A..F.F. Dner Sermaye Iletmesi Yaynlar No: 36

KLASIK EKTRODNAM1K(iKiNCI BASKI)

Yazan

JOHN DAVID JACKSONFizik Profesr, Kaliforniya niversitesi, Berkeley

eviren Prof. Dr. Zeki Zekeriya AYDIN A.C. Fen Fakltesi ANKARA

A.U.F.F. Dner Sermaye iletmesi 'Yaynlar No: 36

KLASK ELEKTRODNAMK(KNC BASK)

Yazan JOHN DAVID JACKSON Fizik Profesr, Kaliforniya niversitesi, Berkeley

eviren Prof. Dr. Zeki Zekeriya AYDIN A.. Fen Fakltesi ANKARA

Bu eviri, 1962'de yaz lan ve daha sonra geni letlerek 1975'de yeniden bas lan [John David Jackson, Electrodynamics, John Wiley and Sons, New York (1975)] adl kitabn ilk yedi blmn kapsamaktad r. Aslnda kitabn tamam , ikinci bas mda eklenen Giri blmyle birlikte 18 blmden olumakta ve yazarnn da dedii gibi, bir btn olarak daha ok lisans-st rencilere hitap etmektedir. Elektromanyetik teori, klasik mekanik ve kuantum mekaniiyle birlikte, lisans ve lisans-st dzeyde gnmz fizik eitiminin temelini oluturmaktadr. Bu nedenle, tipik bir fizik lisans program nda, temel fizikten sonra iki yar-yllk bir elektromanyetizma dersi olmal ; bu derste temel yasalar ve sonular , bunlarn laboratuvar gereklemeleri, devre analizi, basit dalga olaylar ve maya nem verilmelidir. Kullanlacak matematik, vektr hesap, sabit katsayl diferansiyel denklemler, Fourier serileri ve belki de Fourier ya da Laplace dnmleri, paral diferansiyel denklemler, Legendre ok-terimlileri ve Bessel fonksiyonlar gibi konular iermelidir. Trkiye'deki fizik blmlerinin ounda 2. yarlylda bir elektrik ve manyetizmaya giri dersi okutulmakta, 4. yarly lda da Berkeley Fizik Program 'nn "Elektrik ve Manyetizma" cildi ya da benzeri bir ders verilmektedir. Bu iki dersin zerine, drdnc ylda iki yar -y l halinde bu yedi blmlk temel elektromanyetik teori anlat labilir. Bu program, uzun y llardan beri. Ankara Fen Fakltesi Fizik Blmnde uygulanm ve az msanmayacak bir baar elde edilmitir. Kitabn geri kalan ksmn (zellikle 11. blmden sonras n ) lisans-st s nflarda okutmakta olduumuz iin, akademik hayata haz rlanan rencileri ngilizce okumaya zorlamak d ncesiyle bu k s mlar evirmekten zellikle ka ndmz belirtmeliyim. Dndnc s nfa, Berkeley ile bu eviri aras nda yer alan orta-karar dzeyde bir ders koyup, Jackson' n elektrodinamik kitabn tmyle lisans-stne kayd rmak dnlebilir. Bu durumda da programda ok fazla say da elektromanyetizma dersi bulunduu ileri srlecektir. Elektromanyetizma'n n Maxwel teorisini sunmay amalayan bu eviri, geleneksel olarak elektrostatikle ba lar. Gerekli matematiksel aralar yeri geldike kurulur; zellikle Blm 2 ve 3'de, s nr-deer problemleri enine-boyuna tart l r. Tretmeye E elektrik alan ve B manyetik indksiyonu cinsinden ba lanr; makroskobik D ve H nicelikleri ise atom ve molekl

iv

topluluklar zerinden uygun ortalamalar eklinde ortaya at l rlar. Dielektriklerin tart lmas nda, atomik kutuplan rlk iin basit klasik modeller betimlenir; fakat manyetik maddeler iin buna giri ilmez. nk manyetik al nganl k iin klasik modeller olas deildir. Ayrca ilgin bir konu olan ferromanyetizma olay nn aydnlatlmas neredeyse kendi tana ayr bir kitap oluturur. Elektromanyetik olaylara bir rnek olarak, n elektromanyetik teorisi Blm 7'de incelenmektedir. Bu blmde ayrca dielektriklerin, iletkenlerin ve plazmalar n frekans datma karakteristikleri birle tirilmi biimde tart lmakta; neden-sonu ili kisi (kozalite) ile Kramers-Kronig da tma ba ntlar ele al nmakta ve nihayet datc bir ortamda bir sinyalin hedefine yar ile ilgili klasik Sommerfeld-Brillouin problemi basitletirilmi , fakat geni bir biimde sunulmaktad r. kinci bas mda eklenen bu kesimler lisans rencilerine anlat lmayabilir. Birimler ve boyutlar zerine olan Ek'te, bir birim sistemini kurarken izlenecek mant ksal basamaklar gsterilmektedir. Yararl olaca sanlan tablolardan birinde denklemlerin ve sembollerin, di erinde ise verilen bir niceli in Gaussiyen birimlerden MKS birimlerine evrilmesi yer almaktad r.

V

IINDEKILER

NSZ BLM O. GR VE GENEL BAKI G.1. Bo lukta Maxwell Denklemleri, Alanlar ve Kaynaklar G.2. Ters Kare Yasas ya da Fotonun Ktlesi G.3. izgisel stste Gelme G.4. Makroskopik Ortamlarda Maxwell Denklemleri G.5. Farkl Ortamlar n Arakesit Yzeylerinde S nr Koullar G.6. Elektromanyetizmadaki Soyutlamalar zerine Baz Uyarmalar Kaynaklar ve nerilen Okuma Paralar BLM 1 ELEKTROSTATE GR 1.1. Coulomb Yasas 1.2. Elektrik Alan 1.3. Gauss Yasas 1.4. Gauss Yasas nn Diferansiyel ekli 1.5. Elektrostati in Bir Baka Denklemi ve Skaler Potansiyel 1.6. Yzeysel Yk ve ift-kutup Da lmlar ,Elektrik Alan ve Potansiyeldeki Sreksizlikler 1.7. Poisson ve Laplace Denklemleri 1.8. Green Teoremi 1.9. Dirichlet ya da Neumann S nr Koullar ile zmn Teklii 1.10. Elektrostatik Snr-deer Green Fonksiyonuyle zm Problemlerinin 54 57 62 1 2 6 10 15 20 26 30 33 33 33 37 40 40 43 48 50 52

1,11. Elektrostatik Potansiyel Enerji ve Enerji Younluu, Sa Kaynaklar ve nerilen Okuma Paralar

VI

Sayfa

Problemler BLM 2 ELEXTROSTATKTE SINIR-DEER PROBLEMLER 2.1. Grnt Ykleri Yntemi 2.2. Topraklanm letken Kre Kars nda Noktasal

63 69 69 70 74 76 76 78 80 82 86 90 94 99 100

Yk 2.3. Yal tlm , Ykl Bir letken Kre Karsnda Noktasal Yk 2.4. Sabit Potansiyeldeki letken Kre Yak nnda Noktasal Yk 2.5. Grnt Ykleri Yntemiyle Dzgn Elektrik Alannda letken Kre2.6. Kre iin Green Fonksiyonu, Potansiyelin Genel zm 2.7. Yar -kreleri letken Kre Ayr Potansiyelde Tutulan

2.8. Dik Fonksiyonlar ve A l mlar 2.9. Deikenlerin Ayrlmas , Dik Koordinatlarda Laplace Denklemi 2.10. ki-boyutlu Bir Potansiyel Problemi, Bir Fourier Serisinin Toplanmas 2.11. ki-boyutlu Ke ve Kenarlarda Alanlar ve Yk Younluklar nerilen Kaynaklar ve Okuma Paralar Problemler BLM 3 ELEKTROSTATKTE SINIR-DEER PROBLEMLER 2 3.1. Kresel Koordinatlarda Laplace Denklemi 3.2. Legendre Denklemi ve Legendre ok-terimlileri 3.3. Eksensel Simetrili S nr-deer Problemleri 3.4. Bir Konisel Oyukta ya da Sivri Bir Konisel U Dolaynda Alanlar n Davran

108 108 110 117 121

V

Sayfa 3.5. Bal Legendre Fonksiyonlar ve Y Kresel Harmonikleri m (O,o) 126 130 133 140 143 147 151 154 158 166 166

3.6. Kresel Harmenikler in Toplama Teeremi 3.7. Silindirik Koordinatlarda Laplace Denklemi, Bessel Fonksiyonlar 3.8. Silindirik Koordinatlarda S nr-deer Problemleri 3.9. Green Fonksiyonlar nn Kresel Koordinatlarda A l m 3.10. Potansiyel Problemlerinin Kresel Green Fonksiyonu A lmyla zm 3.11. Silindirik Koordinatlarda Green Fonksiyonlarnn A lan' 3.12. Green Fonksiyonlar in zfonksiyon A l mlar 3.13. Kar k Snr Koullar , Dairesel Delii Olan letken Dzlem Kaynaklar ve nerilen Okuma Paralar Problemler BLM 4. OK-KUTUPLAR, MAKROSKOBK ORTAMLARDA ELEKTMSTATK,DELEKTRKLER 4.1. ok-kutup A lm 4.2. D Alan inde Bulunan Bir Yk Dal mnn Enerjisinin ok-kutup A lm 4.3. Maddesel Ortamlarda Elektrostatik 4.4. Dielektrikli S nr-deer Problemleri 4.5. Moleklsel Al nganl k Kutuplanrlk ve Elektriksel

178 178 185 187 192 199 203 207 214 214

4.6. Moleklsel Kutuplanrl k in Modeller 4.7. Dielektrik Ortamlarda Elektrostatik Enerji Kaynaklar ve nerilen Okuma .Paralar Problemler

yin

SayfaBLM 5. MANYETOSTATK 221

5.1. Giri ve Tanmlar 5.2. Biot ve Savart Yasas 5.3. Manyetostatiin Diferansiyel Denklemleri ve Ampere Yasas 5.4. Vektr Potansiyeli 5.5. Dairesel Akm Halkas nn Vektr Potansiyeli ve Manyetik ndksiyonu 5.6. Yerleik Bir Akm Da lmnn Manyetik Alanlar , Manyetik Moment 5.7. Bir D Manyetik Alan inde Yerle ik Akm Da l mna Uygulanan Kuvvet, Burulma ve Bu Da l mn Enerjisi 5.8. Makroskobik Denklemler, B ve H zerindeki Snr Koullar 5.9. Manyetostatikte S nr-deer Problemlerini zme Yntemleri 5.10. Dzgn Mknatslanm Kre 5.11. Bir D Alan inde Bulunan M knatslanm Kre, Srekli M knat slar 5.12. Manyetik Perdeleme, Dzgn Bir Alan Geirgen Maddeden Kresel Kabuk inde

221 222 227 230 232 237

242 246 251 256 259 261

5.13. Bir Taraf nda Asimtotik Olarak Dzgn Bir Teetsel Manyetik Alan Bulunan Yetkin Bir letker Dzlem zerindeki Dairesel Deliin Etkisi Kaynaklar ve nerilen Okuma Paralar ProblemlerBLM 6. ZAMANLA DEEN ALANLAR, MAXWELL DENKLEMLER , KORUNUM YASALAR

265 269 269

276

6.1. Faraday' n ndksiyon Yasas 6.2. Manyetik Alandaki Enerji 6.3. Maxwell'in Yerde itirme Denklemleri

.......... Akm , Maxwell

276 281 286

ix

Sayfa

6.4. Vektr ve Skaler Potansiyeller 6.5. Ayar Dnmleri, Lorentz Ayar , Coulomb Ayar 6.6. Dalga Denklemi in Green Fonksiyonlar 6.7. Makroskobik Elektromanyetizma Denklemlerinin Tretilmesi 6.8. Poynting Teoremi ve Ykl Parac klarla Elektromanyetik Alanlardan Olu an Bir Sistem in Enerjinin ve Momentumun Korunumu 6.9. Makroskobik Ortamlar iin Korunum Yasalar 6.10. Harmonik Alanlar in Poynting Teoremi, mpe dans ve Admitans' n Alan Tanmlar 6.11. Elektromanyetik. Alanlar n ve Kaynaklar n Dnmeler, Uzaysal Yans malar ve Zaman Ters lenmesi Alt ndaki Dnm zellikleri 6.12. Manyetik Tek -kutuplar Sorunu zerine 6.13. Dirac Kuantumlama Koulunun Tartlmas Kaynaklar ve nerilen Okuma'Paralar ProblemlerBLM 7. DZLEM ELEKTROMANYETIK DALGALAR VE DALGANIN YAYILMASI

289 291 294 298

311 316 318

323 331 334 341 343

354

7.1.

letken Olmayan Ortamda Dzlem Dalgalar

354 360

7.2. izgisel ve Dairesel Kutuplanma, Stokes Parametreleri 7.3. Dielektrikler Aras ndaki Dzlemsel Arayzeyde Elektromanyetik Dalgalarn Yans mas ve Krlmas 7.4. Yans mayla Kutuplanma ve Tam Yans ma 7.5. Dielektrikler, letkenlerin ve Plazmalarn Frekans Datma zellikleri 7.6. yonosferde ve Manyetosferde Basitletirilmi Yaylma Modeli

366 371 374 383 387

7.7. letken ya da Kaypl Bir Ortamda Dalgalar

X

Sayfa7.8. Tek-boyutta Dalgalar n stste Binmesi, Grup Hz 7.9. Datmall Bir Ortamda lerlerken Bir Atman n Genilemesinin Bir rnekle Anlat lmas 7.10. D ve E Aras ndaki Balantda Neden-Sonu ilikisi, Kramers-Kronig Bant lar 7.11. Bir Sinyalin Da tc Ortamda Sonra Hedefine Ulamas Problemler BRMLER VE BOYUTLAR ZERNE EK BBLYOGRAFYA VEKTR FORMLLER VEKTREL HESABA ILI KIN TEOREMLERVEKTREL LEMLERIN AIK BMLERi

391 395 400 409 427 429 440 453 458 459 460

lerledikten

Kaynaklar ve nerilen Okuma Paralar

GR VE GENEL BAKI Kehribar ve mknats ta eski Yunanl lardan beri bilindii halde, elektrodinamik, nicel olarak bir yzy ldan daha ksa bir sre ierisinde geli tirilmitir. Cavendish'in gze arpan elektrostatik deneyleri 1771 ile 1773 y llar arasnda yaplmtr. Coulomb gsteri li aratrmalarn 1785'de yay nlamaa balamtr. Bu, elektrik ve manyetizmada evrensel nitelikli nicel aratrmalarn balangcn gsterir. Elli y l sonra, Faraday, zamanla deien akmlarn ve manyetik alanlar n etkilerini inceliyordu. Maxwell, elektromanyetik alan n dinamik kuram zerine olan o nl makalesini 1864'de yay nlamt . Elektrik ile manyetizmay ve anlamamzn geliim yks, kukusuz ki bir yzy ldan birka isim vermenin tesinde, ok daha uzun ve daha zengindir. Okuyucu, bu byleyici tarihin ayrntlar iin, Whittaker'in * gvenilir ciltlerine bakmal dr. Optik olaylar na nem veren daha k sa bir yk ise, Born ve Wolf'un balangcnda yer al r. Bu kitap kendi kendine yeterlidir; geri vektr hesab na ve trevli denklemlere dayanan bir matematiksel temel ister, fakat elektrodinamik konusu, elektrostatikteki temellerinden balanarak geli tirilmektedir. Bununla beraber okuyucular n ou bu konuyla ilk kez karlamyorlar. Dolay siyle bu giri in amac , Coulomb yasas ve dier temellerin tart lmasna sahne haz rlamak deil, klasik elektromanyetizmay zet biiminde gzden geirmektir. Bu arada, kuvvet iin ters kare yasas nn bugnk doruluk derecesi (fotonun ktlesi), stste gelme ilkesinin geerlilik limitleri, ykn ve enerji farklar nn kesikli olu larnn etkileri gibi sorular tart lacakt r. Farkl ortamlar arasndaki yzeylerde ve iletkenlerde makroskobik alanlar iin s nr koullar gibi. "peynir ekmek" cinsinden konulara da deinilecektir. Ama, klasik elektromanyetizmay yerli yerine oturtmak, geerlilik blgesini gstermek ve kapsad idealletirmelerin baz larn aydnlatmaktr. Tartma sresince, kitapta daha sonra karlan baz sonular ve klasik olmayan baz dnceler kullanlacakt r. Kukusuz elektromanyetizmaya ilk kez balayan bir okuyucu kan tlamalarn tmn izleyemiyecek, ya da onlar n nemini anl yamyacaktr. Bununla beraber, dierleri iin bu giri , kitabn 5. Blmnden sonraki ksmlarna bir s rama tahtas rol oynayacak ve ayrca bir deneysel bilim olarak konunun nas l ayakta durduunu anmsatacaktr kansndayz.* Koyu harflerle yaz lan soyadlar , Bibliyografya'da tam olarak verilen kitaplar gstermek iin kullan lmaktad r.

2

G.1- Bolukta Maxwell Denklemleri, Alanlar ve Kaynaklar

Elektromanyetik olaylar yneten denklemler Maxwell denklemleridir; bunlar bo luktaki kaynaklar iin...4. --4, V . E = 4115) .4, -ir

B

1-

---.-

4n 'T' 7 x Jc(G.1)

c -, x --> V E + 1c

- t --- = o F3at

. B = O

eklindedirler. Yk yo unluu ve akm younluu iin sreklilik denklemi dediimiz + v . J.... 0 (G.2)

atbants Maxwell denklemlerinde kapal olarak bulunmaktad r. (G.l)'deki ilk denklemin zamana gre trevi ile ikinci denklemin raksamas n birletirince bu bant ortaya kar..Ykl parac k hareketinin ele al n nda temel olan bir denklem de, elektromanyetik alanlar n varl halinde, noktasal bir q ykne etkiyen kuvveti veren -) -P 1 -, F = q (E + v x B) (G.3) eklindeki Lorentz kuvvetidir. Bu denklemler Gauss birimleri cinsinden yaz lm tr; bu kitapta kullan lan elektromanyetik birim sistemi budur (Birimler ve boyutlar, kitab n sonundaki Ek'te tart lmaktadr). Maxwell denklemleri, sz edilen Ek'teki izelge 2'de eitli birim sistemleri cinsinden de sergilenmektedir. Bu denklemler, ve 1.r alanlar ile p ve jr kaynaklarndan baka, bir de c parametresi kapsamaktadr. Bu nicelik h z boyutunda olup, n bo luktaki hzdr. Ik hz nn tm elektromanyetik ve reltivistik olaylar iin temel bir nemi vardr. Ek'te tart ld gibi, son yllarda iki farkl atomik gei cinsinden ayr ayr tanmlanan uzunluk ve zaman birimlerimize dayal olarak, bu parametre

c = 299,792.456,2 1,2 metre/saniye* deneysel deerine sahiptir. Bu sonu, son derece kararl bir helyum-neon laseri kullan larak (metann 3,39imr,'lik izgisinde kararl kl nm ) hem frekans n hem de dalgaboyunun lld bir deneyden elde edilir. Bu noktada una iaret edelim ki, burada metrenin bugnk tanm yerine, c'yi ve saniyeyi kullanan bir tanm konmu gibi bir kesinlik vard r. Baka bir kant (Kesim24 11.2 (c)'ye bak nz), ok alak frekanslardan en az ndan t110 Hz ilik ok yksek frekanslara (4:GaV'lik fotonlara) kadar, byk bir dorulukla, n boluktaki hznn frekanstag bamsz olduunu gsterir. Pek ok pratik ara iin, c 3x 10 m/sn ya da daha kesin olan c = 2,998 x 10 m/sn yaklak deeri alnabilir. .4> .4 (G.1)'deki E ve B elektrik ve manyetik alanlar , ilk olarak (G.3) kuvvet denklemi arac l yla ortaya at lmtr. Coulomb'un deneylerinde, yerleik yk dalmlar arasnda etkiyen kuvvet ler gzlenmi ti. Burada birim yk ba na den kuvvet olarak E elektrik alan n ortaya atmak yararldr (1.2 Kesimine bak.). BenZer ekilde, Ampere'in deneylerinde ise, ak m tayan halkalar aras ndaki karlkl kuvvetler incelenmi ti (5.2 Kesimine bak.). Birim hacminde -N hzl N tane yk taycs bulunan A kesit alanl bir iletkenden geen ak m NAg' olarak saptamakla, (G.3)'teki byklke, birim akm bana den kuvvet olarak tanmlanabileceini grrz. lr ile B balangta sadece yk ve akm dalmlar tarafndan oluturulan kuvvetlerin yerine konan yararl yardmclar gibi gzkt halde, onlar n baka nemli zellikleri de vard r. Birinci olarak, alanlar n ortaya atlmasyle, kavramsal a dan kaynaklar, elektromanyetik alanlar gren teet cisimlerinden ayr lmlardr. ki kaynak dalmnn E ve B alanlar uzayn verilen bir noktas nda ayn iseler, kaynak dalmlar ne kadar farkl olursa olsun, bu noktadaki bir test ykne ya test akmna etkiyen kuvvet ayn olacakt r. Bu, (G.3)'teki E ve B alanlarna, kaynaklar ndan bams z olarak, kendi haklar olan anlam verir. kinci olarak, elektromanyetik alanlar, kaynaklar n bulunmad uzay blgelerinde de var olabilirler. Enerji, momentum ve a sal momentum tarlar ve bylece yklerden ve ak mlardan tmyle bamsz olarak bir varla sahiptirler. Gerekten de, ykl parac kla, rn etkilemesini uzaktan-etki eklinde anlatmay yeleyen ve dolaysiyla alanlara a ka bavurmay kaldrmaa al an yineli giriimler var olmas na karn, elektromanyetik alan kavram , hem klasik hem de kuantum mekaniksel olarak, fiziin en verimli dncelerinden biridir.. Evenson et al., Phys.Rev. Letters

2,2,

1346 (1972).

4

Al lm alanlar olarak E ve B klasik bir kavramd r.Gerek ve sanal fotonlar cinsinden yap lan kuantum mekaniksel anlat mn klasik limiti (byk kuantum say lar limiti) gibi d nlebilir. Makroskobik olaylar blgesinde ve hatta baz atomik olaylarda, elektromanyetik alan n kesikli foton grnm ou kez nemsenmiyebilir, ya da en az ndan trplenebilir. rne in, 100 wat'l k k amplnden 1 metre tede, elektrik alan nn kare ortalamas kk (kHaca k.o.k.) 0,5 volt/cm dolay ndadr 2 ve saniyede8 cm ye 10 kadar grnr foton gelir. Benzer ekilde, 10 Hz'de 100 wat gcnde izotropik bir FM anteni, 100 km'lik bir uzakl kta ancak 5 mikrovolt/cmWk bir kir k. elektrik alan oluturur; fakat bu gene de 10 foton/cm x s'lik bir ak ya g ya da bu uzakl ktaki 1 dalgaboyu kpnn (27 m ) hacminde 10 dolaynda foton bulunmas na kar gelir. Al ld gibi, aygt, fotonlara tek tek duyarl olmayacak; yaynlanan ya da sourulan birok fotonun toplu etkisi, makroskobik olarak gzlenebilen srekli bir yan t olarak grnecektir. Elektromanyetik alanlar n klasik anlat mnn ne zaman uygun olacana nsel olarak nasl karar verilecektir? Bazen biraz karmakl k gerekir; fakat genellikle u yeterli bir lttr: i e karan foton say snn byk alnmas yannda, ayrca bir tek fotonun ta d momentum da maddesel sistemin momentumuna gre kk ise, o zaman maddesel sistemin yan t , elektromanyetik alanlar n klasik anlat myla yeterince geptanabilir. rnein, FM antenimiz taraf nda] yaynlanan 10 Hz'lik herbir foton, antene sadece 2,2 x 10 newton-saniye'lik bir itme verir. Klasik ilem kukusuz yeterlidir. In serbest elektron taraf ndan sa lmas , alak frekanslarda klasik Thomson formlyle (Kesim 14.7) verilir; fakat gelen fotonuntd/c momentumu mc'ye gre nemli hale gelince Compton etkisi yasalar yrrle girer. Fotoelektrik olay maddesel sistem iin klasik olmayan bir olgudur; nk metal iindeki yar -serbest elektronlar kendi enerjilerini sourulan fotonlar n enerjilerine eit miktarda deitirirler; fakat fotoelektrik ak m, elektronlar iin kuantum mekaniksel biimde, elektromanyetik alanlarn klasik anlat m kullanlarak hesaplanabilir. Dier taraftan elektromanyetik alanlarn kuantumlu nitelii, atomlarn ya da herhangi bir sistemin kendili inden nm yaynlamas nda (ki burada balangta hi foton yoktur, sonunda ise sadece az say da foton vardr) hesaba kat lmaldr. Ortalama davran , temelde enerji ve momentumun korunumu nedeniyle, hl klasik terimlerle anlat labilir. Bir ekici potansiyelin yrngeleri zerinde basamak basamak daha itekilere atlayan ykl bir parac n klasik anlat m (Kesim 17.2) buna bir rnektir. Yksek parack kuantum saylarnda parack hareketinin klasik anlat m yeterlidir, enerji ve momentumdaki de i-

meler nm tepkimesinden klasik olarak hesaplanabilir; nk ard ardna yaynlanan fotonlarn enerjileri, dolanan parac n kinetik ya da potansiyel enerjisine gre kktr. (G.1)'deki kaynaklar yk younluu j?(Zt) ve elektrik akm younluu 3( X . .,t)'dir. Klasik elektromanyetizmada kaynaklar t'in srekli dalmlar olarak dnlr; gene de zaman zaman noktasal yaklakla uratacamz yerleik dalmlardan sz edeceiz. Bu noktasal yklerin byklkleri tmyle keyfi kabul edilir; fakat gerekte kesikli de erlere snrlanm olduu bilinir. Temel yk birimi, elektron zerindeki ykn bykl dr: . 4,803250(21) x 10 -10 esb = 1,6021917(70) x 1619 coulomb Burada son iki ondal k basamandaki hatalar parantez iinde gsterilmi tir. Proton zerindeki ve u anda bilinen tm paracklar ya da parac k sistemleri zerindeki ykler, bu temel birimin tam katlardrlar. Katl ln kesinlikle tam 26ay olduu konusundaki deneysel doruluk olaanstdr (10 'de l'den daha Ykn Lorentz de imezlii sorusunu da i leyen bu deneyler, Kesim 11.9'da tartlMaktadr. Makroskobik uygulamalar n ounda, elektrik ykn kesikli saymak - gerekli deildir. rnein, 150 voltluk gerilim alt nR 1 mikrofaradlk bir s ann bir plkas nda toplam olarak 10 tane temel yk vardr. Birka bin elektronun fazlal ya azl hissedilmez. 1 mikroamperlik ak m, saniyede 6,2 x 10 temel yke kar gelir. Kukusuz ykn kesikli oluunun i e kart baz duyarl makroskobik ya da nerdeyse makroskobik deneyler vard r. Millikan' n nl ya dam3 deneyi bunlardan 4as biridir. Onun damlalar tipik olarak 10 cm yar apnda idi ve zerlerinde birka tane, bilemediniz yirmi-otuz tane temel yk vard . (G.1) Maxwell denklemlerinde kaynak terimlerinin grn nde bir simetri eksiklii vardr. ilk iki denklem kaynakl dr ; kalan ikisi ise kaynaks z. Bu, manyetik yklerin ve ak mlarn deneysel olarak bulunmadklarn yans tr. Kesim 6.12'de gsterilecei gibi gerekte parac klar hem elektrik hem manyetik yke sahip olabilirler. Eer do adaki tm parac klarn manyetik yk bl elektrik yk oranlar ayn olsayd , alanlar ve kaynaklar uygun ekilde yeniden tan mlanarak (G.1)'deki olaan Maxwell denklemleri ortaya kard . Bu anlamda, manyetik yk ve akmlarn var olmad n sylemek, bir bakma bir anlama

.19

6

sorunudur. Bu kitabn ou yerinde, Maxwell denklemlerinde sadece elektrik yklerinin ve akmlarnn rol oynadklar varsaylacaktr; bununla beraber farkl manyetik yk bl elektrik yk oran na sahip bir parac n, rnein bir manyetik tek-kutubun varl nn getirecei baz sonular Blm 6'da anlatlacaktr.G.2-

Ters Kare Yasas ya da Fotonun Ktlesi

Elektrostatik kuvvet yasas nn uzakl a olan bal l , nicel olarak Cavendish ve Coulomb taraf ndan ters kare yasas biiminde saptanmt . Bu, Gauss yasas ve raksama teoremi yardmiyle (Kesim 1.3 ve 1.4'e bak.) (G.l)'deki Maxwell denk lemlerinin ilkine yol am t . lk deneyler ancak yzde birka lk bir kesinli e sahiptiler ve stelik bir laboratuvar boyu leindeydiler. Y llar sonra daha byk kesinlikte ve farkl leklerde deneyler yap ld . Ters kare yasas zerine yap lm olan snamalar , aadaki iki yoldan biri iinde aktarmak art k al kanlk haline gelmi tir: 2*5 (a) Kuvvetin 1/r eklinde deitiini varsaynz ve iin bir deer ya da bir limit veriniz. (b) Elektrostatik potansiyelin r -1 e 14r "Yukawa" yap s na sahip olduunu varsaynz ve /44 veya /Z' iin bir deer ya da bir limit veriniz. m fotonun varsay lan ktlesi olmak zere,,4= m y c/t olduundan, ters kare yasas nn doruluk derecesi bazen m iin bir st limit cinsinden ifade edilebilir. Laboratuvar deneyleri ou kez , ve belki de, ya da m x j.k ya da m y 'y verirler. yiverl;jomanytikdelrs Cavendish* taraf ndan 1772 I de emerkezli krelerle yaplan ilk deney, iin Ili 40,02'lik bir st limit vermi ti. Cavendish:in aygt Sek.G.1 17de grlmektedir. A a yukar 100 yl sonra, Maxwell CaMbrigelgelde+ buna ok benzeyen bir deney yapt ve 11E1 4: 5 x 10 'lik bir st limit ortaya koydu. Gauss yasas na dayanan dier iki nemli laboratuvar deneyi, t1E1 G 2 x 10 veren Plimpton ve Lawton'un deneyi ile son.y llarda yaplm olan Williams, Faller ve Hill'in deneyidir 5 . Son deneydeki aygtn ematik bir izimi, ek.G.2'de y96 almaktadr. Statik r bir deney olmamakla birlikte (V = 4 x 10 Hz), temel d nce hemen hemen Cavendish'inkiyle ayn dr. Cavendish, ykl d x H.,Cavendisk, Electrical Researches, editr: I. C.Maxwell, Cambridge University Press (1879), sayfa 104-113.+ Ayni kitap,

bak. not 19. J.E.Faller and H.A.Hill, Phys.Rev. Letters 26, 721 (1971).

t S.J.Plimpton and W.E Lawton, Phys.Rev. 50, 1066 (1936).

7

kreyi elektriksel olarak i kreyle demeye getirip tekrar ayrdktan sonra, i kre zerinde yk aram ; hi bulamam t . Williams, Faller ve Hill ise,d kre kabuuna topraa gre + 10 kV luk bir dalgal gerilim uygulayarak, e me r zli ik kre kabuu aras nda bir gerilim fark aradlar. 10 Volttan daha kk bir gerilim fark n lebilecek bir duyarl la sahip olmalar na karn, hibir gerilim fark gzleyemediler. Bu bo sonu, Proca denklemleri . (Ksim 12.9) arac lyla yorumlandnda, = (2,7 + 3,1) x 10 'l k bir limit verir. Uydularla hem yeryz zerinde hem de yeryz d nda yerin manyetik alan llerek, E. iin ya da edeer olarak m r foton ktlesi iin en iyi limitlerin bulunmas salanr. Bu giriin sonundaki listede yer alan Kobzarev ve Okun ile Goldhaber ve Nieto'nun gzden geirme nitelikli uzun yaz larnda, hem jeofiziksel hem de laboratuvar gzlemleri tart lmaktadr. Yerin manyetik alann n yzeydeki lmleri en iyi de eri (bak: Problem 12.14) verir: m 101 cm -28 Karlatrma iin, elektron ktlesinin m = 9,1 x 10 gr. olduunu syleyelim. Wliams, Faller ve e Hill'in laboratuvar deneyi, m r < 1,6 x 10 gr 'l k bir limit koymaktadr; bu ise jeomanyetik limitten sadece 4 gibi bir arpan kadar daha ktdr. Yer kresi ile iyon kresi aras nda kalan rezonans oyuu (cavity) iinde ok alak frekans kiplerinin var olduuna (Kesim 8.9'da tart lan Schumann rezonanslar ) dikkat edilerek, foton ktlesi zerine kolayl kp kaba bir limit konabilir2. ift Einstein bants hV= m yc , foton ktlesinin mv (x (t), t) .

da da

c

1

. t da +

.

Bir vektr zdelii kullanarak ikinci terim daha uygun hale dntrlr ve aranan integral u ekle gelir:

f 1 c

-z> t

- t* da = U'x(Ox 3)

.

da

Sadaki ilk terim Stokes teoremi arac l yle kapal bir izgi integraline dntrlebilir; ikinci terim ise j) yk younluu cinsinden yaz labilir. Bylece (G.15) denklemini ekil G.5'deki C halkas na uygulayarak u bantya ulal r:

H- x i5> .dQ= c1 4

.

tda

(G.19) ve (G.20) ncesindeki basamaklardan geerek, bu ba ntdan

26

x [17 2

-

-? - (-3 x ( .". 11 2

-

= 4" C

v) .

sreksizlik forml elde edilir; buradaki tm nicelikler laboratuvar sisteminde de erlendirilmi tir. Birka vektrel ilemin yan s ra (G.17)'nin kullanlmas bizi -4 -4 .4 -4 t . n x (H 2 - H ) + n .(3(D - D )1 = 1 2 4u -", K . t c (G.21)

lsoant s na gtrr. Tmyle benzer i lemler sonucunda, E (ve B)'nin teetsel bileenlerinin sreksizlikleri olarak, (G.16)1dan

x

)

( 1-3'2 )

1

. o

(G.22)

bants bulunur. (G.21) ve (G.22) denklemleri, (G.19) ve (G.20)'nin iki ortamn hareketli arakesit yzeyi haline genelletirilmi biimleridir. Basit bir durum olarak her iki ortamda .f*, z E ve H' -3 ise -1. (ya da bir ortam bu zellikte ve di er ortam, iinde tm alanlarn s fr olduu yetkin bir iletken ise), yzeysel akml bant byk lde basitle ir. (G.22) denklemi, yaklatrma yapmaks z n

(E2

-

te = -

x ( B'>2 - Bi ) *

(G.23)

-p -4 biiminde yaz labilir. (G.21) denkleminde H -* B ve D -4 E dei tirmelerini yapt ktan sonra (G.23) kullanl rsa

L

l

-

x (g.2 Bi ) = c

(G.24)

bulunur. Ortamlar aras ndaki ar eqt yzeyinin hareketi, (G.20)'ye sadece bir arpan, yani v /c basama nda bir dzeltme, getirir. G.6- Elektromanyetizmadaki Soyutlamalar zerine Baz Uyarmalar nceki kesimde yzeysel yk ve ak m dal m dncesini

27

kullandk. Bunlar fiziksel dnyada bulunmayan matematiksel soyutlamalardr. Elektromanyetizman n her blmnde ortaya kan baka soyutlamalar da vard r. rnein, elektrostatikte cisimleri, ounlukla "toprak" dediimiz sfr potansiyele gre sabit bir potansiyelde tuttuumuzu syleriz. Bu soyutlamalarn gerek dnyayla olan ba lants , deneyimli kiiler iin apak olsa bile, san r z ki biraz tart maa deerdir. nce bir iletken cismi, bir referans deerine gre sabit bir elektrostatik potansiyelde tutma sorununu ele alal m. Buradaki kapal dnce, evrenin, yk ve alanlar n istenen biimleni ini nemli lde bozmamas dr. Bir cismi sabit potansiyelde tutabilmek iin, cisimden ok uzaktaki ("sonsuzdaki") bir yk kaynana uzanan bir iletken yola (hi olmazsa zaman zaman) gerek vard r; yle ki cismin yak nna baka ykl ya da yksz cisimler getirildiinde, potansiyelin hep o istenen deerde durmas iin, yk kaynandan cisme ya da cisimden yk kaynana yk akabilsin. Daha karmak olanaklar bulunmakla birlikte, iletken yol olarak genellikle metal teller kullan lmaktad r. Sezgilerimiz ince tellerin kal n tellere gre daha az bozucu olacaklar n sylerler. Bunun nedeni yle a klanr: "Belirli potansiyelde tutulan bir telin herhangi bir paras zerinde bulunan elektrik miktar telin ap kltldke azalacandan; byke boyutlu cisimler zerindeki elektrik da l m , bu cisimler ile yer ya da bir elektriksel ara veya bir elektrOmetre aras nda elektriksel balantlar kurmak iin kullan lahFok ince metalik tellerden duyulur biimde etkilenmeyecektir". nce telin hemen yak nndaki elektrik alan kukusuz ok byktr. Bununla beraber, "byke boyutlu cisimler"in boyutlar basamandaki uzakl klarda bu etkiler kk yap labilir. Maxwell'in szlerine nemli bir tarihsel kant, 200 yl nce Henry Cavendish tarafndan yaplm olan almadr. Babas nn evindeki ah rda yapt deneylerde, yk kaynaklar olarak Leyden ieleri ve iletkenler olarak ince teller kullanan Cavendish, sabit potansiyelde tuttuu tavana as l cisimler (silindirler, diskler vb...) zerindeki yk miktarlar n lm ve bunlar ayn potansiyelde tutulan bir kre ( ekil G.l i deki ayni kre) zerindeki ykle karla trm t r. Bu yolla lt s a deerleri yzde basamana kadar dorudur. rnein, bir krenin sasnn ayni yarapl ince bir dairesel diskin s asna oran olarak 1,57 deerini bulmutur; ki bunun teorik deeri zaten n/2'dir!- J.C.Maxwell, A Treatise on Electricity and %gnetism, Dover, New York, bask (1891i'shin 1954 tekrari, Cilt I, sayfa 96.

28

Gitgide ince teller kullanman n bir pratik s nr vardr. Birim boydaki yk ancak logaritmik olarak azal r (Bu azalma tn(d/a) 'n n tersi biimindedir; burada a telin ortalama yar ap , d ise telin bir iletken yzeyden olan tipik uzakldr). Sistemin tedirgin oluunu belirli bir dzeyin alt na indirmek iin, potansiyelleri koruyacak ba ka yollara, rnein aral ykl parack demetlerinin kullan ld karlatrma yntemlerine bavurmak gerekir. Bir iletken cismin topraklanm olduu sylendiinde, potansiyelin genel s fr olarak hizmet gren uzak bir yk deposuna ok ince bir tel ile ba lanm olduu anlal r. Sabit potansiyellerde tutulan cisimler, benzer ekilde, batarya gibi bir gerilim kaynann bir ucuna baldrlar; bataryan n dier ucu ise "toprak" ile birle tirilmitir. Bu durumda, balangta elektriklenmi olan cisimler, elektrik da lmlar deiecek fakat potansiyelleri sabit kalacak biimde birbirlerine gre hareket ettiklerinde, bitmeyen bir kaynak olarak dnlen yk deposundan szkonusu cisimlere ya da tersine uygun miktarda yk akacakt r. Bir iletkeni topraklama d ncesi, zamann etken olmad elektrostatikte iyi-tan ml bir kavramdr; fakat titre en alanlar iin, sonlu yay lma h z bu kavram bulandrr. Baka bir deyi le, ikdktans ve s a etkileri nemli lde iin iine girebilir. bu durumda "iyi bir topraklama" salamak iin byk bir zen gerekir. Makroskobik elektromanyetizmada bir ba ka soyutlama, yzeysel yk younluu ya da yzeysel akm younluu dncesidir. Buradaki fiziksel gerek, ykn ya da ak mn yzeyin biti ik komuluuna s nrlanm olmas dr. Eer bu blgenin kal nl ilgilenilen uzunluk leine gre kkse, gerek durumu, sonsuzkk kal nl k soyutlamas yla yaklatrmaya uratr ve yzeysel dalmdan szederiz. ki farkl limitin ayrdedilmesi gerekir. Bir limitte "yzey" da lm , makroskobik olarak kk, fakat mikroskobik olarak byk saylan yzeye yak n bir blgeye s nrlanr. Zamanla deien alanlarn, ok iyi, fakat mkemmel olmayan bir iletken iine i lemesi buna bir rnektir (Kesim 8.1). Orada alanlar n, deri derinlii denen $ kalnl na s nrland ve yeterince yksek frekanslarla yeterince iyi iletkenlikler iin S 'nn makroskobik anlamda ok kk olabilece i gsterilmektedir. Bu durumda, ,., gibi etkin bir yzeysel ak m younluu elde atmak iin, 5`' alM' younluunun yzeye dik dorultu zerinden integralini almak uygundur. Dier limit gerekten mikroskdbiktir ve maddelerin atomik yapsndaki kuantum mekaniksel etkilerle kurulur. rnek olarak, elektrostatikte iletken bir cismin fazlal k yklerinin dallmn ele al n z. Bilindii gibi bu yk tamamiyle iletkenin

29

yzeyi zerinde yer al r. Bu durumda Tyzeysel yk younluundan szederiz. letkenin iinde elektrik alan yoktur; fakat (G.17) uyarnca yzeyin hemen dnda elektrik alannn bir dik bileeni vardr. Mikroskobik anlamda yk tamamen yzeyde deildir ve alan sreksiz biimde deimez. Basit bir inceleme, gei blgesinin birka atomik ap geni liinde olduunu gsterir. Metaldeki iyonlar n olduka hareketsiz bulunduklar ve 1 angstromluk ya da daha az bir boyuta s nrlandklar dnlebilir; daha hafif olan elektronlar ise daha fazla ekil serbesttirler. Modelsel hesaplamalar n sonular* , G.6'da grlmektedir. Bunlar ok elektronlu problemin kuantum mekaniksel zmnden ortaya karlar; bu problemde iletkenin iyonlar , x < 0 iin srekli bir sabit yk younluu ile yaklakl a urat l r. Elektron yoyunluu (r = 5) kabaca bakra ve daha ar alkoli metallere uygundur. Fazlal k elektronik ykn, iyonik da l mn nyzeyiunde 2 angstromluk bir blgeye s nrland grlr. Elektrik alan bu blge boyunca dzgn bir ekilde artarak iletkenin "dndauki 4110' deerine ular. 10- cm nin nemsenmedi i makroskobik durumlarda, yk younluunu ve elektrik alan n davrann y(x) = 0- 8(x) ve E x) = 4n0-0(x) ile soyutlayabiliriz; birincisi gerek yzey( sel younlua, ikincisi ise alan n basamak fonksiyonu biimindeki s rayna kar gelir. Gryoruz ki klasik elektromanyetizmann teorik olarak incelenmesi, eitli soyutlamalar ierir; bunlar n baz lar teknik, baz lar ise fizikseldir. Kitab n ilk blmlerinde tart lan elektrostatik konusu, elektromanyetizman n dier konularnda da yapld gibi, byk-boyuttaki elektriksel olaylarn deneysel bilimi olarak geli tirilmi tir. Bu makroskobik yasalar n (hatta boluktaki ykler ve ak mlar iin geerli olanlarn) mikroskobik blgeye geni letilmesi, ounlukla dorulanmam uzatmalardr. unu vurgulamak gerekir: Geri baktm zda gryoruz ki, kaynaklar kuantum mekaniksel olarak ele almak ko uluyle, klasik elektromanyetizma yasalar nn birok ynleri atomik blgeye de uygulan r. Elektromanyetik niceliklerin ok sayda molekl ieren hacimler zerinden ortalamalar , h zl dalgalanmalar ylesine yumu at p dzletirir ki uygulanan durgun alanlar madde iinde durgun ortalama yantlar dourur; fazlal k yk, makroskobik anlamda bir iletkenin yzeyi zerinde yer al r. Demek ki Coulomb ve Ampre'in makroskobik gzlemleri ve bizim bunlardan kardnz matematiksel sovutlamalar, a r ekingen bir fizikinin tasarlayabileceinden ok daha geni bir uygulanabilirli e sahiptir. Havann nemli bir elektrik ya da manyetik geirgenliinin olmamas sorunlar kukusuz basitletirmektedir!* N.I.Lang and W.Kohn, Phys. Rey. 131, 4555 (1970); B3, 1215(1971; V.E.Kenner, R.E.Allen and W.M.Saslow, Phys. Letters 38A 255 (1972).

30

1, 00,80,0,4 0,2 O -0,2 -8 2 4 6 X (10 cm ) 0 ?."'() ==1

q 5(>R7 - Xi

),

(1.6)

-> x. noktalarna yerlemi n tane' q. noktasal yknn bir 1_ dal mn gstermektedir. (1.6)' daki bu yk yo unluunu (1.5) ifadesinde yerine koyduktan sonra, delta fonksiyonunun zelliklerini kullanarak integrali al rsan z, (1.4)'deki kesikli toplam elde edersiniz. 1.3- Gauss Yasas (1.5) integrali, elektrik alan n hesaplamak iin en uyun ekil deildir. Baz durumlarda ok daha yararl olan ve ayrca "E"(5?) iin bir diferensiyel denkleme yol aan ba ka bir integral sonu Gauss yasas 'dir. Gauss yasas n elde etmek iin, ekil 1.2'de gsterildii gibi, nce noktasal bir q yk ve kapal bir S yzeyi alal m. q yknden yzey zerindeki bir noktaya olan uzakl k r, bu noktada yzeye dik d a doru ynelmi birim vektr n ve yzey eleman da olsun. q yknn yzey zerindeki noktada olu turduu E elektrik alan n ile Q as yapyorsa, bu durumda E'nin yzeye dik bile eni arp yzey eleman u olur:E. 1.1 d a >

q cos 9 r2

da

(1.7)

38

q,S'nin iinde :

q,S'nin d nda :

qekil 1.2- Gauss yasas . Elektrik alannn yzeye dik bileeni, kapal S yzeyi zerinden integre edilir. Yk S'nin iinde (d nda) ise, q yknden yzeyi gren toplam kat a 47C (sfr)'dir. q yknden yzeyin iini gren kat a pozitif al nrken, yzeyin dn gren kat a negatif al nmal dr

39

E vektr q ykn yzey 91eman na birletiren izgi boyunca yneldiinden cos ) da = r d.D'_dr; burada dIL, q yknden day gren kat a elemandr. Buna gre ;". . -ida= q dS1 (1.8)

yaz labilir. imdi E'nin yzeye dik bileenini tm yzey zerinden integre edersek, kolayca unu buluruz: er q, S e nin iinde ise, E . n da = 0q, e O, eer q, S e nin dnda ise.

(1.9)

S

Bu sonu, bir tek noktasal yk iin Gauss yasas ldr. Bir kesikli ykler cmlesi iin bu yasan n

S

7.rda = 4-rt. Zq

(1.10)

eklinde olaca aktr; burada E tm ykler taraf ndan oluturulan alan olmakla birlikte, toplamda sadece S yzeyi iindeki ykler yer almaktad r. Srekli bir J7(7) yk yo unluu iin Gauss yasas , V,S tarafndan kapat lan hacim olmak zere, u ekle gelir: 3 E . n da = 41-t S j)(') d x S (1.11)

v (1.11) denklemi, elektrostati in temel denklemlerinden biridir. Bu denklemin, (1) ykler aras ndaki kuvvet iin ters kare yasas na, (2) kuvvetin merkezcil niteli ine, (3) farkl yklerin etkilerinin izgisel olarak st-ste gelmesine bal olduuna dikkat ediniz. yleyse yk yo unluu yerine madde younluunu koymak ko uluyla, Gauss yasas 'nn Newtoniyen ktle-ekim alanlar iin de geerli olduu aktr. Bununla ilgili olarak u ilgin noktay da belirtelim. Cavendish ve Coulomb'un deneylerinden bile daha nce, Priestley, Franklin'in bir gzlemine yani yklerin bir metal barda n iinde deil de dnda yerleecei olgusuna dayanarak Newton 1 un evrensel ktle-ekim yasas ile bir benzetmeden esinJenmi ve elektrostatik kuvvetin, uzakl n karesinin tersiyle de imesi gerektiini dnm t. Ters-kare yasas nn bugnk durumu G.2 kesiminde tart lm tr.

40

1.4- Gauss Yasasnn Diferensiyel ekli

Gauss yasas , elektrostatiin integral formlasyonu olarak dnlebilir. Iraksama teoremini kullanarak bir diferensiyel ekil (yani bir diferensiyel denklem) de elde edebiliriz. Iraksama teoremi der ki, S kapal yzeyi tarafndan s nrlanan bir V hacmierisinde iyi-davran l herhangi bilr7) vektr alan iin, A'nn raksamas nn hacim integrali ile A nn da doru ynelmi dik bileeninin yzey integrali aras nda

. n da =

d3 x

eklinde bir bant vardr. Bu denklem gerekte raksamann tanm olarak kullan labilir (bak. Stratton, sayfa 4). Bu teoremi Gauss yasaslin n (1.11)'de verilen integral ekline uygulayabiliriz. Bylece (1.11) denklemini 4Ty) d 3 x = 0 V eklinde yazma olana doar. S kapal yzeyini ve dolay siyle V hacmini istedi imiz gibi seebileceimizden, (1.12)'deki integralin iini s fra eitleyebiliriz: V . E = 4Try(1.13)

(1.12)

Bylece elektrostatiin Gauss yasas tnn diferensiyel eklini elde etmi oluruz. Bu denklemin kendisi elektrostatikteki problemleri zmek iin kullan labilir. Bununla birlikte, bazen yerin skaler fonksiyonlariyle u ramak vektr fonksiyonlariyle uramaktan daha basitttir; gerekliyse sonunda gene vektrel niceliklere geilebilir. Gelen kesimde bunu i leyeceiz.

1.5

-

Elektrostatiin Bir Baka Denklemi ve Skaler Potansiyel

(1.13) denklemi tek bana E(x) elektrik alannn bileenini de tam olarak belirtmee yeterli deildir. Belki de baz okuyucular bilirler; uzayn her yerinde raksamas ve

41

dnl+ verilirse, ancak o zaman bir vektr alan hemen hemen* tamolrkbei lr.Buned E'ilnyer fonksiyonu olarak veren bir denklem ar yoruz. Byle bir denklem, yani -,, (1.14) V x E = 0 denklemi dorudan doruya (1. 5)'deki genelle tirilmi Coulomb yasas ndan kar. Hat rlarsan z, bu genelletirilmi yasa

E(x)

=13 =

( 1 ;t

)

P

3 d x'

1 eklinde idi. ntegralin iindeki vektr arpan , 1/ 13.( X 1 1 skalerinin x deikenine gre al nm gradyeninin eksilisidir:

(;t ; )

1t

s

)?, 1 )

kapsayp integrasyon deikenini kapsamaGradyen operatr dndan, integral i aretinin d na al nabilir. Buna gre alan ifadesi u ekilde yaz labilir:- ()7) = - 77'

S

f;'(') U(

d 3 x'

(1.15)

Yerin iyi-davran l her skaler fonkslyonunun gradyeninin dnl daima s f r olduundan (her N}' iin V x V1/ = 0), (1.15) ifadesi derhal (1.14) denklemine yol aar. Dikkat ederseniz V x E = 0 bants , ykler aras ndaki kuvvetin merkezcil niteliine ve kuvvetin sadece bal uzakl n Fonksiyonu oluuna bal olup ters-kare yasas na bal deildir. Bir vektr olan elektrik alan , (1.15) denkleminde gradyen operatr yarmd miyle bir skalerden tremektedir. Yerin bir tek fonksiyonuyle uramak fonksiyonuyle uramaktan daha kolay olduundan, dikkatimizi skaler fonksiyona toplayp ona bir isim vermek yararl dr. Bu nedenle* Bu belirleme, Laplace denklemini gerekleyen bir skaler fonksiyonun gradyeni kadar farkedebilir. zmn tekli ini tart an 1.9 Kesimine bak n z. Dnl = Rotasyonel.

42

E = - Cp

(1.16)

denklemi ile 011>( - skaler potansiyelini tan mlar z. Bu skaler potansiyel (1.15) denklemine gre yk yo unluu cinsinden 1/() =

P x(

')

d3x1

(1.17)

ix eklinde verilir; burada integrasyon evrendeki tm ykler zerinden alnmaktad r ve (1.17)'nin sana bir sabit eklenebilecek kadar keyfidir. ekil 1.3'de grld gibi, "El'() elektrik alan iinde bir q deneme ykn bir (A) noktas ndan dier bir (B) noktas na gtrmekle yap lan ie bakarak, skaler potansiyele fiziksel bir anlam verilebilir. Herhangi bir noktada yk zerine etkiyen kuvvet F = qB dir; bylece yk Adam B'ye hareket ettirmekle yap lan i

W - SB A

.

-gSB A

. al.

(1.18)

olur. Alann etkisine kar yk zerine yap lan i i hesapladim z iin eksi i aretini kulland k. (1.16) tanm yardmiyle, bu i i W = q SA '913 . d/ = q SA d3 = q(9313 - 5A ) (1.19)

eklinde de yazabiliriz. Buna gre 4 , elektrostatik alan iinde q deneme yknn potansiyel enerjisi olarak yorumlanabilir.

ekil 1.3

43

(1.18) ve (1.19)'dan grlebilecei gibi, elektrik alan nn iki nokta aras ndaki izgi integrali yoldan bams z olup, bu iki nokta arasndaki potansiyel farknn eksilisine eittir: (1.20)

-

Bu sonu sphesiz (1.16) tan mndan dorudan doruya kar. yol kapal ise bu izgi integrali s frdr:

E.e=o^

(1.21)

Bunu da dorudan doruya Couloffib yasasndan elde etmek olas dr. Bu sonuca Stokes teoremi'ninuygulanmas , bizi derhal V x E = 0 denklemine geri gtrr. Stokes teoremi: Z(7(') iyi-davran l bir vektr alan , S keyfi bir ak yzey ve C de S'yi s nrlayan kapal eri olmak zere, A . d2,=^

(D x A) . n da

d r; burada 4, , C'nin izgi eleman', n ise S'ye dik birim vektrdr, C yolunun dolan m yn, -ri'ye paralel tutulan vidann ilerleme yndr. 1.6- Yzeysel Yk ve ift kutup Da lmlar , Elektrik Alan ve Potansiyeldeki Sreksizlikler Elektrostatikteki en genel problemlerden biri, verilen bir yzeysel yk da lmnn oluturduu elektriksel alan n ya da potansiyelin bulunmas dr. (1.11) Gauss yasas , ksmi sonucu dorudan doruya yazmam za izin verir. Bir S yzeyi 0( - ) X yzeysel yk yo unluuna (santimetre kare bana statcoulomb cinsinden llr) sahip ise, ekil 1.4'de grld gibi, yzeyin 1. yznden 2. yzne ynelen dik birim vektr -ii ve yzeyin her iki tarafndaki elektrik alanlar E ve E olmak 2 zere, Gauss yasas bize derhal - (E - E ) . n = 4rtcr (1.22) 2 olduunu syler. Bu, baka alan kaynaklar yoksj, ve 0-"nn geometrisi ile biimi zellikle basit de ilse E ve ;'yi belirtmee yetmez. (1.22)'nin tm olarak syledi i suaur: Yzeysel yk younluu o- olan bir yzeyi 7-1' dorultusunda geerken elektrik alannn yzeye dik bileeninde 4'ner kadar bir sreksizlik vardr.

44

1. yz

ekil 1.4- Bir yk yzeyini geerken elektrik alan nn dik bileenindeki sreksizlik.

ekil 1.5- Bir ift-kutup tabakas nn oluturulmasnda ierilen limite gitme sreci.

45

Kapal bir yol boyunca E'nin izgi integrali iin (1.21) denklemini kullanarak, elektriksel alann teet bileeninin snr yzeyini geerken srekli olduu gsterilebilir. Bunun iin gereken tek ey, karlkl uzun kenarlar yzeyin birer tarafnda bulunan ve dier iki kenar nemsenmeyecek kadar kk olan bir dikdrtgensel yol almakt r. Tam yzey zerinde olmamak kouluyle, uzayn herhangi bir noktas ndaki potansiyeli dolay siyle trev alarak alan ) bulmak icin, (1.17)'de ?d x yerine Orda koymak yeterlidir: 0 -t) ( 6(>-ts ) da' I (1.23)

S ix

Yzeysel ya da hacimsel yk da lmlar iin potansiyel her yerde, yk da l4mnn iinde bile, sreklidir. Bu gerek, (1.23)'den ya da E'nin s nrl olmasndan (yzeysel yk dal mn geerken sreksiz olsa da) gsterilebilir. Derhal grlecei gibi, noktasal ya da izgisel ykler ile ift-kutup tabakalar iin potansiyel srekli deildir. lgileneceimiz bir baka problem ise, bir S yzeyi zerindeki bir ift-kutup tabakas da lmnn oluturduu potansiyeldir. ekil 1.5'de gsterildii gibi, yzeysel yk younluu IIITZ) olan bir S yzeyinin iyice yak nna eit ve z t yk younluklu baka bir S' yzeyi getirilerek bir ift-kutup tabakasnn oluturulduu dnlebilir. ift-kutup da lmnn 1)(3) ile gsterilen iddetini tanmlamak iin, S' yzeyi S'ye sonsuz kk derecede yaklatr lrken crM yzeysel yk younluu sonsuza gtrlr, yle ki 47 -(?) ile S ve S' aras ndaki yerel d(X) uzakl nn arpm D(X>) limitine yaklasn: lim Cr(x) d(X.) = D(1) d( )->o (1.24)

Tabakann ift-kutup momenti S yzeyine dik olup, ekSi ykten artya doru ynelmektedir. Bir ift-kutup tabakas na ait potansiyeli bulmak iin, nce bir tek ift-kutup ele al r, sonra bunlar n bir yzey younluunu st-ste getiririz. Ya da ayni sonucu, (1.23)'deki yzey younluu ifadesinden hemen nce szle betimlenen matematiksel limit alma ilemini yaparak da elde edebiliriz. Birinci yol belki daha basittir, fakat ikincisi bize vektr hesapta beceri kazandrr. Bu nedenle limit srecini izleyece iz. ekil l.6'da grld gibi, S'den S 'ye ynelen ve S yzeyine

46

dik olan birim vektr n olmak zere, bu iki yakn yzeye ait potansiyel ^(x) = f S Cr(>7' ) x - x'` da' (Cr(x' )

-,

da"

S' 1)--(' - 3'c'+-rid

-> -> dir. Kk d'ler iin lx - x' + - L' ifadesini aabiliriz. nd -. l a 1 . r;'c' olmak zere, -> -.., 1-1 genel ifadesini ele alal m. x+a Bunun iin1 1

+ 1 (1

\,(x 2 + a2 +-4

a . x x21

-

+ ...)

1

+ a . V( x x) +

yazabiliriz. Bu, phesiz ki boyutta Taylor serisine a n= ta kendisidir. Bu a lm uygulayp (1.24) limitini de al ncapotansiyelin a adaki ekle geldiini grrz: =-> -> --> (x')n.V' (Jl

) da' 1>c - 7'

(1.25)

(1.25) denklemi basit bir geometrik yoruma sahiptir. Bunun iin n . V' (1

) da , . - >7' \

cos )-

da'

\ 2 ---

dSi

olduuna dikkat edelim. Burada dik, ekil 1.7'de gsterildii gibi, gzlem noktas ndan da' yzey elemann gren kat a elemandr. O bir dar a ise, yani gzlem noktas ift-kutup tabakas nn "i" yzn gryorsa, dn!nn art iarete sahip olacana dikkat ediniz. Bylece potansiyel

= - S> D()7' ) an.

(1.26)

eklinde yaz labilir. Sabit bir D yzeysel ift-kutup momenti

47

ekil 1.6- ift-kutup tabakas nn geometrisi. younluu iin potansiyel, bu moment ile gzlem noktas ndan yzeyi gren (yzeyin ekli ne olursa olsun) kat ann arpm na eittir.

ekil 1.7- da' yzey eleman zerindeki D ift-kutup tabakasnn P(gzlem) noktas nda oluturduu potansiyel, D ile P noktasndan da' y gren dn, kat a elemannn arpm= eksi iaretlisidir. Bir ift-kutup tabakas n geerken potansiyelde bir sreksizlik vard r. Bu durum, gzlem noktas n ift tabakaya sonsuz kk derecede yakla tirarak grlebilir. Bu durumda, gzlem noktas nn tam alt nda olan kk bir disk ile geri kalan para olmak zere, ift tabakan n iki paradan olu tuu dnlebilir. Disk ylesine kk al nabilir ki, yeterince dz olduu ve sabit bir D yzeysel ift-kutup momenti da l mna sahip bulunduu kabul edilebilir. diskin potansiyeliyle geri kalan ksmnn potansiyelinin st-ste getirilmesiyle toplam

48

potansiyelin elde edilebilecei bellidir. Sadece diskin potansiyeli, i yzden d yze geerken 4rt D'lik bir sreksizli e sahiptir; nk (1.26)'dan a ka grlecei gibi, potansiyel i yzde -2TrD, d yzde ise +27D'dir. Diskin kar ld bir boluu bulunan geri kalan paran n kendi bana potansiyeli, bo ksmdan geerken sreklidir. Sonu olarak yzeyi geerken potansiyeldeki atlama 252 - 251 = 4rD(1.27)

kadardr. Bu sonu, bir yzeysel yk dalmn geerken elektrik alandaki sreksizlii gsteren (1.22) denklemin.in benzeridir. (1.27) denklemi "fiziksel a dan" ift-kutup tabakas nn "iinde" meydana gelen bir potansiyel d mesi olarak yorumlanabilir ve iki yzeysel yk tabakas aras ndaki alan ile limit al nmadan nceki aral n arpm olarak hes aplanabilir. 1.7- Poisson ve Laplace Denklemleri 1.4 ve 1.5 Kesimlerinde, elektrostatik alan n davrannn aadaki iki diferansiyel denklemle betimlenebilece i gsterilmitir: = 4Tt -> VxE= 0 (1.13) (1.14)

kinci denklem zde olarak, E, bir skaler fonksiyonun (yani skaler potansiyelinin) gradyenidir der: E = - V2.3 (1.16)

(1.13) ve (1.16) denklemleri, bir tek 6(;) fonksiyonunu ieren bir ksmi diferansiyel denklem iine toplanabilir:2 V 23 = - 4105>

(1.28)

Bu e itlie Poisson denklemi denir. Yk younluu olmayan uzay blgelerinde, skaler potansiyel Laplace denklemini sa lar:172.3-_ 0

(1.29)

49

Skaler potansiyelin bir zmne, yani (1.17) ifadesine zaten daha nceden sahibiz: 75(5t)

=S P(xl)ix x'l

d3 x'

(1.17)

Bunun gerekten de (1.28) Poisson denklemini sa lad n dorulamak iin, her iki tarafa Laplasiyen operatrn uygular z: 2 1 V 13 = 17

p(?, )

IX' - ,?'1

S --). d3 x'= px')V2 (

1

IX' - X 1 1

3 )d x'

(1.30)

, 2 - -. -, 4 .. imdi V (1/x - xl)'nun deerini hesaplamally z. Koordinat b9 langcn X' g ye telemek uygun (ve olas )dr; bylece V (1/rryi ele al r z, 2 burada r, c'in bykldr. Dorudan . hesap ile r 0 iin V (l/r) = 0 olduunu buluruz: ,2, 1 , v k r 1d 2

dr -

2

(r

1 )_

1

d

22

'

(1) = 0

r

r

dr

Fakat r = 0 da ifade tan mlanmamtr. Bununla beraber, r # 0 2 iin V (1/r) e nin s fr olmas , (1.30) bant s nn aadaki ekilde yaz labileceini ifade eder:

v2

=Cx

c ) ,

S v2 ( 1 ) d3xr

C sabitini geli tirmek iin a adaki limit srecini kullan rlz: C = lim 42 ck.4o 3 ) d x \)fr 2 + a 2

yi-davran l (r 2 + a 2 ) -1/2 fonksiyonunun Laplasiyeni udur: 02 ( r + a Bylece, ) d 2 3a 2a 2

dr2

r

2

+

a

2

(T

2

+

)

5/2

50

C - lim a40

-3a 00

2

oo 1. dS1o 2 x dx

2 r dr

2 2 (r + a ) 5/24 -rt

= -121T (x

2

+ 1)

5/2

-

bulunur. C'nin bu deeri gsterir ki, (1.17)'nin Laplasiyeni gerekten de (1.28) Poisson denklemini sa lar. 1/runin Laplasiyeninin singler nitelii, ekilsel olarak Drac delta fonksiyonu cinsinden gsterilebilir. r 0 iin V2 (l/r) = 0 olduundan ve bunun hacim integrali -47kverdi inden Ni (1/r) = - 41x5(x) veya daha genel olarak

v2

(

I

->"7'

) = - 4 -rr S(7- 7' ') (

(1.31)

ekilsel denklemini yazabiliriz.1.8 - Green Teoremi

Elektrostatik problemlerinde, belli bir blgeye s km kesikli ya da srekli yk da lmlar dnda hibir s nr yzeyi bulunmasayd , o zaman (1.17) genel zm her problem iin en uygun ve doru zm olurdu. Poisson ya da Laplace denklemine gerek kalmazd . Aslnda elektrostati in -en ok deilse bile-birok probleminde, ilerinde yk bulunan ya da bulunmayan ve s nr yzeylerinde s nr koullar verilen sonlu uzay blgeleri vard r. Bu s nr koullar , ilgili blgenin dna (belki de sonsuza) konan uygun bir yk da lmiyle benzetirilebilir; fakat gene de basit haller (yani hayali ykler metodu) dnda, (1.17) zm potansiyel hesaplamada uygun bir ara olmaktan kar. Snr koullarn ele almak iin baz yeni matematiksel aralar, yani George Green'e (1824) ait zdeslikler ya da teoremler geli tirmek gereklidir. Bunlar raksama teoreminin basit uygulamalar olarak ortaya karlar. _N, 3 V . A d x =f) -* . -7 d a A 1V S eklinde ifade edilen raksama teoremi, kapal bir S yzeyi tarafndan s nrlanan bir V hacmi iinde tan ml olan iyi-dav-

51

keyfi ranl her A vektr alan na uygulanabilir. 0 ve A skaler fonksiyonlar olmak zere, -- " y A' = 4.1Pbiiminde alalm. Bu vektr alan iin

4. (4k)ve

= 95v2"1'+ ?93, . ..8r1

(1.32) (1.33)

dir, burada '- / -bn, S yzeyindeki dik trevdir (V hacminin iinden d arya doru. ynelmi tir). (1.32) ve (1.33) ifadeleri raksama teoreminde yerlerine konduklar nda, birinci Green zdelii ortaya kar: 5(0V V 2 -4 3 + V0 . V.,k) d x =; "") da -bn (1.34)

(1.34) zdeliini 0 ve 11Iyi yerdeitirerek tekrardan yazar ve sonra bunu (1.34) den karrsak, V0. - iterimleri birbirleN rini yok ederler ve bylece ikinci Green zdeli i ya da Green teoremini elde ederiz:

jr(4' 1, V2)S) d3x-

an

0 ] da

(1.35)

Volarak 1/R = 1/\ - ">-?>1 zel eklini seersek, potansiyelin salad Poisson differansiyel denklemini bir integral denklem haline evirebiliriz; burada X'gzlem noktas , x' ise entegrasyon deikenidir. Bunun iin Ofonksiyonu olarak 6 skaler potansiyelini almak ve V 20 = - 4TTs ba nt s n yete-cektir. (1.31)'den biliyoruz ki V (1/R) = -4,1:5() dr. Bylece (1.35) u ekle gelir: j[414() -(''' V ) + LiTc R )] d 3x'

(2_ , _ [sr "'n"R'

,

R

a

Eer 7noktas V hacminin iinde bulunuyorsa,

()

-2) SQ()-(' )v R

d 3x , 4.4t 3IT"

da' (1.36)

52

ifadesini elde ederiz. E er -). 'noktas S yzeyinin d nda yer alyorsa, (1.36) denkleminin sol taraf s frdr* . [Dikkat ederseniz, (1,36)'daki yzey integralini, ( .gl>tan') deerindeki bir yzeysel yk younluu ile D = -(1/41-4deerindeki bir ift-kutup tabakas nn potansiyeli olarak yorumlayabiliriz. Bu durumda, elektriksel alan n ve potansiyelin yzeydeki sreksizlikleri (1.22 ve 1.27 ba ntlar ), V hacminin dndaki alan ve potansiyeli s fr olarak verirler . (1.36) sonucu hakk nda iki noktaya dikkat ekilebilir. lk olarak, eer S yzeyi sonsuza gider ve elektrik alan S zerinde R-1 'den daha h zl derse, yzey integrali s fr olur ve (1.36) ifadesi (1.17) deki mehur sonuca indirgenmi olur. kinci olarak da unu diyebiliriz: ierisinde yk bulunmayan bir hacim iin, hacmin her yerinde potansiyel (yani Laplace denkleminin bir zm), sadece hacmi s nrlayan yzey zerindeki potansiyel ve dik trevi cinsinden (1.36)'daki gibi ifade edilir. Olduka hayret uyand ran bu sonu, bir s nr-deer problemi iin bir zm olmayp sadece bir integral ifadedir; nk hem 5,in hem de -4/- n'nin keyfi._ olarak belirtilii (Cauchy s nr koullar ), problem iin yaplm fazla bir belirtmedir. Bu nokta, bundan sonraki kesimlerde ayr tl biimde tart lacaktr; orada uygun s nr koullar iin zmleri veren teknikler, (1.35) Green teoremi kullan larak geli tirilecektir.

(1~

1.9- Dirichlet ya da Neumann Snr Koullar ile zmn

Teklii

Soru udur: S nr blgesinin iinde tek ve iyi-davran l (yani fiziksel olarak akla yatk n) bir zmn varolmas iin Poisson (ya da Laplace) denklemi hangi uygun s nr koullarn salamaldr? Fiziksel kazanlarmzn gtrd inanca gre, kapal bir yzey zerinde potansiyelin belirtilmesi (rnein farkl potansiyellerde tutulan iletkenler sistemi), tek olan bir potansiyel problemi tanmlar. Buna Dirichlet problemi ya da Dirichlet snr koullar denir. Ayni ekilde diyebiliriz ki yzey zerinde (verilen bir yzeysel yk younluuna kar gelen) elektriksel alan n (ya da potansiyelin dik trevinin) belirtilmesi, gene tek olan bir problem tan mlar. Dik trevin belirtilmesi, Neumann snr koulu olarak bilinir. Fiziksel1/ `fonksiyonu V hacmi iinde iyidavran l olmad iin, okuyucu, (1.36)' n n geersiz bir yolla elde edildi inden yak nabilir. Fakat nceki kesimde sz edilen limiti lemini, kullanarak, ya da bu yak nd r c 7 noktas n etraf na izilen kk bir kre ile d arda b rakarak bu prz giderilebilir. Sonu gene (1.36)'d r.

53

koullarmz yardmiyle ulat mz bu sonular , imdi (1.34) deki birinci Green zde lii yardmiyle ispatl yacaz. Kapal S sn r yzeyi zerindeki Dirichlet ya da Neumann snr koullar bulunan bir V hacmi ierisinde (1.28) Poisson denkleminin ziimlerinin tekli ini gstermek istiyoruz. Tersine, ayni snr koullarn salayan 4 ve^2 gibi iki zmn bulunduunu varsayal m. U = tyi> (1.37) 2 1 2 U:1:0;S zerinde ise diyelim. Bu durumda V hacminin iinde V Dirichlet snr koulu iin U = 0, Neumann koulu iin - U/an = O'dr. 4 =14,4yfflarak, (1.34) birinci Green zdeliinden unu buluruz:

S

(UV2U + 7(7U . -'3b) d 3 x =U -') ; - x' dir, F fonksiyonu ise V hacminin iinde Laplace denklemini salamaktadr: V' 2 - F(x , x') = O(1.41)(1.40)

iin veya ?4 n iin szkonusu s nr koullarn salayan bir problemle kar lanca, (1.36) sonucunu ele alarak bir k yolu bulabiliriz. Fakat daha nce vurguland gibi, yzey integralinde hem hem de "W"an gzkt iin, bu, s nr koullarndan uygun olan n salayan bir zm deildir. Olsa olsa 56 iin bir integral ba ntdr. Gene de genelleti-

55

, X!'') aracl yla buna rilmi Green fonksiyonu kavram ve eklenen serbestiyle, szkonusu Green teoreminin kullan labilme olana ortaya kar. 'Vi= G(? , 7:?') al p, F(3? , iki yzey integralinden birini ya da di erini yok edecek ekilde seeriz; bylece sadece Dirichlet ya da Neumann s nr kovlunu ieren bir sonu elde ederiz. uras ku kusuzdur ki, G(x,'), snr koullarnn tam yaps zerine ayr ntl biimde bal olsayd , bu yntem hi de genellie sahip olmazd . Fakat hemen greceiz ku buna gerek yoktur ve G(3?,7') fonksiyonu S zerinde olduka basit sinir ko ullar salar.

(1.35) Green teoreminde 0 = (/) ve = G(t,5n) koyup G'nin (1.39)'da belirtilen zelliklerini kullan nca, (1.36) nn genelletirilmi biimini elde etmek i ten bile deildir: 1)( i) =5?(:7' )c(jt,2.)d3x + rrt [G()7,k"') - 4)(7' ) V S d(1. 42 )

G'nin (1.40) tanmnda bulunan serbesti nedeniyle, yzey integrali, yaln zca seilen tipteki s nr kouluna bal hale getirilebilir. Bylece Dirichlet s nr koullar iin unu isteriz: GD (x,x') = 0S zerindeki -;r' ler iin

(1.43)

Bu durumda (1.42)'deki yzey integralinde ilk terim s fr olur ve zm(1)( 3n

V S eklinde ortaya kar. Neumann s nr koullar iin daha dikkatli olmaly z. Bunun iin G( >,X1.') zerindeki s nr koulunun apak seimi-

)G (3t,)7')d3x , 1:,

1

qs

SZ'')

(3Gn . D da' d n

(1.44)

GN ()7>7' )-

= 0 , S zerindeki x' ler iin

an'

gibi grnr; nk bu, arzuland gibi, (1.42)'deki yzey integralinin ikinci terimini s fr yapar. Fakat Gauss teoreminin (1.39)'a uygulanmas gsterir ki".G da' - 47t

56

dir Sonu olarak, GN zerine konulabilecek en basit s nr koulu--?)G

N ()c ' )7' ) in

=

4 )x S

-, ;S zerindeki x' ler iin

(1.45)

dir; burada S, s nr yzeyinin tm alandr. Buna gre zm

qs(R'.) =1, + j-

. 1>(;?')G N ( )-

d3x'

71-F o n ic

GN da' (1.46)

v

eklindedir; burada potansiyelin tm yzey zerinden S ortalama deeridir. Al lagelen Neumann problemi, "d sal problem" denendir: bu problemde V hacmi, biri kapal ve sonlu olan, dieri ise sonsuzda bulunan iki yzey taraf ndan snrlanmaktad r. Bu durumda S yzey alan sonsuzdur; dolaysiyle (1.45) snr koulu trde (homojen) hale gelir ve - x 1I j -..:1 I x. i.-

(1.48)

dr; yle ki qi yknn potansiyel enerjisi n -1 W. = q. 7. - ;7.1 ekline gelir. Aralar nda etkiyen tm kuvvetler nedeniyle, tm yklerin toplam potansiyel enerjisi, en kolay ekilde, her yk ard arda ekliyerek bulunur: (1.49)

58

w=

(1.50)

i ve j zerinden s nrlanmam toplamlar al p 2'ye blerek ok daha simetrik bir ifade bulunur:

w

2

ZX

qi qj

(1.51)

xi

i = j terimlerinin (sonsuz "z-enerji" terimleri) ift toplamda atiand bilinmelidir. Srekli bir yk dalm iin ya da, genel olarak, (1.6) daki Dirac delta fonksiyonlar n kullanarak potansiyel enerji u ekli al r:

w=

d3 x d3 x'

(1.52)

Buradaki integrallerden biri (1.17) skaler potansiyelinin ta kendisidir; bundan yararlanarak (1.52)` ye e deer baka bir ifade daha yaz labilir:

w =2

("(')d3x

(1.53)

(1.51), (1.52) ve (1.53) denklemleri, elektrostatik potansiyel enerjiyi yklerin konumlar cinsinden anlat rlar ve dolaysiyla ykler arasndaki etkilemeleri Coulomb kuvvetleri yoluyla vurgularlar. ok verimli bir baka yaklam, elektrik alan na nem vermek ve enerjiyi, ykleri saran elektrik alan nda depo edilmi olarak yorumlamaktr. Enerjinin bu biimdeki ifadesini elde etmek iin, (1.53)'den yk younluunu yoketmek amaciyle Poisson denklemini kullanir z: 472 d3x w = 1 8TC J Paral integral al m u sonuca yol aar:

59

w

1 5( -412. d3x =B itI

1 51-12 d 3x 8n - i

(1.54)

Burada integral tm uzay zerinden al nmaktadr. (1.54) denkleminde yiiklere olan a k ballk kalkm ; enerji, elektrik alannn karesinin tm uzay zerinden integrali haline gelmi tir. Artk burada integrant ,w enerji younluu olarak saptamak doaldr:

w =

1

1- 12

(1.55)

8TfBu enerji ifadesi sezgisel olarak akla yak ndr; nk yksek alan blgelerinde daha ok enerji olmal dr. (1.55)' de artc bir nokta vard r. Enerji younluu pozitif belirlidir. Sonu olarak, bunun hacim integralinin negatif olmamas gerekir. Bu ise (1.51)'den edindi imiz ters i aretli iki ykn potansiyel enerjisinin negatif olaca izlenimiyle eli ir gibi grnmektedir. Grn teki bu elikinin nedeni udur: (1.54) ve (1.55),'enerji younluuna z-enerji katklarn kapsamakta, oysa (1.51) I deki ift toplam bu katk lar kapsamamaktad r. Bunu bir rnekle anlatmak iin,

ekil 1.8

60 =>. x ek.1.8'deki gibi, .1 ve x 2 'ye yerlemi q ve q 2 deerli iki noktasal yk gznne alal m. x konumlu P noktas ndaki elektrik alan - - - -. q (x - x ) --> q2 (x - x2 ) + E I x - ; 3 x2 rx - -4 r 1 tr; yle ki (1.55) enerji yo unluu - -, - - 2 2 q q 2 (x-x ).(x-x 2 ) q q2 w + + '''', 13 -N -N \4 14 -N t3 8-Rix-x 87X1 > ;: 4Nix-x I x, - x 2 2 -

(1.56)

eklinde ortaya kar. lk iki terimin z-enerji katk lar olduklar a ktr. Etkileme potansiyel enerjisi iin, onu tm uzay zerinden integre edelim: - - -, - (x - x ) ' (x - -x 2 ) q c12 .S. (1.57) W ... a3 X - - i3 i --N - 13 etki 41X x-x l 1 x - x21 ntegral deikenini unu buluruz:cl

-

- - - x (x - xI )/x - 2 i eklinde deitirerek

cl2

.x

1 S* 53 .( -f1 +71. )" 1 -71 1 3

d 3?

Wetki.

(1.58)

.4. Burada n, (x l - 2) ynnde bir birim vektrdr. (I+ n)/}f+ . V (1/rf+ aere ini kullanarak, boyutsuz integralin 47c deerine sahip olduu kolayca gsterilebilir; bylece etkile me enerjisi beklenen deerine indirgenmi olur. Ykl cisimler aras nda etkiyen kuvvetler, kk sanal yerdeitirmeler alt nda sistemin toplam elektrostatik enerji sindeki deime hesaplanarak elde edilebilir. Bunun rnekleri problemlerde tart lmaktadr. Bu ama iin enerji o ekilde yazlmaldr ki, sistemin ekillenimindeki bir de ime sonucunda dei en ve sabit kalan arpanlar a ka grnsn. Basit bir rnekleme olarak, Cr(X) yzeysel yk yo unluuna sahip bir iletkenin yzeyi zerinde birim alan ba na kuvveti hesaplayal m. Yzeyin iyice yak nnda enerji younluu udur:-

w =

8Tr

1 1 E12 = 211.er-

(1.59)

61

imdi iletken yzeyin Aa alan eleman nn da doru kk bir Ax yerdeitirmesi yapt n tasarlayal m; elektrostatik enerji, w enerji younluu ile darlanan AxAa hacminin arp m kadar azalacaktr:

dw = - 2ro-2 da Ax

(1.60)

Bu, iletkenin yzeyinde birim alan ba na 2Tta'2 =w'ya eit da doru bir kuvvetin varolduunu gsterir. Bu sonu, do al biimde, yzeysel yk younluuyle elektrik alan n arpp, elektrik alan yerine, onu oluturan yzeysel yk yo unluu cinsinden deeri konarak tretilir. Bo uzayda her biri V. potansiyelinde bulunan ve toplam ykleri Q.(i = n iletkenli bir sistem iin, elektrostatik potansiyel enerji, sadece potansiyeller ve s a katsay lar denen baz geometrik nicelikler cinsinden ifade edilebilir. Potansiyelin yk yo unluuna olan izgisel ball , iletkenlerin verilen bir yerle imi iin, i'yinci iletkenin potansiyelinin V. =1

p,

. Q.3

(i= 1,2,...,n)

L3

eklinde yaz labileceini ierir; burada p. .'ler iletkenlerin geometrisine bal dr. i'yinci iletken krindeki yk tm potansiyeller cinsinden elde etmek iin, bu n denklem tersine evrilebilir: Qij=

C. . V. 13

(i= 1,2,...,n)

(1.61)

Cii katsaylarna s a denir; i j iin C i 'ler ise indksiyon katsaylar adn alrlar. Dolaysiyle bir iletkenin s as , kendisi birim potansiyelde ve tm di er iletkenler sfr potansiyelde tutulurken, zerinde bulundurduu toplam yktr. Bazen bir iletkenler sisteminin s as da tanmlanabilir. rnein, baka toprakl iletkenlerin varl nda, eit ve kart ykler tayan iki iletkenin s as , biri zerindeki ykn aradaki potansiyel fark na oran olarak tanmlanr. Bu say C.. katsaylar cinsinden ifade etmek iin, (1.61) denklemlal kullanlabilir. letkenler sistemi iin (1.53) potansiyel enerjisi

62

1 n w = 2 1=1

1Qivi = 2

CiiViVi = j=

(1.62)

eklindedir. Enerjinin V. potansiyelleri ve C. 'ler, ya da Q. ykleri ve p. 'ler cinsinden ifadesi, s Jlarn yaklak deerlerini elM etmek iin deiim yntemlerinin uygulanmas na izin verir. C..'lerin st ve alt snrlarn veren dei im ilkelerinin vaVblduklar gsteriIehilir(Problem 1.17 ve 1.18'e bak.). Bu ilkeler, iletkenlerin olduka kark yerle imleri iin s alarn bilinen hata s nrlar iinde kestirmee yararlar. Yksek hzl hesaplama teknikleri, eitli parametreler kapsayan, zenle haz rlanm deneme fonksiyonlar kullanmaya izin verir. Bununla beraber, una i aret edilmelidir ki, alt snrda Dirichlet s nr koullarn salayan bir Green fonksiyonuna olan gereksinim hatay kestirmeyi zorlatrr. Salarn hesaplanmas iin bu teknik zerine daha fazla inceleme, bu ve gelecek blmlerin sonundaki problemlere brak lmaktad r.KAYNAKLAR VE NERLEN OKUMA PARALAR'

Delta fonksiyonlar konusu, matematiksel ynden basit, fakat tam olarak u yazarlarn kitaplarnda ilenmektedir: Lighthill, Dennery ve Kryzwicki. Farkl tiplerde ksml trevli denklemleri ve her tip iin uygun s nr koullarn tart an eserler unlard r: Morse ve Feshbach, Blm 6, Sommerfeld, Blm II,

Partial Differential Equations in Physics,

Courant ve Hilbert, Cilt II, Blm III, IV, V ve VI. Green fonksiyonlar nn genel teorisi ayr nt l olarak u kitaplarda i lenmektedir: Friedman, Blm 3, Morse ve Feshbach, Blm 7. Elektrostatiin genel teorisi, eski kitaplar n ounda geni lde tart lmaktad r. Baz modas gemi gsterimleri olsa da, tannm lar unlard r: Maxwell, Cilt 1, Blm II ve IV, Jeans, Blm II, VI, VII,

63

Kellogg. Birok yeni kitap iinden, Stratton'unki (III. Blm ile II. Blmn baz ksmlar ) genel teorinin i lenmesi ynnden nerilebilir. Elektromanyetik problemlere uygulanan dei im yntemleriyle ilgilenen okuyucular u kitaplara bavurabilirler: Cairo ve Kahan, Collin, Blm 4. Gl matematiksel teknikler iin Polya ve Szeg'nn eseri salk verilebilir.PROBLEMLER

1.1- Gauss teoremini (ve gerekliyse 1.21 denklemini) kullanarak unlar kantlayn z: (o) Bir iletken zerine konan her fazlal k yk, tamamiyle iletkenin yzeyine yay lmal dr (Bir iletken, tanm gerei, uygulanan elektrik alanlar nn etkisi alt nda serbeste hareket eden yklere sahiptir). (b) ii bo kapal bir iletken kabuk, i blgeyi d ardaki yklerin alanlarna kar perdeler; fakat d blgeyi iaiy konacak yklerin alanlar na kar perdeleyemez. (e) Bir iletkenin yzeyindeki elektrik alan yzeye dik olup, 47urdeerine sahiptir; burada er, yzeyin birim alan na den yk younluudur. 1.2- -boyutta Dirac delta fonksiyonu 2 2 2 -3/2 D(o(;x,y,z) = (211:') ot 3 exp (x + y + z ) o(2 eklindeki Gauss fonksiyonunun 0( -40 limiti olarak al nabilir. U dik dorultudaki uzunluk elemanlar du/U, dv/V, dw/W sabit, v =. sabit, w = sabit yzeyleriyle belirlenen genel bir dik koordinat sistemi d nnz. stteki Gauss fonksiyonunun limitini i in iine katarak gsteriniz ki; = 8(u - u') 8(v - v') S(w - w') . UVW dir.o) yaparken, e zerindeki noktalar -aras uzakl k iin sadece sonsuzkk uzunluk eleman nn kullanlmas gerektiine dikkat ediniz. 1.3- Dirac delta fonksiyonunu uygun koordinatlarda kullanarak, aadaki yk dalmlarn , -boyutluy(t) yk younluklar olarak ifade ediniz:

64

(a) Kresel koordinatlarda, R yar apl kresel bir kabuk zerine dzgn ekilde dat lm bir Q yk. (b) Silindirik koordinatlarda, R yar apl silindirik bir yzey zerine birim uzunluk bana 7. deerinde dzgn dat lm yk. (c) Silindirik koordinatlarda, kal nl nemsenmeyen R yarapl dairesel bir disk zerine dzgn olarak da t lm bir Q yk. (d) Kresel koordinatlarda, (c) kkndaki ayni dalm. 1.4- a yarapl ykl krenin her biri toplam O, ykn sahip olup; biri iletkendir, birinin hacimsel yk yo unluu dzgiindr, ncsnn ise r n (n > -3) ile deien kresel simetrik bir yk younluu vardr. Gauss yasas n kullanarak, her krenin hem iindeki hem de d ndaki elektrik alanlarn bulunuz. lk iki kre iin, yarlap n fonksiyonu olarak alanlarn davrann iziniz. Ayni izimi n = -2 ve +2 halinde nc kre iin yap /11z. 1.5- Yksz Hidrojen atomunun zaman-ortalamal potansiyeli -em (1 +

=q

e

r

ca) olan e-merkezli iki iletken kre. (c) a ve b (b>a) yar aplarna gre ok byk L uzunlu unda olan e -eksenli iki iletken silindir.

(d) iletkeni 1 mm apl silindirik tel olan, aras hava dolu bir e-eksenli kablonun s as 0,5 mikromikrofarad/cm ve 0,05 mikromikrofarad/cm olduunda, d iletkenin i yarap nedir?

65

1.7- a ve a 2 yarapl iki .uzun silindirik iletken, yarlaplaral gre byk olan bir d uzakl nda paralel durmaktadrlar. Birim uzunluk bana den s ann yaklak olarak C (4 ln da

) -1

eklinde verildiini gsteriniz; burada a iki yar apn geometrik ortalamas dr. Aralar ndaki uzakl k 0,5 cm, 1,5 cm ve 5,0 cm olacak ekilde 0,1 )pf/cm s al iki-telli bir iletim hatt yapmak iin, yaklak olarak kaar milimetre apl tellere gerek vardr? 1.8- (a) Problem 1.6 I daki sa geometrisi iin toplam elektrostatik enerjiyi hesaplayn z ve bunu ayr ca iletkenler zerindeki eit ve kart Q ve -Q ykleri ile aralar ndaki potansiyel fark cinsinden ifade ediniz. (b) Elektrostatik alan n enerji younluunu, her hal iin, uygun izgisel koordinat n fonksiyonu olarak iziniz. 1.9- Paralel dzlemsel s ann (Problem 1.6a) ve paralel silindirik s ann (Problem 1.7) iletkenleri aras ndaki ekici kuvveti, (a)her iletkendeki ykn sabit tutulmasa; (b)iletkenler arasndaki potansiyel fark = sabit tutulmas halinde hesaplaynz. 1.10- u ortalama deer teoremini kan tlaynz: Yksz uzayda, herhangi bir noktadaki elektrostatik potansiyelin deeri, bu noktay merkez kabul eden herhangi bir kre yzeyi zerinde potansiyelin ortalamas na eittir. 1.11- Ykl bir erisel iletkenin yzeyinde, elektrik alannn yzeye dik bileeninin1

E R R 2

E

eklinde verileceini kan tlamak iin Gauss yasas n kullannz; burada R ve R2 yzeyin ana erilik yarlaplar dr. 1.12- Green'in karlkllk teoremini kantlaynz: Bir V hacmi iindekijp hacimsel yk yo unluu ile bu hacmi s nrlayan S iletken yzeyi zerindeki a' yzeysel yk yo unluu tarafndan oluturulan potansiyelrr = a

3

4Tc

E cose o

(2.15)

78

(a)

(

b

)

ekil 2.6- Dzgn elektrik alannda iletken kre probleininin grnt ykleri yntemiyle zm. dir. Bu yk younluunun yzey integralinin s fr etti ini belirtelim; buna gre topraklanm bir kre ile yal tlm bir kre aras nda fark yoktur. 2.6- Kre in Green Fonksiyonu, Potansiyelin Genel zm nceki kesimlerde, bir noktasal ykn varl halinde iletken kre problemi grnt ykleri yntemiyle tart ld . 1.10 kesiminde deinildii gibi, bir birim yk ile homojen s n r koullarn salamak zere seilen grntnn (ya da grntlerinin) potansiyeli, Dirichlet ya da Neumann s nr koullar na uygun Green fonksiyonunun (1.43 ya da 1.45) ta kendisidir. G(7,3?')'de deikeni birim ykn P' konumunu gsterir; 5(' dei keni ise potansiyelin hesapland P noktas dr. Bu koordinatlar ve kre ekil 2.7'de grlmektedir. a yar apl kre zerinde Dirichlet s nr koulu iin birim yk ve grntsnn potansiyeli, q = 1 olmak zere (2.4) bantsiyle birlikte (2.1) ile verilir. Dei kenleri uygun ekle dn trerek Green fonksiyonunu elde ederiz: a (2.16) 1 ( G (;? 5 , ) = 2 a x' x'\ x x'.4.

79

ekil 2.7 Kresel Koordinatlar cinsinden bunu yle yazabiliriz:

G ()7,

=2

1

(x fx' -2xx' cos6)

2

1/2

2 ,2 (x 2 x a

(2.17) 4a2_ 2 xx'cos02

1

Burada S', x ile x' aras ndaki adr. G'nin x ve x' de ikenlerine gre simetrik olduu (2.17) eklinden a ka grlmektedir; ki bu, ister 3.." deikeni isterse deikeni kre yzeyi zerine getirilsin G = 0 olacak demektir. Poisson denkleminin (1.44) zm iin sadece G'ye de il, ayr ca)G/n 1 ye de gerek duyar z. ri'nn ilgilendi imiz hacimden d arya doru, yani ^2'' boyunca ieriye ba langca doru uzanan yzeye dik birim vektr oldu unu anmsayarak unu yazar z:

i)G n'

x'=a

2 2 (x - a ) 2 2 a(x +a -2axcos

r 3/2

(2.18)

Dikkat edilirse, bu, temelde (2.5) yzeysel yk yo unluudur.1

80

Bylece yzeyi zerinde potansiyelin belirtildi i krenin dnda Laplace denkleminin zm, (1.44)'e gre, yledir:

oi()7)

141X

a(x2 - a2 ) (x2fa2 2a xcos'/0 3/2

dft.

(2.19)

Burada d2, (a,e',(1)') noktas ndaki kat a eleman ve cos' = cos8 cos8' + sin8 sin9 1 cos(-*') 1) dr. Krenin i blgesindeki potansiyel problemi iin yzeye dik trev d a dorudur, yle Ji "iWpn' nn i areti (248)'n tersidir. Bu ise (2.19)'da (x - a ) arpan yerine (a -x ) koymaa denktir. Yk da lml problem halinde, (2.19) potansiyeline, (1.44)'deki ilgili integrali (2.17) Green fonksiyonu ile eklemeliyiz.

2.7- Yar-kreleri Ayr Potansiyellerde Tutulan Kre

letken

Yzeyi zerinde potansiyel de erleri verilmi bir krenin dndaki potansiyelin (2.19) zmne rnek olmak zere, kk bir yal tkan kuak ile ayrlm iki yar kreden oluan a yar apl iletken kreyi ele alal m. Yarkreler ayr potansiyellerde tutulmaktadr. Potansiyelleri V olarak almak yeter; nk tm yzeyi sabit potansiyelde tutulan bir kreye ili kin zm eklenerek keyfi potansiyelleri ieren problem zmlenebilir. ekil 2.8' de grld gibi, yal tkan kuak z = 0 dzleminde yerlemi olup, st (alt) yarkre +V(-V) potansiyelindedir.

ekil 2.8

81

(2.19)' dan

4-,(.,9,0p) zm a adaki integralle verilir:

2 2 r 2 a(x-a) 1(x,e,(1)) = -,-1\1 . 2.11.dcb' j!).d(cos8') -,L d(cose') 1 [i (a+x-2axcos) 3/2 kinci integralle u~ bir de iken dei tirme ile (8L41t-9 1 , + x) stteki ifade u biime sokulabilir: ,51 5 (x,, 0 ) Va(x 2 -a 2 ) 41T (2.20)

!n _ 4, a

4:

d(cos9') [, (a2+x2 - 2ax coss6) -3/2 (2.21) -(a2 + x2 + 2axcosW 3/21

cos nn (8',0') ve (8,) a larna olan karmak ball nedeniyle (2.21) denklemi genel olarak kapal biimde integre edilemez. zel bir hal olarak, art z ekseni zerindeki potansiyeli hesaplayal m. Bu durumda 8 = 0 olduundan, cos) = cos8' 'dr. ntegral basittir ve potansiyelin

s( z) =

2 2 (z -a ) z sz 2+a2

(2.22)

olduu hemen gsterilebilir. z = a' da umduumuz gibi < 5 = ye2 klarda ise asimtotik olarak:t3Va /2z indrge;bykuzal biiminde davranr. (2.21) * deki integraller iin kapal ifadeler yoksa, payday kuvvet sersie ap terim terim integre ederiz. Her bir paydadan (o +x )yi arpan olarak kararak, unu elde ederiz:

(x,e, ))

Va(x-a) 2 3/2 41C(x +a ) 2

2 2

Sz c19( '

d(cose')[(1-20Ccos) -3/2

(1 + 20(co) -3/2 1 (2.23) Burada o( = ax/(a + x )'dir. Kklerin a lmnda c-=0 s nr koullar salans n. Temel zmlerin gzden geirilmesi gsterir ki,c< gereldir ve tm y'ler iin x = 0 ve x = a'da ve ayrca y -4 aolimitinde jtansiyelin s fr olmas iin uygun izgisel kar mlar e.= (-r sin(o(x)' lerden kurulmald r; burada 01= nn/a'd r. Bylece drt s nr yzeyinden zerindeki s nr koullarn salayan zmlerin izgisel.karm udur:..0 deerleri iin 4> = V biimindedir. Bu koullar, (2.70) 'de b = B = 0 ve (2.69) da b = O, A = 0 olmas n gerektirir. 2telil?, y sin(V(3) = 0 yapan

v=

mrt '

m = 1, 2, .

deerlerine s nrlar ve bylece genel zm u ekle gelir:00

1 (?,0) = V + n=1

am

(mYr/3)

sin(mn/(3)

(2.72)

Daha saptanmam olan a katsaylar , f = 0 kesinden uzaktaki potansiyele (uzak sinir ko ullarna) bal d rlar. (2.72)' deki seri .1)1T/P 'nin pozitif kuvvetlerini ierdi inden, yeterince kk p ' lar iin sadece serideki ilk terim nemli olacakt r. Bylece g = 0 yaknnda potansiyel yaklak olarak yledir: 1) (?,(D) "=-.* V + ai ? .71/1 sin(7rk(3) Elektrik alan nn bileenleri ise unlard r: Es,(9) u-

( 2 . 73 )

'g al 5:1

.3

p'(IT

) -1

. sn(1) (2. 74)

E (p 9 )

_

1Tl o(r/ P )-1 cos(tgVp)

P )

= 0 ve =(3'daki yzeysel yk younluklar e it ve yaklak olarak

cr(g)

E (9,0)

= 4 ,s $>")-1

(2.75)

e- Burada uzak s n r ko ullar hakk nda gerekli bir varsay m yapaca z; bun lar a katsay s n n s f r olmad ko ullard r. Normal olarak bu bir sorun de ildir; fakat zel simetriler a katsay s n ve hatta a v.s." yi s f r yapabilirler. Bu al lmam rnelder ayr olarak incelenmelidir.

98

dir. Hem alann bileenlqr hem de yzeysel yk younluu, 9=0 ra-1 dolaynda, uzakl kla m u gb degr.9'ya olan bal lk, gibi baz zel haller iin, ekil 2.13'de grlmektedir. ok derin bir k e (kk /3) iin, s> 'nun kuvveti ok byk olur. Byle bir kede pek yk toplanmaz. (3.-- -R(duz bir yzey) iin, a ka sezilecei gibi, alan nicelikleri p 'dan bamsz hale gelir. P> .K olduunda, art k iki-boyutlu ke bir s rt haline dnr ve gerek alan gerekse yzeysel yk yo unluu ? --,0` da tekil (singular) hale gelir. (3= 27z.

1/ 5

4In,==7, 1

YI II I= I=

ekil 2.13- Aklklar (3=1T/4, 31x/2 ve 2)t olan "ke" ya da srtlarda yzeysel yk younluunun (ve elektrik alannn) 9 uzaklyla deiimi. 1/2 (ince bir levhann srt ) iin tekillik jf gibidir. Gene de bu integre edilebilir; s rttan sonlu bir uzakl a kadar da lm olan yk sonludur; fakat iletken levhalar n (ya da, gerekte, (3>Tt olan her ekillenimin) s rtlarnda alan iddetleri ok byk hale gelir. Yukardaki iki-boyutlu elektrostatik incelemeler, zamanla deien alanlar ierilse bile, birok -boyutlu duruma uygun der. Bir kbn bir kesinden uzaktaki kenar gibi sonlu uzunluklu keskin bir s rt szkonusu ise, s rta yeterince yak n yerlerde, potansiyelin s rt boyunca dei mesi nemsenmeyebilir. (2.75)'deki a katsays srt boyunca olan uzakl kla deiebildii halde, iki-boyutlu inceleme uygundur. Daha da te, bu elektrostatik tartmalar zamanla deien alanlar iin bile geerlidir. Buradaki zellik, zamana gre deiim ile bir baka uzunluun, yani dalgaboyunun i e kar mas dr. Srttan te doru dalgaboyuna ve di er ilgili uzakl klara gre kk uzaklklarla ilgilenmek kouluyle, alanlar n davran elektrostatik ya da manyetostatik davran a indirgenir. rnein, ince bir iletken levhadaki bir delikten mikrodalgalar n krnmnda, alanlar 9 O iin .P-1/2 gibi tekildirler;~ ,. deliin s nrndan olan uzakl ktr. Bu olgu, k rnm probleminin

99

her tam zmnde hesaba kat lmal dr. Paratonerlerin etkinli inin nedeni, keskin srtlarn yaknndaki alanlarn tekil davrandr. Burada tart lan idealize durumda, alan iddeti 9 -4 0 ile s nrs z bir ekilde byr; fakat s rt yuvarlaklatrlms kal nlkl ince bir levha iin yzeydeki alan iddetinin d 11 ile orantl olaca kartlabilir. Yeterince kk d iin, bu alan ok byk olabilir. Salt bo lukta byle alanlar olas dr; fakat havada alan iddetleri belirli bir deeri aarsa elektriksel kme ve boalma ortaya kacaktr. (Bu belirli deer, elektrodun tam ekline, dier elektrodlara yak nlna v.s. baldr; fakat havada normal koullar alt nda 2,5 x 10 volt/cm:den daha byk, bazen drt kat kadardr). Yer ile bulutlar aras nda byk potansiyel farklarnn olutuu frtnal havalarda, topraklanm bir keskin iletken s rt, ya da daha iyisi, iletken bir sivri u (bak.Kesim 3.4), nce kendi dolay nda bir elektriksel kmeye sahip olacak ve sonra havada kl boalmann izledii zikzakl iletken yolun bir ucunu olu turacaktr. NERILEN KAYNAKLAR VE OKUMA PARALARI Grnt ykleri yntemi ve ilgili kart nokta teknii bir ok kitapta ilenmektedir. Daha iyi ya da daha ayr ntl tart malar u kitaplardadr: Jeans, Blm VIII, Maxwell, Cilt I, Blm XI, Smythe, Blm IV ve V. Ykl iletken bir ince kresel tas n i ve d yzeylerindeki yk dalmn elde etmek iin 1847'de Lord Kelvin tarafndan kart noktalar tekniinin klasik kullan m u kitaplarda tart lmaktadr: Kelvin, sayfa 186, Jeans, sayfa 250-251. ok sayda diyagram ieren, her trden rnek iin gerek bir ansiklopedik kaynak Durand' n kitabdr, zellikle Blm III ve IV. Sayfa 107-114'de kart noktalar i lenmektedir. ki-boyutlu potansiyel problemlerinin zmnde karmal de ikenler ve konform tasvir a adaki kitaplarda tart lmaktadr: Durand, Blm X, Jeans, Blm VIII, Kesimler 306-337,

100

Maxwell, Cilt I, Blm XII, Morse ve Feshbach, sayfa 443-453, 1215-1252, Smythe, Blm IV, Kesimler 4.09-4.31, Thomson, Blm 3. Konform tasvir zerine yararl kk bir matematik kitab ise udur: Bieberbach. Ayrca bu konuya ayr lm birok mhendislik kitab vardr: Gibbs, Rothe, 011endorff ve Polhausen. Fourier serileri, integralleri ve dik a lmlarn matematiksel teorisi zerine temel ve a k tartmalar uralarda bulunabilir: Churchill, Hildebrand, Blm 5. Fourier serileri ve integrallerinin biraz modas gemi ekilde, fakat bol rnek ve problemli olarak ilenii u kitapta yer alr. Byerly. PROBLEMLER 2.1 Noktasal bir q yk, s fr potansiyelde tutulan sonsuz genilikteki dzlemsel iletkenden d uzakl na getiril mitir. Grnt ykleri yntemini kullanarak,-

a)iletken zerinde oluan yzeysel yk younluunu bulunuz ve grafiini iziniz. b) q yk ile grnts aras ndaki kuvvet iin Coulomb yasas n kullanarak, iletken ile yk aras ndaki kuvveti bulunuz. e) 2n(r2'yi tm iletken dzlem zerinden integre ederek, dzleme etkiyen toplam kuvveti elde ediniz. d) q ykn ilk yerinden sonsuza gtrmek iin gerekli i i hesaplaynz. e) q yk ile grnts aras ndaki potansiyel enerjiyi yaz n z. Yantnz d) ile karlatrnz ve tart nz. t) Bir elektron ba langta dzlemden bir angstrm uzakta iken d) yantn elektron Volt cinsinden bulunuz. 2.2 yar ap a olan topraklanm ii bo bir iletken krenin ierisinde noktasal bir q yk problemini, grnt-

101

ykleri yntemini kullanarak tart n z. a) Krenin ierisindeki potansiyeli, b) Oluan yzeysel yk younluunu, c) q zerine etkiyen kuvvetin byklk ve ynn bulunuz. Kre sabit bir potansiyelde tutulursa, zmde herhangi bir deiiklik olur mu? Krenin i ve d yzeylerinde toplam Q yk bulunursa ne diyebiliriz? 2.3- z = 0 dzlemi zerinde (ve sonsuzda) Dirichlet s nr koullar ile, z > 0 yar -uzayndaki potansiyel problemini ele alnz. a) Uygun G('',7') Green fonksiyonunu yaz n z.b) z= 0 dzlemi zerindeki potansiyel, dzlem zerinde merkezi balangta bulunan a yar apl dairenin iinde C = V ve dnda 0 olarak verilmi olsun. (p,41),z) silindirik koordinatlaryle belirtilen P noktas ndaki potansiyel iin bir integral ifade bulunuz. c) Dairenin ekseni boyunca (S) = 0) potansiyelin

F =

=

v( +. z2

biiminde verildi ini gsteriniz. 2 2 d) Byk uzakl klarda (f+ z )> a ), potansiyelin,(,+z 2 ) -1 labileceini ve bata gelen terimlerin inkuvetsr a2 Va

z( ?fz2 ) 3/2[. 1

3a

2.

2

4(522:1-z2 )

2 4. sopa 2 a4) + + 8(?2+z2 ) 2.

olacan gsteriniz. (c) ve (d) sonularnn ortak geerlilik blgesinde birbirleriyle uyutuklarn dorulaynz.2.4- izgisel yk younluklar ve olan birbirlerinden R uzakl kl , sonsuz uzunlukta iki paralel dorusal yk iki-boyutlu bir potansiyel problemi tanmlamaktadr.

a) Sabit V potansiyel yzeyinin dairesel bir silindir (daire, enine boyutlarda) olduunu dorudan potansiyeli kurarak gsteriniz ve silindir ekseninin koordinatlar n ve silindirin yarapn R,9kve V cinsinden bulunuz. b) stteki sonular kullanarak, birbirlerinden d > ab uzakl nda paralel duran a ve b yar apl iki dik-dairesel silindirik iletkenin birim uzunluk bana C s asnn

102

C=

12 2 2

2cosh-l ( d olduunu gsteriniz.

-a-b) 2ab

c) Bu sann, uygun limitlerde Problem l.7'deki yan t ile uyutuunu dorulayn z ve a/d ve b/d"nin kuvvetlerine gre s frdan farkl bir sonraki dzeltmeyi saptay n z. d) Bu s a hesabn , i-ie gemi iki silindir iin (d< {b ap yineleyiniz. Sonucu e-eksenli (d = O) silindirler iin-

kontrol ediniz.

2.5 a yarapl , yal t lm , kresel bir iletken kabuk dzgn bir E elektrik alan iindedir. bu kre alana dik bir dzlem ile yar kreye kesilirse, yar krelerin ayr lmas n nlemek iin gereken kuvveti-

a) kresel kabuk yksz iken, b) zerinde Q toplam yk varken hesaplay n z.

2.6 Geni paralel plakal bir kondansatr, iki dzlemsel iletken levhadan yap lm olup, levhalar ndan biri i yzeyinde a yarapl kk bir yar-kresel kntlya sahiptir. C knt11 iletken s fr potansiyelinde tutulmakta; dier iletken ise levhalar aras nda kntdan uzaklarda elektrik alan E o olacak ekilde bir potansiyelde bulunmaktad r.-

a) Dzlem zerinde ve knt zerinde herhangi bir noktada yzeysel yk younluklarn hesaplayn z ve uzakl n (ya da ann) bir fonksiyonu olarak davranlarn iziniz. 2 b) knt zerindeki toplam ykn 3E o a /4 byklne sahip olduunu gsteriniz. c) Dier iletkeni ayr bir potansiyelde tutacak yerde, yar-kresel kntnn tam karsna merkezinden d uzakl na noktasal bir q yk yerle tirilirse, knt zerinde olu an ykn q' =d2 -a2

el/( olacan gsteriniz.

2

+d a

21

1

2.7 Yk younluu 2 olan bir izgisel yk, sonsuzda potansiyel sfr olacak ekilde sabit bir gerilimde tutulan b yarapl iletken bir silindirin eksenine paralel olarak eksenden R kadar uzakl a konmutur.-

103

a) Grnt yk (leri)'nin konumunu ve bykln bulunuz. b) Herhangi bir noktadaki potansiyeli, silindirden uzaktaki asimtotik biimiyle beraber bulunuz (ba langc silindir ekseninde ve balangtan izgisel yke doru olan yn x-ekseni alarak kurulan kutupsal koordinatlar kullann z). c) Oluan yzeysel yk younluunu bulunuz ve bunu, z/2n6 birimiyle, R/b = 2 ve 4 iin, a nn fonksiyonu olarak iziniz. d) Yk zerindeki kuvveti bulunuz.2.8- b yarapl bir silindirin yzeyi zerinde belirtilmi potansiyele sahip iki-boyutlu potansiyel problemi iin (2.71) seri ziiffiyle balayarak, katsaylar gelitiriniz, sonra onlar seride yerine koyup toplayarak silindir iindeki potansiyeli Poisson integrali biiminde elde ediniz

21(

p?d 9S'

? '9)

94 o)(1 (b' (/)')

b2 +

2)

- 2bscos(y6' - O)

Silindir yzeyi ile sonsuzdan geen yzey taraf ndan s nrlanan blge iinde potansiyelin bulunmas istenirse, ne gibi bir deitirme gerekir?

2.9 - a) i yarap b olan ii bo uzun bir iletken silindirin iki yar s her iki taraftan uzunlamas na kk aralklarla ayr lm olup, Vi ve V2 gibi ayr potansiyellerde tutulmaktad r. ierideki potansiyel nV +V 1 2

V -V 1 2 tan

cD(

6') =

-1

(

2b,

cos rp )

2

b2 2 -5)

biiminde verildiini gsteriniz; burada 96, aralklardan geen dzleme dik bir dzlemden llmektedir. b) Silindirin her bir yar s zerindeki yzeysel yk younluunu hesaplayin z. 2.10- Bir nceki iki-boyutlu problemin bir baka ekli, b yarapl , ii bo , uzun bir iletken silindirin uzunlamas na

104

e it drt paraya ayr lmas dr. Ard ardna gelen paralar sras yle +V, -V, +V, -V potansiyellerinden tutulmaktad r. a) Problemi (2.71) seri zm arac l yle znz ve silindir iindeki potansiyelin

4(94)

( Q ) 4n+2n= b

sin 4n+2 gS12n +

eklinde olduunu gsteriniz. b) Seriyi toplay n z ve aadaki sonucu elde ediniz

4)(94)

2Tx V

_2 tan - (250, b2 sin4 ) b4 - s;)4

c) Alan izgilerini ve e-potansiyelleri kabaca iziniz.

2.11 a) Grnt ykleri yntemini kullanarak, b yar apl silindirin d blgesindeki problem iin iki-boyutlu Dirichlet Green fonksiyonunun-

c(?,(; 4,,(1),)

4

2 9, 9 2 -2b Q p'cos(1) - t,'))]

b [?2+s'z -2??'cos( ,g6 -

}

In

(Q-ip) (f> ta -b2 )+b2 I -;541 1 2b2

eklinde olduunu gsteriniz; burada jive pdzlemdeki koordinat vektrleridir.

105

15) Bu Green fonksiyonunu kullanarak problem 1.7'nin sonucunu dorulayn z. c) blgedeki problem iin, e er varsa , ne gibi deiiklikler gerekir? 2.12- a) Problem 2.11'deki Green fonksiyonunu ve (1.44) zmn kullanarak, bir emberin iindeki Dirichlet problemi iin Poisson integrali biimindeki zm (problem 2.8) elde ediniz. b) Cauchy teoremini kullanarak Poisson integral zmn bulunuz. Cauchy teoremi udur : F(z) fonksiyonu kapal bir C erisiyle s nrlanan R blgesinde analitik ise, 12n i

F(z')dz' z'-z

F(z) o

eer z, R'nin iinde ise, eer z, R'nin d nda ise,

Yardm : ember iindeki noktada hesaplanan zm integraline, sfr olan (grnt noktasyla ilgili) bir integral liriz. 2.13- i bo bir kp x = 0, y,= 0, z = 0 ve x = a, y = a, z = a dzlemleriyle tan mlanan alt iletken yze sahiptir. z = 0 ve z = a yzleri sabit bir V potansiyelinde tutulmakta olup, kalan drt yz ise s fr potansiyeldedir. a) Kpn iindeki herhangi bir noktada Cb(x,y,z) potansiyelini bulunuz. b) Kpn merkezindeki potansiyeli, saysal olarak, virglden sonra nc basamaa dein hesaplayn z. Bylesine bir kesinlik iin serinin ka terimini almak gerekir? Say sal sonucunuzu, kpn yzleri zerindeki potansiyelin ortalama deeriyle kar latrn z. Problem 2.16'ya bak nz. c). z = a yzndeki yzeysel yk younluunu bulunuz.

0 < 11'(3 blgesi, ekilde grl2.14 ki-boyutlu d gibi, s fr potansiyelde tutulan= 0,9= a veb= 'daki iletken yzeylerle s nrlanmtr. Byk 9 'lardaki potansiyel, belirli ekillenime sahip baz ykler ve/veya sabit potansiyelli iletkenler taraf ndan saptanr. a) Sonlu S> 'lar iin s nr koullarn salayan OD( ,OP) potansiyelinin bir zmn yaznz. b) Sadece sfrdan farkl en dk, terimleri tutarak, elektrik alan nn E s, ve E, bileenlern ve ayrca s nr-

106

yzeyi zerindeki alt p, o luklar n hesaplaynz.

) cr( 9, (3)

ve CF(a,oi ) yzeysel yk youn-

=o

'//777//////// /////////////

Problem 2.14 c) (3=1T (yani dzlemsel bir iletken ve zerinde a yar apl bir yar -silindir) al n z. b)'deki en dk mertebeli terimlerin, yar -silindirden uzaklarda, dzleme dik dzgn bir elektrik alan vereceini gsteriniz. Yar -silindirin zerindeki ve komuluundaki yk younluunu kabataslak iziniz. Dzlemden uzaktaki sabit elektrik alan iddeti iin gsteriniz ki, yar -silindir zerindeki toplam yk (gerekte z -do rultu sunda birim uzunlua den yk), yar -silindirin yokluu halinde, 2a geni likli bir eritin zerinde bulunabilecek ykn iki kat dr. Dzleme yakn blgelerden fazlal k bir ksm ykn ekileceini, yle ki a'ya gre daha geni bir erit zerindeki toplam ykn, yar -silindir orada bulunsun ya da bulunmas n, ayn olacan gsteriniz.2.15-