• Kombinatorial adalah cabang matematika yang

berguna untuk menghitung jumlah penyusunan

objek-objek tanpa harus mengenumerasi semua

kemungkinan susunannya.

• Contoh : Sebuah password panjangnya 6 sampai 8

karakter. Karakter boleh berupa huruf atau angka.

Berapa banyak kemungkinan password yang dapat

dibuat?

- Abcdef - aaaade - a123fs - erhtgahn

- Yutresik - … - …..

• Misalkan,

Percobaan 1 : p hasil

Percobaan 2 : q hasil

maka, hasil Percobaan 1 atau percobaan 2:maka, hasil Percobaan 1 atau percobaan 2:

p + q hasil

• Seorang mahasiswa Politeknik Telkom ingin

membeli sebuah motor.

• Ia dihadapkan untuk memilih pada satu jenis

dari tiga merk motor, Honda 3 pilihan, Suzuki dari tiga merk motor, Honda 3 pilihan, Suzuki

2 pilihan, dan Yamaha 2 pilihan.

• Dengan demikian, mahasiswa tersebut

mempunyai mempunyai pilihan sebanyak

• 3 + 2 + 2 = 7 pilihan.

Misalkan,

Percobaan 1: p hasil

Percobaan 2: q hasil

maka,maka,

Percobaan 1 dan percobaan 2:

p ×××× q hasil

• Dosen dengan kode HNP, mengajar mahasiswa kelas

PCA-09-01, PCA-09-02, dan PCA-09-03.

• Misalkan, jumlah mahasiswa PCA-09-01 adalah 25

orang, jumlah mahasiswa PCA-09-02 adalah 27

orang, dan jumlah mahasiswa PCA-09-03 adalah 20 orang, dan jumlah mahasiswa PCA-09-03 adalah 20

orang.

• Jika HNP ingin memilih 3 mahasiswa dimana setiap

kelas dipilih masing-masing 1 orang. Banyaknya

susunan yang dapat dipilih oleh HNP?

• Penyelesaian:25 x 27 x 20 = 13.500 cara dalam

memilih susunan tiga murid tersebut.

• Misalkan ada n percobaan, masing-masing

denga pi hasil

1. Kaidah perkalian (rule of product)

p ×××× p ×××× … ×××× p hasilp1 ×××× p2 ×××× … ×××× pn hasil

2. Kaidah penjumlahan (rule of sum)

p1 + p2 + … + pn hasil

• Berapa banyak string biner yang dapat

dibentuk jika:

a. panjang string 5 bit

b. panjang string 8 bit (= 1 byte)b. panjang string 8 bit (= 1 byte)

Penyelesaian:

a. 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 25 = 32 buah

b. 28 = 256 buah

• Berapa banyak bilangan ganjil antara 1000 dan 9999 (termasuk 1000 dan 9999 itu sendiri) yang semuaangkanya berbeda

• Penyelesaian:

a. posisi satuan : 5 kemungkinan angka (1, 3, 5, 7 dan 9)a. posisi satuan : 5 kemungkinan angka (1, 3, 5, 7 dan 9)

b. posisi ribuan : 8 kemungkinan angka

c. posisi ratusan : 8 kemungkinan angka

d. posisi puluhan : 7 kemungkinan angka

Banyak bilangan ganjil seluruhnya

= (5)(8)(8)(7) = 2240 buah.

• Berapa banyak bilangan ganjil antara 1000 dan 9999 (termasuk 1000 dan 9999 itusendiri) yang boleh ada angka yang berulang.

Penyelesaian: a. posisi satuan : 5 kemungkinan angka (1, 3, 5, 7 dan 9);a. posisi satuan : 5 kemungkinan angka (1, 3, 5, 7 dan 9);

b. posisi ribuan : 9 kemungkinan angka (1 sampai 9)

c. posisi ratusan : 10 kemungkinan angka (0 sampai 9)

d. posisi puluhan : 10 kemungkinan angka (0 sampai 9)

Banyak bilangan ganjil seluruhnya = (5)(9)(10)(10) = 4500

• Ketika dua proses dikerjakan dalam waktu

yang sama, kita tidak bisa menggunakan

prinsip penjumlahan untuk menghitung

jumlah cara untuk memilih salah satu dari duajumlah cara untuk memilih salah satu dari dua

proses tersebut.

• Untuk menghitung proses tersebut, kita harus

mengenal prinsip inklusi-eksklusi.

Setiap byte disusun oleh 8-bit. Berapa banyak

jumlah byte yang dimulai dengan ‘11’ atau

berakhir dengan ‘11’?

Penyelesaian:

MisalkanMisalkan

A = himpunan byte yang dimulai dengan ‘11’,

B = himpunan byte yang diakhiri dengan ‘11’

A ∩ B = himpunan byte yang berawal dan

berakhir dengan ‘11’

A ∪ B = himpunan byte yang berawal dengan ‘11’ atau

berakhir dengan ‘11’

• |A| = (1)(1)(2)(2)(2)(2)(2)(2) = 26 = 64

• |B| = (2)(2)(2)(2)(2)(2) (1)(1) = 26 = 64,

• |A ∩ B| = (1)(1)(2)(2)(2)(2)(1)(1) = 24 = 16.

makamaka

A ∪ B = A + B – A ∩ B= 26 + 26 – 16

= 64 + 64 – 16

= 112.

1. Sebuah restoran menyediakan 10 jenis makanan

dan 8 jenis minuman. Jika setiap orang boleh

memesan 1 makanan dan 1 minuman, berapa

banyak makanan dan minuman yang dapat dipesan!

2. Jabatan presiden mahasiswa dapat diduduki oleh

mahasiswa politeknik angkatan 2007 atau 2008. Jika

jumlah mahasiswa politeknik telkom angkatan 2007

dan 2008 masing masing 400 dan 1100 mahasiswa,

berapa cara memilih presiden mahasiswa!

3. Sekelompok mahasiswa yang menyukai

Batagor Riri terdiri dari 12 pria dan 7 wanita.

Berapa jumlah cara memilih satu orang pria

dan satu orang wanita yang menyukai Batagordan satu orang wanita yang menyukai Batagor

tersebut?

4. Sekelompok mahasiswa yang menyukai

Batagor Riri terdiri dari 12 pria dan 7 wanita.

Berapa jumlah cara memilih satu orang yang

menyukai Batagor tersebut?

5. Pelat nomor memuat 2 huruf (boleh

sama)diikuti 3 angka dengan digit pertama

tidak sama dengan 0(boleh ada angka yang

sama). Ada berapa pelat nomor berbeda?sama). Ada berapa pelat nomor berbeda?

6. Pelat nomor memuat 2 huruf berbeda diikuti

3 angka berbeda. Ada berapa pelat nomor

berbeda?

7. Terdapat 4 jalur bus antara A dan B dan 3 jalur

bus dari B ke C. Tentukan banyaknya cara agar

seseorang dapat bepergian dengan bus dari A

ke C melewati B?ke C melewati B?

8. Terdapat 4 jalur bus antara A dan B dan 3 jalur

bus dari B ke C. Tentukan banyaknya cara agar

seseorang dapat pulang pergi dengan bus dari

A ke C melewati B

9. Terdapat 4 jalur bus antara A dan B dan 3 jalur

bus dari B ke C. Tentukan banyaknya cara agar

seseorang dapat pulang pergi dengan bus dari

A ke C melewati B dan tidak ingin melewatiA ke C melewati B dan tidak ingin melewati

satu jalur lebih dari sekali?

10. Perpustakan Politeknik Telkom memiliki 6

buah buku Sistem Informasi, 10 buku

Algoritma dan Pemrograman, serta 15 buku

Sistem Komputer. Berapa jumlah caraSistem Komputer. Berapa jumlah cara

memilih:

a. 3 buah buku, masing-masing dari jenis yang

berbeda

b. Sebuah buku

11. Dari angka 3, 5, 6, 7, dan 9 dibuat bilangan yang

terdiri atas tiga angka yang berbeda. Tentukan

banyaknya bilangan yang kurang dari 400!

12. Dari angka-angka 1, 2, 3, 4 dibentuk bilangan yang

terdiri atas 4 angka yang berlainan. Tentukan

banyaknya bilangan yang lebih dari 2000!

• Permutasi adalah jumlah urutan berbeda dari

pengaturan objek-objek.

• Permutasi merupakan susunan yang mungkin dibuat

dengan memperhatikan urutan.

• Simbol : P(n, r)

• P(n, r))!(

!

rn

n

−=

• Misalkan S = {p, q, r}. Berapa cara yang

mungkin dalam penyusunan 2 huruf pada S

sehingga tidak ada urutan yang sama ?

• Penyelesaian:• Penyelesaian:

• Berapa banyak “kata” yang terbentuk dari kata“HAPUS”?

• Penyelesaian:

P(5, 5) = 5! = 120 buah kata

• Berapa banyak cara mengurutkan nama 25 orang• Berapa banyak cara mengurutkan nama 25 orangmahasiswa?

• Penyelesaian:

P(25, 25) = 25! = 15.511.210.043.330.985.984.000.000

• Diketahui enam buah bola yang berbeda warnanya

dan 3 buah kotak.

• Masing-masing kotak hanya boleh diisi 1 buah bola.

• Berapa jumlah urutan berbeda yang mungkin dibuat• Berapa jumlah urutan berbeda yang mungkin dibuat

dari penempatan bola ke dalam kotak-kotak

tersebut?m b p h k j

BOLA

KOTAK

1 2 3

Cara 1:a. kotak 1 dapat diisi oleh salah satu dari 6 bola (ada 6

pilihan);

b. kotak 2 dapat diisi oleh salah satu dari 5 bola (ada 5 pilihan);pilihan);

c. kotak 3 dapat diisi oleh salah satu dari 4 bola (ada 4 pilihan).

• Jumlah urutan berbeda dari penempatan bola = (6)(5)(4) = 120

Cara 2:

P(6,3)=6!/(6-3)!=6!/3!=120

Berapakah jumlah kemungkinan membentuk 3 angka

dari 5 angka berikut: 1, 2, 3, 4 , 5, jika:

(a) tidak boleh ada pengulangan angka, dan

(b) boleh ada pengulangan angka.

Penyelesaian:Penyelesaian:

(a) Dengan kaidah perkalian: (5)(4)(3) = 60 buah

Dengan rumus permutasi P(5, 3) = 5!/(5 – 3)! = 60

(b) Tidak dapat diselesaikan dengan rumus permutasi.

Dengan kiadah perkalian: (5)(5)(5) = 53 = 125.

• Diketahui Kode buku di sebuah perpustakaan

panjangnya 7 karakter, terdiri dari 4 huruf

berbeda dan diikuti dengan 3 angka yang

berbeda pula.berbeda pula.

• Tentukan banyak kode yang dapat dibuat!

• Penyelesaian:

P(26, 4) × P(10,3) = 258.336.000

• Banyaknya permutasi dari n objek dari n1 yang

sama, n2 yang sama,……, nr yang sama adalah

!n

!!...!

!

21 rnnn

n

Tentukan banyaknya kata yang dapat dibentuk

dari kata “DISKRIT”

Penyelesaian:

n = 7n = 7

n1 = 2 (huruf I yang sama, jumlahnya = 2)

Banyaknya kata yang dapat dibentuk dari kata

“DISKRIT” = n!/n1! = 7!/2! = 2520 Kata

Tentukan banyaknya kata yang dapat dibentuk dari

kata “MATEMATIKA”

Penyelesaian:

n = 10n = 10

n1 = 2 (huruf M)

n2 = 3 (huruf A)

n3 = 2 (huruf T)

Banyaknya kata yang dapat dibentuk dari kata

“MATEMATIKA” = 10!/2!3!2! = 151.200 kata

1. Berapa banyak bilangan berdigit 3 yang bisadibentuk dari 6 angka 2,3,4,5,7,9 danpengulangan tidak diperbolehkan?

2. Sebuah bioskop mempunyai jajaran kursi2. Sebuah bioskop mempunyai jajaran kursiyang disusun perbaris. Tiap baris terdiri dari6 kursi. Jika dua orang akan duduk, berapabanyak pengaturan tempat duduk yang mungkin pada suatu baris?

3. Tentukan banyaknya sandi yang dapat

dibentuk dari 5 huruf yang berbeda dan diikuti

pula dengan 2 angka yang berbeda pula!

4. Sebuah mobil mempunyai 4 tempat duduk. 4. Sebuah mobil mempunyai 4 tempat duduk.

Berapa banyak cara 3 orang didudukkan jika

diandaikan satu orang harus duduk di kursi

sopir?

• Bentuk khusus dari permutasi adalah

kombinasi.

• Jika pada permutasi urutan kemunculan

diperhitungkan, maka pada kombinasi, urutandiperhitungkan, maka pada kombinasi, urutan

kemunculan diabaikan.

• Simbol : C (n,r)

• C (n,r)!

!( )!

n

r n r=

−

• Di antara 10 orang mahasiswa Teknik Komputer Angkatan2009, berapa banyak cara membentuk sebuah perwakilanberanggotakan 5 orang sedemikian sehingga:

1. Mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya;

2. Mahasiswa bernama A tidak termasuk di dalamnya;

3. Mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya, tetapi3. Mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya, tetapiB tidak;

4. Mahasiswa bernama B selalu termasuk di dalamnya, tetapiA tidak;

5. Mahasiswa bernama A dan B termasuk di dalamnya;

6. Setidaknya salah satu dari mahasiswa yang bernama Aatau B termasuk di dalamnya.

1. Banyak cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakan 5 orang sedemikian sehingga A selalu termasuk di dalamnya adalah:

C(9, 4) = 126

2. Banyak cara untuk membentuk perwakilan yang 2. Banyak cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakan 5 orang sedemikian sehingga A tidaktermasuk di dalamnya adalah:

C(9, 5) = 126

3. Banyak cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakan 5 orang sedemikian sehingga A termasuk di dalamnya, tetapi B tidak adalah:

C(8, 4) = 70

4. Banyak cara untuk membentuk perwakilanyang beranggotakan 5 orang sedemikiansehingga B termasuk di dalamnya, tetapi Atidak adalah:

C(8, 4) = 70

5. Banyak cara untuk membentuk perwakilanyang beranggotakan 5 orang sedemikiansehingga A dan B selalu termasuk didalamnya adalah:

C(8, 3) = 56

6. Jumlah cara membentuk perwakilan sedemikiansehingga setidaknya salah satu dari A atau Btermasuk di dalamnya adalah:

Jumlah cara membentuk perwakilan sehingga A termasuk didalamnya, B tidak

++

jumlah cara membentuk perwakilan sehingga B termasuk didalamnya, A tidak

+

jumlah cara membentuk perwakilan sehingga A dan Btermasuk di dalamnya

=

70 + 70 + 56 = 196

1. Suatu pertemuan dihadiri oleh 15 orang

undangan. Jika mereka saling berjabat

tangan, banyak jabat tangan yang terjadi

dalam pertemuan itu adalah ....dalam pertemuan itu adalah ....

2. Dari 20 siswa akan dipilih sebuah tim

sepakbola yang terdiri atas 11 orang.

Tentukan banyak cara dalam pemilihan

tersebut.

3. Banyaknya segitiga yang dapat dibuat dari 7

titik tanpa ada tiga titik yang terletak

segaris adalah ....

4. Tentukan banyaknya cara memilih 5 orang4. Tentukan banyaknya cara memilih 5 orang

dari 15 orang siswa untuk menjadi pelaksana

upacara bendera Senin pagi!

5. Menentukan lima orang pemain cadangan

dari 16 orang anggota kesebelasan sepakbola.

6. Ada 5 orang mahasiswa jurusan Matematika dan 7orang mahasiswa jurusan Informatika. Berapabanyak cara membentuk panitia yang terdiri dari 4orang jika:

(a) tidak ada batasan jurusan(a) tidak ada batasan jurusan

(b) semua anggota panitia harus dari jurusan Matematika

(c) semua anggota panitia harus dari jurusan Informatika

(d) semua anggota panitia harus dari jurusan yang sama

(e) 2 orang mahasiswa per jurusan harus mewakili.

40

7. Berapa banyak cara membentuk sebuah

panitia yang beranggotakan 5 orang yang

dipilih dari 7 orang pria dan 5 orang wanita,

jika di dalam panitia tersebut paling sedikit

41

jika di dalam panitia tersebut paling sedikit

beranggotakan 2 orang wanita?

Jabarkan (3x - 2)3!

Penyelesaian:

Misalkan a = 3x dan b = -2,

(a + b)3 = C(3, 0) a3 + C(3, 1) a2b1 + C(3, 2) a1b2 + C(3, 3) b3

= 1 (3x)3 + 3 (3x)2 (-2) + 3 (3x) (-2)2 + 1 (-2)3

= 27 x3 – 54x2 + 36x – 8

Tentukan suku keempat dari penjabaran

perpangkatan (x - y)5.

Penyelesaian:

(x - y)5 = (x + (-y))5.(x - y)5 = (x + (-y))5.

Suku keempat adalah: C(5, 3) x5-3 (-y)3 =

-10x2y3.

1. (2x-3)3=…

2. (3x-2y)4 = …

3. Tentukan suku ke empat dari penjabaran

perpangkatan (x +y)5perpangkatan (x +y)5

4. Tentukan suku ke lima dari penjabaran

perpangkatan (2x +3y)6

5. Dengan menggunakan teorema binomial,

tentukan :

a. koefisien x5y8 dalam (x + y)13

b. koefisien x7 dalam (1 + x)11 b. koefisien x7 dalam (1 + x)11

c. koefisien x9 dalam (1 – x)19