3.4.6 Trnsito de avenidas en vasos (mtodo de la piscina nivelada) El trnsito de avenidas sirve para determinar el hidrograma de salida de una presa dado un hidrograma de entrada. 5.- LAMINACION DE CRECIDAS.-Se llama laminacin de crecidas al fenmeno que se produce entre el almacenamiento y el caudal de salida por el vertedero para una crecida determinada en el proyecto, mientras sea valida la hiptesis de que el pelo de agua se mantiene horizontal.La expresin matemtica que rige este fenmeno hidrolgico es:d.S. = Q1(t) Q2(t) d.tSi se discretiza la ecuacin entre los instantes de tiempo t y t+1, se obtiene el modelo de Puls.St+1 St = Q1t + Q1t+1 - Q2t + Q2t+1 2 2 2Reordenando:2 S t+1 + Q2t+1 = Q1t +Q1t+1 + 2St - Q2t t tEl Segundo miembro es siempre conocido en el intervalo t + 1, por lo que para poder resolver el primer miembro es necesario definir en forma grafica, analtica o numrica a partir de la relacin conocida Q2 = f(S) una funcin del tipo;Q2 = f(Q2 + 2S ) tpara definir en forma grafica o numrica se parte de la relacin altura-volumen del embalse S = f(h) y de la curva de descarga del vertedero Q2 = f(h) y se las combina, es decir:

hQ2S2S/t2S/t + Q2

La relacin entre el nivel y el almacenamiento se puede ajustar a una funcin del tipo:h. = a*SbDonde a y b son los parmetros a ser ajustados. La ecuacin para un vertedero libre es:Q2 = C*L*H 3/2Donde C es el coeficiente de descarga, L la longitud del vertedero y H la energa que puede ser sustituida por h si la velocidad es pequea, remplazando se obtiene:Q2 = C*L*a 3/2 * S 3b/2 Reemplazando se tiene:a1*S t+1 + a2*Sb1 t+1 = GDonde:a.1 = 2/tb1 = 3/2 * ba2 = C*L*a 3/2 G = Q1t +Q1t+1 + 2St - Q2t tPara cada intervalo de tiempo se calcula S t+1 utilizando Newton-Raphson. La iteracin n+1 en un intervalo de tiempo se obtiene:St+1 n+1 = St+1 n f( S t+1 n ) F( S t+1 n f( S t+1 n ) = a1 n St+1 n + a 2 (S t+1 n)b1 G F( S t+1 n ) = a1 + a 2 b1 (S t+1 n)b1 1Para comenzar el proceso en cada intervalo de tiempo se puede considerar S t+1 0 = St deteniendo el proceso cuando:St+1 n+1 - St+1 n adm St+1 n+1 Una vez obtenido St+1 para un intervalo de tiempo se calcula Q2 t+1 Ejemplo. Calcular el hidrograma de salida del embalse, que posee la relacin 2S/t - Q2 vs. Q2 que se muestra en la figura, al transitar el hidrograma de la figura que se indica.Procedimiento.-a.- Seleccionar tb.- Calcular Q1n + Q1n+1 c.- El valor inicial se calcula aplicando las siguientes relaciones.Q1 1 + Q1 2 + 2S1/t Q2 1 = 2S2/t + Q22 30 + 0 = 2S2/t + Q22d.- Con el valor antes calculado se ingresa a la figura 13 y se obtiene Q2 n+1 e.- Restando Q2n dos veces del valor anterior se obtiene el valor = 2Sn/t + Q2nT (hr)nQ1nm3/sQ1 n + Q1 n+1m3/s2Sn/t + Q2nm3/s2Sn+1/t+Q2 n+1m3/sQ2 n+1M3/s

0103000

12309020305

23601507411018

349021016022432

4512027028437043

5615033045055452

6718031566478055

7813522585397963

8990135948107865

9104545953108565

10110087099864

11120074687062

12130063074658

Uno de los inconvenientes que normalmente se presenta para el calculo de laminacin es la determinacin del hidrograma de crecidas del lecho del ri, para tal efecto se recomienda utilizar en funcin de la informacin disponible los siguientes criterios: En caso de existir informacin de estaciones que permitan determinar los datos y su configuracin seria la mejor alternativa, una segunda posibilidad es de asemejar las condiciones en funcin de una estacin conocida, una tercera alternativa es de conocer el caudal punta de crecida y a partir de este realizar la distribucin de la misma mediante el mtodo del Hidrograma triangular para cuencas pequeas y para cuencas grandes utilizar el mtodo de la curva Hipsomtrica.

ESTUDIO DE LAMINACION DE CRECIDAS.-

El trnsito de crecientes en un embalse es un procedimiento que permite determinar el hidrograma de salida de un embalse, dados el hidrograma de entrada, las caractersticas del almacenamiento y de las salidas de agua. La laminacin de una creciente consiste en la disminucin del caudal mximo de su hidrograma por medios naturales y artificiales. Por ejemplo, el desplazamiento de una onda de crecida va acompaado de una prdida natural de energa debida principalmente a la friccin que se produce por la resistencia al flujo que ponen el fondo y las mrgenes del ro, produciendo una reduccin del pico del hidrograma. Por otra parte, si la onda de crecida encuentra en su camino un embalse con un sistema de evacuacin cualquiera, parte del volumen de crecida servir para llevar el embalse hasta la cota de vertido (NNE). A partir de este nivel, la evacuacin del agua se har siguiendo las curvas caractersticas de aliviaderos y dems salidas del embalse, presentando el hidrograma de salida un pico ms pequeo que en el hidrograma de entrada.Para realizar el trnsito de una creciente en un embalse, se debe contar con la siguienteInformacin: Curva de volumen del embalse en funcin del nivel del agua S = f(elevacin). Hidrograma de entrada I= f(t) Ecuacin de calibracin para la estructura de evacuacin de aguas de exceso O= f (h) Existen varios procedimientos para realizar el trnsito de crecientes en un embalse como por:ejemplo: Mtodo del embalse a nivel y/o piscina nivelada en que el almacenamiento es una funcin no lineal del caudal.Mtodo de Runge Kutta en que este procedimiento numrico se usa para resolver la ecuacin de continuidad. El mtodo de Muskingum se usa para el trnsito de crecientes en ros y asume que el almacenamiento es una funcin lineal del hidrograma de entrada y salida.Mtodo del embalse a nivel El trnsito de crecientes en un embalse es un procedimiento que permite determinar el hidrograma de salida de un embalse asumiendo que la superficie del agua es horizontal, dados el hidrograma de entrada, las caractersticas del almacenamiento y de las salidas de agua. Ecuacin de continuidad

I(t) = hidrograma de crecida a la entrada de un embalse Q =hidrograma de crecida a la salida de un embalse dS= cambio de volumen de almacenamiento dt= intervalo de tiempo La ecuacin anterior no se puede resolver directamente para un hidrograma de creciente de entrada conocido, porque tanto el hidrograma de salida como la variacin del almacenamiento en el tiempo son desconocidos. El hidrograma de entrada se puede obtener por registros de aforos directos o por evaluaciones de tipo hidrolgico. Para resolver la ecuacin se requiere de una segunda ecuacin que est representada por las caractersticas del almacenamiento. El tiempo es tomado en intervalos de duracin t, indexados con j, de forma que: t= 0, t, 2t, , jt, (j+1)t. La ecuacin de continuidad se integra sobre cada intervalo de tiempo, como se observa en la siguiente figura

Para el intervalo de tiempo, se obtiene la siguiente ecuacin:

Los valores del caudal de entrada al inicio y al fin del intervalo jthson Ije Ij+1, respectivamente y los correspondientes valores del hidrograma de salida son Qjy Qj+1. Si la variacin de la entrada Iy la salida Qsobre el intervalo de tiempo es aproximadamente lineal, el cambio de almacenamiento en el intervalo Sj+1 - Sj, se obtiene al rescribir la ecuacin as:

Los valores de Ije Ij+1son conocidos para todo intervalo de tiempo. Los valores de Qjy Sjse conocen inicialmente y luego se obtienen del resultado de los clculos para el intervalo de tiempo jthanterior. Por lo tanto, las dos incgnitas son Qj+1 y Sj+1 que se pueden obtener de la ecuacin Multiplicando y reordenando se llega a:

2 S t+1 + Q2t+1 = I1t +I1t+1 + 2St - Q2t t tEl Segundo miembro es siempre conocido en el intervalo t + 1, por lo que para poder resolver el primer miembro es necesario definir en forma grafica, analtica o numrica a partir de la relacin conocida Q2 = f(S) una funcin del tipo;Q2 = f(Q2 + 2S ) tpara definir en forma grafica o numrica se parte de la relacin altura-volumen del embalse S = f(h) y de la curva de descarga del vertedero Q2 = f(h) y se las combina, es decir:hQ2S2S/t2S/t + Q2

La relacin entre el nivel y el almacenamiento se puede ajustar a una funcin del tipo:h. = a*Sb

Donde a y b son los parmetros a ser ajustados. La ecuacin para un vertedero libre es:

Q2 = C*L*H 3/2

Donde C es el coeficiente de descarga, L la longitud del vertedero y H la energa que puede ser sustituida por h si la velocidad es pequea, remplazando se obtiene:

Q2 = C*L*a 3/2 * S 3b/2Una vez obtenido St+1 para un intervalo de tiempo se calcula Q2 t+1

Desarrollo de la funcin almacenamiento-caudal de salida para el trnsito de crecientes Chow, V. T. 1988.

Ejemplo El nivel de la superficie libre de un embalse, cuya relacin elevacin- almacenamiento y curva de gasto del aliviadero se dan en la Tabla 2, se encuentra a la cota 355,00, cota de coronacin del aliviadero de emergencia. Si en estas condiciones llega una avenida al embalse, cuyo hidrograma tambin se da en la Tabla 2, obtener el hidograma de salida por el mtodo de la superficie libre horizontal. El hidrograma se especifica a intervalos de 30 minutos, de modo que t = 1.800 s. se ha de establecer la curva 2S/t + Q para ello se realiza la tabla N3 en la que se parte de la cota de la superficie libre inicial que es 355.00 m. la de coronacin del aliviadero por encontrarse el embalse lleno.Como el volumen de almacenamiento viene dado en la tabla 2 para cotas que varian de metro en metro, es necesario interpretar linealmente para obtener el almacenamiento a incrementos de 0.10 m. a partir de la cota 355.00 de coronacin del aliviadero. En la fig. 9 se representa la funcion elevacin-almacenamiento, la curva de desague del aliviadero y la funcion almacenamiento-caudal de salida anteriormente obtenida.En el primer intervalo de tiempo St = Qt = 0, ya que el embalse se encuentra lleno a la cota de coronacin del aliviadero y el almacenamiento sobre dicha cota es nulo, asi como el caudal de salida, por lo tanto 2St/t+Qt = 0, los valores de aporte son: I1= 5 m3/s r I2= 35 m3/s de modo que (I1 + I2) = 5 + 35 = 40 m3/s. El valor de la funcion almacenamiento-caudal de salida al final del intervalo de tiempo se calcula con la ecuacin:

5 + 35 + 0 = 40 m3/s

El valor de Q2 se obtiene por interpolacion lineal en la tabla de valores 2S/t + Q versus Q, una vez conocido el valor 2S2/t + Q2, resultando:

El valor 2S2/t Q2 de la columna 5 de la tabla 4, que se necesita para la siguiente iteracin, se obtiene dando la ecuacin:

En el siguiente intervalo se procederia de manera analoga, el procedimiento puede resumirse en la tabla 4 como sigue:1.- Los valores de las columnas (2) y (3) son valores conocidos del hidrograma de entrada2.- La columna (4) es el resultado de la suma Ii + Ii+1 de la columna (3)3.- Se entra en la curva 2S/t + Q versus Q, con el valor conocido de 2S2/t2 + Q2 para hallar el valor de Q2 columna (7).4.- Del valor de la columna (6) se resta el doble del valor de la columna (7) para calcular el valor de 2Si/t - Qi de la columna (5).5.- Sumar el valor de la columna (5) al valor de la columna (4) y poner el resultado de la columna (6) como valor para el nuevo intervalo de tiempo considerado.6.- Se halla de nuevo el caudal de salida a partir de la relacion 2S/t+Q versus Q7.- Repetir los pasos 3 a 6 hasta generar el hidrograma de salida completo.

Ejemplo.- Calcular el hidrograma de salida en un aliviadero de una presa de regulacion, de acuerdo a los datos que se muestran em la tabla.Procedimento.-a.- Seleccionar tb.- Calcular Q1n + Q1n+1 c.- El valor inicial se calcula aplicando las siguientes relaciones.Q1 1 + Q1 2 + 2S1/t Q2 1 = 2S2/t + Q22 30 + 0 = 2S2/t + Q22d.- Con el valor calculado se ingresa a la figura de almacenamiento caudal de salida y se obtiene Q2 n+1 e.- Restando Q2n dos veces del valor anterior se obtiene el valor = 2Sn/t + Q2nT (hr)nQ1nm3/sQ1 n + Q1 n+1m3/s2Sn/t + Q2nm3/s2Sn+1/t+Q2 n+1m3/sQ2 n+1M3/s

0103000

12309020305

23601507411018

349021016022432

4512027028437043

5615033045055452

6718031566478055

7813522585397963

8990135948107865

9104545953108565

10110087099864

11120074687062

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Mtodo de Runge Kutta.-Chow explica un procedimiento alternativo para el transito agregado de crecidas que surge de resolver las ecuaciones de continuidad por el mtodo numrico de Runge Kutta. La ventaja de este mtodo es que no requiere de la funcin almacenamiento-caudal de salida, S = F(QS), citando a Carnahan (1969) sostiene que pueden adoptarse varios esquemas de Runge-Kutta de diferentes orden, del que selecciona un esquema de tercer orden. Cada intervalo de tiempo es subdividido en tres partes, y calcula valores sucesivos de la elevacin del agua y el caudal de salida del embalse para cada incremento.En la ecuacin de continuidad, la variacin del almacenamiento en relacin a la elevacin y superficie de agua embalsada, puede expresarse en funcin de la altura del embalse, como:

Donde h es la elevacin de agua en el embalse y A(h) es el rea de la superficie de agua a la altura h reemplazando en la ecuacin de la continuidad, resulta:

La resolucin numrica, toma pequeos intervalos de la variable dependiente h dentro del intervalo t. En un esquema de tercer orden, se toman tres intervalos de h en cada periodo t, truncando los trminos subsiguientes de la serie de Taylor.Cada uno de los tres intervalos en h dan una aproximacin mayor al valor de la solucin, tomando intervalos finitos, resulta:Primera aproximacin:

Segunda aproximacin:

Tercera Aproximacin:

La elevacin de agua en el periodo es la relacin de agua en el periodo anterior ms la variacin h, de donde se deduce que:

La figura muestra un diagrama para las tres aproximaciones de h1, h2, h3, la pendiente de la solucin dh/dt, queda resuelta por aproximacin h/t. Se calcula primero en (hk,tk), luego en (hk + h1/3, tk + t/3, finalmente en (hk + 2h2/3 , tk + 2t/3.Ejemplo: Determinar el hidrograma de salida que se presenta en un sistema de regulacin, considerando que la crecida para un T = 1000 aos y las caractersticas topogrficas del vaso que se muestran en los cuadros adjuntos.El nivel de las aguas normales se encuentra en la cota 3007 m.s.n.m., la longitud del vertedero es de 25.00 m., el coeficiente de descarga variable de 4.21Mtodo de Muskingum.-El mtodo de Muskingum fue presentado por McCarthy (1938) y maneja relaciones caudal almacenamiento variables. Este mtodo modela el almacenamiento en un cauce mediante la combinacin de dos tipos de almacenamientos, tal como se muestra en la Figura 2.5:Un almacenamiento prismtico, formado por un volumen de seccin transversal constante a lo largo del cauce prismtico.Un almacenamiento en cua, formado por la diferencia entre los caudales de entrada y salida, o bien, por la pendiente de la lmina de agua en el tramo considerado.

Figura 2.5: Almacenamientos por prisma y por cua en un tramo de cauce.Durante el avance de la avenida el caudal de entrada es mayor que el de salida y se forma lo que se denomina cua positiva y durante la recesin el caudal de entrada es menor al caudal de salida, formndose una cua negativa.El volumen de almacenamiento prismtico es proporcional al caudal de salida, ya que se supone que el caudal de salida es proporcional al rea de la seccin del cauce:Sp = KQ

El valor de K se considera igual al tiempo de trnsito de la onda de avenida a travs del tramo. El volumen de almacenamiento por cua es proporcional a la diferencia entre las entradas y las salidas:Sc = KX(I - Q)Donde X es un factor de ponderacin tal que puede tomar valores entre 0 y 0,5, en funcin de la forma de almacenamiento en cua. Cuando X = 0, no existe cua, no hay curva de remanso y el almacenamiento en el cauce ser tipo embalse: S = KQ. En este caso se producira la mxima atenuacin posible. Cuando X = 0,5; se dice que la cua est completamente desarrollada y no existira atenuacin alguna del pico. En cauces naturales muy caudalosos y de baja pendiente, X suele ser prximo a 0 y ser ms cercano a 0,5 cuanta ms pendiente y menos caudal tenga el cauce. En ros espaoles, en general poco caudalosos, se puede tomar como media un valor de 0,3 a 0,35.El almacenamiento total en el tramo de cauce considerado sera entonces:S = KQ + KX(I - Q)Que puede reordenarse como:S = K[XI + (1 - X)Q]Esta ecuacin representa el modelo lineal de almacenamiento para la propagacin de avenidas en cauces por el mtodo de Muskingum. Si analizamos el volumen de almacenamiento en dos instantes, 1 y 2, al comienzo y al final de un intervalo de tiempo t, stos pueden determinarse como:S1 = K[XI1 + (1 - X)Q1]S2 = K[XI2 + (1 - X)Q2]La variacin en el almacenamiento a travs del tramo sera la diferencia entre ambos almacenamientos:S2 - S1 = K{[XI2 + (1 - X)Q2] - [XI1 + (1 - X)Q1]}Utilizando la ecuacin de continuidad, la variacin en el almacenamiento es igual a:

Sustituyendo obtenemos:

y despejando Q2 nos queda:

o bien:

donde:

Se verifica que la suma de C1, C2 y C3 debe ser igual que 1.Obtencin de K y X a partir de informacin de campoSi se encuentran disponibles los hidrogramas de entrada y salida observados para un tramo de un ro, pueden determinarse los valores de K y X, utilizando la siguiente metodologa:1) Se asumen varios valores de X2) Utilizando la informacin de los caudales de entrada y de salida, se calculan los valores del numerador y del denominador de la siguiente expresin de K, deducida de una ecuacin anterior:

3) Los valores calculados del numerador y denominador se colocan en un grfico como ordenadas y abscisas, respectivamente, lo que producir una curva en forma de lazo. El valor de X que produzca un lazo lo ms parecido posible a una recta nica se utiliza para calcular el valor de K, que es la pendiente de dicha recta.Ejemplo En los extremos de un tramo de un ro se han medido los caudales mostrados en la Tabla 2.3. Obtener los valores de K y X para ese tramo de ro.Tabla 2.3: Hidrogramas de caudales medidos en los extremos de un tramo de ro.

Solucin: Primero se calcula el numerador de la ltima ecuacin de K, es decir:

que sera el volumen de almacenamiento en el tramo de ro considerado en cada instante detiempo analizado. Para los instantes de tiempo 1 y 2, sera:

Por otro lado, se calcula el denominador de dicha ecuacin, asumiendo varios valores de X, porejemplo, 0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4 y 0,5:

Para X = 0,1 y para los instantes 1 y 2 tendramos:

En la Tabla 2.4 se muestran los valores de Vi y de Di para cada instante de clculo. En la Figura 2.6 se muestran los diferentes lazos obtenidos graficando Vi vs. Di, para diferentes valores de X.

Tabla 2.4: Clculo de los pares de valores (V, D) del Ejemplo 2.2.

Figura 2.6: Obtencin de los parmetros K y X de Muskingum, para el Ejemplo 2.2.Puede observarse en la Figura 2.6, que el valor de X = 0,2 es el que produce un bucle ms cerrado, por lo que se adoptar ste como vlido. El valor de K se obtiene calculando la pendiente de la recta media que se ajusta al bucle y que es de 1,86 das.Como K es el tiempo necesario para que la onda de avenida atraviese el tramo, tambin puede estimarse como el tiempo observado del caudal punta a travs del tramo, que para este ejemplo sera igual a 2 das.Ejemplo Calcular el hidrograma resultante aguas abajo de un tramo de cauce de 5,4 Km. de longitud, con una pendiente media de 0,001, conociendo el hidrograma de entrada que se da en la Tabla 2.3. Considerar un X igual a 0,35.Solucin: Calculamos K en funcin de la longitud del tramo, x y de la pendiente media, S0:

Luego se calculan los coeficientes C1, C2 y C3, utilizando un t de 1 hora:

Y finalmente se calcula el hidrograma de salida aguas abajo del tramo como:

Los valores resultantes se presentan en la Tabla 2.5 y los hidrogramas estn representados en la Figura 2.7.Tabla 2.5: Clculo del hidrograma de salida del tramo de cauce del Ejemplo 2.3

Figura 2.7: Hidrogramas de entrada y salida del tramo de cauce del Ejemplo 2.3.

Proyecto San Jacinto.-Durante cada uno de los 7 primeros aos de operacin, desde enero de 1989 hasta enero de 1995, el lago sobrepaso el nivel normal de embalse con las siguientes laminas mximas por encima del umbral del vertedero, es decir:Laminas Mximas

1989:0.86 m.cota1883.3619900.78 m.cota1883.2819911.12 m.cota1883.6219920.48 m.cota1882.9819930.90 m.cota1883.4019940.60 m.cota1883.1019951.00 m.cota1883.50

Se calcula un volumen promedio eliminado anualmente por el vertedero de aproximadamente de 48.11 hm3 con un valor medio mas frecuente de 41.67 hm3, un mximo de 107.64 hm3 y un mnimo de 20.77 hm3 durante los aos de observacin.

Volmenes vertidos 1989-1995AoVolumen Total vertido (m3)

198941.149.460

199040.696.896

1991107.644.171

199220.768.156

199343.936.981

199440.524.212

199542042.995

PROMEDIO TOTAL48.108.981