laborator 5 · pdf file diferentiala totala a unei functii de mai multe variabile diferentiala...

LABORATOR 5 In Laboratorul 5 se vor prezenta metode de integrare a ecuatilor si sistemelor de ecuatii diferentale

¢ | £

2 lab5mac.nb

Definirea unei functii

Functia definita si apoi reprezentata este f(x)=sin x

f@x_D := Sin@xD

Plot@f@xD, 8x, 0, 2 Pi

Diferentiala totala a unei functii de mai multe variabile

Diferentiala functiei g definita mai sus

Dt@g@x, yDD

4 Hx + ä yL3 HDt@xD + ä Dt@yDL Im¢AArcSinAHx + ä yL4EE

1 - Hx + ä yL8

unde Dt[x] si Dt[y] reprezinta functiile proiectii dx, rep dy din expresia uzuala a unei deferentale totale.

Grupam expresia de mai sus dupa Dt[x] si Dt[y]

Collect@%, 8Dt@xD, Dt@yD

Rezolvarea ecuatiilor diferentiale de ordin superior cu DSolve

Ecuatia diferentiala este y'''[x] + y[x] = a Sin[x].

DSolve@y'''@xD + y@xD a Sin@xD, y@xD, xD

::y@xD ®

ã-x C@1D + ãx2 C@3D CosB 3 x

2 F + ãx2 C@2D SinB

3 x

2 F +

1

6 -a Cos@xD + 4 a Cos@xD CosB

3 x

2 F 2

+

a Sin@xD + 2 a CosB 3 x

2 F 2

Sin@xD + 4 a Cos@xD SinB 3 x

2 F 2

+ 2 a Sin@xD SinB 3 x

2 F 2

>>

unde C[1], C[2], C[3] sunt constante arbitrare.

Problema Cauchy asociata ecuatiei de mai sus care se rezolva de asemenea cu DSolve: y'''[x] + y[x] = a Sin[x], y[0]=0,y'[0]=0, y''[0]=0.

DSolve@8y'''@xD + y@xD a Sin@xD, y@0D == 0, y'@0D == 0, y''@0D 0>

Conditiile initiale se adauga in blocul de ecuatii la fel ca si in cazul rezolvarii unui sistem de ecuatii diferentiale:

DSolve@8y'@xD x^2 y@xD, z'@xD 5 z@xD

¢ | £

lab5mac.nb 5

Rezolvarea ecuatiilor cu derivate partiale de ordinul al doilea cu DSolve

Sa se rezolve ecuatia ¶2uHx,yL

¶x2 +2

¶2uHx,yL ¶x ¶y

- 3 ¶2uHx,yL

¶y2 = 0:

DSolveA9¶x,xu@x, yD + 2 ¶x,yu@x, yD - 3 ¶y,yu@x, yD 0=, u@x, yD, 8x, y

f@y_D := y2

4 + 3

4 - y4

12 + C@1D ; g@y_D :=

3 y2

4 - 3

4 - y4

12 + C@1D ; Simplify@u@x, yDD

-5 x4 + 7 x3 y + y2 + x y3 - 3 x2 I-1 + y2M

Suprafata integrala are are reprezentarea grafica:

Plot3DA-5 x4 + 7 x3 y + y2 + x y3 - 3 x2 I-1 + y2M, 8x, -10, 10

Aproximarea solutiei sistemelor de ecuatii diferentiale cu NDSolve

Solutiile ecuatiilor si sistemelor de ecuatii diferentiale care nu pot fi integrate, pot fi aproximate cu diferite metode de aproximare de Mathematica 6.0 prin intermediul instructiunii NDSolve. Implicit este algoritmul Runge-Kutta, care in general da o aproxi- mare suficient de buna a solutiei. Mathematica 6.0 dispune si de alti algoritmi de aproximare care pot fi dati explicit cu "Method".

Sa se afle traiectoria rigidului liber a carui ecuatii de miscare sunt: m1'[t] = a1 m2[t] m3[t] m2'[t] = a2 m1[t] m3[t] m3'[t] = a3 m1[t] m2[t] a1 = 1

I3 -

1

I2

a2 = 1 I1

- 1

I3

a3 = 1 I2

- 1

I1

I1,I2,I3 fiind componentele tensorului de inertie.

Ca a putem folosi instructiune NDSolve trebuie neaparat -sa dam valori numerice constantelor -sa adaugam conditiile initale in blocul de ecuatii

I1 = 7; I2 = 5; I3 = 1;

a1 = 1

I3 -

1

I2 ; a2 =

1

I1 -

1

I3 ; a3 =

1

I2 -

1

I1 ;

sol = NDSolve@8m1'@tD a1 m2@tD m3@tD, m2'@tD a2 m1@tD m3@tD, m3'@tD a3 m1@tD m2@tD, m1@0D == 1, m2@0D == 1, m3@0D == 1

Sa se gaseasca solutia sistemului si sa se reprezinte grafic: x1'[t] = x2[t] - k x3[t] x2'[t] = x1[t] x3[t] x3'[t] =-x1[t] x2[t]

Se dau valori constantelor:

k = 7;

Se mai adauga conditii initiale in blocul de ecuatii:

sol = NDSolve@8x1'@tD x2@tD - k x3@tD, x2'@tD x1@tD x3@tD, x3'@tD -x1@tD x2@tD, x1@0D == 1, x2@0D == 1, x3@0D == 1

ParametricPlot@Evaluate@8x1@tD, x2@tD< . solD, 8t, -3, 3

lab5mac.nb 11