l. giacardi - c.s. roero - c. viola sui contributi di ... · era il primogenito di undici figli e...

Rend. Sem. Mat. Univ. Poi. Torino Voi. 53,.3(1995) Number Theory

L. Giacardi - C.S. Roero - C. Viola

SUI CONTRIBUTI DI LAGRANGE ALLA TEORIA DEI NUMERI

Abstract. This paper examines Lagrange's contributions to the theory of numbers. Apart from a few isolated results, these contributions fall into two main groups: the first on the foundations of the arithmetical theory of continued fractions and of Diophantine approximation, and the second on the foundations of the arithmetical theory of binary quadratic forms. Special attention is devoted here to Lagrange's contributions to the theory of continued fractions and to the applications of this theory to the approximation of algebraic numbers.and to the solution of Diophantine equations, a topic which has not been carefully examined in recent historical studies.

1.

"[Lagrangia] si occupò a lungo di algebra e di aritmetica; e specialmente in quest'ultima lasciò tracce profonde e imperiture. L'aritmetica, o, per meglio dire, la teoria dei numeri ... sui grandi ha esercitato ed esercita un grande fascino per le terribili difficoltà che essa presenta: teoremi, in apparenza semplicissimi, hanno aspettato per secoli la dimostrazione: ed alcuni non sono neanche oggi provati. E gloria del Lagrangia aver conseguito progressi veramente grandiosi."1

Con queste parole Guido Fubini, in occasione delle Celebrazioni Piemontesi, ricordava una delle figure più significative che Torino ha dato alla matematica, rilevandone qui in particolare i notevoli contributi apportati alla teoria dei numeri;

Giuseppe Luigi Lagrange2 nasce a Torino il 25 gennaio 1736 e muore a Parigi il 10 aprile 1813. Era il primogenito di undici figli e dal carteggio con G. C. Fagnano risulta che abitasse nel Quartiere di S. Agnese vicino alla Madonna degli Angioli, e che la sua casa fosse contigua al palazzo dei marchesi Cavour. Dopo aver frequentato la scuola pubblica viene indirizzato dal padre agli studi giuridici e, sotto lo stimolo delle lezioni di fisica

1Fubini 1935, p. 13. "Ter quanto riguarda il suo nome di battesimo, l'atto di nascita, pubblicato in Loria 1913, p. XLII, recita Lagrangia Giuseppe Lodovico. Nella corrispondenza di Lagrange si trovano però anche le versioni Luigi De La Grange Tournier, Lodovicus La Grange, Louis de la Grange e Joseph-Louis Lagrange. Cf. ltard 1973, p. 559 e Borgate e Pepe 1989, p. 193. Per notizie biografiche cf. Del ambre 1867, Loria 1913, ltard 1973, Borgato e Pepe 1989 e 1990, Burzio 1993.

152 L Giacardi, C.S. Roero, C. Viola

di G. Beccaria e del corso di geometria di F. A. Revelli, si appassiona alla matematica. Fin dall'età di sedici anni si accosta all'analisi attraverso la lettura, meditata e critica, delle Instituzioni analitiche di M. G. Agnesi, dell'Introductio in analysin infinitorum di L. Euler e degli scritti di Newton, di Leibniz e dei fratelli Bernoulli. Risale al 1754 il suo primo risultato scientifico relativo all'analogia fra il teorema del binomio di Newton e le differenziazioni successive del prodotto di due funzioni, risultato che egli comunica per lettera a Euler e a Fagnano. Leggendo il carteggio fra Leibniz e Johann Bernoulli si accorge però di essere stato preceduto da Leibniz, ma questa circostanza non lo scoraggia dal proseguire nella sua attività di ricerca. Nel 1755 è nominato "sostituito del Maestro di Matematica" nelle Regie Scuole di Artiglieria e due anni più tardi fonda con G. A. Saluzzo e G. Cigna la Privata Società Scientifica, primo nucleo della futura Reale Accademia delle Scienze di Torino. Con il marchese Caraccioli, ambasciatore del regno di Napoli alla corte sabauda, nel novembre del 1763 Lagrange inizia un viaggio che lo porta a Parigi, dove rimane fino al maggio del 1764. Viene qui accolto caldamente da Jean-Baptiste le Rond d'Alembert, col quale stringe un rapporto di amicizia e di stima, destinato a durare per sempre. Interessante è il giudizio che il matematico francese esprime in una lettera a Madame Geoffrin, pochi mesi dopo averlo conosciuto:

"C'est un homme du plus rare talent dans la Geometrie, fort au dessus de tout ce que l'Italie renferme en ce genre, et à coté pour le moins de tout ce qu'il y a de meilleur dans le reste de l'Europe. ... C'est un Trésor que Turin possedè, sans savoir peut-étre de quel prix il est."3

Già nel 1756 P.-L. M. Maupertuis, presidente dell'Accademia di Berlino, che era entusiasta del lavoro di Lagrange sul principio di minima azione, inviato per la pubblicazione nelle Mémoires di quella stessa Accademia, pregava Euler, allora direttore della Classe di Matemàtica, di scrivere al giovane matematico piemontese chiedendogli se fosse disposto a lasciare l'Italia per una posizione "convenable en Allemagne".4 In quel frangente Lagrange risponde che a Torino si trova bene e che lascerebbe l'Italia solo per "une situation suffìsamment digne de considération et avantageuse ... car il s'agit de quitter le foyer et la patrie où je passe ma vie à l'écart des contraintes et des difficultés de toute sorte".5

Alcuni anni più tardi, venendo a sapere che Euler si era trasferito a S. Pietroburgo, accoglie i ripetuti inviti di d'Alembert e accetta di ricoprire a Berlino il posto di direttore

Lettre de M.r d'Alembert à Mad.me Geoffrin contenant de grands éloges de M.r de Lagrange, envoyée par le Bailli Solar avec sa lettre du 20 Janvier 1764,copia non autografa conservata nella Biblioteca Civica di Torino, ms. Coss. 25, e. Ir, edita in Henry 1886, pp. 130-131. 4Cf. Euler a Maupertuis, Berlino 31.7.1756, Euler Correspondance VI, pp. 215-216; Euler a Lagrange, Berlino 24.4.1756, Euler Correspondance V, pp. 386-387 e anche Maupertuis a Lagrange, Saint-Malo 5.1.1757, Taton 1988, pp. 9-10. 5Lagrange a Euler, Torino 19.5.1756, Euler Correspondance V, pp. 390-391.

Sui contributi di Lagrange alla teoria dei numeri 153

della sezione di matematica dell'Accademia, reso vacante da Euler. Dopo lunghe e faticose trattative per l'espatrio, Lagrange lascia effettivamente Torino il 21 agosto del 1766, arrivando a Berlino nell'ottobre dello stesso anno. I suoi compiti all'Accademia si riducono a supervisionare le attività concernenti la matematica, senza avere peraltro alcun impegno didattico. Egli può così dedicarsi totalmente alla ricerca e alla stesura delle memorie che era tenuto a leggere, almeno una volta al mese, nelle sedute dell'Accademia.6 A Berlino, Lagrange entra in amicizia con J. H. Lambert, all'epoca sovrintendente ai rilevamenti topografici, e con Johann III Bernoulli, astronomo e poi direttore dell'Osservatorio dell'Accademia. Nel 1767 sposa la cugina Vittoria Conti, che morirà precocemente nel 1783, dopo una lunga e dolorosa malattia.

E a partire dal 1781 che si avvertono i primi segni di disagio intellettuale e psicologico di Lagrange, che sfoceranno nella decisione di lasciare Berlino.7 Alla morte di Federico II di Prussia, nell'agosto del 1786, divenuta incerta la situazione dell'Accademia, egli accetta la proposta di trasferirsi a Parigi come "pensionnaire vétéran" dell'Académie des Sciences.

Giunto nella nuova sede nel giugno del 1787, uno dei suoi primi impegni consiste nel seguire la pubblicazione del suo celebre trattato Mécanique analytique, da lui redatto durante il periodo berlinese. l)n secondo matrimonio con la figlia dell'astronomo Le Monnier, suo collega all'Accademia, rasserena l'ultimo decennio della sua vita. Durante la Rivoluzione, pur non prendendo parte attiva alla vita politica e rifuggendo le esasperazioni del Terrore, Lagrange collabora ai lavori della Commissione per la messa a punto del sistema metrico decimale e al programma per la riorganizzazione dell'insegnamento e della ricerca. Nel 1794 egli è nominato, a fianco di P. S. Laplace, professore all'Ecole Normale e dal 1795 al 1799 insegna meccanica e analisi matematica all'Ecole Centrale des Travaux Publics, poi divenuta l'Ecole Polytechnique. Per i suoi corsi Lagrange redige, in questo periodo, i celebri trattati Theo rie des fonctions analytiques (1797), Traile de la résolution des équations numériques de tous les degrés (1798) e Legons sur le calcul des fonctions (1806), nei quali vengono sviluppati ed esposti, in modo sistematico, concetti e metodi contenuti in memorie precedenti.

Il prestigio e la stima acquisiti in campo scientifico gli valgono, negli ultimi anni della sua vita, importanti riconoscimenti ufficiali, quali il titolo di senatore, di grand'ufficiale della Légion d'honneur e di conte dell'Impero.

bCf. Lagrange a d'Alembert, Berlino 28.2.1769, Lagrange Oeuvres XIII, p. 128 e Lagrange a d'Alembert, Berlino 2.6.1769, Lagrange Oeuvres XIII, pp. 131-132. 7Cf. Lagrange a d'Alembert, Berlino 21.9.1781, Lagrange Oeuvres XIII, pp. 368-370.

154 L. Giacardi, C.5. Roero, C. Viola

2.

I contributi di Lagrange alla teoria dei numeri sono concentrati nel decennio 1768-

1777 del periodo berlinese della sua vita. Come giustamente affermano Juskevic e Taton:

"Lagrange aborda ses recherches en partant du point mème où s'était arrèté Euler et

apportant toujours aux résultats obtenus par ce dernier plus de précision et de généralité."8

È lo stesso Lagrange a riconoscere il suo debito nei confronti di Euler, allorché gli

scrive:

"Je suis très charme que mes recherches sur les problemes indeterminés aient pu meri ter votre attention; le suffrage d'un savant de votre rang est extrèmement flatteur pour moi, surtout dans une matiere, dont vous étes le seul juge compétant que je connoisse. 11 me semble qu'il n'y a encore que Fermat et vous qui se soient occupés avec succés de ces sortes de recherches, et si j'ai été assés heureux pour ajouter quelque chose à vos decouvertes je ne le dois qu'à l'étude que j'ai faite de vos excellens ouvrages."9

L'esame degli scritti di teoria dei numeri di questi due eminenti matematici e la

lettura della loro corrispondenza, come pure di quella con altri contemporanei, ci fanno

constatare un'influenza reciproca in quest'ambito. Evidenti sono infatti gli stimoli che le

rispettive pubblicazioni esercitano sulla loro creatività. Lo provano le frequenti citazioni

reciproche nei loro lavori, dai quali si può anche cogliere un sentimento misto di rivalità e

di emulazione. Da essi traspare inoltre il diverso modo di procedere dei due autori: Euler

più rivolto ai casi particolari e alle esemplificazioni, Lagrange più attento alla generalità

dei teoremi e dei risultati.

La diversità di stile fra Euler e Lagrange è evidente, ed è stata rilevata da vari storici.

Juskevic e Taton giudicano che "le style de leurs ouvrages" è "plus détaillé et prolixe chez

Euler, plus généralisé et concis chez Lagrange. ... Deux hommes, deux styles presque

opposés!".10In realtà gli accostamenti "détaillé et prolixe" e "généralisé et concis" sono

false endiadi. Al contrario, lo stile di Euler dovrebbe essere più opportunamente definito

come "détaillé et concis", e quello di Lagrange come "généralisé et prolixe".

Euler procede sempre dal particolare al generale, e dimostra maggior interesse per

l'analisi di un gran numero di esempi, sui quali esercitare la propria creatività, e mediante

i quali aprire nuovi orizzonti e suggerire ulteriori ricerche. In Euler la trattazione dì ogni

esempio è tutt'altro che prolissa, ma al contrario è concisa e ridotta all'essenziale. La sua

esposizione si suddivide in brevi articoli, spesso di poche righe e generalmente indipendenti

l'uno dall'altro, contenenti esempi concreti, problemi o osservazioni particolari che danno

8Juskevic e Taton 1980, p. 35. 9Lagrange a Euler, Berlino 12.2.1770, Euler Correspondance V, p. 471. 10Juskevic e Taton 1980, p. 35.


lo spunto ad ulteriori ricerche, e non pretendono mai di esaurire la materia.

Lo stile e l'atteggiamento intellettuale stesso di Lagrange sono esattamente opposti

a quelli di Euler. Lagrange tende sempre ad una trattazione sistematica, a ricondurre gli

esempi concreti a pochi principi quanto più generali possibile, e successivamente scende

dal generale al particolare. Rifugge da qualunque enunciato non dimostrato rigorosamente.

Per questa sua esigenza di completezza si può considerare al tempo stesso un continuatore

della tradizione trattatistica classica di Euclide, Archimede e Apollonio, e l'iniziatore di un

processo di revisione e sistematizzazione dell'Analisi che sarà poi sviluppato nell'Ottocento

seguendo altre vie. In questo senso la figura di Lagrange spicca per la sua modernità nel

panorama della matematica del Settecento, e specialmente nei confronti di Euler. Da un

punto di vista stilistico, tuttavia, Lagrange paga a questa sua esigenza di sistematizzazione

il prezzo della minuzia con cui espone ogni aspetto degli argomenti trattati nella massima

generalità possibile, cercando di non lasciare nulla di incompleto e di esaurire ogni possibile

conseguenza delle sue teorie.

È fuori dubbio che Lagrange nutrisse stima e rispetto per Euler, anche se talvolta

giudicava antiquato lo stile dei suoi lavori, come scrive a d'Alembert:

"Avez-vous vu le troisième volume de la Mécanique d'Euler? Il y a beaucoup de verbiage, mais il contient d'excellentes choses."11

Il giudizio di Euler nei confronti dello stile di Lagrange rispecchia invece

l'ammirazione per la capacità di sintesi concettuale del torinese,12 anche se talvolta non

manca di rilevare la difficoltà per il lettore di cogliere, nella prolissità della trattazione, i

risultati più importanti:

"C'est dommage que ce beau theoreme soit tellement cache entre vos nombreuses recherches, Monsieur, que peu de monde l'y observeront et en remarqueront toute l'importance."13

3.

Oltre ad alcuni notevoli contributi isolati, cui accenneremo nel seguito, la produzione

di Lagrange nel campo della teoria dei numeri è costituita da due filoni principali:

- Fondamenti della teoria aritmetica delle frazioni continue e dell'approssimazione

diofantea; risoluzione dell'equazione di Fermat-Pell, e più in generale di una

nLagrange a d'Alembert, Torino 1.1.1766, Lagrange Oeuvres XIII, p. 49. 12Euler a Lagrange, Berlino 9.11.1762, Euler Correspondance V, p. 448: "Vous en particulier, Monsieur, vous y aves veritablement prodigué vos profondes decouvertes; tout autre en auroit eu abondamment de quoy fournir à plusieurs Académies et à plusieurs volumes, pendant que vous y aves ramasse en quelques morceaux des sciences entieres et accomplies, dont la moindre particule auroit couté à d'autres les plus penibles recherches." 13Euler a Lagrange, S. Pietroburgo 20.5.1771, Euler Correspondance V, p. 488-489.

156 L. Giacardi, C.S. Roero, C. Viola

qualunque equazione diofantea di secondo grado in due incognite; periodicità dello

sviluppo in frazione continua degli irrazionali quadratici (1768-1773).

- Fondamenti della teoria aritmetica delle forme quadratiche binarie (1773-1775).

E opportuno mettere in rilievo che la distinzione fra questi due filoni è convenzionale

e giustificata più da ragioni cronologiche che concettuali, poiché lo studio della

rappresentabilità degli interi mediante forme quadratiche binarie, che Lagrange conduce

nelle sue celebri Recherches d'arithmétique, è visto dall'autore come naturale sviluppo

dei suoi lavori sulla risolubilità in interi dell'equazione di Fermat-Pell e delle sue

generalizzazioni, o, come diremmo oggi, sulla ricerca di punti interi sulle coniche. Inoltre,

come osservato da André Weil, nel trattamento delle forme quadratiche binarie indefinite

il metodo sviluppato da Lagrange nelle Recherches coinvolge l'uso delle frazioni continue

ed è direttamente ispirato dal suo metodo di risoluzione dell'equazione di Fermat-Pell.14

Nell'ambito della produzione di Lagrange dedicata all'aritmetica, le Recherches sono

senza dubbio il lavoro più studiato sia dai contemporanei di Lagrange che dai posteri, e

quello che ha avuto il maggiore impatto nello sviluppo della teoria dei numeri durante la

prima metà dell'Ottocento, specialmente attraverso le Disquisitiones Arithmeticae di Gauss

e l'opera di Dirichlet sulle funzioni L e sulla formula per il numero di classi di forme

quadratiche di discriminante assegnato. Nella Sezione Quinta delle Disquisitiones Gauss

scrive:

"... Huic disquisitioni superstruetur solutio problematis famosi, invenire omnes solutiones aequationis cuiuscunque indeterminatae secundi gradus duas incognitas implicantis, sive hae incognitae valores integros sive fationales tantum nancisci debeant. Problema hoc quidem iam ab ili. La Grange in omni generalitate est solutum, multaque insuper ad naturam formarum pertinentia tum ab hoc ipso magno geometra tum ab ili. Eulero partim primum inventa, partim, a Fermatio ohm inventa, demonstrationibus munita."15

Fermat ed Euler avevano già studiato il problema della rappresentabilità di opportuni

interi mediante forme quadratiche binarie di tipo particolare ma, com'è ben noto, Lagrange

è il primo a considerare nella loro totalità le forme f(x, y) = ax2 -f bxy + cy2 con

coefficienti a, 6, e interi qualsiasi e discriminante D = b2 —Aac non quadrato, e a ricondurre

il problema della rappresentabilità di un intero m mediante / (cioè della risolubilità in interi

x,y dell'equazione f{x,y) — m) ad un'opportuna nozione di equivalenza fra forme.16

Lagrange osserva che due forme quadratiche f{x,y)i e F(X,Y) rappresentano gli stessi

i4Cf. Weil 1983, p. 322 e Appendix III, pp. 350-359. 15Gauss Werke I, art. 153, p. 120. 16Per ragioni di chiarezza e di concisione utilizziamo, qui e nel seguito, notazioni e terminologie moderne, senza però falsare il pensiero dell'autore.


interi, se F è ottenibile da / mediante una trasformazione lineare delle variabili del tipo

x = aX + (3Y

y^-yX + SY

con a, /5,7,6 interi tali che aó - £7 = ± 1 , cioè se F(X, Y) = f(aX + (3Y, 7X + ó.y),

poiché l'inversa della precedente trasformazione ha anch'essa coefficienti interi. È ben

chiaro a Lagrange che la possibilità di ottenere due forme / e F l'una dall'altra mediante una

trasformazione lineare del tipo precedente è una relazione d'equivalenza, anche se il termine

forme equivalenti sarà introdotto da Gauss. Lagrange dimostra che due forme equivalenti

hanno lo stesso discriminante D e si pone il problema inverso, cioè quello di descrivere

le classi d'equivalenza di forme aventi un discriminante D assegnato. L'idea cruciale di

Lagrange consiste nel dimostrare che ogni forma ax2 4- bxy 4- cy2 può essere trasformata

in una forma equivalente AX2 -f BXY + CY2 ridotta, cioè tale che \B\ < min{|A|, \C\}.

Questo procedimento di riduzione gli consente da un lato di dimostrare che ogni classe

d'equivalenza contiene almeno una forma ridotta e di ottenere esplicitamente tutte le forme

ridotte equivalenti ad una forma assegnata, e dall'altro di elencare tutte le forme ridotte,

necessariamente in numero finito, aventi un discriminante D assegnato. La trattazione

di Lagrange si suddivide in due parti secondo che le forme considerate siano definite o

indefinite, cioè tali che D < 0 oppure D > 0, rispettivamente.

Qui non ci dilunghiamo ulteriormente nell'analisi delle Recherches d'arithmétique

poiché questo lavoro è stato oggetto di profondi studi; rinviamo piuttosto il lettore alla

magistrale discussione di Weil sulle Recherches e sulle sue interazioni con gli studi

precedenti (Fermai, Euler) e seguenti (Legendre, Gauss) riguardanti la teoria aritmetica

delle forme quadratiche binarie.17

Riteniamo invece opportuno descrivere più in dettaglio i contributi innovativi di

Lagrange alla teoria delle frazioni continue e alle applicazioni di questa all'approssimazione

di numeri algebrici e alla risoluzione di equazioni diofantee, poiché non ci sembra che tali

contributi, suddivisi in più lavori e trattati da Lagrange a varie riprese, siano stati di recente

analizzati a fondo nel loro complesso. E significativo, ad esempio, che Weil scriva:

"We refrain from describing Lagrange's contribution to the theory of continued fractions as such, and his application of that theory to the numerical solution of algebraic equations and to indeterminate equations of degree > 2, as these belong to so-called "diophantine approximation" rather than to number theory proper."18

Ci permettiamo di osservare che la distinzione fatta da Weil fra l'approssimazione

diofantea e la teoria dei numeri propriamente detta non ha alcuna base né concettuale

17Cf. Weil 1983, pp. 318-322 ed anche Dickson 1966, III, pp. 5-9. 18Weil 1983, p. 316.

158 L Giacardi, C.S, Roero, C. Viola

né storica. Lo dimostrano la stessa produzione aritmetica di Lagrange, e più ancora le

fondamentali applicazioni dell'approssimazione diofantea dei numeri algebrici alla teoria

delle equazioni diofan tee, ottenute nel Novecento da autori come Thue, Siegel, Roth, Baker,

Schmidt e molti altri. La distinzione di Weil è forse dovuta ad un'involontaria propensione,

frequente nel giudizio di alcuni matematici dalla forte personalità creativa, ad identificare la

teoria dei numeri propriamente detta (o qualunque altro ramo della matematica) con quelle

parti della teoria dei numeri (o di quel ramo della matematica) che essi considerano più

interessanti di altre.

4.'

La teoria aritmetica delle frazioni continue con le sue applicazioni occupa Lagrange

per circa sei anni. Le memorie in cui questa teoria viene sviluppata sono le seguenti:19

. 1. Solution d'un problème d'arithmétique, inviata a Torino il 20 settembre 1768 e

pubblicata nel 1773 sulle Mélanges de Turin - Lagrange Oeuvres I, pp. 671-731

2. Sur la solution des problèmes indéterminés du second degré, letta all'Accademia di

Berlino il 24 novembre 1768 e pubblicata sulle Mémoires di quell'Accademia nel

1769 - Lagrange Oeuvres II, pp. 377-535

3. Sur la résolution des équations numériques, letta all'Accademia di Berlino il 20

aprile 1769 ed edita sulle Mémoires di quello stesso anno - Lagrange Oeuvres II,

pp. 539-578

4. Additions au mémoire sur la résolution des équations numériques, letta

all'Accademia di Berlino il 25 agosto 1769 e i'8 marzo 1770 e pubblicata sulle

Mémoires di quell'Accademia nel 1770 - Lagrange Oeuvres II, pp. 581-652

5. Nouvelle méthode pour résoudre les problèmes indéterminés en nombres entiers,

letta all'Accademia di Berlino il 21 giugno 1770 ed edita sulle Mémoires di

quell'Accademia nel 1770 - Lagrange Oeuvres II, pp. 655-726

6. Additions à Vanalyse indéterminée del volume II degli Elémens d'Algebre di Euler,

editi a Lione nel 1773,20pp. 369-664 - Lagrange Oeuvres VII,21 pp. 5-180.

19Poiché ci riferiremo nel seguito alla paginazione degli scritti di Lagrange contenuta nelle Oeuvres, è solo questa che qui riportiamo. I dati completi si possono leggere nella Bibliografia primaria. 20Lagrange, dopo aver letto l'opera di Euler Vollstàndige Anleitung zur Algebra, pubblicata a S. Pietroburgo nel 1770, decide di procurare al pubblico un'edizione francese, che sarà curata da Johann III Bernoulli. Cf. Lagrange a Euler, Berlino 30.12.1770, Euler Correspondance V, p. 483, L'edizione francese uscirà presso l'editore Bruyset di Lione nel 1773, anche se il frontespizio reca la data 1774. Cf. la lettera di Lagrange a Euler, Berlino, 13.7.1773, Euler Correspondance V, p. 494, con la quale egli accompagnava l'invio di due esemplari dell'opera. 21Nelle Oeuvres di Lagrange è stata riprodotta la seconda edizione francese, apparsa a Lione nel 1798, che contiene, rispetto alla precedente, alcune modifiche nell'Avertissement {MIA, pp. 375-377;


A queste va aggiunto il Traité de la résolution des équations numériques de tous les

degrés (pubblicato a Parigi nel 1798 e nuovamente nel 1808 - Oeuvres Vili, pp. 13-367),

che è però una mera riedizione delle memorie 3 e 4 senza sostanziali modifiche, aumentata

da note esplicative di carattere algebrico.

Nelle Additions à Vanalyse indéterminée di Euler, Lagrange osserva che la teoria

delle frazioni continue è poco conosciuta e merita maggiore diffusione.22 Perciò -

contrariamente a quanto fatto dai suoi predecessori in questo campo: Brouncker, Huygens,

Euler - egli ne sviluppa attraverso gli anni una trattazione sistematica, che avrà la sua sintesi

definitiva nelle stesse Additions à Vanalyse indéterminée. La sistematicità nella trattazione

della teoria delle frazioni continue non è il solo carattere distintivo della produzione di

Lagrange in questo campo rispetto all'opera dei suoi predecessori23 e soprattutto di Euler.24

Mentre Euler ottiene una moltitudine di risultati sulle frazioni continue, spesso slegati fra

loro e senza un'evidente strategia verso le applicazioni, l'interesse di Lagrange è rivolto fin

dall'inizio alle applicazioni di questa teoria ai problemi diofantei: risoluzione di equazioni

diofantee di secondo grado in due incognite, ma anche approssimazione a numeri algebrici

di grado qualsiasi. Il fatto che Lagrange si interèssi alle frazioni continue nel contesto

dell'approssimazione diofantea è messo in luce nel primo articolo delle Additions à Vanalyse

indéterminée, dove egli scrive:

"On appelle, en general, fraction continue toute expression de cette forme

b a + 7.

où les quantités a, (5,7,6,... et b, e, d,... sont des nombres entiers positifs OLI négatifs; mais nous ne considérerons ici que les fractions continues où les numérateurs ò, e, d,... sont égaux à l'unite ... car celles-ci sont, à proprement parler, les seules qui soient d'un grand usage dans l'Analyse, les autres n'étant presque que de pure curiosité."25

Qui l'"usage dans l'Analyse" è appunto l'applicazione ai problemi diofantei, com'è

ampiamente chiarito dal seguito delle Additions à Vanalyse indéterminée. Questo punto di

vista sarà poi ripreso e condiviso da Legendre nel suo Essai sur la théorie des nombres.

L'interesse per le frazioni continue come strumento nell'approssimazione diofantea e,

1798, pp. 375-377), nel Paragraphe II (1774, pp. 445-462; 1798, pp. 445-463), nel Paragraphe IV (1774, pp. 527, 531-533; 1798, pp. 528, 532-537), nel Paragraphe V (1774, p. 555; 1798, pp. 559-560) e nel Paragraphe VII (1774, pp. 607- 608; 1798, p. 612). 22Cf. Lagrange Oeuvres VII, pp. 6-7. 23Cf. Gunther 1874, Favaro 1874 e Brezinski 1991, pp. 51-97. 24Cf. Cajori 1908, pp. 155-160 e Brezinski 1991, pp. 97-109. Per l'elenco dei lavori di Euler sulle frazioni continue cf. Enestròm 1916, pp. 289-290. 25Lagrange Oeuvres VII, p. 8.


attraverso questa, per la risoluzione di opportune equazioni diofantee fa di Lagrange un innovatore e, per alcuni aspetti, un precursore dell'opera di teorici dei numeri del Novecento, e soprattutto di Axel Thue.

Il primo lavoro in cui Lagrange utilizza la teoria delle frazioni continue è la memoria Solution d'un problème d'arithmétique, spedita da Berlino all'Accademia di Torino il 20 settembre 1768, ma pubblicata nelle Mélanges de Turin ben cinque anni più tardi. Il fatto che Lagrange decidesse di pubblicare un lavoro così importante e impegnativo a Torino, anziché a Berlino dove si trovava all'epoca, affrontando per giunta un ritardo inusuale nella pubblicazione, indica che il lavoro doveva essere stato almeno parzialmente concepito nell'ultimo periodo della sua permanenza a Torino.26 È quindi assai probabile, anche se non dimostrato, che risalgano al periodo torinese i suoi primi interessi per questioni di aritmetica, e più specificamente per le frazioni continue e le applicazioni di questa teoria alla risoluzione delle equazioni diofantee di secondo grado ih due incognite. Lagrange applica le proprietà fondamentali delle frazioni continue alla risoluzione dell'equazione diofantea x2 — ay2 = 1, dove a è un intero positivo non quadrato. Quest'equazione è comunemente chiamata equazione di Peli sulla base di un'errata attribuzione dovuta ad Euler, ma fu considerata esplicitamente per la prima volta da Fermat.27 In Solution d'un problème d'arithmétique Lagrange è il primo a fornire una dimostrazione rigorosa della risolubilità in interi x,y, con (x,y) ^ (±1,0), dell'equazione di Fermat-Pell e una descrizione delle soluzioni basata sullo sviluppo di y/a in frazione continua. Nell'ultimo paragrafo, inoltre, egli affronta il problema della ricerca delle soluzioni intere o razionali di un'equazione generale di secondo grado in due incognite a coefficienti interi. Qui la sua discussione è tuttavia parziale, ed egli ritornerà più volte su questo problema in lavori successivi. Complessivamente l'esposizione di Lagrange in questa memoria è laboriosa e contorta, ed egli stesso la criticherà in seguito più volte. Nelle Additions à l'analyse indéterminée di Euler, ad esempio, così scrive:

"Je crois donc ètre le premier qui en ait donne une tout à fait rigoureuse; elle se trouve dans les Mélanges de Turin, tome IV; mais elle est très-longue et très-indirecte; celle du n° 37 ci-dessus est tirée des vrais principes de la chose, et ne laisse, ce me semble, rien à désirer."28

Poco più tardi, gli stessi argomenti sono ripresi in modo sistematico e generalizzati nella lunga memoria intitolata Sur la solution des problèmes indéterminés du second degré. Qui Lagrange, con opportune sostituzioni, riconduce la ricerca dei punti razionali su una conica avente un'equazione a coefficienti interi al caso dell'equazione A 4- Bt2 = u2, con

26Cf. Delambre 1867, pp. XVI, XX-XXI e Burzio 1993, p. 64. 27Sulla storia di quest'equazione cf. Cajori 1908, pp. 156-166; Dickson 1966, II, pp. 341-400 e Weil 1983, pp. 14, 17,92-101,314-315. 28Lagrange Oeuvres VII, pp. 158-159.


A e B interi. Successivamente fornisce metodi di risoluzione di quest'equazione, prima

in razionali e poi in interi. Nel caso B > 0 non quadrato, 0 < \A\ < \^B, Lagrange

svolge una trattazione dell'equazione A = v? - Bt2, che egli stesso nell'introduzione

alla memoria Nouvelle méthode pour résoudre les problèmes indéterminés en nombres

entiers giudicherà lunga ed involuta (v. sotto), con la quale fornisce un metodo atto a

determinare tutte le eventuali soluzioni (u,t), con u e t interi positivi, dell'equazione u

stessa. Nella sostanza il "metodo di Lagrange mostra che — è un convergente nello sviluppo — h . •

di \/B in frazione continua, anche se qui questa proprietà non è formulata esplicitamente

dall'autore. Egli ritornerà su questo argomento nel secondo paragrafo delle Additions à

l'analyse indéterminée di Euler, dove la proprietà in questione è enunciata chiaramente e

dimostrata in modo sintetico.29

Nella memoria Sur la solution des problèmes indéterminés du second degré,

Lagrange inoltre riassume la discussione precedente nel caso particolare dell'equazione

u2 — Bt2 = ± 1 , al termine della quale scrive:

"J'avais déjà donne ailleurs (voyez le tome IV des Recueils de VAcadémie de Turili) une démonstration de cette proposition, que toute équation de la forme 1 = p2 — Bq2, B étant positif non carré, est toujours résoluble en nombres entiers d'une infinite de manières, et j'y avais aussi joint une méthode generale pour trouver en mème temps toutes les solutions dont une telle équation peut étre susceptible. Celle que je viens de donner est non-seulement plus directe et plus simple, mais elle a encore l'avantage de faire voir que l'équation dont il s'agit est toujours résoluble quel que soit B, ce que je n'avais pu démontrer alors que par un assez long circuit.

Lagrange, che conosceva i lavori pubblicati in precedenza sull'argomento, riteneva

però "que ce que Fon avait sur cette matière, par les recherches de Diophante, de Fermat,

de Wallis, d'Euler et d'autres, était encore très-peu de chose."31 In questa memoria egli

citava espressamente i contributi di Euler e ne rilevava i punti deboli:

"Personne que je sache ne s'est occupé de ce Problème, si Fon en excepte M. Euler qui en a fait l'objet de deux excellents Mémoires qui se trouvent parmi ceux de FAcadémie de Pétersbourg (t. VI des anciens Commentaires et t. IX des nouveaux); mais il s'en faut encore beaucoup que la matière soit épuisée. Car: 1° M. Euler n'a considerò, dans l'équation A + Bt2 = u2, que le cas où B est un nombre positif, et où t et u doivent étre des nombres entiers; 2° dans ce cas méme, M. Euler suppose qu'on connaisse déjà une solution de l'équation et il donne le moyen d'en déduire une infinite d'autres."32

29Cf. Lagrange Oeuvres VII, n° 38, pp. 75-77. 30Lagrange Oeuvres II, p. 496. 31Lagrange a d'Alembert, Berlino 28.2.1769, Lagrange Oeuvres XIII, p. 128. 32Lagrange Oeuvres II, p. 378. Cf. anche la lettera di Lagrange a d'Alembert, Berlino 6.12.1768, Lagrange Oeuvres XIII, p. 125: "J'ai trouvé des méthodes directes et générales pour résoudre ces sortes d'équations, soit que les inconnues puissent étre des nombres rationnels quelconques, soit


La memoria Sur la résolution des équations numériques è dedicata principalmente

allo studio dell'approssimazione numerica delle radici di un'equazione algebrica

P(x) = c0xm + cixm~l + . . . + cm = 0

di grado, m qualsiasi a coefficienti reali, che Lagrange fonda sulla teoria delle frazioni

continue. Nel terzo paragrafo, intitolato Nouvelle méthode pour approcher des racines des

équations numériques, Lagrange suppone di poter determinare, per esempio attraverso lo

studio dei cambiamenti di segno di P(x), che fra due interi consecutivi ao e «o + 1 cada

almeno una radice dell'equazione assegnata P(x) = 0. Con la sostituzione x = oo H

Xi

ottiene una nuova equazione Pi (ai) = x™P l CLQ -\ ] = 0 , anch'essa di grado m, che

dovrà avere almeno una radice x\ > 1. Se si localizza x\ fra due interi consecutivi - 1

&i e a\ 4- 1, cioè se a\ = \xi], ponendo X\ = a\ + — si ottiene l'equazione X2

-^2(^2) = x™Pi [ «1 H 1 = 0 che avrà una radice X2 > 1. Se ai = [.T2], si porrà \ x2J

1 X2 = (12 H , e così via. Lagrange chiama transformées le successive equazioni Pi = 0,

£3 "

P2 = 0 , . . . così ottenute;33 esse svolgono un ruolo cruciale nella trattazione successiva

e specialmente nello studio dell'approssimazione ad un irrazionale quadratico, sviluppato

in dettaglio nelle Additions au mémoire sur la résolution des équations numériques, che

descriveremo in seguito. Col procedimento precedente si ottiene lo sviluppo in frazione

continua semplice34

1 x = oo H r

della radice x dell'equazione iniziale P(x) = 0, in cui i quozienti completi coincidono

evidentemente con le radici xi,.X2,... delle successive equazioni trasformate. Si noti che

se il polinomio P ha due radici distinte x e £ tali che 00 = [x] = '[£], esse daranno luogo

alla stessa prima equazione trasformata Pi = 0, che avrà quindi due radici distinte x\ > 1

e £1 > 1 tali che x = ao H e £ = ao + —, da cui Ixi - Cll — ^ ì ^ i k — CI > \x ~ CI-xi £1

Se x\ e £1 hanno la stessa parte intera a\, esse forniscono la stessa seconda equazione trasformata, che avrà due radici x2 > 1 e £2 > 1 tali che \x2 — C2I > \x\ — £i| > \x — £|. È chiaro che dopo un numero finito n di iterazioni le radici x e £ devono dare luogo a

qu'elles doivent ètre des nombres entiers; mes méthodes donnent toutes les solutions possibles dans l'un et l'autre cas, de sorte que je crois avoir entièrement épuisé cette matière, sur laquelle M. Euler parati s'ètre vainement exercé." 33Lagrange Oeuvres III, p. 562. 34Per frazione continua semplice, termine non usato da Lagrange, intendiamo lo sviluppo indicato in cui i quozienti parziali ao,0*1,0,2,... sono interi, con ai, 0,2,.. ;. strettamente positivi.


quozienti completi xn e £n tali che [xn] ^ [fn] e perciò a equazioni trasformate d'ordine n

distinte, poiché altrimenti , u ( avrebbero lo stesso sviluppo in frazione continua e quindi

coinciderebbero. Dunque ogni radice reale dell'equazione P(x) = 0 fornisce un'equazione

trasformata d'un ordine n abbastanza elevato avente un'unica radice > 1 (prescindendo

dalla molteplicità).

Lagrange prosegue esponendo sistematicamente le proprietà fondamentali dei

convergenti

Pn — = a0 + Qn ai +

a2 +

nello sviluppo

1

0>n-l

X = do + ai +

a2 + ... di un numero x razionale o irrazionale. Fra le proprietà dimostrate da Lagrange vi sono le

formule ricorrenti

Pn+i = anpn + Pn-u Qn+i = anqn + qn-X

con le condizioni iniziali

' 'PQ = 1, 9 O = 0

Pi'=ao> 9i = l.

la relazione png n - l Pn-iQn = (—l)n» e la diseguaglianza diofantea fondamentale

x — Pr 1

< -5- che qui sembra essere enunciata per la prima volta nella letteratura Tu

matematica in modo chiaro ed esplicito.35 Lagrange osserva inoltre che da tale

diseguaglianza si ottiene facilmente

Pn P x -

Qn <. X -

Q

p I per ogni razionale - tale che q < qn, proprietà questa già indicata da Euler.36

Q convergenti sono chiamati da Lagrange fractions principales per distinguerli dalle fractions

35Lagrange Oeuvres II, p. 566: "... d'où l'on voit que l'erreur de chaque fraction sera toujours moindre que l'unite divisée par le carré du dénominateur de la méme fraction." 36Cf. Euler, Introducilo in Analysin infinitorum, t. I, Euler Opera I 81, n° 382, pp. 388-389.

164 L. Glùcardi, C.S. Roero, C. Viola

secondaires37

rnPn+Pn-V (rn = 1,2, . . . , a n - 1 )

rnQn + Qn-l

che si possono costruire in corrispondenza degli indici n per i quali an > 2, e delle quali

egli farà uso nella memoria Nouvelle méthode pour résoudre les problèmes indéterminés

en nombres entiers.

Alla risoluzione dell'equazione di Fermat-Pell e delle sue generalizzazioni si collega

in modo naturale lo studio dello sviluppo in frazione continua di un irrazionale quadratico.

Su questo argomento verte uno dei risultati più importanti nella produzione aritmetica di

Lagrange, e cioè il celebre teorema che afferma che lo sviluppo in frazione continua di un

numero irrazionale è periodico se e solo se il numero è un irrazionale quadratico. Questo

teorema è enunciato e dimostrato per la prima volta in tutta la sua generalità nelle ampie

Additions au mémoire sur la résolution des équations mimériques. Al n° 43 di questo

importante lavoro, Lagrange osserva opportunamente:

"On avait remarqué depuis longtemps que toute fraction continue périodique pouvait toujours se ramener à une équation du second degré, mais personne que je sache n'avait encore démontré l'inverse de cette proposition; savoir, que toute racine d'une équation du second degré se réduit toujours nécessairement en une fraction continue périodique. 11 est vrai que M. Euler, dans un excellent Mémoire imprimé au tome XI des Nouveaux Commentaires de Pétersbourg, a observé que la racine carrée d'un nombre entier se. réduisait toujours en une fraction continue périodique; mais ce théorème, qui n'est qu'un cas particulier du nòtre, n'a pas été démontré par M. Euler, et ne peut Tetre, ce me semble, que par le moyen des principesse nous avons établis plus haut."38

Ecco un esempio tipico della differenza, accennata sopra, fra il modo di fare

matematica di Euler e quello di Lagrange. Euler studia il problema in un caso particolare

significativo anziché in tutta la sua generalità, trova la proprietà voluta ed enuncia il teorema

senza fornirne una dimostrazione completa, e dunque lasciando ad altri il compito di

dimostrare e di generalizzare il suo risultato. Lagrange, al contrario, dimostra in dettaglio

il teorema nel caso generale, e inoltre fa discendere il suo risultato da una trattazione

sistematica di una teoria concettualmente antecedente, e cioè dai fondamenti della teoria

aritmetica delle frazioni continue.

Anche le Additions au mémoire sur la résolution des équations mimériques sono

dedicate in primis al problema dell'approssimazione numerica delle radici di un'equazione

di grado qualsiasi. Lagrange, riferendosi al lavoro Sur la résolution des équations

numériques di cui le Additions sono il naturale complemento, inizia con le parole:

"J'ai donne dans ce Mémoire une méthode generale pour résoudre les équations

Lagrange Oeuvres 11, p. 567. Lagrange Oeuvres II, p. 6J5.


numériques de tous les degrés, matière sur laquelle on n'avait encore que des tentatives et des essais. Ma méthode ne laisse, ce me semole, rien à désirer ...",39

affermazione quest'ultima che forse non deve essere presa alla lettera, ma piuttosto come

auspicio, e che è comunque rivelatrice della tendenza costante, nell'opera di Lagrange, a

privilegiare una trattazione generale rispetto all'analisi dei casi particolari e a ricavarne in

dettaglio tutte le conseguenze possibili.

Dopo un primo paragrafo di una diecina di pagine intitolato Sur les racines

imaginaires des équatìons, dedicato alla discussione di vari criteri per determinare il numero

di radici reali di un'equazione algebrica a coefficienti reali, le Additions au mémoire sur

la résolution des équations numériques proseguono con il lungo secondo paragrafo, di

ben sessanta pagine, dal titolo Sur la manière d'approcher de la valeur numérique des

racines des équations, che entra nel vivo dell'argomento al quale il lavoro è dedicato.

Anche qui Lagrange basa sulla teoria delle trazioni continue lo studio dell'approssimazione

numerica delle radici reali di un'equazione algebrica a coefficienti reali di grado qualsiasi.

Egli inizia il paragrafo osservando che ogni frazione continua in cui la successione dei

quozienti parziali è periodica, anche se contenente un antiperiodo, rappresenta un irrazionale Pv

quadratico. Espone quindi nuovamente le formule riguardanti i convergenti —'- nello Qn

sviluppo in frazione continua semplice di un numero reale x già enunciate nella memoria

Sur la résolution des équations numériques, aggiungendovi la trasformazione lineare fratta PnXn+Pn-l

X =

Qn%n i Q.n—1

che intercorre fra x e il suo ?2-esimo quoziente completo40

1 Xn — dn T" 1

&n+l ~\ ~~ «n+2 -r • • •

Lagrange considera quindi un qualunque irrazionale quadratico x, soddisfacente

un'equazione Ax2 + Bx + C = 0 dove A, B e C sono interi con B2 — AAC > 0 non

quadrato, e ricava l'equazione trasformata d'ordine n: AnXn + Bnxn + Cn = 0, soddisfatta

dall'n-esimo quoziente completo xn. Lagrange dimostra che B% - 4AnCn = B2 - AAC,

cioè che tutte le equazioni trasformate hanno lo stesso discriminante. Per dedurre da qui

che esistono due indici distinti m e n tali che xm — xn, e quindi che lo sviluppo di x in

frazione continua è periodico, Lagrange fa un'accurata discussione dei segni di An e Cn

basata sul principio che per n abbastanza grande l'equazione trasformata deve avere una

sola radice > 1. Questo, insieme all'osservazione che Cn = An-i, lo porta a concludere

che \An\, \Bn\ e \Cn\ sono maggiorati da quantità indipendenti da n, e quindi che fra Lagrange Oeuvres II, p. 581. Lagrange Oeuvres II, p. 603.


x — q.n

le successive equazioni trasformale almeno una deve essere ripetuta infinite volte.41 È

interessante osservare che la dimostrazione della maggiorazione per |An | , \Bn\ e \Cn\

che Lagrange fornisce si può notevolmente semplificare facendo uso della diseguaglianza Pn 1

< ~2 da lui stesso enunciata in Sur la résolution des équations numériques, e

che invece qui non utilizza nel contesto del teorema.

La memoria Nouvelle méthode pour résoudre les problèmes indéterminés en nombres

entiers riveste particolare interesse sia per i contenuti sia dal punto di vista dell'esposizione

della materia trattata, e rappresenta un momento di maturazione stilistica nell'opera

di Lagrange. Fra vari risultati, l'autore fornisce un controesempio ad una congettura

sulla risolubilità in interi p, q dell'equazione A = p2 — Bq2 dipendente dalla struttura

moltiplicativa di A, congettura formulata da Euler sulla base di osservazioni empiriche.

Secondo il criterio congetturato da Euler l'equazione 101 = p2 — 79q2 dovrebbe essere

risolubile, ma Lagrange dimostra che essa non ha soluzioni.42 Egli annuncia questo risultato

nell'introduzione,43 al termine della quale, riferendosi alla memoria Sur la solution des

problèmes indéterminés du second degré, Lagrange scrive: "J'ai fait voir, dans le Mémoire dont je viens de parler, comment toutes les équations du second degré à deux indéterminées peuvent toujours se réduire à la forme très-simple A = p2 — Bq2; ensuite j'ai donne des méthodes directes et.générales pour trouver toutes les solutions possibles tant en nombres entiers qu'en nombres fractionnaires de ces sortes d'équations. La méthode pour le cas où B est un nombre positif, et où p et q doivent ètre des nombres entiers, laquelle fait l'objet du §111, est à la vérité un peu longue et compliquée, et j'avoue mème qu'elle l'est à un point qui la rencl diffìcile à suivre; mais je crois que cette diffìculté ne doit ètre imputée qu'à la nature de la matière, et au grand nombre de cas auxquels il faut avoir égard quand on veut la trai ter d'une manière aussi directe et aussi rigoureuse que nous l'avons fait. Cependant j'ai trouvé moyen depuis de sirnplifìer beaucoup cette méthode et de l'étendre mème à des équations d'un degré quelconque; c'est ce que je me propose de développer dans ce Mémoire avec le plus d'ordre et de clarté.qu'il me sera possible.

La critica di Lagrange alla prolissità della propria trattazione nella precedente memoria

è certamente condivisibile, e il proposito d'ordine e di chiarezza, che egli manifesta qui,

indica una ricerca indubbiamente nuova di concisione nello stile espositivo. Questo è

confermato dalla frase successiva:

"Cornine la théorie des fractions continues est le fondement de la nouvelle méthode que je vais expliquer, je supposerai ici cette théorie telle que je l'ai donnée dans le Mémoire sur la résolution des équations numériques, et dans les Additions à ce

41Lagrange Oeuvres II, p. 608. 42Lagrange Oeuvres li, pp. 723-725. 43Lagrange Oeuvres II, p. 657. 44Lagrange Oeuvres II, p. 658.


Mémoire, et je me contenterai d'en emprunter tout ce dont j'aurai besoin, en renvoyant pour les démonstrations à ces autres écrits."

Anche il rinvio a lavori precedenti per le dimostrazioni di certi risultati appare qui per la

prima volta.

In questo lavoro Lagrange si occupa principalmente della risoluzione in interi x, y

dell'equazione F{x,y) = a, dove a è un intero e F una forma binaria di grado n qualsiasi

a coefficienti interi. Egli discute le condizioni su a e sui coefficienti di F che consentano

di ridurre l'equazione ad un'altra dello stesso tipo ma con a = 1. Successivamente,

supponendo che i coefficienti di F siano primi fra loro, dimostra che se (x,y) è una x

soluzione dell'equazione F(x,y) = 1 allora — è un convergente principale o secondario45

y ad una radice reale o dell'equazione F(x,l) — 0 o di F'(x,l) = 0. Inoltre Lagrange

x dimostra che se F(x, 1) = 0 ha tutte le radici reali e distinte, allora — è necessariamente un

V convergente principale ad una di tali radici. Lagrange riassume il suo metodo di risoluzione

dell'equazione F(xìy) = 1 nel modo seguente:46 si sviluppino in frazione continua (col

procedimento descritto in Sur la revolution des équations numériques) tutte le radici reali

di F{x, 1) = 0 e di F^(x, 1) = 0, e si cerchino le eventuali soluzioni di F(x,y) = 1 fra i x

convergenti — principali e secondari di quelle radici. y

Lagrange si pone inoltre il problema dell'esistenza o meno di infinite soluzioni dz

dell'equazione F(x,y) = 1, osservando che "... les racines de l'équation — = 0 ne LLJu

peuvent jamais fournir qu'un nombre de solutions limite; tandis que les racines de l'équation

z = 0 peuvent en fournir une infinite."47 Si può ragionevolmente ammettere che Lagrange

supponga qui implicitamente che il grado n di F(x, y) sia > 3, poiché i casi n = 1 e n = 2

sono stati ampiamente discussi in memorie precedenti e saranno ripresi esplicitamente al

termine del lavoro, e inoltre, in accordo con un'osservazione fatta subito dopo,48 che

il polinomio F(xìl) sia irriducibile in Q[a;]. Per un fondamentale risultato di Thue,49

che rappresenta il primo vero progresso ottenuto su questo problema dopo le ricerche di

Lagrange, sappiamo che, sotto le ipotesi n > 3 e F{xì 1) irriducibile in Q[x], l'equazione

F(x, y) = 1 ha in effetti al più un numero finito di soluzioni. La frase di Lagrange: "... les

racines de l'équation z — 0 peuvent en fournir une infinite" può essere interpretata o nel

senso che l'autore congetturasse che l'equazione F(x, y) — 1 abbia al più un numero finito

di soluzioni ma si rendesse conto che il proprio metodo non era sufficiente a dimostrare

45I convergenti secondari sono quelli definiti nella memoria Sur la résolution des équations numériques. 46Lagrange Oeuvres II, p. 680. 47Lagrange Oeuvres II, p. 692. Nella notazione di Lagrange z indica il polinomio F(x, 1). 4SCf. Lagrange Oeuvres II, n° 21, pp. 692-693. 49Thue 1909, Theorem IV, pp. 303-304.

168 L. Gìacardì, C.S. Roero, C. Viola

tale congettura, oppure nel senso che ritenesse che il numero di soluzioni possa in certi

casi essere effettivamente infinito. Noi propendiamo per questa seconda interpretazione,

che sembra essere confermata anche da una successiva osservazione di Legendre:

"En effet, on ne voit rien qui empéche que mème avec de très-grandes valeurs de p et </, la fonction apn + bpn~~1q+ etc. ne se réduise à l'unite ou à un nombre fort petit; de sorte qu'à cet égard il ne paraft pas qu'on puisse assigner de limite."50

Lagrange termina il lavoro discutendo in dettaglio il caso quadratico e fornendo il

controesempio alla congettura di Euler indicato sopra.

Come abbiamo già osservato, le Additìons à l'analyse indéterminée di Euler

rappresentano la sintesi definitiva del pensiero di Lagrange sulla teoria delle frazioni

continue e sulle sue applicazioni all'approssimazione diofantea e alla risoluzione delle

equazioni diofantee di secondo grado in due incognite. Lo scopo principale di Lagrange in

quest'opera non è quello di esporre risultati nuovi, ma piuttosto di dare una sistemazione

coerente ed esauriente ai risultati da lui già ottenuti a partire dal 1768 ed esposti in maniera

piuttosto dispersiva nei vari lavori precedenti. Non è casuale, a nostro parere, che Lagrange

scelga le Additìons à l'analyse indéterminée di Euler come sede ideale per sviluppare la

propria trattazione su questi argomenti. Indubbiamente l'atteggiamento di Lagrange verso

Euler non è esente da elementi di conflittualità. Egli riconosce più volte il proprio debito nei

confronti della creatività di Euler e manifesta ammirazione per l'abbondanza e la profondità

dei risultati di lui, ma talvolta, soprattutto nella sua corrispondenza con d'Alembert, critica

la carenza di sistematizzazione e la dispersione nello stile di Euler.51 Aggiungere quindi,

al termine degli Elémens d'Algebre di Euler, la propria trattazione sulle frazioni continue

e le equazioni algebriche vuol essere al tempo stesso un omaggio ad Euler, ma anche una

contrapposizione implicitamente polemica di stile, di organizzazione espositiva e anche di

contenuti matematici rispetto a quelli presenti nell'opera di Euler.

Anche qui, come già in Nouvelle méthode pour résoudre les problèmes indéterminés

en nombres entiers, Lagrange si preoccupa di esporre la materia trattata senza eccedere in

prolissità. Al termine dell'introduzione egli scrive:

"Tels sont les principaux objets de ces Additìons, auxquelles j'aurais pu donner. beaucoup plus d'étendue, si je n'avais craint de passer de justes bornes. Je souhaite que les matières que j 'y ai traitées puissent mériter l'attention des géomètres, et réveiller leur gout pour une partie de l'Analyse qui me parait très-digne d'exercer leur sagacité."52

e al termine del lavoro ribadisce:

oULegendre 1808, p. 161. 51Cf. sopra § 2. 52Lagrange Oeuvres VII, pp. 7-8.


"Je terminerai ici ces Addìtions, que les bornes que je me suis prescrites'ne me permettent pas d'étendre plus loin; peut-ètre mème les trouvera-t-on déjà trop longues; mais les objets que j'y ai traités étant d'un genre assez nouveau et peu connu, j'ai cru devoir entrer dans plusieurs détails nécessaires pour se mettre bien au fait des méthodes que j'ai exposées, et de leurs différents usages."53

Le Addìtions à Vanalyse indéterminée sono fondate sulla teoria aritmetica delle

frazioni continue. Lagrange intitola il primo dei nove paragrafi in cui le Addìtions sono

suddivise: Sur les froctions continues considérées par rapporta UArithmétique, e lo inizia

con le parole:

"Cornine la Théorie des fractions continues manque dans les livres ordinaires d'Arithmétique et d'Algebre, et que, par cette raison, elle doit étre peu connue des géomètres, nous croyons devoir commencer ces Addìtions par une exposition abrégée de cette Théorie, dont nous aurons souvent lieti de fai re l'application dans la suite."54

Lagrange riprende ed enuncia con maggiore sistematicità le varie formule riguardanti

i quozienti parziali e i convergenti in una frazione continua. Qui, rispetto ai lavori

precedenti, egli si avvicina ulteriormente, sia pure attraverso una svista, al concetto di • • • , A i r A- A A B C D

approssimazione ottimale ad un numero reale. Indicando con ——, — - , — - , — , . . . 1 A\ B\ 61 D\

successivi convergenti nello sviluppo di un numero reale a in frazione continua semplice,

Lagrange scrive: , c . A B C ,

... puisque les tractions — , — , —-,... sont al ternati vement plus petites et plus Ai Bi Gì

grandes que la quantité a, il est clair que la valeur de cette quantité se trouvera toujours entre deux fractions consécutives quelconques; or nous avons vu ci-dessus (n° 12) qu'il est impossible qu'entre deux telles fractions puisse se trouver une autre fraction quelconque qui ait un dénominateur moindre que l'un de ceux de ces deux fractions; d'où l'on peut conclure que chacune des fractions dont il s'agit exprime la quantité a plus exactement que ne pourrait fai re toute autre fraction quelconque, dont le dénominateur serait plus petit que celui de la fraction suivante; c'est-à-dire que la

C fraction — , par exemple, exprimera la valeur de a plus exactement que toute autre Ci

111 fraction —, dans laquelle n serait < Di"

n 55

che

Pn Se indichiamo con — l'n-esimo convergente ad a, l'affermazione di Lagrange e

qn

Pn V a - Qn

< a -Q

53Lagrange Oeuvres VII, p. 179. 54Lagrange Oeuvres VII, p. 8. 55Lagrange Oeuvres VII, pp. 27-28.


• P per ogni razionale - tale che q < qn+i. Ciò è inesatto poiché a, che è compreso fra Pn Pn+1 v .v . . Pn+1 . Pn \ . . P — e , e più vicino a che a —, e può esistere un numero razionale - , con Qn 9 n + l Qn+1 Qn 9 Qn < q < Qn+i, esterno all'intervallo

7) a è minore della distanza di a da —

Pn Pn+1

Qn 9 n + l . dalla parte di n e la cui distanza da

9n+ l

qn

a = ao +

Ad esempio, ponendo

1

3 + 2 + .

con ao intero qualsiasi; ai = 3, a2 = 2; a3,<24,... interi positivi qualsiasi, si ha

Pi = «o, P2 = 3a0 4-1, P3 = 7a0 + 2, . . . 9i = l, g2 = 3, ^3 = 7, . , . ,

P e scegliendo p = 2ao + 1, q = 2 si ottiene un numero razionale - , con ^ < q < q2, tale

che P i

9i da cui

a

ao <

P

q

P3 2 p2 1 p 1

93 7 92 3 ? 2

14 a* QÌ 7 a — 9I 9 93 14 q3 9i

L'errore di Lagrange è certamente dovuto ad una ricerca eccessiva di concisione e di

semplificazione in questo lavoro, poiché nella memoria Nouvelle méthode pour résoudre les

problèmes indétenninés en nombres entiers egli aveva invece discusso Ja stessa proprietà di

approssimazione in modo corretto.56 La diseguaglianza cui Lagrange vuole probabilmente

alludere qui è

P \qna — pn\ < |<2<2 — p\ per ogni - tale che q < qn+i,

che implica in particolare

P per ogni - tale che q < qn.

In altre parole, chiamando - con terminologia moderna - approssimazione ottimale ad a r

un qualunque numero razionale - , con s > 0, tale che Isa — r\ < \qa — p\ per ogni s

scelta degli interi p Q q con 0 < q < s, (p, q) ^ (r,s), la proprietà in questione è che

le approssimazioni ottimali ad a coincidono con i convergenti — nello sviluppo di a in 9rc

Pi frazione continua semplice (ad eccezione di — = ao nel caso in cui ai = 1).

9i D'altra parte, nel secondo paragrafo, Lagrange scrive:

Pn V a - qn

<. a - 9

56 Lagrange Oeuvres II, n° 3, p. 672.


"fi résulte de là une nouvelle propriété des fractions dont nous parlons; c'est que, nommant - une des fractions principales convergentes vers a (pourvu qu'elles soient

déduites d'une fraction continue dont tous les termes soient positifs), la quantité p—aq aura toujours une valeur plus petite, abstraction faite du signe, qu'elle n'aurait, si l'on y mettait à la place de p et q d'autres nombres moindres quelconques."57

P Qui Lagrange osserva che \qna — pn\ < \QO> — P\ per ogni razionale - tale che q < qn, dove q

— è l'?i-esimo convergente ad a, e ciò implica che ogni convergente è un'approssimazione qn ottimale, ma non necessariamente che ogni approssimazione ottimale è un convergente, il

che si ottiene invece da \qna — pn\ < \qa — p\ per q < qn+i. Lagrange inizia il secondo paragrafo con questa premessa:

"Les questions dont nous allons nous occuper, et pour lesquelles nous allons donner des méthodes directes et générales, soni d'un genre entièrement nouveau dans l'Analyse indéterminée. On n'avait point encore applique cette Analyse aux Problèmes de maximis et minimis; nous nous proposons ici de detenniner les minima des fractions rationnelles, entières et homogènes à deux inconnues, lorsque ces inconnues doivent ètre des nombres entiers. Cette recherche nous conduira encore à la Théorie des fractions continues, et servirà à donner à cette Théorie de nouveaux degrés de perfection."58

Quest'ultima frase ci sembra significativa dell'importanza che Lagrange attribuisce alla

teoria delle frazioni continue come strumento fondamentale nell'approssimazione diofantea.

Il secondo paragrafo è dedicato principalmente all'applicazione della teoria delle frazioni

continue alla determinazione del minimo del valore assoluto di una forma binaria di grado

m a coefficienti interi in cui le due variabili si suppongono intere e positive. Rispetto

alla trattazione dell'equazione F(x,y) = 1 svolta nella memoria Nouvelle méthode pour

résoudre les problèmes indéterminés en nombres entiers, qui la discussione è oltremodo

semplificata ed appare lacunosa al n° 28,59 dove Lagrange afferma che il minimo di p

\aoPm +ciipm~1q-\-.. .+amqm\ è raggiunto in un punto (p, q) tale che - sia un convergente

ad una delle radici positive o ad una delle parti reali positive delle radici immaginarie

dell'equazione

a0xm + aixm~l + • • • + am = 0 .

Ad esempio, se supponiamo per semplicità che il polinomio

a0xm + aixm~l + . . . + am = a0(x - ai)... (x - am)

abbia tutte le radici irrazionali e positive, e che il minimo cercato sia raggiunto in (p,q), il

prodotto \p — aiq\...\p — a m g| , come l'autore osserva, deve aumentare (o non diminuire)

57Lagrange Oeuvres VII, pp. 56-57. 58Lagrange Oeuvres VII, p. 45. 59Lagrange Oeuvres VII, pp. 57-59.


se si sostituisce a (p, q) un qualunque punto intero (r, s) tale che 0 < r < p, 0 < s < q,

ma Lagrange non chiarisce perchè debba esistere una singola radice ai (1 < i < m) tale

che \p — a.i,q\ < \r — OLÌS\ per ogni (r, s) con 0 < r < p, 0 < s < q.

La parte finale del secondo paragrafo è dedicata ad una discussione dettagliata del

caso quadratico; qui Lagrange espone ancora una volta i risultati da lui trovati nei lavori

precedenti riguardanti l'equazione di Fermat-Pell e le sue generalizzazioni, e in particolare

discute in modo esauriente e conciso l'equazione A = u2 — Bt2 in interi u, t nel caso

0 < \A\ < y/B:

Nel terzo paragrafo Lagrange applica lo sviluppo in frazione continua di un numero

razionale alla risoluzione dell'equazione lineare ax — by = e, con a, ò, e interi assegnati,

dove le incognite x, y sono intere. Lagrange osserva inoltre che la prima soluzione di

questo problema è dovuta a Bachet, che egli considera generalmente misconosciuto dai -

matematici.

Il quarto paragrafo fornisce le soluzioni intere di un'equazione del tipo P(x, y) = 0,

dove P è un polinomio a coefficienti interi lineare in una delle due variabili.

Nei quattro paragrafi successivi Lagrange discute vari metodi per trovare le soluzioni

intere o razionali di un'equazione di secondo grado in due incognite a coefficienti interi,

con una breve digressione sui sistemi di equazioni simultanee nel sesto paragrafo. In

particolare, nel quinto paragrafo riconduce la ricerca dei punti razionali su una conica alla

risoluzione in interi x,y,z dell'equazione Ax2 + By2 = z2, con A e B interi liberi da

quadrati, utilizzando un metodo di discesa del tipo di Fermat già considerato nella memoria

Sur la solution des problèmes indéterminés du second degré. Nel settimo paragrafo studia

il problema della ricerca di punti interi su una conica riducendone l'equazione a varie

forme canoniche possibili, e discutendo in dettaglio i casi che così si ottengono. Al n° 70

introduce incidentalmente un metodo di riduzione di una forma quadratica binaria60 che

sarà poi sistematicamente ripreso nelle Recherches d'Arithmétique, e che contiene già in

nuce il concetto di equivalenza fra forme quadratiche per una trasformazione lineare delle

variabili a coefficienti interi e determinante ± 1 . 6 1 Discute poi l'equazione x2 — ay2 = b

senza restrizioni sugli interi a e b (con a positivo o negativo), e si dilunga in particolare

sulle equazioni x2-13y2 =• 101 e x2 -79y2 = 101 che erano state l'oggetto di un dibattito

con Euler.62

Nell'ottavo paragrafo Lagrange discute ancora una volta l'equazione di Fermat-Pell

bULagrange Oeuvres VII, pp. 125-127. 61Cf. Weil 1983, p. 317. 62Lagrange Oeuvres VII, pp. 150-157. Cf. anche Euler a Lagrange, S. Pietroburgo 16.1.1770, Euler Correspondance V, pp. 466-471 e Lagrange a Euler, Berlino 12.2.1770, Euler Correspondance V, pp. 471-477.


e nell'ultimo paragrafo applica alcune osservazioni elementari riguardanti prodotti di forme

quadratiche o di grado superiore al problema dell'abbassamento di grado di opportune

equazioni diofantee.

Per concludere, osserviamo che lo sviluppo in frazione continua di certe funzioni sarà

utilizzato da Lagrange nel 1776 in un contesto completamente diverso dall'approssimazione

diofantea, e cioè per l'integrazione approssimata di alcune equazioni differenziali.

Nell'introduzione all'articolo Sur Vusage des fractions continues dans le caleul integrai

egli illustra i vantaggi che il metodo delle frazioni continue presenta nei confronti del

metodo di integrazione per serie:

"... car, par cette méthode, on est assuré de trouver directement la valeur rationnelle et fìnie de la quantité cherchée lorsqu'elle en a une, parce qu'alors l'opération se termine d'elle-mème; et quand l'opération va à l'infini, on a une marque certaine que la quantité cherchée ne peut étre exprimée par une fonction rationnelle et fìnie."63

5.

Fra il 1770 e il 1777 Lagrange si dedica anche allo studio di alcuni problemi isolati

di teoria dei numeri, non inquadrabili nei due filoni precedentemente discussi. Nell'articolo

Démonstration d'un théorème d'arithmétique, Lagrange fornisce la prima dimostrazione del

teorema che afferma che ogni intero positivo si può esprimere come somma di al massimo

quattro quadrati interi. Egli ricorda che fu Bachet de Méziriac il primo ad enunciare questo

teorema e che la questione venne ripresa da Fermar64 e da Euler.65

Lagrange prende le mosse dalla seguente identità

(a2 + b2 + e2 + d2)(p2 + q2 + r 2 + s2) = x2 + y2 + z2 + v2,

63Lagrange Oeuvres IV, p. 301. 64Nel suo commento all'opera di Diofanto, curata da Bachet, Fermat enunciava il teorema in forma più generale (Fermai: Oeuvres I, p. 305: "Imo propositionem pulcherrimam et maxime generalem nos primi deteximus: nempe omnem numerum vel esse triangulum vel ex duobus aut tribus triangulis compositum: esse quadratum vel ex duobus aut tribus aut quatuor quadratis compositum; esse pentagonum vel ex duobus, tribus, quatuor aut quinque pentagonis compositum; et sic deinceps in infìnitum, in hexagonis, heptagonis et polygonis quibuslibet, enuntianda videlicet prò numero angulorum generali et mirabili propositione") e affermava in quell'occasione di non poterne dare la' dimostrazione in quanto basata su "multis variis et abstrusissimis numerorum mysteriis". Nella lettera a Carcavi dell'agosto 1659 Fermat precisava di essere riuscito a dimostrare il teorema con il metodo della discesa infinita: "Tout nombre est quarré ou compose de deux, de trois ou de quatre quarrés. Je l'ai enfin rangée sous ma méthode et je démontre que si un nombre donne n'étoit point de cette nature, il y en auroit un moindre qui ne le seroit pas non plus, puis un troisième moindre que le second, etc. à Fintini; d'où l'on infere que tous les nombres sont de cette nature". (Fermat Oeuvres li, p. 433). 65Cf. Rudio 1915, pp. XXVI-XXVII, nota 4, pp. 358-359 e nota 2, p. 370; Rudio 1917, pp. XXVII-XXVIII; Dickson 1966, II, pp. 276-279 e Weil 1983, pp. 226-229.


dove

x = ap 4- bq 4- cr + ds, y = aq -bp±cs^f dr,

z = ar =f bs — cp ±dq, v = as ± òr q= cg - dp,

trovata da Euler nella memoria Demonstratio theoremàtis Fermatiani allo scopo di

dimostrare che il quoziente di due interi, ciascuno esprimibile come somma di al più quattro

quadrati, è esprimibile come somma di quattro quadrati razionali.66 In virtù dell'identità

di cui sopra, come Lagrange osserva, per dimostrare che ogni intero positivo è somma di

al più quattro quadrati interi è sufficiente dimostrare tale proprietà per i numeri primi. Per

dimostrare ciò, i punti cardine del ragionamento di Lagrange, evidenziati dall'autore stesso

al termine dell'articolo,67 sono le due seguenti proposizioni:

- ogni numero primo p che divide la somma di al più quattro quadrati interi privi di

divisori comuni è uguale alla somma di al più quattro quadrati interi;68

- ogni numero primo p divide un intero esprimibile come somma di al più tre quadrati

interi, uno dei quali uguale ad 1.69

Come Lagrange stesso osserva, la seconda proposizione era già stata dimostrata da Euler,

ma egli ne fornisce qui una dimostrazione diversa.

Euler, che giudicò "nimis longe repetita et vehementer operosa" questa dimostrazione

di Lagrange, ne fornirà una più semplice ed elegante nel 1773.70

Nel lavoro Démonstration d'un théqrème nouveau concemant les nombres premiers

Lagrange fornisce la prima dimostrazione del cosiddetto teorema di Wilson, che afferma

che per ogni numero primo p si ha (p—1)! = —l(mod p). Tale dimostrazione è interessante

anche perchè indipendente dall'esistenza di una radice primitiva di p. All'inizio del suo

articolo l'autore ricorda che, nelle Meditationes algebraicaè, E. Waring enunciava questo

teorema71 e ne attribuiva la prima formulazione a J. Wilson, ma non era in grado di darne

alcuna dimostrazione.72

Lagrange considera qui l'identità • _.

\x + 1)(.T + 2 ) . . . (a + p - 1) = xì3~l + AlXp~2 4 - . . . + Ap-x ,

66Euler Opera I 1, p. 370. Cf. Dickson 1966, II, p. 279. 67Lagrange Oeuvres III, p. 201. 68Lagrange Oeuvres III, p. 198. 69Lagrange Oeuvres III, p. 200.

L. Euler, Novae demonstrationes circa resolutionem numero rum in quadrata, Nova Acta Erudito-rum 1773, pp. 193-211 - Euler Opera I 3, pp. 218-239. Cf. Dickson 1966, II, pp. 281-282 e Weil 1983, pp. 228-229. 7 1 » » , , n n . o ™ « o - • o 1 X 2 X 3 X 4 X . . . X ( f i " 2 ) X ( f i - 1 ) + 1 riWanng 1782, p. 380: k'Sit n numerus pnmus, & ^ — ent

n integer numerus." 72Lagrange Oeuvres III, pp. 425-426.


dove si ha evidentemente Ap_i = ( p - 1)!. Cambiando x in x + 1 e poi moltiplicando per x + 1 egli ottiene

(x + 1)(.T + 2 ) . . . (ar + p) = (a; + l ) p + ^ i ( x + l) '""1 + . . . + Ap-X(x + 1).

D'altra parte, moltiplicando l'identità iniziale per x + p, egli ricava

(a: + l)(x + 2 ) . . . (a; 4-p) = a;̂ + (p + A ^ ' 1 + ( p ^ + A2)xp~2 + ...

+ .(pi4p- 2 + Ap- i)x + pAp_ i.

Sviluppando poi le potenze di x -f 1 ed eguagliando i coefficienti dello stesso grado in x

dei due polinomi sopra trovati, Lagrange deduce che

'ti- M;wr p \ , / p - 1

- I J U P - 2 (p- . l ) i4p_i = l + i 4 i + . . . + v 4 p - 2

p _ ]_ / ' v -̂ o r ' ' " ' ??-3;

Poiché per p primo e 0 < k < p il coefficiente binomiale I ) è multiplo di p, si ha

Ai=A2 = ... = Ap-2 = 0 (mod p),

e quindi (p — l)Ap-i = — (p — 1)! = 1 (mod p), da cui il teorema di Wilson.

Lagrange mostra inoltre che un ragionamento simile al precedente permette di

ottenere anche una nuova dimostrazione del piccolo teorema di Fermai:73 xp~l = 1

(mod p) se x ^ 0 (mod p). Osserva anche che il teorema di Wilson è invertibile, cioè che

se n > 1 non è primo allora (n — 1)! ^ —1 (mod n),74 e ottiene un'ulteriore dimostrazione

del teorema di Wilson assumendo il piccolo teorema di Fermat.75

Euler, che aveva già precedentemente fornito varie dimostrazioni del piccolo teorema

di Fermat,76 dopo aver letto con interesse l'articolo di Lagrange, gli invia per lettera una sua

nuova dimostrazione del teorema di Wilson,77 basata sull'esistenza di una radice primitiva

di un numero primo p.

Gli ultimi contributi che Lagrange dedica alla teoria dei numeri si trovano

nell'articolo Sur quelques problèmes de Vanalyse de Diophante,78 letto all'Accademia di

73Lagrange Oeuvres III, p. 430. 74Lagrange Oeuvres III, p. 432. 75Lagrange Oeuvres III, pp. 433-434. Per una discussione completa dei risultati di Lagrange in questo lavoro, cf. anche Dickson 1966,1, pp. 62-63. 76Cf. Dickson 1966,1, pp. 60-61; Juskeviò e Taton 1980, p. 61 e nota 3, p. 500. 77Euler a Lagrange, S. Pietroburgo 24.9.1773, Euler Correspondance V, pp. 496-499. Tale dimostrazione sarà da Euler pubblicata nel volume 1 dei suoi Opuscula analytica (1783, pp. 329-344). 78Lagrange Oeuvres IV, pp. 377-398.


Berlino nel marzo del 1777, e nella memoria, rimasta manoscritta, Sur une édition de

Diophante, che fu presentata alla medesima Accademia nell'agosto di quello stesso anno.79

In quest'ultima Lagrange fornisce una trascrizione algebrica dell'Arithmetica di Diofanto,

prendendo in considerazione quasi esclusivamente il secondo libro. Egli si propone così

di fare "sentir l'esprit des méthodes employées par Diophante" per permettere al lettore di

"juger de la généralité de ces méthodes et de leur utilité dans d'autres questions."80 Egli

aggiunge inoltre alcune note con lo scopo sia di chiarire le schematiche osservazioni di

Fermat, sia di illustrare i risultati più recenti.

Nell'articolo Sur quelques problèmes de Vanalyse de Diophante Lagrange applica il

metodo della discesa di Fermat alla risoluzione in interi dell'equazione

o 4 4 2

2x —y= z .

Egli definisce questo metodo "un des plus féconds dans toute la théorie des

nombres"81 e ricorda che fu Fermat a scoprirlo e che Euler lo perfezionò dandone

interessanti applicazioni.82

Lagrange prende in considerazione la precedente equazione perchè essa è legata alla

soluzione del seguente problema proposto da Fermat83 e da questo giudicato assai difficile:

trovare un triangolo rettangolo di lati interi la cui ipotenusa sia un quadrato e tale che la

somma dei due cateti sia anch'essa un quadrato.

Indicati con p e q i cateti e con x2 l'ipotenusa, il problema si traduce nel seguente

sistema: p + q = y2

p2 + q2 = X*

che, con semplici passaggi, si riconduce all'equazione precedente.84 Inoltre Lagrange

osserva che i metodi noti non sono in grado di fornire una soluzione generale e completa, e

79Per l'edizione critica di questo manoscritto cf. Rashed 1988. 80Rashed 1988, p. 49. 81Lagrange Oeuvres IV, p. 378. 82Euler Opera I 1, pp. 436-445. 83Fermat enuncia il problema nelle sue osservazioni alla questione XXIV del libro VI dell'opera di Diofanto, cf. Fermat Oeuvres I, p. 336: "Invenire triangulum rectangulum numero, cujus hypotenusa sit quadratus, et pariter summa laterum circa rectum." 84Sottraendo il quadrato della prima equazione del sistema dal doppio della seconda si ottiene p2 + q2 — 2pq = 2xA — yA che, posto p — q = z, si riconduce all'equazione considerata da Lagrange. Dalla sua soluzione dipende quella del problema proposto da Fermat, infatti, trovati x, y, z, i cateti p e q saranno dati da:

y2 + z y2 - z P=^r—, Q=^—•


in particolare di trovare i più piccoli interi positivi p e q che risolvano il problema proposto da Fermat.

Il nocciolo della dimostrazione di Lagrange consiste nel provare che, supposti noti

due interi x e y tali che 2x4 — y4 sia un quadrato, esistono necessariamente altri due interi

f ed 77, più piccoli di x e y rispettivamente, tali che anche 2£4 — rj4 sia un quadrato, e nel

trovare un metodo generale per passare da &, y a f, 77. Partendo dalle soluzioni più piccole,

si potrà allora, risalendo, trovare tutte le altre soluzioni.

Lagrange inoltre mostra che, in generale, si può far dipendere la soluzione di ogni

equazione della forma x4 -f ay4 = z2, dove a è un qualunque numero dato, da quella di

un'equazione della stessa forma x4 + ay4 = z\, in cui x\,y\,z\ siano minori di x,y,z.85

Weil commenta questo risultato di Lagrange con le seguenti parole:

"This is no more, and no Jess, than a carefully done exercise on Fermat's method of infinite descent, but applied for the first time to an equation of genus 1 and of rank > 0."86

Dopo il 1777 Lagrange non si dedica più a ricerche originali di teoria dei numeri,

anche se continua a seguire con interesse i progressi ottenuti in questo campo, in particolare

da Legendre e da Gauss. Lo testimonia la lettera che egli scrive al matematico tedesco il

31 maggio del 1804, in cui afferma:

"Vos Disquisitiones vous ont mis tout de suite au rang des premiers géomètres, et je regarde la dernière section comme contenant la plus belle découverte analytique qui ait été faite depuis longtemps. ... Quant aux théorèmes d'Arithmétique, je ne puis vous en rien dire, si ce n'est qu'ils me paraissent aussi beaux que difficiles à démontrer. J'ai depuis longtemps abandonné ces.sortes de recherches, mais elles ont conserve beaucoup d'attrait pour moi, et je me contente maintenant de jouir sur cette matière, comme sur plusieurs autres, du fruit des veilles d'autori."87

BIBLIOGRAFIA PRIMARIA88

FERMAT P. 1891-1922 Oeuvres de Fermat, a cura di P. Tannery e C. Henry, 4 voli, e supplemento, Paris.

EULERL. 1911-Opera Omnia, s. I, 29 voli., Lipsiae et Berolini.

85Lagrange Oeuvres IV, pp. 394-396. 86Weil 1983, p. 316. 87Lagrange a Gauss, Parigi 31.5.1804, Lagrange Oeuvres XIV, p. 299. 88Nell'elenco degli scritti di Lagrange e di Euler in cui compaiono più date, la data che segue il nome dell'autore indica l'anno nel quale la memoria venne presentata all'Accademia; la data che segue il numero (in cifre romane) del volume rappresenta l'anno o gli anni accademici della rivista, mentre la data in parentesi tonde indica l'anno effettivo di pubblicazione del volume.


Correspondance, 1980, 1986 - voi. V, VI, Birkhàuser, Basel.

EULERL. 1754-55

Demonstratio Theorematis Fermatiani omnem numerum sive integrum sive fraduni esse summam quatuor pauciorumve quadratorum, Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae V, 1754-55 (1760), pp. 13-58 - Opera I 1, pp. 338-372.

EULER L. 1774

Elémens d'Algebre, Lyon.

GAUSS C. F. 1863-1929 Die Werke von C. E Gauss, Gòttingen.

LAGRANGE J. L. 1867-1892 Oeuvres de Lagrange, a cura di J. A. Serret e G. Darboux, 14 voli., Paris.

LAGR ANGE J. L. 1768 Solution d'un problème d'arithmétique, Mélanges de Turin IV, 1766-1769 (1773), 2a pag.,_ pp. 41-97 - Oeuvres I, pp. 671-731.

LAGRANGE J. L. 1768 •.Sur la solution des problèmes indéterminés du second degré, Memoires de l'Académie R. des Sciences et Belles-Lettres de Berlin XXIII, 1767 (1769), pp. 165-310 - Oeuvres II, pp. 377-535.

LAGRANGE J. L. 1769 Sur la résolution des équations numériques, Memoires de l'Académie R. des Sciences et Belles-Lettres de Berlin XXIII 1767 (1769), pp. 311-352 - Oeuvres U, pp. 539-578.

LAGRANGE J. L. 1769, 1770 Addi tions au mémoire sur la résolution des équations numériques imprimé dans le Volume de 1767, Memoires de l'Académie R. des Sciences et Belles-Lettres de Berlin XXIV, 1768 (1770), pp. 111-180 - Oeuvres II, pp. 581-652.

LAGRANGE J. L. 1770 Nouvelle méthode pour résoudre les problèmes indéterminés en nombres entiers, Memoires de l'Académie R. des Sciences et Belles-Lettres de Berlin XXIV, 1768 (1770), pp. 181-250 - Oeuvres 11, pp. 655-726.

LAGRANGE J. L. 1770 Démonstration d'un théorème d'arithmétique, Nouveaux Memoires de l'Académie R. des Sciences et Belles-Lettres de Berlin 1770 (1772), 2a pag., pp. 123-133 - Oeuvres III, pp. 189-201.

LAGRANGE J. L. 1771 Démonstration d'un théorème nouveau concemant les nombres premiers, Nouveaux Memoires de l'Académie R. des Sciences et Belles-Lettres de Berlin 1771 (1773), 2a pag., pp. 125-137 - Oeuvres ìli, pp. 425-438.

LAGRANGE J. L. 1773 Additions à l'analyse indéterminée, in Euler L., Elémens d'Algebre, Lyon voi. II, 1774, pp. 369-664 - Oeuvres VII, pp. 5-180.

LAGRANGE J. L. 1773 Recherches d'arithmétique, Nouveaux Memoires de l'Académie R. des Sciences et Belles-Lettres de Berlin 1773 (1775), 2a pag., pp. 265-312 - Oeuvres III, pp. 695-758.


LAGRANGE J. L. 1775 Suite de recherches d'arithinétique, Nouveaux Mémoires de l'Académie R. des Sciences et Belles-Lettres de Berlin 1775 (1777), 2a pag., pp. 323-356 - Oeuvres III, pp. 759-795.

LAGRANGE J. L. 1776 Sur l'usage des fractions continues dans le calcul integrai, Nouveaux Mémoires de l'Académie R. des Sciences et Belles-Lettres de Berlin 1776 (1779), pp. 236-264 - Oeuvres IV, pp. 301-332.

LAGRANGE J. L. 1777 Sur quelques problèmes de l'analyse de Diophante, Nouveaux Mémoires de l'Académie R. des Sciences et Belles-Lettres de Berlin 1777 (1779), pp. 140-154 - Oeuvres IV, pp. 377-398.

LAGRANGE J. L. 1808 Traiti de la résolution des équations numériques de tous les degrés, Paris 1798, Paris 1808 (2a ediz.) - Oeuvres Vili, pp. 13-367.

LEGENDRE A. M. 1808 Essai sur la théorie des nombres, Paris 1798, Paris 1808 (2a ediz.).

WARINGE. 1782 Meditationes algebraicae, Cantabrigiae 1770, Cantabrigiae 1782 (3a ediz.).

BIBLIOGRAFIA SECONDARIA

BORGATO M. T., PEPE L. 1987 Lagrange a Torino (1750-1759) e le sue lezioni inedite nelle R. Scuole di Artiglieria, Bollettino di Storia delle Scienze Matematiche VII, pp. 3-200.

BORGATO M. T., PEPE L. 1989 Sulle lettere familiari di Giuseppe Luigi Lagrange, Bollettino di Storia delle Scienze Matematiche IX, pp. 193-318.

BORGATO M. T, PEPE L. 1990 Lagrange. Appunti per una biografia scientifica, La Rosa Editrice, Torino.

BREZINSKIC. 1991 History of continued fractions and Padé approximants, Springer, Berlin.

BURZIO F. 1993 Lagrange, Utet, Torino 1941, ediz. con Prefazione di L. Pepe, Utet, Torino 1993.

CAJORI F. 1908 Zahlentheorie, in Cantor 1908, pp. 153-198.

CANTOR M. 1908 Vorlesungen iiber Geschichte der Mathematik, voi. IV, Teubner, Leipzig.

DELAMBRE J. B. 1867 Notice sur la vie et les ouvrages de M. le Comte J. L Lagrange, in Lagrange Oeuvres I, pp. VIII-LI.

DICKSON L. E. 1966 History ofthe theory ofnumbers, 3 voli., Washington 1919, reprint 1966 Chelsea Pubi. Comp., New York.

180 L Giacardi, C.S. Roero, C. Viola

ENESTRÒMG. 1916 Verzeichnis der Schriften Leonhard Eulers, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung, IV, Teubner, Leipzig.

FAVAROA. 1874 Notizie storiche sulle frazioni continue dal secolo decimoterzo al decimosettimo, Bullettino di Bibliografia e di Storia delle Scienze Matematiche e Fisiche (B. Boncompagni) VII, pp. 451-502,533-589.

FUBINI G. 1935 Luigi Lagrangia, Celebrazioni Piemontesi, Parte I 16-28 settembre 1935, Urbino, pp. 1-16.

GALLETTO D. 1991 Lagrange e la Mécanique Analytique, Memorie dell'Istituto Lombardo, Acc. Sci. Lett., CI. Sci. Mat. Nat. XXIX, Memoria 3, pp. 77-179.

GÙNTHER S. 1874 Storia dello sviluppo della teoria delle frazioni continue fino all'Euler, (trad. A. Sparagna) Bullettino di Bibliografia e di Storia delle Scienze Matematiche e Fisiche (B. Boncompagni) VII, pp. 213-254.

HENRY C. 1886 Sur quelques billets inedits de Lagrange, Bullettino di Bibliografia e di Storia delle Scienze Matematiche e Fisiche (B. Boncompagni) XIX, pp. 129-135.

ITARDJ. 1973 Lagrange, Dictionary of Scientific Biography, Scribner's sons, New York> VII, pp. 559-573.

JUSKEVIC A. P, TATON R. 1980 Introduction, in Euler Correspondance, V, Birkhàuser, Basel, pp. 1-63.

LORIA G. 1913 G. L Lagrange nella vita e nelle opere, Annali di Matematica pura e applicata s. 3, t. 20, pp. IX-LII.

RASHEDR. 1988 Lagrange, lecteur de Diophante, in Sciences à l'epoque de la Revolution frangaise. Recherches Historiques, Blanchard, Paris, pp. 39-83.

RUDIOF.1915 Vorwort des Herausgebers, in Euler Opera Omnia I 2, pp. VII-XXXIV.

RUDIOF.1917 Vorwort des Herausgebers, in Euler Opera Omnia I 3, pp. VII-XXXIV.

TATON R. 1975 Lagrange, Giuseppe Luigi in Scienziati e Tecnologi dalle origini al 1875, Mondadori, Milano, II, pp. 232-235.

TATON R. 1988 Sur quelques pièces de la correspondance de Lagrange pour les années 1756-1758, Bollettino di Storia delle Scienze Matematiche Vili, pp. 3-19.

THUE A. 1909 Uber Annàherungswerte algebraischer Zahlen, Journal fiir die reine und angewandte Mathematìk (Creile) 135, pp. 284-305.


VACCA G. 1901 Sui primi anni di Giuseppe Luigi Lagrange, Bullettino di Bibliografia e Storia delle Scienze Matematiche (G. Loria) IV, pp. 1-4.

WEILA. 1983 Number theory. An approach through history from Hammurapi to Legendre, Birkhauser, Boston.

Livia GIACARDI, Clara Silvia ROERO Dipartimento di Matematica Via C. Alberto 10, 10123 Torino, Italy.

Carlo VIOLA Dipartimento di Matematica Via F. Buonarroti 2, 56127 Pisa, Italy.

l. giacardi - c.s. roero - c. viola sui contributi di ... · era il primogenito di undici figli e...

Documents