lÝ thuyẾt ĐiỀu khiỂn tỰ...

1

Môn học

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

2

Chương 7

PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ

HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC

3

Nội dung chương 7

• Đánh giátính ổn định

• Chất lượng của hệ rời rạc• Thiết kế hệ thống điều khiển rời rạc

4

Đánh giá tính ổn định

5

Điều kiện ổn định của hệ rời rạc

• Hệ thống ổn định BIBO (Bounded Input Bounded Output) nếu

tín hiệu vào bị chặn thì tín hiệu ra bị chặn.

Miền ổn định của hệ liên

tục là nữa trái mặt phẳng s

Miền ổn định của hệ rời rạc là

vùng nằm trong vòng tròn đơn vị

6

Phương trình đặc trưng của hệ rời rạc

Hệ thống điều khiển rời rạc mô tả bởi sơ đồ khối:

• Phương trình đặc trưng: 1 + GC ( z )GH ( z ) = 0

Hệ thống điều khiển rời rạc mô tả bởi PTTT:

• Phương trình đặc trưng: det( zI − Ad ) = 0

7

Phương pháp đánh giá tính ổn định của hệ rời rạc

• Tiêu chuẩn ổn định đại số

Tiêu chuẩn Routh – Hurwitz mở rộng

Tiêu chuẩn Jury

• Phương pháp quỹ đạo nghiệm số

8

Tiêu chuẩn Routh – Hurwitz mở rộng

Miền ổn định: trong vòng

tròn đơn vị của mặt phẳng Z

Miền ổn định: nữa trái

mặt phẳng W

• PTĐT của hệ rời rạc:

• Tiêu chuẩn Routh – Hurwitz mở rộng: đổi biến z → w, sau đó áp

dụng tiêu chuẩn Routh – Hurwitz cho PTĐT theo biến w.

9

Thí dụ xét ổn định dùng tiêu chuẩn Routh – Hurwitz mở rộng

• Đánh giá tính ổn định của hệ thống:

• Biết rằng:

• Giải:

• Phương trình đặc trưng của hệ thống:

1 + GH ( z ) = 0

10


11


• Phương trình đặc trưng:

• Đổi biến:

=>

=>

=>

=>

12


• Bảng Routh

• Kết luận: Hệ thống ổn định do tất cả các hệ số ở cột 1 của

bảng Routh đều dương

13

Tiêu chuẩn Jury

• Xét tính ổn định của hệ rời rạc có PTĐT:

• Tiêu chuẩn Jury: Điều kiện cần và đủ để hệ thống rời rạc ổn định

là tất cả các hệ số ở hàng lẻ, cột 1 của bảng Jury đều dương.

• Bảng Jury: gồm có (2n+1) hàng.

• Hàng 1 là các hệ số của PTĐT theo thứ tự chỉ số tăng dần.

• Hàng chẳn (bất kỳ) gồm các hệ số của hàng lẻ trước đó viết

theo thứ tự ngược lại.

• Hàng lẽ thứ i = 2k+1 (k≥1) gồm có (n−k+1) phần tử, phần tử

ở hàng i cột j xác định bởi công thức:

14

Thí dụ xét ổn định dùng tiêu chuẩn Jury

• Do các hệ số ở hàng lẻ cột 1 bảng Jury đều dương nên hệ thống

ổn định.

• Xét tính ổn định của hệ rời rạc có PTĐT là:

• Bảng Jury

15

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

• Quỹ đạo nghiệm số là tập hợp tất cả các nghiệm của phươngtrình đặc trưng của hệ thống khi có một thông số nào đó trong hệthay đổi từ 0 → ∞.

• Xét hệ rời rạc có phương trình đặc trưng:

• Các qui tắc vẽ QĐNS hệ liên tục có thể áp dụng để vẽ QĐNScủa hệ rời rạc, chỉ khác qui tắc 8.

Đặt:

Gọi n và m là số cực và số zero của G0(z)

16


Qui tắc vẽ QĐNS

• Qui tắc 1: Số nhánh của quỹ đạo nghiệm số = bậc của phương

trình đặc tính = số cực của G0(z) = n.

• Qui tắc 2:

• Khi K = 0: các nhánh của quỹ đạo nghiệm số xuất phát từ các

cực của G0(z).

• Khi K tiến đến +∞ : m nhánh của quỹ đạo nghiệm số tiến đến

m zero của G0(z), n−m nhánh còn lại tiến đến ∞ theo các tiệmcận xác định bởi qui tắc 5 và qui tắc 6.

• Qui tắc 3: Quỹ đạo nghiệm số đối xứng qua trục thực.

• Qui tắc 4: Một điểm trên trục thực thuộc về quỹ đạo nghiệm số

nếu tổng số cực và zero của G0(z) bên phải nó là một số lẻ.

17


Qui tắc vẽ QĐNS (tt)

• Qui tắc 7: : Điểm tách nhập (nếu có) của quỹ đạo nghiệm số nằmtrên trục thực và là nghiệm của phương trình:

(pi và zi là các cực

và các zero của G0(z) )

• Qui tắc 5: : Góc tạo bởi các đường tiệm cận của quỹ đạo nghiệmsố với trục thực xác định bởi :

• Qui tắc 6: : Giao điểm giữa các tiệm cận với trục thực là điểm Acó tọa độ xác định bởi:

18


Qui tắc vẽ QĐNS (tt)

• Qui tắc 8: : Giao điểm của quỹ đạo nghiệm số với trục ảo có thểxác định bằng cách áp dụng tiêu chuẩn Routh–Hurwitz mở rộnghoặc thay z=a+jb (a2+b2 =1) vào phương trình đặc trưng.

• Qui tắc 9: Góc xuất phát của quỹ đạo nghiệm số tại cực phức pj

được xác định bởi

• Dạng hình học của công thức trên là:

θj = 1800 + (∑góc từ các zero đến cực p j )

− (∑góc từ các cực còn lại đến cực p j )

19

Giải:

• Phương trình đặc trưng của hệ thống:

1 + G( z ) = 0

Thí dụ vẽ QĐNS hệ rời rạc

• Cho hệ thống rời rạc có sơ đồ khối:

• Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi K = 0→ +∞. Tính Kgh


• Cực:

20


• Zero:

21


• Điểm tách nhập:

(PTĐT)

• Do đó

• Tiệm cận:

=>

22


• Giao điểm của QĐNS với vòng tròn đơn vị:

(PTĐT)

(*)

• Cách 1: Dùng tiêu chuẩn Routh – Hurwitz mở rộng:

• Theo hệ quả của tiêu chuẩn Hurwitz, điều kiện ổn định là:

=>

Đổi biến ,(*) trở thành:

23


• Thay giá trị Kgh = 21.83 vào phương trình (*), ta được:

• Vậy giao điểm của QĐNS với vòng tròn đơn vị là:

• Cách 2: Thay z = a + jb vào phương trình (*) :

=>

=>

24


• Kết hợp với điều kiện a2 + b2 =1, ta được hệ phương trình:

• Giải hệ phương trình trên, ta được 4 giao điểm là:

khi

khi

z = 1

z = −1

K = 0

K = 1071

z = 0.5742 ± j0.8187 khi K = 21.83

K gh = 21.83=>

25


26

Chất lượng của hệ rời rạc

27

Đáp ứng của hệ rời rạc

• Đáp ứng của hệ rời rạc có thể tính bằng một trong hai cách sau:

• Cách 1: nếu hệ rời rạc mô tả bởi hàm truyền thì trước tiên tatính C(z), sau đó dùng phép biến đổi Z ngược để tìm c(k).

• Cách 2: nếu hệ rời rạc mô tả bởi PTTT thì trước tiên ta tính

nghiệm x(k) của PTTT, sau đó suy ra c(k).

• Cặp cực quyết định của hệ rời rạc là cặp cực nằm gần vòng trònđơn vị nhất.

28

Chất lượng quá độ

• Cách 1: Đánh giá chất lượng quá độ dựa vào đáp ứng thời gianc(k) của hệ rời rạc.

• Độ vọt lố:

trong đó cmax và cxl là giá trị cực đại và giá trị xác lập của c(k)

• Thời gian quá độ:

trong đó kqđ thỏa mãn điều kiện:

29

Chất lượng quá độ

• Cách 2: Đánh giá chất lượng quá độ dựa vào cặp cực quyết định.

• Cặp cực quyết định:


• Thời gian quá độ: (tiêu chuẩn 5%)

=>

30

Sai số xác lập

• Biểu thức sai số:

• Sai số xác lập:

31

Chất lượng của hệ rời rạc. Thí dụ 1

1. Tính hàm truyền kín của hệ thống điều khiển trên.

2. Tính đáp ứng của hệ đối với tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị.

3. Đánh giá chất lượng của hệ thống: độ vọt lố, thời gian quá độ,

sai số xác lập.

Giải:

1. Hàm truyền kín của hệ thống:

32


=>

33


=>

34


2. Đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị:

=>

=>

=>

35


• Tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị:

• Điều kiện đầu:

Thay vào biểu thức đệ qui tính c(k):

c(k ) = {0; 0.0420; 0.1418; 0.2662; 0.3909; 0.5003;...

0.5860; 0.6459; 0.6817;0.6975; 0.6985; 0.6898;...

0.6760; 0.6606; 0.6461; 0.6341; 0.6251; 0.6191;...}

36


37


3. Chất lượng của hệ thống:

• Giá trị xác lập của đáp ứng

• Giá trị cực đại của đáp ứng:


=>

38


• Thời gian quá độ theo tiêu chuẩn 5%:

• Trước tiên ta cần xác định kqđ thỏa:

• Theo kết quả tính đáp ứng ở câu 2 ta thấy: k qđ = 14

• Sai số xacù lập

=>

<=>

39


• Chú ý: Ta có thể tính POT và tqđ dựa vào cặp cực phức

Cặp cực phức của hệ thống kín là nghiệm của phương trình

=>

=>

40


Với

1. Thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống trên.

2. Tính đáp ứng của hệ đối với tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị

(điều kiện đầu bằng 0) dựa vào phương trình trạng thái vừa tìm

được.

3. Tính độ vọt lố, thời gian quá độ, sai số xác lập.

41

1. Thành lập phương trình trạng thái:


Giải:

• PTTT của hệ liên tục hở theo phương pháp tọa độ pha:

=>

42


• Ma trận quá độ:

=>

44


• PTTT rời rạc mô tả hệ kín

với

• Vậy phương trình trạng thái của hệ rời rạc cần tìm là:

43


• PTTT của hệ rời rạc hở:

45


2. Đáp ứng của hệ thống:

x1 (k ) = 10−3× {0; 4.2; 13.5; 24.2; 34.2; 42.6; 49.1; 54.0; 57.4; 59.7;...

61.2; 62.0; 62.5; 62.7; 62.8; 62.8; 62.7; 62.7; 62.6; 62.6 ...}x2 (k ) = 10−3× {0; 77.9; 106.1; 106.6; 93.5; 75.4; 57.2; 41.2; 28.3; 18.5; ...

11.4; 6.5; 3.4; 1.4; 0.3; -0.3; -0.5; -0.5; -0.5; -0.4 ...}

• Với điều kiện đầu x1(−1)=x2(− 1)=0, tín hiệu vào là hàm nấc đơn

vị, suy ra nghiệm của PTTT là:

• Từ PTTT ta suy ra:

• Đáp ứng của hệ thống: c(k ) = 10 x1 (k ) + 2 x2 (k )

c(k ) = {0; 0.198; 0.348; 0.455; 0.529; 0.577; 0.606; 0.622; 0.631; 0.634;...

0.635; 0.634; 0.632; 0.630; 0.629; 0.627; 0.627; 0.626; 0.625; 0.625...}

46


47


3. Chất lượng của hệ thống:


c(k ) = {0; 0.198; 0.348; 0.455; 0.529; 0.577; 0.606; 0.622; 0.631; 0.634;...

số xác lập

k ≥ 60.594 ≤ c(k ) ≤ 0.656,

• Thời gian quá độ theo chuẩn 5%:

(1 − 0.05)cxl ≤ c(k ) ≤ (1 + 0.05)cxl , k ≥ kqđ

Theo đáp ứng của hệ thống:

=> kqđ = 6 tqđ = kqđT = 0.6 sec=>

48

Thiết kế hệ thống điều khiển rời rạc

49

Các sơ đồ điều khiển thường dùng

• Điều khiển nối tiếp

• Điều khiển hồi tiếp trạng thái

50

Hàm truyền của các khâu cơ bản rời rạc

Khâu vi phân

• Khâu vi phân liên tục:

• Khâu vi phân rời rạc:

=> Hàm truyền khâu vi phân rời rạc:

=>

51

Hàm truyền của các khâu cơ bản rời rạc

Khâu tích phân

t

• Khâu tích phân liên tục: u (t ) = ∫ e(τ )dτ0

kT

• Khâu tích phân rời rạc: u(kT ) = ∫ e(τ )dτ =0

( k −1)T kT

∫ e(τ )dτ + ∫ e(τ )dτ0 ( k −1)T

=> Hàm truyền khâu tích phân rời rạc:

=>

=>=>

52

Hàm truyền của bộ điều khiển rời rạc

• Bộ điều khiển PID

hoặc

• Bộ điều khiển sớm pha, trể pha

zC < pC sớm pha

zC > pC trể pha

53

Phương pháp thiết kế hệ thống điều khiển rời rạc

• Cách 1: Thiết kế gián tiếp hệ thống điều khiển liên tục, sau đó

rời rạc hóa ta được hệ thống điều khiển rời rạc. Chất lượng của

hệ rời rạc xấp xỉ chất lượng hệ liên tục nếu chu kỳ lấy mẫu T đủ

nhỏ.

• Cách 2: Thiết kế trực tiếp hệ thống điều khiển rời rạc.

Phương pháp thiết kế: QĐNS, phương pháp phân bố cực, phương

pháp giải tích, …

54

Trình tự thiết kế khâu sớm pha rời rạc dùng QĐNS

*

• Bước 1: Xác định cặp cực quyết định từ yêu cầu thiết kế về chất

lượng của hệ thống trong quá trình quá độ:

• Bước 2: Xác định góc pha cần bù để cặp cực quyết định z*1, 2 nằm

trên QĐNS của hệ thống sau khi hiệu chỉnh bằng công thức:

trong đó pi và zi là các cực và zero của G(z) trước khi hiệu chỉnh.

φ * = −180 0 + ∑ góc từ các cực của G ( z ) đến cực z1*

− ∑ góc từ các zero của G ( z ) đến cực z1*

Khaâu hieäu chænh caàn thieát keá

55

Trình tự thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha dùng QĐNS (tt)

• Bước 3: Xác định vị trí cực và zero của khâu hiệu chỉnh

• Có hai cách vẽ thường dùng:

• PP đường phân giác (để cực và zero của khâu H/C gần nhau)

• PP triệt tiêu nghiệm (để hạ bậc của hệ thống)

• Vẽ 2 nữa đường thẳng bất kỳ xuất phát từ cực quyết định z1* saocho 2 nữa đường thẳng này tạo với nhau một góc bằng φ* . Giaođiểm của hai nữa đường thẳng này với trục thực là vị trí cực vàzero của khâu hiệu chỉnh.

• Bước 4: Tính hệ số khuếch đại KC bằng cách áp dụng công thức:

56

Thí dụ thiết kế bộ điều khiển sớm pha rời rạc dùng QĐNS

• TK bộ điều khiển sớm pha GC(z) sao cho hệ thống sau khi hiệu

chỉnh có cặp cực quyết định với ξ = 0.707 , ω n = 10 (rad/sec)

57



Giải:

=>

58


• Cặp cực phức mong muốn:

z1*, 2 = re ± jϕ

trong đó:

<=>

=>

φ = 84

59


φ * = −180 + ( β1 + β 2 ) − β 3

β1 = 152.90

β 2 = 125.90

• Góc pha cần bù:

β3 = 14.60

* 0=>

60


• Chọn cực và zero của khâu hiệu chỉnh bằng phương pháp triệt

tiêu nghiệm:

=>

=>

61


Tính KC:

=>

=>

=>

• Kết luận: Hàm truyền của bộ điều khiển cần thiết kế là:

62


• Quỹ đạo nghiệm số của hệ thống trước và sau khi hiệu chỉnh

K P KV

63

Trình tự thiết kế khâu trể pha rời rạc dùng QĐNS

K P

*β = KV

*β = K a

K a*

hoặc hoặc β =

• Bước 1: Đặt . Xác định β từ yêu cầu về sai số xác lập.

• Bước 2: Chọn zero của khâu hiệu chỉnh rất gần điểm +1:

zC ≈ −1

• Bước 3: Tính cực của khâu hiệu chỉnh:

pC = −1 + β (1 + zC )

• Bước 4: Tính KC thỏa mãn điều kiện biên độ:

GC ( z )GH ( z ) z = z* = 1

64

Thí dụ thiết kế bộ điều khiển trể pha rời rạc dùng QĐNS

• TK bộ điều khiển trể pha GC(z) sao cho hệ thống sau khi hiệu

chỉnh có hệ số vận tốc KV* = 100

65


• Phương trình đặc trưng trước khi hiệu chỉnh:

Giải:

=>

66


=> PTĐT trước khi hiệu chỉnh

z1, 2 = 0.699 ± j 0.547

=> Cực của hệ thống trước khi hiệu chỉnh

KV

67


• Bước 1: Xác định β

KV* = 100• Hệ số vận tốc mong muốn:

9.9

100=KV

*β =Do đó:

• Hệ số vận tốc trước khi hiệu chỉnh:

=> KV = 9.9=>

β = 0,099=>

68


• Bước 2: Chọn zero của khâu trể pha rất gần +1

• Bước 3: Tính cực của khâu trể pha

=>z − 0,99

s − 0,999GC ( z) = KC

Chọn: − zC = 0.99 => zC ≈ −0 . 99

=> pC = −0.999pC = −1 + β (1 + zC ) = −1 + 0.099(1 − 0.99)

• Bước 4: Xác định hệ số khuếch đại

=>

=>

69


• QĐNS trước và sau khi hiệu chỉnh

70

Thí dụ thiết kế bộ điều khiển PID dùng PP giải tích

• Thiết kế khâu hiệu chỉnh GC(z) sao cho hệ thống kín có cặp cực

phức với ξ=0.707, ωn=2 rad/sec và sai số xác lập đối với tín

hiệu vào là hàm nấc đơn vị bằng 0.

=>

71


• Khâu hiệu chỉnh cần thiết kế là khâu PI (vì yêu cầu sai số xác

lập bằng 0)

• Phương trình đặc trưng của hệ thống sau khi hiệu chỉnh là:

1 + GC ( z )GH ( z ) = 0trong đó:

72


• Do đó phương trình đặc trưng của hệ thống là:

(do T=2)

73


z1*, 2 = re ± jϕ

=>


trong đó:

=>

• Phương trình đặc trưng mong muốn:

( z + 0.056 + j 0.018)( z + 0.056 − j 0.018) = 0

z 2 + 0.112 z + 0.0035 = 0=>

74


• Cân bằng các hệ số phương trình đặc trưng của hệ thống và

phương trình đặc trưng mong muốn, ta được:

• Kết luận:

=>

∏ ( z − pi ) = 0

75

PP phân bố cực thiết kế bộ điều khiển hồi tiếp trạng thái

• Bước 3: Cân bằng các hệ số của hai phương trình đặc trưng (1) và

(2) sẽ tìm được vector hồi tiếp trạng thái K.

det[ zI − Ad + Bd K ] = 0

• Bước 2: Viết phương trình đặc trưng mong muốnn

i =1

pi , (i = 1, n) là các cực mong muốn

(1)

(2)

• Bước 1: Viết phương trình đặc trưng của hệ thống kín

76

PP phân bố cực. Thí dụ 1

Hãy xác định vector hồi tiếp trạng thái K sao cho hệ thống kín có

cặp nghiệm phức với ξ=0.707, ωn=10 rad/sec

• Cho hệ thống điều khiển

77


• Phương trình đặc trưng của hệ thống kín

78


z1*, 2 = re ± jϕ


trong đó:

=>

=>


( z − 0.375 − j 0.320)( z − 0.375 + j 0.320) = 0

=> z 2 − 0.75z + 0.243 = 0

79


• Cân bằng các hệ số phương trình đặc trưng của hệ thống và

phương trình đặc trưng mong muốn, ta được:

=>

• Kết luận: K = [3.12 1.047]

80


• Cho hệ thống điều khiển:

1. Viết phương trình trạng thái mô tả hệ hở

2. Hãy xác định vector hồi tiếp trạng thái K = [k1 k2] sao cho hệ

thống kín có cặp nghiệm phức với ξ=0.5, ωn=8 rad/sec.

3. Tính đáp ứng của hệ thống với giá trị K vừa tìm được khi tín

hiệu vào là hàm nấc đơn vị. Tính độ vọt lố, thời gian quá độ.

81


Giải:

1. Viết phương trình trạng thái mô tả hệ hở:

B1: PTTT mô tả hệ liên tục:

=>

82


=>

B2: Ma trận quá độ:

83


B3: PTTT moâ taû heä rôøi raïc hôû:

84


2. Tính độ lợi hồi tiếp trạng thái K:

Phương trình đặc trưng của hệ kín:

85


• Cặp cực quyết định mong muốn:

=>

( z − 0.516 − j0.428)( z − 0.516 + j0.428) = 0


=>

=> z 2 − 1.03z + 0.448 = 0

86


• Cân bằng các hệ số PTTT của hệ kín và PTTT mong muốn:

=>

Vậy

87


3. Tính đáp ứng và chất lượng của hệ thống :

• Phương trình trạng thái mô tả hệ kín:

lÝ thuyẾt ĐiỀu khiỂn tỰ...

Documents