kÜmeler . Ünİte 1. Ünİte 1. Ünİte 1. Ünİte 1....
TRANSCRIPT
KÜMELER
. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT
Kümelerde Temel Kavramlar
1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir.
2. Kazanım : Evrensel küme, boş küme, sonlu küme, sonsuz küme kavramlarını örneklerle açık-lar.
3. Kazanım : Alt küme kavramını ve özelliklerini açıklar.
4. Kazanım : İki kümenin eşitliğini açıklar.
Kümelerde İşlemler
1. Kazanım : Kümelerde birleşim, kesişim, fark ve tümleme işlemlerini yapar. Bu işlemler arasın-daki ilişkileri ifade eder.
2. Kazanım : İki kümenin kartezyen çarpımını açıklar.
3. Kazanım : Kümelerde işlemleri kullanarak problem çözer.
10
KÜMELER
Küme kavramının tanımı yoktur. Ancak küme denilince, iyi tanımlanmış, birbirinden farklı nesneler topluluğu akla gelmelidir.
Kümeyi oluşturan nesnelere o kümenin elemanı (öğesi) denir.
Kümede, bir eleman bir defa yazılır. Kümenin elemanlarının küme içerisinde yer değiştirmesi kümeyi de-ğiştirmez.
Kümeler, genellikle A, B, C, .... gibi büyük harflerle, elemanları da a, b, c, x , y, ... gibi küçük harflerle gösterilir.
a bir A kümesinin elemanı ise a ∈ A biçiminde gösterilir. Eğer b, A kümesinin elemanı değilse, b ∉ A biçiminde gösterilir.
KÜMELERİN GÖSTERİMİ
Liste Yöntemi: Kümenin tüm elemanlarının aralarına virgül konularak küme parantezi içine yazılmasıdır. Örneğin, bir basamaklı asal sayıların kümesi {2, 3, 5, 7 } biçiminde gösterilir.
Venn Şeması İle Gösterim: Kümenin elemanlarının kapalı eğrilerin içine, yanına “ • ” konularak yazılmasıdır.
Örneğin A = {2, 3, 5, 7 } kümesinin Venn şeması ile çeşitli şekillerde gösterimi aşağıdakiler gibidir.
• 2
• 3
• 5
• 7
• 2
• 3• 5
• 7
• 2 • 3
• 5 • 7
A AA
Ortak Özellik Yöntemi: {x : x elemanlarının ortak özellikleri } veya {x | x elemanlarının ortak özellikleri }
biçimlerinde kümeler yazılabilir. Bu yazılışta kümenin elemanları x harfi ile gösterilmiştir.
Ayrıca “ : ” veya “ | ” sembolleri “ öyle ki ” anlamına gelmektedir. Örneğin, bir basamaklı asal sayılar kümesi
A = { x : x asal sayı ve x < 10 } biçiminde de gösterilebilir.
Kümeler
ES
EN
YAY
INLA
RI
11
Eleman Sayısı
Bir A kümesinin elemanlarının sayısı s(A) veya n(A)
şeklinde gösterilir. Örneğin A = {1, 2, 3, 4, 5 } ise
s(A) = 5 tir.
Boş Küme
Elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve
{ } veya Ø şeklinde gösterilir.
{ Ø } kümesi bir elemanlı bir küme olup boş küme
değildir.
ÖRNEK 1
A = {x : 3x – 1 = 6 ve x tam sayı } kümesi boş küme midir?
Çözüm
Sonlu ve Sonsuz Küme
Eleman sayısı tespit edilebilen kümeye sonlu küme denir.
A = {x : x < 6 ve x ∈ N}
kümesinin eleman sayısı tespit edilebildiğinden bu küme sonlu bir kümedir.
Eleman sayısı tespit edilemeyen kümeye sonsuz elemanlı küme denir.
Doğal sayılar kümesi ve tam sayılar kümesi sonsuz elemanlı kümeye birer örnektir.
ÖRNEK 2
A = {1, 2, 3, 4, 5 } ve B = {x : x tek doğal sayı }
kümeleri sonlu mudur?Çözüm
Eşit Küme
Aynı elemanlardan oluşan iki kümeye eşit kümeler denir ve A = B biçiminde gösterilir.
Örneğin; A = {1, 2, 3, 4} ve
B = {x : 1 ≤ x ≤ 4, x ∈ Z } kümeleri için
A = {1, 2, 3, 4} , B = {1, 2, 3, 4}
olduğundan A = B dir.
ALT KÜME
A ve B gibi iki kümeden, B kümesinin her elemanı A
kümesinin de elemanı ise B kümesi A kümesinin alt
kümesidir denir ve B ⊂ A şeklinde gösterilir.
Bir kümenin kendisinden farklı olan her alt kü-mesine öz alt kümesi denir.
Küme
A = { }
B = {a}
C = {a,b}
D = {a,b,c}
Alt Kümeleri Alt kümesay›s›
Öz alt kümesay›s›
{ } 1 = 20 0
∅ , {a} 2 = 21 1
3
7
4 = 22
8 = 23
∅ , {a} , {b}, {a, b}
∅ , {a} , {b} , {c} , {a, b}
{a, c} , {b,c} , {a,b,c}
n elemanlı bir kümenin;
Alt küme sayısı 2n dir.
Öz alt küme sayısı 2n – 1 dir
r elemanlı alt kümelerinin sayısı
( ) !. !!n
r n r rn
–=f p dir.
......n n n
n0 12n+ + + =f f fp p p dir.
Boş küme her kümenin alt kümesidir.
Her küme kendisinin bir alt kümesidir.
Kümeler
ES
EN
YAY
INLA
RI
12
ÖRNEK 3
A = {1, 2, 3 }
kümesinin 2 elemanlı alt kümelerini yazınız. Çözüm
ÖRNEK 4
A = {a, {a, b} }
kümesinin öz alt kümelerini yazınız.
Bu kümeler kaç tanedir?Çözüm
ÖRNEK 5
Aşağıdakilerden hangileri
A = {1, 2, {1}, {2, 3 } }
kümesinin alt kümesidir?
a. {1} b. {2 }
c. {{1} } d. {3 }
e. {1, {1} } f . {2, 3 }
g. {2, {1} } h. {1, 2, 3 }
Çözüm
ÖRNEK 6
Alt küme sayısı 32 olan küme kaç elemanlıdır?Çözüm
ÖRNEK 7
A = {x : 1 < x < 6, x tam sayı } kümesinin,
a. Eleman sayısı kaçtır?
b. Alt küme sayısı kaçtır?
c. Öz alt küme sayısı kaçtır?
d. 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
e. 3 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 8
İki elemanlı alt kümelerinin sayısı 28 olan bir küme-nin eleman sayısı kaçtır?
Çözüm
Kümeler
ES
EN
YAY
INLA
RI
13
ÖRNEK 9
Bir kümenin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı, 4 ele-
manlı alt kümelerinin sayısına eşitse bu kümenin 3
elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 10
s(A) = 6 olmak üzere, A kümesinin;
a. En çok 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?
b. En az 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 11
A = {1, 2 } ve B = {1, 2, 3, 4, 5 }
olmak üzere, B nin alt kümelerinden kaç tanesi A
kümesini kapsar?
Çözüm
ÖRNEK 12
A = {a, b, c, d, e, f }
kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde;
a. a elemanı bulunmaz?
b. a elemanı bulunur?
c. a elemanı bulunur fakat b elemanı bulunmaz?
Çözüm
Kümeler
ES
EN
YAY
INLA
RI
14
ÖRNEK 13
A = {a, b, c, d, e, f }
kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde;
a. a ve b elemanları bulunur?
b. a veya b elemanları bulunur?
Çözüm
ÖRNEK 14
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }
kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 6
bulunur; ama 7 bulunmaz?
Çözüm
ÖRNEK 15
A = {a, b, c, d, e, f }
kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde;
a. a ve b elemanları bulunmaz?
b. a veya b elemanları bulunmaz?
Çözüm
ÖRNEK 16
Alt küme sayısı ile öz alt küme sayıları toplamı 63
olan küme kaç elemanlıdır?
Çözüm
15
ES
EN
YAY
INLA
RI
1. Aşağıda liste biçiminde gösterilen kümeleri ortak
özellik yöntemiyle yazınız.
a. A = {1, 2, 3, 4, 5 }
b. B = {Pazar, Pazartesi, Perşembe}
c. C = {2, 4, 6, 8, 10, 12 }
d. D = {a, e, ı, i, o, ö, s, ş, u, ü }
2. A = {a, b, {b, c } , {d } , e }
kümesine göre aşağıdaki noktalı yerlere “∈ ”
veya “∉ ” sembollerinden uygun olanları yer-
leştiriniz.
a. a ......... A b. {b } ......... A
c. {b, c } ......... A d. d ......... A
3. Aşağıdaki kümelerin eleman sayılarını bulunuz.
a. A = { a, {b, c } , {d } , e }
b. B = {x : x ∈ Z+ ve x < 4 }
c. C = {∅ }
d. D = {x : x ∈ R x2 ≥ 0 }
e. D = {x : x ∈ R , x2 = –1 }
4. A = {1, 2, 3, 4, 5 }
kümesinin alt küme sayısı ile öz alt küme
sayısının toplamı kaçtır?
5. A = {a, b, c, d }
kümesinin 3 elemanlı alt kümelerini yazınız.
6. Aşağıdaki kümelerden sonlu, sonsuz ya da
boş küme olanları belirleyerek noktalı yerlere
yazınız.
a. Çift sayılar kümesi : ......................................
b. Asal sayılar kümesi : ....................................
c. C = {x : x ∈ Z ve –4 < x ≤ 23 } : .................
d. D = {x : x ∈ R x2 = –4 } : ...........................
e. E = {x : x tek sayı ve x < 2 } : ..................
7. Aşağıdaki ifadeler doğruysa boş kutulara “D”
yanlışsa “Y” yazınız.
Her kümenin öz alt kümesi vardır.
Boş kümenin alt kümesi yoktur.
A = {∅ } kümesinin alt küme sayısı 2 dir.
B = ∅ kümesinin alt küme sayısı 1 dir.
8. A = {a, b, {c } , {d, e } }
kümesi için aşağıdakilerden kaç tanesi doğru-
dur?
I. s(A) = 5 II. c ∈ A
III. {d } ∈ A IV. {a, b } ⊂ A
V. {d, e } ⊂ A VI. { {c } } ⊂ A
ALIŞTIRMALAR - 1
Kümeler
ES
EN
YAY
INLA
RI
16
9. A = {1, 2, {1, 2 } , 3, ∅ }
kümesinin alt küme sayısı kaçtır?
10. A = {a, b, c, d, e, f }
kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde;
a. a bulunmaz?
b. a bulunur?
c. a ve b bulunur?
d. a veya b bulunur?
e. a bulunup, b bulunmaz?
11. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 1 ve 2
bulunup, 3 bulunmaz?
12. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }
kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç
tanesinde 1 ve 2 bulunur?
13. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç
tanesinde 1 veya 2 bulunur?
14. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
kümesinin 6 elemanlı alt kümelerinin kaç tane-
sinde 1 ve 2 bulunur ama 3 bulunmaz?
15. K = {a, b, c } ve M = {a, b, c, d, e, f, g }
olmak üzere, K ⊂ L ⊂ M koşuluna uyan kaç
farklı L kümesi yazılabilir?
16. 5 elamanlı bir kümenin,
a. en az 3 elemanlı
b. en çok 3 elemanlı
kaç tane alt kümesi vardır?
17. s(A) = 8 olmak üzere, A kümesinin en az 6
elemanlı alt kümelerinin sayısı x, en çok 6
elemanlı alt kümelerinin sayısı y ise x + y kaçtır?
18. Üç elemanı a, b, c olan bir A kümesinin 6
elemanlı alt kümelerinin 10 tanesinde a, b,
c eleman olarak bulunuyorsa A kümesi kaç
elemanlıdır?
19. A = {x : 0 ≤ x ≤ 5 ve x ∈ Z }
B = {(x, y) : x < y ve x, y ∈ A }
olmak üzere, s(B) kaçtır?
Kümeler
17
KÜMELERDE İŞLEMLER
Evrensel Küme: Üzerinde işlem yapılan ve tüm kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir ve genellikle E ile gösterilir.
ÖRNEK 17
A = {1, 2, 3, 4} ve B = {3, 4, 5, 6 } ise A ∪ B kümesini liste yöntemi ile ve Venn şeması
ile gösteriniz.Çözüm
ÖRNEK 18
A = {a, b, c, d} ve B = {1, 2, a, c} ise A ∩ B kümesini liste yöntemi ve Venn şeması
ile gösteriniz.Çözüm
Kümelerin Birleşimi ve Kesişimi
Yurt içi turlardan birine katılan bir grupta Ali, Orhan, Müge ve
Aylin İngilizce; Müge, Pelin, Merve ve Aylin Almanca konuşa-
bilmektedir.
İ : İngilizce konuşabilenlerin kümesi
A : Almanca konuşabilenlerin kümesini göstermek
üzere,
Müge
Aylin
Pelin
Merve
Ali
Orhan
‹ A
Yandaki şemada ifade edilen küme İngilizce veya Almanca dillerinden
en az birini konuşabilenlerin kümesidir. Bu küme İ ile A kümelerinin
birleşimi olarak adlandırılıp, İ ∪ A olarak gösterilir.
İ ∪ A = {x : x ∈ İ veya x ∈ A }
Müge
Aylin
‹ A
Yandaki şemada ifade edilen küme hem İngilizce hem Almanca konuşabi-
lenlerin kümesidir. Bu küme İ ile A kümelerinin kesişimi olarak adlandırılıp,
İ ∩ A biçiminde gösterilir.
İ ∩ A = {x : x ∈ İ ve x ∈ A }
A ∪ B = {x : x ∈ A veya x ∈ B } E
A B
E
A B
E
BA
A ∩ B = {x : x ∈ A ve x ∈ B } E
A B
E
A B
E
BA
Kümeler
ES
EN
YAY
INLA
RI
18
Ayrık Kümeler
A ∩ B = Ø ise A ve B kümelerine ayrık kümeler denir.
Bir Kümenin Tümleyeni
A ⊂ E olmak üzere E kümesinin A da bulunmayan
elemanlarının kümesine A kümesinin tümleyeni denir
ve A′ veya A– ile gösterilir.
E
AA′
A′ = {x : x ∈ E ve x ∉ A }
ÖRNEK 19
E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
A = {2, 3, 5, 7 }
olduğuna göre, A′ kümesini bulunuz.
Çözüm
Kümelerin FarkıA kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanla-
rın kümesine A ile B nin farkı denir ve A – B veya
A \ B ile gösterilir.
E E E
A B A BB
A
A – B = {x : x ∈ A ve x ∉ B}
A ∆ B = (A – B) ∪ (B – A) kümesine A ve B kü-
melerinin simetrik farkı denir.
ÖRNEK 20
A = {1, 2, a, b, c } ve B = {2, 3, 4, a}
olduğuna göre, A – B ve B – A kümelerini bulunuz.
Çözüm
De Morgan Kuralları
(A ∪ B)′ = A′ ∩ B′
(A ∩ B)′ = A′ ∪ B′
ÖRNEK 21
A′ = {a, b, c, d, e} ve B′ = {d, e, f }
olduğuna göre,
a. (A ∪ B)′ kümesini bulunuz.
b. (A ∩ B)′ kümesini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 22
A ve B aynı evrensel kümenin alt kümeleridir.
s(A′ ∩ B′ ) = 6 ve s(A′ ∪ B′ ) = 10
olduğuna göre, s(A – B) + s(B – A) toplamı kaçtır?Çözüm
Kümeler
ES
EN
YAY
INLA
RI
19
Özellikler
A ∪ A = A A ∩ A = A
A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A
A ∪ Ø = A A ∩ Ø = Ø
A ∪ E = E A ∩ E = A
A ∪ A′ = E A ∩ A′ = Ø
E′ = Ø Ø′ = E
(A′)′ = A A′ = E – A
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
s(A ∪ B) = s(A) + s(B) – s(A ∩ B)
s(A∪B ∪ C) = s(A) + s(B) + s(C) – s(A ∩ B)
– s(A ∩ C) – s(B ∩ C) + s(A ∩ B ∩ C)
A – B = A ∩ B′
A ⊂ B ⇒ B′ ⊂ A′
A ⊂ B ⇒ A ∪ B = B
A ⊂ B ⇒ A ∩ B = A
ÖRNEK 23
∪A B = (–3, 4 ] ve A ∪ C = [–2, 5)
olduğuna göre, A ∪ (B ∩ C) kümesini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 24
A ve B ayrık iki küme olmak üzere,
s(A) – s(B) = 5 ve s(A ∪ B) = 9 ise s(A) kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 25
A ve B herhangi iki küme olmak üzere,
s(A) = 6 ve s(B) = 8 ise
a. s(A ∪ B) en az kaçtır?
b. s(A ∪ B) en çok kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 26
B ⊄ A olmak üzere,
s(A ∩ B′) = 8 ve s(B) = 5
ise A kümesinin eleman sayısı en çok kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 27
s(A – B) = 5 , s(B – A) = 3 ve A ∩ B kümesinin öz
alt küme sayısı 15 ise s(A ∪ B) kaçtır?
Çözüm
Kümeler
20
ÖRNEK 28
A ve B herhangi iki küme olmak üzere,
(A′ – B) ∩ A
kümesinin eşitini bulunuz. Çözüm
ÖRNEK 29
A ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir.
(A ∩ B) ∪ (A ′ ∩ B) kümesinin
eşitini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 30
A ve B herhangi iki küme olmak üzere,
[ (B – A) ∪ (A ∩ B) ] ∩ (B – A)′
kümesinin eşitini bulunuz.Çözüm
ÖRNEK 31
A – B = {1, {2, 3 } } , B – A = {2 } ve
B = {2, {2 }, {1, 2 } } ise A kümesi nedir?
Çözüm
ETKİNLİK
Kan nakillerinde vericinin sahip olduğu antijenlerin
önemli olduğunu biliyoruz. Bir kişide, A, B ve Rh anti-
jenlerinin en az biri olabilir ya da hiçbiri bulunmayabilir.
Aşağıdaki tabloda kan grupları ve bu gruplara sahip
kişilerin antijenleri gösterilmiştir. Buna göre tablonun
yanındaki Venn şemasını doldurunuz.
Kan grubu
Antijen A, Rh
ARh+ ARh– BRh+ BRh– ABRh+ ABRh– 0Rh+ 0Rh–
A B, Rh B A, B, Rh A, B Rh ––
A B
Rh
Kümeler
ES
EN
YAY
INLA
RI
21
ÖRNEK 32
A = {x : x < 100, x ∈ N }
kümesinin kaç tane elemanı 6 ile bölünebilir?
Çözüm
ÖRNEK 33
A = {x : x < 200, x ∈ N }
kümesinin kaç tane elemanı 3 ve 5 ile bölünebilir?Çözüm
ÖRNEK 34
A = {x : 10 < x < 100, x tam sayı }
kümesinin kaç tane elemanı 3 veya 5 ile bölünebilir?
Çözüm
ÖRNEK 35
A = {x : 20 < x < 200, x = 4k, k ∈ Z }
B = {x : 30 < x < 150, x = 5k, k ∈ Z }
kümeleri için s(A ∪ B) kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 36
A = {x : x = 2k, k < 50, k ∈ Z+ }
B = {x : x = 5k, k < 30, k ∈ Z+ }
kümeleri için s(A ∪ B) kaçtır?
Çözüm
Kümeler
22
ÖRNEK 37
32 kişilik bir sınıfta, matematikten 18 kişi ve fizikten
12 kişi başarılı olmuştur. Her iki dersten başarısız 8
kişi olduğuna göre, bu sınıfta bu derslerin sadece
birinden başarılı kaç kişi vardır?
Çözüm
ÖRNEK 38
Bir sınıftaki öğrenciler matematik veya fizik dersle-
rinin en az birinden bütünlemeye kalmıştır. Sınıftaki
öğrencilerin % 60 ı matematikten, % 70 i fizikten
bütünlemeye kalmıştır. Her iki dersten bütünlemeye
kalan 6 öğrenci varsa, bu sınıfta kaç öğrenci vardır?
Çözüm
KÜME PROBLEMLERİ
E
BF
a b c
d
Futbol oynayanların kümesi: F
Basketbol oynayanların kümesi: B
a, b, c, d içinde bulundukları kümelerin
eleman sayılarını göstersin.
Futbol oynayanların sayısı = a + b Basketbol oynayanların sayısı = b + c
Sadece futbol oynayanların sayısı = a Sadece basketbol oynayanların sayısı = c
Futbol ve basketbol oynayanların sayısı = b Futbol veya basketbol oynayanların sayısı = a + b + c
Hiçbir oyun oynamayanların sayısı = d En az bir oyun oynayanların sayısı = a + b + c
En çok bir oyun oynayanların sayısı = a + c + d
Kümeler
ES
EN
YAY
INLA
RI
23
ÖRNEK 39
Bir iş yerinde A, B, C gazetelerinden en az biri okunmaktadır. A gazetesini 16, B gazetesini 12, C gazetesini 18, A ve B gazetesini 8, A ve C gazetesini 10, B ve C gazetesini 6 ve her üç gazeteyi de okuyan 5 kişi olduğuna göre, sadece bir gazete okuyan kaç kişi vardır?
Çözüm
ÖRNEK 40
50 kişilik bir sınıftaki gözlüksüz kızların sayısı, göz-lüklü erkeklerin sayısının 3 katına eşittir. Kızların sayısı, erkeklerin sayısından 8 fazladır. Bu sınıfta gözlüksüz erkeklerin sayısı 12 ise gözlüklü kız sayısı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 41
Herkesin Türkçe bildiği 30 kişilik bir toplulukta, İngilizce bilenler Almanca bilmemektedir. Bu toplu-lukta sadece bir dil bilen 10 kişi vardır. Türkçe ve Almanca bilen 12 kişi olduğuna göre, Türkçe ve İngilizce bilenlerin sayısı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 42
A, B, C dillerinden en az birinin konuşulduğu 36
kişilik bir sınıfta; B dilini konuşanların hepsi C dilini de
konuşmaktadır. Toplulukta üç dili konuşan 6 kişi ve iki
dili konuşan 18 kişi olduğuna göre, tek dil konuşan
kaç kişi vardır?
Çözüm
24
1. Aşağıdaki noktalı yerleri uygun şekilde dolduru-
nuz.
a. A ⊂ B ise A ∩ B = ....................
b. A ⊂ B ise .................... = B
c. Her A kümesi için A ∪ B = A ise ....................
d. .................... = s(A) + s(B) – s(A ∩ B)
e. .................... = A ∩ B′
2. Aşağıdaki ifadeler doğruysa boş kutulara “D”
yanlışsa “Y” yazınız.
A ∩ A′ = ∅
A ∪ A′ = A
A ∪ E = E
A ∩ E = A
A ⊂ B ⇔ B′ ⊂ A′
A ⊂ B ve B ⊂ C ⇒ A ⊂ C
3. Aşağıdaki kümeleri karşı sütunda bulunan eşitle-
ri ile eşleştiriniz.
(A – B) ∩ (A ∩ B)
(A – B) ∪ (A ∩ B)
(A – B) ∪ (B ∪ A′)
A
(A – B) ∪ (A ∩ C)
∅
a
b
c
1
2
3
A – (B – C)c 3
E
4. A = {x : – 10 < x < 50, x ∈ Z }
kümesinin elemanlarından kaç tanesi 2 ve 3 ile
tam bölünebilir?
5. A = {1, 2, 3 } ve B = {3, 4, 5, 6 }
olduğuna göre, A ∪ B = B ∪ C koşulunu
sağlayan C kümesi,
a. en az kaç elemanlıdır?
b. en çok kaç elemanlıdır?
6. A = {x : 10 < x < 100, x ∈ Z }
kümesinin elemanlarından kaç tanesi 4 ile bölü-
nebilir fakat 5 ile bölünemez?
7. A ve B ayrık olmayan iki kümedir.
s(A) = 6 ve s(B) = 8
olduğuna göre, s(A∪B) en çok kaç olabilir?
8. A ve B herhangi iki küme olmak üzere,
[B ∩ ( A′ – B) ] ∩ A
kümesinin en sade hâli nedir?
ES
EN
YAY
INLA
RI
ALIŞTIRMALAR - 2
Kümeler
25
9. A, B, C kümeleri için
s(A) + s(B) + s(C) = 35
olduğuna göre, s(A ∪ B ∪ C) en az kaçtır?
10. A ve B kümeleri E evrensel kümesinin iki alt
kümesidir.
s(A) + s(B′ ) = 11 ve s(A′) + s(B) = 17
olduğuna göre, s(E) kaçtır?
11. A ve B herhangi iki küme olmak üzere,
s(A ∩ B) = 5
s(A ∪ B) = 16
s(A) = 2.s(B)
olduğuna göre, s(A – B) kaçtır?
12. A ⊂ B olmak üzere,
[A ∩ (A ∪ B′ ) ] ′
kümesinin eşitini bulunuz.
13. s(A – B) = 6 , s(B – A) = 5 ve s(A) = 8
olduğuna göre, s(A ∪ B) kaçtır?
14. A = {x : x = 3n , n ∈ N , 1 ≤ n ≤ 36 }
B = {x : x = 2n , n ∈ N , 1 ≤ n ≤ 30 }
olduğuna göre, s(A – B) kaçtır?
15. s(A ∪ B) + s(A ∩ B) = 24
s(A) – s(B) = 4
olduğuna göre, s(A) kaçtır?
16. (A ∩ B)′ ∩ (A ∪ B)
kümesinin eşitini bulunuz.
17. s(A ∩ B) = 6
s(A′ – B) = 2.s(A – B′ )
olduğuna göre, s(A′ ∩ B′ ) kaçtır?
18. A ⊂ B ve s(A) + 2.s(B) = 14
olduğuna göre, s(A ∪ B) en az kaçtır?
ES
EN
YAY
INLA
RI
Kümeler
26
19. Almanca ve İngilizce dillerinden en az birini
bilenlerden oluşan bir grubun % 60 ı İngilizce,
% 50 si Almanca biliyor. Her iki dili bilinler 5
kişi olduğuna göre, sadece Almanca bilen kaç
kişidir?
20. Basketbol ve futbol sporlarından en az birinin
oynandığı bir toplulukta basketbol oynayanların
% 60 ı futbol oynamıyor. Futbol oynayanların
% 80 i basketbol oynamıyor. Grupta yalnız
futbol oynayan 8 kişi olduğuna göre yalnız
basketbol oynayan kaç kişi vardır?
21. Bir sınıfta Almanca bilenlerin sayısı, İngilizce bi-
lenlerin sayısının üçte biridir. Bu sınıfta Almanca
bilmeyip, İngilizce bilen 27 kişi, İngilizce bilmeyip
Almanca bilen 3 kişi vardır. İngilizce veya Al-
manca bilmeyenlerin sayısı her iki dili bilenlerin
sayısının üçte biri ise bu sınıfın mevcudu kaçtır?
22. Erkek ve kız öğrencilerin bulunduğu 45 kişilik
bir sınıfta gözlüklü erkeklerin sayısı gözlüksüz
kızların sayısının 4 katıdır. Sınıfta 14 erkek
gözlüksüz ve 6 kız gözlüklü olduğuna göre,
erkeklerin sayısı nedir?
23. Bir grupta Almanca ve Fransızca dillerinden
sadece birini bilen 15, en az birini bilen 19, en
çok birini bilen 29 kişi olduğuna göre, bu grup
kaç kişiliktir?
24. 12 erkek, 18 kadının bulunduğu bir grupta 24 kişi
gözlüksüzdür. Bu grupta, gözlüklü veya kadın
olanların sayısı 22 olduğuna göre, gözlüksüz
kadınların sayısı kaçtır?
25. Bir şantiyede sıva, boya, elektrik ve su işlerinden
en az birini yapabilenler vardır. En az üç işi
yapanlar 16, en fazla dört işi yapabilen 20 kişi
bulunduğuna göre, en çok iki iş yapabilen kaç
kişi vardır?
26. Futbol veya basketbol oynayanların bulunduğu
30 kişilik bir sınıfta 6 kişi hem futbol hem
basketbol oynayabilmektedir. Futbol oynayan-
ların sayısı basketbol oynayanların sayısının 2
katı olduğuna göre, bu sınıfta sadece basketbol
oynayan kaç kişi vardır?
ES
EN
YAY
INLA
RI
Kümeler
ES
EN
YAY
INLA
RI
27
SIRALI İKİLİ
Milli futbol takımımızın 2005 ile 2010 yılları arasında
aldığı galibiyet sayılarını bu yıllarla ilişkilendirip ikililer
elde etmeye çalışalım.
İkililerin birinci bileşenleri yılı, ikinci bileşenleri o yıla
ait galibiyet sayısını göstersin.
Bu durumda,
(2005, 6) , (2006, 8) , (2007, 5)
(2008, 5) , (2009, 4) , (2010, 4) olur.
a ve b elemanlarının (a, b) biçiminde yazılmasıyla
elde edilen elemana sıralı ikili veya kısaca ikili denir.
(a, b) sıralı ikilisinde a ya birinci bileşen, b ye ikinci
bileşen denir. Sıralı ikilide bileşenlerin sırası önem-
lidir.
Yani, (a, b) ≠ (b, a) dır.
(a, b) = (c, d) ⇔ a = c ve b = d
ÖRNEK 43
(a + 2, b – 1) = (–3, 2)
olduğuna göre, a + b kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 44
(3n, 25) = (27, 5m–1)
olduğuna göre, m . n kaçtır?
Çözüm
KARTEZYEN ÇARPIM
A ve B boş olmayan herhangi iki küme olmak üzere,
A x B = {(x, y) : x ∈ A ve y ∈ B} kümesine A ile
B nin kartezyen çarpımı denir. Kartezyen çarpımının
özellikleri aşağıda gösterilmiştir.
A x A = A2
A x B ≠ B x A
(A x B) x C = A x (B x C)
s(A x B) = s(A) . s(B)
A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C)
A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C)
ÖRNEK 45
A = {1, 2 } ve B = {a, b}
olduğuna göre, A x B ve B x A kümelerini yazınız.
Çözüm
ÖRNEK 46
A = { x : –2 < x < 3, x ∈ Z }
B = { x : –1 ≤ x ≤ 1, x ∈ Z }
olduğuna göre, s(A x B) kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 47
s[(A x B ) ∩ (A x C)] = 12 ve s(B ∩ C) = 3
olduğuna göre, s(A) kaçtır?
Çözüm
Kümeler
ES
EN
YAY
INLA
RI
28
ÖRNEK 48
A = {1, 2 } ve B = {1, 2, 3 }
olduğuna göre, A x B kümesini yazıp analitik düz-
lemde gösteriniz.
Çözüm
ÖRNEK 49
A = [1, 4) ve B = {1, 2 }
olduğuna göre, A x B ve B x A kümelerinin gra-
fiklerini çiziniz.
Çözüm
ÖRNEK 50
A = (–1, 2] ve B = [1, 3]
olduğuna göre, A x B ve B x A kümelerinin gra-
fiklerini çiziniz.
Çözüm
ÖRNEK 51
4
–1
B
A–2
3
Şekilde verilen A x B kümesinin grafiğine göre,
A – B kümesini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 52
A = {1, 2, 3 }
olmak üzere A x A kümesinin elemanlarını dışa-
rıda bırakmayan en küçük çaplı dairenin çapı kaç
birimdir?
Çözüm
29
1. (x3 , 2x + y) = (8, 9)
olduğuna göre, x.y kaçtır?
2. AxB = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2) }
ise A kümesini bulunuz.
3. A = {0, 1, 2, 3, 4 }
B = {0, 2, 4, 6, 8 }
C = {2, 3, 4, 5, 6 }
olduğuna göre, s[(A x B) ∩ (A x C)] kaçtır?
4. Aşağıdaki eşitliklerden doğru olanlar için boş
kutuya “D” yanlış olanlar için “Y” yazınız.
A x B = B x A
s(A x B) = s(B x A)
A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C)
A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C)
A x (B x C) = (A x B) x C
A ⊂ B ve C ⊂ D ise (A x C) ⊂ (B x D)
5. A = {1, 2, 3 }
B = {2, 3, 4, 5 }
olmak üzere A x B kümesinin birbirine en uzak
iki elamanı arasındaki uzaklık kaç birimdir?
6. s(A x A) = 64
olduğuna göre, s(A) kaçtır?
7. Aşağıda grafiği verilen A x B kümesi için A ∪ B
ve A ∩ B kümelerini bulunuz.
A
B3
2
1 2 3
8. Aşağıda grafiği verilen A x B kümesi için A ∪ B
ve A ∩ B kümelerini bulunuz.
A
B4
1 3
2
ES
EN
YAY
INLA
RI
ALIŞTIRMALAR - 3
Kümeler
30
9. s(A ∩ B) = 4
s(B) = 6
s(A x B) = 42
olduğuna göre, s(A∪B) kaçtır?
10. A = [1, 3) ve B = {1, 3 }
olduğuna göre, A x B kümesinin grafiğini çiziniz.
11. A = [–1, 2] ve B = (–3, 2)
olduğuna göre, B x A kümesinin grafiğini çiziniz.
12. A = {x: –2 ≤ x ≤ 5, x ∈ R }
olduğuna göre, A x A kümesinin koordinat düzle-
minde oluşturduğu düzlemsel bölgenin alanı kaç
br2 dir?
13. A = {1, 2, 3, 4, 5 }
B = {2, 3, 4, 6 }
C = {1, 2, 3, 6 }
olduğuna göre, (A x B) ∪ (A x C) kümesinin eleman sayısı kaçtır?
14. s(A) = 3, s(B) = 4, s(C) = 5 olmak üzere,
(A x B) ∪ (A x C)
kümesinin eleman sayısı en az kaç olabilir?
15. B ∩ C ≠ ∅ olmak üzere,
s [(A x C) ∩ (A x B)] = 15
ise s(A) en çok kaçtır?
16.
x
y
–3
–2
1
3
Şekilde verilen A x B kümesinin grafiğine göre A ∩ B kümesi nedir?
ES
EN
YAY
INLA
RI
ES
EN
YAY
INLA
RI
31
Yazılıya Hazırlık Soruları
1. A ve B boş olmayan iki kümedir.
2.s(A) = 3.s(B) = 5.s(A ∩ B) olduğuna göre,
s(A – B) en az kaçtır?
2. A = {x: 2 ≤ x ≤ 5 } ve B = {x: 2 < x < 7 }
olduğuna göre (A ∩ B)′ kümesini bulunuz.
3. A ve B gibi iki kümeden A nın bir, B nin iki
elemanı A ∩ B kümesinin elemanı değildir.
∅ dışında A ∩ B nin alt kümeleri sayısı 15
olduğuna göre, A ∪ B kümesinin eleman sayısı
kaçtır?
4. A ve B iki kümedir.
s(A) = 12 – n, s(B) = 2n + 6 ve s(A ∩ B) = 4
olduğuna göre, s(A ∪ B) en çok kaçtır?
5. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } kümesinin 4 elemanlı
alt kümelerinin kaç tanesinde 1 bulunur ama 2
bulunmaz?
6. A ⊄ B ve s(A ∩ B) = 8 olmak üzere, B kü-
mesinin alt küme sayısı, A kümesinin alt küme
sayısının 4 katı ise s(A ∪ B) en az kaçtır?
Kümeler
ES
EN
YAY
INLA
RI
32
7. Bir sınıftaki öğrencilerin % 40 ı kız öğrencidir.
Kız öğrencilerin % 90 ı, erkek öğrencilerin %
80 i matematik dersinden başarılıdır.
Buna göre, bu sınıfın matematik dersinden
başarısı yüzde kaçtır?
8. (2a + b, 7) = (2, a – b + 3)
olduğuna göre a.b kaçtır?
9. A = {x: x < 100, x ∈ N } olmak üzere, A
kümesinin elemanlarından kaç tanesi 3 veya 5
ile tam bölünür?
10. Bir kümenin eleman sayısını 2 artırdığımızda
öz alt küme sayısı 48 artmaktadır.
Bu kümenin en az 2 elemanlı alt küme sayısı
kaçtır?
ES
EN
YAY
INLA
RI
33
TEST - 1 Kümeler
1. Aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi bir küme belir-
tir?
l. Asal sayılar
II. Türkiye’deki iller
III. Haftanın A ile başlayan günleri
IV. Güzel olan harfler
V. En güzel meyve
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
2. A = {a, b, c, d, e }
kümesi için aşağıdaki önermelerden kaç tanesi
doğrudur?
l. {a } ∈ A lI. Ø ∈ A
lII. Ø ⊂ A lV. {Ø } ⊂ A
V. {a, b } ⊂ A VI. {e } ⊂ A
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
3. A = {1, {2 }, 3, {1, 2 }, 4, 5 }
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) s(A) = 6 B) {1, 4, 5 } ⊂ A C) {1, 2 } ∈ A
D) {2 } ⊂ A E) {1, {2 } } ⊂ A
4. Alt kümelerinin sayıları toplamı 40 olan iki
kümenin elemanlarının sayıları toplamı kaçtır?
A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
5. A = {a, b, {a }, c, {a, c } }
olmak üzere aşağıdakilerden hangisi A kümesi-
nin hem elemanı hem de alt kümesidir?
A) a B) {a, c } C) {b }
D) {a, b } E) {c }
6. A = {1,2, 3, 4, 5, 6 }
B = {4, 6, 8, 10 }
kümelerinin kaç tane ortak alt kümesi vardır?
A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) 32
7. A ve B kümeleri için
s(A) = 6 , s(A ∪ B) = 9 ve A ⊄ B
olduğuna göre, A ∩ B nin en fazla kaç alt
kümesi olabilir?
A) 4 B) 8 C) 16 D) 32 E) 64
8. 2 elemanlı alt küme sayısı 28 olan bir kümenin
en çok 2 elemanlı kaç alt kümesi vardır?
A) 34 B) 35 C) 36 D) 37 E) 38
Kümeler
ES
EN
YAY
INLA
RI
34
9. A ∩ B kümesinin alt küme sayısı 2 ve A ile B
kümelerinin alt küme sayılarının toplamı 24 ise,
A ∪ B kümesi kaç elemanlıdır?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 9
10. M = {a, b, c, d }
N = {a, b, c, d, e, f, g }
kümeleri için M ve N den farklı olması koşulu ile
N nin alt kümelerinden kaç tanesi M yi kapsar?
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 14
11. A = {a, b, c } ve A ∪ B = {a, b, c, d, e, f }
koşullarını sağlayan en çok kaç tane B kümesi
yazılabilir?
A) 3 B) 4 C) 7 D) 8 E) 16
12. (x – 3, y + 1) = (4, 3)
olduğuna göre, x + y kaçtır?
A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
13. Boş olmayan n elemanlı bir A kümesinin, k tane
öz alt kümesi vardır. A kümesine 2 eleman daha
katılırsa, kaç tane alt kümesi olur?
A) k + 3 B) 4k + 4 C) 4k
D) 2k + 4 E) k + 4
14. A = {x : x2 < 50 ve x asal sayı }
kümesinin kaç alt kümesinde 3 ve 5 bulunur?
A) 2 B) 4 C) 8 D) 12 E) 16
15. 25 kişilik bir sınıf Türkçe ve İngilizce dillerinden
en çok ikisini bilenlerden oluşmaktadır. Sadece
Türkçe bilen 10 kişi ve Türkçe bilmeyen 8 kişi
olduğuna göre, her iki dili bilen kaç kişi vardır?
A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3
16. 30 kişilik bir sınıfta futbol oynayanların sayısı 12,
basketbol oynayanların sayısı 10, futbol ve bas-
ketbol oynayanların sayısı 4 kişidir. Buna göre,
sınıfta futbol veya basketbol oynamayanların
sayısı kaçtır?
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
ES
EN
YAY
INLA
RI
35
TEST - 2 Kümeler
1. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }
kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde en az
bir çift sayı bulunur?
A) 56 B) 64 C) 112 D) 116 E) 120
2. A ⊄ B ve s(A ∪ B) = 25
olmak üzere, B kümesinin en çok bir elemanlı
alt küme sayısı 17 ise A – B kümesi kaç
elemanlıdır?
A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5
3. Öz alt küme sayısı 63 olan bir kümenin eleman
sayısı 1 azaltılırsa alt küme sayısı kaç azalır?
A) 32 B) 28 C) 16 D) 8 E) 4
4. 3 elemanlı alt kümeleri sayısı, 2 elemanlı alt
kümeleri sayısına eşit olan bir kümenin en az 3
elemanlı alt kümeleri sayısı kaçtır?
A) 5 B) 6 C) 15 D) 16 E) 26
5. A = {a, b, c, d, e, f }
kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde, a veya
b den en çok birisi eleman olarak bulunur?
A) 64 B) 48 C) 32 D) 16 E) 8
6. A ∩ B = A
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her
zaman doğrudur?
A) A ∪ B = A B) A = B C) A ⊂ B
D) A′ ∩ B = A E) B′ ∪ A′ = B
7. A ∪ B = (–2, 5] ve A ∪ C = [1, 7)
olduğuna göre, A ∪ (B ∩ C) neye eşittir?
A) [1, 5] B) [–2, 1] C) [5, 7]
D) (1, 5] E) [1, 5)
8. A = {x : –2 < x < 3 , x ∈ R }
B = {x : –3 < x < 2 , x ∈ R }
olduğuna göre, A ∩ B kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) (–2, 2) B) [–1, 1] C) (–3, 3)
D) {–1, 0, 1 } E) {–2, –1, 0, 1, 2 }
Kümeler
ES
EN
YAY
INLA
RI
36
9. A ∩ B , A – B ve B – A
kümelerinin alt küme sayıları sırasıyla 1, 16 ve
8 ise s(A ∪ B) kaçtır?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
10. Bir kümenin 3 elemanlı alt küme sayısı ile 4
elemanlı alt küme sayısı birbirine eşittir. Bu
kümenin 2 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır?
A) 28 B) 21 C) 15 D) 14 E) 7
11. (2x+1, y1 ) = (16, 6)
olduğuna göre, x.y kaçtır?
A) 61 B)
41 C)
31 D)
21 E) 1
12. K, L, M birbirinden farklı ve boş kümeden farklı
kümeler olmak üzere,
s[ (K x L) ∪ (K x M) ] = 24
ise s(K) en çok kaç olabilir?
A) 24 B) 12 C) 8 D) 6 E) 4
13.
A
B
–1
3
–2 2
Şekilde verilen A x B kümesinin grafiğine göre,
A ∩ B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (–2, –1) B) (–1, 2) C) (–2, 2)
D) (–1, 3) E) (2, 3)
14. s(A – B) = 3 ve s(A ∪ B) = 4
olduğuna göre, s(A x B) en az kaçtır?
A) 3 B) 4 C) 6 D) 12 E) 24
15. Bir sınıftaki öğrencilerin % 60 ının bisikleti, % 72
sinin bilgisayarı vardır. Öğrencilerin en az yüzde
kaçında hem bisiklet hem de bilgisayar vardır?
A) 12 B) 28 C) 32 D) 40 E) 60
16. Bir sınıftaki öğrencilerin % 60 ının bisikleti,
% 72 sinin bilgisayarı vardır. Öğrencilerin en çok
yüzde kaçında hem bisiklet hem de bilgisayar
vardır?
A) 12 B) 28 C) 32 D) 40 E) 60
ES
EN
YAY
INLA
RI
41
TEST - 5 Kümeler
1. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }
kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 7 ele-
man olarak bulunur?
A) 32 B) 56 C) 64 D) 120 E) 128
2. s(A) + s(B) = 22
s(A ∩ B) = 5
olduğuna göre, s(A ∪ B) kaçtır?
A) 15 B) 16 C) 17 D) 19 E) 20
3. A = {x : x < 100, x ∈ N }
kümesinin elemanlarından kaç tanesi 4 veya 6
ile tam bölünür?
A) 32 B) 33 C) 34 D) 35 E) 36
4. A = {x : x < 100, x ∈ N }
kümesinin elemanlarından kaç tanesi 3 ile bölü-
nüp, 5 ile bölünemez?
A) 25 B) 26 C) 27 D) 28 E) 29
5. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }
kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 6 ele-
man olarak bulunup, 7 bulunmaz?
A) 8 B) 16 C) 28 D) 32 E) 64
6. A ve B boştan farklı iki kümedir.
s(A ∪ B) + s(A ∩ B) = 24
s(A) = 2.s(B)
olduğuna göre, s(A) kaçtır?
A) 8 B) 10 C) 12 D) 16 E) 18
7. K ∪ L = {a, b, c, d }
K ∪ M = {a, c, e, f }
olduğuna göre, K ∪ (L ∩ M) kümesi aşağıdaki-
lerden hangisidir?
A) Ø B) {a, b, c, d } C) {a, c, e, f }
D) {a, c } E) {e, f }
8. A = { x : 0 < x < 100 , x = 2k , k ∈ Z }
B = { x : 0 < x < 75 , x = 3k , k ∈ Z }
kümeleri için s(A ∩ B) kaçtır?
A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15
Kümeler
ES
EN
YAY
INLA
RI
42
9. s(A – B) = 3
s(A ∪ B) = 7
olduğuna göre, s(A x B) en çok kaçtır?
A) 12 B) 15 C) 18 D) 21 E) 28
10. A = {x : –2 ≤ x < 1, x ∈ Z }
B = {x : |x – 1| ≤ 1, x ∈ Z }
olduğuna göre, s(A x B) kaçtır?
A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12
11. s(A) = 6
s(A ∩ B) = 3
s [(B x B) ∪ (B x A)] = 40
olduğuna göre, s(B – A) kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
12. 32 kişilik bir sınıfta İngilizce bilenlerin sayısı 20,
Almanca bilmeyenlerin sayısı 18, en çok bir dil
bilenlerin sayısı 24 olduğuna göre, bu sınıfta
İngilizce ve Almanca bilmeyen kaç kişi vardır?
A) 6 B) 8 C) 12 D) 24 E) 26
13.
0
1
3
–1 2
y
x
Yukarıdaki grafik A x B kümesine ait olduğuna
göre A ∩ B kümesini gösteren aralık aşağıda-
kilerden hangisidir?
A) [1, 2] B) (1, 2] C) (1, 2)
D) [1, 2) E) [0, 2)
14. A
B C
Şekildeki taralı bölge aşağıdakilerden hangisi ile
ifade edilebilir?
A) A – (B ∩ C)B) A ∪ (B ∩ C)
C) A ∩ (B ∪ C)D) B ∩ (A ∪ C)
E) C ∩ (A ∪ B)
15. M ve N aynı evrensel kümenin iki alt kümesi
olmak üzere, aşağıdaki ifadelerden hangisi
yanlıştır?
A) M ⊂ N ise M ∪ N = N
B) M ⊂ N ise N′ ⊂ M′
C) (M ∪ N)′ = M′ ∩ N′
D) (M – N)′ ∩ M = M ∩ N
E) M – N = (M ∩ N)′ ∩ N
43
1. 1987 – ÖYS
A = {1, 2, 3 } , A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5 } ve
A–B = {1, 2 } olduğuna göre, B kümesi aşağıda-
kilerden hangisidir?
A) {5 } B) {4, 5 } C) {3, 4, 5 }
D) {3, 4} E) {1, 3, 5 }
2. 1988 – ÖSS
A ve B birer küme olmak üzere A – B kümesinin
eleman sayısı 4, B – A kümesinin eleman sayısı
5, A kümesinin eleman sayısı 6 dır. Buna göre,
A ∪ B kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 7 B) 9 C) 11 D) 13 E) 15
3. 1988 – ÖYS
Futbol, voleybol ve basketbol oynayanlardan
oluşan bir sporcu kafilesinde, üç oyunu da
oynayanlar 5, futbol ve voleybol oynayanlar 9,
voleybol ve basketbol oynayanlar 8, futbol ve
basketbol oynayanlar 6 kişidir. Futbol oyna-
yanlar 23, voleybol oynayanlar 21, basketbol
oynayanlar 15 kişi olduğuna göre, kafilede kaç
sporcu vardır?
A) 64 B) 59 C) 53 D) 41 E) 39
4. 1988 – ÖYS
A ve B kümeleri için , A ⊄ B , B ⊄ A ,
s(A ∪ B) = 8 , s(A ∩ B) = 2 olduğuna göre,
A kümesinde en çok kaç eleman olabilir?
A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4
5. 1988 – ÖYS
A = {–2, –1, 0 } ve B = {1, 2, 3 }
kümelerinin, A x B (kartezyen çarpım) kümesi-
nin noktalarını dışarıda bırakmayan, en küçük
çemberinin yarıçapı kaç birimdir?
A) 3
1 B) v3 C) v2 D) 2 E) 1
6. 1989 – ÖSS
Bir sınıftaki öğrencilerden 35 i İngilizce, 33 ü
Almanca kursuna gidiyor. Bunlardan 15 i her
iki kursada gittiğine göre, bu sınıfta bu kurslara
katılan öğrencilerin tümü kaç kişidir?
A) 50 B) 53 C) 68 D) 78 E) 83
7. 1989 – ÖYS
En az birer elemanı bulunan A ve B kümeleri
için, (A – B) ∪ B = A eşitliği gerçekleniyorsa, bu
kümeler için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) B ⊂ A B) A ⊂ B C) A ∩ B = Ø
D) A ∪ B = B E) (A ∪ B)′ = B′
8. 1990 – ÖYS
s(A – B) = 9 , s(B – A) = 7 ve A ∩ B nin alt
küme sayısı 64 olduğuna göre, s(A ∪ B) kaçtır?
A) 16 B) 22 C) 24 D) 26 E) 28
ES
EN
YAY
INLA
RI
Üniversiteye Giriş Sınav Soruları
Kümeler
ES
EN
YAY
INLA
RI
44
9. 1991 – ÖYS
A = {Sınıftaki gözlüklü öğrenciler }
B = {Sınıftaki sarışın öğrenciler }
C = {Sınıftaki erkek öğrenciler }
D = {Sınıftaki kız öğrenciler } olduğuna göre,
C ∩ A – (B ∪ D) kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) {Sınıftaki sarışın olmayan, gözlüklü erkek öğrenciler }
B) {Sınıftaki gözlüklü olmayan, sarışın erkek öğrenciler }
C) {Sınıftaki gözlüklü olmayan, sarışın kız öğ-renciler }
D) {Sınıftaki gözlüklü erkek öğrenciler }
E) {Sınıftaki sarışın kız öğrenciler }
10. 1991 – ÖYS
M = {a, b, {1, 2 } , ∆ }
N = {a, 1, 2, {∆ } }
olduğuna göre, M – N fark kümesinin 2 elemanlı
alt kümelerinin sayısı kaçtır?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
11. 1992 – ÖSS
A = { x : 11 ≤ x ≤ 1200 , x = 4n , n ∈ N }
B = { y : 8 < y < 900 , y = 6k , k ∈ N }
olduğuna göre, (A ∩ B) nin eleman sayısı
kaçtır?
A) 64 B) 66 C) 68 D) 70 E) 74
12. 1993 – ÖSS
A = {a, b, c, d, e }
kümesinin, 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tane-
sinde a elemanı bulunur?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
13. 1993 – ÖYS
A ve B herhangi iki küme ve A ∪ B , A – B ,
B – A kümelerinin alt küme sayıları sırasıyla
512, 32 ve 4 olduğuna göre, A ∩ B kümesinin
eleman sayısı kaçtır?
A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
14. 1994 – ÖYS
E evrensel küme olmak üzere,
s(E) = 9 , s(A ∩ B) = 3 , s(A ∪ B) = 6 ve
s(B) = 4 olduğuna göre, A kümesinin tümleyeni
olan A′ kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4
15. 1994 – ÖYS
A = {a, c, d }
B = {a, b, c, d, e, f, g }
olduğuna göre, B nin alt kümelerinin kaç tanesi,
A kümesini kapsar?
A) 16 B) 32 C) 48 D) 96 E) 112
Kümeler
ES
EN
YAY
INLA
RI
45
16. 1996 – ÖYS
A = {1, 2, 3, 4, 5 }
kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 5 ele-
manı bulunur?
A) 24 B) 22 C) 20 D) 16 E) 8
17. 1997 – ÖYS
18 kişilik bir sınıfta öğrenciler İngilizce, Fransız-
ca dillerinden en az birini bilmektedir. İngilizce
bilenlerin sayısı Fransızca bilenlerin üç katıdır.
Buna göre sadece Fransızca bilenlerin sayısı
aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
18. 1998 – ÖSS
A ve B kümeleri E evrensel kümesinin alt
kümeleri olmak üzere,
s(E) =12, s(A – B) = 4 ve s(A′ ∩ B′ ) = 3
olduğuna göre, B kümesinin eleman sayısı
kaçtır?
A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
19. 1999 – ÖSS
Boş kümeden farklı A ve B kümeleri için
3.s(A – B) = 4.s(A ∩ B) = 5.s(B – A)
olduğuna göre, A ∪ B kümesinin eleman sayısı
en az kaçtır?
A) 12 B) 27 C) 35 D) 47 E) 60
20. 2000 – ÖSS
Bir sınıfta Almanca veya Fransızca dillerinden
en az birini bilen 40 öğrenci vardır. Almanca
bilenlerin sayısı; Fransızca bilenlerin sayısının
2 katı, her iki dilide bilenlerin sayısının ise 4
katıdır. Buna göre, sınıfta Almanca bilenlerin
sayısı kaçtır?
A) 18 B) 20 C) 24 D) 30 E) 32
21. 2001 – ÖSS
Pozitif tam sayılardan oluşan
A = {x : x < 100, x = 2n, n ∈ Z+ }
B = {x : x < 151, x = 3n, n ∈ Z+ }
kümeleri veriliyor. Buna göre, A ∪ B kümesinin
eleman sayısı kaçtır?
A) 49 B) 65 C) 74 D) 83 E) 99
22. 2002 – ÖSS
Bir sınıftaki erkeklerin sayısının kızların sayısına
oranı 73
dir. Erkeklerin % 20 si futbol oynadığına
göre, futbol oynamayan erkeklerin sayısı tüm
sınıfın yüzde kaçıdır?
A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) 24
23. 2002 – ÖSS
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tane-
sinde 2 bulunur; ama 4 bulunmaz?
A) 10 B) 15 C) 20 D) 50 E) 70
Kümeler
ES
EN
YAY
INLA
RI
46
24. 2003 – ÖSS
Kesişimleri boş küme olmayan M ve N kümeleri
için,
s(N) = 4.s(M)
s(N – M) = 5.s(M – N)
olduğuna göre, N kümesi en az kaç elemanlıdır?
A) 12 B) 16 C) 18 D) 20 E) 24
25. 2005 – ÖSS
A = {a, b, c, d }
B = {b, c, d, e, f, g, k, l }
C = {c, d, e, r }
olduğuna göre, kartezyen çarpımların kesişimi
olan (A x B) ∩ (A x C) kümesinin eleman
sayısı kaçtır?
A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18
26. 2008 – ÖSS
K = {–2, –1, 0, 1, 2, 3 }
kümesinin üç elemanlı alt kümelerinden kaç
tanesinin elemanları çarpımı bir negatif tam
sayıya eşittir?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
27. 2009 – ÖSS
Herhangi A ve B kümeleri için (A ∪ B) – (A ∩ B)
fark kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) A ∩ (A – B)B) A ∪ (A – B)
C) (A – B) ∪ (B – A)D) (A – B) ∩ (B – A)
E) (A ∪ B) – (A – B)
28. 2010 – YGS
A = {a, b, e }
B = {a, b, c, d }
olduğuna göre, (A ∩ B) ⊆ K ⊆ (A ∪ B)
koşulunu sağlayan kaç tane K kümesi vardır?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 8 E) 9
29. 2011 – YGS
n bir pozitif tam sayı olmak üzere, n yi kalansız
bölen pozitif tam sayıların kümesi S(n) ile
gösteriliyor. Buna göre, S(60) ∩ S(72) kesişim
kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 8 B) 9 C) 6 D) 5 E) 4
30. 2011 – LYS
A = {n ∈ Z+ : n ≤ 100; n, 3’e tam bölünür. }
B = {n ∈ Z+ : n ≤ 100; n, 5’e tam bölünür. }
olduğuna göre, A – B fark kümesinin eleman
sayısı kaçtır?
A) 33 B) 32 C) 30 D) 28 E) 27
31. 2012 – YGS
A = ,23
5–
= G
B = ,3316
> H
kapalı aralıkları için (A ∪ B) ∩ Z kümesinin ele-
man sayısı kaçtır? (Z, tam sayılar kümesidir. )
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
Kümeler
ES
EN
YAY
INLA
RI
47
32. 2012 – LYS
Bir öğrenci, doğru olduğunu düşündüğü aşağı-
daki iddiayı ispatlarken bir hata yapmıştır.
İddia: A, B, C herhangi kümeler olmak üzere,
A – ( B ∩ C ) ⊆ ( A – B ) ∩ ( A – C ) dir.
Öğrencinin ispatı:
A – ( B ∩ C ) kümesinin her elemanının
( A – B ) ∩ ( A – C ) kümesinde olduğunu
gösterirsem ispat biter.
Şimdi, x ∈ A – ( B ∩ C ) alalım.
I. Buradan x ∈ A ve x ∉ ( B ∩ C ) olur.
II. Buradan x ∈ A ve ( x ∉ B ve x ∉ C ) olur.
III. Buradan ( x ∈ A ve x ∉ B ) ve
( x ∈ A ve x ∉ C ) olur.
IV. Buradan x ∈ A – B ve x ∈ A – C olur.
V. Buradan x ∈ [ ( A – B ) ∩ ( A – C ) olur.
Bu öğrenci, numaralandırılmış adımların hangi-
sinde hata yapmıştır?
A) I B) II C) III D) IV E) V
Kümeler
48
ES
EN
YAY
INLA
RI