kombinatorikus problémák sokszögek háromszögekre osztásaival kapcsolatban
DESCRIPTION
Kombinatorikus problémák sokszögek háromszögekre osztásaival kapcsolatban. Hajnal Péter Szeged, SZTE, Bolyai Intézet. Nem metsző átlókkal való telítés. Vegyünk egy konvex sokszöget ( n =csúcsszám) n=7 - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Kombinatorikus problémák sokszögek háromszögekre osztásaival kapcsolatban
Hajnal Péter
Szeged, SZTE, Bolyai Intézet
Nem metsző átlókkal való telítés
Vegyünk egy konvex sokszöget ( n =csúcsszám)
n=7
Húzzunk be egymást nem metsző átlókat, amíg lehetséges.
Nem metsző átlókkal való telítés
Vegyünk egy konvex sokszöget ( n =csúcsszám)
n=7
Húzzunk be egymást nem metsző átlókat, amíg lehetséges.
Nem metsző átlókkal való telítés
Vegyünk egy konvex sokszöget
Húzzunk be egymást nem metsző átlókat, amíg lehetséges.
Nem metsző átlókkal való telítés
Vegyünk egy konvex sokszöget
Húzzunk be egymást nem metsző átlókat, amíg lehetséges.
Nem metsző átlókkal való telítés
Vegyünk egy konvex sokszöget
Húzzunk be egymást nem metsző átlókat, amíg lehetséges.
Nem metsző átlókkal való telítés
Vegyünk egy konvex sokszöget
Húzzunk be egymást nem metsző átlókat, amíg lehetséges.
Nem metsző átlókkal való telítés
Telített sokszög
Észrevétel: Bárhogy végezzük a telítést, ugyanannyi átlót használunk és ugyanannyi háromszöghöz jutunk.
Nem metsző átlókkal való telítés
Telített sokszög
Észrevétel: Bárhogy végezzük a telítést, ugyanannyi átlót használunk és ugyanannyi HÁROMSZÖG-höz jutunk.
Nem metsző átlókkal való telítés
Bizonyítás:
Jobb oldal: n-szög egy csúcsból induló átlói→ n-3 átló, n-2 háromszög→(n-2)π szögösszeg.
Bal oldal (tetszőleges telítés): ugyanekkora szögösszeg→ugyanennyi háromszög→ugyanennyi átló.
Háromszög fokok
Egy csúcs háromszög foka az ott találkozó háromszögek száma:
Háromszög fokok
Egy csúcs háromszög foka az ott találkozó háromszögek száma:
3 2 1 5
1 2
3 1 2 1
1 4 2 2
Háromszög fokok
FELADAT: Lehetnek-e a háromszög fokok az alábbiak?
2 3
1
4 1
1 3
Háromszög fokok
FELADAT: Lehetnek-e a háromszög fokok az alábbiak?
IGEN 2 3
1
4 1
1 3
Háromszög fokok
FELADAT: Lehetnek-e a háromszög fokok az alábbiak?
2 3
1
3 1
1 3
Háromszög fokok
FELADAT: Lehetnek-e a háromszög fokok az alábbiak?
NEM 2 3
1
3 1
1 3
A számok összege 14
3·háromszögek száma=15.
Háromszög fokok
FELADAT: Lehetnek-e a háromszög fokok az alábbiak?
2 3
2
1 4
1 2
Háromszög fokok
FELADAT: Lehetnek-e a háromszög fokok az alábbiak?
NEM 2 3
2
1 4
1 2
Van két szomszédos 1-es.
Háromszög fokok
FELADAT: Lehetnek-e a háromszög fokok az alábbiak?
2 3
2
2 2
2 2
Háromszög fokok
FELADAT: Lehetnek-e a háromszög fokok az alábbiak?
NEM 2 3
2
2 2
2 2
Nincs 1-es a fokok között.
És most valami teljesen más (?)
Számtáblázat definiálása: Kiinduló két sor: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …
1…a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 … Elemi négyzet szabálya:
a a a b c a d esetén bc=ad+1 azaz szorzat 1-gyel nagyobb mint a
És most valami teljesen más (?)
Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 1 2 3 4 5 6 7 …
a
És most valami teljesen más (?)
Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 1 2 3 4 5 6 7 …
… 1
És most valami teljesen más (?)
Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 1 2 3 4 5 6 7 …
… 1 5
És most valami teljesen más (?)
Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 1 2 3 4 5 6 7 …
… 1 5 11
És most valami teljesen más (?)
Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 1 2 3 4 5 6 7 …
… 1 5 11 19
És most valami teljesen más (?)
Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 1 2 3 4 5 6 7 …
… 1 5 11 19 29
És most valami teljesen más (?)
Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 1 2 3 4 5 6 7 …
… 1 5 11 19 29 41
És most valami teljesen más (?)
Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 1 2 3 4 5 6 7 …
… 1 5 11 19 29 41 … 1 … 2
És most valami teljesen más (?)
Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 1 2 3 4 5 6 7 …
… 1 5 11 19 29 41 … 1 … 2 18
És most valami teljesen más (?)
Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 1 2 3 4 5 6 7 …
… 1 5 11 19 29 41 … 1 … 2 18 52
És most valami teljesen más (?)
Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 1 2 3 4 5 6 7 …
… 1 5 11 19 29 41 … 1 … 2 18 52 110
És most valami teljesen más (?)
Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 1 2 3 4 5 6 7 …
… 1 5 11 19 29 41 … 1 … 2 18 52 110 … 1 301
És most valami teljesen más (?)
Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 1 2 3 4 5 6 7 …
… 1 5 11 19 29 41 … 1 … 2 18 52 110 … 1 301
SEJTÉS: Ha a kezdősor csupa 1-est tartalmaz, a második sor csupa egész számot tartalmaz, akkor nem lépünk ki az egész számok köréből.
És most valami teljesen más (?)
Újabb példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 …
a
És most valami teljesen más (?)
Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 5
a
És most valami teljesen más (?)
Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 5 1
a
És most valami teljesen más (?)
Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 5 1 3
a
És most valami teljesen más (?)
Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 5 1 3 3
a
És most valami teljesen más (?)
Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 5 1 3 3 2
a
És most valami teljesen más (?)
Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 5 1 3 3 2 2
a
És most valami teljesen más (?)
Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 5 1 3 3 2 2 2
a
És most valami teljesen más (?)
Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 5 1 3 3 2 2 2 5
a
És most valami teljesen más (?)
Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 … 5 1 3 3 2 2 2 5 1 …
a
És most valami teljesen más (?)
Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 … 5 1 3 3 2 2 2 5 1 … 1 … 2
És most valami teljesen más (?)
Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 … 5 1 3 3 2 2 2 5 1 … 1 … 2 2
a
És most valami teljesen más (?)
Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 … 5 1 3 3 2 2 2 5 1 … 1 … 2 2 2
a
És most valami teljesen más (?)
Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 … 5 1 3 3 2 2 2 5 1 … 1 … 2 2 2 5
a
És most valami teljesen más (?)
Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 … 5 1 3 3 2 2 2 5 1 … 1 … 2 2 2 5 1
a
És most valami teljesen más (?)
Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 … 5 1 3 3 2 2 2 5 1 … 1 … 2 2 2 5 1 3
a
És most valami teljesen más (?)
Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 … 5 1 3 3 2 2 2 5 1 … 1 … 2 2 2 5 1 3 3
a
És most valami teljesen más (?)
Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 … 5 1 3 3 2 2 2 5 1 … 1 … 2 2 2 5 1 3 3 2 …
a
És most valami teljesen más (?)
Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 … 5 1 3 3 2 2 2 5 1 … 1 … 2 2 2 5 1 3 3 2 … 1 … 3 1 3 2 1 4 1 …
És most valami teljesen más (?)
Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 … 5 1 3 3 2 2 2 5 1 … 1 … 2 2 2 5 1 3 3 2 … 1 … 3 1 3 2 1 4 1 … 1 … 1 1 1 1 1 1 …
És most valami teljesen más (?)
Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 … 5 1 3 3 2 2 2 5 1 … 1 … 2 2 2 5 1 3 3 2 … 1 … 3 1 3 2 1 4 1 … n=7 1 … 1 1 1 1 1 1 …
Definíció: Fríz számsor (Conway-Coxeter) Első sor csupa 1-es, második sor n darab pozitív egész periodikusan ismételve,
(n-1)-edik sor csupa 1-es.
Fríz
Újra konvex sokszögek
Körbe írt sokszög A B 1
1 F C 1 1 E D
Nem egészekből álló fríz: A B C D E F 1 1 1 1 1
√3 √3 √3 √3 2 2 2 √3 √3 1
Ptolemaiosz tétele
Legyen A, B, C és D négy pont egy körön
A
D B Ekkor
AC·DB=
AD·BC+AB·CD
C
Ptolemaiosz tétele (speciális eset)
Legyen A, B, C és D négy pont egy körön
A
AB=CD=1
B
Ekkor
AC·DB=
AD·BC+1
D C
Ptolemaiosz tétele (speciális eset)
Legyen A, B, C és D négy pont egy körön A AB=CD=1
B Ekkor A B … C D BC
AC BD D C AD teljesíti az elemi négyzet szabályát.
Cikk-cakk frízek
Újabb példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1 1
1
1
1
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …
Cikk-cakk frízek
Újabb példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1 1 2
1
1
1
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …
Cikk-cakk frízek
Újabb példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1 1 2
1
1
1
1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …
Cikk-cakk frízek
Újabb példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1 1 2
1
1
1 3
1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …
Cikk-cakk frízek
Újabb példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1 1 2
1
1 4
1 3
1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …
Cikk-cakk frízek
Újabb példa: … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1 1 2
1 9
1 4
1 3
1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …
Cikk-cakk frízek
Újabb példa: … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1 1 2 5
1 9
1 4
1 3
1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …
Cikk-cakk frízek
Újabb példa: … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1 1 2 5 1
1 9 4
1 4 7
1 3 3
1 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …
Cikk-cakk frízek
Újabb példa: … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1 1 2 5 1
1 9 4 1
1 4 7 3
1 3 3 5
1 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …
Cikk-cakk frízek
Újabb példa: … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1 1 2 5 1
1 9 4 1
1 4 7 3 1
1 3 3 5 2
1 2 2 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …
Cikk-cakk frízek
Újabb példa: … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1 1 2 5 1
1 9 4 1
1 4 7 3 1
1 3 3 5 2 1
1 2 2 2 3 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …
Cikk-cakk frízek
Újabb példa: … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1 1 2 5 1 2 2 2 3 1
1 9 4 1 3 3 5 2 1
1 4 7 3 1 4 7 3 1
1 3 3 5 2 1 9 4 1
1 2 2 2 3 1 2 5 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …
Újból háromszög fokok
FELADAT: Lehetnek-e a háromszög fokok az alábbiak?
1 2
3 5
2 1
2 2
Újból háromszög fokok
FELADAT: Lehetnek-e a háromszög fokok az alábbiak?
IGEN 1 2
3 5
2 1
2 2
Újból frízek
3 2
1 1
4 4
1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …
3 2 1 4 2 1 4 1 3 2 …
Fríz lesz-e?
Újból frízek
Fríz lesz-e?
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …
3 2 1 4 2 1 4 1 3 2 …
Újból frízek
Fríz lesz-e?
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …
3 2 1 4 2 1 4 1 3 2 …
IGEN
Újból frízek
Fríz lesz-e?
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …
3 2 1 4 2 1 4 1 3 2 …
2 5 1 3 7 1 3 3 2 5 1 …
3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 …
7 1 3 3 2 5 1 3 7 1 3 …
2 1 4 1 3 2 1 4 2 1 …
1 1 1 1 1 1 1 1 1 …
Újból frízek
A B C D E F G H A B
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …
3 2 1 4 2 1 4 1 3 2 …
2 5 1 3 7 1 3 3 2 5 1 …
3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 …
7 1 3 3 2 5 1 3 7 1 3 …
2 1 4 1 3 2 1 4 2 1 …
1 1 1 1 1 1 1 1 1 …
Újból frízek
A B C D E F G H A B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 3 2 1 4 2 1 4 1 3 2 … 2 5 1 3 7 1 3 3 2 5 1 … 3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 … 7 1 3 3 2 5 1 3 7 1 3 … 2 1 4 1 3 2 1 4 2 1 … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …BD
Újból frízek
A B C D E F G H A B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 3 2 1 4 2 1 4 1 3 2 … 2 5 1 3 7 1 3 3 2 5 1 … 3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 … 7 1 3 3 2 5 1 3 7 1 3 … 2 1 4 1 3 2 1 4 2 1 … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …BD, EG
Újból frízek
A B C D E F G H A B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 3 2 1 4 2 1 4 1 3 2 … 2 5 1 3 7 1 3 3 2 5 1 … 3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 … 7 1 3 3 2 5 1 3 7 1 3 … 2 1 4 1 3 2 1 4 2 1 … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …BD, EG, AG
Újból frízek
A B C D E F G H A B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 3 2 1 4 2 1 4 1 3 2 … 2 5 1 3 7 1 3 3 2 5 1 … 3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 … 7 1 3 3 2 5 1 3 7 1 3 … 2 1 4 1 3 2 1 4 2 1 … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …BD, EG, AG, AD
Újból frízek
A B C D E F G H A B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 3 2 1 4 2 1 4 1 3 2 … 2 5 1 3 7 1 3 3 2 5 1 … 3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 … 7 1 3 3 2 5 1 3 7 1 3 … 2 1 4 1 3 2 1 4 2 1 … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …BD, EG, AG, AD, DG
Újból frízek
A B C D E F G H A B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 3 2 1 4 2 1 4 1 3 2 … 2 5 1 3 7 1 3 3 2 5 1 … 3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 … 7 1 3 3 2 5 1 3 7 1 3 … 2 1 4 1 3 2 1 4 2 1 … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …BD, EG, AG, AD, DG
Újból frízek
A B C D E F G H A B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 3 2 1 4 2 1 4 1 3 2 … 2 5 1 3 7 1 3 3 2 5 1 … 3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 … 7 1 3 3 2 5 1 3 7 1 3 … 2 1 4 1 3 2 1 4 2 1 … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …BD, EG, AG, AD, DG, szomszédos betűk
Frízek és átlók
B A H C G D E F BD, EG, AG, AD, DG, szomszédos betűk
Frízek és átlók
B A H C G D E F BD, EG, AG, AD, DG
Frízek és átlók
B A H C G D E F BD, EG, AG, AD
Frízek és átlók
B A H C G D E F BD, EG, AG
Frízek és átlók
B A H C G D E F BD, EG
Frízek és átlók
B A H C G D E F BD
Frízek és átlók
B A H C G D E F BD
Frízek és átlók
2 3 1 1 4 4 2 1 BD
Elemi négyzet szabály
c
b C
a B
A
Elemi négyzet szabály
c
b C
a B
A
b·C=c·B+1, a·B=b·A+1
Elemi négyzet szabály
c
b C
a B
A
b·C=c·B+1, a·B=b·A+1
b·C-a·B=c·B-b·A
Elemi négyzet szabály
c
b C
a B
A
b·C=c·B+1, a·B=b·A+1
b·C-a·B=c·B-b·A
b·C+b·A=c·B+a·B
Elemi négyzet szabály
c
b C
a B
A
b·C=c·B+1, a·B=b·A+1
b·C-a·B=c·B-b·A
b·C+b·A=c·B+a·B, b·(A+C)=(a+c)·B
Elemi négyzet szabály
c
b C
a B
A
b·C=c·B+1, a·B=b·A+1
b·C-a·B=c·B-b·A
b·C+b·A=c·B+a·B, b·(A+C)=(a+c)·B
(A+C):B=(a+c):b
Elemi négyzet szabály
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …
3 2 1 4 2 1 4 1 3 2 …
2 5 1 3 7 1 3 3 2 5 1 …
3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 …
7 1 3 3 2 5 1 3 7 1 3 …
2 1 4 1 3 2 1 4 2 1 …
1 1 1 1 1 1 1 1 1 …
Elemi négyzet szabály
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …
3 2 1 4 2 1 4 1 3 2 …
2 5 1 3 7 1 3 3 2 5 1 …
3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 …
7 1 3 3 2 5 1 3 7 1 3 …
2 1 4 1 3 2 1 4 2 1 …
1 1 1 1 1 1 1 1 1 …
Elemi négyzet szabály
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 …
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …
3 2 1 4 2 1 4 1 3 2 …
2 5 1 3 7 1 3 3 2 5 1 …
3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 …
7 1 3 3 2 5 1 3 7 1 3 …
2 1 4 1 3 2 1 4 2 1 …
1 1 1 1 1 1 1 1 1 …
Frízek és párosítások
(n-2) háromszög, n csúcs
B A H C G D E F
Frízek és párosítások
(n-2) háromszög, (n-2) csúcs
B A H D E F
Frízek és párosítások
(n-2) háromszög, (n-2) csúcs PÁROSÍTSUNK B A H D E F
Frízek és párosítások
(n-2) háromszög, (n-2) csúcs PÁROSÍTSUNK B A H D E F
Frízek és párosítások
(n-2) háromszög, (n-2) csúcs PÁROSÍTSUNK B A H D E F
Frízek és párosítások
(n-2) háromszög, (n-2) csúcs
PÁROSÍTSUNK . B
A
H
D
E . F
3 LEHETŐSÉG
Frízek és párosítások
A B C D E F G H A B
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …
3 2 1 4 2 1 4 1 3 2 …
2 5 1 3 7 1 3 3 2 5 1 …
3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 …
7 1 3 3 2 5 1 3 7 1 3 …
2 1 4 1 3 2 1 4 2 1 …
1 1 1 1 1 1 1 1 1 …
Frízek és párosítások
(n-2) háromszög, (n-2) csúcs PÁROSÍTSUNK H C G D E F
Frízek és párosítások
(n-2) háromszög, (n-2) csúcs PÁROSÍTSUNK H C G D E F
Frízek és párosítások
(n-2) háromszög, (n-2) csúcs PÁROSÍTSUNK H C G D E F
Frízek és párosítások
(n-2) háromszög, (n-2) csúcs
PÁROSÍTSUNK
H C
G D
E
F
1 LEHETŐSÉG