La radiazione di corpo neroovvero:l’ingresso nel mondo quantistico

breve storia dello sviluppo del

modello teorico

energia, intensità,irraggiamento, radianza …

)( RTH

)()( RCC THT

)( CC TR

C

)()()( CCRCC TRTHTAQ

RCCCCCC TTTRTHT ),()()(

Indipendenza dal materiale: corpo nero (ideale)) ( ) ( ) ( ) ( , 1R B R R B B BT R T H T H T

)] ( ) ( )[ (

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

C B R B C C

C B C C R B C C C C R C C

T R T R T

T R T T R T T R T H TAQ

) ( ) ( / ) (T R T T RB C C

(Kirchoff)

flusso termico per irraggiamento

flusso termico

equilibrio termico

Potere emissivo R e coefficiente di assorbimento

?)(TRB

il corpo neroindipendenza dal materialedel potere emissivo ed assorbente.

radianza per unità di frequenza.

densità di energia/radianza:

leggi di Wien e di Stefan-Boltzmann.

TfTu /),( 3 4)()( TTHTRB

dTucTucTRB ),(4

)(4

)(

][)( 44CRCC TTT

AQ

radianza del corpo nero e pressione di radiazionepressione di radiazione:

forza media per unità di area esercitata dal campo con densità u

dW

cos4

W cdtud

Hquantità di moto (densità u/c) trasferita nell’urto speculare (per unità di area e tempo)

coscos4

2 W

cdtcud

quantità di moto totale trasferita nell’urto speculare

W

2/

0

22

0

3/sincos2

coscos4

2/

udtddudtcdtcudareaqdm

dtpareadtFareaqdm rad // 3/uprad

radianza del corpo nero e termodinamica classica

TdSdVpdWQ rad dT

dTduVdVTudWVTuW )(,)(

dTdTduVdVTuTdS )(

34

dTdu

TV

TSu

TVS

,

341

dTdu

TdTdu

Tu

TVTS 1

341

341

2

2

)(4 TuTdT

du 44 )(,)( TTHTTu

legge di Wien Stefan-Boltzmanne legge dello spostamentolegge di Wien dallo studio dell’effetto Doppler sulla radiazione incidente alle pareti

4343 /)()( TdxxfxTdTfdHTH

dTcf

vd

Tvfd

TvfdHdH

4

43)()(

d

vd

Tcfc

TcfH

5

44 1)(

dTcdf

Tc

Tcfc

ddH )/(5)(0 6

4

0)(5)(' xfxxf

soluzione (se esiste) in x=x0=c/T, ovvero T=cost=cW.

K m2898,K W/m1067.5 W428 c-

quale funzione f (v/T) ?Modello “storico” di Planck per il corpo irraggiante: OSCILLATORE ARMONICO (carico)

Potenza emessaPotenza assorbita dal campo di radiazione uv

EmceP 2

3

2

32

)(3

2

umeW

EW all’equilibrio:

Ec

HEc

u 2

2

3

2 2)(,8)(

per calcolare la densità di radiazione bisogna conoscere l’energia media degli oscillatori

quale energia media per gli oscillatori?

equipartizione classica dell’energia: kBT per grado quadratico di libertà nell’hamiltoniano:

TkE B

calcolo statistico classico secondo Maxwell-Boltzmann: energia e con probabilità exp(e /kBT ) all’equilibrio termico

Tkd

dd

dTk

dTkE B

B

B

0

0

0 1expln/exp

/exp

ee

ee

eee

legge di Rayleigh-Jeans

che catastrofe (ultravioletta) !

Tkc

RHTkc

u BB 2

2

3

2 2,8

Hlim dHH

la proposta di Planckgli oscillatori possono scambiare solamente quantità di energia multiple intere di un “grano” e0:

e = 0, e0, 2e0, 3e0, … , ne0, …

La probabilità di eccitazione di un modo di frequenza elevata tende a zero!nuovo calcolo dell’energia media degli oscillatori in

termini non più di integrali ma di somme discrete:

1expexpln

exp

exp

0

00 0

0 0

0 00

eee

e

een

n

n ndd

n

nnE

TfTkc

vTHB

/1/exp

2, 3

0

02

2

ee

se ee h 00 o

1/exp12, 2

3

TkhchvTR

B

la curva di Planck(e le sue approssimazioni)

TkchRTk

chvvRTkh

BBvB 4

22

2

3 2;21/ Rayleigh-

Jeans

TkhcTkhvvB

BB ehcRechvvRTkh

/

3/

2

3 2;21/ Wien

4432

45

0

3

32

44

/

3

2

152

12

12

)(

TThck

edxx

hcTk

ed

ch

dRTR

B

xB

Tkh B

i problemi del modelloInadeguatezza (a posteriori) del modello di Planck: è semi-classico e non tratta correttamente gli oscillatori armonici ed gli scambi associati di energia con la radiazione della cavità.

La radiazione in equilibrio termico va descritta in termini di un “gas” di fotoni secondo la statistica bosonica (Bose-Einstein) per particelle indistinguibili di spin intero e puramente quantistiche.

densità di energia e radianza a partire da:

energia della particella x densità degli stati x probabilità di occupazione

Il tutto rispettoso del principio di indeterminazione di Heisenberg

il modello di Einstein

)()(2 vfV

vghvu BE

energia dell’oscillatore

densità degli stati di energia(inclusi i due modi di polarizzazione)

probabilità di occupazione

la densità quantistica dei livelliSi risolve il problema dello spettro di energia in una buca tridimensionale a pareti infinite di potenziale con l’equazione di Schroedinger:

22

22222

2

22

2)(

2),,( n

mLnnn

mLnnnEE zyxzyx

Numero di livelli e loro densità in funzione dell’energia:

2/33

3 234

34

81)( mE

hVnEN

2/133 82)( Em

hV

dEdNEg

In termini di quantità di moto e di frequenza di De Broglie:

23

4)()( ph

VdpdEEgpg

23

4)()( c

Vdvdppgg

la probabilità di occupazionenumero di modi possibili di occupare livelli energetici (degeneri) Ei da parte di un numero non fisso di particelle identiche ed indistinguibili:

!1!

!1

ii

ii

i gngnW

Partizionamento in gruppi di ni particelle nei livelli con degenerazione gi

Si massimizza W per trovare la partizione più probabile

1 iE

ii e

gn

I parametri e sono legati ai dettagli della distribuzione. In particolare =0 per il gas di fotoni e =1/kBT.

Nel limite di densità elevata di livelli si passa al limite continuo e si ottiene la distribuzione di probabilità di Bose-Einstein:

11)(),()(

1)(

//

TkEBEBETkE BB e

EfEfdEEge

dEEgdn

(ancora) la legge di Planck

118

118

)()(2

/3

3

/3

2

Tkhv

Tkhv

BE

B

B

echv

ecvhv

vfV

vghvu

112

4

/2

3

Tkhv Bechv

ucR

Riferimenti Bibliografici

Born – Fisica AtomicaAlonso, Finn – Fundamental University

Physics, Vol.3Zemanski – TermodinamicaMatthews – Introduzione alla meccanica

quantisticaMateriale selezionato da Hyperphysics (

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/HFrame.html)