kristiana wijaya - f · pdf filejika 20 prosesor saling dihubungkan, tunjukkan bahwa paling...
TRANSCRIPT
PIGEON HOLE
Kristiana Wijaya
Jurusan MatematikaFakultas MIPA
Universitas Jember
February 23, 2012
Kristiana Wijaya PIGEON HOLE
Kristiana Wijaya PIGEON HOLE
PIGEON HOLE
Pendahuluan
Prinsip Pigeonhole (atau dikenal juga sebagai prinsip Kotak Merpati)kadang-kadang berguna untuk menjawab pertanyaan: Adakah sebuahbutir yang mempunyai sifat tertentu? Jika Prinsip Pigeonhole diterapkandengan baik, prinsip tersebut akan memberikan hanya objek-objek yangada, Prinsip ini tidak akan memberitahukan bagaimana mencari objektersebut atau ada berapa banyak objek tersebut.
Kristiana Wijaya PIGEON HOLE
PIGEON HOLE
Pendahuluan
Prinsip Pigeonhole (atau dikenal juga sebagai prinsip Kotak Merpati)kadang-kadang berguna untuk menjawab pertanyaan: Adakah sebuahbutir yang mempunyai sifat tertentu? Jika Prinsip Pigeonhole diterapkandengan baik, prinsip tersebut akan memberikan hanya objek-objek yangada, Prinsip ini tidak akan memberitahukan bagaimana mencari objektersebut atau ada berapa banyak objek tersebut.
Kristiana Wijaya PIGEON HOLE
PIGEON HOLE
Bentuk 1 Prinsip Pigeon Hole
Jika n merpati terbang menuju k rumah merpati dengan n > k, maka adarumah merpati yang memuat sedikitnya dua merpati.
Bukti:
Andaikan setiap rumah merpati memuat paling banyak satu merpati, makakita bisa menghitung untuk paling banyak k rumah ada n k merpati.Hal ini bertentangan dengan n > k.
Kristiana Wijaya PIGEON HOLE
PIGEON HOLE
Bentuk 1 Prinsip Pigeon Hole
Jika n merpati terbang menuju k rumah merpati dengan n > k, maka adarumah merpati yang memuat sedikitnya dua merpati.
Bukti:
Andaikan setiap rumah merpati memuat paling banyak satu merpati, makakita bisa menghitung untuk paling banyak k rumah ada n k merpati.Hal ini bertentangan dengan n > k.
Kristiana Wijaya PIGEON HOLE
PIGEON HOLE
Bentuk 1 Prinsip Pigeon Hole
Jika n merpati terbang menuju k rumah merpati dengan n > k, maka adarumah merpati yang memuat sedikitnya dua merpati.
Bukti:
Andaikan setiap rumah merpati memuat paling banyak satu merpati, makakita bisa menghitung untuk paling banyak k rumah ada n k merpati.Hal ini bertentangan dengan n > k.
Kristiana Wijaya PIGEON HOLE
PIGEON HOLE
Example
Sepuluh orang mempunyai nama depan Charles, Roni, Choki dan namabelakang Hutagalung, Sianturi dan Sitohang. Tunjukkan bahwa palingsedikit dua orang mempunyai nama yang sama, yaitu nama depan dannama belakang sama.
Solution:
Ada 3 nama depan dan 3 nama belakang, sehingga ada 9 nama yangmungkin dibuat untuk 10 orang. Dengan mengasumsikan nama sebagairumah merpati dan orang sebagai merpatinya, maka menurut PrinsipRumah Merpati, ada sedikitnya 2 orang mempunyai nama yang sama.
Kristiana Wijaya PIGEON HOLE
PIGEON HOLE
Example
Sepuluh orang mempunyai nama depan Charles, Roni, Choki dan namabelakang Hutagalung, Sianturi dan Sitohang. Tunjukkan bahwa palingsedikit dua orang mempunyai nama yang sama, yaitu nama depan dannama belakang sama.
Solution:
Ada 3 nama depan dan 3 nama belakang, sehingga ada 9 nama yangmungkin dibuat untuk 10 orang. Dengan mengasumsikan nama sebagairumah merpati dan orang sebagai merpatinya, maka menurut PrinsipRumah Merpati, ada sedikitnya 2 orang mempunyai nama yang sama.
Kristiana Wijaya PIGEON HOLE
PIGEON HOLE
Example
Tunjukkan bahwa dari 8 orang yang diambil secara acak, sedikitnya 2orang mempunyai hari kelahiran yang sama?
Solution:
Ada 7 rumah merpati yaitu jumlah hari dalam 1 minggu yang akanditempati oleh 8 merpati. Berdasarkan Prinsip Pigeon Hole (bentukpertama), ada paling sedikit 2 orang mempunyai hari kelahiran yang sama.
Kristiana Wijaya PIGEON HOLE
PIGEON HOLE
Example
Tunjukkan bahwa dari 8 orang yang diambil secara acak, sedikitnya 2orang mempunyai hari kelahiran yang sama?
Solution:
Ada 7 rumah merpati yaitu jumlah hari dalam 1 minggu yang akanditempati oleh 8 merpati. Berdasarkan Prinsip Pigeon Hole (bentukpertama), ada paling sedikit 2 orang mempunyai hari kelahiran yang sama.
Kristiana Wijaya PIGEON HOLE
PIGEON HOLE
Bentuk 2 Prinsip Pigeon Hole
Jika f adalah sebuah fungsi dari himpunan berhingga X ke himpunanberhingga Y dengan |X | > |Y |, maka f (x1) = f (x2) untuk suatux1, x2 X dimana x1 6= x2.
Kristiana Wijaya PIGEON HOLE
PIGEON HOLE
Bukti:
Bentuk kedua dari Prinsip Pigeon Hole ini bisa diturunkan ke bentukpertama dengan memisalkan X sebagai himpunan merpati dan Y sebagaihimpunan rumah merpati. Kita petakan merpati x ke rumah f (x).Menurut bentuk pertama, ada sedikitnya dua merpati dipetakan ke rumahmerpati yang sama, yaitu f (x1) = f (x2) untuk suatu x1, x2 X dimanax1 6= x2.
Kristiana Wijaya PIGEON HOLE
PIGEON HOLE
Bukti:
Bentuk kedua dari Prinsip Pigeon Hole ini bisa diturunkan ke bentukpertama dengan memisalkan X sebagai himpunan merpati dan Y sebagaihimpunan rumah merpati. Kita petakan merpati x ke rumah f (x).Menurut bentuk pertama, ada sedikitnya dua merpati dipetakan ke rumahmerpati yang sama, yaitu f (x1) = f (x2) untuk suatu x1, x2 X dimanax1 6= x2.
Kristiana Wijaya PIGEON HOLE
PIGEON HOLE
Example
Jika 20 prosesor saling dihubungkan, tunjukkan bahwa paling sedikit 2prosesor dihubungkan secara langsung pada jumlah prosesor yang sama?
Kristiana Wijaya PIGEON HOLE
PIGEON HOLE
Solution:
Misalkan prosesor diberi nama 1, 2, , 20, yaitu X = {1, 2, , 20}.Misalkan ai menyatakan jumlah prosesor yang terhadapnya prosesor idihubungkan secara langsung. Kita akan memperlihatkan bahwa ai = ajuntuk suatu i 6= j . Kemungkinan jumlah prosesor yang terhadapnyaprosesor i dihubungkan adalah 0, 1, 2, , 19, (Y = {0, 1, 2, , 19}). 0menyatakan prosesor tidak dihubungkan ke prosesor lain, sedangkan 19menyatakan prosesor dihubungkan ke semua prosesor yang lain. Dengandemikian jumlah prosesor 0 dan 19 tidak mungkin terjadi bersamaan.Sehingga kita mempunyai Y = {0, 1, 2, , 18} atau Y = {1, 2, , 19}.dengan |Y | = 19. Karena |Y | < |X | maka menurut Prinsip Pigeon Holebentuk kedua, paling sedikit 2 prosesor dihubungkan secara langsung padajumlah prosesor yang sama.
Kristiana Wijaya PIGEON HOLE
Example
Dalam suatu perkumpulan dengan n orang, mereka saling berjabat tangansatu sama lain dengan catatan tidak berjabat tangan dengan diri sendiridan tidak berjabat tangan dengan orang yang sama lebih dari satu kali.Tunjukkan bahwa pasti ada 2 orang yang mempunyai jumlah jabat tanganyang sama.
Kristiana Wijaya PIGEON HOLE
Example
Diberikan 10 bilangan bulat sebarang yang kurang 107. Tunjukkan bahwaada 2 subset disjoint dari mereka mempunyai jumlah yang sama.
Kristiana Wijaya PIGEON HOLE
Example
Sebuah persediaan terdiri dari sebuah daftar 80 jenis barang. Setiap jenisbarang ditandai dengan tersedia atau kosong. Terdapat 45 jenisbarang yang tersedia. Tunjukkan bahwa terdapat paling sedikit dua jenisbarang tersedia dalam daftar 9 jenis barang terpisah.
Kristiana Wijaya PIGEON HOLE
PIGEON HOLE
Bentuk Ketiga Prinsip Pigeon Hole
Misalkan f adalah fungsi dari sebuah himpunan berhingga X ke himpunanberhingga Y . Misalkan |X | = n dan |Y | = m dan m | n. Maka terdapatpaling sedikit k nilai a1, a2, , ak X sehingga
f (a1) = f (a2) = = f (ak).
Kristiana Wijaya PIGEON HOLE
PIGEON HOLE
Bentuk Ketiga Prinsip Pigeon Hole
Misalkan f adalah fungsi dari sebuah himpunan berhingga X ke himpunanberhingga Y . Misalkan |X | = n dan |Y | = m dan m | n. Maka terdapatpaling sedikit k nilai a1, a2, , ak X sehingga
f (a1) = f (a2) = = f (ak).
Kristiana Wijaya PIGEON HOLE
PIGEON HOLE
Bukti:
Misalkan Y = {y1, y2, , ym}. Andaikan bahwa kesimpulan tersebutsalah. Maka terdapat paling banyak k 1 nilai x X dengan f (x) = y1;terdapat paling banyak k 1 nilai x X dengan f (x) = y2; danseterusnya sampai terdapat k 1 nilai x X dengan f (x) = ym. Dengandemikian terdapat paling banyak m(k 1) anggota dalam daerah asal f .Akan tetapi,
m(k 1) < m( nm
) = n.
Hal ini bertentangan dengan m | n. Oleh karena itu, terdapat palingsedikit k nilai a1, a2, , ak X sehingga
f (a1) = f (a2) = = f (ak).
Kristiana Wijaya PIGEON HOLE
PIGEON HOLE
Bukti:
Misalkan Y = {y1, y2, , ym}. Andaikan bahwa kesimpulan tersebutsalah. Maka terdapat paling banyak k 1 nilai x X dengan f (x) = y1;terdapat paling banyak k 1 nilai x X dengan f (x) = y2; danseterusnya sampai terdapat k 1 nilai x X dengan f (x) = ym. Dengandemikian terdapat paling banyak m(k 1) anggota dalam daerah asal f .Akan tetapi,
m(k 1) < m( nm
) = n.
Hal ini bertentangan dengan m | n. Oleh karena itu, terdapat palingsedikit k nilai a1, a2, , ak X sehingga
f (a1) = f (a2) = = f (ak).
Kristiana Wijaya PIGEON HOLE
PIGEON HOLE
Kristiana Wijaya PIGEON HOLE
PIGEON HOLE
Kristiana Wijaya PIGEON HOLE
THANK YOU
Kristiana Wijaya PIGEON HOLE