l’illa del tresor iv equacions€¦ · el doble d’un nombre qualsevol. el terç d’un nombre...
TRANSCRIPT
1
L’ILLA DEL TRESOR IV
EQUACIONS
2
Ja sabem que després de moltes peripècies els tripulants de “La Hispaniola” van
aconseguir el tresor que havien anat a buscar. La manera en que se’l van repartir no
queda clar en el llibre, però el que si que és cert es que en John Silver no va rebre ni
un ral.
“Dues guinees!-va rugir Merry tot brandant-la cap a Silver amb un gest amenaçador-.Aquestes
són les teves set-centes mil lliures? Ah, tu sí que hi entens, en negocis! Tu, el gran home que
mai no ha fet fracassar res, cap de suro!
-Caveu encara una mica, xicots -va replicar Long John, amb un total cinisme-.No em sorprendria gens que hi trobéssiu trufes.” “ El repartiment del botí es feia sempre segons un càlcul precís: el capità i el contramestre en
prenien part i mitja o dues; la tripulació, una part. Aquells que no participaven directament en
el combat ( artillers, fusters i cirurgians) només en rebien un quart de part.”
En el cas de “La Hispaniola” llegirem un petit episodi:
“De tots els que havien marxat a bord de la goleta, només cinc homes tornaven. La beguda i el
diable havien passat comptes amb els altres de forma ben cruel; però, al capdavall, el nostre
cas era menys greu que el vaixell de la cançó:
“dels setanta-cinc que havien embarcat, només en quedava un de viu”
3
4
Com no sabem quin valor ha de tenir cada part l’anomenem x
Si suposem que el botí té un valor de 15.000 lliures i dels 5 homes que van arribar un
rep el doble de la part, un altre una part i els altres tres reben una quarta part de
part. Què s’emporta cada un d’ells?
Podem fer:
Capità Smollett: 2.x
Doctor Livesey: x
Jim Hawkins: x/4
John Long Silver: x/4
Ben Gunn: x/4
Aleshores tenim que:
A aquesta expressió li diem EQUACIÓ, i com veiem és molt important saber
resoldre-les per poder trobar valors que desconeixem.
Ara introduirem una sèrie de consideracions per arribar a trobar les solucions de
qualsevol equació que ens plantegem.
Llenguatge numèric:
El llenguatge numèric expressa la informació per mitjà d’operacions en què solament
figuren nombres.
Llenguatge algèbric:
El llenguatge algèbric expressa la informació per mitjà d’operacions en què figuren
nombres i lletres units per signes d’operacions.
5
Llenguatge usual Llenguatge algèbric Llenguatge usual Llenguatge numèric
El doble d’un
nombre.
Un nombre
disminueix en 10
unitats.
El doble d’un
nombre augmentat
en 10 unitats.
Al quadrat d’un
nombre li sumem
el seu doble.
2.x
x-10
2.x + 10
x2 + 2.x
El doble de 3.
150 disminueix en
10 unitats.
El doble de 50
augmentat en 10
unitats.
Al quadrat de 5 li
sumem el doble de
5.
2.3
150-10
2.50 +10
52 + 2.5
En l’escriptura de les expressions algèbriques cal tenir en compte:
EL SIGNE DE MULTIPLICACIÓ no s’escriu entre nombres i lletres, ni entre
lletres.
6 . a . b3 = 6ab3
x . y2 = xy2
L’EXPONENT 1 no s’escriu.
a1 . b4 = ab4
6
EL FACTOR 1 no s’escriu.
1 . a3 . b = a3 . b
*S’anomena TERME d’una expressió algèbrica cada un dels seus sumands.
*Cada terme o és un nombre o consta d’una part numèrica i d’una part amb lletres que
s’anomena LITERAL.
*La part numèrica de cada terme es coneix pel nom de COEFICIENT.
4b és un terme de coeficient 4 i part literal b.
-3xy és un terme de coeficient –3 i part literal xy
xz és un terme de coeficient 1 i part literal xz
*Els termes que tenen la mateixa part literal s’anomenen SEMBLANTS.
2y i 5y són semblants.
3xz i 2
1xz són termes semblants.
7
4xy i 3x2y no són termes semblants perquè tot i que tenen les mateixes lletres
l’exponent de la x en un terme és 1 i en l’altre és 2.
1) Classifica en termes semblants:
3y -8ab 4
1x -y 9ab2 -2x ab a2b
4
3a2b -ab2
2) Completa com indica al primer exercici:
xy2
3 és un terme de part literal xy i coeficient
2
3
-2x
x
xy2
3
x
5
2x
3) Escriu un terme que tingui de coeficient –4 i part literal x.
8
4) Escriu un terme que tingui de coeficient 1 i de part literal y.
5) Escriu un terme que tingui de coeficient 2
1 i de part literal x.
6)Expressa els següents enunciats en llenguatge algèbric:
El doble d’un nombre qualsevol.
El terç d’un nombre qualsevol.
El quocient de dos nombres qualsevols.
El nombre natural següent al nombre n.
La meitat d’un nombre més la seva cinquena part.
La diferència dels cubs de a i b.
El quadrat d’un nombre disminuït en 25 unitats.
El quadrat de x, més el quadrat de y, més el cub de z.
9
El doble del nombre a menys 1 és igula al nombre b.
La suma de dos nombres enters consecutius és igual a 27.
La suma del doble d’un nombre més aquest mateix nombre és igual a 33.
El doble d’un nombre més 5 és igual a 71.
La meitat d’un nombre és igual a 128.
El doble de la suma de t i u.
La diferència del doble de j i del doble de k.
La diferència de a i el doble de b.
La suma del quadrat de dos nombres és igual a 45.
La diferència dels quadrats de dos nombres és igual a 27.
Les 2/3 parts d’un nombre.
El triple de la suma de dos nombres.
10
El quadrat de la diferència de dos nombres.
7)Lectura d’expressions algèbriques:
m+n suma de m i n
(a+b)2 quadrat de la suma de a i b.
a2+b2 suma dels quadrats de a i b
2n2 doble del quadrat de n.
8)Llegeix correctament les expressions següents:
x-b
2x
abc
3.(a+b)
9)Si x és l’edat de Long John Silver expressa en llenguatge algèbric:
11
a) L’edat que tenia fa 5 anys.
b) L’edat que tindrà d’aquí a cinc anys.
c) Els anys que falten perquè en faci 70.
d) Els anys que tindrà quan hagi passat el doble dels anys que té ara.
10)Expressa en llenguatge algèbric:
El valor de a litres de llet a 0,60 cèntims el litre.
El valor de b metres de roba a 12 € el metre.
El valor de 6kg de taronges a 0,90 € el kg i de x kg de pomes a 1,20 € el
kg.
Com sabeu en Jim és el que explica el relat de l’Illa del Tresor:
“ La gent s’espantava sobretot de les terribles històries que explicava, històries que parlaven de penjats, del suplici de fer passar la planxa, de tempestes a la mar, de l’Illa de la Tortuga, d’actes sanguinaris i d’indrets salvatges a la mar de les Antilles. Per aquests relats, havia hagut de passar-se la vida en companyia dels pitjors pirates que Déu hagi permès córrer pels mars..... El meu pare no es cansava de repetir que l’hostal no trigaria a anar a la ruïna.....
Un dia la meva mare era al pis de dalt, a la capçalera del meu pare, i jo estava parant taula per a
l’esmorzar del capità......
12
11) Si en Jim Hawkins té x anys expressa en llenguatge algèbric:
*L’edat d’un amic seu que és dos anys més petit que ell.
*L’edat de la mare que és el triple de l’edat d’en Jim.
*L’edat del pare que té cinc anys més que la mare
En Jim parlant del capità:
“ No escrivia ni rebia cartes; mai no tenia cap conversa amb ningú fora dels parroquians de
l’hostal, i amb aquests només parlava quan estava ebri de rom. Pel que fa al seu cofre de
mariner, ningú de nosaltres no el va veure mai obert.....”
13
12) Si n és el nombre de monedes que el capità té en el seu cofre.
Expressa en llenguatge algèbric:
El doble d’aquest nombre més 3.
El triple d’aquest nombre.
Les dues cinquenes parts d’aquest nombre.
La suma entre aquest nombre i la seva meitat.
El triple del quadrat d’aquest nombre.
Valor numèric d’una expressió algèbrica
És el nombre que s’obté al substituir les lletres pels nombres corresponents i fer les
operacions indicades a l’expressió.
Una expressió algebraica té infinitat de valors numèrics segons els valors que
assignem a les lletres.
1) Calcula el valor numèric de les expressions algèbriques següents:
14
2x per x=-2
3x per x=-2
1 + 2a per a=1
2)Calcula el valor numèric de les expressions algèbriques donades per als valors que
s’indiquen.
4x+5 per x=5
5x-6 per x=10
3)Calcula el valor numèric de l’expressió algèbrica 8x + y2 per:
a) x=1 i y=2
b) x=5 i y=20
4)Calcula en cada cas el valor numèric de les expressions algèbriques per n=2 i per
n=3.
3n+4
n(n+5)
n2-1
15
5) Un amic d’en Jim té p anys i el seu germà el doble. Quina és l’expressió algèbrica
que ens dóna els anys que sumen entre els dos germans.
OPERACIONS AMB EXPRESSIONS ALGÈBRIQUES
“ L’un estava voltat de penya segats De quaranta i cinquanta peus d’altitud......”
Si un penya-segat té 5 peus d’altitud i un altre 7 peus d’altitud, quants peus tenen
entre tots dos. Passa-ho a metres.
*Si un peu té una longitud de x metres, el primer penya-segat fa 5x metres
I el segon penya-segat fa 7x metres. En total tenim 5x+2x =7x metres.
Si un penya-segat té 5 peus d’altitud i un altre 7 peus d’altitud, quants peus té més un
que l’altre? Passa-ho a metres.
*Si un peu té una longitud de x metres, el primer penya segat fa 5x metres
I el segon penya segat fa 7x metres. La diferència d’alçades és 7x-5x=2x
Perquè dues o més expressions algèbriques unides per les operacions de + ó – es
puguin reduir a una expressió més senzilla, han de tenir les mateixes lletres amb
el mateix exponent és a dir parts literals semblants.
3x+x2 no es pot convertir en una altra expressió senzilla.
16
Fixa’t en els exemples següents:
4x+3y-2x=2x+3y
4x+3y-x-9y=3x-6y
4x-7x=-3x
3x+7+x-2=4x+5
Sabeu què és un escandall? Troba informació:
“ Els peus ben ferms, un mariner es prepara a llançar l’escandall i anunciar la fondària en veu alta cap al castell de popa.”
17
“ Durant tot el temps que va durar la maniobra, Long John, dret al costat del timoner, va
governar el vaixell. Coneixia perfectament el canal, i encara que el mariner feia anar l’escandall
trobava arreu més fons del que hi havia ressenyat a la carta, el cuiner de bord no va tenir ni un
sol moment de vacil·lació.”
Si en un lloc la fondària del mar és de 70/3 de peu i en un altre punt és de 100
quarts de peu. Quina és la diferència de profunditats? Passa-ho a metres.
Si una peu són x metres.
xx3
70
4
100 =25x - 23,33x-=1,67 x
Aproximadament. Si x=0,3048 m............
Redueix les expressions algèbriques següents quan sigui possible:
7a-10a+5a-2=
5x-4+x-13=
18
4xy2+6xy2=
7a2b-2ba2=
t3+5t3=
4x3-4x2=
4a-3b=
5y+y=
4a2-a2+5a2=
Redueix els termes semblants en cada una de les expressions algèbriques:
7y-10y+5y-2=
5x-4+x-13=
a+b-a+2b-5a+3=
19
Si sabem que en un lloc donat la fondària del mar és de 80/3 de peu, quina fondària
tindrà el mar en un altre lloc que tingui el doble de fondària?
x
3
80.2 x
3
160
Producte d’un nombre per una expressió algèbrica Si només hi ha un terme es multipliquen els nombres i es deixen les lletres igual.
3 . 2x = 6x -2 . 5y = -10 y
Si hi ha més d’un terme posem parèntesi i procedim multiplicant el nombre per tots
els termes de dins del parèntesi sempre respectant els signes.
2 . (4x +2y )= 8x+4y
-2.(4x-3y)=-8x+6y
-(3x-2y-7)=-3x+2y+7
-(-2x+5y-2)=2x-5y+2
20
Treu parèntesi i redueix a una expressió més senzilla:
3(x+2y)+4x=
4(x-3y+2)-7=
5+3(x+1)=
7x-3(2xy-3)+1=
2x-(4x-7y)+3x=
3y-4(-2x+5-y)=
3x+5(-x+2y)+y+7=
IGUALTATS
NUMÈRIQUES
Tot són nombres:
2+3=5
Segon membre
Primer membre
Dos expressions
numèriques unides pel signe
d’igualtat.
ALGÈBRIQUES
Igualtats un dels membres de les quals o els dos, són
expressions algèbriques.
IDENTITATS
Igualtats algèbriques que
són certes per a qualsevol
valor de les incògnites.
2x+x=3x
EQUACIONS
Igualtats algèbriques que
només són certes per a
algun valor de les
incògnites.
3x+2=11
Les lletres són les
incògnites de l’equació.
Resoldre una equació es
trobar-ne la solució.
La solució en el nostre cas
és x=3
21
En les equacions que treballarem ara l’exponent de la incògnita sempre serà 1, per això
s’anomenen EQUACIONS DE PRIMER GRAU
X+10=18+2 És una equació d’exponent 1 que només té una incògnita.
El grau d’una equació és el màxim exponent amb que figura la incògnita després
d’haver fet les simplificacions possibles.
Indica quines de les igualtats numèriques següents és incorrecta:
12 + 7.3 = 33
5 + 7.6 = 31 + 42
2.32 = 5.7 + 1
Classifica les igualtats següents en numèriques o algèbriques:
3.2 +5.4 = 26
(x-2)2 = 49
a – 17 = 3a –19
(7-5)2 = 72 –2.7.5 + 52
22
Classifica les igualtats algèbriques següents en identitats i equacions:
2x + 10 = 16 4t + 5t = 9t
m – 2n = 6 (a-b)2 = a2 - 2ab + b2
Esbrina el valor de les lletres que fan possible les igualtats següents:
a-7=3
10b=50
17-c=12
3
d=7
Busca la solució de les següents equacions per tempteig:
x+2=10 x-5=3
5x=20 18+y=20
5+x=x-3 7+4x=21-6
23
Busca la solució de les següents equacions:
10+a =18 4b=36
c-5=4 12-d=14
e+6=17
Digues si els valors de x que donem a continuació són les solucions de les equacions
respectives:
x+5=0 Sol: x=5
-x+35=28 Sol: x=-7
17=2x Sol: x=7
2
-x-8=-15 Sol: x=7
Comprova que x=-4 és la solució d’aquesta equació:
x2
9+18=0
24
Comprova si 6 és la solució de l’equació:
3t-2=t+10
Resol l’equació per tempteig:
x+6=3x-2
Resol mentalment les següents equacions:
x+1=11 5x=50 x+5=2x 5+15=2x
x-1=8 2x+4=8 x+2=2-x 5x+15=26-x
Escriu, en cada cas l’equació corresponent:
a) D’aquí a 10 any un pirata amic d’en Long John Silver tindrà 34 anys. b) Fa 15 anys, un altre pirata també amic d’en Long John Silver en tenia 13.
c) D’aqui a 26 anys, l’edat d’un tercer pirata serà igual al triple de la que té
actualment.
25
RESOLUCIÓ D’EQUACIONS
En els exercicis anteriors hem trobat la solució de les equacions per tempteig.
Ara es tracta de determinar els passos i les operacions que podem fer per resoldre
una equació d’una forma més metòdica.
REGLA DE LA SUMA
Qualsevol sumand es pot passar d’un membre a l’altre canviant-ne el signe.
El que en un membre està sumant passa a l’altre restant.
El que en un membre està restant passa a l’altre sumant.
x+7=10 traspassem el 7 x=10-7 x=3
x-7=10 traspassem el –7 x=10+7 x=17
Passos que cal fer per resoldre una equació:
*Reduir els termes semblants a cada banda del signe igual.
*Traspassar sumands: els sumands que porten x a l’esquerra i els altres a la dreta.
( es el mes corrent, però també es pot fer al revés si convé més)
26
* Agrupar termes semblants.
*De vegades en l’últim pas si el signe del coeficient de la x és negatiu es canvia tota
l’equació de signe per evitar errors.
x+5=5+13 Reduir x+5=18 Traspassar x=18-5 =13
Resol les equacions següents aplicant la regla de la suma:
7+x+13=30+5
x-2=8+4
15+x-8=25+7
7x-6=x+8+5x
27
4x+32=3x+41
2x+5x+3x=7x+9
4x-12+x=12+3x
2x+5x+3x=7x+9
5-10x=3-11x
28
REGLA DE LA MULTIPLICACIÓ
El que en un membre està multiplicant passa a l’altre dividint.
El que en un membre està dividint passa a l’altre multiplicant.
a. x = b x=a
b
Exemple a): 5x=100 x=5
100=20
Exemple b): 3004
x x=300.4=1200
Resol les equacions següents aplicant la regla del producte:
3x=24 ; 4x=12 ; 7x=28
3x=-24 ; 7x=-21 ; 6x=-30
29
505
2
x ; 8
2
5
x ; 717
3
2
x
7x=-49 ; 29
1a ; -51=17f
EQUACIONS AMB PARÈNTESIS
5(x-4) + 1 = 3(x-1) – 2
Resolem els parèntesis 5x-20 + 1 = 3x – 3 – 2
Operem 5x – 19 = 3x – 5
Traspassem 5x – 3x = -5 + 19
Operem 2x = 14
Traspassem x=2
14
Operem x = 7
30
EQUACIONS AMB PARÈNTESIS
Si l’equació té denominadors, obtenim el mínim comú múltiple dels denominadors i
multipliquem i reduïm tota l'equació a denominador comú.
Exemple:
24
31
6
5
xx
Calculem el m.c.m de 6 i 4 , el resultat és 12.
Reduïm tota l’equació a denominador comú.
12
24
12
9
12
12
12
10
xx
Traíem denominadors:
10x-12=9x+24
Traspassem:
10x-9x=24+12
Operem:
x=36
Mètode general per a la resolució d’equacions:
*Treure parèntesis
*Treure denominadors
*Agrupar membres
*Reduir termes semblants
*Calcular la solució
31
Exemple:
xxx
31.2
4
1
6
5
xxx
3
22
4
1
6
5
12
12
12
8
12
24
12
3
12
10 xxx
10x-3=24-8x+12x
10x+8x-12x=24+3
6x=27
x=2
9
6
27
Resol les equacions següents:
3.(6+x)=2(x-5)
32
43
32
xx
562
5
4
xx
4
1
2
13
2
3
4
2
xx
Resol les següents equacions:
5(x+9)=2(x-6)
2x+3x+3=8
33
4=3x+20-7x
5x-3=2x+3
5+7x=5x+3
2-6x-5=6-3x
2-4x=16+3x
34
2x-4+3x=2+4x
4x+6=8x+5-7x
5-3x=x+8-11x
x+8=7
x+3=3
12=x-8
35
104
5
x
455
3
x
13x-12=0
6x+24=-12
8-x=12
20-2x=4
36
1514
x
274
5
x
3+4(2-x)=1-2x
5-2(x+2)=x+3
12-3(2x+5)=21+4(x+4)
37
7-2(3x-5)=2+3(4x-7)
625
xx
24
35 x
x
613
x
38
2
136
2
5 x
x
2
921
5
3 x
x
342
xx
32
9
5
3
4 xxx
15
23
xx
39
3
1
6
5
43
2
xxx
25
4
10
1
4
3 xxxx
xx 22
53
4
1
)35(2
113 xx
40
)91(3
1)2(4 xx
1)4(3
1
6
15
x
x
)123(4
1)26(
3
1 xx
22)13(
3
2 xx
41
xx
x 43
45.2
42
11
5
72
xx
2
43
3
2
xx
3412
1
4
1
x
xx
xx
32
45
42
110
1
5
42
25
23
xxx
8
282
4
)2(31
xx
xxxx
12
8
6
)1(5
3
)2(5
8
)12(31
16
)8(3
4
23
xxx
43
xxxx
3
)5(2
39
)8(4
2
1
10
1
15
)2(3
5
4
xxx
8
53
4
53
2
3
xxx
44
2
34
10
)2(3
5
)3(2 xxx
xx
5
)12(31
2
34
10
)2(3
5
)3(2 xxx
253
1x
45
xxx
413
)5(2
5
32
Els nostres amics la Marta, la Núria, en Jordi i en Ramon havien après molt sobre les
equacions a les classes de matemàtiques, així que estaven preparats per resoldre
algunes equacions que la lectura del llibre l’Illa del Tresor els suggeria.
La Marta, molt afeccionada als temes econòmics, va rumiar la manera en què es
repartien un botí els pirates.
Tornem enrere:
“De tots els que havien marxat a bord de la goleta, només cinc homes tornaven. La beguda i el
diable havien passat comptes amb els altres de forma ben cruel; però, al capdavall, el nostre
cas era menys greu que el vaixell de la cançó:
“dels setanta-cinc que havien embarcat, només en quedava un de viu”
46
Com no sabem quin valor ha de tenir cada part l’anomenem x
Si suposem que el botí té un valor de 15.000 lliures i dels 5 homes que van arribar un
rep el doble de la part, un altre una part i els altres tres, una quarta part de part.
Què s’emporta cada un d’ells?
Podem fer:
Capità Smollett: 2.x
Doctor Livesey: x
Jim Hawkins: x/4
John Long Silver: x/4
Ben Gunn: x/4
Aleshores tenim que:
Resol l’equació anterior per saber quina part s’emporta cada persona.
47
PROBLEMES D’EQUACIONS DE PRIMER GRAU AMB UNA INCÒGNITA
Les equacions s’utilitzen sovint en la vida quotidiana per resoldre problemes.
Resoldre problemes amb equacions comporta seguir els passos següents:
*Comprendre el problema: Cal distingir bé entre el que són les dades i el que es vol
calcular, és a dir la incògnita.
*Plantejar l’equació: L’equació es planteja relacionant les dades amb la incògnita.
Satisfà les condicions de l’enunciat del problema.
*Resoldre l’equació: Cal obtenir el valor numèric de la incògnita.
*Comprovar la solució: Cal veure que efectivament sigui la solució correcta.
48
“Dues guinees!-va rugir Merry tot brandant-la cap a Silver amb un gest amenaçador-.Aquestes són les teves set-centes mil lliures? Ah, tu sí que hi entens, en negocis! Tu, el gran home que mai no ha fet fracassar res, cap de suro!”
Suposem que haguessin decidit aquest repartiment:
Silver: el doble de la part.
Merry:700.000 lliures.
Pirata 3: Una part.
Pirata 4: Un terç de part.
Pirata 5: Un terç de part.
Pirata 6: Un quart de part.
Si sabem que el botí és de 9.000.000 de lliures, quina quantitat toca a cada pirata?
49
“En un racó reculat, a penes il·luminat per la lluïssor dansant de les flames, vaig distingir grans munts de monedes i lingots d’or. Era el tresor de Flint, el tresor que havíem vingut a buscar tan lluny i que ja havia costat la vida a disset homes de la Hispaniola.”
Suposem que hi hagi monedes de 5 classes: classe 1, classe 2, classe 3, classe 4 i
classe 5 i després lingots d’or i que en total hi hagi 930.000 peces entre monedes i
lingots. Quants n'hi ha de cada classe si:
-Classe 1: doble que classe 2
-Classe 3: meitat classe 2
-Classe 4: triple classe 3
-Classe 5: classe 4 menys un cinquè de classe 2
-Lingots d’or: doble de la suma de classe 2 i classe 3
50
Si en un vaixell després de l’atac d’un vaixell pirata, de les malalties, les baralles
entre tripulants, els càstigs, borratxeres i altres causes hi ha 24 baixes, quantes
persones viatjaven al vaixell si sabem que:
1/30 del total van morir durant l’atac pirata.
1/6 part van morir de malaltia.
2 van morir per baralles.
1/12 part van morir de borratxeres incontrolades.
El doble dels que van morir durant l’atac menys 3 són els que van morir castigats.
1/15 part van morir per altres causes.
“.....em vaig encarregar al llarg de tot el dia, a la cova, d’anar ficant les monedes a dins de sacs de galetes...”
Quantes monedes tenia per guardar en Jim Hawkins si sabem que tenia 4 capses de
galetes i les va repartir de la següent manera:
Capsa en forma d’ortoedre petita: 1/30 part del total de monedes.
Capsa en forma d’ortoedre gran:1/3 part del total de monedes.
Capsa en forma cilíndrica: les tres meitats de la suma de monedes que ha posat a les
dues capses anteriors.( orto gran i orto petita)
Capsa en forma de cub: 250 monedes.
51
“Les monedes formaven una estranya col·lecció, semblant per la seva diversitat al botí de Billy
Bones, però enormement més important i més variada, i em vaig dedicar a classificar-la.
Monedes angleses, franceses, espanyoles, portugueses; georges i lluïsos; doblons, dobles
guinees, daurats i sequins; efígies de tots els reis d’Europa del segle anterior; estranyes
monedes orientals gravades amb símbols semblants a trossos de cordill o de teranyines; ;
monedes rodones, monedes quadrades, monedes amb un forat al mig, com si s’haguessin
d’enfilar per fer-ne collarets crec que gairebé totes les monedes de l’univers devien figurar en
aquella col·lecció. Pel que fa al seu nombre, era considerable, ja que vaig acabar tenint mal de
ronyons a còpia d’ajupir-me per agafar-les, i mal als dits a còpia de triar-les.”
Suposem que en Jim està classificant monedes de diferents països i ens dona la
següent informació:
Angleses: Una cinquena part del total
Franceses: 1 /20 part del total
Espanyoles: Triple de les angleses menys el doble de les franceses.
Portugueses: 1/10 part de les espanyoles
Altres: 10.000 monedes
Quantes n'hi ha de cada classe?
52
Si sabem que entre les monedes quadrades i les que tenen un forat al mig n'hi ha un
total de 10.000, quantes n'hi ha de cada classe si sabem que de quadrades n'hi ha el
doble de les que tenen forat menys la meitat de les que tenen forat?
“Lluïsos francesos i escuts espanyols: els pirates tenien predilecció pels cofres plens de monedes, que eren fàcils i ràpides de posar en circulació als ports comercials i els permetien
fer bona vida a terra, jugar, o comprar mercaderies que negociarien en canvi de vi o de licors.”
Si un pirata rep en un repartiment d’un botí 100.000 escuts i es gasta en rom la
meitat del que perd jugant menys el 10% del que perd jugant; en altres despeses es
gasta la diferència del que perd jugant i el que es gasta en rom.
Quant gasta en cada cosa?
53
“Vaig començar abandonant-me a la desesperança per lliurar-me gairebé immediatament a un transport d’alegria. La goleta va virar lentament fins a presentar-me el flanc; després, mentre continuava virant, va cobrir la meitat, i els dos terços, i els tres quarts, de la distància que ens separava. Les onades escumejaven, coronades per crestes blanques, sota la seva proa. Vista des del meu esquif, em va semblar d’una alçada desmesurada.”
Si un vaixell per arribar a la costa recorre la meitat del trajecte que falta més la
sisena part del trajecte que falta més 1/12 part del trajecte que falta i encara
queden 300 metres per recórrer, a quina distància està de la costa?
Calcula quants anys té un amic d’en Jim si sabem que el seu pare, que en té 43, té 4
anys més que el triple de l’edat del seu fill.
54
Un pirata té entre peces de vuit i escuts un total de 195 monedes. De peces de vuit
en té 35 més que de escuts. Quantes monedes té de cada classe?
Quina edat té una noi si la seva àvia que en té 51, té 25 anys més que el doble de
l’edat del noi?
Calcula l’edat d'un amic de la Núria i de la seva mare sabent que es porten 24 anys i
que la mare té 4 vegades més anys que el seu fill.
55
Troba el nombre de monedes que en Ben té a la butxaca si sabem que la meitat
d’aquest nombre més la seva quarta part és igual al mateix nombre.
Quantes monedes té en Jim a la butxaca si la tercera part d’aquest nombre menys 1
és igual a la sisena part del nombre.
Dos nombres parells consecutius sumen 66.Quins són aquests nombres?
56
Un coco i una pinya tropical de l’illa del Tresor pesen 375gr entre els dos. La pinya
pesa 35gr més que el coco. Quant pesa cada fruita?
Si a un nombre li afegim el seu triple i li restem el seu doble el resultat és 56. Quin
és aquest nombre?
Calcula quants escuts té en Long John si sabem que si en dóna 150 al seu company li
queda el doble que si li’n dóna 325.
57
Un barril de rom està ple. El dissabte se’n gasta la tercera part i el diumenge dues
terceres parts. Quina és la capacitat total del barril si per tornar-lo a tenir ple es
necessiten 22 litres?
Les dues terceres parts de la tripulació d’un vaixell es queden al vaixell durant una
escala. Si hi ha 12 que baixen a port, quants mariners hi havia a la tripulació.
58
ALTRES PROBLEMES:
1)Calcula les dimensions d’un camp rectangular que hem tancat amb 140m de filferro
sabent que la llargada fa dues vegades l’amplada.
2)Calcula la longitud d’una peça de tela sabent que després d’haver-ne venut la meitat,
la cinquena part i la desena part, ens en queden encara 20m.
3)Calcula quants alumnes han anat al teatre sabent que si col·loquem 10 alumnes a cada
banc, 11 queden sense lloc i si n’hi col·loquem 11, en queden 7 drets.
4)Esbrina quina hora és quan el doble de les hores que han passat és igual al quàdruple
de les hores que queden per passar.
59
5)Calcula quants caramels s’han repartit tres nens sabent que el primer s’ha quedat la
meitat més 2, el segon la meitat dels que queden més dos i el tercer, la meitat de la
resta més 2.
6)Esbrina quins són els dos nombres que sumats fan 496 i en dividir l’un per l’altre el
quocient enter és 14 i el residu 16.
7)Esbrina quins són dos nombres que restats fan 516 i en dividir l’un per l’altre el
quocient enter és 14 i el residu 16.
8)En Pol se’n va de vacances. El primer dia es gasta la quarta part dels diners que duu,
i el segon dia la meitat dels que li queden. Llavors s’adona que només li queden 45 €.
Quants diners duia el primer dia?
60
9) Expressa en llenguatge ordinari:
2x 3x b-1 x/3 x+y x3+y3
a+5 x/2 (a+b)2 a2+b2 3.(a+b)2
10)Escriu en llenguatge algèbric:
La suma de dos nombres consecutius és igual a 27
La suma de tres nombres enters consecutius és igual a 33
La diferència entre el triple d’un nombre i el doble del mateix nombre és 121
El doble d’un nombre més cinc és igual a 71
La meitat d’un nombre és 128
61
Un nombre més 62 és igual al triple del nombre del qual partim
11)Resol les següents equacions senzilles:
3x+14=2
5x+9=7x+6
)1(223
xx
5x-7=33
-2x=-16
62
3x+5=-15
3x-4=7x+12
x-3-4x=1-x
2(x-2)=5-x
6-3x=3(2+3x)
2-(5-x)=8
63
x-(3+2x)=10
2x-5=3x+8
3(x-5)+2(1-x)=10
5x-8=3(1+2x)