MATEMATİK

KPSS2016

KPSSGenel YetenekGenel Kültür

*

konu anlatımlı

pratik bilgiler

sınavlara en yakın

özgün sorular ve açıklamaları

çıkmış sorular ve açıklamaları

29.Eğitimde

yıl

Pegem Akademi Sınav Komisyonu;

2015 KPSS’ye Pegem Yayınları

ile hazırlanan adayların,100'ün üzerinde soruyu

kolaylıkla çözebildiğini

açıkladı.

Editörler: Kenan Osmanoğlu / Kerem Köker

KPSS Matematik Konu Anlatımlı

ISBN 978-605-318-483-6

Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir.

© Pegem AkademiBu kitabın basım, yayım ve satış hakları

Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ye aittir.Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri,kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıtya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.

Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında

yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınlarısatın almamasını diliyoruz.

“Bu kitapta yer alan geçmiş yıllarda ÖSYM'nin yapmış olduğu sınavlardaki ÇIKMIŞ SORULAR'ın her hakkı ÖSYM'ye aittir. Hangi amaçla olursa olsun, tamamının veya bir kısmının kopya edilmesi, fotoğraflarının çekilmesi, herhangi bir yolla çoğaltılması ya da kullanılması, yayımlanması ÖSYM'nin yazılı izni olmadan yapılamaz. Pegem Akademi Yayıncılık telif ücreti ödeyerek bu izni almıştır.”

34. Baskı: 2016, Ankara

Yayın-Proje: Elif Turanlıoğlu BultanDizgi-Grafik Tasarım: Didem Kestek

Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı

Baskı: Vadi Grup Ciltevi A.Ş.İvedik Organize Sanayi 28. Cadde 2284 Sokak No:105

Yenimahalle/ANKARA(0312 394 55 91)

Yayıncı Sertifika No: 14749Matbaa Sertifika No: 26687

İletişim

Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARAYayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51

Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08

Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60

İnternet: www.pegem.netE-ileti: pegem@pegem.net

Değerli Adaylar;

Bu kitap Kamu Personeli Seçme Sınavı (KPSS) Genel Yetenek Testinde önemli bir yer tutan “Matematik” kapsamındaki 26 veya 27 soruyu etkili bir şekilde çözebilmeniz amacıyla hazırlanmıştır. Kitap, sorulmuş ve sorulması olası soruların titizlikle incelenmesiyle meydana getirilmiş olup;

MATEMATİK

- Temel Kavramlar,- Sayılar,- Bölme-Bölünebilme Kuralları,- Asal Çarpanlara Ayırma EBOB – EKOK,- Birinci Dereceden Denklemler,- Rasyonel Sayılar,- Üslü Sayılar,- Köklü Sayılar,- Çarpanlara Ayırma,- Eşitsizlik – Mutlak Değer,- Oran – Orantı,- Problemler,- Kümeler,- İşlem - Modüler Aritmetik,- Permütasyon – Kombinasyon – Olasılık - Tablo ve Gra�kler - Sayısal Mantıkbölümlerinden oluşmaktadır.

Kitapta; bölümlerin sınav formatına uygun ve soru çözümünü kolaylaştıracak bir şekilde ele alınmasına ve bilgilerin açık ve anlaşılır bir dille ifade edilmesine özen gösterilmiştir. Her ünitenin sonunda, - çıkmış sorular

- çözümlü testler ve

- cevaplı testlere;

yer verilmiştir. Bu kitabın hazırlanmasında yardım, destek ve katkılarını esirgemeyen Pegem Akademi Sınav Komisyonuna, PEGEM AKADEMİ yayınevi ve dershanesi çalışanlarına ve öğrencilerine teşekkürü bir borç biliriz. Bu kitap, uzun bir birikimin ve yoğun bir emeğin ürünüdür. Kitapla ilgili görüş ve önerileriniz bu ürünün niteliğini daha da arttıracaktır. Değerli görüş ve önerilerinizi lütfen bizimle pegem@pegem.net aracılığıyla paylaşınız.

Kitabın çalışmalarınızda yararlı olması dileğiyle, KPSS’de ve meslek hayatınızda başarılar.

Kenan Osmanoğlu – Kerem Köker

SUNU

1. BÖLÜMTEMEL KAV RAMLAR ...............................................2Küme..........................................................................2Kümenin Elemanı ve Eleman Sayısı .......................2 Kümelerin G sterilişi ...............................................2Boş Küme ..................................................................3Sayı Kümeleri ............................................................3Tek - Çi t Tamsayılar .................................................4Tam Sayılarda İşlemler .............................................4İşlem Ön eliği ...........................................................6Rasyonel Sayılar .......................................................6Rasyonel Sayılarda İşlemler ....................................6Har i İ adeler.............................................................8Denklemler ................................................................9Ç züm Kümesi Bulma ..............................................9Birin i Dere eden İki Bilinmiyenli Denklemler ......10İkili..............................................................................10Sıralama.....................................................................10Eşitsizlik ....................................................................11Oran – Orantı.............................................................11Ortak Paranteze Alma ..............................................12Ç zümlü Test – 1 ......................................................13Cevaplı Test – 1 .........................................................17Cevaplı Test – 2 .........................................................19

2. BÖLÜMSAYILAR ....................................................................22Sayı Kümeleri ............................................................22Doğal Sayılar .............................................................23Tam Sayılar ................................................................26Tek ve Çi t Tam Sayılar .............................................27Poziti ve Negati Sayılar ..........................................29Ardışık Sayılar...........................................................31Asal Sayı....................................................................36Aralarında Asal Sayılar ............................................36Basamak Analizi .......................................................37Çözümleme ...............................................................42Fakt riyel...................................................................44Sayma Sistemleri ......................................................47Ç zümlü Test – 1 ......................................................54Ç zümlü Test – 2 ......................................................58Ç zümlü Test – 3 ......................................................62Cevaplı Test – 1 .........................................................66Cevaplı Test – 2 .........................................................68Cevaplı Test – 3 .........................................................70Cevaplı Test – 4 .........................................................72Cevaplı Test – 5 .........................................................74Cevaplı Test – 6 .........................................................76Çıkmış Sorular ..........................................................78

3. BÖLÜMBÖLME – BÖLÜNEBİLME K RALLARI ..................82Bölme.........................................................................82B lünebilme Kuralları ..............................................86

2 ile Bölünebilme ................................................863 ile Bölünebilme ................................................864 ile Bölünebilme ................................................875 ile Bölünebilme ................................................887 ile Bölünebilme ................................................898 ile Bölünebilme ................................................899 ile Bölünebilme ................................................8910 ile Bölünebilme ..............................................9111 ile Bölünebilme ..............................................91

Ç zümlü Test ...........................................................93Cevaplı Test - 1 .........................................................97Cevaplı Test - 2 .........................................................99Çıkmış Sorular ..........................................................101

4. BÖLÜMASAL ÇARPANLARA AYIRMA EBOB – EKOK .......104Asal Çarpanlara Ayırma ...........................................104Bir Tam Sayının B lenleri ........................................105

Bir Tam Sayının B lenleri Toplamı ....................107En Büyük Ortak B len (EBOB) ..........................108En Küçük Ortak Kat (EKOK) ..............................111

Ç zümlü Test ...........................................................116Cevaplı Test - 1 .........................................................120Cevaplı Test - 2 .........................................................122Cevaplı Test - 3 .........................................................124Çıkmış Sorular ..........................................................126

5. BÖLÜMBİRİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER .....................128Birin i Dere eden Bir Bilinmeyenli Denklemler ....128Birin i Dere eden İki Bilinmeyenli Denklemler .....131Denklem Sistemi .......................................................131

Yok Etme Metodu ................................................131Yerine Koyma Metodu ........................................132

Özel Denklemler........................................................133Ç zümlü Test ...........................................................136Cevaplı Test - 1 .........................................................140Cevaplı Test - 2 .........................................................142Çıkmış Sorular ..........................................................144

İÇİNDEKİLER

vi

6. BÖLÜMRASYONEL SAYILAR ...............................................146Kesir ve Kesir Türleri ...............................................146

Kesir.....................................................................146Basit Kesir ...........................................................146Bileşik Kesir ........................................................146Tam Sayılı Kesir ..................................................147Sabit Kesir ...........................................................148Denk Kesir ...........................................................148

Rasyonel Sayılarda D rt İşlem ................................149Toplama İşlemi ....................................................149Çıkarma İşlemi ....................................................150Çarpma İşlemi .....................................................150B lme İşlemi .......................................................150Kuvvet Alma ........................................................150İşlem Ön eliği .....................................................151

Ondalık Kesir ............................................................154Ondalık Sayılarda D rt İşlem ...................................155Devirli Ondalık Açılımlar ..........................................157Rasyonel Sayılarda Sıralama...................................158İki Rasyonel Sayı Arasındaki Sayıları Yazma .........160Ç zümlü Test - 1 .......................................................161Ç zümlü Test - 2 .......................................................165Cevaplı Test - 1 .........................................................169Cevaplı Test - 2 .........................................................171Çıkmış Sorular ..........................................................173

7. BÖLÜMEŞİTSİ LİK – M TLAK DE ER ...............................176Basit Eşitsizlikler ......................................................176

Özellikleri.............................................................176Reel (Gerçel) Sayı Aralıkları .....................................179

Kapalı Aralık ........................................................179Yarı Açık Aralık ....................................................179Açık Aralık ...........................................................180

Birin i Dere eden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ....180Eşitsizlikler ve İşaret İn elemesi .............................181Mutlak Değer .............................................................183

Özellikleri.............................................................185Ç zümlü Test – 1 ......................................................189Ç zümlü Test – 2 ......................................................193Cevaplı Test – 1 .........................................................197Cevaplı Test – 2 .........................................................199Cevaplı Test – 3 .........................................................201Çıkmış Sorular ..........................................................203

8. BÖLÜMÜSLÜ SAYILAR .........................................................206

Özellikleri.............................................................206Üslü Sayılarda D rt İşlem ........................................209

Toplama – Çıkarma .............................................209Çarpma ................................................................210Bölme...................................................................212

Ç zümlü Test - 1 .......................................................215Ç zümlü Test – 2 ......................................................219Cevaplı Test - 1 .........................................................223Cevaplı Test - 2 .........................................................225Çıkmış Sorular ..........................................................227

9. BÖLÜM

KÖKLÜ SAYILAR ......................................................230

K klü Sayıların Özellikleri........................................230K klü Sayılarda D rt İşlem ......................................234

Toplama-Çıkarma ................................................234Çarpma ................................................................235Bölme...................................................................236

K k Dışındaki Bir Sayının K k İçine Alınması .......238Eşlenik .......................................................................239İç İçe Sonlu K kler ...................................................241İç İçe Sonsuz K kler.................................................242

A 2 B I adesinin K k Dışına Çıkarılması ............244K klü Sayılarda Sıralama.........................................246K klü Sayılarda Denklem Ç zme ............................247Ç zümlü Test -1 ........................................................248Cevaplı Test - 1 .........................................................252Cevaplı Test - 2 .........................................................254Çıkmış Sorular ..........................................................256

10. BÖLÜM

ÇARPANLARA AYIRMA ............................................260

Ortak Parantez Y ntemi .....................................260Gruplandırma Y ntemi .......................................260ax 2 b i adesinin Çarpanlara Ayrılması .......261

Özdeşlikler ................................................................263İki Kare Farkı .......................................................263Tam Kare İ adeler ................................................265

III Dere eden Özdeşlikler ........................................268Ç zümlü Test – 1 ......................................................270Ç zümlü Test – 2 ......................................................274Cevaplı Test – 1 .........................................................278Cevaplı Test – 2 .........................................................280Çıkmış Sorular ..........................................................282

11. BÖLÜMORAN – ORANTI ......................................................286

Oran .....................................................................286Orantı ...................................................................286Orantının Özellikleri............................................286

Orantı Türleri .............................................................288Doğru Orantı .......................................................288Ters Orantılı Çokluklar .......................................290Bileşik Orantı ......................................................291

Ortalamalar................................................................292Aritmetik Ortalama .............................................292Geometrik Ortalama ...........................................293

Ç zümlü Test - 1 .......................................................295Ç zümlü Test - 2 .......................................................299Cevaplı Test - 1 .........................................................303Cevaplı Test - 2 .........................................................305Çıkmış Sorular ..........................................................307

vii

12. BÖLÜMPROBLEMLER ..........................................................310Denklem Kurma Problemleri ...................................310Yaş Problemleri.........................................................316Yüzde Problemleri ....................................................319Faiz Problemleri ........................................................321Kâr – Zarar Problemleri ............................................322Karışım Problemleri..................................................325İşçi Problemleri .........................................................328Havuz Problemleri ....................................................330Hareket Problemleri..................................................331Çözümlü Test - 1 ......................................................337Çözümlü Test - 2 ......................................................341Çözümlü Test - 3 ......................................................345Çözümlü Test - 4 .......................................................349Çözümlü Test - 5 ......................................................353Çözümlü Test - 6 ......................................................357Çözümlü Test - 7 ......................................................361Çözümlü Test - 8 ......................................................365Çözümlü Test - 9 ......................................................369Cevaplı Test – 1 .........................................................373Cevaplı Test – 2 .........................................................375Cevaplı Test – 3 .........................................................377Cevaplı Test – 4 .........................................................379Cevaplı Test – 5 .........................................................381Cevaplı Test – 6 .........................................................383Cevaplı Test – 7 .........................................................385Cevaplı Test – 8 .........................................................387Çıkmış Sorular ..........................................................389

13. BÖLÜMKÜMELER ..................................................................398Küme..........................................................................398

Kümelerin Elemanı ve Eleman Sayısı ...............398Kümelerin Gösterimi ..........................................398Küme Çeşitleri ....................................................399Kümelerde İşlemler ............................................400Alt Küme ..............................................................403Küme Problemleri ...............................................405

Çözümlü Test ...........................................................407Cevaplı Test ..............................................................411Çıkmış Sorular ..........................................................413

14. BÖLÜMFONKSİYON - İŞLEM – MODÜLER ARİTMETİK .....415Bağıntı .......................................................................416Fonksiyon ..................................................................416İşlem ..........................................................................417

İşlem Tabloları .....................................................419İşlemin Özellikleri ...............................................419

Modüler Aritmetik .....................................................423Modüler Aritmetiğin Özellikleri ..........................424Modüler Aritmetikte Denklem Çözümü .............428

Çözümlü Test – 1 ......................................................429Çözümlü Test – 2 ......................................................433Cevaplı Test – 1 .........................................................437Cevaplı Test – 2 .........................................................439Çıkmış Sorular ..........................................................441

15. BÖLÜMPERMÜTASYON – KOMBİNASYON – OLASILIK ....444Saymanın Temel Kuralları ........................................444

Toplama Kuralı ....................................................444Çarpma Yolu ile Sayma ......................................444Saymanın Temel İlkesi .......................................444

Permütasyon (Sıralama) ..........................................446Tekrarlı Permütasyon .........................................447Dairesel Permütasyon ........................................448

Kombinasyon (Gruplama) .......................................449Olasılık .......................................................................454

Olasılık Fonksiyonu ...........................................454Olasılık Hesabı ....................................................455Koşullu Olasılık...................................................459Bağımsız ve Bağımlı Olasılık .............................460

Çözümlü Test – 1 ......................................................461Çözümlü Test – 2 ......................................................465Çözümlü Test – 3 ......................................................469Cevaplı Test – 1 .........................................................473Cevaplı Test – 2 .........................................................475Çıkmış Sorular ..........................................................477

16. BÖLÜM

TABLO VE GRAFİKLER ............................................480Tablo ve Yorumlama .................................................480Grafik ve Yorumlama ................................................484

Çizgi Grafik..........................................................484Sütun Grafiği .......................................................486Daire Grafiği ........................................................486

Çözümlü Test – 1 ......................................................489Çözümlü Test – 2 ......................................................492Cevaplı Test – 1 .........................................................496Cevaplı Test – 2 .........................................................499Çıkmış Sorular ..........................................................501

TEMEL KAVRAMLAR� KÜME

� KÜMENİN ELEMANI VE ELEMAN SAYISI

� KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ

� BOŞ KÜME

� SAYI KÜMELERİ

� TEK - ÇİFT TAMSAYILAR

� TAM SAYILARDA İŞLEMLER

� İŞLEM ÖNCELİĞİ

� RASYONEL SAYILAR

� RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER

� DENKLEMLER

� ÇÖZÜM KÜMESI BULMA

� İKİLİ

� SIRALAMA

� EŞİTSİZLİK

� ORAN ORANTI

� ORTAK PARANTEZE ALMA

“Eksi çarpı eksi, artı edecek, böyle yazılacak, böyle bilinecek, kimse “neden?” demeyecek.”

John Von Neumann

Yıllara Göre Çıkmış

Soru Analizleri

2012-

2011-

2010-

2009-

2008-

2007-

2006-

2005-

2013-

2014-

2015-2016

-

2

KÜME

Net olarak tanımlanmış canlı veya cansız varlıkların oluşturduğu topluluğa küme denir.

Kümeler A, B, C, D, E,… gibi büyük harflerle isimlendirilir.

Örnek

“Pegem” kelimesinin harfleri bir küme oluşturur

Örnek

“Haftanın bazı günleri” cümlesi bir küme oluşturmaz. Çünkü kümeyi oluşturacak günler net olarak söylenme-miştir.

KÜMENİN ELEMANI VE ELEMAN SAYISI

Kümeyi oluşturan canlı ve cansız varlıklara küme-nin elemanları denir. Kümenin elemanı olan nesneler “! ” sembolü ile kümenin elemanı olmayan nesneler ise “! ”sembolü ile gösterilir.

Bir kümeyi oluşturan elemanların sayısına kümenin ele-man sayısı denir ve s ( ) ile gösterilir.

Kümeyi oluştururken ortak elemanlar bir kez yazılır.

Örnek

1 sayısı A kümesinin elemanı ise A1 d

2 sayısı A kümesinin elemanı değil ise A2!

şeklinde gösterilir.

KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ

1) Liste Yöntemi

Kümenin elemanlarının aralarına “,” konarak { } parante-zi içine yazılmasına kümelerin liste biçiminde gösterilişi denir.

Liste yönteminde virgülle ayrılan her nesne kümenin bir elemanıdır.

Örnek

, , , , ,A a b c d e f= " "" , , , kümesinin eleman sayısı kaçtır?A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2

Çözüm:A kümesinin elemanlarını yazacak olursak

, , , , ,a A b A c A d e A f A! ! ! ! !" ", ,olmak üzere A kümesinin eleman sayısı 5 dir.

Dolayısıyla ( )s A 5= bulunur.

Örnek

”PEGEM” kelimesinin harflerinin oluşturduğu küme-nin eleman sayısı kaçtır?

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

Çözüm:

“PEGEM” kelimesinin oluşturduğu küme A kümesi olsun.Küme yazılırken ortak olan elemanlar bir kez yazılacağından

, , ,A P E G M= " ,olur. Dolayısıyla ( )s A 4= bulunur.

Örnek

A Kerem= " , kümesinin eleman sayısı kaçtır?A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Çözüm:

Liste yönteminde elemanlar virgüllerle ayrılır. Kümeyi in-celeyecek olursak virgülle ayrılan eleman olmadığı için kümenin eleman sayısı ( )s A 1= bulunur.

2) Ortak Özellik YöntemiKümenin elemanlarının taşıdıkları ortak özellikler belirti-lerek { } parantezi içine yazılmasına kümenin ortak özel-lik yöntemi ile gösterilişi denir.

Örnek

Yüzden küçük doğal sayıların kümesi ,A x lx x N1001 != " ,

şeklinde gösterilir.

Bu bölümde yer verdiğimiz başlıkların bir kısmı KPSS de direkt olarak sorulan konulara dair değildir. Buradaki amacımız diğer konuların daha iyi anlaşılabilmesi için bazı temel bilgileri hatırlatmak ve işlem yete-neğinin gelişmesini sağlamaktır. Değindiğimiz konuların bir kısmı ilerleyen bölümlerde daha detaylı bir şekilde işlenecektir.

Bu bölüm daha çok sözel bölümlerden mezun olan arkadaşlarımıza yönelik hazırlanmıştır.

TEMEL KAVRAMLAR

3

3) Venn Şeması

Kümenin elemanlarının yanlarına “.” konarak kapalı bir şeklin içine yazılmasına kümenin venn şeması ile gös-terilişi denir.

Örnek

, , ,A a b c d= " ,kümesini venn şeması ile gösterilişi şekil-deki gibidir.

Aa

b

c

d

BOŞ KÜME

Elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme Q veya { } sembolleri ile gösterilir.

Örnek

“Yılın S harfi ile başlayan ayları” cümlesinin oluşturduğu küme boş kümedir

Not

Bir kümenin elemanlarının yerlerinin değişmesi kümeyi değiştirmez. Yani kümenin elemanları farklı şekillerde sıralanabilir.

Örnek

, ,A a b c= " , kümesinin elemanlarının yerleri değiştirilirse A kümesi değişmez.

. ..., , , , , ,A a b c b a c c a b gibi== = =" " ", , ,

RAKAM:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 gibi tek haneli sembollere rakam denir.

SAYI:

Rakamların tek başlarına veya bir çokluk oluşturacak şekilde bir araya gelmesiyle oluşan ifadelere sayı denir.

Örnek

3 hem rakam hem de bir sayıdır.

16 iki rakamdan oluşan bir sayıdır.

348 üç rakamdan oluşan bir sayıdır.

-7415 dört rakamdan oluşan negatif bir sayıdır.

SAYI KÜMELERİ

1) Sayma Sayıları Kümesi

, , , .....1 2 3" , kümesine sayma sayıları kümesi ve bu kü-menin her bir elemanına bir sayma sayısı denir. Sayma sayıları kümesi " "N+ ile gösterilir.

2) Doğal Sayılar Kümesi

, , , , .....0 1 2 3" , kümesine doğal sayılar kümesi ve bu kümenin her bir elemanına bir doğal sayı denir. Doğal sayılar kümesi "IN" sembolü ile gösterilir

3) Tam Sayılar Kümesi

........, , , , , , , .......3 2 1 0 1 2 3− − −" , kümesine tam sayılar kümesi ve bu kümenin her bir elemanına bir tam sayı denir. Tam sayılar kümesi “Z” sembolü ile gösterilir.

Tam sayılar kümesi üç kümenin birleşimi olarak ifade edi-lir. Bu alt kümeleri inceleyecek olursak;

a) Negatif Tam Sayılar Kümesi

Sıfırdan küçük (sayı doğrusu üzerinde sıfırın solunda olan) sayılara negatif tam sayılar bu sayıların oluştur-duğu kümeye negatif tam sayılar kümesi denir. Negatif tam sayılar kümesi " "Z− ile gösterilir.

..............., , ,Z 3 2 1= − − −− " , dir.Negatif tam sayılar sıfıra yaklaştıkça büyürler. Dolayısıy-la en büyük negatif tam sayı " "1− dir.

b) Pozitif Tam Sayılar Kümesi

Sıfırdan büyük (sayı doğrusu üzerinde sıfırın sağında olan) sayılara pozitif tam sayılar bu sayıların oluşturdu-ğu kümeye pozitif tam sayılar kümesi denir. Pozitif tam sayılar kümesi " "Z+ ile gösterilir.

, , , .........Z 1 2 3=+ " , dir.

Pozitif tam sayılar sıfıra yaklaştıkça küçülürler. Dolayısıy-la en küçük pozitif tam sayı " "1 dir.

c) Sıfır bir tam sayıdır, fakat işaretsizdir. Yani pozitif ya da negatif tam sayı değildir.

4) Rasyonel Sayılar Kümesi

a ve b birer tam sayı ve b 0! olsun. İki tam sayının bö-lümü şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir.

Rasyonel sayılar kümesi " "Q ile gösterilir.

Örnek

, , , , ,...52

1917

136 14 1

−− birer rasyonel sayıdır.

4

5) İrrasyonel Sayılar Kümesi

Rasyonel olmayan sayılara yani iki tam sayının bölümü şeklinde yazılamayan sayılara irrasyonel sayılar denir.

İrrasyonel sayılar kümesi “Q´” ile gösterilir.

Örnek

, , , ...5 2 375 − birer irrasyonel sayıdır.

6) Reel (Gerçel, Gerçek) Sayılar Kümesi

Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşim kümesine Reel sayılar kümesi denir.

Reel sayılar kümesi " "R ile gösterilir.

'R Q Q,= şeklinde ifade edilir.

TEK VE ÇİFT TAM SAYILAR

a) Tek tam sayılarn bir tam sayı olmak üzere 2n 1− veya n2 1+ şeklinde yazılabilen sayılara tek tam sayı denir. Tek tam sayılar kümesi ..... , , , , , ,...5 3 1 1 3 5− − −" ,şeklinde ifade edilir.

b) Çift tam sayılarn bir tam sayı olmak üzere 2n şeklinde yazılabilen sayılara çift tam sayı denir. Çift tam sayılar kümesi ... , , , , ,....4 2 0 2 4− −" , şeklinde ifade edilebilir.

TAM SAYILARDA İŞLEMLERToplama işlemi

a) Aynı işaretli sayıların toplanması

İşaretleri aynı olan tam sayılar toplanırken önce sayı de-ğerleri toplanır. Sonra toplama ortak olan işaret verilir.

Örnek

32 14 29+ + işleminde

Sayılarının hepsi pozitif (+) olduğundan sayı değerleri toplanır. Toplamın işareti “+” olur.

Buradan 32 14 29 75+ + = bulunur.

Örnek

45 11 73− − − işleminde

Sayıların hepsi negatif ( )− olduğundan sayı değerleri toplanır. Toplamın işareti " "− olur.

Buradan ( )45 11 73 45 11 73 129− − − =− + + =− bulunur.

b) Zıt İşaretli Sayıların Toplanması

İşareti farklı olan tam sayılar toplanırken sayı değeri bü-yük olandan sayı değeri küçük olan çıkarılır. Toplama, sayı değeri büyük olanın işareti verilir.

Örnek

65 93− + işleminde

Sayıların biri (−) diğeri (+) işaretli olduğundan sayı değe-ri büyük olandan yani 93 den sayı değeri küçük olan yani 65 çıkarılır. Toplamın sonucu 93 652 olduğundan olur.

Buradan 65 93 28− + = bulunur.

Örnek

124 175− işleminde

Sayılar zıt işaretli ve 175 1242 olduğundan 175 den 124 çıkarılır. Toplama, 175 in işareti yani ( )− işareti verilir.

Buradan 124 175 51− =− bulunur.

NotToplama işleminde sayıların yerlerini değiş-tirmek işlemin sonucunu değiştirmez. Yani

.a b b a d rý− =− +

Örnek

354 195− + işleminde sayıların yerlerinin değişmesi işle-min sonucunu değiştirmez.

Buradan 354 195 195 354 159− + = − =− bulunur.

Not

İşlemde ters işaretli birkaç sayı varsa önce işare-ti aynı olanlar kendi aralarında toplanarak ifade düzenlenir.

Örnek

36 73 86 118− + − işleminde

iki tane pozitif ( )+ , iki tane negatif ( )− sayı olduğundan önce bu sayılar kendi aralarında toplanarak işlem düzen-lenir. Sonra bulunan zıt işaretli sayılar toplanır.

.bulunur

36 73 86 118 36 86 73 118122 19169

− + − = + − −

= −

=−

Çıkarma İşlemi

Tam sayılarda çıkarma işlemi yapılırken birinci sayı ay-nen yazılır. İkinci sayının işareti değiştirilerek sayılar top-lanır.

Örnek

48 19 48 ( 19) 2933 76 33 ( 76) 43141 ( 214) 141 (214) 355

- = + - =- = + - = -- - = + =

5

Çarpma İşlemi

Tam sayılarda çarpma işlemi yapılırken önce işaretler çarpılıp çarpımın işareti bulunur. Sonra sayı değerleri çarpılır.

Uyarı!Aynı işaretli sayıların çarpımı daima pozitiftir.Yani ( ) ( )

( ) ( )+ ⋅ + = +- ⋅ - = +

Zıt işaretli sayıların çarpımı daima negatiftir.Yani ( ) ( )- ⋅ + = -

( ) ( )+ ⋅ - = -

Not

Parantez dışındaki bir işlem parantez içerisine dağıtılırken işaretler çarpılır.

Örnek

( 5) ( 23) 115( 12) (11) 132(18) (12) 216

- ⋅ - =- ⋅ = -

⋅ =

Bölme İşlemi

Tam sayılarda bölme işlemi yapılırken önce işaretleri bölünüp bölümün işareti bulunur. Sonra sayı değerleri bölünür.

Not

Aynı işaretli sayıların bölümü daima pozitiftir.Yani ( ) : ( )

( ) : ( )+ + = +- - = +

Zıt işaretli sayıların bölümü daima negatiftir.Yani ( ) : ( )- + = -

( ) : ( )+ - = -

Örnek

( 68) : (17) 4(120) : (12) 10( 111) : (37) 3( 180) : ( 15) 12

- = -=

- = -- - =

Uyarı!Eğer sayılar tam olarak bölünmüyorsa kesir olarak yazılır ve ifade sadeleştirilir.

Örnek

84 21( 84) : (16)16 4

- = - = - (pay ve payda 4 ile sadeleştirilirse)

100 20( 100) : ( 35)35 7

- - = = (pay ve payda 5 ile sadeleştirilirse)

Kuvvet Alma

Tabanda yazılan sayı kuvveti (üssü) kadar yan yana ya-zılıp çarpılır. Yani an sayısında a taban, n kuvvet olmak üzere

an = a ⋅ a ⋅ a ⋅⋅⋅⋅ a şeklinde yazılabilir. n tane

Örnek

24 sayısının değeri hesaplanırken tabandaki 2 sayısı 4 kez yan yana yazılıp çarpılır.

Buradan 44 tan e

2 2 2 2 2 16= ⋅ ⋅ ⋅ =

bulunur.

Örnek

(-3)3 sayısının değeri hesaplanırken tabandaki -3 sayısı 3 kez yan yana yazılıp çarpılır.

Buradan 33 tan e

( 3) ( 3) ( 3) ( 3) 27- = - ⋅ - ⋅ - = -

bulunur.

Not1) Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir.

2) Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir.

Örnek

4 4

7 7

( 5) 5 5 5 5 5 625( 2) 2 2 2 2 2 2 2 2 128- = = ⋅ ⋅ ⋅ =

- = - = - ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = -

Örnek

3 2 3( 4) ( 7) ( 5)- + - - - işlemindenegatif sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri ne-gatiftir.

3 2 3Buradan ( 4) ( 7) ( 5) ( 64) (49) ( 125)64 49 12564 174

110 bulunur.

- + - - - = - + - -= - + += - +=

mat.pdfPage 1