kombinatorial & peluang diskrit : kombinasi

KOMBINATORIAL & PELUANG DISKRIT :KOMBINATORIAL & PELUANG DISKRIT : KOMBINASI KOMBINASI

KOMBINATORIAL & PELUANG DISKRIT :KOMBINATORIAL & PELUANG DISKRIT : KOMBINASI KOMBINASI

MATEMATIKA DISKRITMATEMATIKA DISKRIT

Matematika Diskrit 2

IlustrasiMisal ada 2 buah kelereng yang berbeda warna : merah (m) dan hijau (h). Kemudian dimasukkan ke dalam 3 buah kaleng, masing-masing kaleng 1 buah kelereng.

Kelereng

m hKaleng

1 2 3

Kaleng 1 Kaleng 2 Kaleng 3

sama

sama

sama

3 cara


Ilustrasi (Cont.)Jumlah cara memasukkan kelereng ke dalam kaleng

3

2

23

!2

!1

!3

!2

2,3

2

2,3

PP


Definisi • Kombinasi r elemen dari n elemen adalah :

jumlah pemilihan yang tidak terurut r elemen yang diambil dari n buah elemen

• Kombinasi merupakan bentuk khusus dari permutasi• Perbedaan permutasi dengan kombinasi :

Permutasi : urutan kemunculan diperhitungkan Kombinasi : urutan kemunculan diabaikan

• Jumlah pemilihan yang tidak terurut dari r elemen yang diambil dari n elemen disebut dengan kombinasi-r :

!!

!),(

rnr

nC

r

nCrnC n

r

• C(n,r) dibaca “n diambil r” r objek diambil dari n buah objek


Interpretasi Kombinasi 1. Persoalan kombinasi sama dengan menghitung

banyaknya himpunan bagian yang terdiri dari r elemen yang dapat dibentuk dari himpunan dengan n elemen. Dua atau lebih elemen-elemen yang sama dianggap sebagai himpunan yang sama meskipun urutan elemen-elemennya berbedaContoh :Misal A = {1,2,3}Jumlah himpunan bagian dengan 2 elemen yang dibentuk dari himpunan A :

{1,2} = {2,1}{1,3} = {3,1}3 buah{2,3} = {3,2}

3!1!2

23

!23!2

!3

2

3)2,3( 3

2

CCC


Interpretasi Kombinasi (Cont.)

2. Persoalan kombinasi dapat dipandang sebagai cara memilih r buah elemen dari n buah elemen yang ada, tetapi urutan elemen di dalam susunan hasil pemilihan tidak pentingContoh :Misal sebuah kelompok memiliki 20 orang anggota, kemudian dipilih 5 orang sebagai panitia, dimana panitia merupakan kelompok yang tidak terurut (artinya setiap anggota di dalam panitia kedudukannya sama).Sehingga banyaknya cara memilih anggota panitia yang terdiri dari 5 anggota panitia yang terdiri dari 5 orang anggota adalah :

caraCCC 15504!520!5

!20

5

20)5,20( 20

5


Contoh 1

• Ada berapa cara dapat memilih 3 dari 4 elemen himpunan A = {a,b,c,d} ?


Solusi

• Merupakan persoalan kombinasi karena urutan kemunculan ketiga elemen tersebut tidak penting

{a,b,c} , {a,b,d} , {a,c,d} dan {b,c,d}Sehingga :

caraCCC 4!34!3

!4

3

4)3,4( 4

3


Contoh 2

• Berapa cara menyusun menu nasi goreng 3 kali seminggu untuk sarapan pagi ?


Solusi • Diketahui:

Nasi goreng = r = 3 kali Hari dalam 1 minggu = n = 7 hariMaka :

caraCCC 35!37!3

!7

3

7)3,7( 7

3


Contoh 3

• Sebuah karakter dalam sistem ASCII berukuran 1 byte atau 8 bit (1 atau 0)

a) Berapa banyak pola bit yang terbentuk ?b) Berapa banyak pola bit yang mempunyai 3 bit 1 ?c) Berapa banyak pola bit yang mempunyai bit 1

sejumlah genap ?


Solusi • 1 byte = 8 bit (posisi 0 .. 7)• 1 bit terdiri dari “1” atau “0”• Maka :

a) Posisi bit dalam 1 byte : 7 6 5 4 3 2 1 0

Posisi 0 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)Posisi 1 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)

::

Posisi 7 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)Semua posisi harus diisi sehingga jumlah pola bit yang terbentuk :

(2)(2)(2)(2) (2)(2)(2)(2) = 28

b) Banyaknya pola bit yang mempunyai 3 bit 1 :

caraCCC 56!38!3

!8

3

8)3,8( 8

3


c) Banyaknya pola bit yang mempunyai 0 buah bit 1 = C(8,0)Banyaknya pola bit yang mempunyai 2 buah bit 1 = C(8,2)Banyaknya pola bit yang mempunyai 4 buah bit 1 = C(8,4)Banyaknya pola bit yang mempunyai 6 buah bit 1 = C(8,6)Banyaknya pola bit yang mempunyai 8 buah bit 1 = C(8,8)

Sehingga banyaknya pola bit yang mempunyai bit 1 sejumlah genap :

C(8,0) + C(8,2) + C(8,4) + C(8,6) + C(8,8) = 1 + 28 + 70 + 28 + 1 = 128


Contoh 4

• Sebuah klub beranggotakan 7 pria dan 5 wanita. Berapa banyak cara memilih panitia yang terdiri dari 4 orang dengan jumlah pria lebih banyak daripada jumlah wanita ?


Solusi

• Pria = 7 orang• Wanita = 5 orang• Panitia = 4 orang, jumlah pria lebih banyak

daripada jumlah wanita• Maka :

– Panitia terdiri dari 4 orang pria dan 0 orang wanita C(7,4) x C(5,0) = 35 x 1 = 35

– Panitia terdiri dari 3 orang pria dan 1 orang wanita C(7,3) x C(5,1) = 35 x 5 = 175

• Sehingga jumlah cara pembentukan panitia seluruhnya :

C(7,4) x C(5,0) + C(7,3) x C(5,1) = 35 + 175 = 210 cara


Contoh 5

• Sebuah rumah penginapan ada 3 buah kamar A, B dan C. Tiap kamar dapat menampung 3 atau 4 orang. Berapa jumlah cara pengisian kamar untuk 10 orang ?


Solusi • Diketahui :

– Kamar = r = 3 buah (A, B dan C)– Penghuni = n = 10 orang

• Misalkan :i. Masing-masing kamar dihuni 4, 3 dan 3 orang.

Jumlah cara : C(10,4)xC(6,3)xC(3,3) = C(10,4)xC(6,3)ii. Masing-masing kamar dihuni 3, 4 dan 3 orang.

Jumlah cara : C(10,3)xC(7,4)xC(3,3) = C(10,3)xC(7,4)iii. Masing-masing kamar dihuni 3, 3 dan 4 orang.

Jumlah cara : C(10,3)xC(7,3)xC(4,4) = C(10,3)xC(7,3)• Sehingga total jumlah cara pengisian kamar :

C(10,4)xC(6,3) + C(10,3)xC(7,4) + C(10,3)xC(7,3) = 210 x 20 + 120 x 35 + 120 x 35 = 12600

atau C(10,4)xC(6,3) + C(10,3)xC(7,4) + C(10,3)xC(7,3) = 3 C(10,4) x C(6,3) = 3 x 210 x 20 = 12600


Permutasi dan Kombinasi Bentuk Umum

• Misal n buah bola tidak seluruhnya berbeda warna (ada beberapa bola yang warnanya sama)

n1 bola diantaranya berwarna 1

n2 bola diantaranya berwarna 2 …

nk bola diantaranya berwarna k

Sehingga n1 + n2 + … + nk = n. Bola-bola tersebut dimasukkan ke dalam n buah kotak, masing-masing kotak berisi paling banyak 1 buah bola. Berapa banyak jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalam kotak-kotak tersebut ?


• Jika n buah bola dianggap berbeda semua, maka jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalam n buah kotak adalah : P(n,n) = n !

• Karena tidak seluruh bola berbeda maka pengaturan n buah bola :

n1! cara memasukkan bola berwarna 1

n2! cara memasukkan bola berwarna 2 …

nk! cara memasukkan bola berwarna k• Sehingga permutasi n buah bola dikenal

dengan permutasi bentuk umum :

!!...!

!

!!...!

,),...,,;(

212121

kkk nnn

n

nnn

nnPnnnnP


• Mula-mula menempatkan bola-bola berwarna 1 ke dalam n buah kotak ada C(n,n) cara n1 buah bola berwarna 1

• Bola berkurang n1 sehingga sisa n - n1 kotak

ada C(n-n1, n2) cara buah bola berwarna 2• Bola berkurang (n1 + n2 )sehingga sisa n - n1- n2 kotak

ada C(n-n1- n2, n3) cara buah bola berwarna 3• Dan seterusnya sampai bola berwarna k ditempatkan

dalam kotak• Sehingga jumlah cara pengaturan seluruh bola ke

dalam kotak dikenal dengan kombinasi bentuk umum adalah :

!!...!

!

!...!

!...

!!

!

!!

!

,......,,),...,,;(

21

121

121

212

1

11

12121121

k

kkk

k

kkk

nnn

n

nnnnnn

nnnn

nnnn

nn

nnn

n

nnnnnCnnnCnnCnnnnC


• Jika S adalah himpunan ganda dengan n buah objek yang di dalamnya terdiri dari k jenis objek berbeda dan tiap objek memiliki multiplisitas n1, n2, … ,nk (jumlah objek seluruhnya n1 + n2 + … + nk = n) maka jumlah cara menyusun seluruh objek adalah :

!!...!

!),...,,;(),...,,;(

212121

kkk nnn

nnnnnCnnnnP


Contoh 6

• Berapa banyak string yang dapat dibentuk dengan menggunakan huruf-huruf dari kata MISSISSIPPI ?


Solusi

• S = {M,I,S,S,I,S,S,I,P,P,I}Huruf M = 1 buahHuruf I = 4 buahHuruf S = 4 buahHuruf P = 2 buah

Sehingga n = 1 + 4 + 4 + 2 = 11 buah jumlah elemen himpunan S

• Ada 2 cara :i. Permutasi :

Jumlah string = P(n; n1,n2,n3,n4) = P(11; 1,4,4,2) = 34650 buah

ii. Kombinasi :Jumlah string = C(11,1) C(10,4) C(6,4) C(2,2) =

34650 buah


Contoh 7

• Ada 12 lembar karton akan diwarnai sehingga ada 3 diantaranya berwarna merah, 2 berwarna jingga, 2 berwarna ungu dan sisanya berwarna coklat. Berapa jumlah cara pewarnaan ?


Solusi

• Diketahui :n1 = 3

n2 = 2

n3 = 2

n4 = 5 • Jumlah cara pewarnaan :

n = 12

cara

PPnnnnnP 166320

!5!2!2!3

!12

!5!2!2!3

12,12)5,2,2,3;12(),,,;( 4321


Kombinasi Pengulangan

• Misalkan terdapat r buah bola yang semua warnanya sama dan n buah kotak Jika masing-masing kotak hanya boleh diisi 1 buah bola

maka jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah :

C(n,r) Jika masing-masing kotak boleh lebih dari 1 buah bola, maka

jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah :C(n+r-1, r)

• C(n+r-1, r) adalah membolehkan adanya pengulangan elemen n buah objek akan diambil r buah objek dengan pengulangan diperbolehkan


Contoh 8

• Ada 20 buah apel dan 15 buah jeruk dibagikan kepada 5 orang anak, tiap anak boleh mendapat lebih dari 1 buah apel atau jeruk, atau tidak sama sekali. Berapa jumlah cara pembagian yang dapat dilakukan ?


Solusi • Diketahui :

n = 5 orang anakr1 = 20 buah apelr1 = 15 buah jeruk

• 20 buah apel dibagikan kepada 5 orang anak C(n+r-1,r) = C(5+20-1,20) = C(24,20)

• 15 buah jeruk dibagikan kepada 5 orang anak C(n+r-1,r) = C(5+15-1,15) = C(19,15)

• Jika setiap anak boleh mendapat apel dan jeruk maka jumlah cara pembagian kedua buah tersebut adalah :

C(24,20) C(19,15) = 23 x 22 x 21 x 19 x 17 x 4 x 3

= 41.186.376 cara


Contoh 9

• Toko roti “Lezat” menjual 8 macam roti. Berapa jumlah cara mengambil 1 lusin roti ? (1 lusin = 12 buah)


Solusi

• Diketahui :n = 8 macam rotir = 1 lusin = 12 buah roti

• Misalkan macam-macam roti dianalogikan sebagai kotak. Setiap kotak mungkin berisi lebih dari 1 buah roti.

• Sehingga jumlah cara memilih 1 lusin roti (sama dengan jumlah cara memasukkan 1 lusin roti ke dalam 8 macam roti) yaitu :

C(n+r-1,r) = C(8+12-1,12) = C(19,12)


Contoh 10

• Ada 3 buah dadu dilempar secara bersama-sama. Berapa banyaknya hasil berbeda yang mungkin terjadi ?


Solusi

• Diketahui :n = 6 6 buah mata dadur = 3 3 dadu dilemparkan

bersamaan• Sehingga banyaknya hasil berbeda yang

mungkin terjadi adalah :C(n+r-1,r) = C(6+3-1,3)

= C(8,3) = 56 cara


Latihan 1. Ada 6 orang mahasiswa jurusan Teknik Informatika dan 8

orang mahasiswa jurusan Teknik Elektro. Berapa banyak cara membentuk panitia yang terdiri dari 4 orang jika :

a. Tidak ada batasan jurusanb.Semua anggota panitia harus dari jurusan Teknik

Informatikac. Semua anggota panitia harus dari jurusan Teknik

Elektrod.Semua anggota panita harus dari jurusan yang samae. 2 orang mahasiswa per jurusan harus mewakili

2. Berapa banyak cara membagikan 7 buah kartu remi yang diambil dari tumpukan kartu ke masing-masing dari 4 orang ? (tumpukan kartu = 52 buah)

3. Di ruang baca Teknik Informatika terdapat 4 buah jenis buku yaitu buku Basis Data, buku Matematika Diskrit dan buku Pemograman dengan Visual Basic. Ruang baca memiliki paling sedikit 6 buah buku untuk masing-masing jenis. Berapa banyak cara memilih 6 buah buku ?


Latihan (cont.)

4. Carilah jumlah himpunan bagian dari A = {a,b,c,d,e} bila diletakkan ke himpunan B dengan 2 elemen ?

5. Di dalam sebuah kelas terdapat 100 mahasiswa, 40 orang diantaranya pria.a. Berapa banyak cara dapat dibentuk sebuah panitia

10 orang ? b. Ulangi pertanyaan (a) jika banyaknya pria harus

sama dengan banyaknya wanitac. Ulangi pertanyaan (a) jika panitia harus terdiri dari

6 pria dan 4 wanita atau 4 pria dan 6 wanita6. Berapakah jumlah himpunan bagian dari

himpunan B = {1, 2, …, 10} yang mempunyai anggota paling sedikit 6?


Latihan (Cont.)5. Sebuah klub mobil antik branggotakan 6 orang pria

dan 5 orang wanita. Mereka akan membentuk panitia yang terdiri dari 5 orang. Berapa banyak jumlah panitia yang dapat dibentuk jika panitianya terdiri dari paling sedikit 1 pria dan 1 wqanita ?

7. Sebuah kelompok terdiri dari 7 orang waita dan 4 orang pria. Berapa banyak perwakilan 4 orang yang dapat dibentuk dari kelompok itu jika paling sedikit harus ada 2 orang wanita di dalamnya ?

9. Tersedia 6 huruf : a, b, c, d, e dan f. berapa jumlah pengurutan 4 huruf jika :

a. Tidak ada huruf pengulanganb. Boleh ada huruf pengulanganc. Tidak boleh ada huruf yang diulang tetapi huruf d

harus adad. Boleh ada huruf yang berulang, huruf d harus ada


Latihan (Cont.)

10. Berapa banyak string yang dapat dibentuk dari huruf-huruf kata “WEAKNESS” sedemikian sehingga 2 buah huruf “S” tidak terletak berdampingan ?

kombinatorial & peluang diskrit : kombinasi

Documents