kinetička teorija gasova · efektivni presek sudara ... izračunati broj sudara molekula kiseonika...

Kinetička teorija gasova

1.2.4. Maksvelova raspodela brzinaRazličite brzine molekula

1.2.6. Broj sudara i srednji slobodni put1.3.1. Efuzija

Maxwell-ova raspodela brzina

2/1

0

8)( ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=>=< ∫

∞

MRTdvvvfvπ

2/12/1

2

0

2/12 3)( ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=>< ∫

∞

MRTdvvfvv

RTMvevRT

MvF 2/22/3

2

24)( −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=π

π

f(v) je funkcija gustine verovatnoće

Srednju brzinu

Koren srednjeg kvadrata brzine

Najverovatniju brzinu df(v)/dv=0 2/12⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

MRTvp

Koristimo F(v) da izračunamo srednje brzine

RazliRazliččite brzine molekulaite brzine molekula--11Najverovatnija brzina odgovara maksimumu na krivoj raspodele brzina

0482

exp2

)( 222/3

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

kTmvvv

kTmv

kTm

dvvdF ππ

π

Dva rešenja odgovaraju minimumima funkcije raspodele, pri v=0 i v=∞. Treće rešenje se dobija iz uslova da je prvi izraz u zagradi jednak nuli.

MRT

mkTvp

22==

RazliRazliččite brzine molekulaite brzine molekula--22

2/12/1 88⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

MRT

mkTv

ππ

Srednja brzina se izračunava kao srednja vrednost brzine v

∫∫∞∞

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

0

322/3

0 2exp

24)( dvv

kTmv

kTmdvvvFvπ

π

RazliRazliččite brzine molekulaite brzine molekula--33Kvadratni koren iz srednjeg kvadrata brzine se definiše kaokvadratni koren iz :2

v

( )2/1

0

422/32/1

0

22/12

2exp

24)(

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= ∫∫

∞∞

dvvkT

mvkT

mdvvFvvπ

π

2/12/12/12 33)( ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

MRT

mkTv

vp : : ( )1/2 = (2)1/2 : (8/π)1/2 : (3)1/2 = 1,00 : 1,13 : 1,22 v2

v

Maksvelova raspodela brzina

dvv24π

Srednje brzine (m/s) nekih molekula na 250C

Izračunavanje srednjih brzina

Koren srednjeg kvadrata brzina

Srednja brzina

Najverovatnija brzina

132/1

2/12 1084,13 −×=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=>< ms

MRTv

132/1

1069,18 −×=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛>=< ms

MRTvπ

132/1

1050,12 −×=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ms

MRTvp

Najverovatnija brzina odgovara maksimumu na krivoj raspodele brzina:

vp : : ( )1/2 = (2)1/2 : (8/π)1/2 : (3)1/2 = 1,00 : 1,13 : 1,22 v2

v

Crtanje funkcije Maxwell-ove raspodele brzina (2)

Brzine molekula

Funk

cija

Mak

svel

ove

rasp

odel

ebr

zina

, F(v

)

EksperimentalnoEksperimentalno određivanjeodređivanje brzinbrzinaa molekulamolekula

v = l/t = lω/ϕ

1 1 2 2

Cω

S SSS

P P

Štern je eksperimentalno izmerio da je brzina atomasrebra pri temperaturi od 1473K oko 600m/s

./58610107147331,833v 3

2sm

MRT

=⋅⋅⋅

== −

Aparatura za ispitivanje molekulskih brzina

5.7

peć

čoper sa rotirajućimrazrezom

sporimolekuli

brzimolekuli

molekulisrednjih brzina

vakuumska pumpa

izvor detektor

selektor

ra rb

d

Efektivni presek sudaraσ=πd2

σd

Dvojni sudari-broj sudara i srednji slobodni put

Dijametarsudara d=ra+rb

Kruta sfera a

Kruta sfera b

sudari


zab - broj sudara jednog molekula vrste a i svih molekula vrste b u jedinici vremenaZab - ukupan broj sudara svih molekula a sa molekulima b u jedinicivremena i jedinici zapremineMolekul a će, krećući se u intervalu Δt, pretrpeti sudare sa svim molekulima vrsteb čiji se centri nalaze u zapremini cilindračija osnova predstavlja krug poluprečnikajednakog d, čija je visina jednaka rastojanjuvaΔt koje molekul pređe:

r +ra b

d +da b

ab

da ava

v taΔb

bb

( ) abab

ab vrrVN

z 2+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= π

Broj (frekvencija) sudara (1)

Definicija relativne brzine v12

vab2 = va

2 + vb2 - 2va vb cos θ

vab2 = va

2+ vb2

sudari

va

vab

vab=0

v v vab a b= -

v vab=2

vb

a

ba a

a

b b

b

0O 45O 90O 180Ov va b=

vab = ( va2 + vb

2)1/2

baab vvv rrr−=


( ) [ ] ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛++=

VNvvrrz b

babaab2/1222π

Zab = zab (Na/V)( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

VN

VN

MMRTrrZ ab

babaab

2/12 118

ππ

za: Na=Nb=N, ra=rb=r=d/2 i Ma=Mb=M

( ) ( ) ( )kTP

MRT

RTPN

MRTd

VNvdz

aa

A

aa

aaaaa

2/12/1

2/122/12/12 82822 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

πσ

πππ

( )22/1

2/122/1

2 822)2(

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= −

kTP

MRT

VNvdZ a

aaaa πσπ

Broj sudara (4)

Broj sudara za identične čestice

><== vzz ρσ211

sudari

PrimerIzračunati broj sudara molekula kiseonika na 1atm i 25°C. Dijametar sudara kiseonika je 3,61 Å.

12/1

4448 −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛>=< ms

MRTvπ

3251043,2 −×=== mRTPN

VN Aρ

191024,62 −×>=<= svz ρσ

Uočimo: Vreme sudara je obrnuto srazmerno broju sudara

1 atm=1,013x105 Pa (Nm-2)

ρ je brojčana gustina


Srednje rastojanje koje pređe molekul između dvauzastopna sudara je srednji slobodni put λ:

abaa

ab

abaa

ab

zzv

tztztv

+=

Δ+ΔΔ

=λ

PkT

VNdzv

totaa

a

σπλ

2)/(21

2===Za čist gas je:

Srednji slobodni putSrednji slobodni put

pkT

vv

zv

σρσρσ

λ

221

2

/

==><

><=

><=

Definicija:

srednje rastojanje koje molekul pređe između sudara

PrimerIzračinati srednji slobodni put molekula kiseonika na 1atm i 25°C.

mp

kT 8101.72

−×==σ

λ

1 atm=1.013x105 Pa (Nm-2)

VacuumVacuumGasGas

EfuzijaEfuzija gasagasa je je isticanjeisticanje krozkroz malimali otvorotvor

EfuzijaEfuzijaGreamov (T. Graham, 1805-1869) zakon efuzije: brzinaefuzije je obrnuto srazmerna kvadratnom korenu gustinegasa:

1

2

1

2

2

1

MM

vv

==ρρ

2

1

2

1

2

1

MM

tt

==ρρ

EfuzijaEfuzijaEfuzija je isticanje gasa kroz mali otvor.

Molekuli prolaze kroz otvor kao da udaraju u površinu zidakoja odgovara površini otvora.

EfuzijaEfuzija--kinetikinetiččka teorijaka teorijav txΔ

x

A

∫==∞

0)( xxxx dvvfvtNAvtNAsudaraBroj ΔΔ

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

∞−

0

2/12/

2/1

222

mkTtNAdvev

kTmtNAsudaraBroj x

kTmvx

x

πΔ

πΔ

Nvm

kTNZZ 41

2

2/1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=π

broj sudara u jedinicivremena i po jedinicipovršine zida, ZZ

oZe AZv = 2/12/10

2/100 1

)2()2(4 MRTNPA

mkTPA

kTAvP

v Ae ⋅===

ππ

( ) 2/10

0 2 mkTtmpAtmAZm z π

Δ=Δ=Δ

tAm

MRT

tAm

mkTp

ΔΔπ

ΔΔπ

0

2/1

0

2/1 22⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

Knudsenov (Knudsen) metod za određivanje naponapare tečnosti i čvrstih supstanci

Greamov zakon

kinetička teorija gasova · efektivni presek sudara ... izračunati broj sudara molekula kiseonika...

Documents