ki kare(fazlası için )

Click here to load reader

Post on 03-Jul-2015

523 views

Category:

Documents

3 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • 1. 16 K-KARE DAILIMI ve TEST

2. z ve t testleri parametrik testlerdir. Ki kare testi ise parametrik olmayan bir testtir. Parametrik olmayan testlerde hipotezler, toplumlarn dalmlaryla ilgili olarak kurulurlar. Ki kare testinde, teste girecek olan deerler sayarak elde edilmi olgu says gruplardr. Gruplar tek bir sra halinde (bir ynl) olabilecei gibi birden fazla sra ve stunun (iki ynl) oluturduu tablolar eklinde de olabilir. Test, gruplardaki gzlenen deerler ile beklenen deerleri karlatrr. Ki-kare testi ile ncekilerden farkl olarak iki ve daha fazla gruba den deerlerin dalm ayn anda karlatrlabilmektedir. 3. Ki kare testinde, teste girecek olan deerler sayarak elde edilmi olgu says gruplardr. Gruplar tek bir sra halinde (bir ynl) olabilecei gibi birden fazla sra ve stunun (iki ynl) oluturduu tablolar eklinde de olabilir. 4. Test, gruplardaki gzlenen deerler ile beklenen deerleri karlatrr. Ki-kare testi ile iki ve daha fazla gruba den deerlerin dalm ayn anda karlatrlabilmektedir. 5. Ki Kare Dalmnn Fonksiyonu ve Erisi Normal bir toplumdan seilen bir birimin x deeri iin birim normal dalmnda hesaplanacak olan Z deerinin karesi bir ki-kare deeri olur. Bu ekilde tek bir birimden elde edilen ki-karelerin dalm bir serbestlik derecelidir. Toplumdan ayn anda tane birim seip bunlara kar gelen tane Z2 'nin toplanmasyla bulunan ki kare deerlerinin dalm da serbestlik dereceli bir dalm olur. 6. Ki-kare deerlerinin dalmnn fonksiyonu f A e( ) . .( ) 2 2 2 2 1 2 = 2 ki kare deerini sembolize eder. A ise serbestlik derecesi 'ye bal bir sabittir. 7. Deiik deerleri iin deiik dalm fonksiyonlar ve bunlara bal olarak da deiik dalm erileri mevcuttur. 2 iin eri ters j eklinde olup, >2 iin artan deerlerine gre simetrik 30 durumunda deerlerinin dalm, ortalamas ve standart sapmas 1 olan normal dalma yaklar. Bu nedenle, bu koulu salayan ki kare deerleri iin hipotez testi olarak z testi kullanlr. P(x) 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 =2 =5 =10 =30 8. Ki kare deerleri, serbestlik derecelerine baml olduklarndan, verilirken serbestlik dereceleri de yannda belirtilir. 2 Olaslk fonksiyonu yardmyla 2 'nin bir deere eit ve ondan daha byk olma olaslklar hesaplanabilmektedir. 9. Hipotez testleri iin deiik serbestlik derecelerinde baz olaslk deerleri iin kritik ki-kare deerleri tablo olarak hazrlanmtr. 10. serbestlik dereceli bir eri zerinde, bir deerinin dnda kalan alan (olaslk) ise, bu noktadaki ki kare deeri 2 , olarak gsterilir. Bunun anlam, serbestlik dereceli bir ki kare dalmnda 2 , 'nin sa ucunda kalan alann 'ya eit olduudur. Bunu olaslk olarak deerlendirirsek, serbestlik dereceli bir ki-karedalmnda 2 deerlerinin 2 , 'ye eit veya daha byk olma olasl 'ya eittir. = )( 2 ; 2 P 11. Tabloda 1-30 serbestlik derecelerine kar 'nn 0.90, 0.50, 0.20, 0.10, 0.05, 0.025, 0.01, 0.001 deerleri iin kritik ki kare deerleri verilmitir. 30 iin dalm normale yaklatndan, bunun stndeki deerlere yer verilmemitir. EK 5 K KARE T ABLOSU S.D. .90 .50 .20 .10 .05 .025 .01 .001 1 0.0158 0.455 1.642 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 2 0.211 1.386 3.219 4.605 5.991 7.378 9.210 13.816 3 0.584 2.366 4.642 6.251 7.815 9.348 11.341 16.266 4 1.064 3.357 5.989 7.779 9.488 11.143 13.277 18.467 5 1.610 4.351 7.289 9.236 11.070 12.832 15.086 20.515 6 2.204 5.348 8.558 10.645 12.592 14.449 16.812 22.458 7 2.833 6.346 9.803 12.017 14.067 16.013 18.475 24.322 8 3.490 7.344 10.03 13.362 15.507 17.535 20.090 26.115 9 4.168 8.343 12.242 14.648 16.919 19.023 21.666 27.877 10 4.865 9.342 13.442 15.987 18.307 20.483 23.209 29.588 11 5.578 10.341 14.631 17.275 19.675 21.920 24.725 31.264 12 6.304 11.340 15.812 18.549 21.026 23.336 26.217 32.909 13 7.042 12.340 16.985 19.812 22.362 24.736 27.688 34.528 14 7.790 13.339 18.151 21.064 23.685 26.119 29.141 36.123 15 8.547 14.339 19.311 22.307 24.996 27.488 30.578 37.697 16 9.312 15.338 20.465 23.542 26.296 28.845 32.000 39.252 17 10.085 16.338 21.615 24.769 27.587 30.191 33.409 40.790 18 10.865 17.338 22.760 25.989 28.869 31.526 34.805 42.312 19 11.651 18.338 23.900 27.204 30.144 32.852 36.191 43.820 20 12.443 19.337 25.038 28.412 31.410 34.170 37.566 45.315 21 13.24 20.337 26.171 29.615 32.671 35.479 38.932 47.797 22 14.041 21.337 27.301 30.813 33.924 36.781 40.289 48.268 23 14.848 22.337 28.429 32.007 35.172 38.076 41.638 49.728 24 15.659 23.337 29.553 33.196 36.415 39.364 42.980 51.179 25 16.473 24.337 30.675 34.382 37.652 40.646 44.314 52.620 26 17.292 25.336 31.795 35.563 38.885 41.923 45.642 54.052 27 18.111 26.336 32.912 36.741 40.113 43.194 46.963 55.476 28 18.939 27.336 34.027 37.916 41.337 44.461 48.278 56.892 29 19.768 28.336 35.139 39.087 42.557 45.722 49.588 58.302 30 20.599 29.336 36.250 40.216 43.773 46.773 50.892 59.703 12. ekil 16.2: Eri zerinde 2 , ve 'nn durumu. 13. Ki-kare Deeri Ki kare sayarak elde edilen verilere uyguland iin ki kare deerinin bulunuunda oranlar iin kullanlan Z eitlii kullanlacaktr. Binomial toplumlarda birimler bir zellii gsterip gstermemelerine gre iki kategoride yer alr. ki kategorili ya da tek rneklem durumundaki bir rnekte H0'a gre her iki kategori iin de beklenen oran deeri 1/2 dir. 14. rnek n birimli bir rnekte iki kategorideki deerleri x ve y ile gsterirsek (n=x+y) her iki kategoride beklenen deerlerin oran, x/n=y/n=1/2 olacaktr. n tane yeni doan bebein bir ksm erkek (x) ve bir ksm da kz (y) olacaktr. Byle bir doum olay iin hipotezler, 15. H0: Kzlarn ve erkeklerin oran birbirlerine eittir. (x/n=y/n=1/2=P) H1: Oranlar birbirlerinden farkldr. (x/ny/n ya da x/n1/2, y/n1/2) 16. Erkeklerin orann =x/n ve P=Q=1/2 alarak oranlara ilikin Z formlnde bu deerleri yerine koyup Z2 'yi yazarsak, x ve y'ler her iki kategoride gzlenen frekans deerlerini ve (1/2)n de beklenen frekans deerlerini temsil etmektedir. Z x n n y n n 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 = + ( ) ( ) P 17. Gzlenen frekans deerlerini fgi ve beklenen frekans deerlerini de fbi ile gstererek 2 eitliini aadaki ekilde yazabiliriz 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 = + = = ( ) ( ) ( )fg fb fb fg fb fb fg fb fb i i ii 18. Dalmn serbestlik derecesi, kategori saysnn bir eksii olmaktadr. rnekte iki tane kategori ya da frekans olduundan, serbestlik derecesi =2-1=1'dir. 2 0,05,1 =3.841 Z0.05=1.96 k=2 ise Z2 = 2 19. Ki-karenin zellikleri Dalmn ekli serbestlik derecesine bal olarak deiir. 2 iin ters j eklinde ve bydke dalm simetrik bir ekil alr. Ki-kare 0 aralnda deiir. Ki-kare dalm sreklidir. Ki kare deeri, frekans (gz says) says ile doru orantl olarak deiir. 20. Ki Karenin zellikleri Ki kare deerinin toplanabilirlik zellii vardr. 2 2 1 1 = = = = i i k i i k ve 21. Ki-kare testinin geerli olabilmesi iin beklenen deerlerin 1den byk olmalar ve en fazla %20si 5'den kk olabilir. Bu mmkn olmad zaman, gzlenen kk frekansl iki veya daha fazla sra-stun deerleri ile birletirilerek beklenen deerlerin byk olmalar salanr. 22. Yates Dzeltmesi Srekli olan ki-kare dalm kesikli rnek verilerine uyguland zaman bir dzeltmenin yaplmas zorunludur. Bu dzeltmeye Yates Dzeltmesi denir. Yates dzeltmesi yalnz =1 iin yaplr. Byk rnekler (N50) iin Yates dzeltmesine gerek yoktur. 23. Ancak ki-kare deeri, kritik deere yakn kt zaman dzeltilmi olan geerlidir. Beklenen deerlerin 5-10 arasnda bulunduu kk rnekler iin, dzeltilmi ve dzeltilmemi olan ki kare deerlerinin her ikisinin de kabul ya da ret blgelerinde bulunmalar halinde sorun olmaz. Ancak, bunlar ayr blgelerde bulunurlarsa rnek bykln artrmak gerekir. 24. Yates dzeltmesi, gzlenen ve beklenen deerlerin farknn mutlak deerinden 0.5 karlp kareleri alnarak yaplr. Dzeltilmi Ki kare deeri; = = v i bi bigi f ).ff( 1 2 2 50 25. Hipotez Testi Ki kare testinde kurulacak olan H0 hipotezi, gzlenen frekans deerleri ile beklenen frekans deerlerinin birbirlerine eitlii eklindedir (fgi=fbi). Dalmla ilgili kurulan hipotezden sonra H0 hipotezine gre beklenen frekans deerleri ve bunlar yardmyla ki kare deerleri bulunur. 26. Bulunan deer kritik ki kare deerine eit ya da daha bykse H0 hipotezi dzeyinde reddedilir. Bunun anlam, en az bir tane gzlenen frekans ile beklenen frekans deeri birbirlerinden farkldr demektir. ; Ki kare testi deiik amalarla kullanlmaktadr. 27. Uyum Testi Bir rnein frekans dalmnn, parametresi bilinen bir kuramsal dalma uygunluk gsterip gstermediini test etmek iin kullanlr. Ffrekanslar, gzlenen frekans deerleri ve bunlara kar gelen kuramsal dalm iin hesaplanacak olan frekans deerleri de beklenen deerler olarak alnr. 28. Tek sra ya da stun eklinde frekanslardan oluan durumlar iin yaplan teste tek rneklem testi de denir. Bu testte eer frekans says ya da kategori says 2 olursa beklenen deerlerin en az 5'e eit ve daha byk olmalar gerekir. Frekans says ikiden fazla (k>2) olduu zaman beklenen deerlerin %20'sinden fazlasnn 5'den kk kk olmas durumunda bu test uygulanamaz. Beklenen deerleri bytmek iin frekanslar birletirmek gerekir. Eer frekans says 2'ye indii halde hala beklenen deer 5'den kk ise ki kare testi yerine binomial test uygulanr. Tek rneklem testinde, serbestlik derecesi, frekans saysnn bir eksiine eittir. 29. rnek16.1: rnek alnan en ok 4 ocuu olan 64 ailede erkek ocuk saylar aada verilmitir. rnee ait frekans dalm, aada verilen olaslk dalmna uyar m? Bu hipotezi =0.05 iin kontrol edelim. Hipotez: H0: rnek dalm kuramsal dalma uyar. (fg1=fb1,fg2=fb2, ....,fg5=fb5) H1: Dalmlar birbirlerinden farkldr. H0'da verilen eitliklerin en az bir tanesi gereklemez. 30. 5 tane beklenen frekanstan 2 tanesi (%20'den fazlas) 5'den az olduu iin kk olan 0 srasndaki 3 ile 1 srasndaki 15 deerinin birletirilip tek gz olarak alnmas gerekir. Yine, son sradaki 5'den kk beklenen deer, oran olarak %20'den byk olduu (1/4) iin son iki srann da aada grld gibi birletirilmesi gerekmektedir. 31. 2 2 2 2 18 20 20 25 24 24 21 20 20 0 292= + + = ( ) ( ) ( ) . Serbestlik derecesi frekans saysnn bir eksiidir. =3-1=2'dir. < 0.05,2=5.991 Ho Kabul rnekteki frekans dalmnn, kuramsal dalma uymaktadr. H0: rnek dalm kuramsal dalma uyar. (fg1=fb1,fg2=fb2, ....,fg5=fb5) H1: Dalmlar birbirlerinden farkldr. H0'da verilen eitliklerin en az bir tanesi gereklemez 32. Tek rneklem durumunda, her zaman bir kuramsal dalma uygunluk aranmaz. Bunun yerine, frekanslarn birbirlerine eit olup olmad da aratrlabilir. Bu durumda, her frekans iin beklenen deerler birbirlerine eit olur. Eer belirlenmi bir beklenen deer belirtilmemise, verilen frekanslarn eit olduu varsaymna gre, beklenen deer olarak frekanslarn ortalamas alnarak ilem yaplr. rnein, bir poliklinie gelen hasta saylarnn haftann gnlerine dalm, doum saylarnn, lm saylarnn vb. aylara dalm durumunda beklenen deerler birbirlerine eit varsaylr. 33. rnek 16.2: Bir blgede, mevsimlere gre bebek lmleri dalm verilmitir. Mevsimler arasnda say bakmndan bir fark olup olmadn =0.05 dzeyinde kontrol edelim. H0: Her mevsimde gzlenen deerler beklenen deerlere eittir. H1: En az bir mevsimde bu eitlik salanmaz. H0'da verilen eitliklerin en az bir tanesi gereklemez. Ho: mevsimlere gre dalmda fark yoktur H: Mevsimlere gre dalmda fark vardr. 2 2 2 2 2 20 25 25 15 25 25 30 25 25 35 25 25 10 00= + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) . =4-1=3 HoRED815.710 2 3;05.0 2 =>= 34. ki Ya da Daha Fazla Grubun Dalmlarnn Karlatrlmas Kategori says 2 ve daha fazla olan gruplarn karlatrlmasnda, gruplardaki frekans dalmlarnn karlatrlmas yaplr. Veriler ayn zamanda frekans kategorilerine ve gruplarna gre dald iin iki ynde snflandrlm olurlar. Bu ekildeki tablolar sra ve stunlardan oluur. Her sra ve stun birleimi iin bir frekans deeri mevcuttur. 35. Frekans dalmlar olarak sralar karlatrlabildii gibi stunlar da karlatrlabilir. Her ikisinde bulunacak olan toplam ki kare deeri ayndr. Hipotezin durumuna gre, sralarn m yoksa stunlarn m karlatrlacana karar verilir. Test sonucunda, iki sra arasndaki dalm farkl karsa, bu farklln hangi stun veya stunlarda olduunu anlamak iin stunlar arasndaki dalm da karlatrmak gerekir. ki ynl snflandrlm tablolar, r sra saysn ve c de stun saysn gstermek zere rxc eklinde gsterilir. 36. Gzlenen frekanslar iin beklenen frekans deeri pratik olarak, Her sra ve stun iindeki beklenen deerlerin toplam o sra ve stundaki gzlenen frekans deerlerinin toplamna eittir. rxc tablolarnda serbestlik derecesi, ToplamGenel )ToplamStunnin'GF()ToplamSra)GF(FrekansnGzlenen( fb = = ( )( )c r1 1 37. rnek 16.3: Bir blgeden seilen kyn nfusunun ya gruplarna gre dalm aada verilmitir. Nfusun ya gruplarna gre dalm bakmndan kyler arasnda bir farkllk olup olmadn =0.05 dzeyinde test edelim 38. A B C Toplam 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 15 19 19 500 503 503 650 600 600 200 243 243 12 636 20 15 15 400 394 394 500 470 470 150 191 191 12 473 25 26 26 650 653 653 700 780 780 400 316 316 30 586 = + + + = = + + + = = + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) . ________________________________________________________ = 55 695. = =( )( )3 1 4 1 6 =55.695 > 0.05,6 =12.592 Ho Red Farkl olan kyleri belirlemek iin kyler birbirleriyle ikierli olarak ayr ayr karlatrlrlar. rneimizde, bu karlatrmalarn sonucunda; A ve C kylerinin 0 ile 1-14, 0 ile 15-50 ve 1-14 ile 15-50 ya gruplarnda, B ve C kylerinin de 0 ile 15-50,1-14 ile 15-50 ya gruplarnda farkllk gsterdikleri belirlenmitir. 39. Bamszlk Testi Sralar bir deikeni ve stunlar da baka bir deikeni temsil etmek zere oluturulan bir rxc tablosunda iki deiken arasnda bir bamlln olup olmadn kontrol etmek iin kullanlan bir testtir. rnein, eitim durumu ile annelerin sahip olduklar ocuk saylar arasndaki ilikiler bamszlk testi ile kontrol edilirler. Deikenlerin alt gruplar olan kategorilerin bir sra iinde ya da stnlk srasna gre sralanmalar gerekmez. Bunlarn yerleri deitii zaman da sonu ayndr. 40. Bamszlk testi iin hipotezler u ekilde kurulur. H0: ki deiken arasnda bir bamllk yoktur. H1: ki deiken birbirleriyle bamldr. Test iin kullanlacak ki-kare deeri ayn formlle ve ayn yolla hesaplanr. Ki kare deeri gz says ile doru orantl olarak deiebildii iin ki karenin byk ya da kk kmas bamlln byk ya da kk olduunu gstermez. 41. Bamlln derecesini anlamak iin, ki-kare ve birim saysna bal olarak bir deer hesaplanr. Bu deer uygunluk katsays olarak bilinir. n, rnekteki birim says olmak zere uygunluk katsays, 00.05,4 Ho RED Beslenme bozukluu ile okullar arasnda bir iliki mevcuttur. Bu rnek iin uygunluk katsays, Byle bir tablo (3x3) iin C'nin maksimum deeri, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 05 4 2 10 15 15 30 23 23 15 17 17 15 19 19 35 30 30 20 21 21 30 21 21 20 32 32 25 22 22 14 522 3 1 3 1 4 9 488 = + + + + + + + + = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( )( ) , .. ; C = + = 14 522 14 522 200 0 260 . . . Cmax .= = 3 1 3 0 816 43. 2x2 Tablolarnda Ki Kare Deeri 2x2lik tablolarda, beklenen deer hesaplanmadan gzlerdeki deerlere gre dorudan ki- kare deeri hesaplanabilmektedir. 44. 2x2 Tablolarnda Kesin Ki Kare Testi (Fisher'in Kesin Ki Kare Testi ) 2x2 tablolarnda, gzlerden birinin beklenen frekans deeri 5'den kk olduu zaman uygulanan bir testtir. 45. Test iki sradaki birimlerin, iki stuna, belirli bir dalmndaki olasln verir. Bu olaslk P deeridir. P deeri ile karlatrlarak kurulan hipotez hakknda karar verilir. 46. Baml Gruplarda Ki Kare Testi ( Mc Nemar Testi) Kategorik zellikteki iki deiken bamllk gsteriyorsa, ve deikenlerin aldklar deerler iki kategoride toplanyorsa (2x2) bu deikenlerin karlatrmasnda McNemar testi kullanlr. 47. rnein; Bir grup insann sahip olduklar alkanlklarndan, bir eitimden sonra vazgeip vazgemediklerinin aratrlmas Bir salk oca blgesinde annelerin bebek bakmnda mevcut alkanlklarnn eitimle deiip deimediinin aratrlmas 48. Mc Nemar testi olarak da bilinen bu testin uygulanabilmesi iin bir gruptan alnan bilgiler bir ilemden nce-sonra ya da deiik iki ileme gre, belirli bir zellii gsterenler (+) ve gstermeyenler (-) olarak iki ayr grup oluturmak zere, biiminde dzenlenebilir. 49. 1.lem 2.lem + - + A B - C D A, B, C, D, gzlere ait frekans deerleridir. Byle bir tabloda iki grup arasndaki fark belirleyen deerler C ve B'dir. Eer iki grup arasnda bir fark yoksa, her iki ynde grup deitiren (+'dan -'ye ve -'den +'ya) birimlerin says eit oranda olup bunlara ait beklenen deer de (B+C)/2 olacaktr. Normal ki kare formlnde B ve C'ye ait gzlenen ve beklenen deerleri yerlerine koyup gerekli sadeletirme yaplrsa, 2 2 = + ( )B C B C Kk rneklerde sreklilik iin bir dzeltme yapmak gerekir. 2 2 1 = + ( )B C B C