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L13 Il processo

di modellizzazioneRodolfo Soncini Sessa

MODSSCopyright 2004 © Rodolfo Soncini Sessa.

R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 2

Il processo di modellizzazione

Scopo

Concettualizzazione


La concettualizzazione

Scopo

Concettualizzazione

E’ la fase che abbiamo esposto finora :

individuazione delle variabili rilevanti

riconoscimento delle relazioni causa-effetto tra le variabili e costruzione della rete causale

rappresentazione quantitativa di tali relazioni

A seconda delle informazioni disponibili l’ultimo passo si effettua con:

E’ la fase che abbiamo esposto finora :

individuazione delle variabili rilevanti

riconoscimento delle relazioni causa-effetto tra le variabili e costruzione della rete causale

rappresentazione quantitativa di tali relazioni

A seconda delle informazioni disponibili l’ultimo passo si effettua con:

solo osservazioni statistiche BBN

teorie e informazioni modello meccanicistico

numerose osservazioni e l’alternativa non modifica il componente

mod. empirici o DBM



Scopo

Concettualizzazione

Esempio: Modello meccanicistico di un lago regolato

s

t+1=s

t+w

t+ε

t+1−r

t+1

ht=h(st)

rt+1=

N(st) se st >sN(st) se ut>N(st) ut altrimenti

⎧⎨⎪

⎩⎪ altrimenti

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

N(s

t)=α s

tβ

s

t

N(g)

r

t+1

u

t

s

Il modello è definito a meno del valore dei parametri:

dunque non è un modello ma un meta-modello

parametri



dt+1 =Kddt +(1−Kd)qt+1s

Il Terreno

St + qt+1n

1− St ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ SM

γ

− evapt+1 St+1 = −max 0, St+1

∗ −SM{ }

rt+1 =

+St

SM

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

γ

qt+1n

rt ( 1- ) Kr −min K prt,RM{ } + scorr.supt+1

q

t+1s =Krrt + K f ft

Esempio: Modello meccanicistico di un bacino imbrifero

min{ , } ht+1 = ht + Pt+1

R β st+1 + M Tt+1, ht, st( )

qt+1n =

- β st max{ 0 , } ht + Pt+1

R + M Tt+1, ht, st( )

st st+1 = + Pt+1S -

M T

t+1, ht, st( )

M

Tt+1

α st

-ht

Il manto nevoso



Scopo

Concettualizzazione

Taratura


La taratura

Scopo

Concettualizzazione

Taratura

E’ la fase in cui si determina il valore dei parametri che compaiono nel meta-modello (si istanzia il meta-modello).

Due procedure alternative a seconda che il sistema esista o meno:

• il sistema non esiste: il valore dei parametri viene assegnato sulla base del progetto, ipotizzando che esso sarà realizzato esattamente;

MODELLO A PRIORI

• il sistema esiste: il valore dei parametri viene stimato tramite serie di dati già raccolti o raccolti ad hoc.

MODELLO A POSTERIORI

E’ la fase in cui si determina il valore dei parametri che compaiono nel meta-modello (si istanzia il meta-modello).

Due procedure alternative a seconda che il sistema esista o meno:

• il sistema non esiste: il valore dei parametri viene assegnato sulla base del progetto, ipotizzando che esso sarà realizzato esattamente;

MODELLO A PRIORI

• il sistema esiste: il valore dei parametri viene stimato tramite serie di dati già raccolti o raccolti ad hoc.

MODELLO A POSTERIORI


La taratura

sistema reale

modello

ingressimisurati

uscitamisurata

uscitacalcolata

residuo+

-

STIMATORE(algoritmo)

parametri



dt+1 =Kddt +(1−Kd)qt+1s

Il Terreno

St + qt+1n

1− St ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ SM

γ

− evapt+1 St+1 = −max 0, St+1

∗ −SM{ }

rt+1 =

+St

SM

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

γ

qt+1n

rt ( 1- ) Kr −min K prt,RM{ } + scorr.supt+1

q

t+1s =Krrt + K f ft

Esempio: Modello meccanicistico di un bacino imbrifero

min{ , } ht+1 = ht + Pt+1

R β st+1 + M Tt+1, ht, st( )

qt+1n =

- β st max{ 0 , } ht + Pt+1

R + M Tt+1, ht, st( )

st st+1 = + Pt+1S -

M T

t+1, ht, st( )

M

Tt+1

α st

-ht

Il manto nevoso


Stima dei parametri

Parametri (modello proprio): θ =[ α β γ SM RM Ke Kr K p K f Kd]

Variabili di stato: z = [ s h S r f d q ]

z

t+1 = f zt,Tt+1,Pt+1,θ ( ) con z0 =z0

d

t=g zt( )

1tI

θ I1t

q0t

q0t =M( I1

t,θ)


spazio dei dati

q2

q1

spazio dei parametri

θ2

θ1

Stima dei parametri

0tqθ̂

serie rilevata

In generale non esiste un valore di per cui .θ 1 0( , )t tM I qθ

1ˆ( , )tM I θ

1( , )tM I θ

Si sceglie allora così che abbia distanza minima da (minimi quadrati).

θ̂0tq

1( , )ˆtM I θ

θ 0tq

0ˆtq

serie rilevate


Procedura operativa

a) si fissa un valore al parametro ; θ

c) si calcola l’errore q

0t calc

−q0t

b) si utilizza il modello per calcolare dato

(e.g. via simulazione); I1

t

q0 calct

t

q0t calc

q0t

0tq

d) si itera il procedimento finché non si determina il valore a cui corrisponde il minimo valore dell’errore.

θ̂


Spazio dei parametri θ1

θ2

Stima dei parametrialgoritmo Powell-search

1,2

3

4

I

II

Linee a errore costante non note all’inizio.

1) Dato un punto corrente:

θ̂

3) si individua il minimo lungo la semiretta;

4) Si torna al punto 1 (assumendo il minimo come nuovo punto corrente) fino a quando non è più possibile ridurre l’errore.

III

2) si determina il gradiente, che è sempre perpendicolare alle linee di livello;


frontiera

spazio dei parametri

θ2

θ1

Stima dei parametri in presenza di vincoli

Se si incontra un vincolo si proietta il gradiente sulla frontiera. θ̂

1

2

3



scopo

concettualizzazione

taratura

identificazione



Scopo

Concettualizzazione

Taratura

Validazione


La validazione

Scopo

Concettualizzazione

Taratura

Validazione

E’ la fase in cui si testa il modello per accertarsi che esso sia in grado di riprodurre dati non utilizzati in taratura.

Le osservazioni utilizzate per tarare e validare il modello devono rappresentare tutte le condizioni in cui il sistema si troverà ad operare.

in tal caso il modello opera come interpolatore

in caso contrario il modello opera come estrapolatore, le stime fornite vanno usate con grande prudenza.

E’ la fase in cui si testa il modello per accertarsi che esso sia in grado di riprodurre dati non utilizzati in taratura.

Le osservazioni utilizzate per tarare e validare il modello devono rappresentare tutte le condizioni in cui il sistema si troverà ad operare.

in tal caso il modello opera come interpolatore

in caso contrario il modello opera come estrapolatore, le stime fornite vanno usate con grande prudenza.



Scopo

Concettualizzazione

Taratura

Validazione

sì

USO

no

Raccolta dati

no

19

Paradigma:stazionario o non-stazionario?

Per tarare un modello si utilizzano le osservazioni fatte nel passato sul sistema.

Il modello descrive quindi il futuro assumendo implicitamente che esso non cambi rispetto al passato.

SISTEMA (+disturbi) STAZIONARIO

I parametri devono essere tempo-invarianti.

È una restrizione davvero necessaria?

NO, è sufficiente che il sistema sia periodico, di periodo T !

In tal caso i parametri sono funzioni periodiche di periodo T.


Periodicità (Ciclostazionarietà)

Un sistema periodico appare come un sistema stazionario ad un osservatore che lo campioni con passo T.

T

Un sistema periodico può essere pensato come l’insieme di T sistemi stazionari, ognuno dei quali opera all’istante tmodT .

Un sistema periodico gode di tutte le proprietà di un sistema stazionario (oltre ad altre).


Ergodicità

In realtà la condizione di stazionarietà (o ciclostazionarietà) non è sufficiente perchè il sistema possa essere correttamente tarato.

È necessario che tutte le statistiche siano calcolabili a partire dalla serie storica.

SISTEMA ERGODICO o CICLO-ERGODICO

“Fortunatamente” i sistemi naturali sono quasi sempre ergodici


Stazionario o non-stazionario?

Il sistema idrologico a scala planetaria non appare stazionario

quindi i disturbi non sono stazionari

CHE FARE?

per fenomeni che variano con un periodo T sufficientemente breve basta assumere T quale periodo del sistema

(ad esempio El Niño ha un periodo approssimativo di quattro anni)


Stazionario o non-stazionario?

Per fenomeni che variano con un periodo T troppo lungo, o sono del tutto non-stazionari (o di cui non sappiamo nulla), si può procedere così:

1. si identifica il miglior modello possibile sotto l’ipotesi che esso sia stazionario (o ciclostazionario di breve periodo, e.g. un anno);

2. si progetta la politica (o le norme) adottando tale modello;

3. si utilizza la politica (o le norme) ottenute sino a quando si constata che il processo che genera il disturbo è cambiato;

4. si torna al punto 1.

La difficoltà resta però irrisolta per le decisioni strutturali.


Alcune osservazioni sul progetto della politica

La soluzione razionale al problema gestionale è la definzione di una politica di regolazione, ossia una successione di funzioni (leggi di controllo) il cui argomento è lo stato.


st+1

wt+1

It

bacino

serbatoio

+ utenti

at+1

utmt(st,wt)mt(st,wt)

Politica di gestione p= {mt(•) t = 0,1,…,h}

ritardo

ritardo



Per progettare e utilizzare una politica è necessario che:

1. lo stato sia misurabile;

2. tutti i modelli dei componenti siano espressi in forma interna.

Non sempre queste due condizioni sono verificate.

La soluzione razionale al problema gestionale è la definzione di una politica p di regolazione,o ssia una successione di funzioni (leggi di controllo) il cui argomento è lo stato.


Stima dello stato

La soluzione razionale al problema gestionale è la definzione di una politica di regolazione, ossia una successione di funzioni (leggi di controllo) il cui argomento è lo stato


1. Lo stato sia misurabile

2. Tutti i modelli dei componenti siano espressi in forma interna

Non sempre queste due condizioni sono verificate

Nel caso del lago lo stato (invaso) non è misurabile, lo è invece l’uscita (livello).

Posso avere una stima dello stato invertendo l’equazione di trasformazione di uscita ht=ht(st).

In generale

Se dispongo di misure ingresso/uscita posso usare uno stimatore dello stato per ricostruire il valore dello stato da utilizzare nella politica.

Così facendo sotto ipotesi abbastanza larghe le prestazioni della politica non peggiorano, rispetto al caso in cui lo stato sia misurabile.

Nel caso del lago lo stato (invaso) non è misurabile, lo è invece l’uscita (livello).

Posso avere una stima dello stato invertendo l’equazione di trasformazione di uscita ht=ht(st).

In generale

Se dispongo di misure ingresso/uscita posso usare uno stimatore dello stato per ricostruire il valore dello stato da utilizzare nella politica.

Così facendo sotto ipotesi abbastanza larghe le prestazioni della politica non peggiorano, rispetto al caso in cui lo stato sia misurabile.







Realizzazione

I modelli meccanicistici sono già espressi in forma interna.

È possibile esprimere in forma interna una BBN.

E per i modelli empirici?

Si sostituisce il modello empirico con un modello in forma interna che gli sia equivalente.

I modelli meccanicistici sono già espressi in forma interna.

È possibile esprimere in forma interna una BBN.


Si sostituisce il modello empirico con un modello in forma interna che gli sia equivalente.

Quando i due modelli sono alimentati da traiettorie di ingresso uguali esiste sempre un opportuno stato iniziale del secondo

modello che produce una traiettoria di uscita uguale a quella del primo.



Un modello con queste caratteristiche è detto realizzazione e il

problema di identificarlo è detto problema di realizzazione.

Un modello con queste caratteristiche è detto realizzazione e il

problema di identificarlo è detto problema di realizzazione.


Realizzazione






I modelli meccanicistici sono già espressi in forma interna

È possibile esprimere in forma interna una BBN


Si sostituisce il modello empirico con un modello in forma interna che gli sia equivalente

I modelli meccanicistici sono già espressi in forma interna

È possibile esprimere in forma interna una BBN


Si sostituisce il modello empirico con un modello in forma interna che gli sia equivalente





Per uno stesso modello empirico esistono più realizzazioni, quale scegliere?

Poiché i tempi di calcolo della politica crescono esponenzialmente con le dimensioni dello stato conviene scegliere quella cui corrisponde lo stato più piccolo.

REALIZZAZIONE MINIMA

Per uno stesso modello empirico esistono più realizzazioni, quale scegliere?

Poiché i tempi di calcolo della politica crescono esponenzialmente con le dimensioni dello stato conviene scegliere quella cui corrisponde lo stato più piccolo.

REALIZZAZIONE MINIMA


Rappresentazione interna

dove: xt1 =yt; xt

2 =yt−1; xt3 =εt; xt

4 =εt−1;

Relazione I/U:

Esempio di realizzazione “ingenua”(forma di simulazione)

0 01 11 1 1 1t t t t t ty a y a y b bε ε ε

1 100 1 11

2 21

13 31

4 41

1

01 0 0 010 0 0 000 0 1 0

t t

t tt

t t

t t

x xa a b b

x x

x x

x x

ε

1 0 0 0t ty x


1 1 11 0t t ty x ε

1 10 001

2 2 1 111

1

0

t tt

t t

ax x a b

x x a baε

Pago la riduzione di dimensione del vettore dello stato con la perdita del suo significato fisico

Realizzazione minima

lo stato xt non è più “misurabile” ma solo stimabile.lo stato xt non è più “misurabile” ma solo stimabile.

Lo stesso sistema è descritto anche dalle seguenti equazioni in forma interna


Ricapitolando

Per progettare e utilizzare una politica di gestione dobbiamo essere in grado di:

1. date le traiettorie ingresso/uscita di un modello, stimare il valore assunto dal suo stato quando questo non è misurabile;

problema di stima dello stato

2. dato un modello in forma esterna, come un modello empirico, trovare un modello equivalente in forma interna che abbia il minimo numero possibile di variabili di stato.

problema di realizzazione minima


Leggere

MODSS Parr. 4.9, 4.11, 4.12

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