kurikulum matematika 1, kalkulus, dan trigonometri · pdf fileperan guru dalam pembelajaran di...

KELOMPOK KOMPETENSI G

Kurikulum Matematika 1,

Kalkulus, dan

Trigonometri

KataSambutan

Peran guru profesional dalam proses pembelajaran sangat penting sebagai

kunci keberhasilan belajar siswa. Guru profesional adalah guru yang

kompeten membangun proses pembelajaran yang baik sehingga dapat

menghasilkan pendidikan yang berkualitas. Hal tersebut menjadikan guru

sebagaikomponenyangmenjadifokusperhatianpemerintahpusatmaupun

pemerintah daerah dalam peningkatan mutu pendidikan terutama

menyangkutkompetensiguru.

Pengembangan profesionalitas guru melalui program Guru Pembelajar

merupakan upaya peningkatan kompetensi untuk semua guru. Sejalan

denganhal tersebut,pemetaankompetensigurutelahdilakukanmelaluiuji

kompetensiguru(UKG)untukkompetensipedagogikprofesionalpadaakhir

tahun 2015. Hasil UKG menunjukkan peta kekuatan dan kelemahan

kompetensi guru dalam penguasaan pengetahuan. Peta kompetensi guru

tersebutdikelompokkanmenjadi10(sepuluh)kelompokkompetensi.Tindak

lanjutpelaksanaanUKGdiwujudkandalambentukpelatihangurupaskaUKG

melalui program Guru Pembelajar. Tujuannya untuk meningkatkan

kompetensi guru sebagai agen perubahan dan sumber belajar utama bagi

peserta didik. Program Guru Pembelajar dilaksanakan melalui pola tatap

muka, daring penuh (online), dan daring kombinasi (blended) tatap muka

denganonline.

PusatPengembangandanPemberdayaanPendidikdanTenagaKependidikan

(PPPPTK),LembagaPengembangandanPemberdayaanPendidikdanTenaga

Kependidikan Kelautan Perikanan Teknologi Informasi dan Komunikasi

(LP3TK KPTK) dan Lembaga Pengembangan dan Pemberdayaan Kepala

Sekolah (LP2KS) merupakan Unit Pelaksanana Teknis di lingkungan

DirektoratJenderalGurudanTenagaKependidikanyangbertanggungjawab

dalam mengembangkan perangkat dan melaksanakan peningkatan

kompetensi guru sesuai bidangnya. Adapun perangkat pembelajaran yang

dikembangkantersebutadalahmoduluntukprogramGuruPembelajartatap

muka dan Guru Pembelajar online untuk semua mata pelajaran dan

kelompok kompetensi. Dengan modul ini diharapkan program Guru

Pembelajarmemberikan sumbangan yang sangat besar dalam peningkatan

kualitaskompetensiguru.

MarikitasukseskanprogramGuruPembelajar iniuntukmewujudkanGuru

MuliaKarenaKarya.

Jakarta,Maret2016

GURUPEMBELAJAR

MODUL

MATEMATIKASMA

KELOMPOKKOMPETENSIG

PEDAGOGIK

PENGEMBANGANKURIKULUM

MATEMATIKAI

DIREKTORATJENDERALGURUDANTENAGAKEPENDIDIKAN

KEMENTERIANPENDIDIKANDANKEBUDAYAAN

2016

Penulis:Pujiadi,S.Pd.,M.Pd.,M.Kom.,08156501190,[email protected]:Drs.AminSuyitno,M.Pd.,085865168227,[email protected]:DennySaputra,S.Kom.085227133999,[email protected]©2016DirektoratJenderalGurudanTenagaKependidikan.HakCiptaDilindungiUndang‐UndangDilarangmengcopysebagianataukeseluruhanisibukuiniuntukkepentingankomersialtanpaizintertulisdariKementerianPendidikanKebudayaan.

iii

KataPengantar

Peningkatan kualitas pendidikan saat ini menjadi prioritas, baik oleh pemerintah

pusatmaupundaerah. Salah satukomponenyangmenjadi fokusperhatianadalah

peningkatankompetensiguru.Perangurudalampembelajarandikelasmerupakan

kunci keberhasilan untuk mendukung keberhasilan belajar siswa. Guru yang

profesionaldituntutmampumembangunprosespembelajaranyangbaik sehingga

dapatmenghasilkanoutputdanoutcomependidikanyangberkualitas.

Dalamrangkamemetakankompetensiguru,telahdilaksanakanUjiKompetensiGuru

(UKG) Tahun 2015. UKG tersebut dilaksanakan bagi semua guru, baik yang sudah

bersertifikat maupun belum bersertifikat untuk memperoleh gambaran objektif

kompetensi guru, baik profesional maupun pedagogik. Hasil UKG kemudian

ditindaklanjutimelaluiProgramGuruPembelajarsehinggadiharapkankompetensi

guruyangmasihbelumoptimaldapatditingkatkan.

PPPPTK Matematika sebagai Unit Pelaksana Teknis Kementerian Pendidikan dan

KebudayaandibawahpembinaanDirektoratJenderalGurudanTenagaKependidikan

mendapat tugas untuk menyusun modul guna mendukung pelaksanaan Guru

Pembelajar. Modul ini diharapkan dapatmenjadi sumber belajar bagi guru dalam

meningkatkankompetensinyasehinggamampumengambiltanggungjawabprofesi

dengansebaik‐baiknya.

Yogyakarta,Maret2016

KepalaPPPPTKMatematika,

Dr.Dra.DaswatiaAstuty,M.Pd.

NIP.196002241985032001

KataPengantar

iv

v

DaftarIsi

DaftarIsi........................................................................................................................................................v

DaftarTabel..............................................................................................................................................vii

Pendahuluan...............................................................................................................................................1

A. LatarBelakang............................................................................................................................1

B. Tujuan.............................................................................................................................................2

C. PetaKompetensi........................................................................................................................2

D. RuangLingkup............................................................................................................................2

E. SaranCaraPenggunaanModul............................................................................................3

KegiatanPembelajaran1:.....................................................................................................................5

DesainPembelajaranMatematikaSMA..........................................................................................5

A. Tujuan.............................................................................................................................................5

B. IndikatorPencapaianKompetensi.....................................................................................5

C. UraianMateri...............................................................................................................................5

D. AktifitasPembelajaran..........................................................................................................13

E. Latihan/Kasus/Tugas............................................................................................................14

F. Rangkuman.................................................................................................................................14

G. UmpanBalikdanTindakLanjut........................................................................................15

KegiatanPembelajaran2....................................................................................................................17

PengembanganRencanaPelaksanaanPembelajaran(RPP)MatematikaSMA............17

A. Tujuan...........................................................................................................................................17

B. IndikatorPencapaianKompetensi...................................................................................17

C. UraianMateri.............................................................................................................................17

1. Konsep,Prinsip,Komponen,danLangkahPenyusunanRPP...........................17

2. MekanismePengembanganRPP...................................................................................22

D. AktifitasPembelajaran..........................................................................................................33

E. Latihan/Kasus/Tugas............................................................................................................34

F. Rangkuman.................................................................................................................................38


DaftarIsi

vi

Evaluasi......................................................................................................................................................41

Penutup......................................................................................................................................................45

Glosarium...................................................................................................................................................47

DaftarPustaka.........................................................................................................................................49

Lampiran....................................................................................................................................................51

vii

DaftarTabel

Tabel1LangkahPembelajaran..........................................................................................................7

Tabel2Ciripembelajaranberpusatsiswa...................................................................................12

DaftarTabel

viii

1

Pendahuluan

A. LatarBelakang

PenyelenggaraanpendidikansebagaimanayangdiamanatkandalamUndang‐undang

Nomor 20 Tahun 2003 tentang Sistem Pendidikan Nasional diharapkan dapat

mewujudkanprosesberkembangnyakualitaspribadipesertadidiksebagaigenerasi

penerusbangsadimasadepan,yangdiyakiniakanmenjadifaktordeterminanbagi

tumbuhkembangnyabangsadannegaraIndonesiasepanjangzaman.

StandarProsesPendidikanDasardanMenengahyangtertuangdalamPermendikbud

nomor 65 tahun 2013 menyatakan bahwa proses pembelajaran pada satuan

pendidikan diselenggarakan secara interaktif, inspiratif, menyenangkan,

menantang, memotivasi peserta didik untuk berpartisipasi aktif, serta

memberikanruangyangcukupbagiprakarsa,kreativitas,dankemandiriansesuai

dengan bakat, minat, dan perkembangan fisik serta psikologis peserta didik

(Kemdikbud,2013‐b).

Dengan demikian kompetensi guru merupakan faktor yang sangat penting bagi

keberhasilanupayameningkatkanmutupendidikankhususnyayangterkaitdengan

pembelajaran.Guruharusmenjadipendidikprofesionalyangmemilikikompetensi

sebagai agen pembelajaran. Untuk standar kompetensi guru itu sendiri meliputi

kompetensi pedagogi, kepribadian, profesional dan sosial. Standar ini telah

ditetapkan dalam Peraturan Pemerintah nomor 19 Tahun 2005 tentang Standar

NasionalPendidikan,yangdirevisimenjadiPeraturanPemerintahnomor32tahun

2013. Secara lebih teknis kompetensi ini juga telah diuraikan dalam Peraturan

Menteri Pendidikan Nasional nomor 16 tahun 2007 tentang Standar Kualifikasi

AkademikdanKompetensiGuru.

Modul inimerupakanbagiandariupayapeningkatankompetensiguru,khususnya

untuk kompetensi pedagogi dan kompetensi profesional. Modul ini digunakan

sebagaibahanpembelajaranuntukguru‐gurumatematikaSMAyangmengikutidiklat

PKB,khususnyaterkaitdengankompetensipengembangankurikulummatematika.

Pendahuluan

2

B. Tujuan

Modul ini disusun dalam rangka memfasilitasi guru‐guru matematika SMA pada

DiklatPKB agardapatmeningkatkankompetensinyakhususnyadalammendesain

pembelajaran matematika SMA, dan mengembangkan RPP, dengan baik dan

terstandar.

C. PetaKompetensi

D. RuangLingkup

Materi yang termuat pada modul ini sesuai dengan kebutuhan peningkatan

kompetensi guru khususnya yang terkait dengan pengembangan kurikulum

matematika. Secara garis besar ruang lingkupmateri yangdiuraikandalam setiap

kegiatanpembelajaranadalahsebagaiberikut.

Kegiatan Pembelajaran 1 yakni tentang Desain Pembelajaran Matematika SMA,

menguraikan tentang: (1) Kegiatan Pembelajaran Matematika SMA, dan (2)

Pengalaman Belajar Matematika SMA. Kegiatan Pembelajaran 2, yakni tentang

Pengembangan Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP), terdiri dari dua uraian

materiyakni:(1)Konsep,Prinsip,Komponen,danLangkahPenyusunanRPP,dan(2)

MekanismePengembanganRPP.

ModulMatematikaSMA

3

E. SaranCaraPenggunaanModul

1. Moduliniterbagiatasduakegiatanpembelajaran,yaknikegiatanpembelajaran

1dankegiatanpembelajaran2.Masing‐masingkegiatanpembelajaranmemuat:

Tujuan, Indikator Pencapaian Kompetensi, Uraian Materi, Aktivitas

Pembelajaran, Latihan/ Kasus /Tugas, Rangkuman, Umpan Balik dan Tindak

Lanjut,danKunciJawaban.

2. Kajilah uraian materi dengan seksama sebelum pembelajaran dimulai, dan

selamapembelajaranberlangsung.

3. Ikutiaktivitaspembelajaranyangtelahdiuraiakandengansungguh‐sunguhdan

semangat,baiksecaraindividumaupunkelompok.

4. Kerjakan setiap butir soal latihan yang telah disediakan dengan benar dan

cermat, untuk mengukur tingkat penguasaan Anda pada setiap KB, dan

cocokkanlah jawabanAndadenganKunci Jawabanyang terdapatpadabagian

akhirKB.

5. Upayakan untuk selalu berkomunikasi dan bertukar fikiran dengan sesama

pesertadiklatmaupunfasilitator,terlebihbilaAndamengalamikesulitanterkait

materipembelajaran.

6. Kerjakansoal‐soalevaluasiyangtelahdisediakanpadabagianakhirmodulini.

7. Bila Anda menghendaki penjelasan untuk memudahkan pemahaman Anda

tentangkata‐kata/istilah/fraseyangberhubungandenganuraiannaskah,yang

Andaanggapsulit/sukardimengerti,makaAndadapatmelihatglosariumyang

tersediadibagianakhirmodulini.

8. Anda disarankan juga untukmembaca referensi yangmenjadi rujukan utama

penyusunanmodulini.

Pendahuluan

4

5

KegiatanPembelajaran1:

DesainPembelajaranMatematikaSMA

A. Tujuan

Melalui kegiatanpembelajaran ini, dapatmeningkatkanwawasandan kompetensi

guru khususnya dalam memahami tentang bagaimanakah mendesain kegiatan

pembelajaranmatematikaSMA,danbagaimanakahmerancangpengalamanbelajar

matematikabagisiswaSMA.

B. IndikatorPencapaianKompetensi

Setelahmengikutikegiatanpembelajaranini,pesertadiharapkandapatmenjelaskan

tentang:

1. kegiatanpembelajaranmatematikaSMAyangmenumbuhkankerjasama

2. pengalamanbelajarmatematikaSMAuntukmeraihtujuan

C. UraianMateri

1. KegiatanPembelajaranMatematikaSMA

Pembelajaran matematika di SMA, dirancang dengan titik tolak pencapaian

kompetensi pengetahuaan yang rumuskan dalam KD 3 terintegrasi dengan

pencapaiankompetensiketerampilanyangdirumuskandalamKD4.Pemilihan

materi ajar dan proses pembelajaran dirancang dengan mempertimbangkan

pencapaian/berkembangkompetensisikapyangdirumuskandalamKD1dan

KD2.Pencapaian/perkembangansikapyangdirumuskandalamKD1danKD2

merupakan dampak dari pembelajaran untuk mencapai kompetensi yang

dirumuskandalamKD3danKD4.

Perancanganpembelajarandilakukandenganpolapikirberikut:(1)Pemilihan

pasangan KD 3 dan KD 4 yang bersesuaian, yaitu pemilihan pasangan

pengetahuandanketerampilanyangbersesuaian.MisalnyaKD3.1danKD4.1

adalah pasangan pengetahuan dan keterampilan yang bersesuaian. (2)

Selanjutnyamenjabarkanmateri dan proses pembelajaran agar peserta didik

mencapai kompetensi yang dinyatakan dalam KD 3.1 dan KD 4.1 dengan

KegiatanPembelajaran1

6

mempertimbangkan pencapaian/ perkembangan sikap peserta didik seperti

yang dinyatakan dalam KD 1 dan KD 2. Karakteristik materi pembelajaran

matematikadanprosespencapaiankompetesiyangdinyatakandalamKD3dan

KD4 diarahkanuntukpencapaian/perkembangankompetensisikappeserta

didiksepertiyangdinyatakaandalamKD1danKD2,misalnyasikaptelitidalam

menggambargrafikfungsieksponendanlogaritma.Ketelitiandiperlukanketika

membuatskalayangproporsinaldalammenggambargrafikfungsieksponendan

logaritma.

Pada proses pembelajaran langsung di mana peserta didik mengembangkan

pengetahuan, kemampuan berpikir dan keterampilan psikomotorik melalui

interaksilangsungdengansumberbelajaryangdirancangdalamsilabusdanRPP

berupakegiatan‐kegiatanpembelajaran.Dalampembelajaranlangsungtersebut

pesertadidikmelakukankegiatanbelajarmengamatikejadian,peristwa,situasi,

pola, fenomena yang terkait dengan matematika; menanya atau

mempertanyakan mengapa atau bagaimana fenomena bisa terjadi;

mengumpulkanataumenggaliinformasimelaluimencoba,percobaan,mengkaji,

mendiskusikan untuk mendalami konsep yang terkait dengan fenomena

tersebut; serta melakukan asosiasi atau menganalisis secara kritis dalam

menjelaskan keterkaitan antar konsep danmenggunakan,memanfaatkan dan

memilihprosedur/algoritmayangsesuai,menyusunpenalarandangeneralisasi,

danmengkomunikasikanapayangsudahditemukannyadalamkegiatananalisis.

Proses pembelajaran langsung menghasilkan pengetahuan dan keterampilan

langsungatauyangdisebutdenganinstructionaleffect.PadaPembelajarantidak

langsung yang terjadi selama proses pembelajaran langsung tetapi tidak

dirancang dalam kegiatan khusus. Pembelajaran tidak langsung berkenaan

dengan pengembangan nilai dan sikap. Berbeda dengan pengetahuan tentang

nilaidansikapyangdilakukandalamprosespembelajaranlangsungolehmata

pelajaran tertentu,pengembangan sikap sebagai prosespengembanganmoral

danperilakudilakukanolehseluruhmatapelajarandandalamsetiapkegiatan

yang terjadi di kelas, sekolah, danmasyarakat. Oleh karena itu, dalamproses

pembelajaran,semuakegiatanyangterjadiselamabelajardisekolahdandiluar

ModulMatematikaSMA

7

dalam kegiatan kokurikuler dan ekstrakurikuler terjadi proses pembelajaran

untukmengembangkanmoraldanperilakuyangterkaitdengansikap.

Baikpembelajaranlangsungmaupunpembelajarantidaklangsungterjadisecara

terintegrasi dan tidak terpisah. Pembelajaran langsung berkenaan dengan

pembelajaran yang menyangkut KD (kompetensi dasar) yang dikembangkan

dari kompetensi inti (KI‐3 dan KI‐4). Keduanya, dikembangkan secara

bersamaan dalam suatu proses pembelajaran dan menjadi wahana untuk

mengembangkan KD pada KI‐1 dan KI‐2. Pembelajaran tidak langsung

berkenaandenganpembelajaranyangmenyangkutKDyangdikembangkandari

KI‐1danKI‐2.

Pembelajaran pokok tersebut dapat dirinci dalam berbagai kegiatan belajar

sebagaimanatercantumdalamtabelberikut.

Tabel1LangkahPembelajaran

Langkah

Pembelajaran

DeskripsiKegiatan Bentukhasilbelajar

Mengamati

(observing)

mengamatidenganindra

(membaca,mendengar,

menyimak,melihat,menonton,

dansebagainya)denganatau

tanpaalat

perhatianpadawaktu

mengamatisuatu

objek/membacasuatu

tulisan/mendengarsuatu

penjelasan,catatanyang

dibuattentangyangdiamati,

kesabaran,waktu(ontask)

yangdigunakanuntuk

mengamati

Menanya

(questioning)

Membuatdanmengajukan

pertanyaan,tanyajawab,

berdiskusi

tentanginformasiyangbelum

dipahami,informasitambahan

jenis,kualitas,danjumlah

pertanyaanyangdiajukan

pesertadidik(pertanyaan

faktual,konseptual,

prosedural,danhipotetik)


8

yangingindiketahui,atausebagai

klarifikasi.

Mengumpulkan

informasi

(experimenting)

Mengeksplorasi,mencoba,

berdiskusi,mendemonstrasi‐kan,

menirubentuk/gerak,

melakukaneksperimen,

membacasumberlainselain

bukuteks,mengumpulkandata

darinarasumbermelaluiangket,

wawancara,danmemodifikasi/

menambahi/mengembangkan

jumlahdankualitassumber

yangdikaji/digunakan,

kelengkapaninformasi,

validitasinformasiyang

dikumpulkan,dan

instrumen/alatyang

digunakanuntuk

mengumpulkandata.

Menalar/

Mengasosiasi

(associating)

mengolahinformasiyangsudah

dikumpulkan,menganalisisdata

dalambentukmembuatkategori,

mengasosiasiatau

menghubungkan

fenomena/informasiyangterkait

dalamrangkamenemukansuatu

pola,danmenyimpulkan.

mengembangkan

interpretasi,argumentasi

dankesimpulanmengenai

keterkaitaninformasidari

duafakta/konsep,

interpretasiargumentasidan

kesimpulanmengenai

keterkaitanlebihdaridua

fakta/konsep/teori,

mensintesisdanargumentasi

sertakesimpulan

keterkaitanantarberbagai

jenisfakta‐

fakta/konsep/teori/pendapa

t;mengembangkan

interpretasi,struktur

baru,argumentasi,dan

kesimpulanyang

menunjukkanhubungan

fakta/konsep/teoridaridua

sumberataulebihyangtidak

ModulMatematikaSMA

9

bertentangan;

mengembangkan

interpretasi,strukturbaru,

argumentasidankesimpulan

darikonsep/teori/pendapat

yangberbedadariberbagai

jenissumber.

Mengomunikasi

kan

(communicatin

g)

menyajikanlaporandalam

bentukbagan,diagram,atau

grafik;menyusunlaporan

tertulis;danmenyajikanlaporan

meliputiproses,hasil,dan

kesimpulansecaralisan

menyajikanhasilkajian(dari

mengamatisampaimenalar)

dalambentuktulisan,grafis,

mediaelektronik,multi

mediadanlain‐lain

2. PengalamanBelajarMatematikaSMA

Keterlibatan siswa secara aktif dalam proses pembelajaran sebagaimana

dinyatakan dalam Permendikbud dilakukan melalui pengalaman belajar

mengamati, menanya, mengumpulkan informasi/mengekslorasi,

menalar/mengasosiasi, dan mengomu‐nikasikan. Dalam pembelajaran, guru

menugaskansiswamelakukaanpengamatan,bahanpengamatandapatdiambil

daribukuteks,darifenomenaalam,kontekssituasi/masalahnyata.Selanjutnya

kegiatan pengamatan yang dilakukan siswa ditindaklanjuti dengan memberi

kesempatan kepada untuk siswa bertanya tentang/ hal‐hal yang berkaitaan

denganobjekobservasiyangdiberikan.

Denganinidiharapkankemampuanberpikirkritissiswadapatbertumbuh.Agar

siswadapatbertanyadankualitaspertanyaanbaik,diperlukanbahanobservasi

yangmenarikperhatiandansesuai/tidakjauhdaripengalamanbelajarsiswa.

Keemudiangurumemberipenugasandimanasiswamengumpulkaninformasi/

ekplorasi untukmemperluas,memperdalam,merinci objekobservasi/hal‐hal

yangberkaitandenganobjekyangdiobservasi.Denganrangkaianpengalaman

belajar dalam kegiatan mengamati, menanya, dan mengumpulkan informasi/

eksplorasisiswalebihsiapuntukmelakukanprosespembelajaranselanjutnya,


10

yaitu menalar/ mengasosiasi. Tahap kegiatan menalar/ mengasosiasi, guru

memberi penugasan kepada siswa untuk menghubungkan pengalaman yang

diperoleh peserta didik pada kegiatan mengaamati, menanya, dan

mengumpulkan informasi/ mengekplor melalui penugasan mensintesis

pengetaahuan dan keterampilan sesuai tuntutan kompetensi yang dinyatakan

dalamKD3danKD4atausebagiandarituntutankompetensitersebut.Terakhir,

siswa diberi kesempatan mengomunikasikan hasil kerja yang dilakukan dari

proses mengamati‐menanya‐mengeksplor‐mengasosiasi, dengan ini siswa

mempunyai pengalaman berargumentasi, dan mengkomunikasikan gagasan

denganformatyangsesuai.

Tahapan pelaksanaan pendekatan pembelajaran mengamati‐menanya‐

mengeksplorasi‐mengasosiasi‐mengomunikasikan disesuikan dengan

kebutuhan, sehingga terdapat variasi‐variasi tahapan pembelajaran, misalnya

dapat berupamengamati‐menanya‐menalar‐mengasosiasi‐mengomunikasikan,

atau mengamati‐menanya‐mengamati‐menanya‐menalar‐mengasosiasi‐

mengomunikasikan, atau tahapanbelajar lainnyayangmemberipesertadidik

pengalaman belajar mengamati, menanya, mengeksplor, mengasosiasi, dan

mengomunikasikan.

Proses pembelajaranpada setiap satuanpendidikan baik itu pendidikan dasar

ataupun pendidikan menengah hendaknya merupakan pembelajaran yang

interaktif, inspiratif,menyenangkan,menantang,danmemotivasipesertadidik

untuk berpartisipasi aktif, serta memberikan ruang yang cukup bagi prakarsa,

kreativitas,dankemandiriansesuaidenganbakat,minat,danperkembanganfisik

sertapsikologispesertadidik. Itu sekurang‐kurangnya yangdiamanatkanoleh

PermendiknasNo.41Tahun2007,danPermendikbudNo65Tahun2013.

Belajarmatematika artinyamembangun pemahaman tentang konsep‐konsep,

fakta, prosedur, dan gagasan matematika. Menurut Hierbert dan Carpenter

dalam Goos et al (Kemdikbud, 2014‐c) bahwa memahami adalah membuat

pengaitan antara gagasan, fakta, dan prosedur. Mengenalkan gaya belajar

kepada siswa danmengadaptasi berbagaimacam strategi pembelajaran akan

memudahkan siswamemahami konsep‐konsepmatematika. Hal ini didukung

ModulMatematikaSMA

11

olehpendapatStrong,Thomas,PerinidanSilverdalamMink(Kemdikbud,2014‐

c) yang mengatakan bahwa “pengenalan gaya belajar matematika dan

mengadaptasi strategi pembelajaran matematika yang berbeda dapat

memfasilitasisiswabelajar”.

Dengan pemahaman seperti ini, memungkinkan seorang guru untuk dapat

berupaya memberikan inspirasi kepada siswa dengan gagasan‐gagasan

matematika yang menantang dan menyenangkan yang dikemas dalam

pembelajaranmatematikayang interaktif.Sehinggasecarakreatif siswadapat

menciptakan atau menemukan konsep‐konsep matematika yang sebelumnya

telahditemukanparapendahulunya.Denganadanyaruanggerakuntukproses

penemuanbagisiswamemungkinkansiswamemilikiprakarsadankreativitas.

Pembelajaran matematika hendaknya berangkat dari hal‐hal yang bersifat

kongkretmenujuabstrak.Pelaksanaankegiatanbelajarmengajargurudituntut

lebihmengoptimalkan penggunaan peralatan,media, alat peraga dan sumber

belajar lainnya yang menarik dan berdaya guna sesuai dengan tuntutan

kompetensi. Pembelajaran matematika intinya adalah pada problem solving,

namun problem solving yang dilakukan secara otomatis juga menyentuh

persoalanpenalaranuntukmembangunpolaberfikirkritispesertadidik.

Untuk menciptakan pembelajaran yang dimaksud maka guru harus

memperhatikanpilar‐pilarpembelajaran,yaitu:

1) konsep‐konsep disajikan dengan logika matematika sederhana dan

disajikandenganbahasayangmudahdipahamiolehpesertadidiksehingga

baik peserta didik berkemampuan rendah pun dapat merasakan

kemudahan mempelajari konsep‐konsep tersebut. Guru diharapkan

memilikipengetahuanmengenaikemampuanyangsiswamilikiyangterkait

denganmateriyangakandiajarkan;

2) menumbuhkankeasyikandalambelajar,rasaingintahusehinggaakanterus

mengeksplor serta melakukan investigasi dalam kegiatan belajar dalam

memecahkansoal‐soaldanmasalah‐masalahdalammateriterkait;


12

3) menumbuhkan suasana kesenangan dan keriangan (fun) dalam kegiatan

pembelajaran, yaitu terciptanya suasana rileks, tidak tegang atau cemas

(anxiety)baik,bebasberpendapatyangberbedadaripendapatyanglainnya,

dihargai sekalipun pendapatnya tidak sepenuhnya benar, kepekaan dan

peduli dalam merespons terhadap masalah yang dikemukakan /dialami

peserta didik, serta lingkungan belajarmenarik (misalnya keadaan kelas

terang,pengaturantempatdudukleluasauntukpesertadidikbergerak).

4) aktif, yaitu pembelajaran yang berpusat pada peserta didik (student

centered). Untuk mengaktifkan peserta didik, kata kunci yang dapat

dipegang guru adalah adanya kegiatan yang dirancang untuk dilakukan

pesertadidikbaikkegiatanberpikirmaupunberbuat(handsondanminds

onactivities).Fungsidanperangurulebihbanyaksebagaifasilitator.Ciri‐ciri

pembelajaran aktif adalah peserta didik: aktif bertanya, aktif belajar,

mengemukakan gagasan, merespon gagasan orang lain dan

membandingkannya dengan gagasannya sendiri. Bentuk kegiatan yang

mendukungbelajaraktifmisalnya:bermainperan,menulisdengankata–

kata sendiri, belajar kelompok, memecahkan masalah, diskusi,

mempraktikan keterampilan, melakukan kegiatan investigasi dan

eksplorasi.Pembelajaranberpusatpadapesertadidikmempunyaiciri‐ciri

sepertiterterapadatabelberikut.

Tabel2Ciripembelajaranberpusatsiswa

Guru Pesertadidik

1. sebagaifasilitator,bukanpenceramah

2. memantaukegiatanbelajarpesertadidik

3. memberikanumpanbalik4. mengajukanpertanyaanyang

menantang5. mempertanyakangagasanpeserta

didikuntukmenuntunmerekamenemukanjawabanterhadappermasalahanmereka

1. aktifbertanya2. aktifbelajar3. mengemukakangagasan4. merespongagasanoranglain

danmembandingkannyadengangagasannyasendiri

5. fokuspembelajaranpadapesertadidikbukanGuru.

ModulMatematikaSMA

13

pembelajarandidesainsedemikianrupasehinggadapatmenstimulasipesertadidik

untuk mengembangkan gagasannya (kreatif dan inovatif) dengan memanfatkan

sumber belajar yang ada. Hal ini dapat dilakukan dengan cara:menyajikan suatu

situasi yangmenarik (kontekstual) sehingga peserta didik dapatmerespon untuk

menyelesaikanpermasalahansesuaidenganpengalamandanpengetahuanmereka

(informal),memberi kebebasan untukmengembangkan gagasan dan pengetahuan

baru, bersikap respek dan menghargai ide–ide peserta didik, memberikan waktu

yangcukupunukpesertadidikberpikirdanmenghasilkankarya,sertamengajukan

pertanyaan–pertanyaan untuk menggugah kreativitas seperti : “mengapa”,

“bagaimana”,“apayangterjadijika….”,danbukanpertanyaan“apa”atau“kapan”,

efektifitas,yaitupembelajaranyangberfokuspadakompetensiyangharusdikuasai

pesertadidiksetelahprosespembelajaranberlangsung(sepertidicantumkandalam

tujuanpembelajaran)denganmenggunakancarayangefisien,

kreatif : pembelajaran didesain sedemikian rupa sehingga dapat menstimulasi

peserta didik untuk mengembangkan gagasannya dengan memanfatkan sumber

belajaryangada.

efektif:pembelajaranyangmenghasilembarkerjaankompetensiyangharusdikuasai

pesertadidiksetelahprosespembelajaranberlangsung(sepertidicantumkandalam

tujuanpembelajaran)denganmenggunakancarayangefisien.

D. AktifitasPembelajaran

Kegiatan1

Diskusikandalamkelompokkecil:

DalampembelajaranmatematikadiSMA,terdapatprosespembelajaranlangsung

danprosespembelajarantidaklangsung.Jelaskanapadanbagaimanakeduajenis

prosespembelajarantersebut!

Kegiatan2


Keterlibatan siswa secara aktif dalam proses pembelajaran sesuai standar proses

dilakukan melalui pengalaman belajar mengamati, menanya, mengumpulkan

informasi/ mengeksplorasi, menalar/mengasosiasi, dan mengomunikasikan.

Jelaskan bentuk‐bentuk kegiatan pembelajaran dari masing‐masing pembelajaran

tersebut!


14

Kegiatan3


Untukmenciptakanpembelajaranmatematikayangsesuaiharapan,makaguruharus

memperhatikanpilar‐pliarpembelajaran.Jelaskanpilar‐pilarpembelajaranitu!

E. Latihan/Kasus/Tugas

Pilihlahdenganmemberitandasilang(X)padajawabanyangAndaanggapbenar!

1. Jelaskanapayangdimaksudindikatorpencapaiankompetensi.

2. Dalampembelajaranmeniscayakan adanya tujuanpembelajaran. Jelaskanapa

yangdimaksudtujauanpembelajaran

3. Kegiatan mengumpulkan informasi dalam pembelajaran akan diikuti dengan

mengolahinformasi.Berikangambaransingkatmengenaimengolahinformasi

4. Misalkankompetensiyangakandiraihadalahmenentukanruangsampelsuatu

percobaandangurumenginginkansuatupenugasanyangdapatmenumbuhkan

kerjasamaantarasiswa.Berikancontohkegiatanyangsesuai

F. Rangkuman

1. Pembelajaran matematika di SMA, dirancang dengan titik tolak pencapaian

kompetensi pengetahuaan yang rumuskan dalam KD3 terintegrasi dengan

pencapaiankompetensiketerampilanyangdirumuskandalamKD4.Pemilihan

materi ajar dan proses pembelajaran dirancang dengan mempertimbangkan

pencapaian/berkembangkompetensisikapyangdirumuskandalamKD1dan

KD2.

2. Keterlibatansiswasecaraaktifdalamprosespembelajaransesuaistandarproses

dilakukan melalui pengalaman belajar mengamati, menanya, mengumpulkan

informasi/mengeksplorasi,menalar/mengasosiasi,danmengomunikasikan.

3. Pilar‐pliarpembelajaranmatematika.

a. Konsep‐konsepdisajikandenganlogikamatematikasederhanadandisajikan

denganbahasayangmudahdipahamiolehpesertadidik.

b. Menumbuhkankeasyikandalambelajar,danrasaingintahu.

c. Menumbuhkan suasana kesenangan dan keriangan (fun) dalam kegiatan

pembelajaran.

d. Aktif.

ModulMatematikaSMA

15

e. Pembelajaran didesain agar menstimulasi peserta didik untuk

mengembangkangagasannya.

f. Efektifitas.

g. Kreatif.

h. Efektif.

G. UmpanBalikdanTindakLanjut

CocokkanlahjawabanAndadengankuncijawabanyangterdapatpadabagianakhir

KegiatanPembelajaranini.Hitunglahjawabanyangbenar.Kemudiangunakanrumus

berikutiniuntukmengetahuitingkatpenguasaanAndadalamKegiatanPembelajaran

ini.

Rumus:

TingkatPenguasaan Jumlahjawabanyangbenar

Jumlahsoalx100%

ArtitingkatpenguasaanyangAndacapai:

90–100 = Baiksekali

80–89 = Baik

70–79 = Cukup

<70 = Kurang

JikatingkatpenguasaanAndaminimal80%,makaAndadinyatakanberhasildengan

baik.AndadapatmelanjutkanuntukmempelajariKegiatanPembelajaranberikutnya.

Sebaliknya,bilatingkatpenguasaanAndakurangdari80%,silakanpelajarikembali

uraianyangterdapatdalamKegiatanPembelajaranini,khususnyabagianyangbelum

Andakuasai.

H. KunciJawaban

1. Rumusan yang merupakan penanda perilaku (sikap, pengetahuan dan

keterampilan) terkait isi yang akan digunakan guru sebagai landasan

pembelajaran

2. Rumusan yang merupakan fokus utama perubahan perilaku dalam proses

penguasaankompetensiyangdikembangkandalamprosespembelajaranuntuk

mencapaistandarkompetensilulusanyangtelahdicanangkan


16

3. Intinyaadalahmengolahinformasiyangsudahdikumpulkan,menganalisisdata,

mengasosiasi atau menghubungkan fenomena/informasi yang terkait dalam

rangkamenemukansuatupola,danmenyimpulkan

4. Contoh kegiatan harus memuat sustu trial atau percobaan yang didalamnya

memuatkerjasama.

17


PengembanganRencanaPelaksanaanPembelajaran

(RPP)MatematikaSMA

A. Tujuan

Melalui kegiatanpembelajaran ini, dapatmeningkatkanwawasandan kompetensi

guru khususnya dalam memahami tentang konsep penyusunan RPP, prinsip

penyusunan RPP, komponen RPP, dan langkah penyusunan RPP, serta mampu

menyusunRPPsesuaidenganmekanismepengembanganRPP


Setelahmengikutipembelajaranmodulini,pesertadiharapkandapat:

1. menjelaskantentangkonseppenyusunanRPP,

2. menjelaskantentangprinsippenyusunanRPP,

3. menjelaskantentangkomponenRPP,

4. menjelaskantentanglangkahpenyusunanRPP,dan

5. menyusunRPPsesuaidenganmekanismepengembanganRPP

6. menyusunindikatorpencapaiankompetensi

C. UraianMateri

1. Konsep,Prinsip,Komponen,danLangkahPenyusunanRPP

Sesuai standar proses bahwa tahap pertama dalam pembelajaran adalah

perencanaanpembelajaran yang diwujudkan dengan kegiatan penyusunan

RPP. RPPadalah rencanakegiatan pembelajaran tatap muka untuk satu

pertemuan atau lebih. RPP dikembangkan dari silabus untukmengarahkan

kegiatanpembelajaranpesertadidikdalamupayamencapaiKompetensiDasar

(KD).Setiappendidik pada satuanpendidikanberkewajibanmenyusun

RPPsecaralengkapdansistematisagarpembelajaranberlangsungsecara

interaktif,inspiratif,menyenangkan,menantang,efisien,memotivasipeserta


18

didikuntukberpartisipasiaktif,sertamemberikanruangyangcukupbagi

prakarsa,kreativitas,dankemandiriansesuaidenganbakat,minat,dan

perkembanganfisiksertapsikologispesertadidik.RPPdisusunberdasarkan

KDyangdilaksanakandalamsatukalipertemuanataulebih.

Dalam menyusun RPP seorang guru harus memperhatikan prinsip‐prinsip

penyusunanRPP,yaitusebagaiberikut.

1) SetiapRPPharussecarautuhmemuatkompetensidasarsikapspiritual(KD

dari KI‐1), sosial (KD dari KI‐2), pengetahuan (KD dari KI‐3), dan

keterampilan(KDdariKI‐4).

2) SatuRPPdapatdilaksanakandalamsatukalipertemuanataulebih.

3) Memperhatikanperbedaanindividupesertadidik.

4) RPP disusun denganmemperhatikan perbedaan kemampuan awal, tingkat

intelektual, minat, motivasi belajar, bakat, potensi, kemampuan sosial,

emosi,gaya belajar, kebutuhan khusus, kecepatan belajar, latar belakang

budaya,norma,nilai,dan/ataulingkunganpesertadidik.

5) Berpusatpadapesertadidik.

6) Proses pembelajaran dirancang dengan berpusat pada peserta didik untuk

mendorongmotivasi,minat,kreativitas,inisiatif,inspirasi,kemandirian,dan

semangat belajar, menggunakan pendekatan saintifik meliputi mengamati,

menanya, mengumpulkan informasi/mencoba, menalar/mengasosiasi, dan

mengomunikasikan.

7) Berbasiskonteks.

8) Prosespembelajaranyangmenjadikanlingkungansekitarnyasebagaisumber

belajar.

9) Berorientasikekinian.

10) Pembelajaranyangberorientasipadapengembanganilmupengetahuandan

teknologi,dannilai‐nilaikehidupanmasakini.

11) Mengembangkankemandirianbelajar.

12) Pembelajaranyangmemfasilitasipesertadidikuntukbelajarsecaramandiri.

13) Memberikanumpanbalikdantindaklanjutpembelajaran.

14) RPPmemuatrancanganprogrampemberianumpanbalikpositif,penguatan,

pengayaan,danremedi.

ModulMatematikaSMA

19

15) Memiliki keterkaitan dan keterpaduan antarkompetensi dan/ atau

antarmuatan.

16) RPPdisusundenganmemperhatikanketerkaitandanketerpaduanantaraKI,

KD, indikator pencapaian kompetensi, materi pembelajaran, kegiatan

pembelajaran, penilaian, dan sumber belajar dalam satu keutuhan

pengalamanbelajar.RPPdisusundenganmengakomodasikanpembelajaran

tematik, keterpaduan lintas mata pelajaran, lintas aspek belajar,dan

keragamanbudaya.

17) Memanfaatkanteknologiinformasidankomunikasi

18) RPPdisusundenganmempertimbangkanpenerapanteknologiinformasidan

komunikasisecaraterintegrasi,sistematis,danefektifsesuaidengansituasi

dankondisi.

Komponen RPP sesuai dengan Permendikbud Nomor 103 tahun 2014 paling

sedikit memuat: (1) identitas sekolah/madrasah, mata pelajaran, dan

kelas/semester;(2)alokasiwaktu;(3)KI,KD,indikatorpencapaiankompetensi;

(4) materi pembelajaran; (5) kegiatan pembelajaran; (6) penilaian; dan (7)

media/alat,bahan,dansumberbelajar.

Guru harus dapat menyusun dan mengembangkan RPP sesuai dengan

karakteristikpesertadidikdanmateripelajaranyangakandibahas,begitujuga

dengankomponennya,misalnyamenambahkantujuanpembelajaransecarautuh

mencakuppengetahuan,keterampilan,dansikapyangingindicapaisebagaihasil

pembelajarantertentu.SemuakomponentersebutdituangkandalamRPPdengan

menggunakanformatsepertiberikut.


20

ModulMatematikaSMA

21

FormatdiatasmerupakanformatyangmemuatkomponenRPPminimal,sehingga

gurudapatmengembangkannyasecaramaksimal,sesuaidengankebutuhan.

UntukdapatmenyusunRPPdenganbaik danmudah, guru hendaknyamelakukan

langkah‐langkahpenyunanRPPsebagaiberikut.


22

1) Pengkajiansilabusmeliputi:(1)KIdanKD;(2)materipembelajaran;(3)proses

pembelajaran;(4)penilaianpembelajaran;(5) alokasiwaktu;(6)sumber

belajar.

2) PerumusanindikatorpencapaianKDpadaKI‐3,danKI‐4danuntukmata

pelajaranAgamadanPPKnjugamerumusindicatorpencapaianyangkoheren

danlinieruntukKI‐1,KI‐2.

3) Perumusan tujuan pembelajaran yang merupakan penambahan dari

komponenminimalsesuaiPermendikbudNomor103tahun2014.

4) PenyusunanMateriPembelajaran.

Materi pembelajaran dapat berasal dari buku teks pelajaran dan buku

panduan guru, sumber belajar lain berupa muatan lokal, materi kekinian,

kontekspembelajarandarilingkungansekitaryangdikelompokkanmenjadi

materiuntukpembelajaranreguler,pengayaan,danremedial.

5) PenjabaranKegiatanPembelajaranyangadapadasilabusdalambentukyang

lebihoperasionalberupapendekatansaintifikdisesuaikandengankondisi

pesertadidikdansatuanpendidikantermasukpenggunaanmedia,alat,bahan,

dansumberbelajar.

6) Penentuanalokasiwaktuuntuksetiappertemuanberdasarkanalokasiwaktu

padasilabus,selanjutnyadibagikedalamkegiatanpendahuluan,inti,dan

penutup.

7) Pengembangan penilaian pembelajaran dengan cara menentukan lingkup,

teknik,daninstrumenpenilaian,sertamembuatpedomanpenskoran.

8) Menentukan strategi pembelajaran remedial segera setelah dilakukan

penilaian.

9) Menentukanmedia,alat,bahandansumberbelajardisesuaikandengan

yangtelahditetapkandalamlangkahpenjabaranprosespembelajaran.

2. MekanismePengembanganRPP

Pengembangan RPP dapat digambarkan sebagai suatu proses menjabarkan

keterkaitan antara KI dan KD dengan ketercapaian SKL, melalui proses

pembelajaran dan penilaian. Rangkain proses tersebut dapat digambarkan seperti

padagambarberikut.

ModulMatematikaSMA

23

Gambar1.KeterkaitanKIdanSKLdalamPembelajaran

Secararincipenjelasandarigambardiatasdijelaskansebagaiberikut.

a. KeterkaitanantaraKIdanSKL.

KI‐3kompetensipengetahuanyangdikembangkanmenjadiKompetensiDasar

(KD) dan Indikator Pencapaian Kompetensi (IPK), dan selanjutnya

dikembangkanmenjadimateripokok/tema/topikyangharusdicapaioleh

peserta didik melalui kegiatan pembelajaran (though curriculum) dan akan

memberikanpengalamanbelajar secara langsung(direct teaching). Untuk

mengetahui keberhasilan peserta didik terhadap pengetahuan, dilakukan

penilaianpengetahuandalambentuktestulis,teslisan,ataupenugasan.

KI‐4merupakankompetensiketerampilanyangdikembangkanmenjadiKD

danIPKdanharusdicapaiolehpesertadidikmelaluikegiatanpembelajaran

(though curriculum) yang akan memberikan pengalaman belajar secara

langsung (direct teaching). Penilaian kompetensi keterampilan dapat

dilakukanantaralaindenganpenilaianprojek,unjukkerja,atauportofolio.


24

KI‐1 dan KI‐2merupakan kompetensi sikap spiritual dan sikap sosial (dapat

dikembangkanmenjadiKDdanIPKsesuaikarakteristikmatapelajaran)yang

harusdicapaipesertadidiksebagaidampakpenggiring(nurturanteffects)

danmerupakanpengalamanbelajartidaklangsung(indirectteaching)melalui

kegiatan pembelajaran yang dikembangkan guru. Penilaian ketercapaian

kompetensi sikaptersebutdapatdilakukanmelaluipengamatan/observasi,

penilaiandiri,penilaianantarteman,ataujurnal.

Keempat kompetensi tersebut harus dicapai peserta didik sebagai hasil

pembelajaran secara utuh dan terpadu, agar peserta didik dapat mencapai

kompetensi minimal sesuai dengantuntutanStandarKompetensi Lulusan

(SKL).

Kegiatan pembelajaran yang dikembangkan menggunakan model

pembelajaran yang sesuai dengan pendekatan saintifik, yaitu pendekatan

pembelajaranyangmemberikanpengalamanbelajarkepadapesertadidik

melaluikegiatanmengamati,menanya,mengumpulkaninformasi/mencoba,

menalar/mengasosiasi,danmengomunikasikan.

b. MengembangkanIndikatorPencapaianKompetensi(IPK).

Indikatormerupakanrumusanyangmenggambarkankarakteristik,ciri‐ciri,

perbuatan, atau respon yang harus ditunjukkan atau dilakukan oleh peserta

didikdandigunakansebagaipenanda/indikasipencapaiankompetensidasar.

IndikatorPencapaianKompetensi(IPK)adalahperilakuyangdapatdiukur

dan/atau diobservasi untuk menunjukkan ketercapaian kompetensi dasar

tertentuyangmenjadiacuanpenilaianmatapelajaran.IndikatorPencapaian

Kompetensi (IPK) dapat dirumuskan dengan menggunakan kata kerja

operasional yang dapat diamati dan diukur, yang mencakup sikap,

pengetahuan,danketerampilan.

Indikator merupakan penanda pencapaian KD yang ditandai oleh perubahan

perilaku yang dapat diukur yang mencakup sikap, pengetahuan, dan

keterampilan. Indikator untuk KD yang diturunkan dari KI‐1 dan KI‐2

ModulMatematikaSMA

25

dirumuskandalambentukperilakuumumyangbermuatannilaidansikap

yanggejalanyadapatdiamatisebagaidampakpengiringdariKDpadaKI‐3

danKI‐4.IndikatoruntukKDyangditurunkandariKI‐3danKI‐4dirumuskan

dalambentukperilakuspesifikyangdapatdiamatidanterukur.

Indikator dikembangkan sesuai dengan karakteristik peserta didik, mata

pelajaran,satuanpendidikan,potensidaerahdandirumuskandalamkata

kerja operasional yang terukur dan/atau dapat diobservasi. Indikator

digunakansebagaidasaruntukmenyusunalatpenilaian.Indikatordiurutkan

darikompetensisederhanakekompleks.

PenggunaanKKOpadaIPKdisesuaikandengankarakteristikmatapelajaran,dan

dikaitkandenganmateri pembelajaranyangmemuatpengetahuanfaktual,

konseptual,danprosedural(untukkelasX),sertametakognisi(untukkelas

XI danXII). Kata kerja operasional padaKDbenar‐benar terwakili dan teruji

akurasinyapadadeskripsiyangadadikatakerjaoperasionalindikator.JikaRPP

digunakanuntukbeberapakalipertemuan,makaindikatordirinciuntuksetiap

pertemuan.

Beberapahalyangperludiperhatikandalammerumuskanindikatorpencapaian

kompetensiadalahsebagaiberikut.

1) Untuk satu KD dirumuskan minimal ke dalam dua indikator pencapaian

kompetensi. Jumlah dan variasi rumusan indikator disesuaikan dengan

karakteristik, kedalaman, dan keluasan KD, serta disesuaikan dengan

karakteristikpesertadidik,matapelajaran,satuanpendidikan.

2) Perumusan indikator dalam bentuk kata kerja operasional yang dapat

diukurataudiamatikinerjanyamelaluipenilaian.

3) Rumusan indikator hendaknya relevan dan merinci kompetensi dasar

sehinggadapatdigunakansebagaiacuanpembelajarandanpenilaiandalam

mencapaikompetensi.

4) Rumusan indikator hendaknya disesuaikan dengan prinsip‐prinsip

pembelajaranmatematikaberdasarkanmasalah,memberikanpengalaman

belajar bagi siswa, seperti menyelesaikan masalah otentik (masalah


26

bersumber dari fakta dan lingkungan budaya), berkolaborasi, berbagi

pengetahuan,salingmembantu,berdiskusidalammenyelesaikanmasalah.

5) Rumusanindikatorberbedadengantujuanpembelajaran.Rumusantujuan

pembelajaran merupakan kemampuan atau hasil belajar yang dicapai

dikaitkan dengan kondisi, situasi, karakteristik pembelajaran/ peserta

didik/satuanpendidikan/daerah.

Indikator memiliki kedudukan yang sangat strategis dalam mengembangkan

pencapaiankompetensi.Indikatorberfungsisebagaipedomandalam:

1) mengembangkanmateripembelajaran,

2) mendesainkegiatanpembelajaranyangefektif,

3) mengembangkanbahanajar,dan

4) merancangdanmelaksanakanpenilaiandalammenentukanbentukdanjenis

penilaian.

Indikator pengetahuan dan keterampilan merupakan hasil belajar langsung,

dapat dikembangkanhingga tingkat kompetensi tertinggi (mencipta). Adapun

indikator sikap merupakan hasil belajar tidak langsung setelah dilakukan

kegiatanuntukmencapaipengetahuandanketerampilan.

c. MengidentifikasiMateriPembelajaran.

Materi pembelajaran dikembangkan dari KD‐3 dan/atau KD‐4, serta

memperhatikanKD‐1danKD‐2sebagaidampakpenggiring(nurturanteffects)

hasil belajar peserta didik. Materi Pembelajaran berasal dari buku teks

pelajarandanbukupanduanguru,sumberbelajarlainberupamuatanlokal,

materi kekinian, konteks pembelajaran dari lingkungan sekitar yang

dikelompokkanmenjadimateriuntukpembelajaranreguler,pengayaan,dan

remedial.Selainitumateripembelajaranjugaharusmencakupmateri‐materi

yang dapat melatih peserta didik untuk memiliki pengetahuan factual,

konseptual,proceduraldan/ataumetakognitif.

Materi pokok yang akan diajarkan, termasuk analisis topik, dan peta konsep.

Adapaunmateriprasyarat,yaitumateriyangharusdikuasaiolehsiswasebagai

ModulMatematikaSMA

27

dasar untuk mempelajari materi pokok. Dalam hal ini perlu dilakukan tes

kemampuanawalsiswa.

Materi pembelajaran, memuat fakta, konsep, prinsip, dan prosedur yang

relevan, dan ditulis dalam bentuk butir‐butir sesuai dengan rumusan

indikator ketercapaian kompetensi. Fakta, yaitu kejadian atau peristiwa yang

dapatdilihat,didengar,dibaca,disentuh,ataudiamati.Konsep,merupakanide

yangmempersatukanfakta‐faktaataudengankatalainkonsepmerupakansuatu

penghubung antara fakta‐fakta yang saling berhubungan. Prinsip,merupakan

generalisasitentanghubunganantarakonsep‐konsepyangberkaiatan.Prosedur,

merupakansederatanlangkahyangbertahapdansistematisdalammenerapkan

prinsip.

Untukmelakukanidentifikasimateripembelajaranharusmempertimbangkan

hal‐halantaralainsebagaiberikut.

1) Potensipesertadidik.

2) Relevansidengankarakteristikdaerah.

3) Tingkatperkembanganfisik,intelektual,emosional,sosial,danspritual

pesertadidik.

4) Kebermanfaatanbagipesertadidik.

5) Strukturkeilmuan.

6) Aktualitas,kedalaman,dankeluasanmateripembelajaran.

7) Relevansidengankebutuhanpesertadidikdantuntutanlingkungan.

8) Alokasiwaktu.

d. Mengembangkankegiatanpembelajaran

Kegiatan pembelajaran dirancang untuk memberikan pengalaman belajar

yangmelibatkanprosesmentaldanfisikmelaluiinteraksiantarpesertadidik,

peserta didik dengan guru, lingkungan, dan sumberbelajar lainnyauntuk

mencapaiKD.Terkaitpengalamanbelajar,dapatdilihatkembalipadakegiatan

pembelajaransebelumnya.


28

Sintaksis pembelajaran adalah langkah‐langkah pembelajaran yang dirancang

dandihasilkandari kajian teori yangmelandasimodelpembelajaranberbasis

konstruktivistik. Sementara, rencana pembelajaran adalah operasional dari

sintaks. Sehingga skenario pembelajaran yang terdapat pada rencana

pembelajarandisusunmengikutisetiaplangkah‐langkahpembelajaran(sintaks).

Sintaksmodelpembelajaran terdiridari5 langkahpokok,yaitu: (1)apersepsi

budaya, (2) orientasi dan penyelesaian masalah, (3) persentase dan

mengembangkan hasil kerja, (4) temuan objek matematika dan penguatan

skemata baru, dan (5) menganalisis dan mengevaluasi proses dan hasil

penyelesaian masalah. Kegiatan yang dilakukan untuk setiap tahapan

pembelajarandijabarkansebagaiberikut.

1) Kegiatangurupadatahapapersepsibudayaantaralain,sebagaiberikut.

a) Menginformasikanindikatorpencapaiankompetensidasar.

b) Menciptakanpersepsipositifdalamdirisiswaterhadapbudayanyadan

matematikasebagaihasilkonstruksisosial.

c) Menjelaskan pola interaksi sosial,menjelaskan peranan siswa dalam

menyelesaikanmasalah.

d) Memberikan motivasi belajar pada siswa melalui penanaman nilai

matematis,softskilldankebergunaanmatematika.

e) Memberi kesempatan pada siswa menanyakan hala‐hal yang sulit

dimengertipadamaterisebelumnya.

2) Kegiatan guru pada tahap penyelesaian masalah dengan pola interaksi

edukatifantaralainsebagaiberikut.

a) Membentukankelompok.

b) Mengajukanmasalahyangbersumberdarifaktadanlingkunganbudaya

siswa.

c) Memintasiswamemahamimasalahsecaraindividualdankelompok.

d) Mendorongsiswabekerjasamamenyelesaikantugas‐tugas.

e) Membantusiswamerumuskanhipotesis(dugaan).

f) Membimbing, mendorong/ mengarahkan siswa menyelesaikan

masalahdanmengerjakanlatihansoal.

g) Memberikanscaffoldingpadakelompokatauindividuyangmengalami

kesulitan.

ModulMatematikaSMA

29

h) Mengkondisikanantaranggotakelompokberdiskusi,berdebatdengan

polakooperatif.

i) Mendorongsiswamengekspresikanide‐idesecaraterbuka.

j) Membantu dan memberi kemudahan pengerjaan siswa dalam

menyelesaikanmasalahdalampemberiansolusi.

3) Kegiatangurupadatahappersentasidanmengembangkanhasilkerjaantara

lainsebagaiberikut.

a) Memberi kesempatan pada kelompok mempresentasikan hasil

penyelesaianmasalahdidepankelas.

b) Membimbingsiswamenyajikanhasilkerja.

c) Memberi kesempatan kelompok lain mengkritisi/ menanggapi hasil

kerja kelompok penyaji dan memberi masukan sebagai alternatif

pemikiranmembantusiswamenemukankonsepberdasarkanmasalah.

d) Mengontroljalannyadiskusiagarpembelajaranberjalandenganefektif

.

e) Mendorongketerbukaan,proses‐prosesdemokrasi.

f) Mengujipemahamansiswa.

4) Kegiatangurupadatahaptemuanobjekmatematikadanpenguatanskemata

baruantaralainsebagaiberikut.

a) Mengarahkansiswamembangunkonsepdanprinsipsecarailmiah.

b) Menguji pemahaman siswa atas konsep yang ditemukan melalui

pengajuancontohdanbukancontohkonsep.

c) Membantu siswamendefinisikandanmengorganisasikan tugas‐tugas

belajaryangberkaitandenganmasalah.

d) Memberi kesempatan melakukan konektivitas konsep dan prinsip

dalammengerjakansoaltantangan.

e) Memberikanscaffolding.

5) Kegiatangurupadatahapmenganalisisdanmengevaluasiprosesdanhasil

penyelesaianmasalahantaralainsebagaiberikut.

a) Membantusiswamengkajiulanghasilpenyelesaianmasalah.

b) Memotivasi siswa untuk terlibat dalam penyelesaian masalah yang

selektif.


30

c) Mengevaluasi materi akademik: memberi kuis atau membuat peta

konsepataupetamateri.

Kegiatan pembelajaran sendiri diorganisasikan menjadi tiga tahap kegiatan

yaitu, kegiatanpendahuluna, kegiatan inti, dankegiatanpenutup. Secara rinci

tahapaninidiuraikansebagaiberikut.

1) Kegiatanpendahuluan,kegiatanyangdilakukanguruadalahmenyiapkan

peserta didik secara psikis dan fisik untuk mengikuti proses

pembelajaran, mengajukan pertanyaan‐pertanyaan tentang materi yang

sudah dipelajari dan terkait dengan materi yang akan dipelajari,

mengantarkanpesertadidikkepadasuatupermasalahanatautugasyang

akan dilakukan untuk mempelajari suatu materi danKD yang akan

dikuasai,menyampaikan garis besar cakupan materi dan penjelasan

tentangkegiatanyangakandilakukanpesertadidikuntukmenyelesaikan

permasalahanatautugas,danmenyampaikanlingkupdanteknikpenilaian.

2) Kegiatan inti, merupakan proses pembelajaran untuk mencapai

kompetensi,yangdilakukansecarainteraktif,inspiratif,menyenangkan,

menantang, memotivasi peserta didik untukberpartisipasi aktif, serta

memberikan ruang yang cukup bagi prakarsa, kreativitas, dan

kemandiriansesuaidenganbakat,minatdanperkembanganfisikserta

psikologispesertadidik.Kegiatanintimenggunakanpendekatansaintifik

dandisesuaikan dengan karakteristik mata pelajaran matematikadan

peserta didik. Guru memfasilitasi peserta didik untuk melakukan

pengalaman belajar berupa mengamati, menanya, mengumpulkan

informasi/ mencoba, menalar/ mengasosiasi, dan mengomunikasikan,

ataumemfasilitasikegiatansesuaidenganlangkahmodelyangdigunakan.

Dalamsetiapkegiatanguruharusmemperhatikanperkembangansikap

peserta didik pada kompetensi dasar dari KI‐1 dan KI‐2 antara lain

mensyukurikaruniaTuhan,jujur,teliti,kerjasama,toleransi,disiplin,taat

aturan,menghargaipendapatoranglainyangtercantumdalamsilabusdan

RPP.

ModulMatematikaSMA

31

3) Kegiatanpenutup,terdiriataskegiatangurubersamapesertadidikantara

lainmembuatrangkuman/simpulanpelajaran,melakukanrefleksi, dan

memberikanumpanbalikterhadapprosesdanhasilpembelajaran,dan

kegiatanguruuntukmelakukanpenilaian,merencanakankegiatantindak

lanjut, dan menyampaikan rencana pembelajaran pada pertemuan

berikutnya.

e. MenentukanModeldan/atauMetodePembelajaran

Model dan/ataumetodedipilihyangsesuai denganpendekatansaintifik

yang diperlukan untuk mengembangkan sikap (spiritual dan sosial),

pengetahuan, dan keterampilanyang pelaksanaannya difokuskan kepada

kesesuaiandenganpengalamanbelajarpesertauntukmencapaikompetensi

tertentu. Selain itu, pemilihan model atau metode juga harus

mempertimbangkankarakteristikKDataumateripembelajaran.

Jika kegiatan pembelajaran menggunakan model tertentumaka langkah‐

langkah kegiatan di RPP disesuaikan dengan langkah (sintaksis)model

pembelajarantersebut,untukmengembangkandanmenciptakanpembelajaran

saintifik. Lebih lanjut tentang model, metode, strategi pembelajaran, dapat

dipelajaripadamodultersendiri.

f. Menentukanalokasiwaktu

PenentuanalokasiwaktupadasetiapKDdidasarkanpadajumlahminggu

efektif dan alokasi waktu mata pelajaran per minggu dengan

mempertimbangkanjumlahKD,keluasan,kedalaman,tingkatkesulitan,dan

tingkatkepentinganKD.Waktuharusleluasauntukmemungkinkanpeserta

didik berproses (menyelesaikan tugas dan mengikuti prosedur yang

ditetapkan). Alokasi waktu dirinci dan disesuaikan dengan RPP karena yang

dicantumkan pada silabus merupakan perkiraan waktu rerata untuk

menguasaiKDyangdibutuhkanolehpesertadidikyangberagam.


32

g. MengembangkanPenilaian.

1) PenilaianpencapaianKDpesertadidikdilakukanberdasarkanindikator.

2) Penilaiandilakukandenganmenggunakanpenilaianautentikdannon

autentik, dalam bentuk tertulis maupun lisan, pengamatan kinerja,

pengukuransikap,penilaianhasilkaryaberupatugas,projekdan/atau

produk,penggunaanportofolio,dan/ataupenilaiandiri.

3) Penilaian diarhkan untuk mendorong peserta didik menghasilkan

karya,makapenyajianportofoliomerupakancarapenilaianyangdapat

dilakukanuntukjenjangpendidikandasardanmenengah.

4) Penilaiandiarahkanuntukmengukurpencapaiankompetensi.

5) Penilaian menggunakan acuan kriteria; yaitu berdasarkan apa yang

bisadilakukanpesertadidiksetelahmengikutiprosespembelajaran,

danbukanuntukmenentukanposisiseseorangterhadapkelompoknya.

6) Sistempenilaiannyaberkelanjutandalamartisemuaindikatorditagih,

kemudian hasilnya dianalisis untukmenentukan KD yang telah dimiliki

danyangbelum,sertauntukmengetahuikesulitanpesertadidik.Hasil

penilaiandianalisisuntukmenentukantindaklanjut.

7) Tindaklanjuthasilpenilaianberupaperbaikanprosespembelajaran

berikutnya, program remedi bagi peserta didik yang pencapaian

kompetensinya di bawah ketuntasan, dan program pengayaan bagi

pesertadidikyangtelahmemenuhiketuntasan.

8) Sistem penilaian disesuaikan dengan pengalaman belajar yang

ditempuh dalam proses pembelajaran. Misalnya, jika pembelajaran

menggunakan pendekatan tugas observasi lapangan maka evaluasi

harusdiberikanbaikpadaprosesmisalnyateknikwawancara,maupun

produkberupahasilmelakukanobservasilapangan.

a. Menentukanalat/bahan/media,atausumberbelajar.

Merupakanrujukan,objekdan/ataubahanyangdigunakanuntukkegiatan

pembelajaran,yangberupamediacetakdanelektronik,narasumber,serta

lingkunganfisik,alam,sosial,danbudaya.Secararincitentangmateriinidibahas

dalammodultersendiri.

ModulMatematikaSMA

33

D. AktifitasPembelajaran

Kegiatan1

Diskusikandalamkelompokkecil.

JelaskantentangpengertianRPP,prinsip‐prinsippenyusunanRPP,komponen

RPP,danlangkahpenyusunanRPP!

Kegiatan2


PengembanganRPPdapatdigambarkansebagaisuatuprosesmenjabarkan

keterkaitan antara KI dan KD dengan ketercapaian SKL, melalui proses

pembelajarandanpenilaian?Jelaskanketerkaitantersebut!

Kegiatan3


Indikator merupakan penanda pencapaian KD yang ditandai oleh perubahan

perilaku yang dapat diukur yang mencakup sikap, pengetahuan, dan

keterampilan. Jelaskan hal yang perlu diperhatikan dalam merumuskan

indikatorpencapaiankompetensi!

Kegiatan4


Materi pembelajaran dikembangkan dari KD‐3 dan/atau KD‐4, serta

memperhatikanKD‐1danKD‐2sebagaidampakpenggiring(nurturanteffects)

hasilbelajarpesertadidik.Jelaskanhal‐halyangharusdipertimbangkanuntuk

melakukanidentifikasimateripembelajaran!

Kegiatan5


Kegiatan pembelajaran dirancang untuk memberikan pengalaman belajar

yangmelibatkanprosesmentaldanfisikmelaluiinteraksiantarpesertadidik,

peserta didik dengan guru, lingkungan, dan sumberbelajar lainnyauntuk

mencapai KD. Jelaskan hal‐hal yang harus diperhatikan dalam

mengembangkankegiatanpembelajaran!

Kegiatan6



34

Kegiatan pembelajaran diorganisasikan menjadi tiga tahap kegiatan yaitu,

kegiatanpendahuluna, kegiatan inti,dankegiatanpenutup. Jelaskankegiatan‐

kegiatanyangdilakukanpadamasing‐masingtahap!

Kegiatan7


Jelaskan secara umum bagaimana menentukan model dan/atau metode

pembelajaran, menentukan alokasi waktu, dan mengembangkan penilaian,

dalampenyusunanRPP!

Kegiatan8


Selesaikantugas1,tugas2,dantugas3,secarabertahap!

E. Latihan/Kasus/Tugas

Latihan

Pilihlah dengan memberi tanda silang (X) pada jawaban yang Anda anggap

benar!

1. Berikut ini yangmerupakankonsep tentangpenyusunanRPPyangbenar

adalah....

a. RPPadalahrencanakegiatanpembelajarantatapmukauntuksatu

pertemuanataulebih

b. RPP dikembangkan dari silabus untuk mengarahkan kegiatan

pembelajaran peserta didik dalam upaya mencapai indikator

pencapaiankompetensi

c. PenyusunanRPPmerupakanrangkaiankegiatanyangdimulaidari

kajian terhadap instrumen penilaian proses dan hasil pembelajran

siswa

d. RPP dikembangkan dari buku pedoman guru untuk mengarahkan

kegiatan pembelajaran peserta didik dalam upaya mencapai

KompetensiDasar(KD)

2. Prinsip‐prinsippenyusunanRPP,antaralainadalahsebagaiberikut,kecuali

....

a. Prosespembelajaranyangmenjadikan lingkungansekitarnyasebagai

sumberbelajar

ModulMatematikaSMA

35

b. Pembelajaran yang memfasilitasi peserta didik untuk belajar secara

bersama‐samadalamkelompok

c. SetiapRPPharussecarautuhmemuatkompetensidasarsikap

spiritual,sosial,pengetahuan,danketerampilan.

d. RPP disusun dengan mempertimbangkan penerapan teknologi

informasidankomunikasisecaraterintegrasi,sistematis,danefektif

3. Berikutiniadalahkomponen‐komponenyangtermuatdalamsebuahRPP.

(1) identitassekolah/madrasah,matapelajaran,dankelas/semester;

(2) alokasiwaktu;

(3) KI,KD,indikatorpencapaiankompetensi;

(4) tujuanpembelajaran

(5) materipembelajaran;

(6) Pendekatan,model,danmetodepembelajaran

(7) kegiatanpembelajaran;

(8) penilaian;

(9) media/alat,bahan,dansumberbelajar.

Mengacu pada Permendikbud Nomor 103 tahun 2014 tentang

Pembelajaran, darikomponen‐komponendi atasyangbukanmerupakan

komponenminimaladalah....

a. (1)dan(3)

b. (2)dan(5)

c. (4)dan(6)

d. (8)dan(9)

4. Berikut ini merupakan hal yang terkait dengan perumusan indikator

pencapaiankompetensiyangbenar,kecuali....

a. UntuksatuKDdirumuskanminimalkedalamsatuindikatorpencapaian

kompetensi

b. Perumusanindikatordalambentukkatakerjaoperasionalyangdapat

diukurataudiamatikinerjanyamelaluipenilaian

c. Rumusanindikatorhendaknyarelevandanmerincikompetensidasar

sehinggadapatdigunakansebagai acuanpembelajarandanpenilaian

dalammencapaikompetensi


36

d. Rumusan indikator hendaknya disesuaikan dengan prinsip‐prinsip

pembelajaran matematika berdasarkan masalah, dan memberikan

pengalamanbelajarbagisiswa

5. Indikator memiliki kedudukan yang sangat strategis dalam

mengembangkanpencapaiankompetensi.Fungsi indikatoradalahsebagai

berikut,kecuali....

a. mengembangkanmateripembelajaran

b. menentukanbentukdanjenispenilaian

c. mendesainkegiatanpembelajaranyangefektif

d. mengembangkanmediapembelajaran,danmenentukanalatdanbahan

6. Untuk melakukan identifikasi materi pembelajaran harus

mempertimbangkanantaralainhal‐halsebagaiberikut,kecuali....

a. Alokasiwaktu

b. Potensidaerah

c. Strukturkeilmuan

d. Kebermanfaatanbagipesertadidik

7. Berikutiniyangbukanmerupakanhasilbelajaryangakandicapaimelalui

kegiatanpembelajaranadalah....

a. Produk,yaitualatperagadanmediayangterkaitdenganmateripokok

kompetensidasar

b. Kognitif,yaitukemampuanmatematisasi,kemampuanabstraksi,pola

pikir deduktif, berpikir tingkat tinggi (berpikir kritis dan berpikir

kreatif).

c. Keterampilan, yaitu keterampilan menyelesaikan masalah,

keterampilanberkolaborasi,kemampuanberkomunikasi.

d. Afektif,yaitumenghargaibudaya,penerimaanindividuatasperbedaan

yang ada, bekerjasama, tangguh menghadapi masalah, jujur

mengungkapkanpendapat,berlatihberpikirkritis,kreatif,dansenang

belajarmatematika

8. Mengujipemahamansiswaataskonsepyangditemukanmelaluipengajuan

contoh dan bukan contoh konsep, dan memberi kesempatan melakukan

ModulMatematikaSMA

37

konektivitas konsep dan prinsip dalam mengerjakan soal tantangan. Ini

merupakankegiatanyangdilakukanguruuntuktahapanpembelajaran....

a. apersepsibudaya

b. orientasidanpenyelesaianmasalah

c. temuanobjekmatematikadanpenguatanskematabaru

d. menganalisisdanmengevaluasiprosesdanhasilpenyelesaianmasalah

9. Berikut ini yang bukan merupakan kegiatan guru pada tahap apersepsi

budayaadalah....

a. Menciptakanpersepsipositifdalamdirisiswaterhadapbudayanyadan

matematikasebagaihasilkonstruksisosial

b. Memberikan motivasi belajar pada siswa melalui penanaman nilai

matematis,softskilldankebergunaanmatematika

c. Menjelaskan pola interaksi sosial,menjelaskan peranan siswa dalam

menyelesaikanmasalah

d. Mengarahkansiswamembangunkonsepdanprinsipsecarailmiah

10. Kegiatanpembelajarandiorganisasikanmenjadi tiga tahapkegiatanyaitu,

kegiatanpendahuluna,kegiataninti,dankegiatanpenutup.Berikutiniyang

bukanmerupakankegiatanpendahuluanadalah....

a. menyampaikangarisbesarcakupanmateridanpenjelasantentang

kegiatanyangakandilakukanpesertadidik

b. menyiapkanpesertadidiksecarapsikisdanfisikuntukmengikuti

prosespembelajaran

c. mengantarkanpesertadidikkepadasuatupermasalahanatautugas

yangakandilakukan

d. mengajukanpertanyaan‐pertanyaantentangmateriakandipelajari

Tugas1

1. Buatlah rumusan indikator pencapaian kompetensi, sesuai dengan hasil

analisisketerkaitanKI‐KD,danpemilihanmateripembelajaran.

2. TuangkanhasildiskusidalamformatdiLK‐1,yangtersediapada

lampiran1.


38

Tugas2

1. Berdasarkan hasil tugas 1, susunlah rancangan penerapan pendekatan

saintifikpadapembelajaransecararinci.

2. TuangkanhasildiskusidalamformatdiLK‐2,yangtersediapada

lampiran2.

Tugas3

1. Berdasarkanhasiltugas1dantugas2diatas,susunlahRPPsecaralengkap.

2. Padakomponenkegiatanpembelajaran,pilihlahsatumodelpembelajaran,

dan gunakan sintak model pembelajaran tersebut untuk menentukan

langkah‐langkah pembelajarannya, dengan memperhatikan hasil

perancanganpenerapanpendekatansaintifikpadapembelajaranyangtelah

dituangkandalamLK‐2.

F. Rangkuman

1. UntukdapatmenyusunRPPdenganbaik,makaguruharusmemperhatikan

prinsip‐prinsippenyusunanRPP,komponenRPP,langkahpenyusunanRPP,

danmekanismepengembanganRPP.

2. PengembanganRPPdapatdigambarkansebagaisuatuprosesmenjabarkan

keterkaitan antara KI dan KD denganketercapaianSKL,melaluiproses

pembelajarandanpenilaian.

3. Indikatormerupakanrumusanyangmenggambarkankarakteristik,ciri‐

ciri, perbuatan, atau respon yang harus ditunjukkan atau dilakukan oleh

peserta didik dan digunakan sebagai penanda/indikasi pencapaian

kompetensidasar.

4. Materi pembelajaran dikembangkan dari KD‐3 dan/atau KD‐4, serta

memperhatikan KD‐1 dan KD‐2 sebagai dampak penggiring (nurturant

effects)hasilbelajarpesertadidik.

5. Kegiatanpembelajarandirancanguntukmemberikanpengalamanbelajar

yangmelibatkanprosesmentaldanfisikmelaluiinteraksiantarpeserta

didik,pesertadidikdenganguru,lingkungan,dansumberbelajarlainnya

untukmencapaiKD.

6. Kegiatan pembelajaran diorganisasikan menjadi tiga tahap kegiatan yaitu,

kegiatanpendahuluna,kegiataninti,dankegiatanpenutup.

ModulMatematikaSMA

39

7. Model dan/ atau metode pembelajaran yang dipilih hendaknya sesuai

denganpendekatansaintifikyangdiperlukanuntukmengembangkansikap

(spiritualdansosial),pengetahuan,danketerampilanyangpelaksanaannya

difokuskankepadakesesuaiandenganpengalamanbelajarpesertauntuk

mencapaikompetensitertentu.

8. PenentuanalokasiwaktupadasetiapKDdidasarkanpadajumlahminggu

efektif dan alokasi waktu mata pelajaran per minggu dengan

mempertimbangkanjumlahKD, keluasan,kedalaman, tingkatkesulitan,

dantingkatkepentinganKD.

9. PenilaianpencapaianKDpesertadidikdilakukanberdasarkanindikator


CocokkanlahjawabanAndadengankuncijawabanyangterdapatpadabagianakhir

KegiatanPembelajaranini.Hitunglahjawabanyangbenar.Kemudiangunakan

rumusberikutiniuntukmengetahuitingkatpenguasaanAndadalamKegiatan

Pembelajaranini.

Rumus:

TingkatPenguasaan Jumlahjawabanyangbenar

Jumlahsoalx100%

ArtitingkatpenguasaanyangAndacapai:

90–100 = Baiksekali

80–89 = Baik

70–79 = Cukup

<70 = Kurang

Jika tingkat penguasaan Anda minimal 80%, maka Anda dinyatakan berhasil

denganbaik.AndadapatmelanjutkanuntukmempelajariKegiatanPembelajaran

berikutnya.Sebaliknya,bilatingkatpenguasaanAndakurangdari80%,silakan

pelajari kembali uraian yang terdapat dalam Kegiatan Pembelajaran ini,

khususnyabagianyangbelumAndakuasai


40

H. KunciJawaban

1) a

2) b

3) c

4) a

5) d

6) b

7) a

8) c

9) d

10) d

41

Evaluasi

Pilihlahdenganmemberitandasilang(X)padajawabanyangAndaanggapbenar!

1. BerdasarkanKDyangbersesuaian,dirumuskantujuanpembelajaranyangakan

dicapai adalah “Dengan proses pendekatan saintifik siswa dapat

mendeskripsikanprinsip induksi matematis”. Pengalamanbelajar siswayang

sesuaidengantujuantersebutadalah....

a. Mengamatidanmenemukanpolainduksimatematis

b. Menemukankesalahandalampernyataanmatematis

c. Membuktikansuatupernyataanmenggunakaninduksimatematis

d. Memanipulasibentukaljabaruntukmembuktikansuatupernyataan

2. UntukmembelajarkanKD“Mengidentifikasirelasiyangdisajikandalamberbagai

bentuk yang merupakan fungsi” secara kontekstual dan aktual, pengalaman

belajaryangdapatdiberikanPakIwankepadasiswanyaadalah….

a. siswa membuat berbagai bangun yang luasnya 30cm , selanjutnya

membuat tabel yang menunjukkan karakteristik setiap bangun, dan

mendiskusikanbangunyangmemilikikelilingterkecil.

b. siswa mengukur panjang, lebar, tinggi dan berat berbagai obyek tiga

dimensi, selanjutnya siswamembuatdeskripsihubunganantaraberbagai

ukuranmasing‐masingbendadenganberatnya.

c. siswamengukur keliling danmenentukan luas setiap bangun segibanyak

beraturan, selanjutnya siswa memasukkan data ke dalam tabel, dan

mendiskusikanberbagaipolayangtelahmerekaamati.

d. siswamengukurkelilingenampersegiyangberbedaukurannyakemudian

mengisi tabel “panjang sisi” dan “keliling”, selanjutnya siswa membuat

prediksikelilingterbesardanterkecildariberbagaipanjangsisipadadata

baruyangdiberikan

3. Diberikan KD “Merancang model matematika dari masalah program linear”.

Penugasanyangdapatmenumbuhkankerjasamaantarsiswaadalah....

a. Gurumembagikelaskedalambeberapakelompok,setiapkelompokdiberi

tugas mencari data sekunder perancangan pembangunan suatu rumah

tinggal.

Evaluasi

42

b. Gurumembagikelaskedalambeberapakelompok,setiapkelompokdiberi

tugas untuk mencari nilai maksimum hasil panen suatu lahan pertanian

yangditanamitigatanamandenganumurtanamhampirsama.

c. Gurumembagikelaskedalambeberapakelompok,setiapkelompokdiberi

tugas merancang pembuatan slide presentasi pengambilan data

transportasiBBM.

d. Gurumembagikelaskedalambeberapakelompok,setiapkelompokdiberi

tugasmerancangpostersuatumateripembelajaranmatematikauntukacara

diessekolahyangsegeradilaksanakan.

4. Padasaatmengoreksihasilulangan,seorangmenemukansebagianbesarsiswa

mengerjakansuatusoalsebagaiberikut.

Berkaitan dengan hal tersebut, tindakan yanga tepat dilakukan oleh guru

tersebutadalah....

a. Menjelaskankembaliartipencoretanpadapersamaan

b. Memberikanpenguatan pada siswa bahwa cara tersebut bolehdilakukan

karena 5adalahnilaiyangbenar

c. Malarang sama sekali melakukan pencoretan karena tidak ada konsep

mencoretdalammatematika

d. Memberikancontohyangserupa

5. PerhatikanKD“Mendeskripsikankonsepmatrikssebagairepresentasinumerik

dalamkaitannyadengankonteksnyata”.Konteksmasalahkekinianyangpaling

tepatdipergunakandalampembelajaranKDtersebutadalah....

a. Ketersediaan jadwal penerbangan beberapa maskapai dengan beberapa

rutepenerbangan

b. Tabel keterhubungan 7 kota besar di Indonesia dengan maskapai

penerbanganBerlianAir.

c. Tabelkebutuhanalatkantordari3karyawandariharisenin,selasa,rabu,

kamis,jumatdansabtu.

ModulMatematikaSMA

43

d. Klasemen liga sepakbola Indonesia, dengan banyak pertandingan,

kemenangan,kekalahan,kemasukan,danmemasukkangol

6. Indikator memiliki kedudukan yang sangat strategis dalam mengembangkan

pencapaiankompetensi.Fungsiindikatoradalahsebagaiberikut,kecuali....

a. mengembangkanmateripembelajaran

b. menentukanbentukdanjenispenilaian

c. mendesainkegiatanpembelajaranyangefektif

d. mengembangkanmediapembelajaran,danmenentukanalatdanbahan

7. Rumuskanyangtepatuntukindikatorpencapaiankompetensi“Mendeskripsikan

konsepbarisandanderetpadakonteksdunianyata,sepertibunga,pertumbuhan

danpeluruhan”adalah....

a. menyebutkanjenis‐jenisbungatunggal

b. menentukannilaibungatunggal

c. memahamikonsepbungatunggal

d. menjelaskankonsepbungatunggal

8. Salah satu rumusan KD sebagai berikut. "Mendekripsikan prinsip induksi

matematika dan menerapkannya dalam membuktikan rumus jumlah deret

persegidankubik."Salahsatukatakerjayangtepatuntukmerumuskanindikator

pencapaianKDtersebutadalah….

a. menentukanprinsipinduksimatematika

b. membuktikanprinsipinduksimatematika

c. memahamiprinsipinduksimatematika

d. menggunakanprinsipinduksimatematika

Evaluasi

44

45

Penutup

Demikianlahmodul ini telahdisusundengansebaik‐baiknya,walaupundisanasini

masihterdapatberbagaikekurangan.Modulinimemuaturaianmateriyangterkait

denganpengembangankurikulummatematika,mulaidaripembahasantentangarti

penting dan karakteristik matematika, hingga pengembangan RPP dan instrumen

penilaianpembelajaranmaematika.Modulinijugatelahdilengkapidenganpetunjuk

aktivitaspembelajaran,latihansoal,dansoalevaluasi.

Padaakhirnya,mudah‐mudahanmodulinidapatmemberimanfaatbagiBapak/Ibu

gurumatematika,khususnyaparapesertadiklatPKB,sebagaiacuanpembelajaran

dalammengikutidiklat,maupunsebagaibahanpembelajarandiluardiklat,sehingga

dapatmembantuBapak/Ibugurudalammengembankankompetensinya.

Terakhir, semoga segala upaya kita untukmeningkatkan pendidikan di negeri ini,

khususnya pendidikan matematika, senantiasa membawa hasil yang positif, dan

tercatatsebagaiamalkebaikandisisi‐Nya.Amin.

Penutup

46

47

Glosarium

SKL : Kependekan dari Standar Kompetensi Lulusan

adalahkriteria mengenai kualifikasi kemampuan

lulusan yang mencakup sikap, pengetahuan, dan

keterampilan.

KI : Kependekan dari Kompetensi Inti yaitu tingkat

kemampuan untuk mencapai Standar Kompetensi

Lulusan yang harus dimiliki seorang Peserta Didik

padasetiaptingkatkelasatauprogramyangmenjadi

landasanPengembanganKompetensidasar.

KD : Kependekan dari Kompetensi Dasar yaitu tingkat

kemampuan dalam konteks muatan Pembelajaran,

pengalaman belajar, atau mata pelajaran yang

mengacupadaKompetensiinti.

Sikapspiritual : Sikap yang terkait dengan pembentukan peserta

didikyangberimandanbertakwa.

Sikapsosial : Sikap yang terkait dengan pembentukan peserta

didikyangberakhlakmulia,mandiri,demokratis,dan

bertanggungjawab.

Dampakpenggiring

(nurturanteffects)

: Hasil belajar yang dihasilkan oleh proses

pembelajaran sebagai akibat terciptanya suasana

belajar yang dialami langsung oleh siswa tanpa

pengarahanlangsungdaripembelajar.

Glosarium

48

49

DaftarPustaka

Kemendiknas.(2007).PeraturanMenteriPendidikanNasionalnomor16tahun2007

tentang Standar Kualifikasi Akademik dan Kompetensi Guru. Jakarta:

KementerianPendidikanNasional.

Kemdikbud.(2013).PeraturanMenteriPendidikandanKebudayaanNomor65Tahun

2013 tentang tentang Standar Proses Pendidikan Dasar dan Menengah.

Jakarta:KementerianPendidikandanKebudayaan

Kemdikbud. (2014‐a). PeraturanMenteri Pendidikan dan KebudayaanNomor 103

Tahun2014tentangPembelajaranpPadaPendidikanDasardanPendidikan

Menengah.Jakarta:KementerianPendidikandanKebudayaan.

Kemdikbud. (2014‐b).KerangkaDasar dan StrukturKurikulum SekolahMenengah

Atas/Madrasah Aliyah (Lampiran I‐b PeraturanMenteri Pendidikan Dan

Kebudayaan Nomor 59 Tahun 2014 Tentangkurikulum 2013 Sekolah

Menengah Atas/Madrasah Aliyah). Jakarta: Kementerian Pendidikan dan

Kebudayaan

Kemdikbud. (2014‐c). Pedoman Mata Pelajaran Matematika untuk

SMA/MA/SMK/MAK (Lampiran III Peraturan Menteri Pendidikan Dan

Kebudayaan Nomor 59 Tahun 2014 Tentangkurikulum 2013 Sekolah

Menengah Atas/Madrasah Aliyah). Jakarta: Kementerian Pendidikan dan

Kebudayaan

Kemdikbud. (2015‐a). Model Pengembangan Rencana Pelaksanaan Pembelajaran

SekolahMenengahAtas. Jakarta:DirektoratPembinaanSekolahMenengah

Atas.

Kemdikbud. (2015‐b). Peraturan Menteri Pendidikan dan Kebudayaan Nomor 53

Tahun 2015 tentang Penilaian Hasil Belajar oleh Pendidik dan Satuan

Pendidikan pada Pendidikan Dasar dan Pendidikan Menengah. Jakarta:

KementerianPendidikandanKebudayaan.

Kemdikbud. (2015‐c). Panduan Penilaian untuk Sekolah Menengah Atas. Jakarta:

DirektoratJenderalPendidikanDasardanMenengah.

DaftarPustaka

50

PeraturanPemerintahnomor19Tahun2005tentangStandarNasionalPendidikan

Peraturan Pemerintah nomor 32 Tahun 2013 tentang Perubahan atas Peraturan

Pemerintahnomor19Tahun2005tentangStandarNasionalPendidikan

51

Lampiran

Lampiran1

AnalisisketerkaitanKIdanKDdengan

IndikatorPencapaianKompetensidanMateriPembelajaran

TujuanKegiatan:

MelaluidiskusikelompokpesertamampumenjabarkanKIdanKDkedalam

indikatorpencapaiankompetensidanmateripembelajaran.

LangkahKegiatan.

1. SiapkandokumenkurikulumKI–KDdansilabus!

2. IsilahlembarkerjayangtersediadenganKIdanKDyangbapak/ibupilih!

3. Rumuskanindikatorpencapaiankompetensi(IPK)hasilpenjabaranKD

tersebut,cantumkanpadakolomyangtersedia!

4. Tentukan materi/topik pembelajaran yang sesuai dengan KD dan

rumusanindikator!

5. Setelahselesai,presentasikanhasildiskusikelompokAnda!

6. PerbaikihasilkerjakelompokAndajikaadamasukandarikelompoklain!

FormatAnalisisKeterkaitanKIdanKDdenganIPKdanMateri

Pembelajaran

MataPelajaran : ______________________________________________________

Kelas : ______________________________________________________

Semester : ______________________________________________________

LK‐1

Lampiran

52

Kompetensi

Inti

Kompetensi

Dasar

Indikator

Pencapaian

Kompetensi

MateriPembelajaran

Topik/Subtopik

KI‐1

KI‐2

KI‐3

KI‐4

ModulMatematikaSMA

53

Lampiran2

PerancanganPenerapanPendekatanSaintifikPadaPembelajaran

Matematika

TujuanKegiatan:

Melaluidiskusikelompokpesertamampumerancangpenerapanpendekatan

saintifikpadapembelajaranmatematika.

LangkahKegiatan.

1. SiapkandokumenkurikulumdanhasilkegiatananalisisKI‐KD‐IPK‐

Materi(LK‐1)

2. IsilahLembarKerjaperancanganPenerapanPendekatanSaintifikyang

tersediasecaradiskusikelompok

3. Setelahselesai,presentasikanhasildiskusikelompokAnda

4. PerbaikihasilkerjakelompokAndajikaadamasukandarikelompoklain

FormatPerancanganPenerapanPendekatanSaintifikpada

Pembelajaran

KompetensiDasar :

Indikator

Pencapaian

Kompetensi

:

Topik :

SubTopik :

AlokasiWaktu :

LK‐2

Lampiran

54

TahapanPembelajaran KegiatanPembelajaran

Mengamati

Menanya

Mengumpulkan

informasi

Mengasosiasikan

Mengomunikasikan

ModulMatematikaSMA

55

Lampiran3

KunciJawabanEvaluasi

1) c

2) b

3) b

4) a

5) d

6) d

7) d

8) d

Lampiran

56

GURUPEMBELAJAR

MODUL

MATEMATIKASMA

KELOMPOKKOMPETENSIG

PROFESIONAL

KALKULUSDAN

TRIGONOMETRI

DIREKTORATJENDERALGURUDANTENAGAKEPENDIDIKAN

KEMENTERIANPENDIDIKANDANKEBUDAYAAN

2016

Penulis:1. SigitTriGuntoro,M.Si.,081328431558,[email protected]. AbdulAziz

Penelaah:1. UntungTrisnaSuwaji,S.Pd.,M.Si.,081328047171,[email protected]. HimmawatiPujiLestari,M.Si.,085643025501,[email protected]:DennySaputra,S.Kom.085227133999,[email protected]©2016DirektoratJenderalGurudanTenagaKependidikan.HakCiptaDilindungiUndang‐UndangDilarangmengcopysebagianataukeseluruhanisibukuiniuntukkepentingankomersialtanpaizintertulisdariKementerianPendidikanKebudayaan.

iii

KataPengantar

Peningkatan kualitas pendidikan saat ini menjadi prioritas, baik oleh pemerintah

pusatmaupundaerah. Salah satukomponenyangmenjadi fokusperhatianadalah

peningkatankompetensiguru.Perangurudalampembelajarandikelasmerupakan

kunci keberhasilan untuk mendukung keberhasilan belajar siswa. Guru yang

profesionaldituntutmampumembangunprosespembelajaranyangbaik sehingga

dapatmenghasilkanoutputdanoutcomependidikanyangberkualitas.

Dalamrangkamemetakankompetensiguru,telahdilaksanakanUjiKompetensiGuru

(UKG) Tahun 2015. UKG tersebut dilaksanakan bagi semua guru, baik yang sudah

bersertifikat maupun belum bersertifikat untuk memperoleh gambaran objektif

kompetensi guru, baik profesional maupun pedagogik. Hasil UKG kemudian

ditindaklanjutimelaluiProgramGuruPembelajarsehinggadiharapkankompetensi

guruyangmasihbelumoptimaldapatditingkatkan.

PPPPTK Matematika sebagai Unit Pelaksana Teknis Kementerian Pendidikan dan

KebudayaandibawahpembinaanDirektoratJenderalGurudanTenagaKependidikan

mendapat tugas untuk menyusun modul guna mendukung pelaksanaan Guru

Pembelajar. Modul ini diharapkan dapatmenjadi sumber belajar bagi guru dalam

meningkatkankompetensinyasehinggamampumengambiltanggungjawabprofesi

dengansebaik‐baiknya.

Yogyakarta,Maret2016

KepalaPPPPTKMatematika,

Dr.Dra.DaswatiaAstuty,M.Pd.

NIP.196002241985032001

KataPengantar

iv

v

DaftarIsi

DaftarIsi........................................................................................................................................................v

DaftarGambar............................................................................................................................................v

a. BagianKalkulus...........................................................................................................................v

b. BagianTrigonometri.................................................................................................................v

DaftarTabel..............................................................................................................................................vii

a. BagianKalkulus........................................................................................................................vii

b. BagianTrigonometri..............................................................................................................vii

Pendahuluan...............................................................................................................................................1

A. LatarBelakang............................................................................................................................1

B. Tujuan.............................................................................................................................................1

C. PetaKompetensi........................................................................................................................2

D. RuangLingkup............................................................................................................................3

E. SaranCaraPenggunaanModul............................................................................................3

KEGIATANPEMBELAJARAN(KB).....................................................................................................5

BAGIANIKALKULUS..............................................................................................................................5

KB1:LimitFungsidanStrategiPenyelesaiannya......................................................................5

A. Tujuan.............................................................................................................................................5

B. IndikatorPencapaianKompetensi.....................................................................................5

C. UraianMateri...............................................................................................................................5

1. Pengertianlimitfungsi........................................................................................................5

2. Sifat‐sifatdanteoremalimit.............................................................................................9

3. Limittakhingga(infinitelimits)...................................................................................11

4. Limitditakhingga(limitsatinfinity).........................................................................15

5. StrategiSederhanadalamMenyelesaikanLimit....................................................19

D. AktivitasPembelajaran.........................................................................................................25

E. Latihan..........................................................................................................................................29

F. Rangkuman.................................................................................................................................29


KB2:TurunandanIntegral................................................................................................................33

DaftarIsi

vi

A. Tujuan...........................................................................................................................................33


C. UraianMateri.............................................................................................................................33

1. PengertianTurunan...........................................................................................................33

2. Sifat‐sifatdanTeoremaTurunan..................................................................................35

3. IntegralTakTentu(IndefiniteIntegral)....................................................................36

4. Strategisederhanadalammenentukanhasilintegraltaktentu.....................38

5. IntegralTertentu(DefiniteIntegral)..........................................................................40

6. Menentukanluasdaerah..................................................................................................43


E. Latihan..........................................................................................................................................53

F. Rangkuman.................................................................................................................................53


KEGIATANPEMBELAJARAN(KB)...................................................................................................59

BAGIAN2TRIGONOMETRI................................................................................................................59

KegiatanPembelajaran(KB).............................................................................................................59

KB1:UkuranSudut.............................................................................................................................59

A. Tujuan...........................................................................................................................................59


C. UraianMateri.............................................................................................................................59

1. UkuranSudut........................................................................................................................60

2. SudutdalamKoordinatCartesius................................................................................62


E. Latihan..........................................................................................................................................64

F. Rangkuman.................................................................................................................................64


KB2:FungsiTrigonometri,SudutBerelasi,danInversFungsiTrigonometri.............66

A. Tujuan...........................................................................................................................................66


C. UraianMateri.............................................................................................................................66

1. FungsiTrigonometri..........................................................................................................67

2. SudutIstimewa....................................................................................................................68

ModulMatematikaSMA

vii

3. SudutBerelasi.......................................................................................................................71

4. Inversfungsitrigonometri..............................................................................................85


E. Latihan..........................................................................................................................................89

F. Rangkuman.................................................................................................................................90


KB3:IdentitasTrigonometri,AturanSinusdanCosinus,sertaSifatMaksimum/MinimumFungsiTrigonometri...............................................................................92

A. Tujuan...........................................................................................................................................92


C. UraianMateri.............................................................................................................................92

1. IdentitasTrigonometri.....................................................................................................92

2. AturanSinuspadaSegitiga..............................................................................................94

3. AturanCosinuspadaSegitiga.........................................................................................95

4. LuasSegitiga..........................................................................................................................97

5. FormulaCosinus,Sinus,danTangentSudutRangkap......................................100

6. MengubahBentukPerkaliankePenjumlahanatauSelisih............................101

7. NilaiMaksimumatauMinimumpadaFungsiTrigonometri..........................102

D. AktivitasPembelajaran......................................................................................................102

E. Latihan.......................................................................................................................................105

F. Rangkuman..............................................................................................................................106

G. UmpanBalikdanTindakLanjut.....................................................................................109

Evaluasi...................................................................................................................................................111

Penutup...................................................................................................................................................115

DaftarPustaka......................................................................................................................................117

Glosarium................................................................................................................................................119

BagianKalkulus:..............................................................................................................................119

BagianTrigonometri.....................................................................................................................120

Lampiran.................................................................................................................................................121

DaftarIsi

viii

v

DaftarGambar

a. BagianKalkulusGambar1Pengamatanfungsi.............................................................................................................6Gambar2Fungsitidakkontinyu........................................................................................................8Gambar3Fungsitidakadalimit........................................................................................................8Gambar4GrafikKetidakadaanlimit..............................................................................................11Gambar5Limittakhingga.................................................................................................................12Gambar6Limittakhingga.................................................................................................................13Gambar7Limitditakhingga............................................................................................................15Gambar8Limitditakhingga............................................................................................................16Gambar9Ketidakadaanlimit............................................................................................................17Gambar10Ketidakadaanlimit.........................................................................................................21Gambar11Gradien................................................................................................................................34Gambar12Pemahamangradiengarissinggung.......................................................................34Gambar13Caramempartisi..............................................................................................................41Gambar14Contohpartisi...................................................................................................................41Gambar15Kurvatertutupsederhana...........................................................................................43Gambar16Kurvatertutuptidaksederhana...............................................................................43Gambar17Luasdaerahantaraduakurva...................................................................................44Gambar18Contohluasdaerahantaraduakurva....................................................................44Gambar19Contohluasdaerahantaraduakurva....................................................................45Gambar20Luasdaerahpadadualuasan....................................................................................46Gambar21Luasdaerahdibawahsumbu‐x................................................................................47Gambar22Luasdaerahantaraduakurva...................................................................................47

b. BagianTrigonometriGambar1Rotasigarisberlawananarahjarumjam................................................................59Gambar2Rotasigarissearahjarumjam......................................................................................60Gambar3Lingkaran..............................................................................................................................61Gambar4Daerahkuadran.................................................................................................................62Gambar5LingkarandenganjuringAOB......................................................................................63Gambar6Pengamatansudutpadapohon...................................................................................66Gambar7Segitiga–segitigasiku–sikuyangsebangun.......................................................67Gambar8Segitigasamasisi................................................................................................................69Gambar9Segitigasamakaki..............................................................................................................70Gambar10SudutberelasidikuadranI..........................................................................................72Gambar11SudutberelasidikuadranII........................................................................................73Gambar12Relasisudut dengansudut ° .............................................................75Gambar13SudutberelasidikuadranIII.....................................................................................76Gambar14Relasisudut dengansudut ° .............................................................78Gambar15SudutberelasidikuadranIV......................................................................................80

DaftarGambar

vi

Gambar16Relasisudut dengansudut ° ............................................................82Gambar17Relasisudut dengansudut .........................................................................83Gambar18SegitigaSiku‐siku..........................................................................................................87Gambar19Segitigasiku–siku.........................................................................................................93Gambar20SegitigaABCdengantinggih......................................................................................94Gambar21Segitigalancip..................................................................................................................94Gambar22SegitigaABCdengantinggih......................................................................................95Gambar23Segitigadengansalahsatusudutnya °.............................................................98

vii

DaftarTabel

a. BagianKalkulusTabel1...........................................................................................................................................................7Tabel2.........................................................................................................................................................12Tabel3.........................................................................................................................................................14Tabel4.........................................................................................................................................................16Tabel5.........................................................................................................................................................49

b. BagianTrigonometriTabel1.........................................................................................................................................................62Tabel2.........................................................................................................................................................72Tabel3.........................................................................................................................................................74Tabel4.........................................................................................................................................................75Tabel5.........................................................................................................................................................77Tabel6.........................................................................................................................................................78Tabel7.........................................................................................................................................................80Tabel8.........................................................................................................................................................82Tabel9.........................................................................................................................................................84Tabel10......................................................................................................................................................86

DaftarTabel

viii

1

Pendahuluan

A. LatarBelakang

Merujuk pada PeraturanMenteri Pendayagunaan AparaturNegara dan Reformasi

Birokrasi (PermenpandanRB)Nomor 16 tahun2009 tentang Jabatan Fungsional

Guru dan Angka Kreditnya memuculkan paradigma baru profesi guru.

Konsekuensinya adalah guru dituntut melakukan pengembangan keprofesian

berkelanjutan(PKB)sehinggagurudapatmenjalankan tugasdan fungsinyasecara

profesional. Masih merujuk pada Permenpan dan RB tersebut, pengembangan

keprofesian berkelanjutan meliputi kegiatan pengembangan diri yaitu diklat

fungsional dan kegiatan kolektif guru serta publikasi ilmiah dan karya inovasi.

Dengandemikiansebenarnyagurupastiakanmencarikegiatansepertiyangtertuang

dalamperaturantersebut.

Berkaitan dengan hal ini pemerintah harus menyediakan atau paling tidak

memfasilitasi kegiatan dimana guru terus dapatmengembangkan kompetensinya,

disamping guru juga harus secara aktif berupaya mencari kegiatan untuk

pengembangan dirinya. Salah satu upaya pemerintah adalah diklat pasca uji

kompetensi guru (UKG). Diklat yang dimaksud disini adalah pelatihan terhadap

kompetensiguruyangperluditingkatkandidasarkanpadaujikompetensinya.

Khususuntukmodulini,meskipundapatdimanfaatkansecaramandiri,sebenarnya

modul ini akandigunakandalamkegiatandiklat pascaUKG.Karenadimanfaatkan

untuk kegiatandiklatmakadidalamnyamemuat kegiatan‐kegiatan yangberisikan

aktifitaspadasaatdiklat.Kegiatan‐kegiatantersebut(baikdiklatmaupunmandiri)

dilakukanagarkompetensigurumeningkatyangakanterlihatpadapeningkatannilai

UKG.

B. Tujuan

Tujuan disususnnya modul ini adalah untuk memfasilitasi guru dalam rangka

pengembangan keprofesian berkelanjutan (PKB) baik secara mandiri maupun

melaluikediklatan.Jikamodulinidigunakandalamkediklatanmakafasilitatordan

pesertadiklatdapatsecarabersamamemanfaatkanmoduliniuntukpembelajarandi

kelasdenganalurkegiatansesuaidenganskenariofasilitator.Namunbilaguruingin

Pendahuluan

2

mempelajarimodul ini secaramandirimaka kegiatannya harus dimulai dari awal

sampaiakhir.

C. PetaKompetensi

BagianKalkulus

BagianTrigonometri

Pengertian limit

Teorema dan sifat limit

Menyelesaikan limit

Integral tak tentu

Integral tertentu

Luas daerah

TFK (Teorema

Fundamental Kalkulus)

Turunan fungsi

Teorema dan sifat turunan

Anti turunan

ModulMatematikaSMA

3

D. RuangLingkup

Dalammodulinidipaparkanmateriberkaitandengankalkulusdantrigonometri.

Untukbagiankalkulusmembahasmengenailimit,turunandanintegraldengan

rincian:

limit,meliputipengertianlimit,sifatdanteoremalimit,limittakhingga,limitdi

takhingga,danstrategipenyelesaiannya

turunan,meliputipengertianturunan,sifat‐sifatdanteorematurunan,dan

gambargrafikturunan

integral,meliputiintegraltaktentu,strategimenentukanintegraltaktentu,

integraltertentu,danmenentukanluasdaerah

Untukbagiantrigonometrimeliputi:

ukuransudut

fungsitrigonometri,sudutberelasi,daninversfungsitrigonometri.

identifikasigrafikfungsitrigonometridanmelukiskoordinatpolar(kutub)

Identitas trigonometri, aturan sinus, aturan cosinus, dan sifatmaksimum dan

minimumdarifungsitrigonometri.

E. SaranCaraPenggunaanModulModul ini dapat digunakan untuk dua keperluan yaitu untuk diklat atau kegiatan

mandiri.

1. Untukkeperluandiklat

Jikamodulinidigunakandalamkegiatandiklatmakasebaiknyafasilitatormenyusun

poin‐poin penting untuk dijadikan sebagai bahan tayang. Selanjutnya peserta

melakukan kegiatan atau pengerjaan tugas sesuai dengan yang sudah dirancang

dalam bahan modul ini. Sebagai alternatif, langkah pembelajaran yang dapat

dilakukanadalah:

‐ Fasilitatormenyampaikanpoin‐poinkegiatanakandilakukan

‐ Pesertadiklatmembacamateri,mengerjakanbagianaktifitas,menyelesaikan

tugasataulatihanyangdidampingifasilitator.

‐ Selanjutnya, cocokan hasil pengerjaan pengerjaan peserta dengan kunci

jawaban.Untukmelihatketercapaiankompetensidanlangkahapayangmesti

dilakukansilahkanlihatbagiantindaklanjut.

Pendahuluan

4

Upayakanpermasalahantuntasdibahasdalamkegiatanini.Sangatdimungkinkan

dalam kegiatan ini, peserta maupun fasilitator mencari referensi dari bahan

bacaanlainatausumberlain.

2. Untukkegiatanmandiri

Jika bahan modul ini digunakan untuk keperluan kegiatan secara mandiri maka

pembacaperlumemulainya secaraurutdaribagianpertama sampaibagianakhir.

Sangat disarankan untuk tidakmembuka kunci jawaban terlebih dahulu sebelum

pembacamengerjakansemualatihanpadasuatubagiankegiatanbelajar.

5

KEGIATANPEMBELAJARAN(KB)

BAGIANIKALKULUS

KB1:LimitFungsidanStrategiPenyelesaiannya

A. TujuanKegiatanbelajarinibertujuanuntukmemberikanpemahamankepadapesertadiklat

atau pembaca berkaitan dengan pengertian limit fungsi dengan bahasa sederhana

maupun dengan ungkapan formal. Selain itu, kegiatan belajar ini ditujukan untuk

memberikan tambahan pengetahuan berkaitan dengan strategi penyelesaian

masalah limit fungsi. Kegiatan yang dimaksud dapat dilakukan secara mandiri

maupundalamkegiatandiklat.


Setelahmembacadanmengikuti serangkaian kegiatanpadamodul ini, peserta

diklatataupembacamampu

1. memahami pengertian limit dengan bahasa sederhana maupun dengan

definisiformal ‐ (baca:epsilondelta)

2. menggunakansifatlimitfungsiuntukmenentukannilailimitfungsialjabar

3. menggunakan sifat limit fungsi untuk menentukan nilai limit fungsi

trigonometri

4. membuktikankebenaransuatulimitfungsi

C. UraianMateri

1. PengertianlimitfungsiPernahkahAndamenjumpaiseorangguruataupendidiklainnyamengajarkanlimit

fungsi dengan langsung definisi? Biasanya, guru yang mengajarkan limit fungsi

dengan langsungdefinisiakanmenyajikan langsung limitmenggunakan ‐ (baca:

epsilondelta)padatahapawalpembahasan,yaitudefinisilimitfungsisepertiberikut

ini.

KegiatanPembelajaran(KB)Bagian1Kalkulus

6

Caraseperti initidaklahsalah,karenasejatinyasecaraformallimitharusdisajikan

dalam ‐ sepertipengertiandiatas.Namunapakahsiswaataumungkinkita(guru)

bisa paham denganmaksud kalimat tersebut? Tentunya ada sebagian paham dan

sebagian lain tidak mengerti maksud definisi tersebut. Untuk memudahkan

pemahamankitamulaidaricontoh.Misalkandiberikan 1.

Gambar1Pengamatanfungsi

Kemudianamatinilai padasumbu‐ bila mendekati2padasumbu‐ .Padasaat

mendekati 2 perhatikan bahwa mendekati suatu nilai tertentu. Perlu

ditekankandisinibahwapadawaktu mendekati2makafokusperhatiankitaadalah

nilaipadaordinat sumbu‐ ,jadibukanfokuspadakurva 1.Mengapa

demikian? Karena kurva tersebut hanyalah aturan pemasangan dan ,

sedangkanfokuskitapadanilai yangadapadasumbu‐ .Demikianjugaperlu

diingatbahwamendekati2padacontohiniadalahmendekatidarikiridanmendekati

darikanankarena fungsi terdefinisidi 2dandi 2 persekitaran2 .Untuk

melihatpolayangterjadiperhatikantabelTabel1berikut.

lim→ artinya untuk setiap 0 terdapat 0 sehingga berlaku

| | untuk 0 | |

ModulMatematikaSMA

7

Tabel1

1,997 1,998 1,999 2 2,001 2,011 2,111

4,988009 4,992004 4,996001 ? 5,004001 5,044121 5,456321

Mencermatitersebutwajarkitaakanmenyimpulkanbahwa mendekati5untuk

mendekati 2. Dari sini muncul pertanyaan “berapa nilai 2 ?”, atau “haruskah

2 5?” Kenyataannya memang mendekati 5 jika mendekati 2 dan

kebetulan 2 5.Sebenarnyanilai5yangdidekatioleh jika mendekati2

tidakadakaitandengannilai 2 5.Bahkanandaikan 2 tidak terdefinisipun

tetapmendekati5 jika mendekati2 lihatgrafikdantabeldiatas .Kondisi

seperti ini kita maknai sebagai “jika → 2maka → 5” sebagian literatur

menggantikata‘mendekati’dengankata‘menuju’ .Inilahsebenarnyayangkemudian

ditulismenjadi

lim→ 1 5.

Apabilakitadalami lebih lanjut,pengungkapan “ jika → 2maka → 5”yaitu

mendefinisikan limit dengan bahasa verbal belum operasional dalammatematika.

Mengapa demikian?Misalkan diketahui lim→ dan lim

→ , kemudian

kita diminta menunjukkan bahwa lim→ , maka kita akan

mengalami kesulitan dalam mengungkapkan buktinya. Oleh karena itu perlu

pendefinisian secara formal. SeorangmatematikawanPerancis bernamaAugustin‐

LouisCauchymenyusundefinisitentanglimitsecaraformalyangmasihdigunakan

sampaisekarangsebagaiberikut.

Definisiinisebenarnyasamadenganmengatakan“jika → maka → ”.Selain

itudaridefinisitersebutnyataterlihatbahwakitatidakmembicarakannilai di

Definisi:

Pengertian Lxfcx

)(lim secara formal adalah bahwa untuk setiap 0 ,

terdapat 0 sedemikian hingga | – | untuk setiap | – | .


8

atau nilai tetapi nilai untuk disekitar c. Bahkan andaikan tidak

terdefinisidi maka tetaplimitfungsitersebut.Sebagaicontohamatigrafikberikut.

Gambar2Fungsitidakkontinyu

Jelas bahwa fungsi tidak terdefinisi di 0 0 tidak terdefinisi , tetapi nilai

limitnyaadayaitu2ataulim→√

2.

Sekarang,amatifungsi yangdidefinisikan

3, 01, 0

Gambar3Fungsitidakadalimit

Pada Gambar 3 terlihat bahwa ada dua kasus yang terkait. Pertama, untuk

mendekati 0 dari arah kiri → 0 maka mendekati 1, artinya tidak

mendekati3danjugatidakmendekatinilaiyanglain.Kedua,untuk mendekati0

dariarahkanan → 0 maka mendekati3,tidakmendekati1danjugatidak

ModulMatematikaSMA

9

mendekati nilai yang lain. Dengan keadaan seperti ini apakah lim→

3, untuk 01, untuk 0

ada?Ataunilailimitnyaadaduayaitu1dan3?Pertanyaanini

akanterjawabsetelahkitapahampengertianlimitfungsi.

2. Sifat‐sifatdanteoremalimitPerlumenjadiperhatianbahwaketikainginmenentukannilailimitsuatufungsi,kita

tidakharuskembalipadadefinisilimit,tetapimemanfaatkanteoremaatausifat‐sifat

limit. Berkaitan dengan teorema atau sifat yang dimaksud akan lebih baik jika

teorema atau sifat yang digunakan sudah dibuktikan terlebih dahulu. Berikut ini

beberapasifatdanteorematerkaitlimityangdapatdigunakanuntukmenyelesaikan

permasalahanlimit

Misalkan c suatu konstanta dan lim→ serta lim

→ dua‐duanya ada maka

berlaku

1 lim→ lim

→ lim

→

2 lim→ lim

→ lim

→

3 lim→ . lim

→ . lim

→

4 lim→ →

→

bilalim→ 0

5 lim→ lim

→

6 lim→

lim→

7 lim→ lim

→ bila positipdanruaskirilimitnyaada

8 lim→

9 lim→ lim

→ ,jika dalambentuk , dan ada. Teorema

L’Hopital

10 Untuk suatufungsiyangkontinyudi makalim→

Bukti untuk sifat di atas tidak disajikan dalam tulisan ini, tetapi pembaca dapat

memperolehnyadibukureferensi 2 padadaftarpustaka.


10

Berikutinicontohpenggunaansifat‐sifatlimit.Detailpenggunansifatlimitinidapat

dilihatdibagianaktivitaspadamodulini.

Contoh3.1:

Tentukanhasillim→

2 1 sin

Jawab:

lim→

2 1 sin lim→ 2 1 lim

→sin

1 0

1

Contoh3.2:

Tentukanhasillim→

2

Jawab:

lim→

2 lim→2 lim

→

2 1

1

Contoh3.3:

Tentukannilailim→ 5 ⋅

Jawab:

lim→ 5 ⋅

11

lim→5 ⋅ lim

→

11

20 ⋅lim→1

lim→

1

20 ⋅15

4

Namunperhatikanuntukkasusberikut:

lim→ 2 ⋅ lim

→2 ⋅ lim

→ memanfaatkansifat3

Seperti kita ketahui ruas kiri hasilnya 2 sedangkan ruas kanan tidak terdefinisi.

Mengapademikian? lihatsoallatihan

ModulMatematikaSMA

11

Contoh3.4:

Diketahuilim→ 1,tentukanlim

→ .

Jawab:

lim→sin

lim→1

sin

lim→1

lim→sin

11

1

Contoh3.5:

Tentukannilailim→

Jawab:

lim→

42

lim→

42

√4

2

3. Limittakhingga(infinitelimits)Padabagiansebelumnyatelahdisinggungmengenaiketidakadaanlimitsuatufungsi.

Selanjutnyaamatigrafikfungsi sepertigambarberikut.

Gambar4GrafikKetidakadaanlimit


12

ApabilakitacermatiGambar5diatasterlihatbahwauntuk mendekati2dariarah

kirimaka menujutakhingganegatif.Tetapiuntuk mendekati2dariarahkanan

maka menujutakhinggapositip.Kondisisepertiinimenunjukkanbahwa tidak

punya limit untuk mendekati 2. Jadi lim→ tidak ada. Selanjutnyabandingkan

denganfungsi berikut.

Gambar5Limittakhingga

Perhatikan pada Gambar 6 di atas, tampak bahwa akan menuju tak hingga

positip bila menuju 0. Kasus seperti ini pun menunjukkan bahwa tidak

mempunyai limit untuk mendekati 0. Jadi lim→ tidak ada. Dari sini muncul

permasalahan, apa yang membedakan ketidakadaan nilai lim→ , lim

→ dan

lim→ dengan 3, untuk 0

1, untuk 0.Apakahketiganya sama?Atauada

perbedaan dari ketiganya. Secara pengamatan dari ketiganya tampak adanya

perbedaan.Perhatikantabel3berikut

Tabel2

LimitFungsi Nilailimitfungsi Keterangan

lim→32 Tidak ada

Limit kiri menuju negatif tak hingga sedangkan limit kanan menuju (positip) tak hingga

lim→1 Tidak ada

Baik limit kiri maupun limit kanan menuju (positip) tak hingga

ModulMatematikaSMA

13

lim→

dimana

3, untuk 01, untuk 0

Tidak ada Limit kiri menuju 1 sedangkan limit kanan menuju 3

Bilakitacermatimakaadaperbedaanyangnyatadariketiganyayaitukondisiyang

menyebabkan limit tidak ada lihat kolom keterangan . Dari sini kemudian

dikembangkansuatukonseplimittakhinggasebagaiberikut.

Suatulimitfungsi dikatakansebagailimittakhingga infinitelimits jika menuju

tak hingga positip atau menuju tak hingga negatif. Secara formal definisi yang

dimaksudadalahsebagaiberikut

Dengan pendefinisian ini maka ketidakadaaan limit seperti yang sudah di bahas

sebelumnyamenjadiberbedasedikit.Sebagaicontoh lim→ . Semula lim

→ tidak

ada,tetapidenganpendefinisianbarumakakitatulislim→ ∞.Sebagaigambaran

lihatgrafikdibawah

Gambar6Limittakhingga

Misalkan suatufungsiyangterdefinisipadaintervalterbukayang

memuat (bolehjugatidakterdefinisidi )makayangdimaksuddengan

lim→ ∞

adalahuntuksetiap 0terdapat 0sehingga untuk0 | | .

Demikianpulauntuk

lim→ ∞

artinyauntuksetiap 0terdapat 0sehingga untuk0 | |


14

Perhatikanbahwakitatelahberanimenggunakantanda“ ∞”setelahadadefinisi

tersebut.Untukmempermudahpemahamanperhatikantabelberikut.

Tabel3

LimitFungsi Nilailimitfungsi Keterangan

lim→

1 ∞

Baiklimitkirimaupunlimitkananmenuju(positip)takhingga

lim→

1 Tidakada

Limitkirimenujunegatiftakhinggasedangkanlimitkananmenujupositiptakhingga

lim→

12

∞Baiklimitkirimaupunlimitkananmenujunegatiftakhingga

TidakadaLimitkiritidaksamadenganlimitkanan

Perlumenjadiperhatianbahwatandasamadengan “ ” padacontoh lim→ ∞,

bukan berarti limitnya ada di tak hingga, namun untuk menjelaskan bagaimana

ketidakadaanlimitfungsitersebut.Ringkasnya,khususuntukcontohtersebut,nilai

fungsiakanmenujutakhinggajika menuju0.

Secara umum, bila diketahui lim→ ∞ atau lim

→ ∞ bukan berarti

limitnyaadaditakhinggaataudinegatiftakhingga,namununtukmenggambarkan

bagaimanalimit fungsitersebuttidakadadenganmenunjukkanbahwanilai fungsi

menujutakhinggaataunegatiftakhinggajika menuju .

Contoh4.1

Tentukanlimitlim→

lim→

ModulMatematikaSMA

15

Jawab:

Perhatikanbahwauntuk mendekati1darikiri → 1 maka menujunegatiftak

hinggasedangkanjika mendekati1darikanan → 1 maka menujupositiftak

hingga.Dengandemikianlim→ tidakada

Contoh4.2

Tentukanlimitlim→√

Jawab:

Perhatikan bahwa√

terdefinisi untuk 1atau dengan kata lain

| ∈ , 1 . Sehingga limit yang dapat kita selidiki adalah limit kanan.

Sedangkanlimitkiritidakdibicarakan.Jadipemaknaan → 1adalah → 1 .Jikakita

perhatikandankitacermatimakanilai semakinmembesarapabila mendekati

1.Jadilim→√

∞

4. Limitditakhingga(limitsatinfinity)Untukmempermudahdalampemahamankitamulaidaricontohsuatu fungsiyang

didefinisikansebagai .Selanjutnyakitalihatgrafikfungsinya.

Gambar7Limitditakhingga

Secaragrafik,kitadapatlihatbahwa akanmunuju3bila menujutakhingga,

atau kita tulis “ → 3untuk → ∞”. Dapat juga kita tulis “ →

∞ → 3”.Sementaraitusecaranumerikdapatkitalihatpadatabelberikut.


16

Tabel4

∞

← ‐1000 ‐100 ‐10 1 0 1 10 100 1000 → ∞

3 ← 2,99999

7 2,9997 2,97

1,5

0 1,5 2,97 2,9997

2,999997

→ 3

Dengan memperhatikan tabel 5 maka dapat ditarik kesimpulan bahwa → 3

untuk → ∞.Apabiladimaknailebihlanjut,pernyataan menujutakhingga → ∞

mengandungartibahwauntuksetiapbilanganpositip selaluadanilai sehingga

.Demikianpulauntuk menujunegatiftakhingga → ∞ mengandungarti

bahwauntuksetiapbilangannegatif selaluadanilai sehingga .Berdasarkan

pemaknaaninimakadisusundefinisiformaluntuklimitditakhinggasebagaiberikut.

Definisidiatasdapatdiilustrasikansepertigambarberikut.

Gambar8Limitditakhingga

Misalkan suatu bilangan real maka yang dimaksud dengan

lim→

adalah untuk setiap 0 terdapat 0 sehingga jika berlaku | |.

Demikian pula untuk lim→

artinya setiap 0 terdapat 0 sehingga jika berlaku | |

ModulMatematikaSMA

17

Terlihatbahwauntuksetiap 0terdapat 0sehinggauntuk makagrafik

beradadiantaragarishorisontal dan .

Contoh5.1

a. Tentukanhasildari lim→

Jawab:

Fungsi dapatdigambarkansebagaiberikut.

Gambar9Ketidakadaanlimit

Biladicermatimakatampakbahwa menuju0untuk menujutakhingga.Jadi

dapat disimpulkan bahwa lim→

0. Bukti bahwa lim→

0 untuk kegiatan

aktifitas.

b. Denganmenggunakansifatlimit,tentukan lim→

Jawab:

lim→

2 1

1lim→

2 1

1

lim→

21

11

1


18

lim→

2 lim→

1

lim→

1 lim→

1

2 lim→

1

1 lim→

1

2 01 0

2

c. Tentukan lim→

Jawab:

Karenasoaltersebuttermasukdalambentuk makapembilangdanpenyebut

dibagi atau selengkapnyalihatbagiancaramenyelesaikanlimit .Untuk

pengerjaandibawah,pembilangdanpenyebitdibagioleh .

lim→

2

1lim→

2

1

lim→

2

1

lim→

21

11

lim→

2lim→

1 lim→

lim→

1 lim→

1

0 1 lim→

1 0

∞

ModulMatematikaSMA

19

5. StrategiSederhanadalamMenyelesaikanLimitStrategisederhanayangdimaksuddisiniadalahcaramenyelesaikanpersoalanlimit

denganmemanfaatkanteoremadanpenjelasan‐penjelasanpadabagiansebelumnya.

a. Limitfungsi untuk menujunilaitertentu( → , ∈ )

1) Substitusilangsungpadafungsinya.

Misalkaninginditentukanhasillim→ .Jika tidakmenemuihasil“janggal”

dalam arti tidak terdefinisi / tidak tentu / tak hingga, maka umumnya nilai

limitnya adalah . Cara ini sejatinya sekedarmemanfaatkan kekontinyuan

fungsi di titik . Namun cara ini perlu pencermatan lebih lanjut, karena bila

fungsinyatidakkontinyumakacarainitidakbisadigunakan.Jadiperlukehati‐

hatian,walaupun adatetapibelumtentuberlakulim→

Contoh6.1:

a. lim→

42

3 43 2

9 43 2

5

b. lim→

21

12 2 22 1

2 1

09

2 1

1

Bedakandengancontohberikut

c. lim→

22

12 2 22 2

2 1

2 1 ?

Tidakbolehdilanjutkandengancaratersebutkarenamemuatbentuktaktentu .

d. Diberikanfungsi , 3

0, 3.Tentukan lim

→


20

Jelasbahwa 3 0,tetapi lim→

6.Jaditidakberlaku lim→

3

walaupun 3 adayaitu0.

2) Padabentukrasionalumumnyadapatdisederhanakan.

Carainisesungguhnyasekedarmengubahbentukrasionalmenjadibentuklain

sehinggamempunyaifaktoryangsamadipembilangdanpenyebut.Faktoryang

sama ini selanjutnya dapat digunakan untukmerasionalkan penyebut. Faktor

yangsamainidapatpulahasildarimemfaktorkanpembilang

Contoh6.2:

lim→

273

lim→

3 3 93 3

lim→

3 93

92

:

3) Substitusimemuatbentuk dengan .

Jika dengan substitusi memuat bentuk dengan 0, umumnya Namun

demikian,adabeberapakasuswalaupunmemuatbentuk dengan 0tetapi

limitnyaada.Carasepertiinisebenarnyahanyamemanfaatkankebiasaanorang

menghindaribentuk .

Contoh6.3:

a .Tentukanlim→

3

Jawab:

Bila 3disubstitusikankedalamfungsimaka

diperoleh 3 3yaitumemuatbentukdengan 0.Olehkarena

itulim→

3 tidakada.Sebagaigambaranuntukmemperjelasgrafikdari

fungsitersebutadalah

ModulMatematikaSMA

21

Gambar10Ketidakadaanlimit

Jadilim→

3 tidakada

b . lim→

22 4

12

Perhatikanbahwalimittersebutmemuat dengan 0yaitu

yangmemuatbentuk dan

Meskipunmemuatbentuk dan ,namunlimitnyaadayaitu

lim→

22 4

12

lim→

22 4

2 22 4

lim→2 2 2

2 4lim→4 22 4

lim→

2 42 4

1

Mengapameskipunfungsidiatasmemuatbentuk dengan 0tetapi

limitnyaada?Jawabannyaadalahkarenabentuktersebutpadahakekatnya

adalahbentuk∞ ∞ lihatstrategiberikutnya .

4) Substitusimemuatbentuk .

Jikadengansubstitusimemuatbentuk makanilailimitdapatditentukandengan

menyederhanakanataumenggunakanteoremaL’hopital lihatsifatlimit hanya

pada bentuk yang memuat tersebut. Cara ini sebenarnya hanya

menggabungkansifat‐sifatlimit.Perludicatatdisinibahwapenggunaanteorema

tersebut,hanyasebataspenggunaandulu,karenapembahasanteoremabelum

diberikan.Sebagaigambaran,mengingatsifat1dansifat6maka

83

3


22

lim→

11

lim→

lim→

11

PerhatikanbahwateoremaL’hopitaldapatdigunakanuntukbagianlim→

saja,

tidakperlumulaidarilim→

Contoh6.4:

a .lim→ memuatbentuk karena .Jadipenyelesaiannyaadalah

lim→

6416

lim→

64 ′16 ′

lim→

32

lim→

32

6

b .lim→ 1 memuat bentuk hanya pada bagian . Secara

jelasnyabentuktersebutadalah 1 .

Perhatikanbagiandarilim→ 1 yangmemuatbentuk yaitu

1 sehinggahanyabentuk iniyangperluteoremaL’hopital.

Jadilim→ 1 lim

→ 1

lim→

2 21

1

lim→

2 2 21

2 1

√3 3√3

ModulMatematikaSMA

23

Halinidapatdilakukanmengingatsifatlimit

c . lim→

√ 39

lim→

√ 3 ′9 ′

lim→

12√1

16√6

b. Limitfungsi untukxmenujutakhingga(limitsatinfinity)

1) Limitfungsiyangmemuatbentuk∞ ∞.

Limitfungsiyangmemuatbentuk∞ ∞umumnyadiselesaikanmelaluicara

mengalikandengansekawannya

Contoh6.5:

a . lim→

2 4 lim→

2 4 ∙2 √4

2 √4

lim→

4 4

2 √4

lim→

2 √4

∙

1

1

lim→

2 4

lim→

1

2 41

1

2 √4 0

14

b . lim→

√ 7 √ lim→

√ 7 √ ∙√ √

√ √

lim→

√ √

lim→

√ √


24

lim→

pembilangdanpenyebut

dibagi

√ √3

2) Limitfungsiyangmemuatbentuk

Limitfungsiyangmemuatbentuk denganpembilangdanpenyebutsuatu

polinomial,perlumemperhatikan

Pangkattertinggivariabelpembilanglebihbesardaripenyebutmakatidak

punyalimit

Contoh6.6:

lim→

2 5

1lim→

2

5

1

lim→

lim→

lim→

2 lim→

1 lim

→

5

lim→

1 lim→

1

→

∞

Pangkattertinggivariabelpenyebutlebihbesardaripangkattertinggi

variabelpembilangmakanilailimitnyanol

Contoh11:

lim→

2 5

1lim→

2 1 5

1

lim→

lim→

0

Pangkattertinggivariabelpembilangsamadenganpangkattertinggi

variabelpenyebutmakanilailimitnyaadalahperbandingankoefisien

variabeltertinggidaripembilangdanpenyebut

ModulMatematikaSMA

25

Contoh6.7:

a . lim→

5 2 5

2 1lim→

52

5

2 1

lim→

b . lim→

√

.

Perhatikanbahwasukudenganvariabelpangkattertinggipembilang

adalah9 .Karenadidalamakarmakauntukkeperluanmenghitung

limit,sukutersebut“dipandang”sebagai√9 menghilangkansuku

2 5 .Tetapisebenarnyatidakdemikian lihatlatihan .

Sehinggapengerjaandapatdisederhanakansebagai

lim→

√

lim→

√

lim→

√ √

c . lim→

√

lim→

√ √

D. AktivitasPembelajaran

Aktivitas1:

Perhatikanpenyelesaiandarisoalberikut.

(i) Tentukanlim→

(ii) Tentukanpenyelesaiandari 2

Pengerjaanuntuk(i)


26

Pengerjaan(ii)

Mencermati pengerjaan tersebut, memunculkan pertanyaan mengapa proses

mencoretpadapengerjaan(i)bolehdilakukan,tetapiprosesmencoretpengerjaan(ii)

tidakbolehdilakukan?Jelaskan

Aktivitas2:

Diketahui hubungan antara temperatur ( ) dan Volum ( ) pada suatu wadah

bertekanan tetap adalah ,

,. Dengan mencermati hubungan tersebut,

apakah mempunyaibatasbawah?Jelaskanmengapademikian.

Aktivitas3a:

Perhatikanpengerjaanlimitberikut

Jelaskansecararincidandetailsifat‐sifatapasajayangdigunakanuntuk

mengerjakansoallimittersebut.

ModulMatematikaSMA

27

Aktivitas3b:

Seorangsiswamengerjakansoallimitdibawahinidenganhasilakhir0.

lim→ √1 1

Siswatersebutlangsungmenduga0karenabagianpembilangadaunsur dan

kebetulan menuju0.Apakahhasilinibenar?Berikanpenjelasan

Aktivitas4:

PernahkahAndamendengarsesorangmengatakan“limitnyatakhingga”atau

“limitnyatidakada”?Berkaitandenganinidiskusikanbagaimanacaramenulishasil

limitfungsiberikut.

(i) lim→

(ii) lim→

(iii) lim→ dimana 3, untuk 0

1, untuk 0

Aktivitas5.a:

Diskusikanperbedaanlimittakhingga(infinitelimits)danlimitditakhingga(limits

atinfinity).


28

Aktifitas5.b

Dalammenyelesaikan lim→

√

,bolehkahkita“pandang”

√16 2 5sebagai√16 (menghilangkansuku 2 5dibawah

akar)sehinggapengerjaanmenjadilebihsederhana?Diskusikandanberikan

penjelasan.

Aktifitas6a:

Buatlah suatu fungsi (misalkan ) yang relatif rumit, kemudian substitusikan

suatubilangan(namakan )sehinggatidakterjadihasilpenyebutbernilainol.Setelah

itu Tentukan lim→

. Selidiki apakah hasil limitnya ? Sebagai pemantapan,

bolehmenggunakanmediaTIKuntukmenentukanhasillimitnya

Aktifitas6.b

Dalammenyelesaikan lim→

2 √4 ,bolehkahkita“pandang”√4

sebagai√4 saja(menghilangkansuku“ "dibawahakar)sehinggapengerjaan

menjadilebihsederhana?Diskusikanbandingkandenganaktifitas5.3danberikan

penjelasan.

ModulMatematikaSMA

29

E. LatihanKerjakansoal‐soalberikutini

1. Buktikan bahwa jika lim→ dan lim

→ maka lim

→

2. Jika lim→ ada, apakah limit kiri dan limit kanankeduanyaharus selalu

ada?Apakahbolehsalahsatusaja?Jelaskan

3. Tentukannilailim→

4. Buktikanlim→

tidakada

F. RangkumanPengertian limit fungsi dapat diungkapkan dalam bahasa verbal maupun bahasa

formal.Dalambahasaverballim→ diungkapkansebagai akanmendekati

nilai apabila mendekati . Sedangkan penyajian dengan bahasa formal arti

lim→ adalah untuk setiap 0 , terdapat 0 sedemikian hingga

| – | untuksetiap0 | – | .

Untukmenentukan nilai limit suatu fungsi, kita tidak harus kembali pada definisi

limit, tetapi memanfaatkan teorema atau sifat‐sifat limit. Teorema yang sering

digunakanadalahsebagaiberikut.

Misalkan c suatu konstanta dan lim→ serta lim

→ dua‐duanya ada maka

berlaku

1) lim→ lim

→ lim

→

2) lim→ lim

→ lim

→

3) lim→ . lim

→ . lim

→

4) lim→ →

→

bilalim→ 0

5) lim→ lim

→

6) lim→

lim→

7) lim→ = lim

→ bila positipdanruaskirilimitnyaada

8) lim→


30

9) lim→ lim

→ ,jika dalambentuk , dan ada.(Teorema

L’Hopital)

10) Untuk suatufungsiyangkontinyudi makalim→

Selain menyelesaikan permasalahan limit dapat menggunakan strategi sederhana

sebagaiberikut

a. Limitfungsi untuk menujunilaitertentu( → , ∈ )

1) Substitusilangsungpadafungsinya.

2) Menyederhanakanbentukrasional

3) Jikadengansubstitusimemuatbentuk dengan 0,umumnyafungsitidak

mempunyai limit. Namun demikian, ada beberapa kasus walaupunmemuat

bentuk dengan 0tetapilimitnyaada.

4) Jika dengan substitusi memuat bentuk maka nilai limit dapat ditentukan

dengan menyederhanakan atau menggunakan teorema L’hopital (lihat sifat

limit)hanyapadabentukyangmemuat tersebut.

b. Limitfungsi untukxmenujutakhingga(limitsatinfinity)

1) Limitfungsiyangmemuatbentuk∞ ∞,umumnyadiselesaikanmelaluicara

mengalikandengansekawannya

2) Limitfungsiyangmemuatbentuk denganpembilangdanpenyebutsuatu

polinomial,perlumemperhatikan

Pangkattertinggivariabelpembilanglebihbesardaripenyebutmakatidak

punyalimit

Pangkattertinggivariabelpenyebutlebihbesardaripangkattertinggi

variabelpembilangmakanilailimitnyanol

Pangkattertinggivariabelpembilangsamadenganpangkattertinggi

variabelpenyebutmakanilailimitnyaadalahperbandingankoefisien

variabeltertinggidaripembilangdanpenyebut

Berkaitandenganistilahlimittakhingga,terdapatperbedaanantaralimittakhingga

(infinitelimits)danlimitditakhingga(limitsatinfinity).Limittakhinggalim→

∞dimaknaisebagiuntuksetiap 0terdapat 0sehingga jika0

ModulMatematikaSMA

31

| | .Sedangkanlim→ ∞dimaknaisebagiuntuksetiap 0terdapat

0sehingga jika0 | |

Contohdiantaranyaadalahlim→ ∞danlim

→ ∞

Sementaraituuntuklimitditakhingga lim→

dimaknaisebagaiuntuksetiap

0 terdapat 0 sehingga jika berlaku | | , sedangkan

lim→

dimaknaisebagaiuntuksetiap 0terdapat 0sehinggajika

berlaku| |

Contoh: lim→

1 demikianpula lim→

1


Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan sudah mampu memahamipengertianlimitfungsidenganbahasasederhanamaupunbahasaformal.SelainituAndadiharapkanmampumenyelesaikanpermasalahanlimitbaikberkaitandenganmenentukannilailimitmaupunberkaitandenganpembuktianlimit.Untukmegukuritu semua Anda harus mengerjakan semua soal yang ada di bagian latihan.SelanjutnyacocokkanjawabanAndadengankunci.Karenakegiataninimerupakanevaluasidirimakapengerjaanyangjujuradalahkuncikeberhasilanuntukmengukurcapaiankompetensi( ).Berkaitandenganitu,pertimbangkanhalberikut

Perolehan

(dalam%)

Deskripsidantindaklanjut

91 100 SangatBaik,berartiAndabenar‐benarmemahamipengertianlimit.Selanjutnyakembangkanpengetahuandantuangkandalampembelajaran

76 91 Baik,berartiAndacukupmemahamipengertianlimitwalaupunadabeberapabagianyangperludipelajarilagi.Selanjutnyapelajarilagibeberapabagianyangdirasakanbelumbegitudipahami.

50 76 Cukup,berartiAndabelumcukupmemahamipengertianlimit.OlehkarenaituAndaperlumempelajarilagibagianyangbelumdikuasaidanmenambahreferensidarisumberlain

50 Kurang,berartiAndabelumdapatmemahamipengertianlimit.OlehkarenaituAndaperlumempelajarilagidariawaldanmenambahreferensidarisumberlain


32

H. KunciJawaban

1. Jawab:

Setiap 0 terdapat dan sehingga berlaku | | jika 0

| | dan | | jika0 | | .Selanjutnya,pilih

min , ,makaakanberlaku

| | | |

| | | |

2 2

2. Jawab:

Tidakharus.Contohlim→√ 1 0,tetapilimitkiritidakadakarenadomain

fungsinyaadalah 1

3. Jawab:

lim→ lim

→2. . Karena untuk → 0maka2 → 0 maka berlaku

lim→ lim

→2. 2 lim

→ 2.1 1

4. Jawab:

Andaikanlim→

.Makakitadapatambil | | 1 0sehinggaberlaku

| | | | 1 jika 0 | | untuk suatu 0. Sementara itu untuk

| || |

maka dipenuhi 2| | 1 . Sehingga dengan memilih ∗

min , | | 1 makaberlaku

2| | 11

1

1| |

| | 1 | |

2| | 1

Terjadisuatukontradiksikarenatidakmungkin2| | 1 2| | 1.Jadi

pengandaiansalah,yangberartilim→

tidakada

ModulMatematikaSMA

33

KB2:TurunandanIntegral

A. TujuanKegiatanbelajarinibertujuanuntukmemberikanpemahamankepadapesertadiklat

ataupembacaberkaitandenganpengertianturunan,integralyangmencakupintegral

tak tentu dan integral tertentu serta teorema fundamental kalkulus. Selain itu,

kegiatanbelajariniditujukanuntukmemberikantambahanpengetahuanberkaitan

dengancaramenyelesaikan integral tak tentudan integral tertentu.Kegiatanyang

dimaksuddapatdilakukansecaramandirimaupundalamkegiatandiklat.


Setelahmembacadanmengikutiserangkaiankegiatanpadamodulini,pesertadiklat

ataupembacamampu

1. memahamipengertianturunan,integraltaktentudanintegraltertentudarisuatu

fungsi

2. menentukanhasilintegraltaktentudanintegraltertentufungsialjabar

3. menentukanhasilintegraltaktentudanintegraltertentufungsitrigonometri

4. memahamiteoremafundamentalkalkulus

C. UraianMateri

1. PengertianTurunan

Jikakitaberbicaramengenaikecepatan,percepatan,nilaimaksimumdanminimum

suatufungsimakasebenarnyakitasedangmembahasmengenaiturunan.Sementara

ituturunan(secaradefinisi)adalahpengembangandarikonseplimit.Sebagaiawal

pembicaraan marilah kita memahami turunan sebagai gradien garis singgung.

Perhatikan gradien garis (bukan garis singgung) yangmemotong kurva

berikut.


34

Gambar11Gradien

Gardiengaris∆

∆

∆

∆.

Untuk∆ → 0dapatdiilustrasikansepertigambarberikut

Gambar12Pemahamangradiengarissinggung

Dengandemikiangradiengarissinggungkurvadititik( , namakan dapat

dipahamisebagaiformula

lim∆ →

∆∆

jikanilailimitnyaada.Misalkanfokuskitatidakpadapadasatutitik,tetapipada

titiksembarangdidomainnyamakaformuladiatasdapatdinyatakansebagaisuatu

fungsiyangdilambangkandengan ′ dimana

′ lim→

jikalimitnyaada.Bentukterakhirinilahyangdinamakanturunandarifungsi pada

domainnya. Mengingat penjelasan sebelumnya maka turunan fungsi ini dapat

ModulMatematikaSMA

35

dikatakansebagaifungsigradiengarissinggungkurva .Berkaitandengannotasiini,

adasebagianliteraturyangmenyajikan sebagai ′atau ′

Contoh1.1:

Tentukanturunandari

Jawab:

lim→

lim→

lim→

2

lim→

2

lim→

2

2

2. Sifat‐sifatdanTeoremaTurunan

Perlumenjadiperhatianbahwaketikainginmenentukanturunansuatufungsi,kita

tidakharuskembalipadadefinisinya,tetapimemanfaatkanteoremaatausifat‐sifat

padaturunan.Berikutinibeberapasifatdanteorematerkaitturunansertabeberapa

hasilturunanyangseringdigunakan.Buktiuntuksifatdiatastidakdisajikandalam

tulisanini,tetapipembacadapatmemperolehnyadibukureferensi[2]padadaftar

pustaka.

1

2

3 ′

4 .

5

6 . ′

7

8 ln| | ′

9 ln

10 sin cos


36

11 cos ′ sin

12 tan sec

Contoh2.1

Tentukanturunandari

Jawab:

Denganmemanfaatkansifatturunandiperoleh

sin2

sin2

22 cos 2 sin

4

Contoh2.2

Tentukangardiengarissinggungkurva log dititik 10,1

Jawab:

Untukmenentukan gradien garis singgung di suatu titik, dapat dilakukanmelalui

definisi (menggunakan limit) atau dengan cara menentukan fungsi turunannya

terlebih dahulu. Misalnya kita mengambil cara menentukan fungsi turunannya

terlebihdahulu

loglnln 10

1ln 10

1

1ln 10

Berarti 10 .

Jadigradiengarissinggungdititik 10,1 adalah

3. IntegralTakTentu(IndefiniteIntegral)

Sebelumpembicaraanlanjut,marilahkitabahasmulaidariistilahnya.Mengapaada

katataktentu?Misalkankitainginmencarifungsi yangmempunyaiturunan

3 .Mungkinsajakitalangsungmenentukan karena 3 .Tetapi

jika diperhatikan lagi,masih banyak fungsi yang turunannya 3 . Contoh

1, 25mempunyaihasilturunan 3 dan 3 .

Kitamasihdapatmenentukanbanyaklagifungsilainyangturunannya 3 .

Pengerjaansepertiinidinamakanmenemukansuatuantiturunandarisuatufungsi.

Prosesmenentukanfungsi sedemikaianhingga dinamakanproses

antiturunanataupengintegralantaktentu.Secaradefinisidituliskansebagaiberikut.

ModulMatematikaSMA

37

Perlumenjadiperhatianbahwakata“suatu”disiniamatpenting,karenakata“suatu”

itu menunjuk pada salah satu fungsi antiturunannya. Operasi untuk menentukan

semuaantiturunan ditulisdengansimbolintegral”ʃ“.Jadipenyelesaianproses

inidituliskansebagai

.

Dengan melihat hubungan antara proses pengintegralan dengan proses turunan

makadapatdikatakanbahwaintegraladalahinversdariturunan.

Contoh4.1:

a. Diberikan ,tentukan

i suatuantiturunandari

ii hasildari

Jawab:

i Karena yang diminta hanya menentukan suatu antiturunan, kita dapat

denganbebasmemilihsuatufungsiyangturunannya ,misalkansajaambil

fungsi 10maka iniadalahsuatuantiturunandari .

ii Untuk pertanyaan kedua, sebenarnya kita diminta menentukan semua

fungsiyangturunannya .Jadihasilnyaadalah

dimana suatukonstanta

Sebelummembahasmengenailuasdaerahyangdibatasigrafik,perludibahas

terlebihdahulucaramenentukanhasilintegraltaktentu

b. Tentukanhasildari

i 1

ii cos sin

Jawab:

i 1

ii cos sin cos sin

Fungsi dinamakansuatuantiturunandari padainterval jika untuksetiap

yangberadadalaminterval


38

4. Strategisederhanadalammenentukanhasilintegraltaktentu

Sedapatmungkindisederhanakan jikabisadilakukan

Contoh5.1:

a.

1

b. 1 1 ∙

1

1 ∙ 1

Jikaadafaktoryangbentukaljabarnyarelatifsederhana,hindariuntukpemisalan

Contoh5.2:

Tentukan √ 7

Perhatikanbahwabentukaljabar lebihmudahdaribentukaljabar 7.

Olehkarenaituhindaripemisalan .Gunakanpemisalan 7.

3 ↔ .Jadi

7 √ 13

13

√29

29

7

Untuk fungsi rasional, jadikan sebagai penjumlahan dengan penyebut faktor‐

faktornya

Contoh5.3:

Tentukan

Perhatikanbahwa

22

22 1

ModulMatematikaSMA

39

2 1

1 22

22

Darisinidiperoleh , .Sehingga

22

23

12

23

11

23ln 2

23ln 1

Untukkasuscampuranyangmerupakanperkalianduafungsidimanasalahsatu

fungsibisaditurunkanterussampaimenghasilkan0danfungsiyanglainselalu

dapat ditentukan integralnya maka pengerjaannya dapat dilihat seperti pada

contoh.

Contoh5.6:

a. Misalnyaakanditentukanhasildari cos 2 .

Pengerjaansebagaiberikut:


40

Jadidiperoleh,

cos 2 ∙ sin 2 3 ∙ cos 2 6 ∙ sin 2 6 ∙ cos 2

sin 2 cos 2 sin 2 cos 2

b. Tentukanhasil 1

Cara1:

Pengerjaansebagaiberikut:

Jadidiperoleh,

1 1 .14

2.120

2.1120

16

14

Cara2:

1

16

14

Selainstrategisederhanadalammenentukanintegral,perludiingatjugabeberapa

sifat‐sifatdanrumusintegraltaktentusepertitertuangpadalamiran

5. IntegralTertentu(DefiniteIntegral)

Untukmempermudahpemahamankitamulaidarisuatufungsi yangkontinyu

pada interval . Selanjutnya kita bagi interval , dalam subinterval

dengan panjang sama yaitu ∆ . Kemudian misalkan , , … ,

batas‐bataspadasubinterval.Pilihtitik‐titik ∗, ∗, … , ∗ padasubintervalsehingga∗ berada pada subinterval , ,maka integral tertentu dari sampai

adalah

lim→

∗ ∆

ModulMatematikaSMA

41

jikalimittersebutada.Simbol“ ”dinamakansimbolintegral.Suatuhalyangperlu

ditegaskandisinibahwasimbol“ ”berbedamaknadengansimbol“ ”pada

antiturunan.Apaperbedaannya?Lihatdiaktifitas.

Contoh6.1:

Perhatikanluasanberikutbesertapartisinya.

Gambar13Caramempartisi

Selanjutnya,padainterval 0,2 kitabuatmenjadi subintervaldenganpanjang

samayaitu∆ denganbatas‐batasinterval

0, , … , 2.

Gambar14Contohpartisi

Kemudian kita pilih ∗ yang berada pada subinterval , sebagai ∗

supaya lebih mudah . Dengan mengacu pada pendefinisian integral tertentu

makadiperoleh

lim→

∗ ∆

1 2

1

1 2

1

jumlah partisi diperbanyak

1 2

1

∆ ∆

12

12

12

∆


42

lim→

2

lim→

122 4

⋯2

.2

1

Jadi,

12

1

Terlihatbahwaintegraltertentumenunjukansuatuluas.Darisinitimbulpertanyaan,

apakah untukmenentukan integral tertentu selalu harus selalumenggambar dan

menggunakan partisi? Jawabannya adalah tidak harus. Kita cukup bersyukur dan

bangga dengan adanya Teorema Fundamental Kalkulus TFK yang diantaranya

menyatakanbahwa

dimana adalahantiturunandari .

Berkaitandenganpenulisan,banyakorangmenggunakan | untukmengganti

.DalamtulisaninitidakdibahasmengenaibuktiTFK,namunpembaca

dapatmemperolehnyadireferensi 1, 2 dan 3

Misalkanuntukcontohtadi,kitaakanmenentukanhasildari .Langkah

pertamaadalahmenentukanantiturunan primitive dari yaitu

12

14

DenganmemakaiTFKmakadiperoleh

2 0

142

140

ModulMatematikaSMA

43

1

6. Menentukanluasdaerah

Untuk menentukan luas daerah khususnya daerah yang dibatasi oleh dua grafik

dilakukan dengan menghitung integral tertentu masing‐masing kurva. Proses ini

dapatdilakukanjikaintegraltaktentusudahdiperoleh.Untukitu,gunakancara‐cara

untukmenentukanintegraltaktentuyangsudahdibahaspadabagiansebelumnya.

Jikaduagrafikmembentukkurvatertutupsederhana(misalkanfungsi dan )maka

untukmenentukanluasdaerahyangdimaksudadalahdenganmenentukanintegral

tertentu denganbatasintegraltitik‐titikpotongnya.

Gambar15Kurvatertutupsederhana

Gambar16Kurvatertutuptidaksederhana

Mengapademikian?Cobacermatiuraianberikut.

Diberikanfungsi dan sepertigambardibawahini.

kurvatertutupsederhana

kurvatertutuptidaksederhana


44

Gambar17Luasdaerahantaraduakurva

Denganmemperhatikangrafikdiatasjelasbahwa dapatditentukandengan

Selanjutnya, untuk daerah berikut, apakah untukmenghitung luas juga dilakukan

penguranganseperticarasebelumnya?

Gambar18Contohluasdaerahantaraduakurva

Apakah ?

Sekarang coba perhatikan bila kedua fungsi di atas masing‐masing ditambah

sehinggaluasannyadiatassumbu‐ .

ModulMatematikaSMA

45

Gambar19Contohluasdaerahantaraduakurva

Perhatikanbahwamenambahkan padamasing‐masingfungsitidakmengubahluas

maupunabsistitikpotongkeduafungsitersebut.DengandemikianluasLadalahluas

daerah dibawah kurva dikurangi luas daerah dibawah kurva

denganbatas dan .Ataudalambentukintegraldinyatakandengan

Akibatnya,

Berartiluasdaerahyangdibatasiolehkurvatertutupsederhanadimanapunletaknya

dapatditentukandengancaramenghitungintegraltertentuhasilpengurangankurva

pertamaolehkurvakedua atausebaliknya denganbatas‐batastitikpotongnya.

Sedangkan untuk kurva tertutup tidak sederhana, menentukan luas harus

memperhatikanbagian‐bagianluasannya

Contoh7.1:


46

a. Berapaluasdaerahyangdibatasioleh 3 , 4dansumbu‐x?

Jawab:

Untuk daerah I sangat mudah ditentukan luasnya yaitu 1 . Sedangkan

daerahIIdihitungdenganmenggunakanintegral

4

4

2 4 2 1 4 1

1

Sehingga,

1 1 3

b. Hitunglahluasdaerahyangdibatasioleh , 3,dan 4serta

sumbu‐x.

Gambar20 Luasdaerahpadadualuasan

ModulMatematikaSMA

47

Gambar21Luasdaerahdibawahsumbu‐x

Jawab:

Untukmenentukanluasdaerahyangdiarsir,samasajadenganmenentukanhasil

dari .

ln 2 ln 1

ln

c. Tentukanluasdaerahyangdibatasikurva 4 dan 2

Jawab:

Ditentukanterlebihdahulutitikpotongnya dalamhaliniadalahbatasintegralnya .

4 2

2 0

2 1 0titikpotongnya 2,0 dan 1,3 .

Gambar22Luasdaerahantaraduakurva


48

Luasdaerahyangdimaksudadalah

4 2

13

12

2

412


Aktivitas1a

Denganmenggunakandefinisiturunan(melaluilimit),tentukanturunan

kemudiandiskusikanapayangpalingdirasasulitdalammenentukanturunantadi?

Aktivitas2a

Tentukanhasildari √ sin .Sifat‐sifatmanasajayangdigunakanuntuk

menyelesaikanhasiltersebut?Jelaskandandiskusikan

ModulMatematikaSMA

49

Aktivitas2b

Lengkapitabelberikutini

Tabel5

No FungsiPenulisankembali

TurunanFungsi

Bentuk

Sederhana

1 √ 12

,1

2√

2 √2 ... ... ...

31

2 sin ... ... ...

412

3√ ... ... ...

5sin cos

√ ... ... ...

Aktivitas3

Gambarlahsketsagrafikfungsi 1 dantentukantitik‐titikpadagrafik

tersebutsehinggagradiengarissinggungnyasejajardengansumbu

Aktivitas4

Cobakerjakansoalberikut.

(i) sin

(ii) sin

Apayangmembedakanhasil(i)dan(ii)?Jelaskan


50

Aktivitas5a

Tentukanhasildari√

dandiskusikanlangkah‐langkahapayang

dilakukanuntukmenyelesaikansoaltersebut.

Aktivitas5b

Cobacermatiduaorangyangberusahamencobamenyelesaikanpersoalanberikut

Orang1:

Tentukankasildari √ 1 .

Jawab:

Misalkan ,maka 2 dan sehingga

1 1 ⋅ 1

2√

12

1

12

1

12

⋅

tidakbisamelanjutkan.

Orang2:

Tentukanhasildari √ 1 .

Jawab:

Misalkan 1,maka 3 sehingga

ModulMatematikaSMA

51

1 √ .13

√

23

Jadi √ 1 √ 1

Denganmencermatipekerjaantersebut,diskusikanmengapaorang1tidakmampumenyelesaikansoaltersebut?

Aktivitas6a

Perhatikangrafikfungsidanluasanberikutberikut.

Denganmenggunakanintegraltertentu(denganpartisi)hitunglahluasdaerahyangdiarsir.Selanjutnya,cocokkandenganhasilhitunganyangmenggunakanteoremafundamentalkalkulus.

Aktivitas6b

Jawablahpertanyaanberikut,sebelumberdiskusi.


52

(i) Apakahhasil suatubilangan?

(ii) Apakahhasil suatubilangan?

Selanjutnyadiskusikanapayangmembedakanantara dengan .

Aktivitas6c

DenganmemanfatkanTFKhitunglah

(i)

(ii)

(iii) √

(iv) sin cos

(v) 1

Aktivitas7a

Perhatikanluasanberikut.

Apakahluasantersebutdapatdihitungsecaralangsungdengan

dengan dan absistitikpotongnya?Jelaskandandiskusikan

ModulMatematikaSMA

53

Aktivitas7b

Karenahasildari 0makaluasdaerahyangdibatasikurva ,garis

2,garis 2dansumbu‐ adalah0.SetujukanAndadenganpernyatantersebut.

Jelaskandandiskusikan

E. Latihan1. Buktikanturunandari3xadalah3

2. Misalkangradiengarissinggungpertamam,gradiengarissinggungkeduan

dimanam n,apakahgarissinggungpertamapasti lebihdatardarigaris

singgungkedua?

3. Contohkanfungsiyangtidakmempunyaigradiengarissinggungpadatitik

tertentu.

4. Tentukanhasildari e sin 2x dx

5. Tentukanluasdaerahyangdibatasigarisx 2,x 2dankurvax

6. Tentukanluasdaerahyangdibatasifungsif x x 3dan 9

F. RangkumanDiberikansuatufungsi .Gradiengarissinggungkurvadititik c, f c namakan

dipahamisebagaiformula

lim∆ →

∆∆

jikanilailimitnyaada.Misalkanfokuskitatidakpadapadasatutitik,tetapipada

titiksembarangdidomainnyamakaformuladiatasdapatdinyatakansebagaisuatu

fungsiyangdilambangkandenganf′ x dimana

′ lim→

jikalimitnyaada.Bentukterakhirinilahyangdinamakanturunandarifungsi pada

domainnya. Mengingat penjelasan sebelumnya maka turunan fungsi ini dapat


54

dikatakansebagaifungsigradiengarissinggungkurva .Berkaitandengannotasiini,

adasebagianliteraturyangmenyajikan sebagai ′atau ′.

Ketikainginmenentukanturunansuatufungsi,kitatidakharuskembalipadadefinisi

diatas, tetapimemanfaatkan teoremaatausifat‐sifatpada turunan.Beberapasifat

yangseringdigunakanadalahsebagaiberikut.

1

2

3 ′

4 .

5

6 . ′

7

8 ln| | ′

9 ln

10 sin cos

11 cos sin

12 tan sec

Fungsi dinamakansuatuantiturunandari padainterval jika untuk

setiap yangberadadalaminterval .Kata“suatu”disiniamatpenting,karenakata

“suatu” itu menunjuk pada salah satu fungsi antiturunannya. Operasi untuk

menentukan semua anti turunan ditulis dengan simbol integral ” ʃ “. Jadi

penyelesaianprosesinidituliskansebagai

.

Dengan melihat hubungan antara proses pengintegralan dengan proses turunan

maka dapat dikatakan bahwa integral adalah invers dari turunan. Suatu hal yang

penting disini adalah Teorema Fundamental Kalkulus TFK yang diantaranya

menyatakanbahwa

ModulMatematikaSMA

55

dimana adalahantiturunandari .

Berkaitandenganpenulisan,banyakorangmenggunakan | untukmengganti

.

G. UmpanBalikdanTindakLanjutSetelah mempelajari modul ini Anda diharapkan sudah mampu memahami

pengertianturunandanintegralsertateoremafundamentalkalkulus(TFK).Selainitu

Anda diharapkanmampumenyelesaikan permasalahan berkaitan dengan turunan

danintegral.UntukmegukuritusemuaAndaharusmengerjakansemuasoalyangada

dibagianlatihan.SelanjutnyacocokkanjawabanAndadengankunci.Karenakegiatan

inimerupakanevaluasidirimakapengerjaanyangjujuradalahkuncikeberhasilan

untukmengukurcapaiankompetensi( ).Berkaitandenganitu,pertimbangkanhal

berikut

Perolehan

(dalam%)

Deskripsidantindaklanjut

91 100 SangatBaik,berartiAndabenar‐benarmemahamipengertianturunandanintegral.Selanjutnyakembangkanpengetahuandantuangkandalampembelajaran

76 91 Baik,berartiAndacukupmemahamipengertianturunandanintegralwalaupunadabeberapabagianyangperludipelajarilagi.Selanjutnyapelajarilagibeberapabagianyangdirasakanbelumbegitudipahami.

50 76 Cukup,berartiAndabelumcukupmemahamipengertianturunandanintegral.OlehkarenaituAndaperlumempelajarilagibagianyangbelumdikuasaidanmenambahreferensidarisumberlain

50 Kurang,berartiAndabelumdapatmemahamipengertianturunsandanintegral.OlehkarenaituAndaperlumempelajarilagidariawaldanmenambahreferensidarisumberlain


56

H. KunciJawaban1. Jawab:

Misalkan 3 maka

lim→

lim→3 3

lim→3

3

2. Jawab:

Tidakpasti.Contoh 10dan 1,jelasbahwa 10 1tetapigaris

singgungbergradien 1lebihdatar

3. Jawab:

Salah satu contoh adalah | |. Fungsi ini tidak mempunyai gradien

garissinggungdi 0

4. Jawab:

Misalkan 2 maka .Jadi

sin 212

sin

12.12

cos sin

14

cos 2 sin 2

ModulMatematikaSMA

57

5. Jawab:

Karenayangdimintaadalahluasdaerahdibatasihanyasatukurva,makakita

harus berhati‐hati terhadap posisi kurvanya. Dalam hal ini kita akan

menghitungbagian‐bagiannyayaitu

14

4

dan

14

4

Jadiluasdaerahyangdimaksudadalah 8

6. Jawab:

Titikpotong 3dan 9adalah 3,0 dan 4,7 .

Jadiluasdaerahnyaadalah

3 9

12

57,17


58

59

KEGIATANPEMBELAJARAN(KB)

BAGIAN2TRIGONOMETRI

KegiatanPembelajaran(KB)KB1:UkuranSudutA. TujuanMemahamisatuanpengukuransudut.

B. IndikatorPencapaianKompetensiPeserta diklat atau pembaca dapat memahami satuan pengukuran sudut dan

menjelaskanhubunganantararadiandanderajatsebagaisatuanpengukuransudut

C. UraianMateriSudutdidefinisikansebagaiperputaransuatugaristertentukegaristertentulainnya

terhadappusatputaran.Padaumumnyasudutdinotasikandengan“ ”

X

Y

O

Gambar1Rotasigarisberlawananarahjarumjam

Diperhatikan, garis diputar terhadap titik kegaris , sehinggamembentuk

sudut ,danditulis XOY

Selanjutnya, jika garis OX diputar berlawanan arah jarum jam kegaris OY, maka

XOY disebut sudut positif (Gambar 1). Sebaliknya, jika garisOX diputar searah

jarumjamkegarisOY,maka XOY disebutsudutnegatif(Gambar2).

KegiatanPembelajaran(KB)Bagian2Trigonometri

60

X

Y

O

Gambar2Rotasigarissearahjarumjam

1. UkuranSudutUntukmenyatakanbesarsudut,dapatdilakukandenganduaukuran,yaitu:

UkuranDerajat

Ketikamembicarakanukuransudutdalamderajatmakapertanyaanyangsering

terlintasdibenakkitaadalahmengapasatuputaranlingkaransamadengan360

derajat?Untukmenjawabini,cobakitatengokkembalisejarahbangsaSumeria

dimasalaluyangtinggaldiMesopotamia(sekitarIrakselatan).Bangsainitelah

menemukantulisansekitartahun3000SMdanmembuatkalenderpada2400

SM.Kalenderituterdiriatas12bulandimanamasing‐masingterdapat30hari.

Ini berakibat dalam satu tahun ada 360 hari. Temuan ini didasari dari

pengamatanmerekaterhadapmatahari,danlimaplanetyangdapatterlihatyaitu

Merkurius, Venus, Mars, Yupiter dan Saturnus. Pada saat itu ada anggapan

matahari berputar mengelilingi bumi selama 360 hari dan gerakan Matahari

dianggap sebagai lingkaran penuh, maka disepakati bahwa satu putaran

lingkaran penuh sebesar 360 derajat. Selain itu para ahli matematika dan

astronomiasalBabiloniadanYunanijugasepakatbahwa1putaransamadengan

360 derajat. Mereka menggunakan basis 60 atau dikenal dengan sebutan

seksagesimalsebagaibasisbilangankalaituuntukmenentukan1putaranpenuh

samadengan360o,Selanjutnyasistemukurandenganmenggunakanderajatini

juga dikenal sebagai sistem seksagesimal. Derajat sendiri dinotasikan dengan

“°",contohnya72°(dibaca:tujuhpuluhduaderajat).

1putaran=360°,sehingga1°1

360putaran.

1° 60′(60menit)

1′ 60"(60detik)

ModulMatematikaSMA

61

Menitdandetikdalamhalinibukanlahukuranwaktu,melainkanderajatsudut.

UkuranRadian(UkuranLingkaran)

Sepertiyangkitaketahuibahwasebuahlingkaranyangmemilikijari–jarir

memilikikeliling2 r.PerhatikanGambar3berikut.

Gambar3Lingkaran

Gambardiatasadalahsebuahlingkarandenganjari–jari danberpusatdititik

.Panjangbusur samadenganpanjangjari–jarilingkaran,dituliskan

.Besarsudutpusat∠ disebut1radiankarenapanjangbusur

(didepansudutpusat∠ )samadengan .Karenakelilinglingkaransama

dengan 2 maka sudut 1 lingkaran penuh = 2 × 1 radian = 2 radian .

Perhatikanperhitungandibawahini.

∠

°

°

1360°

12π

1180°

57,3°

1° 0,017

Selanjutnyajikadiketahuisudutpusat∠ secaraumummakabesarsudut

pusat∠ dalamradiandidefinisikansebagaiperbandinganantarapanjang

busur (busurdidepansudutpusat∠ )denganjari‐jarilingkaran.

POQ

Secaramatematisditulis:


62

POQ

dengan adalahpanjangbusur ,dan adalahjari‐jarilingkaran.

Ukuran radianditulisdengan .

2. SudutdalamKoordinatCartesiusDalamkoordinat Cartesius jika diketahui sudut dengan acuan awal

padasumbu positifdan titikacuannyapadasumbu ,makasudut itu

dinamakan sudut awal yang besarnya adalah 0°. Lebih lanjut, sudut 0°

disebutsudutacuan.DalamsistemkoordinatCartesius,olehkeduasumbu

koordinatbidangterbagimenjadiempatdaerah.Keempatdaerahtersebut

dikenaldenganKuadranI,KuadranII,KuadranIII,danKuadranIV.

Kuadran IKuadran II

Kuadran III Kuadran IV

X

Y

Gambar4Daerahkuadran

Dari gambar diatas dapat disimpulkan letak suatu sudut pada empat

Kuadran,dantandanilaiabsis danordinat sebagaiberikut:

Tabel1

Kuadran Absis Absis Besar

I

II

III

IV

0° 90°

90° 180°

180° 270°

270° 360°

ModulMatematikaSMA

63

Sudut yang besarnya 0°, 90°, 180°, 270°, dan 360° merupakan sudut‐sudut

pembataskuadran.Sudut‐suduttersebuttidakterletakdiKuadranI,Kuadran

II,KuadranIII,maupunKuadranIV.

ContohSoal

Nyatakanlah:

a. 150°dalamukuranradian.

b. 3

4 dalamukuranderajat.

Jawab:

a. 150° 150180

5

6

b. 3

4

3

4

180°135°


LuasJuring.

Diperhatikangambardibawahini.

DiperolehbahwaluasdaerahAOB(juringAOB)dibandingdenganluaslingkaransama

denganbesarsudut dibandingdengansudutsatuputaranpenuh.

Untuk dalamukuranderajatdiperoleh

360°

atau

……

Untuk dalamukuranradiandiperoleh

ϴ A

B

O

Gambar5 LingkarandenganjuringAOB


64

…

atau

……

……

Setelahmengetahuiformulamenghitungluasjuring,makatentukanluasjuring

AOB,jikadiketahui 1,2 danjari‐jarilingakarannyasamadengan6 .

Jawab.

E. Latihan1. Ubahlahsudut–sudutberikutkedalamukuranradian.

a. 45°

b. 310°

c. 45°45′45′′

d. 147°20′45′′

2. Ubahlahsudut–sudutberikutkedalamukuranderajat,menit,dandetik.

a. 1

b. –

c. 3

7

d. 2

3

3. Tentukan(dalamukuranderajatdanradian)sudutkelilingdansudutpusat

bentuk‐bentukberikut.

a. Sebuahsegienamberaturan(6sisi)

b. Sebuahsegi beraturan( sisi)

F. RangkumanSudutdidefinisikansebagaiperputaransuatugaristertentukegaristertentulainnya

terhadappusatputaran.Untukmenyatakanbesarsudut,dapatdilakukandengandua

ModulMatematikaSMA

65

ukuran, yaitu ukuran derajat dan ukuran radian (ukuran lingkaran). Dari kedua

macamukurantersebutdiperolehhubungan

1180°

57,3°

dan

1° 0,017

Dalam sistem koordinat Cartesius, oleh kedua sumbu koordinat bidang terbagi

menjadiempatdaerahyangdikenaldenganKuadranI,KuadranII,KuadranIII,dan

KuadranIV.

G. UmpanBalikdanTindakLanjutUntuk mengetahui tingkat penguasaan anda, cocokkan jawaban dengan kunci

jawabanpadabagianakhirkegiatanbelajar.Hitungjawabanbenaranda,kemudian

gunakanrumusdibawahiniuntukmengetahuitingkatpenguasaanandaterhadap

materikegiatanpembelajaranini.

Rumus

Tingkatpenguasaan=Jumlahjawabanbenar

3100%

Kriteria

90%–100%=baiksekali

80%–89%=baik

70%–79%=cukup

<70%=kurang

H. KunciJawaban1.a. 4 b. 5,27 c. 0,778 d. 2,455

2.a. 57°18′b. 180°c. 77°8′34"d.120°

3.a.sudutpusat60°atau ,sudutkeliling120°atau

b.sudutpusat°atau ,sudutkeliling180°

°atau 1


66

KB2:FungsiTrigonometri,SudutBerelasi,danInversFungsiTrigonometri

A. Tujuan- Menjelaskankonsepenamperbandingantrigonometri(fungsitrigonometri).

- Menggeneralisasirasiotrigonometriuntuksudut‐sudutdiberbagaikuadran

dansudut‐sudutberelasi.

- Menjelaskankonsepinversfungsitrigonometri.

B. IndikatorPencapaianKompetensiPeserta diklat atau pembaca dapat menjelaskan konsep enam perbandingan

trigonometri, fungsi trigonometri, dan menggeneralisasi rasio trigonometri untuk

sudut‐sudutdiberbagaikuadrandansudut‐sudutberelasisertadapatmenjelaskan

konsepinversdarifungsitrigonometri.

C. UraianMateriPadasaatkitajalan‐jalankehutan,kitaakanmelihatbanyakpohon.Pernahkahkita

berfikir,berapatinggipohontersebut?.

Gambar6Pengamatansudutpadapohon

Lebih lanjut, dapatkah kita mengetahui tinggi pohon tanpa harus mengukurnya

langsung? Ketika kita melihat pucuk pohon tersebut, maka dapat kita bayangkan

sebuahsegitigasiku‐sikuterbentukdisana,yaituantarakita,pucukpohon,danarah

horizontal kita dengan pohon tersebut. Ternyata, tanpa mengukur langsung, kita

dapat menentukan tinggi pohon dengan segitiga yang terbentuk dari pohon dan

bayangannya.Lebihlanjut,kitaakanbahasdalammateritrigonometriberikut,yang

selanjutnyabisakitaaplikasikansalahsatunyauntukmenghitungtinggipohon.

ModulMatematikaSMA

67

1. FungsiTrigonometriPerhatikangambarsegitigasiku–sikuberikut.

Jelasbahwa∆ABCsebangundengan∆ADE,dan∆AFG.Darisiniberakibatbahwa

Karena perbandingan di atas tetap maka nilai perbandingan di atas hanya

bergantungpada ∠ .Dengankata lain,perbandingandiatasadalah fungsi

dari ∠ , bukan fungsi panjang segitiga. Dari uraian di atas, berikut

didefinisikanfungsisinus∠ atausin∠ (dalamhalini∠ terletakdi

kuadranI).

∠

Analogperbandingan

didefinisikansebagai ∠ atau ∠ .

∠

danperbandingan

didefinisikansebagai ∠ atau ∠ .

A B

C

D

E

F

G

Gambar7 Segitiga– segitigasiku– sikuyangsebangun


68

∠

Selanjutnya didefinisikan juga fungsi ∠ atau ∠ ,

∠ atau ∠ ,dan ∠ atau ∠ .

∠1∠

∠1∠

�∠1∠

2. SudutIstimewaa. Sudut0°

Pandang segitigaABC siku – siku diB dan titikC berimpit dengan titikB. Ini

berarti∠ 0°danBC=0,sertaAB=AC.

Iniberakibat

0° ∠ 0

Selanjutnya,

0° ∠ 1

0° ∠ 0

b. Sudut30°

Perhatikansegitigasiku‐siku ,diketahui∠ 30°,danpanjang .

ModulMatematikaSMA

69

A

B C60

30

C’

60

30

aa

2a2a

Gambar8Segitigasamasisi

maka∠ 60°.

Selanjutnya,segitiga dicerminkanterhadapgaris ,diperoleh

segitigasamasisi ’ denganpanjangsisi2 .Akibatnyapanjangsisi

2 .

Perhatikankembalisegitigasiku‐siku , , 2 ,dengan

DalilPythagorasdiperoleh

√ 2 2 2 2 2 √4 2 2 √3 2 √3

sehingga,perbandingantrigonometriuntuksudut30°adalahsebagai

berikut.

30°2

1

2

30° √3

2

1

2√3

tan 30°√3

1

√3

1

3√3

cot 30° √3√3

sec 30°2

√3

2

√3

2

3√3

csc 30°2

2

c. Sudut45°

Diperhatikansegitigasiku‐sikusamakakiberikut.


70

a

a

A

CB

45

45

Gambar9Segitigasamakaki

Diperoleh sudut dan samadengan45°.Diketahuipanjang ,

maka .DenganDalilPythagoras,diperoleh

2 2 2 2 2 2 √2

sehingga, perbandingan trigonometri untuk sudut 45° adalah sebagai

berikut.

sin 45°√2

1

√2

1

2√2

cos 45°√2

1

√2

1

2√2

tan 45° 1

cot 45° 1

sec 45° √2√2

csc 45° √2√2

d. Sudut60°

Dari penjelasan pada sudut 30°, dapat ditentukan pula perbandingan

trigonometriuntuksudut60°.DiperhatikanGambar8,diperolehperbandingan

trigonometriuntuksudut60°adalahsebagaiberikut.

60° √3

2

1

2√3

60°2

1

2

60° √3√3

ModulMatematikaSMA

71

60°√3

1

√3

1

3√3

60°2

2

60°2

√3

2

√3

2

3√3

e. Sudut90°

Dengancarayangsamadengansudut0°,dalamsistemkuadransudut90°berada

pada sumbu dengan , 0, dan , untuk 0. Perbandingan

trigonometriuntuksudut90°adalahsebagaiberikut.

90° 1

90°0

0

90°0

90°0

0

90°0

90° 1

3. SudutBerelasiDalamsubbabiniberisicarauntukmenentukanataumenghitungnilai‐nilaidari

keenamperbandingantrigonometriuntuksuatusudutAyangberadadikuadranI,

II, III, maupun IV. Hal ini dapat dilakukan apabila sudut A dapat diubah atau

direlasikan dengan suatu sudut di kuadran I (dengan 0 90° ). Sebagai

contohsudutA=120°berelasidengansudut 30°atau 60°,karena 90°

30° atau 180° 60°. Relasi dari sudut‐sudut ini dalam trigonometri dapat

dilukiskan pada grafik Cartesius dengan sifat pencerminan (refleksi) maupun

perputaran(rotasi).

SudutberelasidikuadranI

Relasisudut dengan 90° ,dengan0 90°


72

Perhatikangambarberikut.

x

y

O

A(a,b)

A’(b,a)

ab

a

b

(90 - )

y=x

Gambar10SudutberelasidikuadranI

Titik , dicerminkanterhadapgaris makadiperoleh:

i. Bayangantitik ,yaitu ’ ,

ii. � ’ ,maka� ’ 90°

iii. Panjang ’

Berdasarkangambartersebut,makadiperoleh:

Tabel2

Untuk , dansudut Untuk ’ , dansudut 90°

°

°

°

°

°

°

90°

90°

90°

90°

90°

90°

Darihasildiatas,dapatdisimpulkanrelasiantarasudut dengansudut 90° ,

yaitu:

ModulMatematikaSMA

73

90°

90°

90°

90°

90°

90°

Diperhatikanbahwa,untuksudutyangberelasidengan 90° , berubah

menjadi , berubahmenjadi , berubahmenjadi , berubah

menjadi , berubahmenjadi ,dan berubahmenjadi .

SudutberelasidikuadranII

Relasi sudut‐sudut dalam kuadran II meliputi relasi antara sudut dengan

90° atau dengan 180° ,dengan0 90°.

Relasisudut dengansudut 90° .

Perhatikangambarberikut

x

y

O

A(a,b)

A’(-b,a)

a

a

-b

(90 + )

Gambar11SudutberelasidikuadranII

Diketahui titik , , dengan panjang , dan ∠ . Titik ,

diputarberlawananarahjarumjamsejauh90°,diperoleh

i. Bayangantitik ∶ ’ ,


74

ii. ∠ ’ 90°

iii. Panjang ’ .

Selanjutnyaberdasarkangambar,diperolehperbandingantrigonemetrisudut

dan 90°

Tabel3


°

°

°

°

°

°

90°

90°

90°

90°

90°

90°

Darihasildiatas,dapatdisimpulkanrelasiantarasudut dengansudut 90°

,yaitu:

90°

90°

90°

90°

90°

90°

Diperhatikanbahwa,untuksudutyangberelasidengan 90° , berubah

menjadi , berubahmenjadi , berubahmenjadi , berubah

ModulMatematikaSMA

75

menjadi , berubahmenjadi ,dan berubahmenjadi .Selanjutnya

karena 90° berada di kuadran II, maka dan bernilai positif,

sedangkanyanglainnyabernilainegatif.



x

y

O

A(a,b)

a

b

(180 - )

-a

A’(-a,b)

Gambar12Relasisudut dengansudut °

Diketahuititik , ,denganpanjang ,dansudut .Titik

, dicerminkanterhadapsumbu ,makadiperoleh:


ii. � ’ 180°

iii. Panjang ’ .

Selanjutnya berdasarkan gambar, diperoleh perbandingan trigonemetri

sudut dan 180°

Tabel4


°

°

°

°

180°

180°

180°

180°


76

°

°

180°

180°

Dari hasil diatas, dapat disimpulkan relasi antara sudut dengan sudut

180° ,yaitu:

180° 180° 180° 180° 180° 180°

SudutberelasidikuadranIII

Relasisudut‐sudutdalamkuadranIIImeliputirelasiantarasudut dengan

180° atau dengan 270° ,dengan0 90°.

Relasisudut dengan 180° .


x

y

O

A(a,b)

a

b

(180 + )

-a

A’(-a,-b)-b

Gambar13SudutberelasidikuadranIII

Diketahuititik , ,denganpanjang ,dansudut .Titik

, diputarberlawananarahjarumjamsejauh180°,diperoleh

i. Bayangantitik ∶ ’ , .

ii. � ’ 180

iii. Panjang ’ .

ModulMatematikaSMA

77


sudut dan 180° .

Tabel5


°

°

°

°

sec °

°

180°

180°

180°

180°

180°

180°

Darihasildiatas,dapatdisimpulkanrelasiantarasudut dengan

sudut 180° ,yaitu:

180°

180°

180°

180°

180° sec

180°




78

x

y

O

A(a,b)

A’(b,a)

ab

a

b

y=x

A”(-b,-a)

-b

-a

(270 - )


Diketahuititik , ,denganpanjang ,dan� .Titik ,

dicerminkan terhadap garis , kemudian dilanjutkan dengan rotasi

sejauh180°,diperoleh

i. Bayanganakhirtitik ∶ ” ,

ii. ∠ ” 270°

iii. Panjang ” ’ .


sudut dansudut 270° .

Tabel6

Untuk , dansudut Untuk ’ , dansudut

270°

°

°

°

270°

270°

270°

ModulMatematikaSMA

79

°

°

°

270°

270°

270°


270° ,yaitu

270°

270° sin

270°

270°

270°

270°

Diperhatikan bahwa, untuk sudut yang berelasi dengan 270° ,

berubahmenjadi , berubahmenjadi , berubahmenjadi ,

berubah menjadi , berubah menjadi , dan berubah

menjadi .Selanjutnyakarena 270° beradadikuadranIII,maka

dan bernilaipositif,sedangkanyanglainnyabernilainegatif.

SudutberelasidikuadranIV

Relasisudut‐sudutdalamkuadranIVmeliputirelasiantarasudut

dengan 270° , dengan 360° ,atau dengan dengan0

90°.

Relasisudut dengan 270° .



80

x

y

O

A(a,b)

ab

b

A’(b,-a)-a

(270 + )

Gambar15SudutberelasidikuadranIV

Diketahuititik , ,denganpanjang ,dan∠ .Titik ,

diputarberlawananarahjarumjamsejauh270°,diperoleh


ii. ∠ ’ 270°

iii. Panjang ’ .


sudut dan 270° .

Tabel7


°

°

°

°

270°

270°

270°

270°

ModulMatematikaSMA

81

°

°

270°

270°

Darihasildiatas,dapatdisimpulkanrelasiantarasudut

dengansudut 270° ,yaitu:

270° cos

270°

270°

270°

270°

270°

Diperhatikan bahwa, untuk sudut yang berelasi dengan 270° ,

berubahmenjadi , berubahmenjadi , berubahmenjadi ,

berubah menjadi , berubah menjadi , dan berubah

menjadi .Selanjutnyakarena 270° beradadikuadranIV,maka

dan bernilaipositif,sedangkanyanglainnyabernilainegatif.




82

x

y

O

A(a,b)

a

b

A’(a,-b)-b

(360 - )


Diketahuititik , ,denganpanjang ,dansudut

.Titik , dicerminkanterhadapsumbu ,

diperoleh:


ii. ∠ ’ 360°

iii. Panjang ’ .


sudut dan 360° .

Tabel8


°

°

°

°

°

°

360°

360°

360°

360°

360°

360°

ModulMatematikaSMA

83

Darihasildiatas,dapatdisimpulkanrelasiantarasudut dengan

sudut 360° ,yaitu

360°

360°

360°

360°

360°

360°

Relasisudut dengansudut .


x

y

O

A(a,b)

a

b

A’(a,-b)-b

( - )

Gambar17Relasisudut dengansudut

Diketahuititik , ,denganpanjang ,dan� .Titik

, dicerminkanterhadapsumbu ,diperoleh:


ii. ∠ ’

iii. Panjang ’ .

Selanjutnya berdasarkan gambar, diperoleh perbandingan

trigonemetrisudut dan .


84

Tabel9

Untuk , dansudut Untuk ’ , dansudut

°

cos °

°

°

°

°


,yaitu:

Sudutyanglebihbesardari360°

Perbandingan trigonometri untuk sudut 360°, dapat dilakukan

dengan cara mengubah menjadi ∙ 360° , dengan k adalah

bilanganasli.Nilaiperbandingantrigonometridarisudutyanglebihdari

360°mengikutiaturanberikut

∙ 360°

∙ 360°

∙ 360°

ModulMatematikaSMA

85

∙ 360°

∙ 360°

csc ∙ 360°

Tentukannilaidari:

a. 135°

b. 240°

Jawab:

a. Untuk menentukan nilai dari 135 ° dapat dilakukan dengan

beberapacara

i. CaraI. 135° 90° 45°

45°

√2

ii. CaraII. 135° 180° 45°

45°

12√2

b. Untuk menentukan nilai dari 240° dapat dilakukan dengan

beberapacara

i. CaraI. 240° 180° 60°

60°

12

ii. CaraII. 240° 270° 30°

30°

12

4. InversfungsitrigonometriSebelumnya diingat kembali bahwa setiap fungsi pasti memiliki invers,

namun tidak semua invers tersebutmerupakan fungsi. Hanya fungsi yang


86

berkorespondensi satu – satu (bijektif) sajalah yang inversnyamerupakan

fungsi.Diberikansebuahfungsi

:A→B. Fungsi inversdari fungsi (dituliskan )adalah fungsiyang

memenuhi, jika ,maka , untuk setiap ∈ dan ∈ .

Pernyataantersebutekuivalendengan disebutfungsiinversdarifungsi

jikadanhanya jika dan ,untuksetiap ∈ ,

danuntuksetiap ∈ .Setiapfungsitrigonometrimemilikiinversnya,namun

tidak semua inversnya merupakan fungsi, mengingat bahwa fungsi

trigonometri bersifat periodik. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh

berikut. Diberikan fungsi . Jelas bahwa 30° , dan

150° ,diperolehbahwa 30°atau 150°.Dalam

halini,inversdari bukanmerupakanfungsi.Namunjikadomain

dari dibatasimakainversfungsitersebutbisamenjadifungsi.Misalkan

fungsi sin dengandomain0o≤ ≤90o.Inversdarifungsi

sin merupakan fungsi. Selanjutnya didefinisikan fungsi invers dari fungsi

trigonometrisebagaiberikut:

Tabel10

Fungsi Inversdari Domain Range

sin sin 1,1 90°, 90°

cos cos 1,1 0°, 180°

tan tan ∞,∞ 90°, 90°

Catatan: tidaksamadengan .

Bentuk bisaditulisdenganarcsin .Demikianjugauntukyanglainnya,

ditulisdengan dan, tan ditulisdengan .Lebih

lanjut penulisan pangkat “ 1”, diganti dengan “ ” didepan fungsi

trigonometri.

Selanjutnya,misalkan ,maka ,sehinggadiperoleh

ModulMatematikaSMA

87

1 1

Akibatnya

1

atau

1

Analogdengancarayangsamadiperoleh

1

dan

1

Contohsoal

Tentukansudut padagambarberikut.

3

4

Gambar18SegitigaSiku‐siku

Jawab:

Denganrumusperbandingantrigonometri(tangen)diperoleh

34

0,75

ataudiperoleh

0,75 36,87°

Catatan : Untukmenentukan nilai “arctan” dan lainnya bisamenggunakan

tabeltrigonometriataumenggunakankalkulator.


88

D. AktivitasPembelajaranUntuklebihmemantapkanpemahamanpesertadiklatataupembacatentang

inversfungsitrigonometri,isilahtitik–titikdibawahiniuntukmenyederhanakan

bentukberikutini.

11

Untukmenyelesaikanpermasalahandiatasdapatdilakukandengantahapaan

berikut.

i. Dimisalkan ,maka…

…

ii. Selanjutnyadari…

…diperolehgambar

y...

...

iii. Langkahselanjutnyaadalahdenganmencarinilai .DengandalilPythagoras

diperoleh:

… . . … . .

… .. … ..

√… .

⋯√…

iv. Selanjutnyadarigambartersebut,denganrumusperbandingansudut

diperoleh…

…√…

Jadi,

11

1

2√

ModulMatematikaSMA

89

E. Latihan

1. Diketahui adalah sudut lancip memenuhi , tentukan nilai dari

, ,dan .

2. Dua buah theodolite diposisikan pada titik A dan B untukmengukur tinggi

sebuahbukit,sepetitampakpadagambarberikut:

DiketahuijarakdariAkeBadalah5km.Berapakahtinggibukittersebut?

3. Tentukannilai‐nilaidari 30° , 150°, 225°, 300°,dan

1460°.

4. Tentukannilaidari° ∙ ° ∙ °

° ∙ ° ∙ °

5. Jika 270°,buktikanbahwa 0

6. Dalamsegitiga sebarang,buktikanbahwa

12

12

12

12

12

12

7. Buktikanbahwauntuk 0berlaku

8. Buktikanbahwa 90°

9. Tentukannilaidari

10. Sederhanakanbentuk 1

Puncak bukit

A B

330 200

t

5 km


90

F. Rangkuman 1. FungsiTrigonometri

Perhatikangambarsegitigasiku–sikuberikut.

Didefinisikan

2. SudutIstimewa

0° 30° 45° 60° 90°

0 12

12√2

12√3

1

1 12√3

12√2

12

0

0 13√3

1 √3 Tak

terdefinisi

Tak

terdefinisi

√3 1 13√3

0

1 23√3 √2 2 Tak

terdefinisi

Tak

terdefinisi

2 √2 23√3

1

ϴx

yr

ModulMatematikaSMA

91

3. SudutBerelasi

Berikutbeberapacontohsudutberelasi

90°

90°

90°


jawabanpadabagian akhir kegiatanpembelajaran. Hitung jawabanbenar anda,

kemudiangunakanrumusdibawahiniuntukmengetahuitingkatpenguasaananda

terhadapmaterikegiatanpembelajaranini.

Rumus


10100%

Kriteria


80%–89%=baik

70%–79%=cukup

<70%=kurang

H. KunciJawaban

1. √21, , √21

2. 4,72

3. 30° , 150° √3, 225° 1,

300° √3, 1460° 1,064

4. 1

5. 0

6. Terbukti.

7.

8. Terbukti

9.

10.


92

KB3:IdentitasTrigonometri,AturanSinusdanCosinus,sertaSifatMaksimum/MinimumFungsiTrigonometri

A. Tujuan- Menjelaskan identitas dasar trigonometri sebagai hubungan antara rasio

trigonometridanperannyadalammembuktikanidentitastrigonometrilainnya

- Menjelaskanaturansinusdancosinus

- Menggunakansifatmaksimum/minimumfungsiuntukpenyelesaianmasalah

B. IndikatorPencapaianKompetensiPesertadiklatataupembacadapatmenjelaskanidentitasdasartrigonometrisebagai

hubungan antara rasio trigonometri dan perannya dalam membuktikan identitas

trigonometri lainnya, dan dapat menjelaskan aturan sinus dan cosinus serta

menggunakansifatmaksimum/minimumfungsiuntukpenyelesaianmasalah

C. UraianMateri1. IdentitasTrigonometri

Sepertikitaketahuisebelumnyabahwa 30° 1

2, 30°

1

2√3, 45°

45° 1

2√2.Iniberakibatbahwa

30° 2 30° 14

34

1

2 45° 2 45° 24

24

1

Selanjutnya yang menjadi pertanyaan adalah apakah bentuk di atas hanya

berlakuuntuksudut–suduttertentuatauberlakuuntuksebarangsudut?

Perhatikangambarberikut.

ModulMatematikaSMA

93

A

B C

y

x

r

Gambar19Segitigasiku–siku

Darirumusperbandingantrigonometridiperoleh

, , , , ,

Akibatnyadiperoleh,

1 1


1

dan

1

Selanjutnyadiperhatikan,

Akibatnyadiperoleh

PerhatikanGambar31,denganDalilPythagorasdiperoleh

2 22 2 2 2

2

2

2 1

berakibat2 2 1

Bentukdiatasdisebutidentitastrigonometri.


94

2. AturanSinuspadaSegitigaDiperhatikansegitiga berikut.

A

B Ca

bch

Gambar20SegitigaABCdengantinggih

Denganrumusperbandingantrigonometriuntuksudut ,diperoleh

atau ∙

untuksudut diperoleh

atau ∙

Akibatnyadiperolehhubungan,

∙ ∙

atau

AnalogdengancaratersebutdiperolehaturanSinus,yaitu

Contoh

Tentukannilai .

3045

2a

Gambar21Segitigalancip

ModulMatematikaSMA

95

Jawab:

DenganaturanSinus,

45°230°

diperoleh,

2 ∙45°30°

2 ∙

12√2

12

2√2

3. AturanCosinuspadaSegitigaDiperhatikangambarberikut

H

A

B C

a

bch

Gambar22SegitigaABCdengantinggih

Denganrumusperbadingantrigonometripadasegitiga ,diperoleh

atau ∙

dan

atau ∙

Selanjutnya,diperhatikan∆ ,diperolehpanjang

∙

danpanjang ∙ .

Akibatnya,denganDalilPythagorasdiproleh


96

2 2 22 ∙ 2 ∙ 2

2 ∙ 2 2 2 ∙ ∙ . 2. 2

2 2 ∙ 2 2 2 ∙ ∙ .

2 2 2 ∙ ∙ .

AkibatnyadiperolehaturanCosinus

2 2 2 2 ∙ ∙ .

AnalogdengancarayangsamadiperolehaturanCosinusuntuksisi/sudutyang

lainnya,yaitu

2 2 2 2 ∙ ∙ ∙ ,dan

2 2 2 2 ∙ ∙ ∙

Dari rumus aturan Cosinus diatas, kita dapat menentukan besar sudut suatu

segitigajikadiketahuiketigasisinya.

2 2 2 2 ∙ ∙ ∙

2 . 2 2 2

2 2 2

2


2 2 2

2

2 2 2

2

Contohsoal

Diketahuisegitiga ,denganpanjang 4, 6,dan 5.Tentukan

besarsudut .

ModulMatematikaSMA

97

Jawab:

2 2 2

2 ∙ ∙

42 62 52

2 ∙ 4 ∙ 6

2748

Diperoleh

2748

55,77°

4. LuasSegitiga Diketahuiduasisidansatusudutpadasebuahsegitiga)

PerhatikankembaliGambar32.Panjang . sin .Akibatnya,

12∙ ∙

1

2∙ ∙ ∙

Jadi,diperolehluassegitiga

12∙ ∙ ∙

Catatan:sudut merupakansudutyangdibentukolehsisi–sisiyang

panjangnya dan .

Selanjutnyaanalogdengancarayangsamadiperolehrumusluassegitiga

12∙ ∙ ∙

12∙ ∙ ∙

Contohsoal

Tentukanluassegitigaberikut.


98

30

22

20

Gambar23Segitigadengansalahsatusudutnya °

Jawab

Diperhatikanbahwa,diketahuiduasisi,dansatusudutyangdiapitolehkedua

sisitersebut,maka,

12∙ 20 ∙ 22 ∙ 30°

12∙ 20 ∙ 22 ∙

12

110

Jadi,luassegitigatersebutadalah110satuanluas.

Diketahuisatusisidanduasudut

DiperhatikankembaliGambar32.DarirumusaturanSinus

diperoleh,

atau ∙

dan

atau ∙

Denganrumusluassegitigasebelumnya(yangdiketahuiduasisidansatu

sudut)diperoleh

1

2∙ ∙ ∙ sin

1

2∙ ∙

sin

sin∙ ∙

sin

sin∙ sin

12∙ 2 ∙

sin ∙ sinsin

ModulMatematikaSMA

99

∙ ∙

.∙∙

Jadi,

∙ ∙2 ∙

Ingatkembalibahwa:

i. Jumlahsudutdalamsegitiga180°,jadi 180.Akibatnya,

180

ii. Denganrumussudutberelasidengan180°.

Selanjutnya,analogdengancarayangsamadidapatrumusluassegitiga

∙ ∙ sin2 ∙

dan

∙ ∙ sin2 ∙ sin

Contohsoal

Tentukan luas segitiga jika diketahui ∠ 60°, ∠ 30°, dan

8 .

Jawab.

∙ ∙

2 ∙ sin

8 ∙ 60° ∙ 30°2 ∙ 60° 30°

64 ∙ 60° ∙ 30°2 ∙ 90°

64 ∙12√3 ∙

12

2 ∙ 1

8√2

Jadiluassegitiga adalah8√2 .


100

5. FormulaCosinus,Sinus,danTangentSudutRangkap Bentuk 2

Denganformulapenjumlahan

2

∙ ∙

2 ∙

Jadi,

2 2 ∙

Bentuk 2


2

∙ ∙

Jadi

2

Selanjutnya,mengingat,

1

makadiperoleh

2 2 1

dan

2 1 2

Bentuktan 2


2

1

2

1

ModulMatematikaSMA

101

Jadi

2

Contohsoal

Jika 0,5,makatentukan 2 .

Jawab.

Diketahui 0,5,maka

cos 0,5

2 ∙ 0,25

1 2 0,25

2 0,75

Jadi, 2 0,75

6. MengubahBentukPerkaliankePenjumlahanatauSelisihDarirumuspenjumlahanduasudutyangtelahdibahas,kitadapatmenurunkan

menjadirumusbaru.Diperhatikan

∙ ∙

∙ ∙

2 ∙

Jadidiperoleh

∙12

12

Selanjutnya,dengancarayangsamadiperoleh

∙12

12

∙12

12

Contoh

Hitunglah 75° . 15°!

Jawab:

75° ∙ 15°12

75° 15°12

75° 15°


102

12

60°12

90°

12∙12

12∙ 0

14

Jadi,

sin 75° ∙ 15°14

7. NilaiMaksimumatauMinimumpadaFungsiTrigonometriMenurutidentitastrigonometrijelasbahwa

1

1 1

1

1 1

Analog

1 1

Contoh

Diberikan 4 ∙ ,dengan 180° 180°.

Karena

–1≤ ≤1

maka

–4≤4. ≤4

Darisinidapatdikatakanbahwanilaimaksimum adalah4untuk 90°

dan nilai minimum adalah (– 4) untuk = – 90° karena 90°, 90°ϵ

180°, 180° dengan 180°, 180° adalahdomaindarifungsi.

D. AktivitasPembelajaranLengkapilahtitik–titikdibawahini!

Perhatikansegiempat berikut.

ModulMatematikaSMA

103

P

Q

R

S

O

Akandibuktikan,jika� ,makaLuassegiempat adalah

12∙ ∙ ∙

PerhatikansegitigaPRS.LuassegitigaPRSsamadenganluassegitigaPOS

ditambahdenganluassegitigaROS.

MencariluassegitigaPOS.

Denganrumusluassegitiga(diketahuiduasisidansatusudut)terhadapsudut ,

diperoleh

Δ ⋯

SelanjutnyamencariluassegitigaROS.PerhatikanbahwasudutPOS

dansudutROSsalingberpelurus,maka

� ………… . . .

Denganrumusluassegitiga(diketahuiduasisidansatusudut)

terhadapsudut ,diperoleh

Δ ⋯

⋯

⋯

Jadi,

ΔP Δ Δ

⋯

⋯

Ingat,bahwa ,sehinggadiperoleh

ΔP ⋯


104

SelanjutnyaperhatikansegitigaPQR.LuassegitigaPQRsamadenganluas

segitigaPOQditambahdenganluassegitigaQOS.

MencariluassegitigaPOQ.

PerhatikanbahwasudutPOQdansudutROSsalingbertolakbelakang,akibatnya

� ………… . . .

Denganrumusluassegitiga(diketahuiduasisidansatusudut)terhadap

sudut ,diperoleh

Δ ⋯

⋯

⋯

MencariluassegitigaQOR.

PerhatikanbahwasudutQORdansudutPOSsalingbertolakbelakang,akibatnya

� ⋯

Denganrumusluassegitiga(diketahuiduasisidansatusudut)terhadap

sudut ,diperoleh

Δ ⋯

⋯

⋯

Jadi,

ΔP Δ Δ

⋯

⋯

Ingat,bahwa ,sehinggadiperoleh

ΔPQR ⋯

Selanjutnya,perhatikanbahwaluassegieempatPQRSsamadenganluas

segitigaPRSditambahdenganluassegitigaPQR.

PQRS ΔPRS ΔPQR

⋯

⋯

Diperhatikanbahwa ,jadi

PQRS ⋯

ModulMatematikaSMA

105

E. Latihan1. Jika 1,untuk0 90°,makahitunglah

2. Jika √ ,untuk sudutlancip,makatentukannilaidari

a.

b.

c.

3. Padasegitiga ,diketahui∠ 30°, 4 ,dan 6 .

Hitunglah

a. ∠

b. ∠

4. Duakapal dan berjarak15 .Kapal letaknyapadaarah110°

dari dankapal ,170°dari .Jikakapal letaknyapadaarah245°

dari ,makatentukanjarakkapal darikapal .

5. Hitunglahluassegitiga jikadiketahui∠ 30°, 12 ,dan

14 .

6. Diberikansegitiga dengan

: : 4: 5: 6

Hitunglahcos .

7. Hitunglahnilaidari

1° 2° ⋯ 88° 89°

8. Diberikanfungsi 2 ∙ 3 ∙ untuk0° 360°.Tentukan

nilaimaksimumdannilaiminimumfungsi tersebut.


106

9. Diberikanfungsi 1 2 ∙ untuk0° 360°..Carinilai

maksimumdannilaiminimumfungsi tersebut.

10. Diketahuifungsi. .

,untuk0° 360°.Carinilai

maksimumdannilaiminimumdarifungsi tersebut.

F. Rangkuman IdentitasTrigonmetri

1. 1

2. 1

3. 1

4.

5.

6. 2 2 1

7. 2 1 2

8. 1 2 2

AturanSinuspadaSegitiga

A

B Ca

bch

AturanCosinus2 2 2 2 ∙ 2 2 2 2 ∙

ModulMatematikaSMA

107

2 2 2 2 ∙

Sedangkanuntukmenentukanbesarsudutdalamsegitiga2 2 2

2

2 2 2

2

2 2 2

2

LuasSegitiga

1. Diketahuiduasisidansatusudutpadasebuahsegitiga

12∙ ∙ ∙

Catatan:sudut merupakansudutyangdibentukolehsisi–sisiyang

panjangnya dan .

12∙ ∙ ∙

12∙ ∙ ∙

2. Diketahuisatusisidansatusudut2 ∙ ∙2

2 ∙ ∙ sin2

2 ∙ ∙ sin2 sin

SifatCosinus,Sinus,danTangenuntukJumlahdanSelisihDuaSudut

∙ ∙

∙ ∙

∙ ∙

∙ ∙

1 ∙

1 ∙


108

FormulaCosinus,SinusdanTangenSudutRangkap

2 2 ∙

2 2 2

1 2 2

2 2 1

22

1 tan2

MengubahBentukPerkaliankePenjumlahan

.12

12

.12

12

.12

12

MengubahBentukPenjumlahandanSelisihkePerkalian

2 ∙12

∙12

2 ∙12

∙12

2 ∙12

∙12

2.12

∙12

NilaiMaksimumdanMinimumpadaFungsiTrigonometri

Untuksetiapsudut berlaku

1 1

1 1

Selanjutnya,diberikan

∙ cos ∙ sin

padasuatudomainD.Misalkan adalahsuatusudutdengan0° 360°

sehingga

√

dan

ModulMatematikaSMA

109

√

.

Jika 1 dan 1 termuatdidalamdomain maka

nilai minimum dan nilai maksimum dari fungsi masing – masing adalah

√ dan√ .


jawaban pada bagian akhir kegiatan pembelajaran. Hitung jawaban benar anda,

kemudiangunakanrumusdibawahiniuntukmengetahuitingkatpenguasaananda

terhadapmaterikegiatanpembelajaranini.

Rumus


10100%

Kriteria


80%–89%=baik

70%–79%=cukup

<70%=kurang

H. KunciJawabanLatihan1. 1

2. a.√ b. √3 c. √

3. a. 19,47° b. 130,53°

4. √ √

5. 42

6.

7. 44,5

8. fmaks=√13danfmin= √13

9. fmaks=1 √5danfmin=1 √5

10. fmaks=5 √44

danfmin=5 √44


110

111

Evaluasi

1. Pernyataanyangbenarberkaitandenganlim→ adalah....

a. jika mendekati maka mendekati

b. jika mendekati maka mendekati

c. jika tidakmendekati maka tidakmendekati

d. jika tidakmendekati maka mendekati

2. Hasildarilim→ adalah....

a. 6

b. 9

c. 18

d. ∞

3. Nilailim→ adalah....

a. 0

b. ½

c. 1

d. 2

4. Penulisanyangbenarberkaitandenganlimittakhinggaadalah....

a. lim→ ∞

b. lim→ tidakterdefinisi

c. lim→ tidakterdefinisi

d. lim→ ∞

5. Hasildari lim→

adalah

a. 1

b. 2

c. 3

d. ∞

6. Pernyataanyangbenarberkaitandenganturunanfungsi adalah....

a. konsepturunanfungsitidakadahubungannyadengankonseplimitfungsi

Evaluasi

112

b. gradien garis singgung tidak ada hubungannya dengan turunan suatu

fungsi

c. dalamkaitannyadenganturunan ′ lim→

selalauadajika

suatufungsikontinyu

d. gradiengarissinggungdititi adalah lim→

jikalimitnyaada

7. Perhatikangrafikdibawahini

Gradiengarissinggungpalingbesarnilainyadititik...

a. A

b. B

c. C

d. D

8. Hasildari √ 1 adalah....

a. √ 1

b. 1 √ 1

c. 1 √ 1

d. 1

ModulMatematikaSMA

113

9. Hasildari cos adalah....

a. 1

b. 1

c. 1

d. 1

10. Luasdaerahyangdibatasikurva4 dan 2adalah....

a.

b. 20

c.

d. ‐20

11. Hasildari in 390°adalah....

a. 0,5

b. 0

c. 0,5

d. √3

12. Bentukekuivalendenganbentuk....

a. sec cos

b. 2 cos

c. 3 cos

d. 2 cos 2

13. Diketahuifungsi 3 sin 2 cos untuk0° 360°.Nilaiminimum

danmaksimumdarifungsi adalah....

a. 0dan5

b. ‐5dan5

c. –√13dan√13

d. 2dan3

14. Diberikan segitiga dengan∠ 30°, 12 , dan 14 .

Luassegitigatersebutadalah....

a. 12

b. 16

Evaluasi

114

c. 24

d. 42

15. Diketahui fungsi. .

, untuk 0° 360°. Nilai

minimumdarifungsi tersebutadalah....

a. 1

b.

c. 5 √

44

d. √

44

115

Penutup

Pengembangankeprofesianberkelanjutan(PKB)merupakankeniscayaanbagiguru

karenatelahdiamanatkandalamundang‐undang.Olehkarenaitupemerintahwajib

menyediakan sarana atau wahana bagi guru untuk mengembangkan keprofesian

dirinya,disampinggurujugaharussecaraaktifmencaridanmungkinmenciptakan

kegiatandalamrangakapengembangankeprofesiannya.Harapannya,mdulinidapat

digunakanuntukkeduanyayaitusebagaisaranafasilitasiPKBgurumaupunsebagai

bahanyangdapatdimanfaatkanguruuntukbelajarterussecaramandiri.

Penyempurnaan modul ini akan terus diupayakan. Oleh karena itu saran dan

masukandariberbagaipihaksangatdiharapkanuntukperbaikandimasamendatang.

Penutup

116

117

DaftarPustaka

[1] Andreescu, T., Gelca, M., 2009. Mathematical Olympiad Challenges SecondEdition,Boston:Birkhauser

[2] Ayres,Frank Jr.,danMoyer,RobertE.,1999.Schaum’sOutlineofTheoryandProbleminTrigonometry.NewYork:Mc‐GrawHillInc

[3] Gelfand,I.M.,Saul,M.,2001.Trigonometry.Boston:Birkhauser

[4] Larsson,R. ,Hostetler,R.,2007.Trigonometry7thEdition.Boston :HoughtonMifflinCompany

[5] Paul A. Foerester. 2005. Calculus: Concepts and Applications, California: KeyCurriculumPress

[6] Robert Wrede & Murray Spiegel. 2010. Advanced Calculus 3rd. New York:

McGraw‐HillCompanies

[7] RonLarson.2006.Calculus3rd.California:KeyCurriculumPress

[8] Ron Larson. 2006.DiscoveringAdvancedAlgebra:An InvestigationApproach.California:KeyCurriculumPress

[9] Silverman,R.A.1985.CalculuswithAnalyticGeometry.NewJersey:Prentice–HallInc

[10] Sukino.2007.MatematikauntukSMAkelasX1B.Jakarta:Erlangga

[11] Sukino.2007.MatematikauntukSMAkelasXI2A.Jakarta:Erlangga

DaftarPustaka

118

119

Glosarium

BagianKalkulus:

DefinisiFormal

Definisi formaladalahdefinisiyangdalampenyajiannyamenggunakansimboldan

ekspresimatematika

FungsiGradienGarisSinggung

Diberikan fungsi . Turunan dari dilambangkan dengan ′ adalah hasil

dari

′ lim→

jika limit tersebut ada. Karena lim→

pada hakekatnya adalah suatu nilai

gradiengarissinggungfungsidi ,maka ′ dapatdipahamisebagaifungsigradien

garis singung dari . Berkaitan dengan notasi, ada beberapa literaturmenyajikan

sebagai ′atau ′

Kontinyu

Dalambahasasederhana,kontinyuberartitidakputus.Sedangkanpengertiandalam

fungsisebagaiberikut.Fungsi dikatakankontinyudi jika lim→ dan

dua‐duanyaadadanberlakulim→

Mendekati

Mendekati disini dimaknai menuju sampai sedekatnya tetapi tidak sampai sama

denganyangdituju.

Substitusi

Substitusi sama arti denganmenggantikan ataumemasukkan.Misalnya substitusi

1ke 5berartimengganti dengan 1.

Glosarium

120

BagianTrigonometri

Asimtot :Asimtotdarisuatufungsi : → adalahgaris

yangtidakpernahdipotongolehfungsi

Derajat :Salahsatuukuransudutyangdinotasikandengan“°"yangmemenuhi1° putaran

Fungsibijektif :Diberikanfungsi : → .Fungsifdisebutfungsibijektifjikamemenuhiduakondisiyaitu1. Jika maka 2. Untuk setiap ∈ maka terdapat ∈

sedemikiansehingga

Fungsiperiodik :Fungsi : → disebutfungsiperiodikjikaterdapatbilanganrealpositif sedemikiansehingga ,untuksetiap ∈

Fungsiinvers :Diberikanfungsi : → .Fungsi disebutfungsiinversdarifungsi jikadanhanyajika dan ,untuksetiap ∈ ,danuntuksetiap ∈

Juring :Daerahpadalingkaranyangdibatasiolehdua

jari–jaridansebuahbusurSistemkoordinatCartesius :Suatusistemkoordinatyangmenggunakan duagarislurusyangsalingtegaklurusdan

berarahdalammenentukankedudukansuatutitikpadabidang.Dimanaduagarisyangdimaksudadalahsumbu dansumbu,sertaperpotongankeduatitikituadalahtitikasal.Sistemkoordinatinijugabisadigunakanuntukkoordinat3dimensi( , , )

Sistemkoordinatpolar :Sistemkoordinatpolaradalahsistem koordinatduadimensiyangterdiridarisatu titiktetap ,yangdisebuttitikasaldan sebuahgarisberarahyangbermuladarititik asal ,yangdisebutsumbupolarRadian :Salahsatuukuransudutyangdinotasikan

dengan“ "danmemenuhi 1 57,3°Sudut :Perputaransuatugaristertentukegaris

tertentulainnyaterhadappusatputaran.Trigonometri :Salahsatucabangilmupengetahuanyang mengkajitentangsudutdanfungsinya

121

Lampiran

Jawaban Evaluasi

1. b

2. b,

3. b,

4. d,

5. a,

6. d,

7. a,

8. c,

9. d,

10. a,

11. c,

12. a,

13. c,

14. d,

15. c

Lampiran

122

kurikulum matematika 1, kalkulus, dan trigonometri · pdf fileperan guru dalam pembelajaran di...

Documents