LA CAMARA FOTOGRAFICAy LA TOPOGRAFIA

POR LUIS Re FtUIZ

La enorme vulgarización de la cáma­ra fotográfica y 105 verdaderos e ina­preciables servicios que puede prestarcomo instrumento topográfico auxiliar.nos animan a escribir unas brevesnotas sobre este tema tan interesante.

Si consideramos que la placa essolamente la imagen que se obtie­ne interceptando un haz de líneasque parten del objetivo hacia losdiversos puntos del terreno. nos seráfácil imaginar que si nos colocamosen el vértice del haz de líneas y me­dimos los ángulos entre los puntosfotografiados. estos ángulos coin­cidirán con los que obtuviésemos si­tuándonos en el lente (punto nodalde emergencia) y dirigiendo visuales aIOB puntos representados en la placa. l

Para poder usar inequívocamenteIOB términos de que vamos a servirnosen estas notas. vamos a precisar. re­firiéndolos a la figura 1.

Llamaremos:

Cuadro: La placa fotográfica.

Punto de vista: el punto S. vérticedel haz fotográfico (punto nodal deemergencia del lente).

Plano principal: el plano vertical.que es perpendicular al cuadro.

Punto principal central: el punto O.pie de la perpendicular bajada desdeel punto de vista.

Distancia principal: la distancia SO.

perpendicular al cuadro deBde el puntode vista S. y que en general coinciclecon la distancia focal de la cámara.

Inclinación: el ángulo i que hace el 1cuadro con la vertical.

Punto principal horizontal: el puntoI donde la horizontal del plano prin­cipal trazada por S encuentra al cua.dro.

Punto principal vertical: el puntor. donde la vertical trazada por S eri­cuentra al cuadro.

Horizonte: la intersección del planohorizontal que pasa por S, con élcuadro.

Eje horizontal: la línea paralela alhorizonte. que pasa por el punto central.

Eje vertical: la línea perpendicularal horizonte que pasa por el puntocentral.

Distancia secundaria horizontal: la

1 Para nuestro caso tomamos como único punto de vista el punto ~odal de emergencia,que es el vértice del haz de líneas que constituye el cono de proyección fotográfica.

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distancia SI, del punto de vi.ta al prin­cipal horizontal.

Di.tancia .ecundaria central: la di.­tancia horizontal S. O.. de la verticalde S al centro del cuadro.

Entre los elemento. dehnido•• exi.­·ttn la. relacione••iguientes :

SO = f distancia focal conocida dela cámara.

OI=f. tg i; 01' =f. cotg i.

SI =ca; 1 ; 50 =feo. i

f2 = OIXOI'.

Si la inclinación es nula. que e. elcaso de la placa a plomo. entonceslo. puntos S e I .e confunden y la.distancias SI y O se confunden tam­bién con f.. quedando el horizonte enel eje horizontal y el punto 1'. eJl elinhnito. caso que por las simplifi­caciones que trae consigo. es el usual.

* * *Con el objeto de precisar también

otros conceptos y denominaciones enel caso de estas líneas. recordaremosalgunas propiedades perspectivas delas nguras.

La perspectiva de una recta essiempre otra recta· que se dirige aun punto de fuga que es aquel en queuna paralela a la recta real trazada porel punto de vista. encuentra al cua­dro. De aquí se deduce: las horizontalestienen sus puntos de fuga en el ho­rizante; las verticales fugan al puntoprincipal vertical (si el cuadro es ver­tical son verticales) ; las perpendicula­res al cuadro fugan al punto central;los haces de rectas paralelas tienenpor perspectiva un haz convergenteen el punto de fuga común; las rectasconcurrentes tienen por perspectivaun haz convergente que tiene por vér­tice la perspectiva del punto de con­curso.

La perspectiva de un punto se ob­tiene por la intersección de las pers-

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pectivas de dos rectas que pasan porél (de preferencia las de más fácil trazo).

Los planos se dennen en perspectivapor las perspectivas de sus rectas lí­mites. pero es bueno notar que todasla. rectas del plano fugan sobre unasola recta del cuadro que se llamalínea de fuga del plano y que contienetodos los puntos de fuga de los hacesde rectas que pueden trazarse sobreél; esta línea de fuga es la intersección

. sobre el cuadro. de un plano paraleloal real. que pase por el punto de vista.

* * *La posibilidad de utilizar las fo­

tografías en los levantamientos topo­gráncos. está subordinada a la posi­bilidad de obtener de ellas medidasde ángulos. distancias y alturas relati­vas. que son los elementos que nossirven para njar los puntos del plano.

En la práctica debemos distinguirvarios casos posibles de utilizaciónde fotografías. que son: Aparato ysituación del mismo. conocidos; apa­rato conocido y situación desconocida.y aparato y situación desconocidos. yen este último caso aun aquel en queni siquiera se sabe si la fotografía esuna fracción de otra mayor.

Las primeras medidas que puedenobtenerse de una fotografía son lasangulares. y para ello entendemosque no se ha descentrado el objetivoy la fotografía se presenta en su ta­maño completo. de modo que en ellase conocen el centro O de la mismay los ejes horizontal y vertical.

a) Fotografía lomada con la cámaraaplomo.

Sean dos puntos del espacio A y By S el punto del cual se tomó la fo­tografía (ng. 2); los rayos que van delos puntos A y B al vértice S. perforanal cuadro. y por lo tanto. tienen susimágenes fotográncas en a y b. y sihacemos pasar por estos rayos. planosverticales. éstos cortarán al cuadrosegún líneas verticales que intercep­tarán a la línea de horizonte. que esa la vez el eje horizontal. en a y f3 y el

ángulo azimutal entre los puntos A y

B será a S f3 que tiene su vértice en S.que está en la perpendicular a O y suslados pasan por los pies de las perpen­diculares bajadas de los puntos a y b.imágenes de los reales A y B. sobre eleje horizontal.

El ángulo vertical del punto A loobtendremos llevando la perpendiculara ·a. a la línea Sa y trazando por estepunto la línea Sa·.

}l!. 2.

Bastará. pues. sobre el eje verticalde la fotografía llevar OS. que es ladistancia focal y bajar las perpendi­culares de los puntos deseados. paratener construídos los ángulos direc­tamente. y poder usar, si se tienendos fotografías orientadas. aun cuandosea por solo un punto común, el mé­todo de las intersecciones para cons­truir la parte común a ambas, siendocómodo muchas veces al referir lospuntos sobre un~ línea trazada en eldibujo. en vez de colocar la fotografíadirectamente o aun colocarlas haciaatrás con lo que no sufren los ángulos.y las fotografías no cubren el dibujo;la (figura 3) muestra la posición dedos fotografías orientadas para la res­titución de un polígono que figura enambas.

~3

b) Foiografíacon la cámara incli­nada.

1) Cámara muy inclinada.-En estecaso. el punto vertical principal l,(fig. 4) queda en los límites del di­bujo.

Los rayos que van a los puntos A y Bperforan el cuadro en a y b; y lo queno., proponemos medir o construires el ángulo 8 que es el del diedroque tiene por arista sr y cuyas carasverticales pasan por A y B. La trazade cada uno de esto., planos pasa por l'y es una recta que va a a o b, y el valorde 8 es el ángulo horizontal a.s.f3.supuesto que s es la proyección ho­rizontal de O y el plano. a.s.f3. tienedos horizontales, que son sO y a.f3Si hacemos girar el triángulo soralrededor de al' hasta que se con­funda con el plano de la fotografía.podremos construir la distancia Oscon sólo llevar por O una perpendiculara la línea S' l' que va del punto l' alpunto S· marcado a la distancia focalSO de la Cámara sobre el eje hori­zontal. Llevando esta distancia Os'sobre el eje vertical tendremos el puntodesde el cual, trazando las líneas s 'a

y s 'f3. construiremos el ángulo pedido.

Como se ve claramente, las líneas quedan los puntos a y f3 son las que vande los puntos fotográficos a y b al punto

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r. que es la proyección hor~ontalldelpunto S sobre el eje vertical.

Si tratáramos de conocer el ánguloque hace la línea dirigida hacia A desdeel punto S. con la vertical. podremosproceder como sigue: Llevaremos unaparalela al eje hor~ontal por a hastaencontrar el eje vertical en a. quedandoformado en el espacio el triánguloS a al. que es rectángulo en a l. y delcual conocemos los lados. que son S'a.(en la figura 4. II). y a al que llevaremosperpendicularmente a S'a1 en al a'.siendo la línea S'a la verdadera dis­tancia Sao como ahora conocemos loslados del triángulo Sal' que son ra.que está en verdadera magn,itud en el

fis 4.

plano del cuadro STo que está aba­tida en STo y S'a que acabamos deobtener; nos bastará trazar desde lospuntos S· el' como centros. los arcosde ciercunferencia a'a '¡ y aa l. paraen su punto de cruce a'l fijar el vérticeal del triángulo. y por lo tanto. la di­rección S'A' que hace la línea SA conla vertical que pasa por S. y conocerel ángulo y que es el que necesitábamosmedir.

196

Veremos más adelante. que en lainvestigación de alturas relativas po­demos usar otros métodos.

2) Cámara poco inclinada.-En estecaso. el punto l' proyección del puntoS verticalmente. sale de los límitesdel 'dibujo. y al contrario. el punto 1.proyección horizontal. se encuentraen buena posición para las operaciones.

Los rayos que van a los puntos A yB perforan el cuadro en a y b. y aquípodemos medir los ángulos azimutalesque hacen los planos verticales quepasan por a y b con el plano verticalprincipal que pasa por O. estos án­gulos son (JI y (J2 y no tienen vérticecomún. Para medir cualquiera de ellosy para el caso nos ocuparemos del pun­to a. podremos proceder a abatir eltriángulo SI al a (que es horizontalporque lo son a al Y al SI). alrededorde la línea a al hasta confundir la lí­nea al SI con el eje vertical. Para ellonos bastará con conocer la línea ho­rizontal SI al en verdadera magnitud.y para obtener ésta. abatiremos eltriángulo SOL alrededor de la línea01. llevando OS. que es la distanciafocal sobre el eje horizontal. y trazandola línea SI. que representa la dirección

de las horizontales abatidas; hechoesto. por S llevaremos una perpendi­cular a SI y ésta será la dirección delas verticales; si ahora referimos elpunto a hacia el eje vertical por medio dela horizontal a al nos bastará trazar lalínea al Sl que pasa por al Y es paralelaa SI para tener la distancia al SI enverdadera magnitud. y llevada sobre eleje vertical en al s \ nos dará el vérticedel ángulo (j que obtendremos trazan­do la línea que desde este punto puapor a.

De modo semejante operaremos conb y así obtendremos el ángulo azimu­tal entre a y b sumando los ángulos(jI y ()2.

El ángulo que hace con la verticalla visual a cualquier punto del cuadro.es también fácil de obtener. pues sobrela línea s \ al trazada como quedl!­dicho. levantaremos una perpendicularque representa la vertical que pasapor s \ abatida sobre el plano del cua­dro. y como el punto S está a la alturas. S sobre este punto. nos bastarállevar esta distancia en s \ Sl y marcarel punto SI desde el que haremos pa­sar una línea por a que nos dará elángulo s \ Sl a que es el Yl que hacela visual a A con la vertical del puntoS. De igual manera podemos procedercon el punto b.

* * *Cuando se va a usar constantemente

una cámara fotográhca como instru­mento auxiliar topográhco. es conve­niente hacerle algunas pequeñas adi­ClOnes que facilitan el trabajo y lohacen más preciso y aun permitenemplear con ventaja amplihcacionesdel negativo que va a usarse.

En primer lugar. es necesario usarla cámara afocada al inhnito siempre.para mantener la distancia focal hja.y este punto de tiraje del fuelle debemarcarse con una precisión suma.Además. hay que evitar todo descen­tramiento del objetivo. pues esto cam­biaría la posición del punto principalcentral O. Ilobre la placa. Este puntose obtiene colocando en la cámara

cuatro pequeñas piezas de metal quemarquen los 'dos ejes de la -placa. yademás. haciendo en las dos verticalesdQs cdentadul'as. se pueden marcardos puntos que dan una longitud cuyarelación con la distancia focal se conoce.y por lo tanto. aun cuando la prueba seamplihque. se conocerá la distanciafocal equivalente. multiplicando la di­mensión entre las edentaduras por larelllción determinada. (Fig. 6.)

~6.

Si es posible. hayquehjar un cuadrode tubo de vidrio de corto diámetro. oaun de sección cuadrada. lleno de mer­curio hasta la mitad sensiblementey que sirve para hjar la dirección delas horizontales en la placa.

Con estas modihcaciones se mejora.grandemente la cámara y se gana enprecisión.

* * *Como aun cuando muchas cámaras

traen marcada su distancia focal.es preciso rectihcar ésta. y en todoslos casos. conocerla precisa. y ademáshjar bien la posición del centro O.para conocer las correcciones que hayaque aplicar al dehnido por las marcas,vamos a indicar cómo se procede paradeterminar las constantes de la cá­mara.

Desde el punto en que se ha tomadouna fotografía. se miden los ánguloshoruontale. entre tres puntos notablelldel terreaD (o más si se quieren pro­mediar las resultados). y también los'nltulo. verticalell de dos cuando me­nos de ello••

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En la fotografía tendremos las Imá­genes a. b y c de los puntos A. B y C.y como ya sea por los meniscos de mer­curio. o por haber colocado enel campode la cámara y fotografiado un hilo aplomo. conocemos la dirección de lashorizontales o de las verticales. pode­mos trazar las verticales que pasanpor a. b y c. de la fotografía (fig. 7). yllamando n y.m las distancias a partirde la vertical que pasa por a. y f3 y y

n cotg ¡S-m cotg ytg a =

m-n

f = l cos2 a [n cotg f3 +m cotg y+ tga(m+n»).

y por lo tanto. la distancia a que estácolocada la vertical que pasa por elcentro. a partir de la del punto aserá:

p = f. tg a.

Para determinar la línea de horizon­te. bastará conocer un punto. si sepuede determinar la dirección de lashorizontales. con un cuadro de mer­curio; pero siempre será convenienteusar de dos puntos para mejorar laprecisión o en el caso en que no hayael cuadro de mercurio.

Si llamamos 1) al ángulo que hacecon la horizontal. la visual que va alpunto C. y que hemos medido con unaparato angular. y O el ángulo hori­zontal con el centro O (HO=y-a)la altura de la imagen C sobre la líneade horizonte de la placa estará dadapor la fórmula:

f. tg 1)

y = Cos O'

* * *

Si para determinar el centro O. to­mamos otra fotografía. con la cámaracolocada de modo que la placa quedecon el eje vertical primitivo en posiciónhorizontal. y viceversa. es decir. ha­ciéndola girar 90° alrededor de sueje de figura. por la intersección delas dos líneas trazadas. se tendrá contoda precisión la posición del puntocentral O y se podrán corregir laspiezas que dan su posición en el marco

·de la cámara. o simplemente referirsu posición al punto de cruce de laslíneas de las marcas.

e

/

//

o

~1.

---1'--------11\'n--

\\\

los ángulos horizontales correspon­dientes. medidos con un aparatogoniométrico. podremos conocer ladistancia focal f y el ángulo a por lasfórmulas fácilmente obtenibles que son:

De este modo conoceremos los ele­mentos que entran en el cálculo de losángulos. y por lo tanto. la cámara sehabrá convertido en un aparato auxiliarde precisión muy eficaz en un grannúmero de casos.

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'" '" '"Aun cuando es evidente que si se

dispone de varias fotografías se puedeemplear el método de las intérsecciones.cuando se trata de figuras planas y so­bre todo de terrenos horizontales. e.posible utilizar una sola fotografía.trazando sobre ella una cuadrículaen perspectiva que corresponda a otraen el plano y sobre la cual quedan situa­dos los puntos que entonces se re­fieren con facilidad.

Sea (fig. 8) a un punto de la placa.que es la imagen fotográfica del puntoA del terreno plano y horiz.ontal: a

~"'---~ .,§.tl' J

,.~:;:::;-,,"~+-"':::::::::"';'s

partir del punto central O. lleumosla distancia focal OS y después a ladistancia secundaria lS que va desdeel punto principal de la línea de ho­rizonte al punto de vista S. y quees una línea horÍ2:ontal. la referiremosa la línea de horÍ2:onte en lS·. obte-

niendo .de. este modo el punto S' quees aquel al que fugan las líneasque hacen ,un ángulo de 45° con lasparalelas al cuadro: si ahora por el pun­to a trazamos una parelela a la línea dehorÍ2:onte y dividimos en un númerocualquiera la línea entre el punto a yel eje vertical. desde estos puntos dedivisión trazaremos líneas que. por­que' son horÍ2:ontales fugan al punto 1y corresponden a las líneas paralelasreales que tienen la misma direcciónque la que pasa por S y O y que po­demos truar en el plano: como, porotra parte. estas líneas cruzan en lafotografía a la línea aS' que sobre elterreno es una a 45° con el cuadro.podemos trazar paralelas a la líneade horÍ2:onte y así habremos construí­do una cuadrícula en perspectiva.que aún podremos prolongar más,pues al llegar a la última horizontalque truamos por la intersección de lalínea 1. 1. y la a S'. podremos tr=arotra línea a' S' que partirá del últimopunto marcado en la línea a 1 y quetambién corresponde a una a 45° en elterreno. Sobre esta cuadrícula po­dremos dibujar en el plano lo quocorrcsponde a ella en el terreno.El procedimiento es cómodo y útilen muchos casos usuales.

* * *Otro procedimiento. que puede usar­

se solo o combinado con el anterior.es el que deriva de las propiedadesrelativas entre las líneas del espacioreal y las perspectivas. pues como todalínea horizontal que es perpendicularal eje horizontal de la placa. fuga alpunto principal de horizonte y ademástoda horizontal cuyo punto de fugase conoce. es en el espacio real. para­lela a la línea que va del punto secunda­rio S' al horizonte. podemos. conocidala posición de u unto del plano queforma parte de un polígono. trazarel plano de éste por interseccionesdc líneas fáciles de trazar.

Sea en la figura 9. 1 el punto prin­cipal del horizonte. y O. el centro de laplaca: llevaremos. como, 'en el casoanterior. sobre el eje horizontal OS

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i~ual a la distancia focal. y trazandoun arco SS' con centro en 1, obtendre­mos la distancia IS' que es la secun­daria horizontal: en el plano cono­cemos la posición del punto A, y porél llevaremos la línea A, 12' perpendi­cular al cuadro y en la fotografía lle­varemos la línea I a, prolongándolahasta interceptar una pltralela aleje vertical de la placa trazada a ladistancia del plano I. 12, que seráaquí en la fotografía P 12': por estepunto trazaremos una horizontal.

trazamos el punto D con el cruce de laperpendicular de 11' y la direcciónde AD, quedaría muy incierto: por lotanto. observaremos en la figura cuálpunto puede obtenerse previamentepor una buena intersección de líneas y

vemos que el f está en buena posición,trazamos. pues, la línea I. 9, que pasapor f, referiremos el punto 9 en 9'y por este punto trazamos la perpen­dicular al cuadro: en seguida tra­zamos la línea af. que fuga en 1, yreferimos el punto en l' con lo queencontraremos la dirección S', l' quees la de AF y que trazada por A nosda el punto F, obtenido este punto:la línea gf fuga al punto 6 que referidonos da la dirección S' 6' que es la GFy que con la intersección de la per­pendicular de S', nos da el punto G;cOmO ahora la línea gd fuga al punto7, lo referimos a 7', y con la direcciónS' 7 trazamos la línea GD, que poruna buena intersección nos dará elpunto D'. El punto final E, podremosmarcarlo por intersección de la líneaDE que corresponde a la de y fugaen 3 y por tanto. tiene de dirección S'3',o por la línea AE. que fuga a 2 y es dedirección S' 2'. quedando completoel polígono.

Es evidente que en estos procedi­mientos es mucho lo que influye lahabilidad para escoger los puntos quedan las mejores intersecciones, y elcuidado con que se dibuje. Pero sí esposible siempre obtener bastante bue­nas restituciones. y aún más precisassi se combinan los métodos perspecti­vos y los de dos o más fotografías de­puntos conocidos.

Medidas de alturas relaiivas.-Cuan­do se ha obtenido el plano de unaporción de terreno. es necesario ointeresante medir la altura relativade puntos contenidos en él. El pro­blema gráfico es muy fácil de resolver.pues basta construir el plano principal.sobre el que se proyectará de canto elplano de la fotografía. para obtenerel punto. En efecto (fig. 10). si trazamosla horizontal por el punto S y llevamosla dimensión D a escala. el extremode esta línea representará la proyec-

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Para trazar ahora el plano del po­lígono, prolongaremos la línea ab hastael punto 5 del horizonte, y referiremosal plano el punto 5' y la línea AB, seráparalela a la línea S' S', y como po­demos referir el punto 13 que en 13'tiene el pie de una perpendicular alcuadro, en la intersección de estasdos líneas encontraremos el punto B.La línea BC, fuga al punto I y por 16tanto está en la perpendicular trazadapor 13' y para encontrar el punto C,nos bastará prolongar la direcciónac, hasta el horizonte en 4, referireste punto a 4' y llevar la línea S' 4'que nos da la dirección de AC quetrazada por A nos marca el punto C.

El punto D queda en la perpendi­cular de 11', pero la línea ad tienesu punto de fuga tan cerca de I. que~si

200

~IO.

ción horizontal de A si por el mismo:punto S trazamos la línea SO. quehace con la horizontal el ángulo i.inclinación de la fotografía. y tienepor dimensión la distancia focal. po­dremos. trazando por O una perpen­dicular. representar el plano de lafotografía: llevando ahora la ordenaday a partir de O. que es la distancia aleje horizontal. del punto a representa­ción de A. y trazando por él la líneaSAo obtendremos la distancia verticalH. que es la altura relativa medida ala ~isma escala que D.

)$!-------,~::r - -J) ---------"i..y

;' III

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~ 1

Si no deseamos hacer la construc­ción gráfica para obtener estas alturasrelativas. podemos. por las relacionesgeométricas de la figura. obtener lafórmula:

H= D(ftgi+y)tg i(f cotg i - y)

debiéndose notar que H está medidahacia abajo en sentido positivo ytambién que y tiene valores positivosabajo del eje horizontal y negativossobre él. e igualmente debe contarseel angulo i sobre la línea de horizonte.

Si la fotografía se ha tomado conla cámara a plomo. entonces la incli­nación i. es nula. y por lo tanto

H = Dyf.

que es la fórmula que nos da en estecaso la altura relativa con las mismasanotaciones respecto a y.

Utilización de documentos fotográfi­cos para reconstituciones diversas.­Sucede con mucha frecuencia quees posible obtener fotografías en lasque se hallan representados ele­mentos interesantes que pueden com­pletarse. en cuanto a su precisión. con

el conocimiento de algunas dimensio­nes del objeto tomadas rápidamentey con las cuales pueden reconstituirseen gran parte las proyecciones deledificio. jardín. etc.: representado. consólo la obtención de los elementosnecesarios. que son la determinaciónde la distancia focal de la cámara. elcentro de la fotografía. la direccióndel horizonte y la inclinación. si lahay. del plano de la fotografía: e.tosucede cuando se facilitan por alguna.personas. fotografías tomada. en via­jes o cuando se adquieren postale•• etC..'de monumentos o aspectos de ciudade.y en la parte representada se conoceno determinan las dimensione. de al­gunos elementos. utilizando lo. pro­cedimientos perspectivos .e puedenhacer levantamiento. bastante apro­ximados. que son. principalmente enarquitectura y arqueología. de un in­menso valor documental.

Naturalmente que no re.olveremo.todos los problemas posible.. perosí nos ocuparemos en los más usuale••con la seguridad de que el trabajadorde estos asuntos sabrá extender lo.principios a otros caso. má. com­plejos.

* * *El primer tipo de problema. e.

aquel en el que la fotografía está enteray el centro es conocido y dado porla intersección de las diagonales: enel segundo caso, consideraremos que elcentro es desconocido.

Problema 1. Se conocen en la foto­grafía conjuntos de líneas paralelas.horizontales. de direcciones conocidas.que hacen un ángulo A (en general.A=90o). Se buscan la inclinaci6ny la distancia focal (fig. 11).

Sea 1. 2. 3. 4. una figura representa­da en la fotografía. y que sabemos queestá en un plano horizontal. y las di­recciones 1. 3 y 1. 4. hacen el ánguloA. siendo 1. 3 y 2. 4 paralelas. igual­mente 1. 2 y 3. 4. Si prolongamosestas direcciones hasta que se corten.tendremos los puntos de fuga m y nque están en la línea de horizonte.

201

puesto que por definición son hori­zontales los haces de rectas.

El punto S. vértice del ángulo dedireccioncs conocidas. se encontrará so­bre el círculo capaz del ángulo A. cons­truído sobre el segmento'm n ; para:cons­truirlo nos basta levantar en d. puntomedio de m n. una perpendicular yllevar por cualquiera de los puntos

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m o n un ángulo que .haga con el seg­mento de recta. el ángulo 9o--A: elcruce de estas dos rectas determinaráel centro c del círculo. Como. por otraparte. conocemos el centro O. traza­remos por él una perpendicular a lalínea de horizonte y encontraremoslos puntos 1. que es el principal dehorÍzonte. y S. que nos representa elabatimiento del ángulo A formado porlas paralelas a las direcciones dadastrazadas por el punto de vista: perocomo también necesitamos conocerla inclinación y la distancia focal.nos bastará abatir ahora sobre la lí­nea S. 1. para la cual levantaremos laperpendicular a esta línea por el centroO. y trazaremos el arco S. S'. haciendocentro en 1. de este modo la inclina­ción quedará definida por el ángulo1. S'¡ O. y la distancia focal será O. S"quedando resuelto el problema pro­puesto.

Problema n. Se conoce una figurahorizontal formada por 4 puntos y seidentifican éstos en la fotografía. de laque se conoce el centro: se busca elfoco y la inclinación. (Fig. 12.)

Sea (fig. 12. 1 ) la figura 1. 2. 3. 4.cuya figura es l. 2. 3. 4. en n. en elplano real: como si llegamos a deter­minar dos haces de líneas paralelas

202

horizontales que hagan un ánguloconocido. el problema queda reducidoal anterior. trataremos de hacer estoshaces en la perspectiva.

Como se conservan las relacionesanarmónicas de los haces de líneasconcurrentes en la proyección perspec­tiva. nos bastará completar cualquierhaz de esta naturaleza para llegara la solución deseada. En efecto.elijamos un vértice cualquiera delcuadrilátero. el 4. por ejemplo. y por

(1)

~13.

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fórmula: f::: SI cosi. y resuelto el pro­blema.

El problema. pues, es trazar el ho­rizonte sobre la fotografía y ajustarloen el haz de líneas Ae: AB y paralela aBe trazada por A.

Elijamos un horizonte de ensayoH (6g. 13. l.), y colocando Bobre él latira de papel marquemos los puntos1. 2, Oy 3, y sobre el haz real (6g. 13. Il)ajustemos la tira de modo que coin­cidan los puntos '1, 2 y 3 con sus di­recciones respectivas: el punto O lomarcaremos entonces, y Bi fuera elconveniente, quedaría en la perpen­dicular de A:::S: como no quedará,

. 01Beni =sr

Si marcáramos en una tira de papellos puntos 1, 2 y 3, el punto 1 quedaráexactamente en la perpendicular bajadade S. sobre la línea de ajuste de latira de papel. cuando la posiCión delhorizonte sea la verdadera, y entoncesla inclinación será:

él tracemos las líneas 4, 1: 4, 2 y 4, 3,y además, la línea 4, 5' paralela a la2, 3: hecho esto. en una tira de papelmarquemos los puntos 1', 2', 3' y 5'.y en la 6gura perspectiva a partir delpunto 4, tracemos las mismas líneas4, 1: 4, 2 y 4, 3. y .hagamos coinci­dir sobre este haz perspectivo, latira de papel. cuando los puntos 1"2' y 3' queden sobre las líneas pers­pectivas del haz, podremos marcaren la fotografía un punto frente al 5'y trazar la línea 5',4. que correspon­derá a una paralela a la línea 2, 3 y por10 tanto, prolongando ambas líneas,hallaremos el punto n, que es el defuga de esta dirección: del mismomodo encontraremos el de otra cual­quiera de las líneas del cuadrilátero,y por lo tanto, el problema queda re­ducido al anterior.

Problema IIl. Se conocen tres pun­tos del plano. el centro de la fotografíay además la dirección del horizonte y sebuscan el foco y la inclinación.

Sea (6g. 13) A B e el -triánguloreal del plano que forman los puntosdados: podremos trazar por A unaparalela al lado B e y construir unhaz de tres direccioneB paralelas a losladoB del triángulo. evidentemente.si conociéramos la línea de horizonte.pues sobre ella estarían los tres puntosde fuga de las líneas del triángulo pers­pectivo que corresponden a las di­recciones reales trazadas del puntoA que corresponde al S. punto devista.

siendo 01 la distanCia del centro de lafotografía al horizonte. y SI la dis­tancia en la 6gura real de S a la líneade ajuBte de la tira de papel. quedandoentonces determinado el foco por la

probablemente, marcaremos también p.que es el pie de la perpendicular a lalínea de ajuBte bajada de A.

Elijamos un nuevo horizonte H',y repitamos la operación, marcando O'

203

y p' como an'tes. y después hagamoslo mismo con otro horizonte H". yaún más si queremos mayor númerode puntos; de este modo podremostrazar las líneas que siguen los puntosO y p en el movimiento del horizonte.y evidentemente encontrar el punto decruce de ellas. que dará el verdaderolugar del horizonte. bastando enton­ces trazar la perpendicular a la líneaAl y marcar sobre una tira de papellos puntos 1. 2. I y 3. y llevarlos sobrela fotografía para dejar determinadala verdadera posición del horizonte yresuelto el problema.

* * *El segundo tipo de problemas que

pueden resolverse es aquel en el queel centro de la fotografía es descono­cido. caso que se presenta cuandose posee una ilustración. una fotogra­fía recortada o aun una en que setiene fundada duda respecto a si es ono fracción de otra; trataremos al­gunos problemas de esta segundaclase.

Problema IV. Se conocen en la fo­tografía tres direcciones rectangularesde haces de líneas. de las que se pue­den determinar los puntos de fugay se desea determinar el centro y ladistancia focal.

Recordemos que si por el puntode vista trazamos paralelas a las tresdirecciones dadas. estas líneas per­forarán el cuadro en los puntos de fu­ga de los haces correspondientes. y eneste caso. si consideramos la hgura14 n. al trazar por el punto S laslíneas Sao Sb. Sc. que hacen ángulosrectos dos a dos. el triedro que tienepor vértice S. es trirrectángulo. y porlo tanto. si proyectamos un triedro deesta clase sobre un plano de base. lasproyecciones de las aristas del triedroquedan sobre las alturas del triángulo.y por tanto. el vértice S del triedro tie­ne su proyección en O. que es el pun­to en que se cortan las tres altur.asdel triángulo. y como la proyección delpunto de vista es el centro del cuadro.es posible conocerlo así. como también.por un abatimiento. la distancia focal.

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Bastará. pues (6g. 14. 1). determinarlos puntos a. b. c. que son los de fugade las tres direcciones rectangularesconocidas; si las líneas de dirección1. 2 y 1. 3. son horizontales (como eslo común) .la línea a b será el horizonte;por el punto c bajaremos una perpen­dicular a abo y por el punto b unaperpendicular a ac, y. aun por el pun­to a una perpendicular a cb; el puntode cruce O de las perpendiculares de­finirá el centro del cuadro y el punto1. pie de la perpendicular sobre abdehnirá el punto principal de horizonte.

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(I) III/

II

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si sobre cualquiera de las alturas.perpendiculares a los lados. construí­mos una semicircunferencia. la per­pendicular a esta altura. trazada por O.nos dará el punto S vértice del triedro.y por lo tanto. la distancia SO =f; lainclinación estará dada por el ánguloISO. dado que la dirección SI es la ho­rizontal.quedando de este modo de­terminados todos los elementos de lafotografía.

Problema V.' Se conoce' en la foto'"grafía el horizonte y se identilican·trespuntos situados en UD, plano '.horizon­tal cuyas distancias entre sí se conocen;la fotografía fue tomada con la cámaraa plomo.

Tracemos con una línea el horizonte(6.g. 15. 1). y prolonguemos las di­recciones de los lados del triángulohasta marcar en la línea de horizontelos puntos 1. 2 y 3. que correspondena los puntos de fuga de las líneas quetienen por direcciones las de los ladosdel triángulo dado.

Tracemos tambié~ el triángulo encuestión. y por el punto C=S.llevemosuna paralela al lado AB. lo que nosdará las tres líneas reales que al inter­ceptar el cuadro marcan los puntosde fuga de las direcciones. pero comotenemos en la fotografía estos puntos.podemos lijarlos en el borde de unatira de papel. y moviendo ésta de 1 a n.hacerla coincidir en los puntos 1. 2 y 3.con las direcciones dadas. marcaremosla línea en la que coinciden los trespuntos. y si entonces baj amos del puntoS.la perpendicular S. O. tendremos elcentro O y la distancia focal S. 0=f; .el centro O lo podremos de nuevo re­ferir a la fotografía. quedando resueltoel problema.

Problema VI. Se identi6.can en lafotografía cuatro puntos conocidos delplano horizontal. y se buscan la direc­ción del horizonte. el centro y la dis­tancia focal.

En el plano real (lig• 16. H).· existeun haz de rectas que tiene por vérticeel punto A y que está formado por loslados AB y AD. la diagonal AC y lasparalelas de direcciones A. 4 y A. 5 alos lados CD y BC. El problema con-

siste en trazar este mismo haz en per'­pectiva. y como en la fotografía (lig.16. 1) ya existen las direcciones a b. acy' ad de los lados y la diagonal. bastarádeterminar las otras dos direccionesde las líneas del haz para resolver elpr?blema. Se sabe que las relaciones

I

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anarmónicas de los haces de rectas~seconservan cuando se las proyecta. yla cuarta recta de un haz proyéctado seobtiene prácticamente cortando poruna transversal el haz y transportandolos puntos 'de corte con una banda depapel sobre el haz incompleto; así.pues. las rectas paralelas a los ladosBC y CD.las podemos considerar comola 4& línea cada vez. del haz de los ladosy la diagonal. Coloquemos. pues. sobreuna línea trazada en la 6.gura re~l H.una banda de papel sobre la que mar­camos los puntos 4. 2. 1. 3 y 5. de in­tersección de la transversal trazada. yllevemos esta banda sobre l~ fotogra­fía (1) haciendo coincidir los puntos2. 1 y 3 sobre las líneas correspondien­tes: cuando deslizando la banda lalleguemos a ajustar en posición•. mar­caremos los puntos 4 y 5. que nosdarán las direcciones buscadas. Comolas rectas a. 4 y de son paralelas ho­rizontales. su punto de intersección 4'da un punto del horizonte; otro puntolo encontraremos en la intersecciónde las rectas be y a5 prolongadas hastael punto 5' : así. pues. la línea de hori­zonte en la ligura perspectiva quedarámarcada al unirse estos puntos. Siahora marcamos sobre otra b~nda depapel los puntos 4'. 2'. r. 3' y 5' de laligura perspectiva y transportamos es­ta banda de papel a la ligura real hasta

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que 1011 S punt<lll coincidan ahora conlas S direcciones dadu. obtendremosla posición real del cuadro con relaci6nal punto de vista y podremos trazarla línea en la ngura real: si entoncellbajamos una perpendicular desde elpunto A (que corresponderá al puntode vieta S). obtendremos el punto O.que. paeado a la ngura perspectiva.noe dará el centro del cuadro. siendola dietancia SO = AO. la distanciafocal buecada.

• • •Loe problemas anteriores son los máe

comunes que se presentan en lostrabajos usuales y dan una idea clara

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de 1011 procedimientos que pueden em­plearse para resolver otros semejantes.y si no abordamos aquí la soluci6ndel problema general de metrofoto_grafía. es porque sale del cuadro deestos brevee apuntes: pero a los eetu­diantes de geometría deecriptivá. de­jamoe el eetudio de él. ya que estarama de la matemática permite resol­ver el problema que coneiste esencial_mente en determinar el vértice de unapirámide triangular cuando se conocela posici6n de 105 tres puntos queforman su base. que pueden no estar enplano horizontal y la secci6n de lá mis­ma p~rámide ?echa por un plano. queconstituye la Imagen fotogránca de lostres puntos.