kvantitativn´ı ˇr´ızen´ı rizik

Kvantitativnı rızenı rizik

9.10.2015

Core syllabus for actuarial training in Europe

- pozadavky na vzdelanı plnych clenu asociacı sdruzenych v

Actuarial Association of Europe (drıve GC)

12. Quantitative Risk Management and Solvency

Aim: To provide a grounding in the quantitative aspects of risk

management

(a) Risk classification

(b) Measuring risk

(c) Diversification

(d) Dynamic financial analysis and internal models

(e) Capital requirements


13. Actuarial Enterprise Risk Management

Aim: To provide the technical skills to apply the principles and

methodologies studied under actuarial technical subjects for the

identification, quantification and management of risks.

vyuka ve spolupraci s Ceskou spolecnostı aktuaru


Topics:

The general operating environment of the enterprise

Assessment of risks; risk types and risk measures

Design and pricing of products and/or services

Determination of assumptions and scenario setting

Reserving and valuation of liabilities

Risk mitigation

Asset Liability Management

Monitoring the experience and exposure to risk

Solvency and profitability of the enterprise and the management of

capital


- matematicke (zejmena pravdepodobnostnı a statisticke) nastroje

pro merenı (kvantifikaci) rizik a jejich uzitı v rızenı rizik (zajistenı

solventnosti, profitability)

- zahrnuje techniky z ruznych disciplın (financnı matematika,

ekonometrie, statistika, teorie rizika, pojistna matematika...)

A.J. McNeil, R. Frey, P. Embrechts: Quantitative Risk

Management: Concepts, Technics and Tools, 2005


- mıry rizika, agregace rizik, alokace kapitalu

- teorie extremu (modelovanı neocekavanych, abnormalnıch jevu,

rozdelenı s tezkymi chvosty)

- mnohorozmerne modely (celkove riziko zavisı na vektorech

rizikovych faktoru)

- modelovanı zavislostı (kopuly, koncova zavislost - zavislost mezi

extremnımi hodnotami)

Klasifikace rizik

Hlavnı typy rizik ve financnıch institucıch:

- trznı riziko (akciove, urokove, menove, komoditnı): riziko zmeny

trznıch cen a jejıho dopadu na zisk (resp. vlastnı kapital)

- kreditnı riziko (riziko selhanı protistrany): riziko vyplyvajıcı z

neschopnosti nebo neochoty protistrany splatit sve zavazky

- operacnı riziko: riziko ztraty v dusledku nedostatecnosti nebo

selhanı vnitrnıch procesu, osob, systemu, externıch udalostı

Klasifikace rizik

- pojistne-technicke riziko (riziko rezerv, riziko pojistneho)

- riziko likvidity: riziko nedostatku moznostı prodat nebo koupit

investici dostatecne rychle za ucelem minimalizace ztraty

- modelove riziko: riziko spojene s uzıvanım nevhodneho modelu

pro merenı rizik

Regulatornı pozadavky

Basel II - dokument Basilejskeho vyboru pro bankovnı dohled

- doporucenı implementovana do legislativy jednotlivych zemı

Solventnost 2 - direktiva EU upravujıcı dohled nad solventnostı

pojist’oven (ma platit od roku 2016)

- sjednocuje postupy s projektem Basel II pro banky

Basel II

1. pilır: vypocet minimalnıch kapitalovych pozadavku (regulatornı

kapital) pro trznı, kreditnı a operacnı riziko

- umoznuje pouzıt standardizovane postupy nebo pokrocilejsı

modely vyvinute bankou (napr. IRB(internal-ratings-based) prıstup

v kreditnım riziku, AMA (advanced measurement approach) v

operacnım riziku)

2. pilır: dohled nad kapitalovou primerenostı, internı systemy rızenı

rizik

3. pilır: trznı disciplina - zverejnovanı informacı dulezitych pro

ucastnıky trhu

Solventnost 2

1. pilır: kvantitativnı pozadavky na pojist’ovnu.

Zakladem je adekvatnı zobrazenı expozice ruznym typum rizika.

2 stupne kapitaloveho pozadavku:

Solvencnı kapitalovy pozadavek (SCR) - muze byt stanoven

pomocı standardnıho nebo internıho modelu. Jeho nesplnenı vyvola

podle zavaznosti opatrenı dohledoveho organu.

Minimalnı kapitalovy pozadavek (MCR). Pokud vlastnı prostredky

nedosahujı vyse MCR, je ohrozeno dalsı fungovanı pojist’ovny,

dojde k odnetı povolenı k pojist’ovacı cinnosti.

Solventnost 2

2. pilır: kvalitativnı pozadavky na vlastnı system rızenı rizik,

pravidla pro cinnost dohledu pri kontrole plnenı kvantitativnıch i

kvalitativnıch pozadavku.

3. pilır: trznı disciplina - otevrenost vuci dozoru i verejnosti,

zverejnovanı informacı dulezitych pro ucastnıky trhu (vcetne

solventnostnı pozice i kvality systemu rızenı rizik).

Ekonomicky kapital

ekonomicky kapital - kapital potrebny k zajistenı schopnosti

splnit v danem casovem horizontu prevzate zavazky s danou

pravdepodobnostı

L - riziko, tj. nahodna velicina predstavujıcı ztratu v uvazovanem

obdobı

ρ(L) - mıra rizika (nezaporne cıslo, zavisı na rozdelenı n.v. L)

ekonomicky kapital:

EC(L) = ρ(L)− E L

Hodnota v riziku

FL(l) - d.f. rozdelenı ztraty za obdobı pevne zvolene delky

hodnota v riziku na hladine α ∈ (0, 1):

VaRα = inf{l ∈ R : P(L > l) ≤ 1− α}

= inf{l ∈ R : FL(l) ≥ α}

Poslednı vyraz na prave strane odpovıda definici kvantilove funkce

prıslusne d.f. FL, lze tedy rıci, ze hodnota v riziku je α-kvantil

rozdelenı ztraty L, tj. VaRα = qα(FL). V praxi se nejcasteji volı

α = 0, 95, α = 0, 99 nebo α = 0, 995.

Zbytkova hodnota v riziku

FL(l) - d.f. rozdelenı ztraty za obdobı pevne zvolene delky,

E(|L|) < ∞zbytkova hodnota v riziku (expected shortfall, tail value at

risk) na hladine spolehlivosti α ∈ (0, 1):

ESα =1

1− α

∫ 1

αqu(FL)du,

kde qu(FL) je kvantilova funkce prıslusna d.f. FL

Zbytkova hodnota v riziku

ESα =1

1− α

∫ 1

αVaRu(L)du

ESα ≥ VaRα

Pokud uvazujeme rozdelenı ztraty L se spojitou d.f. FL, muzeme

psat

ESα =E[L; L ≥ qα(FL)]

1− α= E (L|L ≥ VaRα) ,

kde E[X ;A] = E(X IA).

Koherentnı mıry rizika

1) translacnı invariance:

Pro l ∈ R platı

ρ(L + l) = ρ(L) + l

Prictenı nebo odectenı deterministicke hodnoty vede ke zmene

pozadovaneho kapitalu o stejnou castku.

2) subaditivita:

ρ(L1 + L2) ≤ ρ(L1) + ρ(L2).

Subaditivita vyjadruje predstavu, ze riziko muze byt redukovano

diverzifikacı.

Koherentnı mıry rizika

3) pozitivnı homogenita:

Pro λ > 0 platı

ρ(λ L) = λ ρ(L).

4) monotonie:

Pro L1, L2 takove, ze L1 ≤ L2 s.j., platı ρ(L1) ≤ ρ(L2).

Hodnota v riziku (VaR) je translacne invariantnı, pozitivne

homogennı a monotonnı, obecne nenı subaditivnı.

Zbytkova hodnota v riziku (ES) je koherentnı mıra rizika.

Kapitalovy pozadavek

Uvazujme instituci, ktera je vystavena ruznym rizikum,

predstavovanym nezapornymi nahodnymi velicinami L1, . . . , Ln

(napr. ztraty podle typu rizik, podle odvetvı).

Cılem je stanovit ekonomicky kapital k celkovemu riziku.

”bottom-up” princip: pozadavky pro jednotliva rizika (trıdy rizik)

→ celkovy kapitalovy pozadavek

- nutno zvolit zpusob agregace, ktery odpovıda zavislostnı

strukture dılcıch rizik

Solventnost 2 - standardnı formule

SCR =

√∑i ,j

Corri ,j SCRi SCRj

SCRi - pozadavky stanovene pro rizikove moduly (nezivotnı

pojistne riziko, zivotnı pojistne riziko, zdravotnı pojistne riziko,

trznı riziko, riziko selhanı protistrany)

Corri ,j - koeficienty vyjadrujıcı korelaci mezi jednotlivymi rizikovymi

moduly, predepsany direktivou

SCR pro jednotlive moduly stanoveny na obdobnem principu na

zaklade submodulu

K zakladnımu SCR se pricıta pozadavek stanoveny pro krytı

operacnıho rizika.

Kapitalovy pozadavek

”top-down” princip: modeluje se celkove riziko, k nemu se pomocı

zvolene mıry rizika stanovı ekonomicky kapital

- vysledny kapitalovy pozadavek pak byva rozdelen mezi dılcı

rizika, k tomu je treba technika alokace kapitalu

Prıklad: internı model podle S2

Deterministicka bilance v case t = 0 slouzı jako vychozı baze pro

dalsı modelovanı. Pomocı stochastickeho modelu zisku a ztrat se

projektujı hodnoty aktiv a pasiv v case t = 1. Simulace vychazejı z

predpokladu o novem obchodu i stavajıcım kmeni. Vysledky

simulacı se pouzijı k analyze rozdelenı vlastnıho kapitalu v case

t = 1.

Agregace rizik

Dale budeme uvazovat ekonomicky kapital stanoveny uzitım

hodnoty v riziku VaRα. Necht’ pro celkove riziko L platı

L =n∑

i=1

Li .

Hledame odhad VaRα(L), resp. EC(L) na zaklade techto hodnot

stanovenych pro dılcı rizika Li a dalsıch predpokladu o sdruzenem

rozdelenı velicin (L1, . . . , Ln).

Agregace souctem

VaRα(L) =n∑

i=1

VaRα(Li )

ESα(L) =n∑

i=1

ESα(Li )

EC (L) =n∑

i=1

EC(Li )

Kdy jsou tyto formule korektnı?

Odpoved’: Pokud jsou veliciny L1, . . . , Ln komonotonnı.

Nahodne veliciny L1, . . . , Ln jsou komonotonnı, pokud existuje n.v.

Z a neklesajıcı funkce t1, . . . , tn takove, ze

(L1, . . . , Ln) =d (t1(Z ), . . . , tn(Z )).

Diverzifikacnı efekty

Komonotonie predstavuje nejsilnejsı moznou pozitivnı zavislostnı

strukturu mezi nahodnymi velicinami. Pri pouzitı agregace souctem

aproximujeme sdruzene rozdelenı dılcıch ztrat rozdelenım se

stejnymi marginalnımi distribucemi a komonotonnımi slozkami.

Diverzifikacnı efekty muzeme merit rozdılem

VaRα(L)− VaRα(L)

nebo

ESα(L)− ESα(L)

Pozn. VaR nenı subaditivnı, nemusı tedy nabyvat maximalnı

hodnotu pro soucet komonotonnıch rizik.

Agregace pomocı korelacnı matice

Necht’ rij znacı koeficient linearnı korelace mezi riziky Li a Lj :

rij =Cov(Li , Lj)√σ2(L1)σ2(L2)

, i , j = 1, . . . , n

Odhad ekonomickeho kapitalu pro celkove riziko:

EC(L) =

√√√√ n∑i ,j=1

rij EC(Li ) EC(Lj)

Kdy je tato formule korektnı?


Odpoved’: Pokud veliciny L1, . . . , Ln majı vıcerozmerne normalnı

rozdelenı.

Pokud ma riziko Li rozdelenı N(E Li , σ(Li )

2), platı

VaRα = E Li + σ(Li ) zα,

EC(Li ) = zα σ(Li ),

kde zα je prıslusny kvantil rozdelenı N(0, 1).


Pritom L =∑n

i=1 Li ma normalnı rozdelenı se strednı hodnotou∑ni=1 E Li a rozptylem

σ2(L) =n∑

i=1

σ2(Li ) +∑i 6=j

rij σ(Li ) σ(Lj).

Vynasobenım obou stran teto rovnosti z2α dostaneme vyjadrenı pro

ekonomicky kapital celkoveho souctu L stanoveny na zaklade

hodnoty v riziku.

Elipticka rozdelenı

Vyse uvedena argumentace je v platnosti pro obecnejsı trıdu tzv.

eliptickych rozdelenı.

Nahodny vektor L = (L1, . . . , Ln)′ ma elipticke rozdelenı

En(µ,Σ, φ) - s parametry µ, Σ a charakteristickym generatorem φ,

pokud pro jeho charakteristickou funkci platı

E exp(i t′L) = exp(i t′µ) φ(t′Σt

), t ∈ Rn .

Pozn. Reprezentaci En(µ,Σ, φ) lze volit tak, ze Σ je kovariancnı

matice vektoru L.

Specialne: Nn(µ,Σ) = En(µ,Σ, φ), kde φ(t) = e−t2 .

Solventnost 2 - standardnı formule

SCR =

√∑i ,j

Corri ,j SCRi SCRj

Prostrednictvım koeficientu Corri ,j < 1 jsou do vypoctu

kapitaloveho pozadavku zahrnuty diverzifikacnı efekty. Tyto

korelacnı koeficienty nelze povazovat za koeficienty linearnı

korelace:

Corri ,j 6= ri ,j

Pri znamem rozdelenı dılcıch rizik a znamem rozdelenı jejich

souctu by se koeficienty Corri ,j volily tak, aby vysledny kapitalovy

pozadavek odpovıdal ekonomickemu kapitalu stanovenemu pro

soucet dılcıch rizik. V praxi jsou tyto hodnoty zalozeny na

expertnım odhadu.

Agregace pomocı kopul

Simulace vektoru z rozdelenı se sdruzenou dist. funkcı

F (l1, . . . , ln) = C (F1(l1), . . . ,Fn(ln))

kde C je kopula vyjadrujıcı modelovanou zavislostnı strukturu

velicin L1, . . . , Ln.

Mıra rizika se odhaduje ze souctu takto simulovanych hodnot.

Alokace kapitalu

alokace kapitalu - rozdelenı celkoveho kapitalu drzeneho firmou

mezi jejı komponenty (napr. odvetvı podnikanı, typy rizik, uzemı,

produkty v portfoliu)

duvody pro delenı kapitalu mezi odvetvı (lines of business):

- redistribuce nakladu spojenych s drzenım kapitalu (promıtnou se

do poplatku uctovanych klientum)

- alokace nakladu pro ucely financnıch vykazu

- hodnocenı vykonnosti pomocı vynosu z alokovaneho kapitalu

- podpora rozhodovanı o prıpadne expanzi nebo redukci odvetvı

Alokace kapitalu

Necht’ pro celkove riziko L spolecnosti platı

L =n∑

i=1

Li ,

kde L1, . . . , Ln jsou nahodne veliciny predstavujıcı ztraty z

jednotlivych odvetvı podnikanı.

Je dan celkovy rizikovy kapital K , cılem je stanovit nezaporne

hodnoty K1, . . . ,Kn (alokace jednotlivym odvetvım) tak, aby

K =n∑

i=1

Ki .

Haircut princip

Kapital pro odvetvı i se stanovı jako

Ki = γ F−1Li

(p),

kde

F−1L (p) = inf{x ∈ R |FL(x) ≥ p}, p ∈ [0, 1],

je kvantilova funkce prıslusna distribucnı funkci FL.

γ se stanovı tak, aby soucet alokovanych kapitalu byl roven K , tj.

Ki =K∑n

j=1 F−1Lj

(p)F−1

Li(p), i = 1, . . . , n.

Haircut princip

I Pri danem celkovem kapitalu K vede k alokaci, ktera nezavisı

na zavislostnı strukture mezi ztratami jednotlivych odvetvı.

I Pri pouzitı VaR jako mıry rizika muze byt Ki > F−1Li

(p) (VaR

nenı subaditivnı).

I Na vsechny hodnoty F−1Li

(p) se uplatnuje stejna

proporcionalnı redukce (resp. zvysenı) dane koeficientem γ.

Inverze distribucnı funkce

α-smısena inverznı distribucnı funkce:

F−1(α)X (p) = α F−1

X (p) + (1− α) F−1+X (p), p ∈ (0, 1), α ∈ [0, 1],

kde

F−1+X (p) = sup{x ∈ R |FX (x) ≤ p}, p ∈ [0, 1].

Pro kazde x takove, ze 0 < FX (x) < 1, existuje αx ∈ [0, 1] takove,

ze

F−1(αx )X (FX (x)) = x .

Kvantilovy princip


Ki = F−1(α)Li

(βp),

kde α a β se volı tak, aby K =∑n

i=1 Ki .

I Nezohlednuje zavislosti mezi odvetvımi.

I Pouzıva stejne kvantily pro vsechna rizika (efekt diverzifikace

se projevı v pouzitı kvantilu na hladine β p mısto p).

Pomocne vysledky

Tvrzenı. Pro zleva spojitou neklesajıcı funkci g platı

F−1g(X )(p) = g

(F−1

X (p)).

Dukaz. Z definice kvantilove funkce plyne

F−1g(X )(p) ≤ x ⇔ p ≤ Fg(X )(x).

Ze spojitosti zleva funkce g mame pro vsechna x a z

g(z) ≤ x ⇔ z ≤ sup{y |g(y) ≤ x}.

Odtud

p ≤ Fg(X )(x) ⇔ p ≤ FX [sup{y |g(y) ≤ x}] .

Pomocne vysledky

Pokud je sup{y |g(y) ≤ x} 6= ±∞, platı

p ≤ FX [sup{y |g(y) ≤ x}] ⇔ F−1X (p) ≤ sup{y |g(y) ≤ x}.

(Platı i v prıpade sup{y |g(y) ≤ x} = ±∞.)

F−1X (p) ≤ sup{y |g(y) ≤ x} ⇔ g

(F−1

X (p))≤ x .

Celkem

F−1g(X )(p) ≤ x ⇔ g

(F−1

X (p))≤ x

platı pro vsechna x , odtud plyne tvrzenı.

Pomocne vysledky

Podobne se dokaze, ze pro neklesajıcı zprava spojitou funkci g platı

F−1+g(X )(p) = g

(F−1+

X (p)).

Mejme nahodny vektor L = (L1, . . . , Ln). Potom nahodny vektor(F−1

L1(U), . . . ,F−1

Ln(U)

), kde U je n. v. s rovnomernym rozdelenım

na (0, 1), je vektor komonotonnıch velicin se stejnymi marginalnımi

d.f.

Oznacme

SC =n∑

i=1

F−1Li

(U).

Pomocne vysledky

Tvrzenı.

F−1(α)SC

(p) =n∑

i=1

F−1(α)Li

(p), p ∈ (0, 1), α ∈ [0, 1].

Dukaz vychazı z toho, ze

g(u) =n∑

i=1

F−1Li

(u)

je zleva spojita neklesajıcı funkce.

Pomocne vysledky

Tj. dle predchozıho pro p ∈ (0, 1)

F−1SC

(p) = F−1g(U)(p) = g

(F−1

U (p))

= g(p) =n∑

i=1

F−1Li

(p).

Podobne se dokaze

F−1+SC

(p) =n∑

i=1

F−1+Li

(p), p ∈ (0, 1)

uzitım toho, ze

g(u) =n∑

i=1

F−1+Li

(u)

je zprava spojita neklesajıcı funkce.

Kvantilovy princip

Hodnoty α a β se stanovı ze vztahu

K =n∑

i=1

F−1(α)Li

(βp).

Zavedeme opet sumu komonotonnıch velicin

SC =n∑

i=1

F−1Li

(U),

kde U ma rovnomerne rozdelenı na (0, 1).

Z vyse uvedenych pomocnych vysledku vyplyva

K = F−1(α)SC

(β p).

Kvantilovy princip

Odtud plyne

β p = FSC(K )

a take

K = F−1(α)SC

(FSC(K )) .

Z poslednıho vztahu urcıme parametr α, alokace podle

kvantiloveho principu je pak popsana vztahem

Ki = F−1(α)Li

(FSC(K )) , i = 1, . . . , n.

Kvantilovy princip

Uvazujme specialnı prıpad, kdy vsechny distribucnı funkce FLijsou

spojite a rostoucı.

Potom se alokace podle kvantiloveho principu redukuje na

Ki = F−1Li

(FSC(K )) , i = 1, . . . , n.

Kvantilovy princip lze v tomto prıpade chapat jako specialnı prıpad

haircut principu s volbou

p = FSC(K ).

Kovariancnı princip


Ki =K

σ2(L)Cov(Li , L), i = 1, . . . , n,

kde σ2(L) je rozptyl celkoveho rizika.

Bere v uvahu zavislostnı strukturu: odvetvım, jejichz riziko je vıce

korelovano s celkovym rizikem, je alokovano vıce kapitalu.

Princip zbytkove hodnoty v riziku

Uvazujme rizika se spojitymi distribucnımi funkcemi. Potom ma

zbytkova hodnota v riziku na hladine p pro celkove riziko vyjadrenı

ESp(L) = E[L|L > F−1

L (p)].

Princip alokace kapitalu zalozeny na zbytkove hodnote v riziku

popisuje formule

Ki =K

ESp(L)E

[Li |L > F−1

L (p)], i = 1, . . . , n.

Bere v uvahu zavislostnı strukturu: odvetvı s vetsı podmınenou

strednı hodnotou pri ”vysoke” celkove ztrate majı alokovan vetsı

kapital.

Proporcionalnı alokace

Vyse uvedene principy alokace kapitalu lze chapat jako specialnı

prıpady principu proporcionalnı alokace. Pri nem volıme mıru

rizika ρ a alokujeme kapital

Ki = α ρ(Li ), i = 1, . . . , n.

α se volı tak, aby K =∑

Ki , tj.

Ki =K∑n

j=1 ρ(Lj)ρ(Li ), i = 1, . . . , n.


I haircut princip: ρ(Li ) = F−1Li

(p)

I kvantilovy princip: ρ(Li ) = F−1Li

(FSC(K ))

I kovariancnı princip: ρ(Li ) = Cov(Li , L)

I princip zbytkove hodnoty v riziku: ρ(Li ) = E[Li |L > F−1

L (p)]

Poslednı dve mıry rizika nezavisı jen na rozdelenı Li (vliv zavislostnı

struktury).


Predpokladejme, ze K = ρ(L). Potom diverzifikacnı efekt

vyjadreny nerovnostı

Ki ≤ ρ(Li ), i = 1, . . . , n,

je dosazen prave kdyz

K = ρ(L) ≤n∑

j=1

ρ(Lj).

Tato podmınka je splnena, pokud mıra rizika ρ je subaditivnı.

Literatura

I. Justova: Agregace rizik. (V: Matematika a rızenı rizik 2009/10,

Matfyzpress Praha 2010)

A.J. McNeil, R. Frey, P. Embrechts: Quantitative Risk

Management: Concepts, Technics and Tools, Princeton University

Press 2005.

J. Dhaene, A. Tsanakas, E.A.Valdez, S. Vanduffel: Optimal Capital

Allocation Principles. The Journal of Risk and Insurance, 2012,

Vol.79, No1, 1-28.

J. Dhaene, M. Denuit, M.J.Goovaerts, R.Kaas, D.Vyncke: The

Concept of Comonotonocity in Actuarial Science and Finance:

Theory. Insurance: Mathematics and Economics, 2002, 31, 3-33.

kvantitativn´ı ˇr´ızen´ı rizik

Documents