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ADAPTECH - WinPIM+TR : une méthodologie pour une régulation numérique robuste / 9

ADAPTECH REGULATIONS ET ASSERVISSEMENTS NUMERIQUES

PERFORMANTS ET ROBUSTES

Méthodologie WinPIM+TR pour l'identification et la validation d'un modèle, les calculs, simulations et tests d'un correcteur numérique PID/RST

La plupart des boucles d’asservissement mettent en œuvre le classique correcteur PID.

Bien que relativement facile à régler, le PID ne permet pas toujours d’obtenir les performances requises, en particulier sur les systèmes :

- à retard pur / temps mort important

- dont les caractéristiques dynamiques varient au cours du fonctionnement

- d’ordre supérieur à 2 (donc possédant plus d’un mode vibratoire)

- possédant des zones de non-linéarités (frottements, jeu …)

Le correcteur numérique RST (dont le PID est un cas particulier) est bien adapté à ces types de systèmes. Il permet :

- de gérer, sans module complémentaire, le retard pur

- de commander des systèmes possédant jusqu’à 5 modes vibratoires. (ordre 10)

- de gérer de manières distincte les dynamiques de suivi de consigne et de rejection de perturbation. La consigne peut être atteinte selon une trajectoire du 2nd ordre entièrement paramétrable (dépassement, temps de montée)

- d’obtenir une excellente robustesse du réglage, pour s’affranchir des variations dans la dynamique du système (gain, retard, inertie)

Il s’intègre sur toute cible programmable (carte contrôleur, automate programmable, PC …)

Sa mise en œuvre s’éffectue à partir d’un modèle paramétrique de la boucle et des spécifications des performances à atteindre : dépassement et temps de montée en suivi de consigne et réjection de perturbation.

Le présent article détaille la méthodologie WinPIM+TR de régulation RST, permettant de calculer, simuler, valider et installer un correcteur RST robuste sur une cible programmable :

- acquisition et traitement des mesures expérimentales effectuées sur le systèmecalcul et validation d’un modèle paramétrique.

- calcul, simulation, optimisation et validation d’un correcteur RST robuste

- test du correcteur en temps réel

- implémentation sur cible programmable

Cette méthodologie est utilisée dans un grand nombre d’applications industrielles, et a permis des gains significatifs en énergie, qualité et matières.


Pourquoi utiliser le correcteur numérique RST ? Pour assurer et maintenir des performances optimales d’ asservissement / régulation dans les régimes de fonctionnement variables des systèmes et procédés d’ordre supérieur à 2. Quand utiliser le correcteur RST ? Quand cela est techniquement nécessaire et … économiquement rentable ! Quand le système est caractérisé par:

- un ordre supérieur à 2 (donc possédant plus d’un mode vibratoire)

- dont les caractéristiques dynamiques varient au cours du fonctionnement

- à retard pur important

- possédant des zones de non-linéarités (frottements, jeu …) -Et quand des performances acceptables ne peuvent plus être obtenues avec des correcteurs « classiques »

Comment utiliser le correcteur RST ? - Avec une méthodologie de calcul et d’analyse de régulateurs numériques robustes, associée à un module d’acquisition temps réel pour les mesures. - Sur tous systèmes de commande existant (Carte contrôleur, PC, Automate, …).

Les "difficultés" d'un asservissement "classique" - Systèmes à plusieurs modes vibratoires, ordre > 2 - Correcteurs de complexité insuffisante pour appréhender les caractéristiques dynamiques de nombreux systèmes-et pour satisfaire les performances imposées. Le nombre de paramètres du correcteur PID, par exemple, est de 4 (Kp, Ti, Td et N) Un tel correcteur ne peut donc commander un système d'ordre supérieur à 2. - Variations des caractéristiques dynamiques des systèmes en cours de fonctionnement - Présence de retards purs importants et variables, de non-linéarités. - La dynamique de poursuite est identique à celle de réjection de perturbation. - Un forte accélération de la poursuite va engendrer un fort dépassement de la consigne. - La robustesse est imparfaitement évaluée. Une méthodologie pour un asservissement performant en 5 étapes: 1- Excitation du procédé: mesures expérimentales sur le système 2- Identification et validation d’un modèle paramétrique échantillonné 3- Calcul, analyse et validation d’un correcteur numérique RST robuste 4- Test en temps réel du correcteur sur le système 5- Intégration du RST sur la cible


La boucle d’asservissement est commandée par des signaux discretisés, échantillonnés à la fréquence Fe.

Le système est représenté par un modèle paramétrique échantillonné, et le correcteur RST est un correcteur numérique échantillonné.

La fréquence d’échantillonnage Fe est choisie en fonction de la bande passante Fbf désirée pour la boucle fermée : 6*Fbf < Fe < 25* Fbf

La commande s'effectue ainsi à une cadence fonction de l'inertie du système.

1- Excitation du système: mesures expérimentales

Acquisition des données d’entrées/sorties échantillonnées, autour d’un point de fonctionnement, en utilisant des signaux d’excitation de l’actionneur de type SBPA (Séquence Binaire Pseudo Aléatoire), de faible amplitude (0.5 à 5% du point de fonctionnement), et de fréquence Fe.

Ces signaux, riches en fréquence, permettent d’exciter tous les modes vibratoires du système, et vont permettre d’identifier un modèle représentatif du systtème et, en conséquence, de valider un correcteur pour tous les modes vibratoires.

Fichier des mesures, (exemple ci-dessous)

après suppression des composantes continues du point de fonctionnement. Il comprend 256 échantillons: - haut : sortie du système (mesure) - bas : signal SBPA (commande appliquée sur l’actionneur Ce fichier de mesures sera utilisé pour l’identification §2 ci-après.


2- Identification et validation d’un modèle paramétrique par calculateur

La fonction de transfert du système à identifier est de la forme : H = q-d*B(q-1) / A(q-1) avec d : nombre de périodes d’échantillonnage complètes contenues dans le retard pur, et q-1 : opérateur de retard : q-1 y(t)=y(t-1)

A(q-1) = 1 + a1q-1 + a2q

-2 + … + anq-n

B(q-1) = b1 q-1 + b2q

-2 + … + bmq-m = q-1 B(q-1 )

L'identification consiste à calculer les paramètres a i et b i de la fonction de transfert. Le principe de l’identification de modèles échantillonnés est illustré par le figure suivante :

Un modèle échantillonné à paramètres ajustables est implanté sur le calculateur. L’erreur entre la sortie du procédé à l’instant k, y(k), (lue dans le fichier des mesures §1), et la sortie prédite par le modèle ^y(k) (erreur de prédiction), est utilisée par un algorithme d’adaptation paramétrique qui, à chaque instant d’échantillonnage, va modifier les paramètres ai et bi du modèle afin de minimiser cette erreur. L’entrée est la SBPA lue dans le fichier des mesures §1.

Le modèle étant obtenu, une validation objective peut être faite par des tests statistiques sur l’erreur de prédiction e(k) et la sortie prédite ^y(k). Le test de validation permet, pour un système donné, de choisir le meilleur modèle.


Cette approche fournit des modèles beaucoup plus précis que les méthodes basées sur la réponse à un échelon ou sur la réponse fréquentielle du procédé. De plus, elle nécessite un signal d’entrée (SBPA) d’amplitude beaucoup plus faible que ceux nécessaires pour les réponses indicielles ou fréquentielles ( 0.5 à 5% de la valeur du point de fonctionnement )

Le modèle ainsi validé va permettre de calculer, dans l’étape suivante §3, un correcteur RST adapté.

3- Calcul, analyse et validation d’un correcteur RST robuste

La structure canonique d’un correcteur numérique RST est représentée sur la figure suivante

L’équation de ce correcteur est de la forme : S(q-1 )*u(t) = T(q-1 )*r(t) - R(q-1 )*y(t) avec :

R(q-1 ) = r0 + r1q-1 + r2q-2 + … + rnrq

-nr )

S(q-1 ) = s0 + s1q-1 + s2q

-2 + … + snsq-ns ) ==>

−−−−−= ∑ ∑ ∑

= = =

p

i

n

i

m

iii itusityriitreft

Stu

0 0 10)()()(1)(

T(q-1 ) = t0 + t1q-1 + t2q

-2 + … + tntq-nt )


Ainsi, la commande u(t) à l'instant d'échantillonnage t est une moyenne pondérée par les paramètres ri si et ti du correcteur, de la sortie mesurée aux intants d'échantillonnagze t, t-1, t-2 … ), des valeurs précédentes de la commande (intants d'échantillonnagze t-1, t-2 … ) et de la consignne .

Ce correcteur possède ainsi une mémoire des mesures et des commandes passées, et se comporte comme un "bon" opérateur qui se souvient de l'évolution de la mesure et des commandes qu'il a précédemment données.Il s'agit d' un correcteur prédictif qui calcule la commande en fonction du passé et du comportement du modèle qu'il intègre dans ses paramètres.

En se référant à la figure ci-avant, la fonction de transfert en boucle fermée est :

Hbf(q-1 ) = y(t)/r(t) = q-d*B(q-1 )*T(q-1 ) / (A(q-1 )*S(q-1 )+ q-d*B(q-1 )* R(q-1 )) = q-d*B(q-1 )*T(q-1) / P(q-1 ) )

Le comportement par rapport à une perturbation p(t) sur la sortie (mesure) est donné par la fonction de transfert Syp(q

-1) appelée aussi fonction de sensibilité perturbation-sortie :

Syp(q-1) = y(t)/p(t) = A(q-1 )*S(q-1 ) / (A(q-1 )*S(q-1 )+ q-d*B(q-1 )* R(q-1 )) = A(q-1 )*S(q-1) / P(q-1 )

La dynamique désirée de la boucle fermée ( temps de réjection d’une perturbation, dépassement maximal autorisé ) est fixée par le polynôme P(q-1) , dénominateur de la fonction de transfert en boucle fermée.

=> P(q-1 ) est représenté par une fonction du 2ème ordre dont la pulsation w0 et l’amortissement Xi sont spécifiés par la dynamique désirée.

=> (T(q-1 ) permet de spécifier la dynamique de poursuite indépendamment de la dynamique de régulation.

=> Pour rejeter parfaitement une perturbation harmonique de pulsation w1, Syp(q-1) doit être nulle à la

fréquence de cette perturbation : ceci requiert donc que S(q-1 ) soit nul à cette fréquence; on pré-spécifiera alors pour le polynôme S(q-1 ) une partie fixe de la forme HS(q-1 ) = 1 – 2Cos(w1*Te) + q-2

=> Pour imposer que le correcteur ne réagisse pas à un signal de mesure correspondant à une fréquence F2 de pulsation w2, Syp(q

-1) doit être égal à 1 à cette fréquence; R(q-1 ) doit donc être nul à cette fréquence; on spécifiera alors pour le polynôme R(q-1 ) une partie fixe de la forme HR(q-1 ) = 1 – 2Cos(w2*Te) + q-2

On peut aussi remarquer que des considérations de robustesse peuvent nécessiter l’introduction d’autres termes dans R(q-1 ) et S(q-1 ), afin d’imposer un gabarit à la fonction de sensibilité Syp(q

-1). Lorsque les spécifications ci-avant ( w0, Xi, w1, w2 ) ont été traduites dans les polynômes P(q-1 ), HS(q-1 ) et HR(q-1 ), la résolution de l’équation :


P(q-1 ) = A(q-1 )*HS(q-1 )* S’(q-1 ) + q-d*B(q-1 )* HR(q-1 )*R’(q-1 ) (équation de Bezout) permet de déterminer les paramètres ri et si des polynômes R(q-1 ) et S(q-1 ) caractéristiques du RST. Le polynôme T(q-1 ) est généralement donné par la relation : T(q-1 ) = P(q-1 ) / B(1) avec B(1) = B(q-1 ) pour q = 1 Robustesse Le polynôme P=AS+BR, dénominateur de la fonction de transfert en boucle fermée Hbf(q-1 ), caractérise la dynamique de la boucle fermée. La robustesse est reglée par placement des pôles du polynôme P. Elle est évaluée par différents indicateurs:

- Marges de module M, retard, gain et phase - Gabarit de robustesse Syp(q-1) (figure ci-après)

- Simulation du régulateur sur différents modèles

La marge de module M est la distance minimale, dans le plan de Nyquist, entre le point critique (-1, 0) et l’hodographe de la fonction de transfert en boucle ouverte Hbo(z-1 ) :

Hbo(z-1 ) = z-d*B(z-1 )* R(z-1 ) / A(z-1 )*S(z-1 ) avec z = esTe

M = | 1 + Hbo(z-1 ) | = 1 / | Syp(z-1) | valeur typique : M > 0.5 (-6dB)

La marge de module est obtenue en traçant les caractéristiques fréquentielles (diagramme de Bode) du module (gain) de la fonction de sensibilité perturbation-sortie Syp(z-1) en dB (figure ci-avant)

Si le modèle nomilnal du système est sujet à de petites variations des paramètres dans certaines zones de fonctionnement, on peut être amené à réduire les tolérances des marges de robustesse recherchées.


La robustesse d’un système en boucle fermée va très approximativenent dépendre du rapport entre la bande passante désirée en boucle fermée (en grande partie définie par P(q-1 ), et la bande passante de la boucle ouverte (principalement définie par A(q-1 ).

Dans certains cas, les considérations de robustesse vont nécessiter soit une réduction de ce rapport, soit la mise en forme de la fonction de sensibilité perturbation-sortie. Ceci peut être réalisé en utilisant des pôles auxiliaires au polynôme P(q-1 ), ou en ajoutant des temes dans HR(q-1 ) et HS(q-1 ) .

4- Test en temps réel du correcteur sur le système

Le correcteur RST ainsi calculé peut être testé en temps réel sur le calculateur avant d’être intégré sur la cible finale. (réponse indicielle, dépassement, robustesse sur différents modèles et à différents points de fonctionnement)

Il est à noter que, idéalement, les mesures expérimentales avec SBPA du §1doivent être réalisées à partir du système final, de manière à calculer le modèle correspondant exactement à la boucle d’asservissement réelle (identification de l’ensemble de la chaine d’acquisition, partie intégrante du système)

5- Intégration du RST sur la cible finale

L’équation canonique du correcteur RST (§2 ci-avant) est :

S(q-1 )*u(t) = T(q-1 )*r(t) - R(q-1 )*y(t)

Les paramètres ri si et ti des polynômes R, S et T ayant été calculés, cette équation est codée dans la syntaxe de la cible :

−−−−−= ∑ ∑ ∑

= = =

p

i

n

i

m

iii itusityriitreft

Stu

0 0 10)()()(1)(

Une représentation type "schéma-blocs" de cette équation récurrente est donnée sur la figure ci-après:


N.B. : " t-n " représente pour le correcteur un instant d'échantillonnage où t - n = (k-n).Te

Par exemple, si p = n = 1 , m = 2 et Te = 10 ms alors on obtiendra à l'instant t =30 ms :

u(30) = 1/S0 *[ t0 ref(30) + t1 ref(20) - r0 y(30) - r1 y(20) – s1 u(20) – s2 u(10) ]

La mise en œuvre fait appel à des fonctions simple d’additions, multiplications et décalages de registres.

Ces fonctions sont disponibles dans la syntaxe de toutes cibles programmables, type carte contôleur, automates programmables …

ADAPTECH 4 rue du Tour de l'Eau

38400 Saint Martin d'Hères

Tél: 04 76 51 52 77

e-mail : info adaptech.com

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