KRATAK PREGLED ISTORIJE MATEMATIČKE LOGIKE

Predavanja iz Matematičke logike u računarstvu Oktobar 2012.

Rozália Madarász

Departman za matematiku i informatiku PMF Univerzitet u Novom Sadu

Univerzitet u Novom Sadu

ŠTA JE LOGIKA? Nauka o ispravnom mišljenju? Primeri „mišljenja“:

Devojke su pametnije od dečaka. Socijalizam je pravednije društvo nego kapitalizam. Jelena je lepa. Ako neko puno radi, biće bogat. Moj komšija je bogat.

Dakle, on puno radi. Svaka prica leti. Pingvini su ptice. Dakle, pingvini lete.

Logika samo: Sledi li istinitost zaključka iz istinitosti pretpostavki.

Zadatak logike: Sistematska formalizacija i katalogizacija pravilnih (ispravnih) načina zaključivanja.

MATEMATIČKA LOGIKA Nije: logika primenjena na matematiku Logika: deo filozofije Matematička logika: izučava matematiku (metamatematika), jeste

deo matematike (kao formalni sistem, nema filozofije), i služi kao osnova za izgradnju matematike

Koristi matematička sredstva, visok stepen formalizacije, ali izučava i formalizaciju kao takvu

Izučava moć i nemoć formalnih metoda ⇒ računarstvo! Matematička logika:

Teorija skupova Teorija dokaza Teorija modela Teorija rekurzija

Ključni događaji: neeuklidske geometrije paradoksi u teoriji skupova Gödelova teoreme o nepotpunosti Rezultati o neodlučivosti Kompleksnost algoritama

STARI GRCI I LOGIKA Prve civilizacije: Mesopotamija, Egipat, Kinezi,... Stari Grci: uticaj na razvoj Evropske matematike i

filozofije Problemi koji nas i danas zanimaju, i sredstva

rasuđivanja koja i danas koristimo Specifičnost Starih Grka: dokazivanje! Svesno su

pokušavali na proniknu u logiku matematičkih dokaza

Dokaz: sitni koraci, tako da prelaz sa jednog na drugo tvrđenje ne ostavlja mesto sumnji

Račun + geo-metrija + logika ⇒ matematika Matematika počinje da se razvija kao deduktivna

disciplina

ZAŠTO BAŠ STARI GRCI? Jer vole da raspravljaju – društveno uređenje –

demokratija! Položaj „intelektualaca“:

sveštenici, pisari, račundžije – ljubomorno čuvaju svoje znanje (pitanje: Kako?)

U Grčkoj: slobodni ljudi, ne mare za autoritet (pitanje: Zašto?) Veština raspravljanja: zbog politike i zbog ličnih rasprava

pred sudom Ubedljiviji je onaj, čija zaključivanja slede logičke zakone, i

ako ukažu na logičke greške kod protivnika Pored praktične koristi: shvatit mesto koje čovek zauzima u

svemiru Matematika i logika: doprinosi da se napravi red u tom

haosu Pitanja: Šta je istina? Šta je mišljenje? Kako doći do istine?

Kako druge ubediti u istinitost svog mišljenja?

TALES IZ MILETA, 624-545 PNE otac filozofije, matematike i nauke trgovac iz Mileta jedan od Sedam mudraca drevne Grčke smatra se da je prvi “mislilac” u istoriji čuvena izreka:”Spoznaj sebe!” matematika i filozofija su još isprepletane prvi iznosi opšte stavove vezane za matematiku predvideo pomračenje Sunca 585. pne i postao slavan faraona Amasisa zapanjio svojom tvrdnjom da može da izmeri visinu piramide u

Memfisu samo pomoću senke znao da odredi odstojanje ladje na moru pomoću posmatranja sa dve tačke na

kopnu Pet otkrića iz geometrije

Prečnik polovi krug Uglovi na osnovici jednakokrakog trougla su jednaki Unakrsni uglovi su jednaki Ugao upisan u polukrug je prav Trougao je odredjen jednom stranicom i naleglim uglovima

PITAGORA, 566-497. PNE neki smatraju da je intelektualno jedan od najznačajnijih ljudi koji

su ikada živeli sa njim počinje matematika kao deduktivna nauka od njega potiče uticaj matematike na filozofiju Pitagorejska škola

vrsta sekte, istovremeno naučna, verska i politička nastojali su da u prirodi i društvu nadju nepromenljivo izučavali kvadrivijum: geometrija, aritmetika, astronomija, muzika Tragali za univerzalnom harmonijom

Sve je broj; matematika i muzika; Pitagorina teorema; iracionalni brojevi do istina u matematici se dolazi čistim razmišljanjem, pa misao

nadmašava čula, a intuicija opservaciju do istina u matematici se dolazi čistim razmišljanjem, pa misao

nadmašava čula, a intuicija opservaciju

SOFISTI I RAZVOJ LOGIKE 5. vek pne: neki ljudi su postali slavni, jer su vešto raspravljali, a učili su i

druge tome (za pare) - sofisti prva grupa kritički orijentisanih filozofa u istoriji ponekad je teško odrediti da li su im zaključci doneti po ispravnom

zaključivanju (najstariji sofizam: Epimenidov paradoks lažova “Svi Krićani lažu”)

razmatrali i matematičke probleme, ne radi praktične koristi, nego da bi objasnili njihovu suštinu

tri značajna problema antike: trisekcija ugla duplikacija kocke (deloski problem) kvadratura kruga

Protagora - pratiti logiku tokom rasprave, ma gde nas ona dovela (ne zanima ga vrlina...)

Parmenid Zenonov učitelj, pronašao logiku (metafizika zasovana na logici) zakon isključenja trećeg njegovi argumenti logički slede jedan iz drugog!

Zenon prvi put primenio dijalektiku, tj. metodu istraživanja pomoću pitanja i odgovora Zenon dokazivao da promena ne postoji Zenonovi paradoksi: Ahil i kornjača, Strela, Dihotomija, Stadion – poznati su

nam zahvaljujući Aristotelu

SOKRAT I PLATON Sokrat

provodio vreme u raspravljanju i učio mladiće filozofiji (ne za novac)

uporno tvrdio da ništa ne zna, ali ubedjen da je ispravno mišljenje najvažnije za ispravan život

primenjivao dijalektiku (samo izmamljuje znanje) navika slobodne diskusije je jako korisna jer razvija

logičku doslednost Platon

Sokratov učenik na njega uticao i Pitagora, pa je smatrao da bez

matematike nema prave mudrosti u Atini osnovao “Akademiju” (Neka ne ulazi ovde niko ko

ne zna geometriju) 4 nauke: aritmetika, geometrija, astronomija, harmonija “Država” pet pravilnih poliedara upravljaju svemirom: kocka (6),

tetraedar (4), oktaedar (8), ikosaedar (20), dodekaedar (12)

ARISTOTEL, 384-322. PNE

Aristotelova silogistika (formalna logika) glavna teza: Svako korektno rasudjivanje se može svesti na

sistematsku primenu nevelikog broja odredjenih pravila, koja inače ne zavise od prirode objekata na koja se odnosi rasudjivanje

škola Licej (Atina)-privatna ustanova, novac od članova učenici su “predavanja” pratili šetajući (peripatetičari) aristotelovski projekat o univerzalnom znanju Aristotelova teorija silogizama je predak matematičke logike u 17. i 18. veku Aristotelova formalna logika smatrala se

obaveznim delom svakog obrazovanja Kant (kraj 19. veka): “Sve što je bitno u logici, sve što se može reći o

zakonima logike, rekao je Aristotel, pa je zbog toga formalna logika u nekom smislu mrtva nauka...”

Aristotelov autoritet u logici je bio toliko neprikosnoven, da je to smetalo razvitku logike

silogistika je danas samo mali i prilično elementaran deo logike unarnih predikata

ALEKSANDRIJA - MUZEJ I VELIKA BIBLIOTEKA Aleksandrija – Muzej i Velika biblioteka Ptolemej Prvi (“Soter”) sakupiti na jednom mestu svo znanje sveta javna ustanova (plaćao kralj), 400 000 svitaka tu su radili Euklid, Apolonije, Eratosten,

Arhimed,... 47 pne izgorela (Cezar) Kleopatra – obnova Biblioteke, Antonije pljačka

Pergamsku biblioteku Euklid

najuticajniji matem. Ptolemeja I kome je rekao da... “Elementi” – 13 knjiga aksiomatski metod: izlaganje se sastoji od strogo

logičkih izvođenja teorema iz sistema definicija, postulata i aksioma

“Elementi”- uz Bibliju i Božanstvenu komediju, najviše izdanja (oko 800)

RENÉ DESCARTES, 1596-1650. tražio opštu metodu mišljenja, koja bi omogućila da se brže

pronalaze i objašnjavaju istine u nauci osnivač moderne filozofije matematičar, filozof, čovek od nauke ne piše kao profesor, nego kao naučnik sumnja u sve u šta se može sumnjati,“Cogito, ergo sum.”

“Dok sam želeo da mislim da je sve lažno, bilo je neophodno da ja, koji sam to mislio, budem nešto, i primenjujući da je ovo istina, - mislim, dakle postojim- tako pouzdana i izvesna da ne bi mogle da je obore ni najekstravagantnije pretpostavke skeptika, ja sam ocenio da bih ja mogao primiti bez ikakvog ustezanja kao prvi princip filosofije koju sam tražio.”

“Rasprava o metodi pravilnog upravljanja umom i traženja istine u naukama i dalje, dioptrija, meteori i geometrija kao eseji o toj metodi”

polazi od sposobnosti čovekovog uma da spoznaje vlastitim snagama i da u proučavanju stvari unosi red koji osigurava pravilnost zaključivanja

Dekart je bio prvi veliki mislilac koju je svetu ukazao na prirodu i vrednost matematičkih metoda, i ukazao na put kojim treba ići u traganju za istinom

GOTTFRIED LEIBNIZ, 1646-1716. njegova istraživanja se smatraju za početak

matematičke logike radio na projektima formalizacije jezika i

mišljenja nadao se da će otkriti neku vrstu opšte

matematike, Characteristica Universalis, u kojoj bi se mišljenje moglo zameniti računanjem čitavo znanje bi moglo da se izrazi i sakupi pomoću

jednog deduktivnog sistema okončali bi kontraverze: “Kada bi neko posumnjao u

moje rezultate, odgovorio bih: “Računajmo gospodine!”, i tako, prihvativši se pera i maslila, raspravili bismo problem.”

“Kada bismo ovo imali, mi bismo mogli rezonovati u metafizici i etici skoro na isti način kao u geometriji i analizi.”

uveo dobre oznake, izučavao logičke zakone, ali je slabo objavljivao radove, pa je njegov neposredni uticaj bio mali

GEORGE BOOLE, 1815-1864. osnivač savremene matematičke logike uspeo je da logiku (kao granu filozofije) prebaci u

matematiku (u algebru) zvanično, metamatička logika je stigla 1847,

objavljivanjem Booelove knjige “The Mathematical Analysis of Logic”

proširena verzija: “An Investigation of the Laws of Thought”

Račun klasa “Svaki A je B” – sadržinska interpretacija (A ima

osobinu B) ili skupovna (obimska) interpretacija Booleova algebra – neke aksiome su posle dodate

(DeMorgan, Peirce, Schroder) samo su delimično stvorili logički račun o kome je

maštao Leibniz (staviti matematiku u logiku) Boole: matematizirao logiku, a Leibniz je hteo da se cela

matematika (i još više) napravi kao formalni sistem

GOTTLOB FREGE (1848-1925)

Frege je 1879. prvi formulisao iskazni račun kao formalnu teoriju (usput)

Knjiga: „Begriffsschrift – Eine der aritmetischen nachgebildete Formalsprache des reinen Denkens“

(„Zapisivanje pojmova-jezik formula čiste misli, po uzoru na aritmetiku“) Zasniva teoriju prirodnih brojeva, pa zbog toga uvodi formalni jezik,

kvantifikatore, aksiome, pravila izvođenja „Begriffsschrift“ - početak moderne logike (loša notacija, konfliktna

ličnost,...) Iskazni deo: veznici su ⇒,¬ Pravila izvođenja: MP, supst Aksiome:

P⇒(Q⇒R) (P⇒(Q⇒R))⇒((P⇒Q)⇒(P⇒R)) (P⇒(Q⇒R))⇒(Q⇒(P⇒R)) (P⇒Q)⇒(¬Q⇒¬P) ¬¬P⇒P P⇒¬¬P

Ovaj sistem nije bio zapažen još 30 godina

PRINCIPIA MATHEMATICA, 1910-1913. Peano 1900. predlaže Russellu da pročita

Fregeovu knjigu Russell čita, konstruiše svoj paradoks, piše

Fregeu...(posebna tema!) Bertrand Russel i Alfred Whitehead pišu

Principia Mathematica (3 toma), 1910-1913. Skupiti celu matematiku na jedno mesto Veliki uticaj na razvoj logike, istisnula račun

klasa iz upotrebe Koriste: Peanovu notaciju i Fregeove ideje Oslobađa matem. logiku od aritmetičke

notacije Oslobađa matem. logiku od filozofskih

problema

ISKAZNI RAČUN IZ PRINC. MATHEMATIKE Veznici: ¬,∨; Prvila izvođenja: MP, Supstitucija Aksiome:

(P∨P)⇒P Q⇒(P∨Q) (P∨Q)⇒(Q∨P) (P∨(Q∨R))⇒(Q∨(P∨R)) (Q⇒R)⇒((P∨Q)⇒(P∨R))

Emil Post, 1921: Dokazao da je iskazni račun iz Princ. Math. kompletan

Post koristio istinitosne tablice (prvi put 1920, Post i Wittgenstein)

Hilbert, Ackerman, 1928: knjiga „Grundzuge der Theoretischen Logik“ – nema istinitosnih tablica!

HILBERTOV PROGRAM O OSNOVAMA MATEMATIKE David Hilbert, 1899: „Osnovi geometrije“ Pariz, 1900, Svetski kongres matematičara,

Hilbert izneo 23 problema za rešavanje Hilbert, 1921: Program o zasnivanju klasične

matematike – formalizovanje čitave matematike u aksiomatskoj formi, dokaz neprotivrečnosti, potpunosti, odlučivosti (zahtev striktne finitnosti!)

Hilbert, Ackerman, 1928: knjiga „Grundzuge der Theoretischen Logik“: postavila je pravce i standarde za dalji razvoj matematičke logike

Postavljena pitanja: potpunosti, neprotivrečnosti i odlučivosti („Entscheidungsproblem“) predikatskog računa iz „Grundzuge...“

Gödel, 1929: Da, predikatski račun iz „Grundzuge...“ je kompletan

Jesen 1930, Hilbert optimista: Wir müssen wissen, wir werden wissen! (Odgovor na "Ignoramus et ignorabimus" )... ALI ONDA...

GÖDELOVI REZULTATI

Gödel, 1930 : rezultati o nepotpunosti! Teorema1 Svaka dovoljno bogata, efektivno

aksiomatska formalna teorija je nužno nepotpuna. Teorema 2. Ako je formalni sistem dovoljno bogat i

efektivno aksiomatizovan, onda se neprotivrečnost tog sistema ne može dokazati unitar te teorije!

Ideje dokaza: Russellov paradoks „gedelizacija”

Ovi rezultati duboko izmenili filozofske poglede na matematiku i moć formalnog metoda

Ostao još „Entscheidungsproblem” (odlučivost) Gödel: rekurzivne funkcije...

Šta je algoritam? Definisao Turingovu mašinu – jednostavan ali moćan koncept

Univerzalna Turingova mašina (početak programiranja) Do tada – za svaku svrhu – nova mašina

Neodlučivost predikatskog računa Halting problem nerešiv, ne postoji Turingova mašina koja ga rešava, pa onda... 1936: Entscheidungsproblem nema rešenje tj. Predikatski račun I reda je algoritamski

neodlučiv ! U isto vreme, nezavisno: Alonzo Church (lambda-račun)

Church-Turingova teza: algoritam=Turingova mašina Negativan odgovor na Entscheidungsproblem: Veliko iznenađenje za Hilberta Danas: puno neodlučivih problema Primeri: Aritmetika prirodnih brojeva(N, +, *), predikatski račun, problem reči za

semigrupe (Post i Markov 1947), Postov problem korespondencije (PCP), rešivost diofantovih jednačina (Matijaševič 1970),...

I danas se neodlučivost problema dokazuju svođenjem na Halting problem (ili neki već dokazano neodlučiv problem)

TURING I CHURCH

Kako prepoznati neodlučive probleme? Primer (Chaitin)

Slova: a, b, c, d, e Relacije među njima: ac=ca, ad=da, bc=cb, bd=db, abac=abacc, eca=ac,

edb=be Ulaz: 2 reči Izlaz: Da li se ove 2 reči mogu dobiti jedna od druge ovim

transformacijama? Ako može algoritamski, koja je kompleksnost? SAT problem: NP kompletan Clayov institut P=NP? (1 000 000 $) Opštije: šta su granice formalističkog metoda? Razni sistemi logika

Klasična viševrednosna Modalna Relevantna Intuicionistička Temporalna Fuzzy Floyd-Hoare logika Martin Löf: konstruktivistička teorija tipova (specifikacija=teorema,

program=dokaz teoreme...)

ZAŠTO MATEMATIČKA LOGIKA ?

PRIMENE LOGIKE U RAČUNARSTVU

Teorija formalnih jezika, semantika programskih jezika, paralelno izračunavanje, distribuirano izračunavanje, kvantno izračunavanje,... teorija izračunljivosti veštačka inteligencija (ekspertni sistemi, mašinsko učenje) Sofversko inženjerstvo (specifikacija i verifikacija) Programski jezici (semantika, logičko programiranje,

funkcionalno programiranje) Složenost algoritama Obrada teksta i jezika Baze podataka (relaciona algebra, SQL) Arhitektura računara (dizajn i minimizacija)