kvadriranje, korjenovanje i potenciranje

Kvadriranje, korjenovanje i potenciranjeKvadriranje, korjenovanje i potenciranjeprezentacija 2.prezentacija 2.

Uvod u kvadriranjeUvod u kvadriranje

materijal za samoučenjematerijal za samoučenje

Ovo je druga u nizu prezentacija kroz koje obrađujemoOvo je druga u nizu prezentacija kroz koje obrađujemocjelinu "Kvadriranje, korjenovanje i potenciranje".cjelinu "Kvadriranje, korjenovanje i potenciranje".

U prošloj smo se prezentaciji prisjetili osnova o U prošloj smo se prezentaciji prisjetili osnova o algebarskim izrazima, a u ovoj ćemo naučitialgebarskim izrazima, a u ovoj ćemo naučitišto je kvadriranje, te osnove o njemu.što je kvadriranje, te osnove o njemu.

Kroz prezentacije se krećemo jednostavnim klikom miša, Kroz prezentacije se krećemo jednostavnim klikom miša, a možemo koristiti i a možemo koristiti i strelice na tipkovnicistrelice na tipkovnici - za pomake - za pomakenaprijed, naprijed, ali i nazadali i nazad. Možda ponekad poželite ponoviti neki . Možda ponekad poželite ponoviti neki primjer, ponovo pročitati objašnjenje i sl., pa koristite primjer, ponovo pročitati objašnjenje i sl., pa koristite strelicu prema gore ili lijevostrelicu prema gore ili lijevo. Probajte! . Probajte!

Prezentacije su namijenjene učenicima za samoučenje, Prezentacije su namijenjene učenicima za samoučenje, npr. u slučaju da su bili bolesni pa nisu prisustvovali nastavinpr. u slučaju da su bili bolesni pa nisu prisustvovali nastavikad se to obrađivalo, ako su zaboravili neke detalje pa sekad se to obrađivalo, ako su zaboravili neke detalje pa sežele podsjetiti, a naravno namijenjene su i svima ostalimažele podsjetiti, a naravno namijenjene su i svima ostalimakoji iz bilo kojeg razloga žele detaljnije proučiti ovo gradivo.koji iz bilo kojeg razloga žele detaljnije proučiti ovo gradivo.Možda čak i za korištenje na satu dok je nastavnik na bolovanju.Možda čak i za korištenje na satu dok je nastavnik na bolovanju.

KvadriranjeKvadriranjeKvadriranjeKvadriranje je računska operacija kod koje zadani brojje računska operacija kod koje zadani brojmnožimo sa samim sobom.množimo sa samim sobom.

77··7 7 i to jei to jeNpr. Npr. 7 na kvadrat7 na kvadrat računamo kao računamo kao 4949..772 2 ..7 na kvadrat7 na kvadrat zapisujemozapisujemo

Dakle, Dakle, 7722 = 7 = 7··7 = 49 7 = 49 ..

Čemu bi bili jednaki sljedeći kvadrati:Čemu bi bili jednaki sljedeći kvadrati:4422 = = 44··4 =4 = 16169922 = = 99··9 =9 = 8181

8822 = = 6464Odmah reci rješenje...101022 = = 100100

Kako ovo čitamo?Osam na kvadrat jednako je 64.A ovo?

Deset na kvadrat jednako je 100.Koliko je Koliko je 3 na kvadrat 3 na kvadrat ?? 99

KvadriranjeKvadriranjeOpćenito, ako je Općenito, ako je aa bilo koji broj: bilo koji broj:

aa22 = = aa··aa

aa22 možemo čitati:možemo čitati: -- a na kvadrat a na kvadrat-- a kvadrat a kvadrat-- a na drugu a na drugu

Kad za neki broj Kad za neki broj aaračunamo računamo aa22 (kvadrat broja a), (kvadrat broja a),tada kažemo da tada kažemo da broj a kvadriramobroj a kvadriramo,,

a računska operacija koju pri tom vršimo zove sea računska operacija koju pri tom vršimo zove sekvadriranje.kvadriranje.

KvadriranjeKvadriranjeOtkud naziv Otkud naziv "kvadriranje" "kvadriranje" ??

Prisjetimo se:Prisjetimo se:Formula za površinu kvadrata stranice Formula za površinu kvadrata stranice aa je: je:

aaaa P =P =a ∙ aa ∙ a ... a sad to ... a sad to

znamo zapisati znamo zapisati i na drugi način...i na drugi način...

P =P = aa22

Dakle, površina Dakle, površina kvadrata kvadrata je je a na kvadrata na kvadrat ! !Površinu Površinu kvadratakvadrata dobivamo dobivamo kvadriranjemkvadriranjem njegove stranice. njegove stranice.Od sad pa nadalje zapamti formulu P=aP=a22 i nju koristi prilikomizračunavanja površine kvadrata. Formulu P=a∙aP=a∙a obično koriste oni učenici koji još nisu čuli za kvadriranje.

KvadriranjeKvadriranje

Npr. Kolika je površina kvadrata stranice Npr. Kolika je površina kvadrata stranice 5 cm5 cm ? ?

aaaa

a = 5 cma = 5 cmP = ?P = ?

P =P = aa22

P =P = 5522

P =P = 2525

Površina zadanog kvadrata je 25 cmPovršina zadanog kvadrata je 25 cm22 . .

cmcm22

KvadriranjeKvadriranjeDopunimo...

1122 = =2222 = =3322 = =4422 = =5522 = =6622 = =7722 = =8822 = =9922 = =101022 = =

114499161625253636494964648181100100

111122 = =121222 = =131322 = =141422 = =151522 = =161622 = =171722 = =181822 = =191922 = =202022 = =

121121144144169169196196225225256256289289324324361361400400

Kvadrate prvih 10 brojeva u trenu lako izračunamo.

Međutim, često se u zadacima pojavljujui kvadrati brojeva od 11 do 20,pa je vrlo korisno naučiti ih napamet,te i njih znati "u trenu".

Stoga ćemo i njih sad navesti,a ti ih svakako nauči napamet!

NaučiNaučinapamet!napamet!


1122 = =2222 = =3322 = =4422 = =5522 = =6622 = =7722 = =8822 = =9922 = =101022 = =

4499161625253636494964648181100100

111122 = =121222 = =131322 = =141422 = =151522 = =161622 = =171722 = =181822 = =191922 = =202022 = =

121121144144169169196196225225256256289289324324361361400400

Uočimo kroz ove primjere koja je veza između zadnje znamenke zadanog broja izadnje znamenkekvadrata!

12 = 1

22 = 432 = 9

42 = 1652 = 25

11

62 = 3672 = 4982 = 64

92 = 81

02 = 0

KvadriranjeKvadriranjeProvjerimo jesi li shvatio:Provjerimo jesi li shvatio:

1. 1. JednaJedna od sljedeće dvije jednakosti od sljedeće dvije jednakosti nijenije točna. točna. Možeš li brzo reći koja? Kako znaš?Možeš li brzo reći koja? Kako znaš?

292922 = 784 = 784

282822 = 784 = 784

Zadnja znamenka od 292 mora biti 1jer je 92=81.

2. Koja jednakost ovdje nije točna?2. Koja jednakost ovdje nije točna?

131322 = 169 = 169

131322 = 196 = 196 Zadnja znamenka od 132 mora biti 9jer je 32=9.

Do sad smo kvadrirali samo prirodne brojeve.Do sad smo kvadrirali samo prirodne brojeve.

Što je s kvadratima negativnih brojeva, razlomaka iŠto je s kvadratima negativnih brojeva, razlomaka idecimalnih brojeva?decimalnih brojeva?

Proučimo i njih...Proučimo i njih...


Kvadrati negativnih brojevaKvadrati negativnih brojeva

Ako npr. želimo Ako npr. želimo kvadrirati -7kvadrirati -7 , to zapisujemo kao , to zapisujemo kao(-7)(-7)22

i računamoi računamo -7∙(-7) =-7∙(-7) = 49 49 ..Zapamtimo:Zapamtimo:Ako kvadriramo negativan broj, moramo ga staviti u zagradu.Ako kvadriramo negativan broj, moramo ga staviti u zagradu.

(-7)(-7)22 = = -7-7··(-7) =(-7) = 4949(-3)(-3)22 = = -3-3··(-3) =(-3) = 99(-8)(-8)22 = = -8-8··(-8) =(-8) = 6464

(-6)(-6)22 = = 3636Odmah reci rješenje...(-10)(-10)22 = = 100100Kojeg su predznaka rješenja?Rješenja su pozitivna!

Što misliš, hoće li kvadrat negativnog broja uvijek biti pozitivan? Zašto?Hoće, jer pri kvadriranju broj množimo sa samim sobom, a vrijedi: -·- =+ .

Zapamtimo:Zapamtimo:Kvadrat negativnog broja je uvijek pozitivan broj!Kvadrat negativnog broja je uvijek pozitivan broj!Kvadrat ne može biti negativan!Kvadrat ne može biti negativan!

(-9)(-9)22 = =

Pri kvadriranju negativnog broja možemo razmišljati i ovako:

Prvo ću kvadrirati minus,a onda 9.Minus na kvadrat dajeplus (jer je -∙-=+), a plus ne pišem...a 9 na kvadrat daje81.

8181

0022 = = 00Odmah reci rješenje...Nula je jedini broj čiji kvadrat nije pozitivan.Nula je jedini broj čiji kvadrat nije pozitivan.(nula nije ni pozitivna ni negativna)(nula nije ni pozitivna ni negativna)Svi ostali brojevi imaju pozitivne kvadrate!Svi ostali brojevi imaju pozitivne kvadrate!



Kako rješavamo zadatke poput Kako rješavamo zadatke poput -7-722 (bez zagrade), (bez zagrade), zasad nećemo razjašnjavati.zasad nećemo razjašnjavati.O tome ćemo učiti u sljedećoj lekciji (tj. sljedećoj O tome ćemo učiti u sljedećoj lekciji (tj. sljedećoj prezentaciji).prezentaciji).

Kvadriranje razlomakaKvadriranje razlomakaAko želimo kvadrirati razlomak, i njega moramo staviti u zagradu!Ako želimo kvadrirati razlomak, i njega moramo staviti u zagradu!

Npr.Npr. 25254949____55

77____( )22

== 5577____ 55

77____·· ==

Kako izračunati taj kvadrat?

991616____-3-3

44____( )22

== -3-344____ -3-3

44____·· ==

Uočimo kako odmahiz zadanog razlomka

dobiti kvadrat(bez međukorakas množenjem)!

5522

7722

(-3)(-3)22

4422

Kvadriramo brojnik ikvadriramo nazivnik!

448181____-2-2

99____( )22

==

Možeš li odmah reći rješenje?Minus na kvadrat daje plus (njega u rezultatu ne pišemo)...... dva na kvadrat daje 4...... devet na kvadrat daje 81.Jednostavno...

Kvadriranje decimalnih brojevaKvadriranje decimalnih brojevaKad kvadriramo decimalni broj, Kad kvadriramo decimalni broj, nene moramo pisati zagradu. moramo pisati zagradu.

Npr.Npr.0.70.722 = =Kako izračunati taj kvadrat?

0.70.7··0.7 =0.7 =Izračunaj pismeno...

0.490.49

0.030.0322 = = 0.030.03··0.03 =0.03 =Izračunaj pismeno...

0.00090.0009

1.91.922 = = 1.91.9··1.9 =1.9 =Izračunaj pismeno...

3.613.61

Možeš li uočiti kako odmahiz zadanog decimalnog broja

dobiti kvadrat(bez međukoraka s množenjem)?

?? Traži se kvadrat od 0.7 .Kad bismo iz 0.7 izbacili točku, dobili smo broj7 .Njega kvadrirajmo!Koliko je 72 ? 49

I sad još u broju 49 stavimodecimalnu točku tako da u njemubude dvostruko više decimalnihmjesta nego u početnom broju.Dobivamo 0.49 .(U 0.7 smo imali jednu decimalu,pa tu trebaju biti dvije - to jedvostruko više.)

Time smo došli do rješenja.Na taj način napamet možemokvadrirati decimalni broj, akopočetni broj nije presložen...

Kad kvadriramo decimalni broj, Kad kvadriramo decimalni broj, nene moramo pisati zagradu. moramo pisati zagradu.Npr.Npr.

0.70.722 = = 0.70.7··0.7 =0.7 = 0.490.49

0.030.0322 = = 0.030.03··0.03 =0.03 = 0.00090.0009

1.91.922 = = 1.91.9··1.9 =1.9 = 3.613.61



??

Traži se kvadrat od 0.03 .Kad bismo iz 0.03 izbacili točku, dobili smo broj3 .

Njega kvadrirajmo!Koliko je 32 ? 9

I sad još u broju 9 stavimodecimalnu točku tako da u njemubude dvostruko više decimalnihmjesta nego u početnom broju.Dobivamo 0.0009 .(U 0.03 smo imali dvije decimale,pa tu trebaju biti četiri - to jedvostruko više.)Time smo došli do rješenja.

Kvadriranje decimalnih brojevaKvadriranje decimalnih brojeva


0.70.722 = = 0.70.7··0.7 =0.7 = 0.490.49

0.030.0322 = = 0.030.03··0.03 =0.03 = 0.00090.0009

1.91.922 = = 1.91.9··1.9 =1.9 = 3.613.61



Traži se kvadrat od 1.9 .Kad bismo iz 1.9 izbacili točku, dobili smo broj19 .

Njega kvadrirajmo!Koliko je 192 ? 361

I sad još u broju 361 stavimodecimalnu točku tako da u njemubude dvostruko više decimalnihmjesta nego u početnom broju.Dobivamo 3.61 .(U 1.9 smo imali jednu decimalu,pa tu trebaju biti dvije - to jedvostruko više.)Time smo došli do rješenja.

??



0.70.722 = = 0.70.7··0.7 =0.7 = 0.490.49

0.030.0322 = = 0.030.03··0.03 =0.03 = 0.00090.0009

1.91.922 = = 1.91.9··1.9 =1.9 = 3.613.61


Provjerimo jesmo li dobro razumjeli!Provjerimo jesmo li dobro razumjeli!Pokušaj kvadrirati na maloprije opisani brži način:Pokušaj kvadrirati na maloprije opisani brži način:

0.20.222 = = 0.040.040.0010.00122 = =0.0000.000 0010011.61.622 = = 2.562.56

(-1.4)(-1.4)22 = = 1.961.96(-0.17)(-0.17)22 = = 0.02890.02891.11.122 = = 1.211.21

Kvadriranje nekih prirodnih brojevaKvadriranje nekih prirodnih brojevaIzračunajmo sljedeće kvadrate:Izračunajmo sljedeće kvadrate:

303022 = = 3030··30 =30 = 900900

70070022 = =700700··700 =700 = 490490 000000

88 00000022 = =88 000000··88 000 =000 =6464 000000 000000

Uoči s koliko nula završava zadani broj, a s koliko njegov kvadrat!Usporedi! Što zaključuješ?Kvadrat završava s dvostruko više nula nego zadani broj!

Možeš li odmah reći rješenje:Možeš li odmah reći rješenje:

606022 = = 3600360050050022 = = 250250 000000

12012022 = =1414 40040011 80080022 = =33 240240 000000(6 na kvadrat je 36 i dopišemo dvostruko više nula, tj. dvije nule.)

(5 na kvadrat je 25 i dopišemo dvostruko više nula, tj. četiri nule.)

I na kraju, jedan trikić...I na kraju, jedan trikić...Kako Kako napametnapamet kvadrirati brojeve čija je kvadrirati brojeve čija je zadnja znamenka 5zadnja znamenka 5 ? ?

88 55 22 = =

Evo recepta:Evo recepta:Npr.Npr.

Uočimo znamenku prije 5! To jePomnožimo broj 8 s njegovim sljedbenikom!

8·Sljedbenik broja 8 je broj __.9

9 = 72

Zapišemo 72 u rezultat...

7272

i dopišemo 25!

2525

Time je zadatak riješen; našli smo kvadrat broja 85.

8 .

Zapamtimo:Ako neki broj završava znamenkom 5,

onda njegov kvadrat završava s 25!


88 55 22 = =

Evo recepta:Evo recepta:Npr.Npr. 72722525

33 55 22 = =Uočimo znamenku prije 5! To je

Pomnožimo broj 3 s njegovim sljedbenikom!3·

Sljedbenik broja 3 je broj __.44 = 12

Zapišemo 12 u rezultat...

1212

i dopišemo 25!

2525

Time je zadatak riješen; našli smo kvadrat broja 35.

3 .


88 55 22 = =


33 55 22 = = 1212252522 55 22 = =

Što ćemo ovdje množiti?2·3 = 6

662525

I dopišemo...


88 55 22 = =


33 55 22 = = 1212252522 55 22 = = 66252577 55 22 = =Odmah reci rješenje...

5625562544 55 22 = = 202520251010 55 22 = =1102511025

Time smo došli do kraja prezentacije.Time smo došli do kraja prezentacije.

Sve prezentacije iz ovog ciklusa možete naći naSve prezentacije iz ovog ciklusa možete naći nahttp://public.carnet.hr/~ahorvate . .

http://public.carnet.hr/~ahorvate

Autorica prezentacije:Autorica prezentacije:

Antonija Antonija HorvatekHorvatek

ožujak 2010.ožujak 2010.

Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima. U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama. Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. zaobjavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima,udžbenicima, na CD-ima..., za korištenje na predavanjima,radionicama..., potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete). Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare...

Antonija HorvatekMatematika na dlanuhttp://www.antonija-horvatek.from.hr/

http://www.antonija-horvatek.from.hr/

kvadriranje, korjenovanje i potenciranje

Documents