬ ­·² ¬

î

ã ð– ð õï

­î õ ï»– î ã – ï

­î õ ï»– îô ­ â ð

éò ºø¬÷ ãðô ð ä ¬ ä ï

¬ô ¬ â ï

¥ºø¬÷£ ãï

¬»–­¬ ¼¬ ã –ï

­¬»–­¬ – ï

­î»–­¬

ï

ãï

­»–­ õ

ï

­î»–­ô ­ â ð

èò ºø¬÷ ãðô ð ä ¬ ä ï

 îô ¬ â ï

¥ºø¬÷£ ã îï

ø¬– ï÷»–­¬ ¼¬ ã î –ï

­ø¬– ï÷»–­¬ – ï

­î»–­¬

ï

ãî

­î»–­ô ­ â ð

198

4.1 Ü»•²·¬·±² ±º ¬¸» Ô¿°´¿½» Ì®¿²­º±®³

çò ̸» º«²½¬·±² ·­ ºø¬÷ ãï– ¬ô ð ä ¬ ä ï

ðô ¬ â ï­±

¥ºø¬÷£ ãï

ð

øï– ¬÷»–­¬ ¼¬õï

ð»–­¬ ¼¬ ãï

ð

øï– ¬÷»–­¬ ¼¬ ã –ï

­øï– ¬÷»–­¬ õ

ï

­î»–­¬

ï

ð

ãï

­î»–­ õ

ï

­– ï

­îô ­ â ð

ïðò ºø¬÷ ã

ðô ð ä ¬ ä ¿

½ô ¿ ä ¬ ä ¾

ðô ¬ â ¾

å ¥ºø¬÷£ ã¾

¿

½»–­¬ ¼¬ ã – ½

­»–­¬

¾

¿

ã½

­ø»–­¿ – »–­¾÷ô ­ â ð

ïïò ¥ºø¬÷£ ãð

»¬õé»–­¬¼¬ ã »é

ð

»øï–­÷¬¼¬ ã»é

ï– ­»øï–­÷¬

ð

ã ð– »é

ï– ­ã

Ȏ

­– ïô ­ â ï

ïîò ¥ºø¬÷£ ãð

»–뻖­¬¼¬ ã »–ë

ð

»–ø­õî÷¬¼¬ ã – »–ë

­õ î»–ø­õî÷¬

ð

ã»–ë

­õ îô ­ â –î

ïíò ¥ºø¬÷£ ãð

¬»ì¬»–­¬¼¬ ãð

¬»øì–­÷¬¼¬ ãï

ì– ­¬»øì–­÷¬ – ï

øì– ­÷î»øì–­÷¬

ð

ãï

øì– ­÷îô ­ â ì

ïìò ¥ºø¬÷£ ãð

¬î»––­¬ ¼¬ ãð

¬î»–ø­õî÷¬¼¬

ã – ï

­õ î¬î»–ø­õî÷¬ – î

ø­õ î÷–ø­õî÷¬ – î

ø­õ î÷í»–ø­õî÷¬

ð

ãî

ø­õ î÷íô ­ â –î

ïëò ¥ºø¬÷£ ãð

»–¬ø­·² ¬÷»–­¬¼¬ ãð

ø­·² ¬÷»–ø­õï÷¬¼¬

ã–ø­õ ï÷

ø­õ ï÷î õ ï»–ø­õï÷¬ ­·² ¬– ï

ø­õ ï÷î õ ï»–ø­õï÷¬ ½±­ ¬

ð

ãï

ø­õ ï÷î õ ïã

ï

­î õ î­õ îô ­ â –ï

ïêò ¥ºø¬÷£ ãð

»¬ø½±­ ¬÷»–­¬¼¬ ãð

ø½±­ ¬÷»øï–­÷¬¼¬

ãï– ­

øï– ­÷î õ ï»øï–­÷¬ ½±­ ¬õ

ï

øï– ­÷î õ ï»øï–­÷¬ ­·² ¬

ð

ã – ï– ­

øï– ­÷î õ ïã

­– ï

­î – î­õ îô ­ â ï

ïéò ¥ºø¬÷£ ãð

¬ø½±­ ¬÷»–­¬¼¬

ã – ­¬

­î õ ï– ­î – ï

ø­î õ ï÷îø½±­ ¬÷»–­¬ õ

¬

­î õ ïõ

î­

ø­î õ ï÷îø­·² ¬÷»–­¬

ð

ã­î – ï

ø­î õ ï÷îô ­ â ð

199

4.1 Ü»•²·¬·±² ±º ¬¸» Ô¿°´¿½» Ì®¿²­º±®³

ïèò ¥ºø¬÷£ ãð

¬ø­·² ¬÷»–­¬¼¬

ã – ¬

­î õ ï– î­

ø­î õ ï÷îø½±­ ¬÷»–­¬ – ­¬

­î õ ïõ

­î – ï

ø­î õ ï÷îø­·² ¬÷»–­¬

ð

ãî­

ø­î õ ï÷îô ­ â ð

ïçò ¥î¬ì£ ã îìÿ

­ëîðò ¥¬ë£ ã

ëÿ

­ê

îïò ¥ì¬– ïð£ ãì

­î– ïð

­îîò ¥é¬õ í£ ã

é

­îõ

í

­

îíò ¥¬î õ ꬖ í£ ãî

­íõ

ê

­î– í

­îìò ¥–ì¬î õ ïê¬õ ç£ ã –ì

î

­íõ

ïê

­îõ

ç

­

îëò ¥¬í õ í¬î õ í¬õ ï£ ãíÿ

­ìõ í

î

­íõ

í

­îõ

ï

­îêò ¥è¬í – ïî¬î õ ꬖ ï£ ã è

íÿ

­ì– ïî

î

­íõ

ê

­î– ï

­

îéò ¥ï õ »ì¬£ ãï

­õ

ï

­– ìîèò ¥¬î – »–ç¬ õ ë£ ã

î

­í– ï

­õ çõ

ë

­

îçò ¥ï õ î»î¬ õ »ì¬£ ãï

­õ

î

­– îõ

ï

­– ìíðò ¥»î¬ – î õ »– ã

ï

­– î– î

­õ

ï

­õ î

íïò ¥ì¬î – ë ­·² í¬£ ã ìî

­í– ë

í

­î õ çíîò ¥½±­ ë¬õ ­·²  ã

­

­î õ îëõ

î

­î õ ì

ííò ¥­·²¸ µ¬£ ãï

µ¬ – »–µ¬£ ã

ï

î

ï

­– µ– ï

­õ µã

µ

­î – µî

íìò ¥½±­¸ µ¬£ ãï

µ¬ õ »µ¬£ ã

­

­î – µî

íëò ¥»¬ ­·²¸ ¬£ ã »¬»¬ – »–¬

îã

ï

î»î¬ – ï

îã

ï

îø­– î÷– ï

î­

íêò ¥»–¬ ½±­¸ ¬£ ã »–¬ »¬ õ »–¬

îã

ï

îõ

ï

î»–î¬ ã

ï

î­õ

ï

îø­õ î÷

íéò ¥­·² î¬ ½±­  ãï

î­·² ì¬ ã

î

­î õ ïê

íèò ¥½±­î ¬£ ãï

îõ

ï

î½±­ î¬ ã

ï

î­õ

ï

î

­

­î õ ì

íçò Ú®±³ ¬¸» ¿¼¼·¬·±² º±®³«´¿ º±® ¬¸» ­·²» º«²½¬·±²ô ­·²øì¬õ ë÷ ã ­·² ì¬ ½±­ ë õ ½±­ ì¬ ­·² ë ­±

¥­·²øì¬õ ë÷£ ã ø½±­ ë÷ ¥­·² 쬣õ ø­·² ë÷ ¥½±­ 쬣 ã ø½±­ ë÷ì

­î õ ïêõ ø­·² ë÷

­

­î õ ïêã

ì ½±­ ë õ ø­·² ë÷­

­î õ ïêò

ìðò Ú®±³ ¬¸» ¿¼¼·¬·±² º±®³«´¿ º±® ¬¸» ½±­·²» º«²½¬·±²ô

½±­ ¬–ê

ã ½±­ ¬ ½±­êõ ­·² ¬ ­·²

êã

í

î½±­ ¬õ

ï

î­·² ¬

­±

½±­ ¬–ê

ãí

±­ ¬£õ ï

·² ¬£

ãí

î

­

­î õ ïõ

ï

î

ï

­î õ ïã

ï

î

í ­õ ï

­î õ ïò

200

4.1 Ü»•²·¬·±² ±º ¬¸» Ô¿°´¿½» Ì®¿²­º±®³

ìïò ø¿÷ Ë­·²¹ ·²¬»¹®¿¬·±² ¾§ °¿®¬­ º±® ðô

õ ï÷ ãð

¬ »–¬ ¼¬ ã –¬ »–¬

ðõ

ð

¬ –ï»–¬ ¼¬ ã ÷ò

ø¾÷ Ô»¬ « ã ­¬ ­± ¬¸¿¬ ¼« ã ­ ¼¬ò ̸»²

¥¬ £ ãð

»–­¬¬ ¼¬ ãð

»–« «

­

ï

­¼« ã

ï

­ õïõ ï÷ –ïò

ìîò ø¿÷ ¥¬–ïñî£ ãñî÷

­ïñîã

­ø¾÷ ¥¬ïñî£ ã

ñî÷

­íñîã

î­íñîø½÷ ¥¬íñî£ ã

ñî÷

­ëñîã

í

ì­ëñî

ìíò Ô»¬ Ú ø¬÷ ã ¬ïñíò ̸»² Ú ø¬÷ ·­ ±º »¨°±²»²¬·¿´ ±®¼»®ô ¾«¬ ºø¬÷ ã Ú ø¬÷ ã ïí ¬

–îñí ·­ «²¾±«²¼»¼ ²»¿® ¬ ã ð ¿²¼

¸»²½» ·­ ²±¬ ±º »¨°±²»²¬·¿´ ±®¼»®ò Ô»¬

ºø¬÷ ã ¬î

½±­ »¬î

ã¼

¼¬­·² »¬

î

ò

̸·­ º«²½¬·±² ·­ ²±¬ ±º »¨°±²»²¬·¿´ ±®¼»®ô ¾«¬ ©» ½¿² ­¸±© ¬¸¿¬ ·¬­ Ô¿°´¿½» ¬®¿²­º±®³ »¨·­¬­ò Ë­·²¹ ·²¬»¹®¿¬·±²

¾§ °¿®¬­ ©» ¸¿ª»

¥î¬»¬î ½±­ »¬î£ ãð

»–­¬ ¼

¼¬­·² »¬

î

¼¬ ã ´·³¿

»–­¬ ­·² »¬î ¿

ðõ ­

¿

ð

»–­¬ ­·² »¬î

¼¬

ã – ­·² ï õ ­ð

»–­¬ ­·² »¬î

¼¬ ã ­ ¥­·² »¬î£ – ­·² ïò

Í·²½» ­·² »¬î

·­ ½±²¬·²«±«­ ¿²¼ ±º »¨°±²»²¬·¿´ ±®¼»®ô ¥­·² »¬î£ »¨·­¬­ô ¿²¼ ¬¸»®»º±®» ¥î¬»¬î ½±­ »¬î£ »¨·­¬­ò

ììò ̸» ®»´¿¬·±² ©·´´ ¾» ª¿´·¼ ©¸»² ­ ·­ ¹®»¿¬»® ¬¸¿² ¬¸» ³¿¨·³«³ ±º ½ï ¿²¼ ½îò

ìëò Í·²½» »¬ ·­ ¿² ·²½®»¿­·²¹ º«²½¬·±² ¿²¼ ¬î â ´²Ó õ ½¬ º±® Ó â ð ©» ¸¿ª» »¬î

â »´²Óõ½¬ ã Ó»½¬ º±® ¬

´¿®¹» ¿²¼ º±® ¿²§ ½ò ̸«­ô »¬î

·­ ²±¬ ±º »¨°±²»²¬·¿´ ±®¼»®ò

ìêò ß­­«³·²¹ ¬¸¿¬ ø½÷ ±º ̸»±®»³ ìòï ·­ ¿°°´·½¿¾´» ©·¬¸ ¿ ½±³°´»¨ »¨°±²»²¬ô ©» ¸¿ª»

¥»ø¿õ·¾÷¬£ ãï

­– ø¿õ ·¾÷ã

ï

ø­– ¿÷– ·¾

ø­– ¿÷ õ ·¾

ø­– ¿÷ õ ·¾ã

­– ¿õ ·¾

ø­– ¿÷î õ ¾îò

Þ§ Û«´»®•­ º±®³«´¿ô » ã ½±­ õ · ­·² ô ­±

¥»ø¿õ·¾÷¬£ ã ¥»¿¬»·¾¬£ ã ¥»¿¬ø½±­ ¾¬õ · ­·² ¾¬÷£ã ¥»¿¬ ½±­ ¾¬£õ · ¥»¿¬ ­·² ¾¬£

ã­– ¿

ø­– ¿÷î õ ¾îõ ·

¾

ø­– ¿÷î õ ¾îò

Û¯«¿¬·²¹ ®»¿´ ¿²¼ ·³¿¹·²¿®§ °¿®¬­ ©» ¹»¬

¥»¿¬ ½±­ ¾¬£ ã­– ¿

ø­– ¿÷î õ ¾î¿²¼ ¥»¿¬ ­·² ¾¬£ ã

¾

ø­– ¿÷î õ ¾îò

ìéò É» ©¿²¬ ºø õ ÷ ã ø¨÷ õ ø§÷ ±®

³ø õ ÷ õ ¾ ã ø³¨õ ¾÷ õ ø³§ õ ¾÷ ã ³ø õ ÷ õ ø õ ÷¾

º±® ¿´´ ®»¿´ ²«³¾»®­ ¿²¼ ò Ì¿µ·²¹ ã ã ï ©» ­»» ¬¸¿¬ ¾ ã î¾ô ­± ¾ ã ðò ̸«­ô ºø¨÷ ã ³¨ õ ¾ ©·´´ ¾» ¿

´·²»¿® ¬®¿²­º±®³¿¬·±² ©¸»² ¾ ã ðò

201

4.1 Ü»•²·¬·±² ±º ¬¸» Ô¿°´¿½» Ì®¿²­º±®³

ìèò ß­­«³» ¬¸¿¬ ¥¬²–ï£ ã ø²– ï÷ÿñ­²ò ̸»²ô «­·²¹ ¬¸» ¼»•²·¬·±² ±º ¬¸» Ô¿°´¿½» ¬®¿²­º±®³ ¿²¼ ·²¬»¹®¿¬·±² ¾§

°¿®¬­ô ©» ¸¿ª»

¥¬²£ ãð

»–­¬¬² ¼¬ ã –ï

­»–­¬¬²

ðõ

²

­ ð

»–­¬¬²–ï ¼¬

ã ð õ²

­¥¬²–ï£ ã

²

­

ø²– ï÷ÿ

­²ã

²ÿ

­²õïò

EXERCISES 4.2The Inverse Transform and

Transforms of Derivatives

ïòï

­íã

ï

î

î

­íã

ï

î¬î

îòï

­ìã

ï

ê

íÿ

­ìã

ï

ê¬í

íòï

­î– ìè

­ëã

ï

­î– ìè

îìi ìÿ­ë

ã ¬– î¬ì

ìòî

­– ï

­í

î

ã ì i ï

­î– ì

êi íÿ­ì

õï

ïîði ëÿ­ê

ã 쬖 î

í¬í õ

ï

ïîð¬ë

ëòø­õ ï÷í

­ìã

ï

­õ í i ï

­îõ

í

îi î

­íõ

ï

êi íÿ­ì

ã ï õ í¬õí

î¬î õ

ï

ê¬í

êòø­õ î÷î

­íã

ï

­õ ì i ï

­îõ î i î

­íã ï õ ì¬õ î¬î

éòï

­î– ï

­õ

ï

­– îã ¬– ï õ »î¬

èòì

­õ

ê

­ë– ï

­õ èã ì i ï

­õ

ï

ìi ìÿ­ë

– ï

­õ èã ì õ

ï

ì¬ì – »–è¬

çòï

ì­õ ïã

ï

ì

ï

­õ ïñìã

ï

ì»–¬ñì

ïðòï

ë­– îã

ï

ëi ï

­– îñëã

ï

ë»î¬ñë

ïïòë

­î õ ìçã

ë

éi é

­î õ ìçã

ë

é­·² é¬

ïîòïð­

­î õ ïêã ïð ½±­ ì¬

ïíòì­

ì­î õ ïã

­

­î õ ïñìã ½±­

ï

î¬

ïìòï

ì­î õ ïã

ï

îi ïñî

­î õ ïñìã

ï

î­·²

ï

î¬

202

4.2 ̸» ײª»®­» Ì®¿²­º±®³ ¿²¼ Ì®¿²­º±®³­ ±º Ü»®·ª¿¬·ª»­

ïëòî­– ê

­î õ çã î i ­

­î õ ç– î i í

­î õ çã î ½±­ í¬– î ­·² í¬

ïêò­õ ï

­î õ îã

­

­î õ îõ

ï

î

î

­î õ îã ½±­ î¬õ

î

î­·² î ¬

ïéòï

­î õ í­ã

ï

íi ï­– ï

íi ï

­õ íã

ï

í– ï

í»–í¬

ïèò­õ ï

­î – ì­ã –ï

ìi ï­õ

ë

ìi ï

­– ìã –ï

ìõ

ë

ì»ì¬

ïçò­

­î õ î­– íã

ï

ìi ï

­– ïõ

í

ìi ï

­õ íã

ï

컬 õ

í

ì»–í¬

îðòï

­î õ ­– îðã

ï

çi ï

­– ì– ï

çi ï

­õ ëã

ï

ç»ì¬ – ï

ç»–ë¬

îïòðòç­

ø­– ðòï÷ø­õ ðòî÷ã øðòí÷ i ï

­– ðòïõ øðòê÷ i ï

­õ ðòîã ðòí»ðòï¬ õ ðòê»–ðòî¬

îîò­– í

ø­– í ÷ø­õ í ÷ã

­

­î – í– í i í

­î – íã ½±­¸ í ¬– í ­·²¸ í ¬

îíò­

ø­– î÷ø­– í÷ø­– ê÷ã

ï

îi ï

­– î– ï

­– íõ

ï

îi ï

­– êã

ï

î»î¬ – »í¬ õ

ï

î»ê¬

îìò­î õ ï

­ø­– ï÷ø­õ ï÷ø­– î÷ã

ï

îi ï­– ï

­– ï– ï

íi ï

­õ ïõ

ë

êi ï

­– î

ãï

î– »¬ – ï

í»–¬ õ

ë

ê»î¬

îëòï

­í õ ë­ã

ï

­ø­î õ ë÷ã

ï

ëi ï­– ï

ë

­

­î õ ëã

ï

ë– ï

ë½±­ ë¬

îêò­

ø­î õ ì÷ø­õ î÷ã

ï

ìi ­

­î õ ìõ

ï

ìi î

­î õ ì– ï

ìi ï

­õ îã

ï

ì½±­ î¬õ

ï

ì­·²  ï

ì»–î¬

îéòî­– ì

ø­î õ ­÷ø­î õ ï÷ã

î­– ì

­ø­õ ï÷ø­î õ ï÷ã –ì

­õ

í

­õ ïõ

­

­î õ ïõ

í

­î õ ï

ã –ì õ í»–¬ õ ½±­ ¬õ í ­·² ¬

îèòï

­ì – çã

ï

ê íi í

­î – í– ï

ê íi í

­î õ íã

ï

ê í­·²¸ í ¬– ï

ê í­·² í ¬

îçòï

ø­î õ ï÷ø­î õ ì÷ã

ï

íi ï

­î õ ï– ï

íi ï

­î õ ìã

ï

íi ï

­î õ ï– ï

êi î

­î õ ì

ãï

í­·² ¬– ï

ê­·² î¬

íðòê­õ í

ø­î õ ï÷ø­î õ ì÷ã î i ­

­î õ ïõ

ï

­î õ ï– î i ­

­î õ ì– ï

îi î

­î õ ì

ã î ½±­ ¬õ ­·² ¬– î ½±­  ï

î­·² î¬

íïò ̸» Ô¿°´¿½» ¬®¿²­º±®³ ±º ¬¸» ·²·¬·¿´óª¿´«» °®±¾´»³ ·­

­ ¥§£ – §øð÷– ¥§£ ãï

­ò

203

4.2 ̸» ײª»®­» Ì®¿²­º±®³ ¿²¼ Ì®¿²­º±®³­ ±º Ü»®·ª¿¬·ª»­

ͱ´ª·²¹ º±® ¥§£ ©» ±¾¬¿·²

¥§£ ã –ï

­õ

ï

­– ïò

̸«­

§ ã –ï õ »¬ò

íîò ̸» Ô¿°´¿½» ¬®¿²­º±®³ ±º ¬¸» ·²·¬·¿´óª¿´«» °®±¾´»³ ·­

î­ ¥§£ – î§øð÷ õ ¥§£ ã ðò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥§£ ©» ±¾¬¿·²

¥§£ ãê

î­õ ïã

í

­õ ïñîò

̸«­

§ ã í»–¬ñîò

ííò ̸» Ô¿°´¿½» ¬®¿²­º±®³ ±º ¬¸» ·²·¬·¿´óª¿´«» °®±¾´»³ ·­

­ ¥§£ – §øð÷ õ ê ¥§£ ãï

­– ìò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥§£ ©» ±¾¬¿·²

¥§£ ãï

ø­– ì÷ø­õ ê÷õ

î

­õ êã

ï

ïði ï

­– ìõ

ïç

ïði ï

­õ êò

̸«­

§ ãï

ïð»ì¬ õ

ïç

ïð»–ê¬ò

íìò ̸» Ô¿°´¿½» ¬®¿²­º±®³ ±º ¬¸» ·²·¬·¿´óª¿´«» °®±¾´»³ ·­

­ ¥§£ – ¥§£ ãî­

­î õ îëò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥§£ ©» ±¾¬¿·²

¥§£ ãî­

ø­– ï÷ø­î õ îë÷ã

ï

ïíi ï

­– ï– ï

ïí

­

­î õ îëõ

ë

ïíi ë

­î õ îëò

̸«­

§ ãï

ïí»¬ – ï

ïí½±­ ë¬õ

ë

ïí­·² ë¬ò

íëò ̸» Ô¿°´¿½» ¬®¿²­º±®³ ±º ¬¸» ·²·¬·¿´óª¿´«» °®±¾´»³ ·­

­î ¥§£ – ­§øð÷– § øð÷ õ ë Å­ ¥§£ – §øð÷à õ ì ¥§£ ã ðò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥§£ ©» ±¾¬¿·²

¥§£ ã­õ ë

­î õ ë­õ ìã

ì

í

ï

­õ ï– ï

í

ï

­õ ìò

̸«­

§ ãì

í»–¬ – ï

í»–ì¬ò

íêò ̸» Ô¿°´¿½» ¬®¿²­º±®³ ±º ¬¸» ·²·¬·¿´óª¿´«» °®±¾´»³ ·­

­î ¥§£ – ­§øð÷– § øð÷– ì Å­ ¥§£ – §øð÷à ãê

­– í– í

­õ ïò

204

4.2 ̸» ײª»®­» Ì®¿²­º±®³ ¿²¼ Ì®¿²­º±®³­ ±º Ü»®·ª¿¬·ª»­

ͱ´ª·²¹ º±® ¥§£ ©» ±¾¬¿·²

¥§£ ãê

ø­– í÷ø­î – ì­÷– í

ø­õ ï÷ø­î – ì­÷õ

­– ë

­î – ì­

ãë

îi ï­– î

­– í– í

ëi ï

­õ ïõ

ïï

ïði ï

­– ìò

̸«­

§ ãë

î– î»í¬ – í

ë»–¬ õ

ïï

ïð»ì¬ ò

íéò ̸» Ô¿°´¿½» ¬®¿²­º±®³ ±º ¬¸» ·²·¬·¿´óª¿´«» °®±¾´»³ ·­

­î ¥§£ – ­§øð÷ õ ¥§£ ãî

­î õ îò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥§£ ©» ±¾¬¿·²

¥§£ ãî

ø­î õ ï÷ø­î õ î÷õ

ïð­

­î õ ïã

ïð­

­î õ ïõ

î

­î õ ï– î

­î õ îò

̸«­

§ ã ïð ½±­ ¬õ î ­·² ¬– î ­·² î ¬ò

íèò ̸» Ô¿°´¿½» ¬®¿²­º±®³ ±º ¬¸» ·²·¬·¿´óª¿´«» °®±¾´»³ ·­

­î ¥§£õ ç ¥§£ ãï

­– ïò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥§£ ©» ±¾¬¿·²

¥§£ ãï

ø­– ï÷ø­î õ ç÷ã

ï

ïði ï

­– ï– ï

ïði ï

­î õ ç– ï

ïði ­

­î õ çò

̸«­

§ ãï

ï𻬠– ï

íð­·² í¬– ï

ïð½±­ í¬ò

íçò ̸» Ô¿°´¿½» ¬®¿²­º±®³ ±º ¬¸» ·²·¬·¿´óª¿´«» °®±¾´»³ ·­

î ­í ¥§£ – ­îøð÷– ­§ øð÷– § øð÷ õ í ­î ¥§£ – ­§øð÷– § øð÷ – íÅ­ ¥§£ – §øð÷Ö î ¥§£ ãï

­õ ïò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥§£ ©» ±¾¬¿·²

¥§£ ãî­õ í

ø­õ ï÷ø­– ï÷øî­õ ï÷ø­õ î÷ã

ï

î

ï

­õ ïõ

ë

ïè

ï

­– ï– è

ç

ï

­õ ïñîõ

ï

ç

ï

­õ îò

̸«­

§ ãï

î»–¬ õ

ë

ï軬 – è

ç»–¬ñî õ

ï

ç»–î¬ò

ìðò ̸» Ô¿°´¿½» ¬®¿²­º±®³ ±º ¬¸» ·²·¬·¿´óª¿´«» °®±¾´»³ ·­

­í ¥§£ – ­îøð÷– ­§ øð÷– § øð÷ õ î ­î ¥§£ – ­§øð÷– § øð÷ – Å­ ¥§£ – §øð÷Ö î ¥§£ ãí

­î õ çò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥§£ ©» ±¾¬¿·²

¥§£ ã­î õ ïî

ø­– ï÷ø­õ ï÷ø­õ î÷ø­î õ ç÷

ãïí

êð

ï

­– ï– ïí

îð

ï

­õ ïõ

ïê

íç

ï

­õ îõ

í

ïíð

­

­î õ ç– ï

êë

í

­î õ çò

205

4.2 ̸» ײª»®­» Ì®¿²­º±®³ ¿²¼ Ì®¿²­º±®³­ ±º Ü»®·ª¿¬·ª»­

̸«­

§ ãïí

ê𻬠– ïí

îð»–¬ õ

ïê

íç»–î¬ õ

í

ïíð½±­ í¬– ï

êë­·² í¬ò

ìïò ̸» Ô¿°´¿½» ¬®¿²­º±®³ ±º ¬¸» ·²·¬·¿´óª¿´«» °®±¾´»³ ·­

­ ¥§£õ ¥§£ ã­õ í

­î õ ê­õ ïíò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥§£ ©» ±¾¬¿·²

¥§£ ã­õ í

ø­õ ï÷ø­î õ ê­õ ïí÷ã

ï

ìi ï

­õ ï– ï

ìi ­õ ï

­î õ ê­õ ïí

ãï

ìi ï

­õ ï– ï

ì

­õ í

ø­õ í÷î õ ì– î

ø­õ í÷î õ ìò

̸«­

§ ãï

ì»–¬ – ï

ì»–í¬ ½±­ î¬õ

ï

ì»–í¬ ­·² î¬ò

ìîò ̸» Ô¿°´¿½» ¬®¿²­º±®³ ±º ¬¸» ·²·¬·¿´óª¿´«» °®±¾´»³ ·­

­î ¥§£ – ­ i ï– í– îÅ­ ¥§£ – ïà õ ë ¥§£ ã ø­î – î­õ ë÷ ¥§£ – ­– ï ã ðò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥§£ ©» ±¾¬¿·²

¥§£ ã­õ ï

­î – î­õ ëã

­– ï õ î

ø­– ï÷î õ îîã

­– ï

ø­– ï÷î õ îîõ

î

ø­– ï÷î õ îîò

̸«­

§ ã »¬ ½±­ î¬õ »¬ ­·² î¬ò

ìíò ø¿÷ ºø¬÷ ã ¬»¿¬ ©» ¹»¬ º ø¬÷ ã ¿¬»¿¬ õ »¿¬ ­± ¥¿¬»¿¬ õ »¿¬£ ã ­ ¥¬»¿¬£ô ©¸»®» ©» ¸¿ª» «­»¼

ºøð÷ ã ðò É®·¬·²¹ ¬¸» »¯«¿¬·±² ¿­

¿ ¥¬»¿¬£õ ¥»¿¬£ ã ­ ¥¬»¿¬£

¿²¼ ­±´ª·²¹ º±® ¥¬»¿¬£ ©» ¹»¬

¥¬»¿¬£ ãï

­– ¿¥»¿¬£ ã

ï

ø­– ¿÷îò

ø¾÷ ͬ¿®¬·²¹ ©·¬¸ ºø¬÷ ã ¬ ­·² µ¬ ©» ¸¿ª»

º ø¬÷ ã µ¬ ½±­ µ¬õ ­·² µ¬

º ø¬÷ ã –µî¬ ­·² µ¬õ îµ ½±­ µ¬ò

̸»²

¥–µî¬ ­·² ¬õ îµ ½±­ µ¬£ ã ­î ¥¬ ­·² µ¬£

©¸»®» ©» ¸¿ª» «­»¼ ºøð÷ ã ð ¿²¼ º øð÷ ã ðò É®·¬·²¹ ¬¸» ¿¾±ª» »¯«¿¬·±² ¿­

–µî ¥¬ ­·² µ¬£õ îµ ¥½±­ µ¬£ ã ­î ¥¬ ­·² µ¬£

¿²¼ ­±´ª·²¹ º±® ¥¬ ­·² µ¬£ ¹·ª»­

¥¬ ­·² µ¬£ ãîµ

­î õ µî¥½±­ µ¬£ ã

îµ

­î õ µî

­

­î õ µîã

îµ­

ø­î õ µî÷îò

ììò Ô»¬ ºïø¬÷ ã ï ¿²¼ ºîø¬÷ ãïô ¬ ðô ¬ ã ï

ðô ¬ ã ïò ̸»² ¥ºïø¬÷£ ã ¥ºîø¬÷£ ã ïñ­ô ¾«¬ ºïø¬÷ ã ºîø¬÷ò

206

4.3 Ì®¿²­´¿¬·±² ̸»±®»³­

ìëò Ú±® § – ì§ ã ê»í¬ – í»–¬ ¬¸» ¬®¿²­º»® º«²½¬·±² ·­ É ø­÷ ã ïñø­î – ì­÷ò ̸» ¦»®±ó·²°«¬ ®»­°±²­» ·­

§ðø¬÷ ã­– ë

­î – ì­ã

ë

ìi ï­– ï

ìi ï

­– ìã

ë

ì– ï

ì»ì¬ ô

¿²¼ ¬¸» ¦»®±ó­¬¿¬» ®»­°±²­» ·­

§ïø¬÷ ãê

ø­– í÷ø­î – ì­÷– í

ø­õ ï÷ø­î – ì­÷

ãîé

îði ï

­– ì– î

­– íõ

ë

ìi ï­– í

ëi ï

­õ ï

ãîé

îð»ì¬ – î»í¬ õ

ë

ì– í

ë»–¬ ò

ìêò Ú®±³ ̸»±®»³ ìòìô ·º º ¿²¼ º ¿®» ½±²¬·²«±«­ ¿²¼ ±º »¨°±²»²¬·¿´ ±®¼»®ô ¥º ø¬÷£ ã ­Ú ø­÷ – ºøð÷ò Ú®±³

̸»±®»³ ìòëô ´·³­ ¥º ø¬÷£ ã ð ­±

´·³­

Å­Ú ø­÷– ºøð÷à ã ð ¿²¼ ´·³­

Ú ø­÷ ã ºøð÷ò

Ú±® ºø¬÷ ã ½±­ µ¬ô

´·³­

­Ú ø­÷ ã ´·³­

­­

­î õ µîã ï ã ºøð÷ò

EXERCISES 4.3Translation Theorems

ïò ¬»ïð¬ ãï

ø­– ïð÷îîò ¬»–ê¬ ã

ï

ø­õ ê÷î

íò ¬í»–î¬ ãíÿ

ø­õ î÷ììò ¬ïð»–é¬ ã

ïðÿ

ø­õ é÷ïï

ëò ¬ »¬ õ »î¬î

ã ¬»î¬ õ î¬»í¬ õ ¬»ì¬ ãï

ø­– î÷îõ

î

ø­– í÷îõ

ï

ø­– ì÷î

êò »î¬ø¬– ï÷î ã ¬î»î¬ – î¬»î¬ õ »î¬ ãî

ø­– î÷í– î

ø­– î÷îõ

ï

­– î

éò »¬ ­·² í¬ ãí

ø­– ï÷î õ çèò »–î¬ ½±­ ì¬ ã

­õ î

ø­õ î÷î õ ïê

çò ¥øï– »¬ õ í»–ì¬÷ ½±­ 묣 ã ¥½±­ 묖 »¬ ½±­ ë¬õ í»–ì¬ ½±­ 묣 ã­

­î õ îë– ­– ï

ø­– ï÷î õ îëõ

íø­õ ì÷

ø­õ ì÷î õ îë

ïðò »í¬ ç– ì¬õ ïð ­·²¬

îã ç»í¬ – ì¬»í¬ õ ïð»í¬ ­·²

¬

îã

ç

­– í– ì

ø­– í÷îõ

ë

ø­– í÷î õ ïñì

ïïòï

ø­õ î÷íã

ï

î

î

ø­õ î÷íã

ï

î¬î»–î¬

207

4.3 Ì®¿²­´¿¬·±² ̸»±®»³­

ïîòï

ø­– ï÷ìã

ï

ê

íÿ

ø­– ï÷ìã

ï

ê¬í»¬

ïíòï

­î – ê­õ ïðã

ï

ø­– í÷î õ ïîã »í¬ ­·² ¬

ïìòï

­î õ î­õ ëã

ï

î

î

ø­õ ï÷î õ îîã

ï

î»–¬ ­·² î¬

ïëò­

­î õ ì­õ ëã

­õ î

ø­õ î÷î õ ïî– î

ï

ø­õ î÷î õ ïîã »–î¬ ½±­ ¬– î»–î¬ ­·² ¬

ïêòî­õ ë

­î õ ê­õ íìã î

ø­õ í÷

ø­õ í÷î õ ëî– ï

ë

ë

ø­õ í÷î õ ëîã î»–í¬ ½±­ 묖 ï

ë»–í¬ ­·² ë¬

ïéò­

ø­õ ï÷îã

­õ ï– ï

ø­õ ï÷îã

ï

­õ ï– ï

ø­õ ï÷îã »–¬ – ¬»–¬

ïèòë­

ø­– î÷îã

ëø­– î÷ õ ïð

ø­– î÷îã

ë

­– îõ

ïð

ø­– î÷îã ë»î¬ õ ïð¬»î¬

ïçòî­– ï

­îø­õ ï÷íã

ë

­– ï

­î– ë

­õ ï– ì

ø­õ ï÷î– í

î

î

ø­õ ï÷íã ë– ¬– ë»–¬ – 쬻–¬ – í

î¬î»–¬

îðòø­õ ï÷î

ø­õ î÷ìã

ï

ø­õ î÷î– î

ø­õ î÷íõ

ï

ê

íÿ

ø­õ î÷ìã ¬»–î¬ – ¬î»–î¬ õ

ï

ê¬í»–î¬

îïò

­ ¥§£ – §øð÷ õ ì ¥§£ ãï

­õ ìò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥§£ ©» ±¾¬¿·²

¥§£ ãï

ø­õ ì÷îõ

î

­õ ìò

̸«­

§ ã ¬»–ì¬ õ î»–ì¬ò

îîò

­ ¥§£ – ¥§£ ãï

­õ

ï

ø­– ï÷îò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥§£ ©» ±¾¬¿·²

¥§£ ãï

­ø­– ï÷õ

ï

ø­– ï÷íã –ï

­õ

ï

­– ïõ

ï

ø­– ï÷íò

̸«­

§ ã –ï õ »¬ õï

î¬î»¬ò

îíò

­î ¥§£ – ­§øð÷– § øð÷ õ î ­ ¥§£ – §øð÷ õ ¥§£ ã ðò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥§£ ©» ±¾¬¿·²

¥§£ ã­õ í

ø­õ ï÷îã

ï

­õ ïõ

î

ø­õ ï÷îò

̸«­

§ ã »–¬ õ –¬ò

208

4.3 Ì®¿²­´¿¬·±² ̸»±®»³­

îìò

­î ¥§£ – ­§øð÷– § øð÷– ì Å­ ¥§£ – §øð÷à õ ì ¥§£ ãê

ø­– î÷ìò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥§£ ©» ±¾¬¿·² ¥§£ ãï

îð

ëÿ

ø­– î÷êò ̸«­ô § ã

ï

îð¬ë»î¬ò

îëò

­î ¥§£ – ­§øð÷– § øð÷– ê Å­ ¥§£ – §øð÷à õ ç ¥§£ ãï

­îò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥§£ ©» ±¾¬¿·²

¥§£ ãï õ ­î

­îø­– í÷îã

î

îé

ï

­õ

ï

ç

ï

­î– î

îé

ï

­– íõ

ïð

ç

ï

ø­– í÷îò

̸«­

§ ãî

îéõ

ï

笖 î

îé»í¬ õ

ïð

笻í¬ò

îêò

­î ¥§£ – ­§øð÷– § øð÷– ì Å­ ¥§£ – §øð÷à õ ì ¥§£ ãê

­ìò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥§£ ©» ±¾¬¿·²

¥§£ ã­ë – ì­ì õ ê

­ìø­– î÷îã

í

ì

ï

­õ

ç

è

ï

­îõ

í

ì

î

­íõ

ï

ì

íÿ

­ìõ

ï

ì

ï

­– î– ïí

è

ï

ø­– î÷îò

̸«­

§ ãí

ìõ

ç

è¬õ

í

ì¬î õ

ï

ì¬í õ

ï

ì»î¬ – ïí

謻î¬ò

îéò

­î ¥§£ – ­§øð÷– § øð÷– ê Å­ ¥§£ – §øð÷à õ ïí ¥§£ ã ðò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥§£ ©» ±¾¬¿·²

¥§£ ã – í

­î – ê­õ ïíã –í

î

î

ø­– í÷î õ îîò

̸«­

§ ã –í

î»í¬ ­·² î¬ò

îèò

î ­î ¥§£ – ­§øð÷ õ îð ­ ¥§£ – §øð÷ õ ëï ¥§£ ã ðò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥§£ ©» ±¾¬¿·²

¥§£ ãì­õ ìð

î­î õ îð­õ ëïã

î­õ îð

ø­õ ë÷î õ ïñîã

îø­õ ë÷

ø­õ ë÷î õ ïñîõ

ïð

ø­õ ë÷î õ ïñîò

̸«­

§ ã î»–ë¬ ½±­ø¬ñ î ÷ õ ïð î »–ë¬ ­·²ø¬ñ î ÷ò

îçò

­î ¥§£ – ­§øð÷– § øð÷– Å­ ¥§£ – §øð÷à 㭖 ï

ø­– ï÷î õ ïò

209

4.3 Ì®¿²­´¿¬·±² ̸»±®»³­

ͱ´ª·²¹ º±® ¥§£ ©» ±¾¬¿·²

¥§£ ãï

­ø­î – î­õ î÷ã

ï

î

ï

­– ï

î

­– ï

ø­– ï÷î õ ïõ

ï

î

ï

ø­– ï÷î õ ïò

̸«­

§ ãï

î– ï

 ½±­ ¬õ

ï

 ­·² ¬ò

íðò

­î ¥§£ – ­§øð÷– § øð÷– î Å­ ¥§£ – §øð÷à õ ë ¥§£ ãï

­õ

ï

­îò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥§£ ©» ±¾¬¿·²

¥§£ ãì­î õ ­õ ï

­îø­î – î­õ ë÷ã

é

îë

ï

­õ

ï

ë

ï

­îõ

–é­ñîë õ ïðçñîë

­î – î­õ ë

ãé

îë

ï

­õ

ï

ë

ï

­î– é

îë

­– ï

ø­– ï÷î õ îîõ

ëï

îë

î

ø­– ï÷î õ îîò

̸«­

§ ãé

îëõ

ï

묖 é

î뻬 ½±­ î¬õ

ëï

î뻬 ­·² î¬ò

íïò ½ ã §øð÷ ©» ±¾¬¿·²

¥§ £õ ¥î§ £õ ¥§£ ã ð

­î ¥§£ – ­§øð÷– § øð÷ õ î­ ¥§£ – î§øð÷ õ ¥§£ ã ð

­î ¥§£ – ½­– î õ î­ ¥§£ – î½õ ¥§£ ã ð

­î õ î­õ ï ¥§£ ã ½­õ î½õ î

¥§£ ã½­

ø­õ ï÷îõ

î½õ î

ø­õ ï÷î

ã ½­õ ï– ï

ø­õ ï÷îõ

î½õ î

ø­õ ï÷î

ã½

­õ ïõ

½õ î

ø­õ ï÷îò

̸»®»º±®»ô

§ø¬÷ ã ½ï

­õ ïõ ø½õ î÷

ï

ø­õ ï÷îã ½»–¬ õ ø½õ î÷¬»–¬ò

̱ •²¼ ½ ©» ´»¬ §øï÷ ã îò ̸»² î ã ½»–ï õ ø½õ î÷»–ï ã îø½õ ï÷»–ï ¿²¼ ½ ã »– ïò ̸«­

§ø¬÷ ã ø»– ï÷»–¬ õ ø»õ ï÷¬»–¬ò

íîò ½ ã § øð÷ ©» ±¾¬¿·²

¥§ £õ ¥è§ £õ ¥î𧣠ã ð

­î ¥§£ – § øð÷ õ è­ ¥§£õ î𠥧£ ã ð

­î ¥§£ – ½õ è­ ¥§£õ î𠥧£ ã ð

ø­î õ è­õ îð÷ ¥§£ ã ½

¥§£ ã½

­î õ è­õ îðã

½

ø­õ ì÷î õ ìò

210

4.3 Ì®¿²­´¿¬·±² ̸»±®»³­

̸»®»º±®»ô

§ø¬÷ ã½

ø­õ ì÷î õ ìã

½

î»–ì¬ ­·² î¬ ã ½ï»

–ì¬ ­·² î¬ò

̱ •²¼ ½ ©» ´»¬ § ø ÷ ã ðò ̸»² ð ã § ø ÷ ã ½»–ì ¿²¼ ½ ã ðò ̸«­ô §ø¬

·­ ¸±³±¹»²»±«­ ¿²¼ ¾±¬¸ ¾±«²¼¿®§ ½±²¼·¬·±²­ ¿®» ðô ©» ½¿² ­»» ·³³»¼·¿¬»´§ ¬¸¿¬ §ø¬÷ ã ð ·­ ¿ ­±´«¬·±²ò É»

¸¿ª» ­¸±©² ¬¸¿¬ ·¬ ·­ ¬¸» ±²´§ ­±´«¬·±²ò÷

ííò λ½¿´´ º®±³ Í»½¬·±² íòè ¬¸¿¬ ³¨ ã –µ¨– ò Ò±© ³ ã Éñ¹ ã ìñíî ã ïè ­´«¹ô ¿²¼ ì ã îµ ­± ¬¸¿¬ µ ã î ´¾ñº¬ò

¨ õ é¨ õ ïê¨ ã ðò ̸» ·²·¬·¿´ ½±²¼·¬·±²­ ¿®» ¨øð÷ ã –íñî ¿²¼ ¨ øð÷ ã ðò

­î ¥¨£õí

î­õ é­ ¥¨£õ

îï

îõ ïê ¥¨£ ã ðò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥¨£ ©» ±¾¬¿·²

¥¨£ ã–í­ñî– îïñî

­î õ é­õ ïêã –í

î

­õ éñî

ø­õ éñî÷î õ ø ïëñî÷î– é ïë

ïð

ïëñî

ø­õ éñî÷î õ ø ïëñî÷îò

̸«­

¨ ã –í

î»–é¬ñî ½±­

ïë

 é ïë

ïð»–é¬ñî ­·²

ïë

î¬ò

íìò¼î¯

¼¬îõ îð

¼¯

¼¬õ îðð¯ ã ïëðô ¯øð÷ ã ¯ øð÷ ã ðò

̸» Ô¿°´¿½» ¬®¿²­º±®³ ±º ¬¸·­ »¯«¿¬·±² ·­

­î ¥¯£õ îð­ ¥¯£õ îð𠥯£ ãïëð

­ò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥¯£ ©» ±¾¬¿·²

¥¯£ ãïëð

­ø­î õ îð­õ îðð÷ã

í

ì

ï

­– í

ì

­õ ïð

ø­õ ïð÷î õ ïðî– í

ì

ïð

ø­õ ïð÷î õ ïðîò

̸«­

¯ø¬÷ ãí

ì– í

ì»–ï𬠽±­ ï𬖠í

ì»–ï𬠭·² ïð¬

¿²¼

·ø¬÷ ã ¯ ø¬÷ ã ïë»–ï𬠭·² ïð¬ò

íëò¼î¯

¼¬îõ î

¼¯

¼¬õ î¯ ã

Ûð

Ôô ¯øð÷ ã ¯ øð÷ ã ðò

̸» Ô¿°´¿½» ¬®¿²­º±®³ ±º ¬¸·­ »¯«¿¬·±² ·­

­î ¥¯£õ î ¥¯£õ î ¥¯£ ãÛð

Ô

ï

­

±®

­î õ î õ î ¥¯£ ãÛð

Ô

ï

­ò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥¯£ ¿²¼ «­·²¹ °¿®¬·¿´ º®¿½¬·±²­ ©» ±¾¬¿·²

¥¯£ ãÛð

Ô

ï î

­– øï î÷­õ î î

­î õ î õ îã

Ûð

î

ï

­– ­õ î

­î õ î õ îò

211

4.3 Ì®¿²­´¿¬·±² ̸»±®»³­

Ú±® ©» ©®·¬» ­î õ î õ î ã ø­õ ÷î – î – î ô ­± ø®»½¿´´·²¹ ¬¸¿¬ î ã ïñÔÝ÷

¥¯£ ã ÛðÝï

­– ­õ

ø­õ ÷î – ø î – î÷–

ø­õ ÷î – ø î – î÷ò

̸«­ º±® ô

¯ø¬÷ ã ÛðÝ ï– »– ½±­¸ î – î ¬–î – î

­·²¸ î – î ¬ ò

Ú±® ©» ©®·¬» ­î õ î õ î ã ø­õ ÷î õ î – î ô ­±

¥¯£ ã ÛðÝï

­– ­õ

ø­õ ÷î õ ø î – î÷–

ø­õ ÷î õ ø î – î÷ò

̸«­ º±® ô

¯ø¬÷ ã ÛðÝ ï– »– ½±­ î – î ¬–î – î

­·² î – î ¬ ò

Ú±® ã ô ­î õ î õ î ã ø­õ ÷î ¿²¼

¥¯£ ãÛð

Ô

ï

­ø­õ ÷îã

Ûð

Ô

ï î

­– ï î

­õ– ï

ø­õ ÷îã

Ûð

î

ï

­– ï

­õ–

ø­õ ÷îò

̸«­ º±® ã ô

¯ø¬÷ ã ÛðÝ ï– »– – – ò

íêò

μ¯

¼¬õ

ï

ݯ ã Ûð»

–µ¬ô ¯øð÷ ã ðò

̸» Ô¿°´¿½» ¬®¿²­º±®³ ±º ¬¸·­ »¯«¿¬·±² ·­

έ ¥¯£õï

Ý¥¯£ ã Ûð

ï

­õ µò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥¯£ ©» ±¾¬¿·²

¥¯£ ãÛðÝ

ø­õ µ÷øÎÝ­õ ï÷ã

ÛðñÎ

ø­õ µ÷ø­õ ïñÎÝ÷ò

ɸ»² ïñÎÝ ã µ ©» ¸¿ª» ¾§ °¿®¬·¿´ º®¿½¬·±²­

¥¯£ ãÛð

Î

ïñøïñÎÝ – µ÷

­õ µ– ïñøïñÎÝ – µ÷

­õ ïñÎÝã

Ûð

Î

ï

ïñÎÝ – µ

ï

­õ µ– ï

­õ ïñÎÝò

̸«­

¯ø¬÷ ãÛðÝ

ï– µÎÝ»–µ¬ – »–¬ñÎÝ ò

ɸ»² ïñÎÝ ã µ ©» ¸¿ª»

¥¯£ ãÛð

Î

ï

ø­õ µ÷îò

̸«­

¯ø¬÷ ãÛð

ά»–µ¬ ã

Ûð

ά»–¬ñÎÝ ò

íéò ø¬– ï÷ ø¬– ï÷ ã»–­

­î

íèò »î–¬ ø¬– î÷ ã »–ø¬–î÷ ø¬– î÷ ã»–î­

­õ ï

212

4.3 Ì®¿²­´¿¬·±² ̸»±®»³­

íçò ¬ ø¬– î÷ ã ¥ø¬– î÷ ø¬– î÷ õ î ø¬– î÷£ ã»–î­

­îõ

î»–î­

­ß´¬»®²¿¬·ª»´§ô øïê÷ ±º ¬¸·­ ­»½¬·±² ½±«´¼ ¾» «­»¼æ

¥¬ ø¬– î÷£ ã »–î­ ¥¬õ î£ ã »–î­ ï

­îõ

î

­ò

ìðò øí¬õ ï÷ ø¬– ï÷ ã í ø¬– ï÷ ø¬– ï÷ õ ì ø¬– ï÷ ãí»–­

­îõ

ì»–­

­ß´¬»®²¿¬·ª»´§ô øïê÷ ±º ¬¸·­ ­»½¬·±² ½±«´¼ ¾» «­»¼æ

¥øí¬õ ï÷ ø¬– ï÷£ ã »–­ ¥í¬õ ì£ ã »–­ í

­îõ

ì

­ò

ìïò ½±­ î¬ ø¬– ÷ ã ¥½±­ îø¬– ÷ ø¬– ÷£ ã­»–

­î õ ìß´¬»®²¿¬·ª»´§ô øïê÷ ±º ¬¸·­ ­»½¬·±² ½±«´¼ ¾» «­»¼æ

¥½±­ î¬ ø¬– ÷£ ã »– ¥½±­ îø¬õ ÷£ ã »– ¥½±­  ã »–­

­î õ ìò

ìîò ­·² ¬ ¬–î

ã ½±­ ¬–î

¬–î

ã­»– î

­î õ ï

ß´¬»®²¿¬·ª»´§ô øïê÷ ±º ¬¸·­ ­»½¬·±² ½±«´¼ ¾» «­»¼æ

­·² ¬ ¬–î

ã »– î ­·² ¬õî

ã »– î ¥½±­ ¬£ ã »– î ­

­î õ ïò

ìíò»–î­

­íã

ï

îi î

­í»–î­ ã

ï

îø¬– î÷î ø¬– î÷

ììòøï õ »–î­÷î

­õ îã

ï

­õ îõ

î»–î­

­õ îõ

»–ì­

­õ îã »–î¬ õ î»–îø¬–î÷ ø¬– î÷ õ »–îø¬–ì÷ ø¬– ì÷

ìëò»–

­î õ ïã ­·²ø¬– ÷ ø¬– ÷ ã – ­·² ¬ ø¬– ÷

ìêò­»– î

­î õ ìã ½±­ î ¬–



îã – ½±­ î¬ ¬–

î

ìéò»–­

­ø­õ ï÷ã

»–­

­– »–­

­õ ïã ø¬– ï÷– »–ø¬–ï÷ ø¬– ï÷

ìèò»–î­

­îø­– ï÷ã –»–î­

­– »–î­

­îõ

»–î­

­– ïã – ø¬– î÷– ø¬– î÷ ø¬– î÷ õ »¬–î ø¬– î÷

ìçò ø½÷ ëðò ø»÷ ëïò øº÷ ëîò ø¾÷ ëíò ø¿÷ ëìò ø¼÷

ëëò î– ì ø¬– í÷ ãî

­– ì

­»–í­

ëêò ï– ø¬– ì÷ õ ø¬– ë÷ ãï

­– »–ì­

­õ

»–ë­

­

ëéò ¬î ø¬– ï÷ ã ø¬– ï÷î õ  ï ø¬– ï÷ ã ø¬– ï÷î õ îø¬– ï÷– ï ø¬– ï÷

ãî

­íõ

î

­îõ

ï

­»–­

213

4.3 Ì®¿²­´¿¬·±² ̸»±®»³­

ß´¬»®²¿¬·ª»´§ô ¾§ øïê÷ ±º ¬¸·­ ­»½¬·±²ô

¥¬î ø¬– ï÷£ ã »–­ ¥¬î õ î¬õ ï£ ã »–­ î

­íõ

î

­îõ

ï

­ò

ëèò ­·² ¬ ¬– í

îã – ½±­ ¬– í

 í

îã –­»–í î

­î õ ï

ëçò ¬– ¬ ø¬– î÷ ã ¬– ø¬– î÷ ø¬– î÷– î ø¬– î÷ ãï

­î– »–î­

­î– î»–î­

­

êðò ­·² ¬– ­·² ¬ ø¬– î ÷ ã ­·² ¬– ­·²ø¬– î ÷ ø¬– î ÷ ãï

­î õ ï– »–î

­î õ ï

êïò ºø¬÷ ã ø¬– ¿÷– ø¬– ¾÷ ã»–¿­

­– »–¾­

­

êîò ºø¬÷ ã ø¬– ï÷ õ ø¬– î÷ õ ø¬– í÷ õ i i i ã»–­

­õ

»–î­

­õ

»–í­

­õ i i i ã ï

­

»–­

ï– »–­

êíò

­ ¥§£ – §øð÷ õ ¥§£ ãë

­»–­ò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥§£ ©» ±¾¬¿·²

¥§£ ãë»–­

­ø­õ ï÷ã ë»–­ ï

­– ï

­õ ïò

̸«­

§ ã ë ø¬– ï÷– ë»–ø¬–ï÷ ø¬– ï÷ò

êìò

­ ¥§£ – §øð÷ õ ¥§£ ãï

­– î

­»–­ò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥§£ ©» ±¾¬¿·²

¥§£ ãï

­ø­õ ï÷– î»–­

­ø­õ ï÷ã

ï

­– ï

­õ ï– î»–­ ï

­– ï

­õ ïò

̸«­

§ ã ï– »–¬ – î ï– »–ø¬–ï÷ ø¬– ï÷ò

êëò

­ ¥§£ – §øð÷ õ î ¥§£ ãï

­î– »–­ ­õ ï

­îò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥§£ ©» ±¾¬¿·²

¥§£ ãï

­îø­õ î÷– »–­ ­õ ï

­îø­õ î÷ã –ï

ì

ï

­õ

ï

î

ï

­îõ

ï

ì

ï

­õ î– »–­ ï

ì

ï

­õ

ï

î

ï

­î– ï

ì

ï

­õ îò

̸«­

§ ã –ï

ìõ

ï

î¬õ

ï

ì»–î¬ – ï

ìõ

ï

îø¬– ï÷– ï

ì»–îø¬–ï÷ ø¬– ï÷ò

êêò

­î ¥§£ – ­§øð÷– § øð÷ õ ì ¥§£ ãï

­– »–­

­ò

214

4.3 Ì®¿²­´¿¬·±² ̸»±®»³­

ͱ´ª·²¹ º±® ¥§£ ©» ±¾¬¿·²

¥§£ ãï– ­

­ø­î õ ì÷– »–­ ï

­ø­î õ ì÷ã

ï

ì

ï

­– ï

ì

­

­î õ ì– ï

î

î

­î õ ì– »–­ ï

ì

ï

­– ï

ì

­

­î õ ìò

̸«­

§ ãï

ì– ï

ì½±­  ï

î­·²  ï

ì– ï

ì½±­ îø¬– ï÷ ø¬– ï÷ò

êéò

­î ¥§£ – ­§øð÷– § øð÷ õ ì ¥§£ ã »–î ï

­î õ ïò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥§£ ©» ±¾¬¿·²

¥§£ ã­

­î õ ìõ »–î ï

í

ï

­î õ ï– ï

ê

î

­î õ ìò

̸«­

§ ã ½±­ î¬õï

í­·²ø¬– î ÷– ï

ê­·² îø¬– î ÷ ø¬– î ÷ò

êèò

­î ¥§£ – ­§øð÷– § øð÷– ë Å­ ¥§£ – §øð÷à õ ê ¥§£ ã»–­

­ò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥§£ ©» ±¾¬¿·²

¥§£ ã »–­ ï

­ø­– î÷ø­– í÷õ

ï

ø­– î÷ø­– í÷

ã »–­ ï

ê

ï

­– ï

î

ï

­– îõ

ï

í

ï

­– í– ï

­– îõ

ï

­– íò

̸«­

§ ãï

ê– ï

î»îø¬–ï÷ õ

ï

í»íø¬–ï÷ ø¬– ï÷– »î¬ õ »í¬ò

êçò

­î ¥§£ – ­§øð÷– § øð÷ õ ¥§£ ã»–

­– »–î

­ò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥§£ ©» ±¾¬¿·²

¥§£ ã »–ï

­– ­

­î õ ï– »–î ï

­– ­

­î õ ïõ

ï

­î õ ïò

̸«­

§ ã Åï– ½±­ø¬– ÷à ø¬– ÷– Åï– ½±­ø¬– î ÷à ø¬– î ÷ õ ­·² ¬ò

éðò

­î ¥§£ – ­§øð÷– § øð÷ õ ì ­ ¥§£ – §øð÷ õ í ¥§£ ãï

­– »–î­

­– »–ì­

­õ

»–ê­

­ò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥§£ ©» ±¾¬¿·²

¥§£ ãï

í

ï

­– ï

î

ï

­õ ïõ

ï

ê

ï

­õ í– »–î­ ï

í

ï

­– ï

î

ï

­õ ïõ

ï

ê

ï

­õ í

– »–ì­ ï

í

ï

­– ï

î

ï

­õ ïõ

ï

ê

ï

­õ íõ »–ê­ ï

í

ï

­– ï

î

ï

­õ ïõ

ï

ê

ï

­õ íò

215

4.3 Ì®¿²­´¿¬·±² ̸»±®»³­

̸«­

§ ãï

í– ï

î»–¬ õ

ï

ê»–í¬ – ï

í– ï

î»–ø¬–î÷ õ

ï

ê»–íø¬–î÷ ø¬– î÷

– ï

í– ï

î»–ø¬–ì÷ õ

ï

ê»–íø¬–ì÷ ø¬– ì÷ õ

ï

í– ï

î»–ø¬–ê÷ õ

ï

ê»–íø¬–ê÷ ø¬– ê÷ò

éïò λ½¿´´ º®±³ Í»½¬·±² íòè ¬¸¿¬ ³¨ ã –µ¨ õ ºø¬÷ò Ò±© ³ ã Éñ¹ ã íîñíî ã ï ­´«¹ô ¿²¼ íî ã îµ ­± ¬¸¿¬

µ ¨ õ ïê¨ ã ºø¬÷ò ̸» ·²·¬·¿´ ½±²¼·¬·±²­ ¿®» ¨øð÷ ã ðô ¨ øð÷ ã ðò

ß´­±ô ­·²½»

ºø¬÷ ãîð¬ô ð ¬ ä ë

ðô ¬ ë

¿²¼ îð¬ ã îðø¬– ë÷ õ ïðð ©» ½¿² ©®·¬»

ºø¬÷ ã î𬖠îð¬ ø¬– ë÷ ã î𬖠îðø¬– ë÷ ø¬– ë÷– ïðð ø¬– ë÷ò

­î ¥¨£õ ïê ¥¨£ ãîð

­î– îð

­î»–ë­ – ïðð

­»–ë­ò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥¨£ ©» ±¾¬¿·²

¥¨£ ãîð

­îø­î õ ïê÷– îð

­îø­î õ ïê÷»–ë­ – ïðð

­ø­î õ ïê÷»–ë­

ãë

ìi ï

­î– ë

ïêi ì

­î õ ïêï– »–ë­ – îë

ìi ï­– îë

ìi ­

­î õ ïê»–ë­ò

̸«­

¨ø¬÷ ãë

쬖 ë

ïê­·² 쬖 ë

ìø¬– ë÷– ë

ïê­·² ìø¬– ë÷ ø¬– ë÷– îë

ì– îë

ì½±­ ìø¬– ë÷ ø¬– ë÷

ãë

쬖 ë

ïê­·² 쬖 ë

ì¬ ø¬– ë÷ õ

ë

ïê­·² ìø¬– ë÷ ø¬– ë÷ õ

îë

ì½±­ ìø¬– ë÷ ø¬– ë÷ò

éîò λ½¿´´ º®±³ Í»½¬·±² íòè ¬¸¿¬ ³¨ ã –µ¨ õ ºø¬÷ò Ò±© ³ ã Éñ¹ ã íîñíî ã ï ­´«¹ô ¿²¼ íî ã îµ ­± ¬¸¿¬

µ ¨ õ ïê¨ ã ºø¬÷ò ̸» ·²·¬·¿´ ½±²¼·¬·±²­ ¿®» ¨øð÷ ã ðô ¨ øð÷ ã ðò

ß´­±ô ­·²½»

ºø¬÷ ã­·² ¬ô ð ¬ ä î

ðô ¬ î

¿²¼ ­·² ¬ ã ­·²ø¬– î ÷ ©» ½¿² ©®·¬»

ºø¬÷ ã ­·² ¬– ­·²ø¬– î ÷ ø¬– î ÷ò

­î ¥¨£õ ïê ¥¨£ ãï

­î õ ï– ï

­î õ ï»–î ò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥¨£ ©» ±¾¬¿·²

¥¨£ ãï

ø­î õ ïê÷ ø­î õ ï÷– ï

ø­î õ ïê÷ ø­î õ ï÷»–î

ã–ïñïë

­î õ ïêõ

ïñïë

­î õ ï– –ïñïë

­î õ ïêõ

ïñïë

­î õ ï»–î ò

216

4.3 Ì®¿²­´¿¬·±² ̸»±®»³­

̸«­

¨ø¬÷ ã – ï

êð­·² ì¬õ

ï

ïë­·² ¬õ

ï

êð­·² ìø¬– î ÷ ø¬– î ÷– ï

ïë­·²ø¬– î ÷ ø¬– î ÷

ã– ï

êð ­·² ì¬õ ïïë ­·² ¬ô ð ¬ ä î

ðô ¬ î ò

éíò

îò뼯

¼¬õ ïîòë¯ ã ë ø¬– í÷ò

̸» Ô¿°´¿½» ¬®¿²­º±®³ ±º ¬¸·­ »¯«¿¬·±² ·­

­ ¥¯£õ ë ¥¯£ ãî

­»–í­ò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥¯£ ©» ±¾¬¿·²

¥¯£ ãî

­ø­õ ë÷»–í­ ã

î

ëi ï­– î

ëi ï

­õ ë»–í­ò

̸«­

¯ø¬÷ ãî

ëø¬– í÷– î

ë»–ëø¬–í÷ ø¬– í÷ò

éìò

ïð¼¯

¼¬õ ïð¯ ã í𻬠– í𻬠ø¬– ïòë÷ò

̸» Ô¿°´¿½» ¬®¿²­º±®³ ±º ¬¸·­ »¯«¿¬·±² ·­

­ ¥¯£ – ¯ð õ ¥¯£ ãí

­– ï– í»ïòë

­– ïòë»–ïòë­ò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥¯£ ©» ±¾¬¿·²

¥¯£ ã ¯ð –í

îi ï

­õ ïõ

í

îi ï

­– ï– í»ïòë

–îñë

­õ ïõ

îñë

­– ïòë»–ïòë­ò

̸«­

¯ø¬÷ ã ¯ð –í

î»–¬ õ

í

 õ

ê

ë»ïòë »–ø¬–ïòë÷ – »ïòëø¬–ïòë÷ ø¬– ïòë÷ò

éëò ø¿÷

¼·

¼¬õ ïð· ã ­·² ¬õ ½±­ ¬– í

 í

îô ·øð÷ ã ðò

̸» Ô¿°´¿½» ¬®¿²­º±®³ ±º ¬¸·­ »¯«¿¬·±² ·­

­ ¥·£õ ïð ¥·£ ãï

­î õ ïõ

­»–í î

­î õ ïò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥·£ ©» ±¾¬¿·²

¥·£ ãï

ø­î õ ï÷ø­õ ïð÷õ

­

ø­î õ ï÷ø­õ ïð÷»–í î

ãï

ïðï

ï

­õ ïð– ­

­î õ ïõ

ïð

­î õ ïõ

ï

ïðï

–ïð

­õ ïðõ

ïð­

­î õ ïõ

ï

­î õ ï»–í îò

̸«­

·ø¬÷ ãï

ïðï»–ï𬠖 ½±­ ¬õ ïð ­·² ¬

õï

ïðï–ïð»–ïðø¬–í î÷ õ ïð ½±­ ¬– í

îõ ­·² ¬– í

 í

îò

217

ï î í ì ë ê¬

óðòî

ðòî

·

ï î í ì ë ê¬

ï

¯

4.3 Ì®¿²­´¿¬·±² ̸»±®»³­

ø¾÷

̸» ³¿¨·³«³ ª¿´«» ±º ·ø¬÷ ·­ ¿°°®±¨·³¿¬»´§ ðòï ¿¬ ¬ ã ïòéô ¬¸» ³·²·³«³ ·­ ¿°°®±¨·³¿¬»´§ –ðòï ¿¬ ìòéò

éêò ø¿÷

ëð¼¯

¼¬õ

ï

ðòðï¯ ã ÛðÅ ø¬– ï÷– ø¬– í÷Ãô ¯øð÷ ã ð

±®

ëð¼¯

¼¬õ ïðð¯ ã ÛðÅ ø¬– ï÷– ø¬– í÷Ãô ¯øð÷ ã ðò

̸» Ô¿°´¿½» ¬®¿²­º±®³ ±º ¬¸·­ »¯«¿¬·±² ·­

ëð­ ¥¯£õ ïð𠥯£ ã Ûðï

­»–­ – ï

­»–í­ ò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥¯£ ©» ±¾¬¿·²

¥¯£ ãÛð

ëð

»–­

­ø­õ î÷– »–í­

­ø­õ î÷ã

Ûð

ëð

ï

î

ï

­– ï

­õ î»–­ – ï

î

ï

­– ï

­õ î»–í­ ò

̸«­

¯ø¬÷ ãÛð

ïððï– »–îø¬–ï÷ ø¬– ï÷– ï– »–îø¬–í÷ ø¬– í÷ ò

ø¾÷

̸» ³¿¨·³«³ ª¿´«» ±º ¯ø¬÷ ·­ ¿°°®±¨·³¿¬»´§ ï ¿¬ ¬ ã íò

ééò

Û×¼ì§

¼¨ìã ©ðÅï– ø¨– Ôñî÷Ãò

Ì¿µ·²¹ ¬¸» Ô¿°´¿½» ¬®¿²­º±®³ ±º ¾±¬¸ ­·¼»­ ¿²¼ «­·²¹ §øð÷ ã § øð÷ ã ð ©» ±¾¬¿·²

­ì ¥§£ – ­§ øð÷– § øð÷ ã©ð

Û×

ï

­ï– »–Ô­ñî ò

Ô»¬¬·²¹ § øð÷ ã ½ï ¿²¼ § øð÷ ã ½î ©» ¸¿ª»

¥§£ ã½ï­í

õ½î­ì

õ©ð

Û×

ï

­ëï– »–Ô­ñî

­± ¬¸¿¬

§ø¨÷ ãï

î½ï¨

î õï

ê½î¨

í õï

îì

©ð

Û×¨ì – ¨– Ô

î

ì

¨– Ô

îò

̱ •²¼ ½ï ¿²¼ ½î ©» ½±³°«¬»

§ ø¨÷ ã ½ï õ ½î¨õï

î

©ð

Û×¨î – ¨– Ô

î

î

¨– Ô

î

¿²¼

218

4.3 Ì®¿²­´¿¬·±² ̸»±®»³­

§ ø¨÷ ã ½î õ©ð

Ûר– ¨– Ô

 Ô

îò

̸»² § øÔ÷ ã § øÔ÷ ã ð §·»´¼­ ¬¸» ­§­¬»³

½ï õ ½îÔõï

î

©ð

Û×Ôî – Ô

î

î

ã ½ï õ ½îÔõí

è

©ðÔî

Û×ã ð

½î õ©ð

Û×

Ô

îã ½î õ

ï

î

©ðÔ

Û×ã ðò

ͱ´ª·²¹ º±® ½ï ¿²¼ ½î ©» ±¾¬¿·² ½ï ã ïè©ðÔîñÛ× ¿²¼ ½î ã –ï

î©ðÔñÛ× ò ̸«­

§ø¨÷ ã©ð

Û×

ï

ïêÔî¨î – ï

ïîÔ¨í õ

ï

îì¨ì – ï

î쨖 Ô

î

ì

¨– Ô

îò

éèò

Û×¼ì§

¼¨ìã ©ðÅ ø¨– Ôñí÷– ø¨– îÔñí÷Ãò

Ì¿µ·²¹ ¬¸» Ô¿°´¿½» ¬®¿²­º±®³ ±º ¾±¬¸ ­·¼»­ ¿²¼ «­·²¹ §øð÷ ã § øð÷ ã ð ©» ±¾¬¿·²

­ì ¥§£ – ­§ øð÷– § øð÷ ã©ð

Û×

ï

­»–Ô­ñí – »–îÔ­ñí ò

Ô»¬¬·²¹ § øð÷ ã ½ï ¿²¼ § øð÷ ã ½î ©» ¸¿ª»

¥§£ ã½ï­í

õ½î­ì

õ©ð

Û×

ï

­ë»–Ô­ñí – »–îÔ­ñí

­± ¬¸¿¬

§ø¨÷ ãï

î½ï¨

î õï

ê½î¨

í õï

îì

©ð

Ûר– Ô

í

ì

¨– Ô

í– ¨– îÔ

í

ì

¨– îÔ

íò

̱ •²¼ ½ï ¿²¼ ½î ©» ½±³°«¬»

§ ø¨÷ ã ½ï õ ½î¨õï

î

©ð

Ûר– Ô

í

î

¨– Ô

í– ¨– îÔ

í

î

¨– îÔ

í

¿²¼

§ ø¨÷ ã ½î õ©ð

Ûר– Ô

í¨– Ô

í– ¨– îÔ

í¨– îÔ

íò

̸»² § øÔ÷ ã § øÔ÷ ã ð §·»´¼­ ¬¸» ­§­¬»³

½ï õ ½îÔõï

î

©ð

Û×

îÔ

í

î

– Ô

í

î

ã ½ï õ ½îÔõï

ê

©ðÔî

Û×ã ð

½î õ©ð

Û×

îÔ

í– Ô

íã ½î õ

ï

í

©ðÔ

Û×ã ðò

ͱ´ª·²¹ º±® ½ï ¿²¼ ½î ©» ±¾¬¿·² ½ï ã ïê©ðÔîñÛ× ¿²¼ ½î ã –ï

í©ðÔñÛ× ò ̸«­

§ø¨÷ ã©ð

Û×

ï

ïîÔî¨î – ï

ïèÔ¨í õ

ï

î쨖 Ô

í

ì

¨– Ô

í– ¨– îÔ

í

ì

¨– îÔ

íò

éçò

Û×¼ì§

¼¨ìã

î©ð

Ô

Ô

î– ¨õ ¨– Ô

 Ô

îò

219

4.3 Ì®¿²­´¿¬·±² ̸»±®»³­

Ì¿µ·²¹ ¬¸» Ô¿°´¿½» ¬®¿²­º±®³ ±º ¾±¬¸ ­·¼»­ ¿²¼ «­·²¹ §øð÷ ã § øð÷ ã ð ©» ±¾¬¿·²

­ì ¥§£ – ­§ øð÷– § øð÷ ãî©ð

Û×Ô

Ô

î­– ï

­îõ

ï

­î»–Ô­ñî ò

Ô»¬¬·²¹ § øð÷ ã ½ï ¿²¼ § øð÷ ã ½î ©» ¸¿ª»

¥§£ ã½ï­í

õ½î­ì

õî©ð

Û×Ô

Ô

î­ë– ï

­êõ

ï

­ê»–Ô­ñî

­± ¬¸¿¬

§ø¨÷ ãï

î½ï¨

î õï

ê½î¨

í õî©ð

Û×Ô

Ô

ìè¨ì – ï

ïîð¨ë õ

ï

ïî𨖠Ô

î

ë

¨– Ô

î

ãï

î½ï¨

î õï

ê½î¨

í õ©ð

êðÛ×Ô

ëÔ

î¨ì – ¨ë õ ¨– Ô

î

ë

¨– Ô

îò

̱ •²¼ ½ï ¿²¼ ½î ©» ½±³°«¬»

§ ø¨÷ ã ½ï õ ½î¨õ©ð

êðÛ×ÔíðÔ¨î – îð¨í õ îð ¨– Ô

î

í

¨– Ô

î

¿²¼

§ ø¨÷ ã ½î õ©ð

êðÛ×ÔêðÔ¨– êð¨î õ êð ¨– Ô

î

î

¨– Ô

îò

̸»² § øÔ÷ ã § øÔ÷ ã ð §·»´¼­ ¬¸» ­§­¬»³

½ï õ ½îÔõ©ð

êðÛ×ÔíðÔí – îðÔí õ

ë

îÔí ã ½ï õ ½îÔõ

ë©ðÔî

îìÛ×ã ð

½î õ©ð

êðÛ×ÔÅêðÔî – êðÔî õ ïëÔîà 㠽î õ

©ðÔ

ìÛ×ã ðò

ͱ´ª·²¹ º±® ½ï ¿²¼ ½î ©» ±¾¬¿·² ½ï ã ©ðÔîñîìÛ× ¿²¼ ½î ã –©ðÔñìÛ× ò ̸«­

§ø¨÷ ã©ðÔî

ìèÛ×¨î – ©ðÔ

îìÛרí õ

©ð

êðÛ×Ô

ëÔ

î¨ì – ¨ë õ ¨– Ô

î

ë

¨– Ô

îò

èðò

Û×¼ì§

¼¨ìã ©ðÅï– ø¨– Ôñî÷Ãò

Ì¿µ·²¹ ¬¸» Ô¿°´¿½» ¬®¿²­º±®³ ±º ¾±¬¸ ­·¼»­ ¿²¼ «­·²¹ §øð÷ ã § øð÷ ã ð ©» ±¾¬¿·²

­ì ¥§£ – ­§ øð÷– § øð÷ ã©ð

Û×

ï

­ï– »–Ô­ñî ò

Ô»¬¬·²¹ § øð÷ ã ½ï ¿²¼ § øð÷ ã ½î ©» ¸¿ª»

¥§£ ã½ï­í

õ½î­ì

õ©ð

Û×

ï

­ëï– »–Ô­ñî

­± ¬¸¿¬

§ø¨÷ ãï

î½ï¨

î õï

ê½î¨

í õï

îì

©ð

Û×¨ì – ¨– Ô

î

ì

¨– Ô

îò

̱ •²¼ ½ï ¿²¼ ½î ©» ½±³°«¬»

§ ø¨÷ ã ½ï õ ½î¨õï

î

©ð

Û×¨î – ¨– Ô

î

î

¨– Ô

îò

220

4.3 Ì®¿²­´¿¬·±² ̸»±®»³­

̸»² §øÔ÷ ã § øÔ÷ ã ð §·»´¼­ ¬¸» ­§­¬»³

ï

î½ïÔ

î õï

ê½îÔ

í õï

îì

©ð

Û×Ôì – Ô

î

ì

ãï

î½ïÔ

î õï

ê½îÔ

í õë©ð

ïîèÛ×Ôì ã ð

½ï õ ½îÔõï

î

©ð

Û×Ôî – Ô

î

î

ã ½ï õ ½îÔõí©ð

èÛ×Ôî ã ðò

ͱ´ª·²¹ º±® ½ï ¿²¼ ½î ©» ±¾¬¿·² ½ï ã çïîè ©ðÔîñÛ× ¿²¼ ½î ã – ëé

ïîè ©ðÔñÛ×ò ̸«­

§ø¨÷ ã©ð

Û×

ç

îëêÔî¨î – ïç

îëêÔ¨í õ

ï

îì¨ì – ï

î쨖 Ô

î

ì

¨– Ô

îò

èïò ø¿÷ ̸» ¬»³°»®¿¬«®» Ì ±º ¬¸» ½¿µ» ·²­·¼» ¬¸» ±ª»² ·­ ³±¼»´»¼ ¾§

¼Ì

¼¬ã µøÌ – ̳÷

©¸»®» ̳ ·­ ¬¸» ¿³¾·»²¬ ¬»³°»®¿¬«®» ±º ¬¸» ±ª»²ò Ú±® ð ¬ ìô ©» ¸¿ª»

̳ ã éð õíðð– éð

ì– ð¬ ã éð õ ëéòë¬ò

Ø»²½» º±® ¬ ðô

̳ ãéð õ ëéòë¬ô ð ¬ ä ì

íððô ¬ ìò

ײ ¬»®³­ ±º ¬¸» «²·¬ ­¬»° º«²½¬·±²ô

̳ ã øéð õ ëéòë¬÷Åï– ø¬– ì÷à õ íðð ø¬– ì÷ ã éð õ ëéòë¬õ øîíð– ëéòë¬÷ ø¬– ì÷ò

̸» ·²·¬·¿´óª¿´«» °®±¾´»³ ·­ ¬¸»²

¼Ì

¼¬ã µÅÌ – éð– ëéò묖 øîíð– ëéòë¬÷ ø¬– ì÷Ãô Ì øð÷ ã éðò

ø¾÷ Ô»¬ ¬ø­÷ ã ¥Ì ø¬÷£ò Ì®¿²­º±®³·²¹ ¬¸» »¯«¿¬·±²ô «­·²¹ îíð– ëéòë¬ ã –ëéòëø¬– ì÷ ¿²¼ ̸»±®»³ ìòéô ¹·ª»­

­¬ø­÷– éð ã µ ¬ø­÷– éð

­– ëéòë

­îõ

ëéòë

­î»–ì­

±®

¬ø­÷ ãéð

­– µ– éðµ

­ø­– µ÷– ëéòëµ

­îø­– µ÷õ

ëéòëµ

­îø­– µ÷»–ì­ò

ߺ¬»® «­·²¹ °¿®¬·¿´ º«²½¬·±²­ô ¬¸» ·²ª»®­» ¬®¿²­º±®³ ·­ ¬¸»²

Ì ø¬÷ ã éð õ ëéòëï

µõ ¬– ï

µ»µ¬ – ëéòë

ï

µõ ¬– ì– ï

µ»µø¬–ì÷ ø¬– ì÷ò

Ѻ ½±«®­»ô ¬¸» ±¾ª·±«­ ¯«»­¬·±² ·­æ ɸ¿¬ ·­ µá ׺ ¬¸» ½¿µ» ·­ ­«°°±­»¼ ¬± ¾¿µ» º±®ô ­¿§ô îð ³·²«¬»­ô ¬¸»²

Ì øîð÷ ã íððò ̸¿¬ ·­ô

íðð ã éð õ ëéòëï

µõ îð– ï

µ»îðµ – ëéòë

ï

µõ ïê– ï

µ»ïêµ ò

Þ«¬ ¬¸·­ »¯«¿¬·±² ¸¿­ ²± °¸§­·½¿´´§ ³»¿²·²¹º«´ ­±´«¬·±²ò ̸·­ ­¸±«´¼ ¾» ²± ­«®°®·­» ­·²½» ¬¸» ³±¼»´ °®»¼·½¬­

¬¸» ¿­§³°¬±¬·½ ¾»¸¿ª·±® Ì ø¬÷ íðð ¿­ ¬ ·²½®»¿­»­ò Ë­·²¹ Ì øîð÷ ã îçç ·²­¬»¿¼ô ©» •²¼ô ©·¬¸ ¬¸» ¸»´° ±º ¿

ÝßÍô ¬¸¿¬ µ ðòíò

èîò ײ ±®¼»® ¬± ¿°°´§ ̸»±®»³ ìòé ©» ²»»¼ ¬¸» º«²½¬·±² ¬± ¸¿ª» ¬¸» º±®³ ºø¬ – ¿÷ ø¬ – ¿÷ò ̱ ¿½½±³°´·­¸ ¬¸·­

®»©®·¬» ¬¸» º«²½¬·±²­ ¹·ª»² ·² ¬¸» º±®³­ ­¸±©² ¾»´±©ò

221

4.3 Ì®¿²­´¿¬·±² ̸»±®»³­

ø¿÷ î¬õ ï ã îø¬– ï õ ï÷ õ ï ã îø¬– ï÷ õ í ø¾÷ »¬ ã »¬–ëõë 㠻뻬–ë

ø½÷ ½±­ ¬ ã – ½±­ø¬– ÷ ø¼÷ ¬î – í¬ ã ø¬– î÷î õ ø¬– î÷– î

èíò ø¿÷ Ú®±³ ̸»±®»³ ìòê ©» ¸¿ª» ¥¬»µ¬·£ ã ïñø­– µ·÷îò ̸»²ô «­·²¹ Û«´»®•­ º±®³«´¿ô

¥¬»µ¬·£ ã ¥¬ ½±­ µ¬õ ·¬ ­·² µ¬£ ã ¥¬ ½±­ µ¬£õ · ¥¬ ­·² µ¬£

ãï

ø­– µ·÷îã

ø­õ µ·÷î

ø­î õ µî÷îã

­î – µî

ø­î õ µî÷îõ ·

îµ­

ø­î õ µî÷îò

Û¯«¿¬·²¹ ®»¿´ ¿²¼ ·³¿¹·²¿®§ °¿®¬­ ©» ¸¿ª»

¥¬ ½±­ µ¬£ ã­î – µî

ø­î õ µî÷¼ ¥¬ ­·² µ¬£ ã

îµ­

ø­î õ µî÷îò

ø¾÷

­î ¥¨£õ î ¥¨£ ã­

­î õ îò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥¨£ ©» ±¾¬¿·² ¥¨£ ã ­ñø­î õ î÷îò ̸«­ ¨ ã øïñî ÷¬ ­·² ò

EXERCISES 4.4Additional Operational Properties

ïò ¥¬»–ï𬣠㠖 ¼

¼­

ï

­õ ïðã

ï

ø­õ ïð÷îîò ¥¬í»¬£ ã ø–ï÷í

¼í

¼­íï

­– ïã

ê

ø­– ï÷ì

íò ¥¬ ½±­  ã – ¼

¼­

­

­î õ ìã

­î – ì

ø­î õ ì÷îìò ¥¬ ­·²¸ í¬£ ã – ¼

¼­

í

­î – çã

ê­

ø­î – ç÷î

ëò ¥¬î ­·²¸ ¬£ ã¼î

¼­îï

­î – ïã

ê­î õ î

ø­î – ï÷í

êò ¥¬î ½±­ ¬£ ã¼î

¼­î­

­î õ ïã

¼

¼­

ï– ­î

ø­î õ ï÷îã

î­ ­î – í

ø­î õ ï÷í

éò ¬»î¬ ­·² ê¬ ã – ¼

¼­

ê

ø­– î÷î õ íêã

ïîø­– î÷

Åø­– î÷î õ íêÃî

èò ¬»–í¬ ½±­ í¬ ã – ¼

¼­

­õ í

ø­õ í÷î õ çã

ø­õ í÷î – ç

Åø­õ í÷î õ çÃî

çò

­ ¥§£õ ¥§£ ãî­

ø­î õ ï÷îò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥§£ ©» ±¾¬¿·²

¥§£ ãî­

ø­õ ï÷ø­î õ ï÷îã –ï

î

ï

­õ ï– ï

î

ï

­î õ ïõ

ï

î

­

­î õ ïõ

ï

ø­î õ ï÷îõ

­

ø­î õ ï÷îò

222

4.4 ß¼¼·¬·±²¿´ Ñ°»®¿¬·±²¿´ Ю±°»®¬·»­

̸«­

§ø¬÷ ã –ï

î»–¬ – ï

î­·² ¬õ

ï

î½±­ ¬õ

ï

îø­·² ¬– ¬ ½±­ ¬÷ õ

ï

î¬ ­·² ¬

ã –ï

î»–¬ õ

ï

î½±­ ¬– ï

î¬ ½±­ ¬õ

ï

î¬ ­·² ¬ò

ïðò

­ ¥§£ – ¥§£ ãîø­– ï÷

øø­– ï÷î õ ï÷îò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥§£ ©» ±¾¬¿·²

¥§£ ãî

øø­– ï÷î õ ï÷îò

̸«­

§ ã »¬ ­·² ¬– ¬»¬ ½±­ ¬ò

ïïò

­î ¥§£ – ­§øð÷– § øð÷ õ ç ¥§£ ã­

­î õ çò

Ô»¬¬·²¹ §øð÷ ã î ¿²¼ § øð÷ ã ë ¿²¼ ­±´ª·²¹ º±® ¥§£ ©» ±¾¬¿·²

¥§£ ãî­í õ ë­î õ ïç­– ìë

ø­î õ ç÷îã

î­

­î õ çõ

ë

­î õ çõ

­

ø­î õ ç÷îò

̸«­

§ ã î ½±­ í¬õë

í­·² í¬õ

ï

ê¬ ­·² í¬ò

ïîò

­î ¥§£ – ­§øð÷– § øð÷ õ ¥§£ ãï

­î õ ïò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥§£ ©» ±¾¬¿·²

¥§£ ã­í – ­î õ ­

ø­î õ ï÷îã

­

­î õ ï– ï

­î õ ïõ

ï

ø­î õ ï÷îò

̸«­

§ ã ½±­ ¬– ­·² ¬õï

î­·² ¬– ï

î¬ ½±­ ¬ ã ½±­ ¬– ï

î­·² ¬– ï

î¬ ½±­ ¬ò

ïíò

­î ¥§£ – ­§øð÷– § øð÷ õ ïê ¥§£ ã ¥½±­ 쬖 ½±­ ì¬ ø¬– ÷£

±® ¾§ øïê÷ ±º Í»½¬·±² ìòí ·² ¬¸» ¬»¨¬ô

ø­î õ ïê÷ ¥§£ ã ï õ­

­î õ ïê– »– ¥½±­ ìø¬õ ÷£

ã ï õ­

­î õ ïê– »– ¥½±­ 쬣 ã ï õ

­

­î õ ïê– ­

­î õ ïê»– ò

̸«­

¥§£ ãï

­î õ ïêõ

­

ø­î õ ïê÷î– ­

ø­î õ ïê÷î»–

¿²¼

§ ãï

ì­·² ì¬õ

ï

è¬ ­·² 쬖 ï

èø¬– ÷ ­·² ìø¬– ÷ ø¬– ÷ò

223

ï î í ì ë ê¬

óï

óðòë

ðòë

ï

§

ï î í ì ë ê¬

óì

óî

î

ì

§

4.4 ß¼¼·¬·±²¿´ Ñ°»®¿¬·±²¿´ Ю±°»®¬·»­

ïìò

­î ¥§£ – ­§øð÷– § øð÷ õ ¥§£ ã ï– ¬–î

õ ­·² ¬ ¬–î

ø­î õ ï÷ ¥§£ ã ­õï

­– ï

­»– î õ »– î ­·² ¬õ

î±®

ã ­õï

­– ï

­»– î õ »– î ¥½±­ ¬£

ã ­õï

­– ï

­»– î õ

­

­î õ ï»– îò

̸«­

¥§£ ã­

­î õ ïõ

ï

­ø­î õ ï÷– ï

­ø­î õ ï÷»– î õ

­

ø­î õ ï÷î»– î

ã­

­î õ ïõ

ï

­– ­

­î õ ï– ï

­– ­

­î õ ï»– î õ

­

ø­î õ ï÷î»– î

ãï

­– ï

­– ­

­î õ ï»– î õ

­

ø­î õ ï÷î»– î

¿²¼

§ ã ï– ï– ½±­ ¬–î

¬–î

õï



î­·² ¬–



î

ã ï– øï– ­·² ¬÷ ¬–î

– ï



î½±­ ¬ ¬–

îò

ïëò ïêò

ïéò Ú®±³ øé÷ ±º Í»½¬·±² ìòî ·² ¬¸» ¬»¨¬ ¿´±²¹ ©·¬¸ ̸»±®»³ ìòèô

¥¬§ £ ã – ¼

¼­¥§ £ ã – ¼

¼­Å­îÇ ø­÷– ­§øð÷– § øð÷à 㠖­î

¼Ç

¼­– î­Ç õ §øð÷ô

·² Ç ø­÷æ

­îÇ õ í­Ç ã – ì

­í±® Ç õ

í

­Ç ã – ì

­ëò

̸» ­±´«¬·±² ±º ¬¸» ´¿¬¬»® »¯«¿¬·±² ·­ Ç ø­÷ ã ìñ­ì õ ½ñ­íô ­±

§ø¬÷ ã ¥Ç ø­÷£ ãî

í¬í õ

½

î¬îò

ïèò Ú®±³ ̸»±®»³ ìòè ·² ¬¸» ¬»¨¬

¥¬§ £ ã – ¼

¼­¥§ £ ã – ¼

¼­Å­Ç ø­÷– §øð÷à 㠖­

¼Ç

¼­– Ç

·² Ç ø­÷æ

Ç õí

­– î­ Ç ã –ïð

­ò

224

4.4 ß¼¼·¬·±²¿´ Ñ°»®¿¬·±²¿´ Ю±°»®¬·»­

Ë­·²¹ ¬¸» ·²¬»¹®¿¬·²¹ º¿½¬±® ­í»–­î ô ¬¸» ´¿­¬ »¯«¿¬·±² §·»´¼­

Ç ø­÷ ãë

­íõ

½

­í»­

î

ò

Þ«¬ ·º Ç ø­÷ ·­ ¬¸» Ô¿°´¿½» ¬®¿²­º±®³ ±º ¿ °·»½»©·­»ó½±²¬·²«±«­ º«²½¬·±² ±º »¨°±²»²¬·¿´ ±®¼»®ô ©» ³«­¬ ¸¿ª»ô ·²

ª·»© ±º ̸»±®»³ ìòëô ´·³­ Ç ø­÷ ã ðò ײ ±®¼»® ¬± ±¾¬¿·² ¬¸·­ ½±²¼·¬·±² ©» ®»¯«·®» ½ ã ðò Ø»²½»

§ø¬÷ ãë

­íã

ë

î¬îò

ïçò ï ¬í ãï

­

íÿ

­ìã

ê

­ëîðò ¬î ¬»¬ ã

î

­íø­– ï÷î

îïò »–¬ »¬ ½±­ ¬ ã­– ï

ø­õ ï÷ Åø­– ï÷î õ ïÃîîò »î¬ ­·² ¬ ã

ï

ø­– î÷ø­î õ ï÷

îíò¬

ð

» ãï

­¥»¬£ ã

ï

­ø­– ï÷

îìò¬

ð

½±­ ãï

­¥½±­ ¬£ ã

­

­ø­î õ ï÷ã

ï

­î õ ï

îëò¬

ð

»– ½±­ ãï

­»–¬ ½±­ ¬ ã

ï

­

­õ ï

ø­õ ï÷î õ ïã

­õ ï

­ ø­î õ î­õ î÷

îêò¬

ð

­·² ãï

­¥¬ ­·² ¬£ ã

ï

­– ¼

¼­

ï

­î õ ïã –ï

­

–î­

ø­î õ ï÷îã

î

ø­î õ ï÷î

îéò¬

ð

¬– ã ¥¬£ ¥»¬£ ãï

­îø­– ï÷

îèò¬

ð

­·² ½±­ø¬– ÷ ã ¥­·² ¬£ ¥½±­ ¬£ ã­

ø­î õ ï÷î

îçò ¬¬

ð

­·² ã – ¼

¼­

¬

ð

­·² ã – ¼

¼­

ï

­

ï

­î õ ïã

í­î õ ï

­î ø­î õ ï÷î

íðò ¬¬

ð

– ã – ¼

¼­

¬

ð

– ã – ¼

¼­

ï

­

ï

ø­õ ï÷îã

í­õ ï

­îø­õ ï÷í

íïòï

­ø­– ï÷ã

ïñø­– ï÷

­ã

¬

ð

» ã »¬ – ï

íîòï

­îø­– ï÷ã

ïñ­ø­– ï÷

­ã

¬

ð

ø» – ï÷ ã »¬ – ¬– ï

ííòï

­íø­– ï÷ã

ïñ­îø­– ï÷

­ã

¬

ð

ø» – – ï÷ ã »¬ – ï

î¬î – ¬– ï

íìò Ë­·²¹ï

ø­– ¿÷îã ¬»¿¬ô øè÷ ·² ¬¸» ¬»¨¬ ¹·ª»­

ï

­ø­– ¿÷îã

¬

ð

ãï

¿îø¿¬»¿¬ – »¿¬ õ ï÷ò

íëò ø¿÷ ̸» ®»­«´¬ ·² øì÷ ·² ¬¸» ¬»¨¬ ·­ ¥Ú ø­÷Ùø­÷£ ã º ¹ô ­± ·¼»²¬·º§

Ú ø­÷ ãîµí

ø­î õ µî÷¼ Ùø­÷ ã

ì­

­î õ µîò

225

t

y

5 10 1550

50

4.4 ß¼¼·¬·±²¿´ Ñ°»®¿¬·±²¿´ Ю±°»®¬·»­

̸»²

ºø¬÷ ã ­·²µ¬– µ¬ ½±­ µ¬ ¿²¼ ¹ø¬÷ ã ì ½±­ µ¬

­±èµí­

ø­î õ µî÷íã ¥Ú ø­÷Ùø­÷£ ã º ¹ ã ì

¬

ð

ºø ÷¹ø¬– ÷¼¬

ã ì¬

ð

ø­·² – ½±­ ÷ ½±­ µø¬– ÷

Ë­·²¹ ¿ ÝßÍ ¬± »ª¿´«¿¬» ¬¸» ·²¬»¹®¿´ ©» ¹»¬

èµí­

ø­î õ µî÷íã ¬ ­·²µ¬– µ¬î ½±­ µ¬ò

ø¾÷ Ѿ­»®ª» º®±³ °¿®¬ ø¿÷ ¬¸¿¬

¬ø­·²µ¬– µ¬ ½±­ µ¬÷ ãèµí­

ø­î õ µî÷íô

¿²¼ º®±³ ̸»±®»³ ìòè ¬¸¿¬ ¬ºø¬÷ ã –Ú ø­÷ò É» ­¿© ·² øë÷ ·² ¬¸» ¬»¨¬ ¬¸¿¬

¥­·² µ¬– µ¬ ½±­ µ¬£ ã îµíñø­î õ µî÷îô

­±

¬ø­·²µ¬– µ¬ ½±­ µ¬÷ ã – ¼

¼­

îµí

ø­î õ µî÷îã

èµí­

ø­î õ µî÷íò

íêò

­î ¥§£õ ¥§£ ãï

ø­î õ ï÷õ

î­

ø­î õ ï÷îò

̸«­

¥§£ ãï

ø­î õ ï÷îõ

î­

ø­î õ ï÷í

¿²¼ô «­·²¹ Ю±¾´»³ íë ©·¬¸ µ ã ïô

§ ãï

îø­·² ¬– ¬ ½±­ ¬÷ õ

ï

ìø¬ ­·² ¬– ¬î ½±­ ¬÷ò

íéò ̸» Ô¿°´¿½» ¬®¿²­º±®³ ±º ¬¸» ¹·ª»² »¯«¿¬·±² ·­

¥º£õ ¥¬£ ¥º£ ã ¥¬£ò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥º£ ©» ±¾¬¿·² ¥º£ ãï

­î õ ïò ̸«­ô ºø¬÷ ã ­·² ¬ò

íèò ̸» Ô¿°´¿½» ¬®¿²­º±®³ ±º ¬¸» ¹·ª»² »¯«¿¬·±² ·­

¥º£ 㠥 – ì ¥­·² ¬£ ¥º£ò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥º£ ©» ±¾¬¿·²

¥º£ ãî­î õ î

­îø­î õ ë÷ã

î

ë

ï

­îõ

è

ë ë

ë

­î õ ëò

̸«­

ºø¬÷ ãî

ë¬õ

è

ë ë­·² ë ¬ò

íçò ̸» Ô¿°´¿½» ¬®¿²­º±®³ ±º ¬¸» ¹·ª»² »¯«¿¬·±² ·­

¥º£ ã ¬»¬ õ ¥¬£ ¥º£ò

226

4.4 ß¼¼·¬·±²¿´ Ñ°»®¿¬·±²¿´ Ю±°»®¬·»­

ͱ´ª·²¹ º±® ¥º£ ©» ±¾¬¿·²

¥º£ ã­î

ø­– ï÷íø­õ ï÷ã

ï

è

ï

­– ïõ

í

ì

ï

ø­– ï÷îõ

ï

ì

î

ø­– ï÷í– ï

è

ï

­õ ïò

̸«­

ºø¬÷ ãï

軬 õ

í

쬻¬ õ

ï

ì¬î»¬ – ï

è»–¬

ìðò ̸» Ô¿°´¿½» ¬®¿²­º±®³ ±º ¬¸» ¹·ª»² »¯«¿¬·±² ·­

¥º£õ î ¥½±­ ¬£ ¥º£ ã ì »–¬ õ ¥­·² ¬£ò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥º£ ©» ±¾¬¿·²

¥º£ ãì­î õ ­õ ë

ø­õ ï÷íã

ì

­õ ï– é

ø­õ ï÷îõ ì

î

ø­õ ï÷íò

̸«­

ºø¬÷ ã ì»–¬ – 鬻–¬ õ ì¬î»–¬ò

ìïò ̸» Ô¿°´¿½» ¬®¿²­º±®³ ±º ¬¸» ¹·ª»² »¯«¿¬·±² ·­

¥º£õ ¥ï£ ¥º£ ã ¥ï£ò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥º£ ©» ±¾¬¿·² ¥º£ ãï

­õ ïò ̸«­ô ºø¬÷ ã »–¬ò

ìîò ̸» Ô¿°´¿½» ¬®¿²­º±®³ ±º ¬¸» ¹·ª»² »¯«¿¬·±² ·­

¥º£ ã ¥½±­ ¬£õ »–¬ ¥º£ò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥º£ ©» ±¾¬¿·²

¥º£ ã­

­î õ ïõ

ï

­î õ ïò

̸«­

ºø¬÷ ã ½±­ ¬õ ­·² ¬ò

ìíò ̸» Ô¿°´¿½» ¬®¿²­º±®³ ±º ¬¸» ¹·ª»² »¯«¿¬·±² ·­

¥º£ ã ¥ï£õ ¥¬£ – è

í

¬

ð

ø¬– ÷íºø ÷

ãï

­õ

ï

­îõ

è

í¥¬í£ ¥º£ ã

ï

­õ

ï

­îõ

ïê

­ì¥º£ò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥º£ ©» ±¾¬¿·²

¥º£ ã­îø­õ ï÷

­ì – ïêã

ï

è

ï

­õ îõ

í

è

ï

­– îõ

ï

ì

î

­î õ ìõ

ï

î

­

­î õ ìò

̸«­

ºø¬÷ ãï

è»–î¬ õ

í

è»î¬ õ

ï

ì­·² î¬õ

ï

î½±­ î¬ò

ììò ̸» Ô¿°´¿½» ¬®¿²­º±®³ ±º ¬¸» ¹·ª»² »¯«¿¬·±² ·­

¥¬£ – î ¥º£ ã »¬ – »–¬ ¥º£ò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥º£ ©» ±¾¬¿·²

¥º£ ã­î – ï

î­ìã

ï

î

ï

­î– ï

ïî

íÿ

­ìò

227

ðòë ï ïòë î îòë í ¬

óíð

óîð

óïð

ïð

îð

íð·

ðòë ï ïòë î ¬

ðòë

ï

ïòë

î

·

4.4 ß¼¼·¬·±²¿´ Ñ°»®¿¬·±²¿´ Ю±°»®¬·»­

̸«­

ºø¬÷ ãï

 ï

ïî¬íò

ìëò ̸» Ô¿°´¿½» ¬®¿²­º±®³ ±º ¬¸» ¹·ª»² »¯«¿¬·±² ·­

­ ¥§£ – §øð÷ ã ¥ï£ – ¥­·² ¬£ – ¥ï£ ¥§£ò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥º£ ©» ±¾¬¿·²

¥§£ ã­î – ­õ ï

ø­î õ ï÷îã

ï

­î õ ï– ï

î

î­

ø­î õ ï÷îò

̸«­

§ ã ­·² ¬– ï

î¬ ­·² ¬ò

ìêò ̸» Ô¿°´¿½» ¬®¿²­º±®³ ±º ¬¸» ¹·ª»² »¯«¿¬·±² ·­

­ ¥§£ – §øð÷ õ ê ¥§£õ ç ¥ï£ ¥§£ ã ¥ï£ò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥º£ ©» ±¾¬¿·² ¥§£ ãï

ø­õ í÷îò ̸«­ô § ã ¬»–í¬ò

ìéò

ðòï¼·

¼¬õ í·õ

ï

ðòðë

¬

ð

·ø ÷ ã ïðð ø¬– ï÷– ø¬– î÷

±®¼·

¼¬õ íð·õ îðð

¬

ð

·ø ÷ ã ïððð ø¬– ï÷– ø¬– î÷ ô

©¸»®» ·

­ ¥·£ – §øð÷ õ íð ¥·£õîðð

­¥·£ ã

ïððð

­ø»–­ – »–î­÷ò

ͱ´ª·²¹ º±® ¥·£ ©» ±¾¬¿·²

¥·£ ãïððð»–­ – ïððð»–î­

­î õ íð­õ îððã

ïðð

­õ ïð– ïðð

­õ îðø»–­ – »–î­÷ò

̸«­

·ø¬÷ ã ïðð »–ïðø¬–ï÷ – »–îðø¬–ï÷ ø¬– ï÷– ïðð »–ïðø¬–î÷ – »–îðø¬–î÷ ø¬– î÷ò

ìèò

ðòððë¼·

¼¬õ ·õ

ï

ðòðî

¬

ð

·ø ÷ ã ïðð ¬– ø¬– ï÷ ø¬– ï÷

±®¼·

¼¬õ îðð·õ ïðôððð

¬

ð

·ø ÷ ã îðôððð ¬– ø¬– ï÷ ø¬– ï÷ ô

©¸»®» ·

­ ¥·£õ îðð ¥·£õ ïðôððð

­¥·£ ã îðôððð

ï

­î– ï

­î»–­ ò

228

4.4 ß¼¼·¬·±²¿´ Ñ°»®¿¬·±²¿´ Ю±°»®¬·»­

ͱ´ª·²¹ º±® ¥·£ ©» ±¾¬¿·²

¥·£ ãîðôððð

­ø­õ ïðð÷îøï– »–­÷ ã

î

­– î

­õ ïðð– îðð

ø­õ ïðð÷îøï– »–­÷ò

̸«­

·ø¬÷ ã î– î»–ïð𬠖 îð𬻖ïð𬠖 î ø¬– ï÷ õ î»–ïððø¬–ï÷ ø¬– ï÷ õ îððø¬– ï÷»–ïððø¬–ï÷ ø¬– ï÷ò

ìçò ¥ºø¬÷£ ãï

ï– »–î¿­

¿

ð

»–­¬¼¬–î¿

¿

»–­¬¼¬ ãøï– »–¿­÷î

­øï– »–î¿­÷ã

ï– »–¿­

­øï õ »–¿­÷

ëðò ¥ºø¬÷£ ãï

ï– »–î¿­

¿

ð

»–­¬¼¬ ãï

­øï õ »–¿­÷

ëïò Ë­·²¹ ·²¬»¹®¿¬·±² ¾§ °¿®¬­ô

¥ºø¬÷£ ãï

ï– »–¾­

¾

ð

¿

¾¬»–­¬¼¬ ã

¿

­

ï

¾­– ï

»¾­ – ïò

ëîò ¥ºø¬÷£ ãï

ï– »–î­

ï

ð

¬»–­¬¼¬õî

ï

øî– ¬÷»–­¬¼¬ ãï– »–­

­îøï– »–î­÷

ëíò ¥ºø¬÷£ ãï

ï– »– ð

»–­¬ ­·² ¬ ¼¬ ãï

­î õ ïi »

î õ »– î

» î – »– îã

ï

­î õ ï½±¬¸

î

ëìò ¥ºø¬÷£ ãï

ï– »–îð

»–­¬ ­·² ¬ ¼¬ ãï

­î õ ïi ï

ï– »–

ëëò Ô¼·ñ¼¬õη ã Ûø¬÷ô ©¸»®» ·øð÷ ã ðò ̸» Ô¿°´¿½» ¬®¿²­º±®³ ±º ¬¸» »¯«¿¬·±² ·­

Ô­ ¥·£õÎ ¥·£ ã ¥Ûø¬÷£ò

Ú®±³ Ю±¾´»³ ìç ©» ¸¿ª» ¥Ûø¬÷£ ã øï– »–­÷ñ­øï õ »–­÷ò ̸«­

øÔ­õÎ÷ ¥·£ ãï– »–­

­øï õ »–­÷

¿²¼

¥·£ ãï

Ô

ï– »–­

­ø­õÎñÔ÷øï õ »–­÷ã

ï

Ô

ï– »–­

­ø­õÎñÔ÷

ï

ï õ »–­

ãï

Î

ï

­– ï

­õÎñÔøï– »–­÷øï– »–­ õ »–î­ – »–í­ õ »–ì­ – i i i ÷

ãï

Î

ï

­– ï

­õÎñÔøï– î»–­ õ î»–î­ – î»–í­ õ î»–ì­ – i i i ÷ò

̸»®»º±®»ô

·ø¬÷ ãï

Îï– »–άñÔ – î

Îï– »–Îø¬–ï÷ñÔ ø¬– ï÷

õî

Îï– »–Îø¬–î÷ñÔ ø¬– î÷– î

Îï– »–Îø¬–í÷ñÔ ø¬– í÷ õ i i i

ãï

Îï– »–άñÔ õ

î

Î

ÿ

²ãï

ï– »–Îø¬–²÷ñÔ ø¬– ²÷ò

229

ï î í ì¬

óï

óðòë

ðòë

ï

·

ï î í ì¬

óï

óðòë

ðòë

ï

·

4.4 ß¼¼·¬·±²¿´ Ñ°»®¿¬·±²¿´ Ю±°»®¬·»­

̸» ¹®¿°¸ ±º ·ø¬÷ ©·¬¸ Ô ã ï ¿²¼ Î ã ï ·­ ­¸±©² ¾»´±©ò

ëêò Ô¼·ñ¼¬õη ã Ûø¬÷ô ©¸»®» ·øð÷ ã ðò ̸» Ô¿°´¿½» ¬®¿²­º±®³ ±º ¬¸» »¯«¿¬·±² ·­

Ô­ ¥·£õÎ ¥·£ ã ¥Ûø¬÷£ò

Ú®±³ Ю±¾´»³ ëï ©» ¸¿ª»

¥Ûø¬÷£ ãï

­

ï

­– ï

»­ – ïã

ï

­î– ï

­

ï

»­ – ïò

̸«­

øÔ­õÎ÷ ¥·£ ãï

­î– ï

­

ï

»­ – ï

¿²¼

¥·£ ãï

Ô

ï

­îø­õÎñÔ÷– ï

Ô

ï

­ø­õÎñÔ÷

ï

»­ – ï

ãï

Î

ï

­î– Ô

Î

ï

­õ

Ô

Î

ï

­õÎñÔ– ï

Î

ï

­– ï

­õÎñÔ»–­ õ »–î­ õ »–í­ õ i i i ò

̸»®»º±®»

·ø¬÷ ãï

ά– Ô

Îõ

Ô

λ–άñÔ – ï

Îï– »–Îø¬–ï÷ñÔ ø¬– ï÷

– ï

Îï– »–Îø¬–î÷ñÔ ø¬– î÷– ï

Îï– »–Îø¬–í÷ñÔ ø¬– í÷– i i i

ãï

ά– Ô

Îõ

Ô

λ–άñÔ – ï

Î

ÿ

²ãï

ï– »–Îø¬–²÷ñÔ ø¬– ²÷ò

̸» ¹®¿°¸ ±º ·ø¬÷ ©·¬¸ Ô ã ï ¿²¼ Î ã ï ·­ ­¸±©² ¾»´±©ò

ëéò ¨ õ î¨ õ ïð¨ ã îðºø¬÷ô ©¸»®» ºø¬÷ ·­ ¬¸» ³»¿²¼»® º«²½¬·±² ·² Ю±¾´»³ ìç ©·¬¸

230

2 t

x

3

3

4.4 ß¼¼·¬·±²¿´ Ñ°»®¿¬·±²¿´ Ю±°»®¬·»­

¿ ã ò Ë­·²¹ ¬¸» ·²·¬·¿´ ½±²¼·¬·±²­ ¨øð÷ ã ¨ øð÷ ã ð ¿²¼ ¬¿µ·²¹ ¬¸» Ô¿°´¿½» ¬®¿²­º±®³ ©» ±¾¬¿·²

ø­î õ î­õ ïð÷ ¥¨ø¬÷£ ãîð

­øï– »– ÷

ï

ï õ »–

ãîð

­øï– »– ÷øï– »– õ »–î – »–í õ i i i÷

ãîð

­øï– î»– õ î»–î – î»–í õ i i i÷

ãîð

­õ

ìð

­

ÿ

²ãï

ø–ï÷²»– ò

̸»²

¥¨ø¬÷£ ãîð

­ø­î õ î­õ ïð÷õ

ìð

­ø­î õ î­õ ïð÷

ÿ

²ãï

ø–ï÷²»–

ãî

­– î­õ ì

­î õ î­õ ïðõ

ÿ

²ãï

ø–ï÷²ì

­– ì­õ è

­î õ î­õ ïð»–

ãî

­– îø­õ ï÷ õ î

ø­õ ï÷î õ çõ ì

ÿ

²ãï

ø–ï÷²ï

­– ø­õ ï÷ õ ï

ø­õ ï÷î õ ç»–

¿²¼

¨ø¬÷ ã î ï– »–¬ ½±­ í¬– ï

í»–¬ ­·² í¬ õ ì

ÿ

²ãï

ø–ï÷² ï– »–ø¬– ÷ ½±­ íø¬– ÷

– ï

í»–ø¬– ÷ ­·² íø¬– ÷ ø¬– ÷ò

̸» ¹®¿°¸ ±º ¨ø¬÷ ±² ¬¸» ·²¬»®ª¿´ Åðô î ÷ ·­ ­¸±©² ¾»´±©ò

ëèò ¨ õ î¨ õ ¨ ã ëºø¬÷ô ©¸»®» ºø¬÷ ·­ ¬¸» ­¯«¿®» ©¿ª» º«²½¬·±² ©·¬¸ ¿ ã ò Ë­·²¹ ¬¸»

·²·¬·¿´ ½±²¼·¬·±²­ ¨øð÷ ã ¨ øð÷ ã ð ¿²¼ ¬¿µ·²¹ ¬¸» Ô¿°´¿½» ¬®¿²­º±®³ô ©» ±¾¬¿·²

ø­î õ î­õ ï÷ ¥¨ø¬÷£ ãë

­

ï

ï õ »–ã

ë

­øï– »– õ »–î – »–í õ »–ì – i i i÷

ãë

­

ÿ

²ãð

ø–ï÷²»– ò

̸»²

¥¨ø¬÷£ ãë

­ø­õ ï÷î

ÿ

²ãð

ø–ï÷²»– ã ëÿ

²ãð

ø–ï÷²ï

­– ï

­õ ï– ï

ø­õ ï÷î»–

231

42t

x

5

5

4.4 ß¼¼·¬·±²¿´ Ñ°»®¿¬·±²¿´ Ю±°»®¬·»­

¿²¼

¨ø¬÷ ã ëÿ

²ãð

ø–ï÷²øï– »–ø¬– ÷ – ø¬– ÷»–ø¬– ÷÷ ø¬– ÷ò

̸» ¹®¿°¸ ±º ¨ø¬÷ ±² ¬¸» ·²¬»®ª¿´ Åðô ì ÷ ·­ ­¸±©² ¾»´±©ò

ëçò ºø¬÷ ã –ï

¬

¼

¼­Å´²ø­– í÷– ´²ø­õ ï÷à 㠖ï

¬

ï

­– í– ï

­õ ïã –ï

¬»í¬ – »–¬

êðò ̸» ¬®¿²­º±®³ ±º Þ»­­»´•­ »¯«¿¬·±² ·­

– ¼

¼­Å­îÇ ø­÷– ­§øð÷– § øð÷à õ ­Ç ø­÷– §øð÷– ¼

¼­Ç ø­÷ ã ð

±®ô ¿º¬»® ­·³°´·º§·²¹ ¿²¼ «­·²¹ ¬¸» ·²·¬·¿´ ½±²¼·¬·±²ô ø­î õ ï÷Ç õ ­Ç ã ðò ̸·­ »¯«¿¬·±² ·­ ¾±¬¸ ­»°¿®¿¾´» ¿²¼

´·²»¿®ò ͱ´ª·²¹ ¹·ª»­ Ç ø­÷ ã ½ñ ­î õ ï ò Ò±© Ç ø­÷ ã ¥Öðø¬÷£ô ©¸»®» Ö𠸿­ ¿ ¼»®·ª¿¬·ª» ¬¸¿¬ ·­ ½±²¬·²«±«­

¿²¼ ±º »¨°±²»²¬·¿´ ±®¼»®ô ·³°´·»­ ¾§ Ю±¾´»³ ìê ±º Û¨»®½·­»­ ìòî ¬¸¿¬

ï ã Öðøð÷ ã ´·³­

­Ç ø­÷ ã ½ ´·³­

­

­î õ µîã ½

­± ½ ã ï ¿²¼

Ç ø­÷ ãï

­î õ ï±® ¥Öðø¬÷£ ã

ï

­î õ ïò

êïò ø¿÷

– ¼

¼­Å­îÇ – ­§øð÷– § øð÷à õ ­Ç – §øð÷ õ

¼

¼­Å­Ç – §øð÷à õ ²Ç

ã – ¼

¼­Å­îÇ Ã õ ­Ç õ

¼

¼­Å­Ç à õ ²Ç

ã –­î¼Ç

¼­– î­Ç õ ­Ç õ ­

¼Ç

¼­õ Ç õ ²Ç

ã ø­– ­î÷¼Ç

¼­õ øï õ ²– ­÷Ç ã ðò

Í»°¿®¿¬·²¹ ª¿®·¿¾´»­ô ©» •²¼

¼Ç

Çã

ï õ ²– ­

­î – ­¼­ ã

²

­– ï– ï õ ²

­¼­

´²Ç ã ² ´²ø­– ï÷– øï õ ²÷ ´² ­õ ½

Ç ã ½ïø­– ï÷²

­ïõ²ò

232

4.4 ß¼¼·¬·±²¿´ Ñ°»®¿¬·±²¿´ Ю±°»®¬·»­

º±® ½±²ª»²·»²½» ©» ¬¿µ» ½ï

² ã ð æ Ôðø¬÷ ãï

­ã ï

² ã ï æ Ôïø¬÷ ã­– ï

­îã

ï

­– ï

­îã ï– ¬

² ã î æ Ôîø¬÷ ãø­– ï÷î

­íã

ï

­– î

­îõ

ï

­íã ï– î¬õ

ï

î¬î

² ã í æ Ôíø¬÷ ãø­– ï÷í

­ìã

ï

­– í

­îõ

í

­í– ï

­ìã ï– í¬õ

í

î¬î – ï

ê¬í

² ã ì æ Ôìø¬÷ ãø­– ï÷ì

­ëã

ï

­– ì

­îõ

ê

­í– ì

­ìõ

ï

­ë

ã ï– ì¬õ í¬î – î

í¬í õ

ï

îì¬ìò

ø¾÷ Ô»¬¬·²¹ ºø¬÷ ã ¬²»–¬ ©» ²±¬» ¬¸¿¬ º øµ÷øð÷ ã 𠺱® µ ã ðô ïô îô ò ò ò ô ²– ï ¿²¼ º ø²÷øð÷ ã ²ÿò Ò±©ô ¾§ ¬¸» •®­¬

¬®¿²­´¿¬·±² ¬¸»±®»³ô

»¬

²ÿ

¼²

¼¬²¬²»–¬ ã

ï

²ÿ¥»¬º ø²÷ø¬÷£ ã

ï

²ÿ¥º ø²÷ø¬÷£

­ ­–ï

ãï

²ÿ­² ¥¬²»–¬£ – ­²–ïºøð÷– ­²–îº øð÷– i i i – º ø²–ï÷øð÷

­ ­–ï

ãï

²ÿ­² ¥¬²»–¬£

­ ­–ï

ãï

²ÿ­²

²ÿ

ø­õ ï÷²õï­ ­–ï

ãø­– ï÷²

­²õïã Çô

©¸»®» Ç ã ¥Ô²ø¬÷£ò ̸«­

Ô²ø¬÷ 㻬

²ÿ

¼²

¼¬²ø¬²»–¬÷ô ² ã ðô ïô îô ò ò ò ò

êîò ̸» ±«¬°«¬ º±® ¬¸» •®­¬ ¬¸®»» ´·²»­ ±º ¬¸» °®±¹®¿³ ¿®»

ç§Å¬Ã õ ê§ Å¬Ã õ § Ŭà ãã ¬ ­·²Å¬Ã

ï– î­õ çÇ õ ­îÇ õ êø–î õ ­Ç ÷ ããî­

øï õ ­î÷î

Ç–ïï– ì­– îî­î – ì­í – ïï­ì – î­ë

øï õ ­î÷îøç õ ê­õ ­î÷

̸» º±«®¬¸ ´·²» ·­ ¬¸» ­¿³» ¿­ ¬¸» ¬¸·®¼ ´·²» ©·¬¸ Ç ®»³±ª»¼ò ̸» •²¿´ ´·²» ±º ±«¬°«¬ ­¸±©­ ¿ ­±´«¬·±²

»·¬ ¿²¼ »–·¬ò ̱ ¹»¬ ¬¸» ­±´«¬·±² ·² ³±®» ­¬¿²¼¿®¼ º±®³ ©®·¬» ¬¸» ´¿­¬ ´·²» ¿­

¬©± ´·²»­æ

»«´»®ã¥ –â –âݱ­Å¬Ã ó × Í·²Å¬Ã£×²ª»®­»Ô¿°´¿½»Ì®¿²­º±®³ÅÇô ­ô ¬Ãñò»«´»®ññÛ¨°¿²¼

É» ­»» ¬¸¿¬ ¬¸» ­±´«¬·±² ·­

§ø¬÷ ãìèé

îëðõ

îìé

ë𬠻–í¬ õ

ï

îëðøïí ½±­ ¬– ïë¬ ½±­ ¬– ç ­·² ¬õ î𬠭·² ¬÷ ò

êíò ̸» ­±´«¬·±² ·­

§ø¬÷ ãï

껬 – ï

ê»–¬ñî ½±­ ïë ¬– íñë

ê»–¬ñî ­·² ïë ¬ò

233

í ët

óë

ë

q

4.4 ß¼¼·¬·±²¿´ Ñ°»®¿¬·±²¿´ Ю±°»®¬·»­

êìò ̸» ­±´«¬·±² ·­

¯ø¬÷ ã ï– ½±­ ¬õ øê– ê ½±­ ¬÷ ø¬– í ÷– øì õ ì ½±­ ¬÷ ø¬– ÷ò

EXERCISES 4.5The Dirac Delta Function

ïò

¥§£ ãï

­– í»–î­

­± ¬¸¿¬

§ ã »íø¬–î÷ ø¬– î÷ò

îò

¥§£ ãî

­õ ïõ

»–­

­õ ï

­± ¬¸¿¬

§ ã î»–¬ õ »–ø¬–ï÷ ø¬– ï÷ò

íò

¥§£ ãï

­î õ ïï õ »–î

­± ¬¸¿¬

§ ã ­·² ¬õ ­·² ¬ ø¬– î ÷ò

ìò

¥§£ ãï

ì

ì

­î õ ïê»–î

­± ¬¸¿¬

§ ãï

ì­·² ìø¬– î ÷ ø¬– î ÷ ã

ï

ì­·² ì¬ ø¬– î ÷ò

ëò

¥§£ ãï

­î õ ï»– î õ »–í î

­± ¬¸¿¬

§ ã ­·² ¬–î

¬–î

õ ­·² ¬– í

 í

î

ã – ½±­ ¬ ¬–î

õ ½±­ ¬ ¬–î

ò

234

4.5 ̸» Ü·®¿½ Ü»´¬¿ Ú«²½¬·±²

êò

¥§£ ã­

­î õ ïõ

ï

­î õ ïø»–î õ »–ì ÷

­± ¬¸¿¬

§ ã ½±­ ¬õ ­·² ¬Å ø¬– î ÷ õ ø¬– ì ÷Ãò

éò

¥§£ ãï

­î õ î­øï õ »–­÷ ã

ï

î

ï

­– ï

î

ï

­õ îøï õ »–­÷

­± ¬¸¿¬

§ ãï

î– ï

î»–î¬ õ

ï

î– ï

î»–îø¬–ï÷ ø¬– ï÷ò

èò

¥§£ ã­õ ï

­îø­– î÷õ

ï

­ø­– î÷»–î­ ã

í

ì

ï

­– î– í

ì

ï

­– ï

î

ï

­îõ

ï

î

ï

­– î– ï

î

ï

­»–î­

­± ¬¸¿¬

§ ãí

ì»î¬ – í

ì– ï

î¬õ

ï

î»îø¬–î÷ – ï

îø¬– î÷ò

çò

¥§£ ãï

ø­õ î÷î õ ï»–î

­± ¬¸¿¬

§ ã »–îø¬–î ÷ ­·² ¬ ø¬– î ÷ò

ïðò

¥§£ ãï

ø­õ ï÷î»–­

­± ¬¸¿¬

§ ã ø¬– ï÷»–ø¬–ï÷ ø¬– ï÷ò

ïïò

¥§£ ãì õ ­

­î õ ì­õ ïíõ

»– õ »–í

­î õ ì­õ ïí

ãî

í

í

ø­õ î÷î õ íîõ

­õ î

ø­õ î÷î õ íîõ

ï

í

í

ø­õ î÷î õ íî»– õ »–í

­± ¬¸¿¬

§ ãî

í»–î¬ ­·² í¬õ »–î¬ ½±­ í¬õ

ï

í»–îø¬– ÷ ­·² íø¬– ÷ ø¬– ÷

õï

í»–îø¬–í ÷ ­·² íø¬– í ÷ ø¬– í ÷ò

ïîò

¥§£ ãï

ø­– ï÷îø­– ê÷õ

»–î­ õ »–ì­

ø­– ï÷ø­– ê÷

ã – ï

îë

ï

­– ï– ï

ë

ï

ø­– ï÷îõ

ï

îë

ï

­– êõ –ï

ë

ï

­– ïõ

ï

ë

ï

­– ê»–î­ õ »–ì­

235

4.5 ̸» Ü·®¿½ Ü»´¬¿ Ú«²½¬·±²

­± ¬¸¿¬

§ ã – ï

î뻬 – ï

묻¬ õ

ï

îë»ê¬ õ –ï

뻬–î õ

ï

ë»êø¬–î÷ ø¬– î÷ õ –ï

뻬–ì õ

ï

ë»êø¬–ì÷ ø¬– ì÷ò

ïíò

¥§£ ãï

î

î

­í§ øð÷ õ

ï

ê

íÿ

­ì§ øð÷ õ

ï

ê

Ðð

Û×

íÿ

­ì»–Ô­ñî

­± ¬¸¿¬

§ ãï

î§ øð÷¨î õ

ï

ê§ øð÷¨í õ

ï

ê

Ðð

Ûר– Ô

î

í

¨– Ô

îò

Ë­·²¹ § øÔ÷ ã ð ¿²¼ § øÔ÷ ã ð ©» ±¾¬¿·²

§ ãï

ì

ÐðÔ

Û×¨î – ï

ê

Ðð

Ûרí õ

ï

ê

Ðð

Ûר– Ô

î

í

¨– Ô

î

ã

þþþ

þþþ

Ðð

Û×

Ô

ì¨î – ï

ê¨í ô ð ¨ ä

Ô

î

ÐðÔî

ìÛ×

ï

 Ô

ïîô

Ô

î¨ Ôò

ïìò Ú®±³ Ю±¾´»³ ïí ©» µ²±© ¬¸¿¬

§ ãï

î§ øð÷¨î õ

ï

ê§ øð÷¨í õ

ï

ê

Ðð

Ûר– Ô

î

í

¨– Ô

îò

Ë­·²¹ §øÔ÷ ã ð ¿²¼ § øÔ÷ ã ð ©» ±¾¬¿·²

§ ãï

ïê

ÐðÔ

Û×¨î – ï

ïî

Ðð

Ûרí õ

ï

ê

Ðð

Ûר– Ô

î

í

¨– Ô

î

ã

þþþ

þþþ

Ðð

Û×

Ô

ïê¨î – ï

ïî¨í ô ð ¨ ä

Ô

î

Ðð

Û×

Ô

ïê¨î – ï

ïî¨í õ

ï

ê

Ðð

Ûר– Ô

î

í

ôÔ

î¨ Ôò

ïëò DZ« ­¸±«´¼ ¼·­¿¹®»»ò ß´¬¸±«¹¸ º±®³¿´ ³¿²·°«´¿¬·±²­ ±º ¬¸» Ô¿°´¿½» ¬®¿²­º±®³ ´»¿¼ ¬± §ø¬÷ ã ïí»

–¬ ­·² í¬ ·² ¾±¬¸

½¿­»­ô ¬¸·­ º«²½¬·±² ¼±»­ ²±¬ ­¿¬·­º§ ¬¸» ·²·¬·¿´ ½±²¼·¬·±² § øð÷ ã 𠱺 ¬¸» ­»½±²¼ ·²·¬·¿´óª¿´«» °®±¾´»³ò

236