la teoría cuántica moderna; -...

1

V. La teoría cuántica moderna;

Schröedinger y el átomo de

hidrógeno

Alejandro Solano Peralta

MECÁNICA ONDULATORIA

DE SCHRÖEDINGER

La teoría cuántica

moderna;

2

de Broglie y la dualidad onda

partículaEn 1924, Louis De Broglie sugirió que la materia (electrones, protones, neutrones, átomos y moléculas, y en general a todas las partículas materiales) tiene una naturaleza dual.

– E = h (Planck, 1900)

– E = mc2 (Einstein, 1905)

p

h

mc

h

Confirmada experimentalmente por:

•Sir George Pajet Thomson & A. Reid utilizando una delgada lamina de metal

•Clinton J. Davisson & Lester Germer al difractar un haz de electrones sobre Ni (cristal)

se les premio concediéndoles el premio Nobel de Física en 1927

Heisenberg y el Principio de

incertidumbreEn 1927 Werner Karl Heisenberg* establece el

“principio de incertidumbre”:

• Es imposible determinar tanto posición y

momento de un electrón simultáneamente.

Si una cantidad es conocida entonces la

determinación de la otra cantidad será

imposible.

Werner

Heisenberg

*Ganador del premio Nóbel en física 1932 por la creación de la mecánica cuántica

DP Dx h

DE Dt h / 4p

3

Mecanica cuántica

• Mecánica ondulatoria de

Schrödinger; en 1926 Schrödinger trata de describir el comportamiento del electrón en

términos de ecuaciones diferenciales similares a las que

gobiernan el movimiento ondulatorio (de ahí que se le conozca como teoría ondulatoria

de la materia)

• Mecánica matricial, propuesto por

W. Heisemberg en 1925 y

formalizado por Max Born y

Pascual Jordan en 1926, donde se

emplean matrices para representar

las variables de un sistema

Paul Adrien

Maurice Dirac

Postulados del modelo de

Schroedinger1. Para cada sistema de N partículas existe una función, , la

cual es una función matemática que depende de las

coordenadas de las N partículas y del tiempo y que contiene

toda la información acerca del sistema. A esta función se le

suele denominar función de estado (función de onda) del

sistema ()

)t,z,y,x,,z,y,x,z,y,x NNN222z11

4


Schroedinger2. Para cada observable físico (x, p, E, L,) existe un operador

lineal y hermitiano que aplicado a la función de onda me da

el valor de la propiedad por la función de onda, es decir, la

medición de este observable resulta ser un miembro del

conjunto de valores propios del operador.

)x(E)x(H

Operador

FunciónObservable (cte)

(Ecuación de valores propios)

¿qué es un operador matemático


Schroedinger3. Si en el instante t se realiza una medición para localizar la

partícula asociada entonces la probabilidad P(x,t) dx de

encontrar a la partícula en una coordenada entre x y x + dx

es igual a , es decir

en este caso se dice que la función está normalizada.

1dx)t,x()t,x(*dx)t,x(P

5

Plausibilidad de la ecuación de

SchroedingerSchrödinger t rata de describir el comportamiento del electrón en

términos de ecuaciones diferenciales similares a las que gobiernan el

movimiento ondulatorio. Entonces, es posible describ ir una función

que describa su comportamiento, Tal como la función que describe la

propagación de una onda sinusoidal:

Moviendose a una velocidad;

)

υt

λ

xπ2senAtx,

v

Ecuacion gral. de

onda

2

2

22

2

tv

1

x

Ecuacion gral. del

movimiento ondulatorio


Schroedinger

¿Cuál es esa función?

Esta función debe ser consistente con:

= h / mv (de Broglie)

E = h (Planck)

ETotal = Ek + V (Clásica)

Donde;

Ek =1/2 mv2

6


Schroedinger

¿Cuál es esa función?

Esta función debe ser consistente con:

= h / mv (de Broglie)

E = h (Planck)

ETotal = Ek + V (Clásica)

Debe cumplir ciertos requisitos matemáticos como lo son:

•Ser finita

•Continua

•Univaluada

•Cuadrado integrable

•Ser lineal

Una función que cumpla

estas condiciones, se

dice está bien

condicionada


SchrödingerUna partícula libre moviéndose en el eje x,

fue propuesta por Schrodinger, por ello se le conoce como Ecuación de

Schroedinger,

Pero, considerando únicamente la posición de la partícula

) )

)t

t,xit,x)t,x(V

x

t,x

m2 2

22

)t()x()t,x(

) ) )x(Ex)x(V

dx

xd

m2 2

2

Ecuación de Schrödinger

independiente del tiempo

7


SchrödingerUna forma simplificada de escribir la ecuación de Schroedinger es por

medio de un operador.

Así, si se define el operador Hamiltoniano

entonces la ecuación queda simplificada de la siguiente manera:

) ) )x(Ex)x(V

dx

xd

m2 2

2

V(x)xd

d

m2H

2

2

)x(E)x(H

Tarea 9• El operador Â=(d/dx – 3) es aplicable a las siguentes

funciones;

f (x) = e –x

f (x) = e x cos x

¿Son propias del operador? Si es así, indicar el valor propio

• Aplique el operador 2/ x2 sobre las funciones;

(x,t) = e-xt

(x,t) = sen(x-t)

¿Alguna de ellas es propia del operador?

8

¿Cuál es la forma de la función

de onda?

• Partícula en una caja de

potencial

V = a V = 0 V = a

0 a

x

))x(E

dx

xd

m2 2

2

)ψ(x)

mE2

xd

xψd22

2

))x(m

dx

xfd 2

2

2

) )mxcosBmxsenAψ(x)

Condiciones a la frontera;

x = 0; (x) = 0

x = a; (a) = 0

f(x) = A sen (mx)

f(x) = B cos (mx)

x

a

nπsensen(mx) ; n +


de onda?


potencial

V = a V = 0 V = a

0 a

x

x

a

nπsenAEx

a

nπsenA

xd

d

m2 2

2

))x(E

dx

xd

m2 2

2

)

x

a

nπsenAx ; n +

9

1dxxa

nsenAdx)x(

1dx)x()x(*dx)x(P

a

0

2

2

p


de onda?


potencial

V = a V = 0 V = a

0 a

x

)

x

a

nπsenAx

Postulado 3;

condicion de

normalización

2/1

a

2A

¿Y cuanto vale A?


de onda?


potencial

V = a V = 0 V = a

0 a

x

x

a

nπsen

a

2ψ(x)

2/1

; n +

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

(

x)

x / a

n = 1

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

(

x)

x / a

n = 2nodo

(x)=0

10


de onda?


potencial

V = a V = 0 V = a

0 a

x

x

a

nπsen

a

2ψ(x)

2/1

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

2 (x)

(x)

(

x)

x / a

n = 2


de onda?


potencial

V = a V = 0 V = a

0 a

x

; n +

2

22

a

n

m8

hE

E(h2/8ma)

n = 11

n = 24

n = 39

n = 416

Diagrama de

niveles de energía

11

Tarea 10

• Calcule la probabilidad de que una partícula

este en el intervalo (0, a/4) cuando se

encuentre en el primer estado cuántico.

• ¿cuál seria la probabilidad de encontrar a la

partícula en el punto x=a/2 para n =1


de onda?

• Partícula en un cubo de potencial

) z)y,ψ(x,Ezy,x,ψzyxm2 2

2

2

2

2

22

Etot = Ex + Ey + Ez

) ) z)y,ψ(x,EEEzy,x,ψzyxm2

zyx2

2

2

2

2

22

)z)y,ψ(x,

mE2

x

zy,x,ψ2

x

2

2

Por ser una función lineal )z)y,ψ(x,

mE2

y

zy,x,ψ2

y

2

2

)z)y,ψ(x,

mE2

z

zy,x,ψ2

z

2

2

12


de onda?

• Partícula en un cubo de potencial

Etot = Ex + Ey + Ez

2

2x

2

xa

n

m8

hE

2

2z

2

2y

2

2x

2

to talc

n

b

n

a

n

m8

hE

nx, ny, nz +


de onda?

• El átomo de hidrógeno

) ) )z,y,x(Ez,y,xz,y,xVzyxm2 2

2

2

2

2

2

e

2

)

222

2

0

Ne

2

zyx

Ze

επ4

1

r

Zectezy,x,V

13

Átomo de Hidrógeno),,(),,(ˆ zyxEzyxH

) ) ,,,, rzyx

)r

ZerV

2

04

1

p

)

222

2

0

Ne

2

zyx

Ze

επ4

1

r

Zectezy,x,V


) ) ,,,, rzyx

Tarea 11; Buscar la conversión de

coordenadas cartesianas (x,y,z) a

coordenadas polares (r,,)

14

Ecuación de Schroedinger (1925)

) ) ) )zyxttzyxVzyxt

t

zyxti ,,,,,,,,,

m2

,,, 22

2; Nabla cuadrado; operador laplaciano

)(esféricas sin

1sin

sin

11

as)(cartesian

2

2

222

2

2

2

2

2

2

2

22

rrrr

rr

zyx


) ) ,,,, rzyx

) ) ),,(,,,,2 2

2

2

2

2

22

zyxEzyxzyxVzyxme

) ) ) ),,r(E,,rrVm2

2

e

2

15

Formulación moderna de la ec. De

Schroedinger

) ) ) ) )ttVttdt

dit ,r

m2

pH

i; es la unidad imaginaria

ħ; constante de planck generalizada

Ĥ; es el operador Hamiltoniano dependiente del tiempo

p; Es el impulso (observable)

r; Es la posición (observable)

Erwin Schrödinger (1926), «An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms

and Molecules», Phys. Rev. 28, 1049.

Átomo de Hidrógeno

) ) ) ),,r(E,,rrVm2

2

e

2

sen

senr

1

senr

1

rr

rr

122

2

22

22

),,(),,(ˆ rErH

Numero

cuántico

Valor Descripción

n 1, 2, 3, 4, 5, . . . . . Principal

l 0, 1, 2, . . . , n-1 Azimutal o de forma

ml -l, -l+1, . . , 0, . . . , +l-1, +l Magnético

) ) ) ) mmllnmln rR,,r

Todos los numero cuánticos son números enteros y sus valores no pueden elegirse al azar

16

Átomo de Hidrógeno - Energía

1 2

-50

-15

-10

-5

0

E (

eV

)

Z

)

p

222

0

4

e

2

n

1

24

emZE

Diagrama de los niveles de energía del átomo de hidrógeno

(Z=1) y del ion He+ (Z=2)

Átomo de Hidrógeno - función de

onda ()Las funciones de onda del hidrógeno reciben también el nombre de

orbitales atómicos simbolizados como:

así mismo la notación que se usa para designar el momento angular es:

Valor de l Símbolo Definición

0 s exacto (sharp)

1 p principal

2 d difuso

3 f fundamental

4 g . . .

5 h . . .

Así, un orbital 1s es la función de onda 100 con n = 1, l = 0 y m = 0

nl

17

Átomo de Hidrógeno – función de

onda ()

Expresiones matemáticas de las funciones de onda normalizadas para el átomo de hidrógeno

Números

cuánticos

Función

de onda Simbología Eigen-función

n l m

1 0 0 100 1s

2 0 0 200 2s

2 1 0 210 2pz

2 1 +1 21+1 2px, y

0a/rZ

2/3

0

100 ea

Z1

p

0a2/rZ

0

2/3

0

200 ea

rZ2

a

Z

24

1

p

p

cose

a

rZ

a

Z

24

10a2/rZ

0

2/3

0

210

p ia2/rZ

0

2/3

0

121 esenea

rZ

a

Z

8

10

Átomo de Hidrógeno – función de

onda ()

• Tarea 12;

– Graficar, en hojas de papel polar, las funciones de onda (n,l) para los orbitales 1s, 2p y 3d

18

Átomo de Hidrógeno – función

de onda ()Función de onda radial

Orbitales s Orbitales p

Orbital rmax (a0) nodos

1s 1 a

2s 0.8 0.53

5.2


de onda ()Funciones de densidad radial y de probabilidad radial para el orbital 1s

orbital 1s

Calcular la probabilidad de encontrar al

electrón en una esfera de radio r y

espesor dr.

V = 4πr3/3

R2(r)dV = 4πr2 R2(r)dr

que se denomina función de

probabilidad radial (o función de

distribución radial).

19


de onda ()Funciones de densidad radial y de probabilidad radial

orbital 1s orbitales 2s y 2p

Probabilidad de encontrar al electrón(3er. Postulado del modelo mecánico cuántico)

El orbital es una abstracción matemática que se

puede relacionar con la región en la cual es más

probable encontrar el electrón, y esta región puede

tener forma.

REEMPE; región de espacio energética de manifestación probabilística

electrónica

No se puede saber dónde está el electrón en un momento dado, pero sí cuál sería la

probabilidad de encontrarlo en algún lugar

Diagrama de contorno,

P(x) = 90%

Postulado por Max

Born en 1930

20

Dependencia radial de los orbitales

hidrogenoides

(condición de Born)

0.8

2.0

)drrRrdrrdd 22

0

2

0

22 4sin p p p

Dependencia angular de los orbitales

hidrogenoides

21

Átomo de Hidrógeno - Energía

)

p

222

0

4

e

2

n

1

24

emZE

Diagrama de niveles de energía para el átomo de hidrógeno,

(Z=1)

Ocupación de los orbitales

E. C. Stoner (1924) encontro las ocupaciones de:

Ocupación de e- subcapa

2 s

6 p

10 d

14 f

A. Lande

) )L

g B

g = factor de Lande o giromagnético

B= magneton de Bohr

e

Bm

eh

p

4

22

Bibliografía

• L O S A L A M O S N A T I O N A L L A B O R A T O R Y, Operated by the

University of California for the US Department of Energy,

http://pearl1.lanl.gov/periodic/default.htm

• environmentalchemistry.com; información

• http://environmentalchemistry.com/yogi/periodic/

la teoría cuántica moderna; -...

Documents