komrik-03-persamaan linier-simultan-berbgai -variabel-lect-.pptx

8/20/2019 KomRik-03-Persamaan Linier-Simultan-berbgai -Variabel-Lect-.pptx

1/64

KOMPUTASI NUMERIKPersamaan Linier Simultan

Bagian 3 : Bab 7, , ! Bu"u #$a%ra &#anale, E'isi Ter(ema$an

For

Materi KuliahMahasiswa PSTB,

Fakultas Teknik UI


2/64

Persamaan Linier Simultan Persamaan linier simultan adalah suatu bentuk persamaan-

persamaan yang seara bersama-sama menya!ikan banyak"ariabel bebas

Bentuk persamaan linier simultan dengan m persamaan dan n "ariabel bebas

aij untuk i# $ s%d m dan !# $ s%d n adalah koe&sien atau

persamaan simultan


3/64

Persamaan Linier SimultanPenyelesaian persamaan linier simultan adalah

penentuan nilai x i untuk semua i# $ s%d n yangmemenuhi semua persamaan yang diberikan'

() # BMatrik A # Matrik Koe&sien% *aobian' +ektor ) # "ektor "ariabel "ektor B # "ektor konstanta'

=

nnmnmm

n

n

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

......

...

............

...

...

2

1

2

1

21

22221

11211


4/64

Persamaan Linier SimultanPersamaan inier Simultan

atau Sistem Persamaaninier mempunyaikemungkinan solusi Tidak mempunyai solusi

Tepat satu solusi

Banyak solusi


5/64

(ugmented Matri.

matrik yang merupakan perluasan matrik (dengan menambahkan "etor B pada kolomterakhirnya, dan dituliskan

Augmente' *A+ -A B.

mmnmmm

n

n

baaaa

baaaa

baaaa

...

..................

...

...

321

22232221

11131211


6/64

/ontoh $ Seorang pembuat boneka ingin membuat dua

maam boneka yaitu boneka ( dan boneka B'Kedua boneka tersebut dibuat dengan

menggunakan dua maam bahan yaitu potongankain dan kaning' Boneka ( membutuhkan $0potongan kain dan 1 kaning, sedangkan bonekaB membutuhkan 2 potongan kain dan 2 kaning'

Permasala$ann/a a'ala$ bera%a bua$

b0ne"a A 'an b0ne"a B /ang 'a%at 'ibuat'ari 1 %0t0ngan "ain 'an 21 "aning 4


7/64

/ontoh $

Permasalahan ini dapat dimodelkan dengan menyatakan x # !umlah boneka ( y # !umlah boneka B

Untuk setiap bahan dapat dinyatakan bahwaPotongan kain

$0 untuk boneka ( 3 2 untuk boneka B # 24Kaning

1 untuk boneka ( 3 2 untuk boneka B # 14

(tau dapat dituliskan dengan

10 x + 8 y = 826 x + 8 y = 62

Penyelesaian dari permasalahan di atas adalah penentuan nilai .dan y yang memenuhi kedua persamaan di atas'


8/64

/ontoh 4

Perhatikan potongan peta yang sudah diperbesar 5 zoom6 sebagai berikut

Perhatikan bahwa pada ke-7 titik tersebut dihubungkan dengan garis lurus,

sehingga tampak kasar'

Untuk menghaluskannya dilakukan pendekatan garis dengan kur"a yang

dibentuk dengan 8ungsi pendekatan polinomial'

9ari 8ungsi polinomial yang dihasilkan kur"a dapat digambarkan dengan

lebih halus'

$

4

:

7


9/64

/ontoh 4 7 titik yang ditun!uk adalah (2,3), (7,6), (8,14) dan (12,10). 7 titik ini

dapat didekati dengan 8ungsi polinom pangkat : yaitu

Bila nilai . dan y dari 7 titik dimasukkan ke dalam persamaan diatas akan diperoleh model persamaan simultan sebagaiberikut

Titik $ : # 2 a 3 7 b 3 4 3 d

Titik 4 1 # :7: a 3 7; b 3 < 3 d Titik : $7 # =$4 a 3 17 b 3 2 3 d

Titik 7 $0 # $


10/64

T$e0rema

Suatu persamaan linier simultanmempunyai penyelesaian tunggal bilamemenuhi syarat-syarat sebagai berikut'Ukuran persamaan linier simultan bu!ursangkar,

dimana !umlah persamaan sama dengan !umlah "ariable bebas'Persamaan linier simultan non-homogen

dimana minimal ada satu nilai "etor konstantaB tidak nol atau ada bn ≠ 0'

9eterminan dari matrik koe&sien persamaanlinier simultan tidak sama dengan nol'


11/64

Metode (nalitikmetode gra&s

aturan /rammer

in"ers matrik


12/64

Metode Komputasi

>umerik Metode ?liminasi @auss

Metode ?liminasi @auss-*ordan

Metode Iterasi @auss-Seidel


13/64

Metode ?liminasi @auss

5Bab


14/64

Metode ?liminasi @aussubah matrik men!adi matrik segitiga atas atau segitiga bawah

dengan menggunakan OBE 5O%erasi Baris Elementer6'

nnnnnn

n

n

n

baaaa

baaaa

baaaa

baaaa

...

..................

...

...

...

321

33333231

22232221

11131211

nnn

n

n

n

d c

d cc

d ccc

d cccc

...000

..................

...00

...0

...

3333

222322

11131211

( )

( )

( )nn

nn

nnnn

nn

n

nn

n

n

xc xc xcd c

x

xc xc xcd c

x

d xcc

x

c

d x

1132121

11

1

24243232

22

2

1,1

1,1

1

...31

...1

.....................................

1

−−−−=

−−−−=

+−=

=

−−

−−

−


15/64

Aperasi Baris ?lementerMetode dasar untuk menyelesaikan Sistem

Persamaan inier adalah mengganti sistem yangada dengan sistem yang baru yang mempunyaihimp solusi yang sama dan lebih mudah untukdiselesaikan

Sistem yang baru diperoleh dengan serangkaianstep yang menerapkan : tipe operasi' Aperasi inidisebut Aperasi Baris ?lementer

$' Multiply an euation through by an nonCeroonstant'

4' Interhange two euation' :' (dd a multiple o8 one euation to another'


16/64

Metode ?liminasi @aussSehingga penyelesaian dapat diperoleh

dengan

( )

( )

( )nn

nn

nnnn

nn

n

nn

n

n

xc xc xcd c

x

xc xc xcd c

x

d xcc

x

c

d x

1132121

11

1

24243232

22

2

1,1

1,1

1

...31

...1

.....................................

1

−−−−=

−−−−=

+−=

=

−−

−−

−


17/64

/ontoh Selesaikan sistem persamaan berikut

(ugmented matrik dari persamaan linier simultantersebut

1022

22

6

321

321

321

=++

=−+

=++

x x x

x x x

x x x

−

10212

2121

6111


18/64

/ontoh akukan operasi baris elementer

13

12

2 B B

B B

−−

−−−−2010

4210

6111

23 B B +

−−−−6200

4210

6111


19/64

/ontoh Penyelesaian

( )

( ) 13261

1

23)2(41

1

32

6

1

2

3

=−−=

=−−=

=−

−=

x

x

x


20/64

?helon Forms

This matri. whih ha"e 8ollowing properties is inredued row-ehelon 8orm 5?.ample $, 46'

$' I8 a row does not onsist entirely o8 Ceros, thenthe &rst nonCero number in the row is a $' De allthis a leader $'

4' I8 there are any rows that onsist entirely o8 Ceros,then they are grouped together at the bottom o8the matri.'

:' In any two suessi"e rows that do not onsistentirely o8 Ceros, the leader $ in the lower rowours 8arther to the right than the leader $ in thehigher row'

7' ?ah olumn that ontains a leader $ has Cerose"erywhere else'

( matri. that has the &rst three properties is said to-


21/64

?.ample $Eow-?helon Eedued Eow-?helon 8orm

redued row-ehelon8orm

row-ehelon 8orm

−

−00

00,

00000

00000

31000

10210

,

100

010

001

,

1100

7010

4001

−

−

10000

01100

06210

,

000

010

011

,

5100

2610

7341


22/64

?.ample 4More on Eow-?helon and Eedued Eow-?helon 8orm

(ll matries o8 the 8ollowing types are in r056e$el0n 0rm 5 any real numbers substituted 8orthe GHs' 6

(ll matries o8 the 8ollowing types are in re'ue'r056e$el0n 0rm 5 any real numbers substituted

8or the GHs' 6

*100000000

****100000

*****10000

******1000

********10

,

0000

0000**10

***1

,

0000

*100**10

***1

,

1000

*100**10

***1

*100000000

*0**100000

*0**010000

*0**001000

*0**000*10

,

0000

0000

**10

**01

,

0000

*100

*010

*001

,

1000

0100

0010

0001


23/64

/ontohSolusi dari Sistem Pers inier

Solution 5a6

(nggaplah ini adalah matrik dari Sistem Persamaan inieryang telah direduksi dengan bentuk row ehelon'

−4100

2010

5001

(a)

4

2-

5

===

z

y

x


24/64

?.ample :

Solutions o8 Four inear Systems 5b$6

Solution 5b6

lea'ing8ariables

ree8ariables

−

23100

62010

14001

(b)

2 3 6 2

1-4

43

42

41

=+=+

=+

x x x x

x x


25/64

?.ample :

Solutions o8 Four inear Systems 5b46

Free "ariabel kita misalkan dengant' Sehingga selan!utnya dapat kitatentukan leading "ariabelnya'

Sistem Persamaan inier

menghasilkan banyaksolusi

43

42

41

3-2

2-6

4-1-

x x

x x

x x

=

=

=

t x

t x

t x

t x

,32

,26

,41

4

3

2

1

=

−=

−=

−−=


26/64

?.ample : Solutions o8 Four inear Systems 5$6

Solution 56

$' Pada baris ke-7 semuanyanol sehingga persamaanini dapat diabaikan

−

000000

251000

130100

240061

(c)

2 5

1 3

2-4 6

54

53

521

=+=+=++

x x

x x

x x x


27/64

?.ample :

Solutions o8 Four inear Systems 546Solution 56

4' Selesaikan leading"ariabel dengan 8ree"ariabel

:' Free "ariabel kita misalkandengan t 5sembarang"alue6' Sehingga Sistem

Persamaan iniermenghasilkan banyaksolusi

54

53

521

5-2

3-1

4-6-2-

x x

x x

x x x

===

t x

t x

t x

s x

t s x

=

=

=

=

=

4

4

3

2

1

,5-2

3-1

,4-6-2-


28/64

?.ample :

Solutions o8 Four inear Systems 5d6

Solution 5d6

Persamaan terakhir pada Sistem Persamaan inier

Karena persamaan ini tidak konsisten, maka Sistem ini tidakmempunyai solusi

1000

0210

0001

(d)

1000 321 =++ x x x


29/64

?.ample :

Solutions o8 Four inear Systems 5d6

Solution 5d6

the last euation in the orresponding system o8 euation is

Sine this euation annot be satis&ed, there is n0 s0luti0n to the system'

1000

0210

0001

(d)

1000 321 =++ x x x


30/64

?limination Methods

5$%


31/64

?limination Methods 54%


32/64

5:%


33/64



34/64

5=%rst *an' 0nl/+ r05 int$e ne5 submetri) 5asmulti%lie' b/ 1 t0 intr0'uea lea'ing ;

Letm0st n0n9er0 0lumnin t$e ne5 submatri)

The entire matri. is now in r056e$el0n 0rm'

−−

−

210000

60100

1463521

2

7

−−

−

10000

60100

1463521

2

1

2

7

−−

−

10000

60100

1463521

2

1

2

7


35/64



36/64

?limination Methods 5


37/64

Alg0ritma Met0'e Eliminasi @auss

Met0'e Eliminasi @auss


38/64

Met0'e Eliminasi @auss 0r'an *Bab +

Metode ini merupakan pengembangan metodeeliminasi @auss, hanya sa!a augmented matrik,pada sebelah kiri diubah men!adi matrik diagonal

Penyelesaian dari persamaan linier simultan diatas adalahnilai d$,d4,d:,J,dn dan atau

nnnnnn

n

n

n

baaaa

baaaa

baaaa

baaaa

...

..................

...

...

...

321

33333231

22232221

11131211

nd

d d

d

1...000

..................

0...1000...010

0...001

3

2

1

nn d xd xd xd x ==== ,....,,, 332211


39/64

/ontoh

Selesaikanpersamaan liniersimultan

(ugmented matrikdari persamaanlinier simultan

akukan operasibaris elementer

Penyelesaian persamaan linier simultan x 1 = 2 dan

x 2 = 1

8423

21

21

=+=+ x x

x x

842

311

−

−

110

201

110

3112/2

220

311

2

21

12

B B

B

b B


40/64

/ontoh

B4-4B$

B4-4B$

B:-:B$

B:-:B$

0 563

7172

9 2

=−+

−=−

=++

z y x

z y

z y x

0563

1342

92

=−+

=−+

=++

z y x

z y x

z y x

−−

0563

13429211

−

−−

0563

17720

9211


41/64

?.ample :

Using ?lementary row Aperations54%7

B4

B4 B:-:B4

B:-:B4

0 113

9 2

2

17

2

7

=− −=−

=++

z y z y

z y x

27113 177 2

9 2

−=−−=−

=++

z y z y

z y x

−−−−271130

17720

9211

−−

−−

271130

10

9211

217

27


42/64

?.ample :

Using ?lementary row Aperations5:%7-4 B:

-4 B:

B$- B4

B$- B4

3

9 2

217

27

=

−=−=++

z

z y

z y x

2

3

2

1

2

17

2

7

9 2

−=−

−=−=++

z

z y

z y x

−−−−

2

3

2

1

2

17

2

7

00

10

9211

−−

3100

10

9211

217

27


43/64

?.ample :

Using ?lementary row Aperations57%7

Solusi . # $, y#4 dan C#:

B4 3


44/64

Alg0ritma Met0'e Eliminasi @auss60r'an


45/64

BBbbbbb


46/64

Met0'e Iterasi @auss6

Sei'el Metode interasi @auss-Seidel adalah metode yangmenggunakan proses iterasi hingga diperoleh nilai-nilaiyang berubah'

Bila diketahui persamaan linier simultan

nnnnnnn

nn

nn

nn

b xa xa xa xa

b xa xa xa xa

b xa xa xa xa

b xa xa xa xa

=++++

=++++=++++=++++

................................................

...

...

...

332211

33333232131

22323222121

11313212111


47/64

Met0'e Iterasi @auss6

Sei'el Berikan nilai awal dari setiap .i 5i#$ s%d n6

kemudian persamaan linier simultan diatas

dituliskan men!adi ( )

( )

( )112211

23231212

2

2

13132121

11

1

....1

...............................................................

....1

....1

2

−−−−−−=

−−−−=

−−−−=

nnnnnn

nn

n

nn

nn

xa xa xaba

x

xa xa xaba

x

xa xa xaba

x

M t ' It i


48/64

Met0'e Iterasi@auss6Sei'el

9engan menghitung nilai-nilai x i 5i#$ s%d n6menggunakan persamaan-persamaan di atas searaterus-menerus hingga nilai untuk setiap xi 5i#$ s%d n6sudah sama dengan nilai .i pada iterasi sebelumnyamaka diperoleh penyelesaian dari persamaan liniersimultan tersebut'

(tau dengan kata lain proses iterasi dihentikan bila selisihnilai x i 5i#$ s%d n6 dengan nilai x i pada iterasi sebelumnya

kurang dari nilai tolerasi error yang ditentukan'

Untuk mengeek kekon"ergenan


49/64

/atatanLati-hati dalam menyusun sistem persamaanlinier ketika menggunakan metode iterasi @auss-Seidel ini'

Perhatikan setiap koe&sien dari masing-masing .i pada semua persamaan di diagonal utama 5aii6'

etakkan nilai-nilai terbesar dari koe&sien untuksetiap .i pada diagonal utama'

Masalah ini adalah masala$ %i80tingH yangharus benar-benar diperhatikan, karena penyusunyang salah akan menyebabkan iterasi men!adidi"ergen dan tidak diperoleh hasil yang benar'


50/64

/ t h


51/64

/ontoh Berikan nilai awal .$ # 0 dan .4 # 0

Susun persamaan men!adi

5=,$6

57,:%46

5


52/64

/ontoh

5$:%7 , $=%26

54=%2 , :$%$16

57;%$1 , 1:%:4 6

5;


53/64

/ontoh

Selesaikan sistem persamaan berikut

(ugmented matrik dari persamaan linier simultantersebut

1022

22

6

321

321

321

=++

=−+

=++

x x x

x x x

x x x

−10212

2121

6111


54/64

Lasil 9i"ergen


55/64

Lasil Kon"ergen 622

1022

321

321

321

=++

=−+=++

x x x

x x x

x x x


56/64

Alg0ritma Met0'e Iterasi @auss6Sei'el


57/64

Soal Selesaikan dg ?liminasi @auss-*ordan .$ 3 .4 3 4.: # 2

-.$ N 4.$ 3 :.: # $

:.$ N


58/64

#0nt0$ Pen/elesaian Permasala$an

Persamaan Linier SimultanMr') membuat 4 maam boneka ( dan B' Boneka ( memerlukan

bahan $0 blok B$ dan 4 blok B4, sedangkan boneka B memerlukanbahan = blok B$ dan 1 blok B4' Berapa !umlah boneka yang dapatdihasilkan bila tersedia 20 blok bahan B$ dan :1 blok bahan B4'

M0'el Sistem Persamaan Linier : ariabel /ang 'iari a'ala$ (umla$ b0ne"a, angga%:

x1 adalah !umlah boneka ( x2 adalah !umlah boneka B

Per$ati"an 'ari %ema"aian ba$an :B$ $0 bahan untuk boneka ( 3 = bahan untuk boneka B # 20

B4 4 bahan untuk boneka ( 3 1 bahan untuk boneka B # :1

9iperoleh model sistem persamaan linier10 x1 + 5 x2 = 802 x1 + 6 x2 = 36


59/64

/ontoh $ metode eliminasi @auss-*ordan

9iperoleh .$ # 1 dan .4 # 7, artinya bahan yang tersediadapat dibuat 1 boneka ( dan 7 boneka B'


60/64

/ontoh 4 Peng$alusan Kur8a Cengan

Dungsi Pen'e"atan P0lin0mialPerhatikan bahwa pada ke-7 titik tersebut dihubungkan

dengan garis lurus, sehingga tampak kasar' Untukmenghaluskannya dilakukan pendekatan garis dengan kur"ayang dibentuk dengan 8ungsi pendekatan polinomial' 9ari

8ungsi polinomial yang dihasilkan kur"a dapat digambarkandengan lebih halus'

$

4

:

7


61/64

/ontoh 4 Misalkan pada ontoh diatas, 7 titik yang ditun!uk

adalah 54,:6, 5


62/64

9engan menggunakan Metode ?liminasi @auss-*ordan

a = -0,303b = 6,39c = -36,59d = 53,04

y = -0,303 x3 +6,39 x2 – 36,59 x +53,04

6;33333333

2;3!

632;=222227

=3;F

Tugas-Tugas ----Persamaan inier SimultanOMulti


63/64

ugas ugas e sa aa e S u a u"ariabel

Tugas boleh diker!akan seara indi"idu 5Tanpa kelompok6 atauhasil ker!asama kelompok' >amun setiap mahasiswa harustetap menger!akan % tulisan tangan sendiri'

Tugas harus ditulis tangan atau ketikan komputer, Pembuatankur"a gra&k%tabel maupun program boleh menggunakankomputer, diprint dan diprint'

Berpegang pada Buku auan kuliah

Buku $ Ste"en /, /hapra dan Eaymond P'/anale,Metode

>umerik untuk Teknik, Penerbit UI Press, !akarta, $;;$'

(tau

Buku 4 Ste"en /, /hapra dan Eaymond P'/anale,>umerial

Methods 8or ?ngineers, Si.th edition,M@rawLill, >ew

Qork, 40$4 5Pd8 Format6

Ker!akan Soal Bab o'


64/64

komrik-03-persamaan linier-simultan-berbgai -variabel-lect-.pptx

Documents