Ki-Kare İstatistiği

Kazanımlar • ki-kare testinin ne zaman uygun olduğunu

açıklamak 1

• ki-kare uyum iyiliğini kullanarak dağılımın şekli hakkında hipotez test etmek 2

• ki-kare bağımsızlık testini kullanarak değişkenler arasındaki ilişkiyi test etmek 3

• phi-katsayısı veya Cramer’s V ile etki büyüklüğünü bulmak 4

Parametrik ve parametrik olmayan istatistiksel testler • Parametrik testlerin varsayımları

– Verilerin evrende normal dağıldığı – Evrende varyansın homojenliği – Her bir birey için sayısal değer

• Parametrik olmayan testler parametrik testlerin varsayımlarının karşılanmadığı durumlarda kullanılırlar

ki-kare ve diğer parametrik olamayan testler • Hipotezleri belli bir evren parametresiyle ifade

etmezler • Evrenin dağılımı hakkında çok az

varsayımları vardır • Genellikle dağılımdan bağımsız tesler olarak

nitelenirler • Katılımcılar genellikle kategorilere ayrılırlar

– Adlandırma veya sıralama ölçekleri kullanılır – Parametrik olmayan testlerde veri frekans

verileridir

Uyum iyiliği için ki-kare Testi

• Evren dağılımının şekli veya oranı hakkında hipotezleri test etmek için örneklem verilerini kullanır.

• Örneklemden elde edilen oranlar ile evrende hipoteze göre öngörülen oranların uyumunu test eder.

Uyum iyiliği için Yokluk Hipotezi

• Evrendeki her bir kategorinin oranını (yüzdesini) belirler.

• Yokluk hipotezinin mantığı: – Kategoriler arasında tercih yoktur. – Bilinen bir evrendeki oranlarla diğer

evrendekiler arasında fark yoktur.

Göz rengi örnekleminin dağılımı n = 40

Uyum iyiliği testi için veri

• Örneklem verisinde, her bir kategorideki bireyler sayılır.

• Her bir kategorideki gözlenen frekanslar ölçülür.

• Herbir birey sadece tek bir kategoride sayılır.

Uyum iyiliği testinde beklenen frekanslar • Uyum iyiliği testi yokluk hipotezine dayanan

varsayımlarıyla gözlenen frekansları karşılaştırır.

• Yokluk hipotezine mükemmel uyan beklenen frekansları oluşturur.

• Beklenen frekanslar H0 ve örneklem büyüklüğünden tahmin edilen frekans değerleridir. – Ideal, hipothetik örneklem dağılımı

∑ −=

e

eo

fff 2

2 )(χ

ki-kare İstatistiği

• Notasyon – χ2 yunan alfabesindeki küçük harf “kay” dır (ki

okuyoruz)

– fo Gözlenen Frekans – fe Beklenen Frekans

• ki-kare İstatistiği

ki-kare dağılımı

• Yokluk Hipotezi – Beklenen ve gözlenen değerler arasındaki

farklar küçük ise rededilmez – Beklenen ve gözlenen değerler arasındaki

farklar büyük ise rededilir • ki-kare dağılımı H0 doğru ise olası mümkün

tüm tesadüfi örneklem değerlerini içeririr – Bütün ki-kare değerleri ≥ 0. – H0 doğru ise, ki-kare değerleri küçük olacaktır.

Serbestlik derecesi ve ki-kare

• ki-kare dağılımı sağa çarğıktır • ki-kare dağılımlar ailesini temsil eder

– Dağılımlar serbestlik derecesi ile belirlenir – Herbir df için az farklı dağılımlar vardır

• Uyum iyiliği testi için serbestlik derecesi – df = C – 1 – C kategorilerin sayısı

Figure 16.2 ki-kare dağılımı ve kritik bölge

Farklı df ler için ki-kare dağılımı

ki-kare Testi için Kritik Bölge

• Anlamlılık seviyesini belirler. • ki-karenin kritik değeri tabloda

– Serbestlik derecesine (df) – Seçilen anlamlılık düzeyine göre belirlenir

Kritik Bölge Örnek 16.1

Uyum iyiliği ve Tek-örneklem t Testi

• Her iki testtte bir evren hakkındaki hipotezi test etmede bir örneklemden gelen verileri kullanır

• Ölçek türü kullanılacak testi belirler: – Sayısal puanlar eşit aralık/oran ölçeği)

ortalamanın hesaplanması için uygundur ve t-testi kullanılır

– Sayısal olmayan kategorilere sınıflandırma (adlandırma ve sıralama ölçeği) oranları veya yüzdelerin hesaplanmasına uygundur ve bu verilere ki-kare testi uygulanır

Soru • ki-kare testinde beklenen frekanslar

______.

• Her zaman tam sayılardır A

• can contain fractions or decimal values B • can contain both positive and negative values C

• can contain fractions and negative numbers D

Cevap • The expected frequencies in a ki-kare test

______.

• are always whole numbers A

• can contain fractions or decimal values B • can contain both positive and negative values C

• can contain fractions and negative numbers D

Soru • Decide if each of the following statements

is True or False.

• ki-kare Testinde, beklenen ve gözlenen frekanslar her zaman tam sayılardır.

T/F

• büyük ki-kare değerleri yokluk hipotezinin reddedilmemesiyle sonuçlanır.

T/F

Cevap

• Gözlenen frekanslar kategorilerdeki bireylerin sayılarıdır. Bu nedenle tam sayıdır

True

• Large values of ki-kare indicate that the observed values were not very similar to what was predicted by the null hypothesis.

False

16.3 ki-kare bağımsızlık testi

• ki-kare istatistiği iki değişken arasında ilişkinin olup olmadığını test eder. – Herbir birey bir kategoride ele alınır – Sayılar tablodadaki hücrelere yazılır

• Örneklemden elde edilen frekans verisi evrendeki iki değişken arasındaki ilişkiyi test etmek için kullanılır.

Bağımsızlık testimde Yokluk hipotezi

• Yokluk hipotezi: iki değişken birbirinden bağımsızdır.

• İki durum sözkonusu – Tek evren: Bu evrendeki iki değişken arasında

ilişki yoktur. – İki farklı evren: İki evrendeki değişkenin

dağılımları arasında fark yoktur • Aralarında yordanabilen bir ilişki yoksa

değişkenler bağımsızdır.

Gözlenen ve beklenen frekanslar

• Örneklemdeki frekanslar testte gözlenen frekanslar olarak ifade edilirler.

• Beklenen frekanslar yokluk hipotezinde belirtilen (evrendeki) herbir kategorideki oranları belirtir.

Beklenen frekansların hesaplanması

– fc ilgilenilen sütundaki frekansların toplamı – fr ilgilenilen satırdaki frekanların toplamı

nfff rc

e =

∑ −=

e

eo

fff 2

2 )(χ

ki-kare bağımsızlık testi

• Formülü uyum iyiliği testindekinin aynısıdır • ki-kare

• Serbestlik derecesi df = (R-1)(C-1) – R satır sayısı – C sütun sayısı

16.4 ki-kare için etki büyüklüğü

• Ki-kare hipotez testi farkın şans eseri olmadığının bir göstergesidir. – Fakat etkinin büyüklüğü hakkında bilgi vermez

• 2x2 tablo için, fi (phi)-katsayısı Φ aradaki ilişkinin ölçüsünü verir

n

2χφ =

Daha büyük matrisler için etki büyüklüğü • Daha büyük matrisler için: Cramer’in V si kullanılır

• df* (R-1) veya (C-1) in küçük olanıdır

*)(

2

dfnV χ=

16.5 ki-kare Testlerinin sınırlıkları ve varsayımları • Gözlemlerin bağımsızlığı

– Her bir gözlem frekansı fdarklı bir bireyden gelir

• Beklenen frekansların büyüklüğü – ki-kare testi herhangi bir hücredeki beklenen

frekans 5 ten küçük olduğunda gerçekleştirilmemelidir.

Learning Check • A basic assumption for a ki-kare

hypothesis test is ______.

• the population distribution(s) must be normal A • the scores must come from an interval or

ratio scale B • the observations must be independent C • None of the other choices are assumptions

for ki-kare. D

Learning Check - Answer • A basic assumption for a ki-kare

hypothesis test is ______.

• the population distribution(s) must be normal A • the scores must come from an interval or

ratio scale B • the observations must be independent C • None of the other choices are assumptions

for ki-kare. D

Learning Check • Decide if each of the following statements

is True or False.

• The value of df for a ki-kare test does not depend on the sample size (n) T/F

• In the ki-kare test for independence, a positive value for the ki-kare statistic indicates a positive correlation between the two variables.

T/F