A Bell-egyenlőtlenségek valószínűségi geometriájáról

Koniorczyk Mátyás és Balló Gábor

Pécsi Tudományegyetem Természettudományi KarMatematikai és Informatikai IntézetAlkalmazott Matematika Tanszék

Fizikus Vándorgyűlés, Szeged, 2016.

QI @ PTE TTK MII Alkalmazott Matematika Tanszék:

Koniorczyk MátyásFrigyik Béla AndrásBalló Gábor →→ Bodor András

Összefonódás: Wigner (Kiss T.)→ Darmstadt (G. Alber)PTE TTK Fizikai Intézet (Ádám P.)

Vázlat

1 Motiváció2 Formalizmus3 A lokális politóp4 A no-signaling poitóp és a kvantumos halmaz5 A lokális politóp tulajdonságairól6 Konklúzió

BellKétrészű kvantumrendszer részrendszerein végzett mérésekeredményei közti korrelációk kombinációilokális realizmussal összeférhetetlen értéket vehetnek fel.

Jelentőség, problémák

ÖsszefonódásKvantum információ feldolgozás: erőforrásdetection loophole

KommunikációsDetektálási

A szituáció

Kétrészű kísérlet

Alice

Bob

x

y

Be Ki

A

B

x = 0 . . .Nx − 1, A = 0 . . .NA − 1

y = 0 . . .Ny − 1, B = 0 . . .NB − 1

Leírás

Kétrészű kísérlet

Alice

Bob

x

y

Be Ki

A

B

P(A,B|x , y)

Leírás

Alice

Bob

x

y

Be Ki

A

B

V.Ö.

Memóramentes csatorna

x

1/6

1/2

1/2

1/6

1/3

1/3

A

0

1

0

1

2

Leírás

P(A,B|x , y) ∈ RNANBNxNy

Hiperkocka:0 ≤ P(A,B|x , y) ≤ 1

Valójában kevesebb dimenzió:∑A

P(A,B|x , y) ≤ 1

∑B

P(A,B|x , y) ≤ 1

∑A,B

P(A,B|x , y) = 1

A dimenziócsökkentés hasznos technika, de nem izometria

Lokális politóp

Determinisztikus csatornaMinden bemenethez megadott kimenetet rendelPl. identikus csatorna, törlő csatorna

Minden csatorna determinisztikus csatornák konvexkombinációjaLokális realizmus:

A kétrészű csatornadeterminisztikus részcsatornák direkt szorzatánakkonvex kombinációja

NNxA NNy

B darab vektor → nem egyértelmű

Politópok, poliéderek

Politóp: Véges számú vektor konvex burka RN -benPoliéder:

P = {x ∈ RN |Ax ≤ b}Affin Weyl-Minkowski dualitás: P ⊂ RN akkor és csak akkor poliéder, haegy politóp és egy végesen generált kúp Minkowski-összege.

Következmény: P ⊂ RN akkor és csak akkor politóp, ha véges poliéder.

Külső reprezentáció: egyenlőtlenségekkel

Belső reprezentáció: konvex kombinációként

Váltás: nehéz

Lokális politóp, no-signaling politóp

no signaling

P(A|X ,Y ) = P(A|X )

P(B|X ,Y ) = P(B|Y )

vagyis

∀A,X∀Y1,Y2∑B

P(A,B|X ,Y1) =∑B

P(A,B|X ,Y2)

∀B,Y ∀X1,X2∑A

P(A,B|X1,Y ) =∑A

P(A,B|X2,Y )

No-signaling politóp: a korábban említett feltételek + nosignaling → külső reprezentácóLokális politóp: szorzat det. csatornák konvex kombinációja →belső reprezentáció

A Bell-egyenlőtlenségek

A Bell-egyenlőtlenségek a lokális politóp extra lapjai(a no-signaling politóphoz képest).

A kvantumos halmaz

A kvantumos halmazKonvexSzemidefinit programok végtelen hierarchiája határozza meg.Ha valamelyik program optimuma negatív, akkor nemkvantum.

Loophole: a detektor tökéletlenség hatására ez a halmaz “belebújik”a lokális politópba.

Milyen is a lokális politóp?

Főkomponens analízis

(Szabó Sándor ötlete)

Helyezzünk random pontokat a politópba!

(Probléma: ehhez valójában külső reprezentáció kéne, kétféleképpvégeztük el, ugyanazt adta. . .

Tekintsünk minden koordinátát val. változónak.

Számoljunk kovariancia mátrixot

Nézzük meg a spektrumát!

Főkomponens analízis, CHSH

0 2 4 6 8 10 12 14 16−0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

Piros: spektrumZöld: Bell-CHSH egyenlőtlenség

Főkomponens analízis általában

Mindig kis számú degenerált altér

2222 8 4 42223 13 6 3 22224 18 8 4 22232 13 6 3 22233 21 9 62234 29 12 4 3

· · ·4432 27 54 9 64433 45 81 184434 63 108 12 94442 38 72 11 1 64443 63 108 12 94444 88 144 24

Ellipszoidok

{x |||Ax + d||2 ≤ 1} vagy {Bx + c|||x ||2 ≤ 1}Köré írt ellipszoid: belső reprezentáció, csúcsok: x1 . . . xm

minA,d− log detA

f.h. ||Axi + d||2 ≤ 1

A ≥ 0

Beleírt ellipszoid, külső reprezentáció: hTi x ≤ bi

maxB,d

log detB

f.h. ||Bhi ||2 + hTi c ≤ bi

B ≥ 0

Ellipszoidok, CHSH

Lokális politóp: 16 csúcs, 24 lapNS politóp: 24 csúcs, 16 lapA beírt és köréírt ellipszoidjaik megegyeznek, gömbökA lokális politóp lapjai közül 16 az NS-nek is lapjaA maradék 8 adja a Bell-egyenlőtlenségeket4 pár, a pár elemei tükörképek az origóraA 4 pár független egynelőtlenség normálvektora ortogonális

Ellipszoidok, CHSH

tengelyek: két Bell-lap normálvektora

Magasabb dimenziós esetek

Az altér szerkezet magasabb dimenzióban is megjelenikNem minden Bell-egyenlőtlenség szimmetrikus ráPl. 3 be, 3 ki:

Lokális: 64 csúcs, 684 lapNS: 1408 csúcs, 36 lap684-36 = 648 Bell-egyenlőtlenségCsak 72 szimmetrikus

Osztályozás? Összefüggés a szimmetriákkal?

Konklúzió, tervek

A lokális politóp kis számú alteret definiál.Ez összefügg a probléma szimmetriáival.Az alterek segítenek az egyenlőtlenségeket osztályozni.Robusztus egyenlőtlenségek hatékonyabb keresése?Érzékenység analízis?Időben is (Leggett-Garg)?

Néhány hivatkozás, messze a teljesség igénye nélkül:

Wilms et al. PRL 78, 032116 (2008)

Werner & Wolf, PRA 64, 032112 (2001)

https://qig.itp.uni-hannover.de/qiproblems/All_the_Bell_Inequalities

Navascués et al., NJP 10 073013 (2008)

Clemente & Kofler, PRL 116, 150401 (2016)