laborator 5 · pdf file diferentiala totala a unei functii de mai multe variabile diferentiala...
Post on 21-Feb-2020
35 views
Embed Size (px)
TRANSCRIPT
LABORATOR 5 In Laboratorul 5 se vor prezenta metode de integrare a ecuatilor si sistemelor de ecuatii diferentale
¢ | £
2 lab5mac.nb
Definirea unei functii
Functia definita si apoi reprezentata este f(x)=sin x
f@x_D := Sin@xD
Plot@f@xD, 8x, 0, 2 Pi
Diferentiala totala a unei functii de mai multe variabile
Diferentiala functiei g definita mai sus
Dt@g@x, yDD
4 Hx + ä yL3 HDt@xD + ä Dt@yDL Im¢AArcSinAHx + ä yL4EE
1 - Hx + ä yL8
unde Dt[x] si Dt[y] reprezinta functiile proiectii dx, rep dy din expresia uzuala a unei deferentale totale.
Grupam expresia de mai sus dupa Dt[x] si Dt[y]
Collect@%, 8Dt@xD, Dt@yD
Rezolvarea ecuatiilor diferentiale de ordin superior cu DSolve
Ecuatia diferentiala este y'''[x] + y[x] = a Sin[x].
DSolve@y'''@xD + y@xD a Sin@xD, y@xD, xD
::y@xD ®
ã-x C@1D + ãx2 C@3D CosB 3 x
2 F + ãx2 C@2D SinB
3 x
2 F +
1
6 -a Cos@xD + 4 a Cos@xD CosB
3 x
2 F 2
+
a Sin@xD + 2 a CosB 3 x
2 F 2
Sin@xD + 4 a Cos@xD SinB 3 x
2 F 2
+ 2 a Sin@xD SinB 3 x
2 F 2
>>
unde C[1], C[2], C[3] sunt constante arbitrare.
Problema Cauchy asociata ecuatiei de mai sus care se rezolva de asemenea cu DSolve: y'''[x] + y[x] = a Sin[x], y[0]=0,y'[0]=0, y''[0]=0.
DSolve@8y'''@xD + y@xD a Sin@xD, y@0D == 0, y'@0D == 0, y''@0D 0>
Conditiile initiale se adauga in blocul de ecuatii la fel ca si in cazul rezolvarii unui sistem de ecuatii diferentiale:
DSolve@8y'@xD x^2 y@xD, z'@xD 5 z@xD
¢ | £
lab5mac.nb 5
Rezolvarea ecuatiilor cu derivate partiale de ordinul al doilea cu DSolve
Sa se rezolve ecuatia ¶2uHx,yL
¶x2 +2
¶2uHx,yL ¶x ¶y
- 3 ¶2uHx,yL
¶y2 = 0:
DSolveA9¶x,xu@x, yD + 2 ¶x,yu@x, yD - 3 ¶y,yu@x, yD 0=, u@x, yD, 8x, y
f@y_D := y2
4 + 3
4 - y4
12 + C@1D ; g@y_D :=
3 y2
4 - 3
4 - y4
12 + C@1D ; Simplify@u@x, yDD
-5 x4 + 7 x3 y + y2 + x y3 - 3 x2 I-1 + y2M
Suprafata integrala are are reprezentarea grafica:
Plot3DA-5 x4 + 7 x3 y + y2 + x y3 - 3 x2 I-1 + y2M, 8x, -10, 10
Aproximarea solutiei sistemelor de ecuatii diferentiale cu NDSolve
Solutiile ecuatiilor si sistemelor de ecuatii diferentiale care nu pot fi integrate, pot fi aproximate cu diferite metode de aproximare de Mathematica 6.0 prin intermediul instructiunii NDSolve. Implicit este algoritmul Runge-Kutta, care in general da o aproxi- mare suficient de buna a solutiei. Mathematica 6.0 dispune si de alti algoritmi de aproximare care pot fi dati explicit cu "Method".
Sa se afle traiectoria rigidului liber a carui ecuatii de miscare sunt: m1'[t] = a1 m2[t] m3[t] m2'[t] = a2 m1[t] m3[t] m3'[t] = a3 m1[t] m2[t] a1 = 1
I3 -
1
I2
a2 = 1 I1
- 1
I3
a3 = 1 I2
- 1
I1
I1,I2,I3 fiind componentele tensorului de inertie.
Ca a putem folosi instructiune NDSolve trebuie neaparat -sa dam valori numerice constantelor -sa adaugam conditiile initale in blocul de ecuatii
I1 = 7; I2 = 5; I3 = 1;
a1 = 1
I3 -
1
I2 ; a2 =
1
I1 -
1
I3 ; a3 =
1
I2 -
1
I1 ;
sol = NDSolve@8m1'@tD a1 m2@tD m3@tD, m2'@tD a2 m1@tD m3@tD, m3'@tD a3 m1@tD m2@tD, m1@0D == 1, m2@0D == 1, m3@0D == 1
Sa se gaseasca solutia sistemului si sa se reprezinte grafic: x1'[t] = x2[t] - k x3[t] x2'[t] = x1[t] x3[t] x3'[t] =-x1[t] x2[t]
Se dau valori constantelor:
k = 7;
Se mai adauga conditii initiale in blocul de ecuatii:
sol = NDSolve@8x1'@tD x2@tD - k x3@tD, x2'@tD x1@tD x3@tD, x3'@tD -x1@tD x2@tD, x1@0D == 1, x2@0D == 1, x3@0D == 1
ParametricPlot@Evaluate@8x1@tD, x2@tD< . solD, 8t, -3, 3
lab5mac.nb 11