laboratorio 1 - aliasing, convolución

Laboratorio 1 - Análisis del fenómeno de aliasing y la convolución utilizando Matlab

Abstract— This report presents the analysis of discrete systems processing by two fundamental concepts: aliasing and convolution. It implements scripts in Matlab to study the aliasing phenomenon that occurs in a sampling process of a digital system. Also, it observes the behavior of the convolution between an input and an impulse response. Simulations are performed in Matlab throwing a series of data that are discussed in the results analysis. Broadly, it shows the preliminary theory of the subject, simulations, results and some conclusions obtained from above points.

Palabras Claves— Sistema Discreto, Discretizar, Frecuencia de Muestreo, Impulso unitario, Aliasing, Convolución.

I. INTRODUCCIÓN

l procesamiento Digital de Señales es una de las tecnologías más poderosas que dan forma a la ciencia y

la ingeniería en el siglo XXI. Los cambios revolucionarios ya han sido realizados en una amplia gama de ámbitos: comunicaciones, imágenes médicas, radar y sonar, reproducción de música de alta fidelidad, y la exploración de petróleo, por nombrar sólo algunos. Cada una de estas áreas ha desarrollado una profunda tecnología DSP, con sus propios algoritmos, matemática y técnicas especializadas. Esta combinación de amplitud y profundidad hace que sea imposible para cualquier individuo dominar toda la tecnología DSP que se ha desarrollado. El estudio de los DSP implica dos tareas: aprender los conceptos generales que se aplican al campo como un todo, y el aprendizaje de técnicas especializadas en su área particular de interés. Este laboratorio comienza con un recorrido en el mundo de Procesamiento Digital de Señales.

E

Es indispensable conocer cuáles son los efectos y principios para llevar a cabo este procesamiento, partiendo desde conceptos claves como el tratamiento y los tipos de señales, el concepto y la clasificación de sistema, las operaciones que se realizan en estos dos aspectos, el muestreo de sistemas digitales etc. Dos conceptos fundamentales que hacen parte de estas temáticas son el fenómeno de Aliasing y la Convolución.

Aliasing es un fenómeno generado durante el proceso de muestreo en un sistema digital donde una señal continua de alta frecuencia adquiere la identidad de una secuencia de baja frecuencia. Este fenómeno se produce generalmente por escoger una frecuencia de muestreo Fs inferior al doble de la

frecuencia máxima Fmax de la señal a muestrear. Este criterio se denomina el teorema de Nyquist:

F s≥2Fmax

La frecuencia límite, Fs=2Fmax se denomina frecuencia de Nyquist. En la figura 1 se observa el fenómeno de Aliasing, una señal que presenta las mismas amplitudes en los mismos puntos pero con una frecuencia menor a la original.

Figura 1. Fenómeno de Aliasing

Y la convolución permite encontrar la salida y(n) de un sistema lineal e invariante en el tiempo en reposo ante cualquier entrada x(n) siempre y cuando se conozca la respuesta al impulso h(n) del sistema. Esta operación se encuentra definida por la siguiente expresión:

y (n )=∑k=0

M

h(k )x (n−k ) (1)

Donde M es el orden del sistema; la respuesta al impulso h(n) tiene M+1 coeficientes. La convolución solo se utiliza cuando la respuesta al impulso h(n) es finita; cuando ésta es infinita se opta por ecuaciones de diferencia.

Al tener claros estos dos conceptos, es importante analizar su comportamiento entre señales y sistemas. Para esto se cuenta con una herramienta muy importante que ofrece simulación y arroja resultados para estos dos términos, el cual es Matlab,


Diego Fernando Velasco, Sebastián Salamanca [email protected], [email protected]

Asignatura: Diseño Lógico 2 Departamento de Automática y Electrónica

Universidad Autónoma de Occidente Febrero 14 de 2012

1


Matlab es un ambiente de programación software que permite la simulación de procesos matemáticos y de sistemas dinámicos por medio de línea de comandos y de diagramas de bloques. Contiene un gran número de comandos y funciones para analizar y simular, entre otras áreas, el procesamiento digital de señales tanto unidimensionales como bidimensionales.

II. PROCEDIMIENTO

1. A partir de un script que calcula la FFT de una señal de entrada x(n) usando dos frecuencias de muestreo: una mayor que fmax y otra menor, se guarda el script en un archivo .m, se procede a examinar el código, a ejecutarlo y a analizar su comportamiento para explicar los espectros obtenidos de x1 y x2, que difieren únicamente en los valores de sus frecuencias de muestreo fs=10000 y fs2=3000. Se repite el proceso cambiando los valores de las frecuencias de muestreo para x2, fs2=1600 y fs2=1000.

2. Se elabora una función en Matlab llamada myconv.m para realizar la operación de convolución definida por la ecuación (1). Esta función no puede utilizar ninguna función propia de Matlab, salvo las básicas como if-else, for, do-while, etc. La función debe recibir como parámetros el vector de entrada x(n) y el vector h(n) (respuesta al impulso), y debe entregar un vector y(n) que contenga la respuesta del sistema

y=myconv( x,h );

Terminado el código y creada la función, se procede a realizar la convolución entre una entrada x(n) y las siguientes respuestas al impulso con la función creada en el script de Matlab:

Respuestas al impulso:

h1=[32, 7, 8, 8, 8, 7, 32];h2=[ -13, 15, 12, 12, 12, 13, 14, 14, 15, 14, 14, 13, 12, 12, 12, 15, -13];h3=[-9, -18, 4, 0, 8, 6, 2, -9, -20, -30, 94, -30, -20, -9, 2, 6, 8, 0, 4, -18, -9];

Entradas x(n):

%Sampling FrequencyFs=4e3;

%Time Vector t=0:1/Fs:0.1

%Test Input 1x1=cos(2*pi*100*t);x2=cos(2*pi*450*t);x=x2+x1;

%Test Input 2x=chirp(t,0,0.1,1000);

Se grafican los resultados de la convolución y(n) y se analizan las salidas producidas con cada una de las respuestas al impulso suministradas (h1, h2, h3) y explicando el tipo de

procesamiento que se está realizando sobre la entrada x(n) con cada respuesta al impulso.

3. Utilizando el siguiente script se lee y reproduce un archivo .wav, luego se analiza el efecto que producen sobre el archivo de sonido (.wav) las respuestas al impulso suministradas (h1, h2). Posteriormente se indica el tipo de procesamiento que cada respuesta al impulso está realizando.

clc; close all; clear all; %Read WAV file [x,fs,bits] = wavread('myfile.wav'); %Play WAV file wavplay(x, fs, 'sync'); %Impulse Responses h1=[ 0.01477360167, 0.04978841916, 0.08811090887, 0.1227388084, 0.1468462646,... 0.1554839909, 0.1468462646, 0.1227388084, 0.08811090887, 0.04978841916,... 0.014773601672]; h2=[-0.04169613868, 0.03945274651, 0.08787702024, -0.04242891818, -0.2937044501,... 0.5109052062, -0.2937044501, -0.04242891818, 0.08787702024, 0.03945274651,... -0.04169613868]; %Convolution y=myconv(x,h2); %Play processed signal.

wavplay(y, fs, 'sync');

Se implementa una interfaz gráfica con GUIDE de Matlab para presentar los resultados obtenidos.

III. SIMULACIONES

1. Fenómeno de Aliasing

A continuación se muestra el código en Matlab para visualizar si se presenta o no el fenómeno de aliasing al escoger una frecuencia de muestreo adecuada o inadecuada.

clc; clear all; close all; t_end = 0.1; %Good sampling fs = 10000; t = 0:1/(fs-1):t_end; f_vector = (0:1/(length(t)/2-1):1).*fs/2; x1 = 2*cos(2*pi*100*t) + sin(2*pi*1000*t) + 0.5*cos(2*pi*2000*t); X1 = abs(fft(x1)); figure subplot(2,2,1) plot(t, x1); title('Good Sampling - Signal') subplot(2,2,3) stem(f_vector, X1(1:end/2)); title('Good Sampling - Magnitude Spectrum') %Bad sampling fs2 = 3000; t2 = 0:1/(fs2-1):t_end; f_vector2 = (0:1/(length(t2)/2-1):1).*fs2/2; x2 = 2*cos(2*pi*100*t2) + sin(2*pi*1000*t2) + 0.5*cos(2*pi*2000*t2); X2 = abs(fft(x2)); subplot(2,2,2)plot(t2, x2); title('Bad Sampling - Signal')

2


subplot(2,2,4) stem(f_vector2, X2(1:end/2)); title('Bad Sampling - Magnitude Spectrum')

2. Convolución

El código realizado para llevar a cabo la convolución entre dos señales discretas (vectores) se presenta a continuación:

function y=myconv(x,h) len_y =length(x)+length(h)-1;len_x =length(x);len_h =length(h);y=zeros(1,len_y); for n=1:len_y y(n)=0; for k=1:len_x if (n-k)>=0 if n<=len_y if(n-k+1)<=len_h mult=x(k)*h(n-k+1) y(n)=mult+y(n) end end end end endend

Seguidamente se muestra el código que contiene los vectores a los que se les aplicara la hará la convolución; entradas y respuestas al impulso.Para esto se utiliza la función creada (myconv.m) y se realiza la convolución de la señal X1 (resultado de la suma de las señales x1 y x2) con cada una de las respuestas al impulso (h1, h2 y h3), De igual manera, la señal X2 (señal de frecuencia variable, en aumento) realiza la convolución con los tres vectores h.

%Impulse Responsesh1=[32, 7, 8, 8, 8, 7, 32];h2=[ -13, 15, 12, 12, 12, 13, 14, 14, 15, 14, 14, 13, 12, 12, 12, 15, -13];h3=[-9, -18, 4, 0, 8, 6, 2, -9, -20, -30, 94, -30, -20, -9, 2, 6, 8, 0, 4, -18, -9]; %As input signals use: %Sampling FrequencyFs=4e3;%Time Vectort=0:1/Fs:0.1; %Test Input 1x1=cos(2*pi*100*t); figure (1);subplot(2,2,1);plot(t,x1); x2=cos(2*pi*450*t);subplot(2,2,2);plot(t,x2); X1=x2+x1;subplot(2,2,3);plot(t,X1); %Test Input 2

X2=chirp(t,0,0.1,1000);subplot(2,2,4);plot(t,X2); %Convolución de cada entrada (X1 y X2) %con las 3 respuestas al impulso: y1a=myconv(X1,h1);figure (2);subplot(2,3,1);plot(y1a); y1b=myconv(X1,h2);subplot(2,3,2);plot(y1b); y1c=myconv(X1,h3);subplot(2,3,3);plot(y1c); y2a=myconv(X2,h1);subplot(2,3,4);plot(y2a); y2b=myconv(X2,h2);subplot(2,3,5);plot(y2b); y2c=myconv(X2,h3);subplot(2,3,6);plot(y2c);

3. Convolución con archivo .WAV

Se presenta la implementación de la convolución de las señales con cada uno de los dos h dados y sus respectivos resultados en la interfaz creada con el GUIDE de MATLAB.

IV. RESULTADOS


Al ejecutar el script se obtienen las siguientes gráficas:

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-4

-3

-2

-1

0

1

2

3Good Sampling - Signal

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50000

200

400

600

800

1000

1200Good Sampling - Magnitude Spectrum

Figura 2. Señal de entrada y espectro de x con fs=10000

3


0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-4

-3

-2

-1

0

1

2

3Bad Sampling - Signal

0 500 1000 15000

50

100

150

200

250

300Bad Sampling - Magnitude Spectrum

Figura 3. Señal de entrada y espectro de x (fs=3000)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-4

-3

-2

-1

0

1

2


0 100 200 300 400 500 600 700 8000

50

100

150


Figura 4. Señal de entrada y espectro de x con fs=1600

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-2

-1

0

1

2


0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

20

40

60

80


Figura 5. Señal de entrada y espectro de x (fs=1000)

2. Convolución

Para verificar que el algoritmo realizado hace la convolución correctamente se crea un vector de prueba “x” y se le hace convolución con otro vector de prueba “h” utilizando la función “myconv(x,h)” y se hace lo mismo pero con la función de Matlab “conv(x,h)” obteniendo como resultado el

mismo vector. Se hicieron varias pruebas de este tipo y se ratificó el correcto funcionamiento de la función “myconv”.

Al ejecutar el código de la convolución “myconv” realizando una prueba se obtiene como resultado:

>> x = [1 1 0 5]

x =

1 1 0 5

>> h = [8 0 7]

h =

8 0 7

>> myconv(x,h)

ans =

8 8 7 47 0 35El mismo resultado se obtuvo utilizando la función “conv” de Matlab.

A continuación se muestran las gráficas de las señales x1 y x2, las cuales sumadas generan la primera señal a convolucionar con las “h” que como se dijo anteriormente; toma el nombre de X1. También se muestran las señales X1 y X2, esta última de frecuencia variable, en aumento. Posteriormente se presentan las gráficas de los resultados de la convolución de cada señal de entrada (X1 y X2) con las respuestas al impulso h.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 6. Señal x1, coseno con frecuencia de 100 Hz

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 7. Señal x2, coseno con frecuencia de 450 Hz

En la figura 8 se muestra la señal X1, la cual es el resultado de la suma de las señales cosenoidales x1 y x2.

4


0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Figura 8. Señal X1, suma de la señal x1 y la señal x2

En la figura 9 se aprecia la señal X2, la cual es una señal que empieza con una frecuencia baja y a medida que pasa el tiempo va aumentando.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 9. Señal X2 (Señal con frecuencia variable (en aumento))

Al realizar la convolución de la señal X1con la respuesta al impulso h1 se obtiene una salida (y1a) como se muestra en la figura 10.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450-150

-100

-50

0

50

100

150

Figura 10. Convolución de la respuesta al impulso h1 y la señal X1

Efectuada la convolución de la señal X1 con la respuesta al impulso h2 se obtiene una salida (y1b) como se muestra en la figura 11.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200


Al llevar a cabo la convolución de la señal X1 con la respuesta al impulso h3, se obtiene una salida (y1c) como se muestra en la figura 12.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450-150

-100

-50

0

50

100


Al hacer la convolución con la señal X2 y la respuesta al impulso h1, se obtiene una salida (y2a) que se muestra en la figura 13.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450-100

-50

0

50

100

150

Figura 13. Convolución de la señal X2 y la respuesta al impulso h1

Al realizar la convolución de la señal X2 con la respuesta al impulso h2 se obtiene una salida (y2b) como se muestra en la figura 14.

5


0 50 100 150 200 250 300 350 400 450-150

-100

-50

0

50

100

150

200


Al realizar la convolución de la señal X2 con la respuesta al impulso h3 se obtiene una salida (y2c) como se muestra en la figura 15.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200



A una entrada tomada de un archivo de sonido .WAV se le hace convolución con dos diferentes respuestas al impulso, h1 y h2. A cada uno de estos dos resultados se le aplica la transformada rápida de Fourier (FFT) para observar su comportamiento en el espectro de frecuencia. En la figura 16 se visualiza la interfaz creada en GUIDE de MATLAB y en ella se observa el espectro de una señal de sonido de tipo WAV, en este caso el archivo “jungle.wav”. Al hacer la convolución de esta señal con la respuesta al impulso h1 y con h2, se obtienen los espectros al lado derecho de la figura (arriba h1, abajo h2).

Figura 16. Espectro de la señal de sonido de tipo jungle.wav (izq.), Espectro de la convolución de la señal de jungle.wav con la respuesta

al impulso h1 (derecha ariba) y al impulso h2 (derecha abajo).

V. ANALISIS DE LOS RESULTADOS


Análisis de resultados con fs=10000 (ver Figura 2).

La frecuencia de muestreo utilizada es de 10000 Hz, la cual es mayor que el doble de la frecuencia máxima de la señal (fmax=2000), por lo que se cumple el criterio de Nyquist (fs>=2fmax), lo que significa que no se presenta aliasing. Por ende, las frecuencias de la señal después de muestreada serán las mismas que las de la entrada, es decir, las originales. Para demostrarlo se hace el cálculo matemático verificando si la señal presenta o no aliasing con esta frecuencia de muestreo.

Cálculos de aliasing para fs=10000 (ver Figura 2).

X (n)=2cos (2 π 100 t )+sin(2 π1000 t )+0 . 5cos(2 π 2000t )

⇒ t=nFs

;

X (n)=2cos(2 π 10010000

n)+sin(2π 100010000

n)+0 . 5 cos(2π 200010000

n)X (n)=2cos(2 π

100n)+sin (2 π

10n)+0 . 5cos(2π 2

10n)

⇒n=t∗FsX (n)=2cos (2 π 100 t )+sin(2 π1000 t )+0 . 5cos(2 π 2000t )

La señal es la misma, no se presenta el fenómeno de aliasing.


La frecuencia de muestreo utilizada es de 3000 Hz, la cual es menor que el doble de la frecuencia máxima de la señal (fmax=2000), por lo que no se cumple el criterio de Nyquist (fs>=2fmax), lo que significa que se presenta el fenómeno de aliasing. En la figura se puede observar que se presenta una frecuencia “alias” de 1000 Hz, la cual se superpone con la de 1000 original. Para demostrarlo se hace el cálculo matemático verificando si la señal presenta o no aliasing con esta frecuencia de muestreo.

6


X (n)=2cos (2 π 100 t )+sin(2 π1000 t )+0 . 5cos(2 π 2000t )

X (n)=2cos (2 π 1003000

n)+sin(2π 10003000

n)+0 . 5 cos(2π 20003000

n)X (n)=2cos (2 π

30n)+sin(2 π

3n)+0 .5cos (2 π 2

3n)

X (n)=2cos (2 π30

n)+sin(2 π3

n)+0 .5cos (2 π (33 −13 )n)

X (n)=2cos (2 π30

n)+sin(2 π3

n)+0 .5cos (2 π (13 )n)⇒n=t∗Fs

X ( n)=2cos (2π 100 t )+sin(2 π1000 t )+0 .5cos(2 π1000 t )

Se observa la frecuencia “alias” de 1000 Hz en el componente 0 .5 cos(2 π 1000 t ) de la señal.


La frecuencia de muestreo utilizada es de 1600 Hz, la cual es menor que el doble de la frecuencia máxima de la señal (fmax=2000), por lo que no se cumple el criterio de Nyquist (fs>=2fmax), lo que significa que se presenta el fenómeno de aliasing. En la figura se puede observar que se presenta una frecuencia “alias” de 400 Hz y otra de 600 Hz, las cuales son el “alias” de la señal original, de los componentes de 2000 Hz y 1000 Hz respectivamente. Para demostrarlo se hace el cálculo matemático verificando si la señal presenta o no aliasing con esta frecuencia de muestreo.X (n)=2cos (2 π 100 t )+sin(2 π1000 t )+0 . 5cos(2 π 2000t )

X (n)=2cos (2 π 1001600

n)+sin(2π 10001600

n)+0 . 5 cos(2π 20001600

n)X (n)=2cos (2 π

16n)+sin(2 π5

8n)+0. 5 cos (2 π 5

4n)

X (n)=2cos (2 π16

n)+sin(2 π (88 −38 )n)+0 .5cos (2 π (44 +1

4 )n)X (n)=2cos (2 π

16n)−sin(2 π 3

8n)+0 .5 cos (2 π (14 )n)

⇒n=t∗Fs

X ( n)=2cos (2π 100 t )−sin (2π 600 t )+0 .5cos (2π 400 t )

Análisis de resultados con fs=1000(ver Figura 5).

La frecuencia de muestreo utilizada es de 1000 Hz, la cual es menor que el doble de la frecuencia máxima de la señal (fmax=2000), por lo que no se cumple el criterio de Nyquist (fs>=2fmax), lo que significa que se presenta el fenómeno de aliasing. En la figura se puede observar que se presenta una frecuencia “alias” de 0 Hz. Se procede a realizar el cálculo matemático de la misma forma que para las anteriores fs.

2. Convolución

Analizando los resultados obtenidos en las figuras 10 y 13, las cuales son el resultado de la convolución entre las entradas X1 y X2 con h1, se observa que este último se comporta como un filtro pasa bajo, ya que sólo deja pasar las frecuencias bajas de la señal X1 y de la señal X2, en la convolución con X2 se presenta una protuberancia (lóbulo) en la señal lo que engaña un poco a simple vista, pero ese es el rizado normal en un filtro, que en ocasiones puede ser mayor o menor, por lo tanto también se está comportando como pasa bajo, a pesar del lóbulo.

Partiendo de los resultados de las figuras 11 y 14 que resultan de la convolución entre las entradas X1 y X2 con h2, se puede observar que h2 también se comporta como un filtro pasa bajo, debido a que en la figura 14, cuando aumenta la frecuencia de la señal (disminuye el período) se ven los lóbulos que corresponden al rizado de la banda de rechazo del filtro que para este caso rechaza las frecuencias altas (pasa bajo). La diferencia entre el filtro de h1 con respecto al de h2 es que el primero es de menor orden que el segundo, ya que el vector h2 presenta más componentes que el vector h1.

En los resultados obtenidos en las figuras 12 y 15, que resultan de la convolución entre las entradas X1 y X2 con h3, se observa que este último se comporta como un filtro pasa alto ya que en la primera convolución (h3 con X1) la señal arranca con una frecuencia alta y gran amplitud en un corto período de tiempo, luego la frecuencia disminuye y la señal se atenúa, posteriormente aumenta la frecuencia nuevamente y amplitud de la señal se vuelve a ampliar. En la convolución con la segunda señal (h3 con X2) se puede ver aún mejor el fenómeno, ya que al comienzo se puede ver la señal con un período relativamente alto (frecuencia baja) y la señal solo presenta los lóbulos del rizado, es decir, que la señal está atenuada, luego, cuando la señal disminuye su período (aumenta su frecuencia) la amplitud de la señal crece notablemente.


En la figura 16 se puede observar:

En la parte superior derecha de la figura se observa que las frecuencias altas son anuladas a partir de 1500 Hz, las más que están por debajo de 1500 Hz si pasan, por lo que se afirma que h1 se está comportando como un filtro pasa bajo con frecuencia de corte de 1.5KHz.

En la parte inferior derecha de la figura se puede observar que las frecuencias bajas son anuladas y empiezan a pasar frecuencias superiores a 2000 Hz, por lo tanto h2 se está comportando como un filtro pasa alto con frecuencia de corte 2KHz.

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CONCLUSIONES

A la hora de diseñar e implementar filtros digitales, específicamente en la etapa del muestreo de la señal es indispensable tener en cuenta que se puede presentar el fenómeno de aliasing, por lo cual se deben identificar primero las posibles frecuencias “alias” para filtrarlas analógicamente antes de proceder a realizar el tratamiento digital.

El diseño de la función de convolución como un script en el programa Matlab permite tener una visión más general de esta operación, pues gracias a esto se facilita implementar la convolución en cualquier lenguaje bien sea C, assembler, etc. Además de analizar cómo se ejecuta la convolución entre una señal de entrada x(n) y una respuesta al impulso h(n).

Los filtros muestran su comportamiento a partir de una respuesta al impulso determinada, ya que si se realiza esta operación entre una señal de entrada y una respuesta al impulso, se observara el comportamiento correspondiente que toma el filtro: si es pasa bajo, pasa alto etc. Para varios h(n) y una señal de entrada x(n) se puede obtener varios tipos de filtros.

VI. REFERENCIAS

[1] S. K. Mitra, Digital Signal Processing: A Computer-Based Approach, 2nd edition. [2] McGraw-Hill. J.Proakis, D.Manolakis, Digital Signal Processing, 4th edition. Prentice Hall. [3] B. A. Shenoi, Introduction to Digital Signal Processing and Filter Design, John Wiley & Sons, 2006.

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laboratorio 1 - aliasing, convolución

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