la nascita del calcolo umberto bottazzini università di milano
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La nascita del calcolo
Umberto Bottazzini
Università di Milano
Gli attori
Gli attori
Gli attori
Prologo
Una domanda
Come si traccia la tangente alla cicloide?
Equazione della cicloide
x = r(t- sen t)
y = r(1-cos t)
Oppure (eliminando la t)
x = r arcos (r-y)/r - (2ry –y2)1/2
Polemiche sulla ‘roulette’
• Lettres de Amos Dettonville (1659)
(‘triangolo caratteristico’)
Risposte alla sfida di Pascal
• La cicloide è una curva ‘tautocrona’
(un punto pesante che la percorre arriva punto di minimo nel medesimo tempo qualunque sia il punto di partenza)
• L’evoluta di una cicloide è una cicloide
Oscillazioni isocrone
• Horologium oscillatorium (1673)
• Il ‘giogo’ ha la forma di una cicloide
Studio delle evolventi di una curva
Data una curva, la sua evolvente è la traiettoria descritta dall’estremità libera di un filo teso OP (con l’altra estremità fissata in un punto O della curva) che avvolge la curva. Una caratteristica notevole dell’evolvente è che presenta una cuspide quando incontra la curva data nel punto P. Geometricamente ci si rende conto di questo fatto osservando che il raggio del cerchio osculatore in un generico punto X dell’evolvente è uguale alla lunghezza del filo XY (dove Y è il punto corrente sulla curva) e, poiché il filo diventa sempre più corto man mano che il punto X si avvicina al punto P, la curvatura in P diventa infinita. Huygens affronta il problema studiando la forma del giogo a cui si avvolge la corda di un pendolo in modo da ottenere oscillazioni (non solo piccole) isocrone (e scopre che la forma deve essere quella di una cicloide, la cui evolvente è ancora una cicloide.)
Leibniz a Parigi (1672-76)
La trasmutazione delle figure = Riduzione della quadratura di una curva alla quadratura di un’altra, via l’uso del triangolo caratteristico
“integrazione per parti”
Traité de sinus du quart de cercle
• Pascal sembra procedere con gli occhi bendati
(Leibniz a J. Bernoulli, 1703)
Leibniz a Parigi (1672-73)
Serie:
π/4 = 1 – 1/3 + 1/5 -…
π/8 = 1/1.3 + 1/5.7 + 1/9.11 + …
Leibniz a Parigi (1672-73)
Serie:
¼ log2 = 1/2.4 + 1/6.8 + 1/10.12 +…
L’area sottesa dall’iperbole di diametro√2 è ¼ log2 mentre l’area del cerchio circoscritto al quadrato di lato ½ è π/8
Un nuovo simbolismo
“Dato l e la sua relazione con x, trovare ∫l. Ciò è da ottenersi dal calcolo inverso cioè dal supporre ∫l= ya. Sia l = ya/d, così come ∫ aumenta, d diminuisce le dimensioni. ∫ significa una somma, d una differenza. Da y dato possiamo sempre trovare y/d.”
(manoscritto del 1675)
“y/d e dy sono la stessa cosa, la differenza di due y prossime tra loro”
Nuovo formalismo
“Leibniz elaborò piuttosto rapidamente il formalismo dell’analisi come lo conosciamo oggi. In quella forma cioè, che è particolarmente adatta ad insegnare la materia, senza averla capita, a chi non la capirà mai” (Arnold, Hygens & Barrrow, Newton e Hooke, 1996)
Regole del calcolo
d(xy) = dxdy?Leibniz lo crede prima di trovare d(xy) = xdy +ydx
“A nessun matematico che ragioni in modo induttivo verrebbe mai in mente, l’idea originaria di Leibniz” (Arnold)
Un semplice figura rivela a cosa è uguale d(xy)
Regole del calcolo
d(xy) = (x+dx)(y+dy) –xy = xdy + ydx + dxdy = xdy + ydx
dxn = (x+dx)n - xn = nxn-1dx + dx2 )(…) =
= nxn-1dx
Applicazione alla cicloide
• dy/dx = (2ry –y2)1/2 /y
• s = 8r sen2 t/4 (per t = 2π si ha s = 8r (teorema di Wren)
• Area sottesa = 3 π r2
Oltre la Manica
“Tutto ciò accadeva nei due anni della peste, nel 1665 e 1666, perché in quei tempi ero nel fiore dell’età creativa e curavo la matematica e la filosofia più di quanto non abbia mai fatto in seguito”
Dall’Arithmetica infinitorum (1656)
• (1–x2)1/2 = 1 – (1/2)x2 – (1/8)x4 – …
• (a+x)m/n = a m/n + (m/n)am/n-1 x + …
• (1+x) -1 = 1–x + x2 – x3 + …
• log(1+x) = x - x2 /2 + x3 /3 - …
De analysi per aequationes numero terminorum infinitas, 1669 (1711)
“Qualsiasi cosa l’analisi comune esegua permezzo di equazioni con un numero finito di termini questo metodo può sempre eseguire la stessa cosa per mezzi di equazioni infinite. … I ragionamenti usati in questa analisi non sono meno certi di quelli usati nell’altra, e le sue equazioni non sono meno esatte”
De analysi per aequationes numero terminorum infinitas, 1669 (1711)“Regola I: Se ax m/n = y allora (na/m+n) x(m+n)/n sarà uguale all’area”
Esempio: sia l’area z = (2/3) x3/2 allora l’ordinata della curva è y = x 1/2
Applicazione del metodo “in maniera direttae inversa”
Methodus fluxionum et serierum infinitarum, 1671 (1736)
• Grandezze geometriche variabili (fluenti)
• Velocità istantanee di variazione (flussioni)
• I ‘momenti’ delle fluenti sono “gli incrementi infinitesimi di cui queste quantità aumentano in intervalli infinitesimi di tempo”
• Se per esempio z è una fluente, allora ż è la flussione e se o è un intervallo infinitesimo di tempo, żo è il momento della fluente z
• Soluzione del ‘problema inverso delle flussioni’
De quadratura curvarum, 1676 (1704, in appendice all’Optiks)
“Considero le grandezze matematiche non come costituite da parti piccole a piacere ma come generate da un moto continuo”
Queste cose “hanno veramente luogo in natura e si osservano ogni giorno nel movimento dei corpi”
De quadratura curvarum, 1676 (1704, in appendice all’Optiks)
• “Data una curva AC, avanzi l’ordinata BC dalla sua posizione ad un’altra qualsiasi B’C’ . Si conduca la retta CC’ prolungata fino a K. Ora “ritorni B’C’ nella sua posizione primitiva BC e venendo a coincidere i punti C e C’, la retta CK coinciderà con la tangente CH, e il triangolo evanescente CEC’ nell’ultima sua forma diventerà simile al triangolo CET”
De quadratura curvarum, 1676 (1704, in appendice all’Optiks)
• Esempio paradigmatico: La quantità x fluisca uniformemente, e sia da trovare la flussione di xn
Newton sviluppa (x+o)n col teorema del binomio. Gli incrementi o e noxn-1 +
n(n-1)/2 o2 xn-2 + …stanno fra loro come 1 sta a nxn-1 + n(n-1)/2 o xn-2 + …
De quadratura curvarum, 1676 (1704, in appendice all’Optiks)
• “Se quell’incremento o svanisce, la loro ultima ragione sarà 1: nxn-1 ”
• Il metodo è “in armonia con la geometria degli antichi”
Carteggio (1676)
• Newton a Leibniz “su alcune cose che ho avuto la fortuna di trovare”
(metodo delle serie in particolare)
“Già da diverso tempo queste speculazioni hanno cominciato ad infastidirmi, al punto che da cinque anni non mi occupo più di esse”
Carteggio (1676)
• Leibniz a Newton: metodo della trasmutazione delle figure, quadratura del cerchio e dell’iperbole.
• “Un principio molto più esteso, cioè un’arte combinatoria generale e vera”
• Soluzione del problema di De Beaune (Trovare la curva per la quale la sottotangente ha lunghezza costante) “nell’ora stessa in cui aveva cominciato a esaminarlo”
Carteggio (1676)
• Newton a Leibniz: serie binomiale con un procedimento di interpolazione
• Anagramma “Data un’equazione avente quantità fluenti, trovare le flussioni e viceversa”
Carteggio (1676)
• Lebniz a Newton: metodo delle differenze mediante esempi
• “Penso che ciò che Newton ha voluto nascondere del suo metodo per tracciare le tangenti non discordi da quanto ho detto sopra”
Il calcolo in pubblico
• Leibniz, Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus, 1684
• Newton, Philosophiae naturalis principia mathematica, 1684
Strategie di pubblicazione
• Leibniz: “La dimostrazione di tutte le regole esposte sarà facile per chi è versato in questi studi”
• “E questi invero sono solo gli inizi di una geometria molto più sublime, che si estende a qualunque dei problemi più difficili e più belli”
• Newton: “metodo sintetico delle flussioni”
ovvero
“metodo dei primi e ultimi rapporti”
esempio (lemma 7): “Gli ultimi rapporti dell’arco, della corda e della tangente sono rapporti di uguaglianza”
Prop. 1: La legge delle aree
Principia
• Libro II, lemma II, Scolio
Newton accenna alla corrispondenza con Leibniz, scioglie l’anagramma e aggiunge che il metodo comunicatogli da Leibniz “differisce dal mio soltanto nelle parole e nella notazione”
La nascita di ‘scuole’
• I metodi di Leibniz e Newton erano ‘equivalenti’?
• Il problema dei fondamenti
• Il calcolo lebniziano come ‘ars inveniendi’
• Il rigore newtoniano degli ‘Antichi’
La polemica sulla priorità
• Accuse a Leibniz di plagio
• Commissione della Royal Society (di cui Leibniz era membro e Newton presidente)
• Commercium epistolicum (1712)
• “Si deve senza dubbio ammettere che fra Newton e Leibniz sussiste una enorme differenza nel modo di trattare la filosofia”
“La scoperta di un continente sconosciuto”
• La meccanica è il grande affaire della matematica del Settecento
• Successo della fisica-matematica newtoniana formulata col calcolo leibniziano