Komplexe Zahlen

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Schlerprojekt 2002 Inhalt: * Einfhrung Komplexe Zahlen * Exponentialfunktion und DeMoiver Formeln * Penningfallen * Rollkurven * Fraktale

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<ul><li> 1. Titel KOMPLEXE ZAHLEN und ihre Anwendung Autor HEINRICH HARTMANN Lehrer Klaus Gornik Schule Willigis Gymnasium Mainz Jahr Januar - August 2002 Besondere Lernleistung in den Fachern: Mathematik, Physik, Informatik </li></ul><p> 2. Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort 4 2 Grundbegrie und Einfuhrung in die Thematik 5 2.1 Die Erndung der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 d dt Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.3 Was sind komplexe Zahlen ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.3.1 Vektorraumstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3.2 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3.3 Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3.4 C und R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3.5 i und Summenschreibweise . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.4 Darstellungsformen und die Gausche Ebene . . . . . . . . . 11 2.4.1 z, |z|, z &gt; w... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.4.2 Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.5 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.5.1 Die Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.5.2 Die Subtraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.5.3 Die Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.5.4 Die Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3 Hohere Rechenarten 16 3.1 Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.1.1 Moivresche Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.1.2 Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.1.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2 Riemannsche Flachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.3 Die Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.3.1 Die Eulerformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.3.2 Herleitung aus den Potenzreihen . . . . . . . . . . . . 21 3.3.3 Beziehung zu den Kreisfunktionen . . . . . . . . . . . 22 3.3.4 Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3.5 Sonderfalle und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3.6 Ganzheitliche Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3. INHALTSVERZEICHNIS 3 3.4 (e)x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.5 Hyperbolische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.6 Der Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.7 Dierentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4 Anwendungen in der Physik 31 4.1 Die harmonische Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.1.1 Dampfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.2 Wechselstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.2.1 Zeigerdiagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.2.2 Addition gleichfrequenter Schwingungen . . . . . . . . 37 4.2.3 Addition ungleichfrequenter Schwingungen . . . . . . 37 4.2.4 Wechselstromwiderstande . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.2.5 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5 Penningfallen 41 5.1 Potentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.2 Die Dierentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.3 Losung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 6 Rollkurven 47 6.1 Zykloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6.2 Epizykel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 6.3 Epizykloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 6.4 Hypozykloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 6.5 Hartmannkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 6.5.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 6.5.2 Herleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 6.5.3 Sonderfalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 6.5.4 Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 7 Fraktale 58 7.1 Mandelbrotmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 7.1.1 Hauptkorperbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . 60 7.2 Juliamengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 7.3 Verallgemeinerte Mandel- und Juliamengen . . . . . . . . . . 62 A Ausblick 63 B Quelltexte 64 4. Kapitel 1 Vorwort Jeder hat davon wohl schon irgendwann einmal gehort. Teilweise schon in der Grundschule bei der Einfuhrung der negativen Zahlen wurde auf ihre Existenz hingewiesen. Sie verschwanden jedoch in aller Regel ganz schnell wieder in der Schublade und tauchten spater auch nur als Randbemerkungen ab und zu wieder auf: die komplexen Zahlen. Viele abenteuerliche Vorstellungen uber diesen Gral der Mathematik geistern in so manchem Schulerkopf herum. Eben diese waren es auch, die mich bewogen haben dem Ratsel auf den Grund zu gehen und mich mit diesem geheimnisvollen i naher zu beschaftigen. In der nun folgenden Arbeit wird zunachst einmal der Umgang mit den komplexen Zahlen erklart bzw. eine strukturmathematische Einfuhrung ge- liefert. Im nachsten Teil werden dann aus dem Reellen bekannte Funktionen im Komplexen naher erlautert. Der vierte Teil befasst sich mit dem Anwen- dungsgebiet Physik, wo unter anderem die Teilchenbewegungen in Penning- fallen beschrieben werden wird. Darauf folgt ein Kapitel uber Rollkurven, in dem ich auch eine eigene, fraktale Rollkurve vorstelle. Das leitet uber in den nachsten Teil, in dem ich Chaostheorie am Beispiel von Mandel und Juliamengen anschneiden werde. Dort liegt auch der Teil der Arbeit, der in die Informationstechnik hineinragt. Das beigefugte Programm ist in der Lage, viele Fraktale graphisch umzusetzen. Vorausgesetzt werden grundsatzlich Kenntnisse der Mathematik der gym- nasialen Oberstufe. Insbesondere die Begriichkeiten: Gruppe, Korper, Vek- torraum, exp, ln, sin, sinh, c a=b, d dt werden intensiv gebraucht werden. Daruber- hinaus wird grundlegendes Verstandnis vektoranalytischer Operatoren zum Verstandnis des Kapitels uber Penningfallen von Noten sein. 5. Kapitel 2 Grundbegrie und Einfuhrung in die Thematik 2.1 Die Erndung der komplexen Zahlen Es ist nicht ganz, einfach ein Erndungsdatum fur die komplexen Zahlen anzugeben. Bis aus unvollstandigen Anmerkungen eine vollstandige Theorie entstanden war, dauerte es mehrere Jahrhunderte. Die grundliegende Pro- blematik, die schlielich zur Einfuhrung und allgemeinen Akzeptanz dieser quantitas sophistica gefuhrt hat, liegt sicherlich bei den Polynomen. Man kann Gleichungen wie z.B. x2 + 1 = 0 (2.1) im reellen Zahlenraum nicht losen. Diese Tatsache wurde von einigen Mathe- matikern als Unvollkommenheit gedeutet und sie versuchten dieses Problem in den Gri zu bekommen. Es fanden sich auch noch einige weitere Indizien, die darauf hindeuteten, dass da auer den reellen Zahlen noch etwas sein muss. So entdeckte zum Beispiel Leibniz um 1674 die Beziehung: 1 + 3 + 1 3 = 6 1 (2.2) Des Weiteren kam man bei allgemeinen Losungsversuchen fur die kubischen Gleichungen an Ausdrucken vorbei, die diese negativen Wurzeln beinhal- teten. Wahrend die einen die Rechnungen als absurd abtaten, nahmen einige dieses Phanomen ernst und bemuhten sich Licht ins Dunkle zu brin- gen. Der erste, dem eine umfangreiche mathematische Fundierung der kom- plexen Zahlen gelang, war der Schweizer Mathematiker Leonard Euler. Bei seinen Arbeiten fand er erstaunliche Satze (Eulerformeln), die bisher ver- schieden betrachtete Teilgebiete der Mathematik auf elegante Weise ver- banden. Aber dazu spater mehr. 1 Beispiel entnommen aus [10] S.48 6. 6 Grundbegrie und Einfuhrung in die Thematik 2.2 d dt Zahlen In fruheren Jahrhunderten erlag der Zahlbegri einem stetem Wandel, man verallgemeinerte ihn, um den gestiegenen Anforderungen gerecht zu wer- den. Von den naturlichen Zahlen kann man sich noch eine sehr anschauliche Vorstellung machen. Wenn man von einem Ding eine gewisse Menge zur Verfugung hat, kann man diese Menge (i.d.R) durch eine naturliche Zahl beschreiben. Alle Weiterentwicklungen des Zahlbegris haben eine Gemein- samkeit, sie bringen immer Neuerungen mit, die zunachst unintuitiv und unnaturlich wirken. Dies hat zur Folge, dass sie von Zeitgenossen nur mit viel Skepsis angenommen werden. So auch bei der 0, sie kann man beispiels- weise so oft zu einer naturlichen Zahl addieren wie man will, das Ergebnis verandert sich nicht. Die negativen Zahlen waren mit die erste Erweiterung, die sich durchsetzte. Sie wurde von Kaueuten entwickelt, die in irgendei- ner Form mit Schulden umgehen wollten. Die ganzen Zahlen waren geboren. Bruche fand man auch irgendwann sehr praktisch, mit ihnen befasste sich z.B. Pythagoras. Und als man schlielich von Architekten vor das Problem der Umkreis- oder Diagonalenberechnung gestellt wurde, musste man auch diesen Zahlbegri erweitern. Die Erweiterung zu den komplexen Zahlen ist nun eine neue Erganzung, die den Zahlen zur algebraischen Abgeschlossen- heit 2 verhilft. Man trennt sich mit dieser Einfuhrung nun endgultig von der Zahl als Zahlbegri und geht zu einer abstrakten Denition uber, die das Handwerkszeug fur unsere Anwendungen liefert. Es wurde fur die Mathe- matik wichtig mit negativen Wurzeln umzugehen, weshalb man sich das entsprechende Handwerkszeug aufgebaut hat. Es hat sich jedoch im Lau- fe der Zeit gezeigt, dass dieser neue Zahlbegri wesentlich leistungsfahiger sein wurde als erwartet. Im Folgenden wird nun Schritt fur Schritt dieses Handwerkszeug erstellt werden. 2.3 Was sind komplexe Zahlen ? Ziel des folgenden Kapitels wird es sein, einen Calculus aufzubauen, der nur ein paar wenige Bedingungen erfullen muss, namlich uns das Rechnen mit negativen Wurzeln zu ermoglichen. Der Rest dieser BLL wird sich im Prinzip darum drehen, die Feinheiten, dieses Systems auszuleuchten, die Konsequenzen aufzuzeigen, die eine solche Einfuhrung mit sich bringt, und ihre Anwendungen und Vorteile darzustellen. Hamilton war einer der ersten Menschen, die erkannten, dass sich ein solcher Calculus nicht sinnvoll in einem eindimensionalen System von linear ange- ordneten Elementen aufbauen lasst. Eine Moglichkeit ist es, einen zweidi- mensionalen Vektorraum als Basis zu verwenden, was unmittelbar zur Folge 2 Ein Korper heit algebraisch abgeschlossen, wenn in ihm jedes Polynom nten Gerades in n Linearfaktoren zerfallt. 7. 2.3 Was sind komplexe Zahlen ? 7 hat, dass wir nun mit geordneten Zahlenpaaren rechnen werden. Diesen Vek- torraum wollen wir von nun an C nennen. In ihm werden nun Operationen deniert und zwar nach folgenden Regeln: C soll ein kommutativer Korper sein. 3 Die reellen Operationen sollen aus der komplexen Denition der Ope- rationen hervorgehen. Daher C ist Oberkorper von R. i2 = 1 2.3.1 Vektorraumstruktur Wir haben schon festgestellt, dass C ein Vektorraum einen soll. Wir brauchen also eine abelsche Gruppe G deren Elemente wir komplexe Zahlen nennen werden und wir brauchen einen kommutativen Skalarenkorper S. Wie auch in der Schule bei verwenden wir R x R (mit einer Addition die spater de- niert wird) als abelsche Gruppe und R als Skalarenkorper. Fur die skalare Multiplikation soll nun gelten: u (a|b) = (u a|u b) u R = S (a|b) R2 = G (2.3) 2.3.2 Addition Die Addition wird schlichtweg aus der reellen Vektorgeometrie ubernommen und mit (a|b) + (u|v) = (a + u|b + v) (2.4) deniert. Das neutrale Element der Addition ist der 0-Vektor (0|0). Das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz gilt. Beweis durch Zuhilfenah- me der Rechengesetze im reellen Zahlenraum: (a|b) + (0|0) = (a + 0|b + 0) = (a|b) (2.5) (a|b) + (u|v) = (a + u|b + v) = (u + a|v + b) = (u|v) + (a|b) (2.6) (a|b) + ((u|v) + (x|y)) = (a|b) + (u + x|v + y) = (a + u + x|a + v + y) = (a + u|b + v) + (x|y) = ((a|b) + (u|v)) + (x|y) (2.7) Das inverse Element der Addition erhalt man durch (a|b) + (u|v) = (0|0) (u|v) = (a| b) = (a|b) (2.8) 3 d.h. C besteht aus einer Menge und 2 Operationen (+, ), die jedem geordneten Paar von Elementen (a, b) ein c = a b oder c = a + b, c C zuordnen. Diese Operationen mussen so gewahlt sein, dass das Assoziativgesetz fur die Multiplikation und die Addition erfullt ist, es ein (je verschiedenes) neutrales Element fur Multiplikation und Addition gibt, jeweils ein inverses Element existiert (bei der Multiplikation ist die 0 ausgenommen) und das Distibutivgesetzt gilt. Vgl. [15] S.19 8. 8 Grundbegrie und Einfuhrung in die Thematik 2.3.3 Multiplikation In der reellen Vektorgeometrie existieren schon 2 Multiplikationen, die wir in der Oberstufe kennengelernt haben: das Skalarprodukt und das Vektor- produkt. Diese beiden Operationen sind jedoch fur unsere Anwendung un- zulanglich: Das Skalarprodukt ist eine Abbildung aus dem Raum in den Skalarenkorper des Vektorraums (V S). Das Vektorprodukt ist hingegen nur im R3 deniert und scheidet schon daher aus. Wir mussen also eine vollig neue Multiplikation von C nach C bzw. von R2 nach R2 ernden. Die Denition der komplexen Multiplikation ist wie folgt: (a|b) (u|v) = (au bv|av + bu) (2.9) Dies scheint zunachst etwas willkurlich, jedoch lasst sich leicht zeigen, dass die geforderten Bedingungen von dieser Multiplikation erfullt werden. Das Einselement des Korpers ist der Vektor (1|0). Das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz gelten und die geforderte Distributivitat ist auch erfullt. Beweis: (a|b)(1|0) = (a1 b0|a0 + b1) = (a|b) (2.10) (a|b)(u|v) = (au bv|av + bu) = (ua vb|va + ub) = (u|v)(a|b) (2.11) (a|b)((u|v)(x|y)) = (a|b)(ux vy|uy + vx) = (a(ux vy) b(uy + vx)|a(uy + vx) + b(ux vy)) = (aux avy buy bvx|auy + avx + bux bvy) = (x(au bv) y(av + bu)|x(av + bu) + y(au bv)) = (au bv|av + bu)(x|y) = ((a|b)(u|v))(x|y) (2.12) (a|b)((u|v) + (x|y)) = (a|b)(u + x|v + y) = (a(u + x) b(v + y)|a(v + y) + b(u + x)) = (au + ax bv by|av + ay + bu + bx) = (au bv + ax by|av + bu + ay + bx) = (au bv|av + bu) + (ax by|ay + bx) = ((a|b)(u|v)) + ((a|b)(x|y)) (2.13) Das inverse Element ergibt sich zu (a|b)1 = ( a a2 + b2 | b a2 + b2 ) (2.14) denn: (a|b)( a a2 + b2 | b a2 + b2 ) 9. 2.3 Was sind komplexe Zahlen ? 9 = ( a2 a2 + b2 b2 a2 + b2 | ab a2 + b2 + ab a2 + b2 ) = (1|0) (2.15) Es gibt auer dieser noch andere Moglichkeiten, eine Multiplikation 4 zu ernden, die die geforderten Eigenschaften besitzt. Trotz des sonderbaren Formalismus wird sich spater zeigen, dass eine solche Denition der Multi- plikation auerst zweckmassig ist. 2.3.4 C und R Gesucht ist eine Abbildung (A) von R nach C, die folgende Bedingungen erfullen muss: A(a + b) = A(a) + A(b) a, b R (2.16) A(a b) = A(a) A(b) (2.17) c A(a) = A(c a) c R = S (2.18) Aus 2.16 und 2.18 folgt, dass die Abbildung linear sein muss. Man kann sie also in der Form A : k (kx|ky) x, y R schreiben. Setzen wir mit dieser Bedingung 2.16 an, so erhalt man: A(a b) = A(a) A(b) (2.19) (xab|yab) = (x2 ab y2 ab|2xyab) (2.20) xab = x2 ab y2 ab 2xyab = yab (2.21) y = 0 (x = x2 y2 2x = 1) (2.22) (y = 0 x = 1) ( 1 2 = 1 4 y2...</p>