Kerstin Herms

3D-GIS I3D-GIS I

Simpliziale KomplexeSimpliziale Komplexe

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InhaltInhalt

Simplizes

Simpliziale Komplexe

Einschränkungen und Erweiterungen für 3D-GIS

Topologische Beziehungen

Anwendungsmöglichkeiten in 3D-GIS

Literatur

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Simplizes Simplizes (Wh. aus GIS1)(Wh. aus GIS1)

• Ein 0-Simplex0-Simplex ist ein Punkt

aus: Skript zur GIS-I Vorlesung

• Ein 1-Simplex1-Simplex ist eine gerade Kante

• Ein 2-Simplex2-Simplex ist ein Dreieck (Inneres + 3 Kanten + 3 Knoten)

• Ein 3-Simplex3-Simplex ist ein Tetraeder

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Simplizes (Definition)Simplizes (Definition)

Die Punkte P0, ..., Pn heißen affin unabhängigaffin unabhängig, falls die n Vektoren von P0 aus linear unabhängig sind.

Sei P eine Menge von (d+1) affin unabhängigen Punkten. Ein Simplex der Dimension dSimplex der Dimension d ist die konvexe Hülle von P.

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Simplizes (Aufbau)Simplizes (Aufbau)• Simplizes bestehen selber aus Simplizes einer

niedrigeren Dimension (sog. „face“ Simplizes).

• Im n-dimensionalen Raum hat ein n-Simplex

„face“-Simplizes der Dimension d.

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dn

Zur Erinnerung:

)!()!1()!1(

))!1()1(()!1()!1(

11

dndn

dndn

dn

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Beispiel:

Ein 3-Simplex im 3-dimensionalen Raum besteht aus:

41013

Knoten

61113

Kanten

41213

Dreiecken

11313

Tetraeder

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Simpliziale KomplexeSimpliziale Komplexe

aus: Hecht5

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Simpliziale Komplexe Simpliziale Komplexe (Definition)(Definition)

(1) Der Schnitt zweier beteiligter Simplizes ist entweder leer oder ein „face“-Simplex beider Simplizes.

(2) Mit jedem Simplex sind auch alle seine „face“-Simplizes definiert.

(D.h. alle „face“-Simplizes sind wieder Teil des Simplizialen Komplex.)

Ein simplizialer Komplexsimplizialer Komplex ist ein endlicher Satz von Simplizes mit folgenden Eigenschaften:

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Simpliziale KomplexeSimpliziale Komplexe(Beispiele)(Beispiele)

Simplizialer Komplex keinkein Simplizialer Komplex

aus: Hecht5

nicht alle „face“-Simplizes sind definiert

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Simpliziale KomplexeSimpliziale Komplexe(Gegenbeispiel)(Gegenbeispiel)

der Schnitt ist nicht leer, aber selber auchkein „face“-Simplex

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Simpliziale Komplexe Simpliziale Komplexe (Dimension)(Dimension)

Die Dimension dDimension d eines Simplizialen Komplexes ist gleich der maximalen Dimension der Simplizes, aus denen der Simpliziale Komplex zusammengesetzt ist.

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Simpliziale Komplexe Simpliziale Komplexe (Dimension)(Dimension)

Dimension 2

Dimension 3

aus: Hecht5

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Simpliziale d-Komplexe Simpliziale d-Komplexe (Einschränkung)(Einschränkung)

Vereinfachung:

d-dimensionale Komplexe, die nur aus d-dimensionalen Simplizes bestehen

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Simpliziale 3-Komplexe Simpliziale 3-Komplexe (Tetraedernetze)(Tetraedernetze)

aus: Hecht5

Entfernen aller Simplizes der Dimension 0, 1 und 2, die nicht „face“-Simplex eines Tetraeders sind

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Darstellung als UML-DiagrammDarstellung als UML-Diagramm0-Komplex

Punkt-objekt

1

2-Komplex

Flächen-objekt

1-Komplex

Linien-objekt

1 1

2-Simplex

Dreieck

1-Simplex

Kante

0-Simplex

Knoten

3-Simplex

Tetraeder

1..* 1..* 1..*

0..2 0..* 0..*

4 3 2

geändert nach: Lenk6

3-Komplex

Raum-objekt

1..*

1

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Erweiterung der Erweiterung der Simplizialen KomplexeSimplizialen Komplexe

3D-Darstellungen benötigen räumliche Information

Umsetzung:

• Speichern von Topologie und Geometrie

e-Komplexe-Komplex (e = extended)

• Definition von NachbarschaftenNachbarschaften

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NachbarschaftenNachbarschaftenEin d-Simplex mit Nachbarschaftd-Simplex mit Nachbarschaft (d > 1) besteht aus einem Simplex der Dimension d und maximal d+1 adjazenten Simplizes der Dimension d.

(Nach dieser Definition müssen keine Nachbarschaften existieren!)

2-Simplex

adjazenter 2-Simplex

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Nachbarschaften in 3DNachbarschaften in 3D

aus: Breunig3

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Topologische BeziehungenTopologische Beziehungen

Anwendung: Ausdruck räumlicher Relationen

Konsistenzprüfung von digitalisierten, interpolierten oder editierten räumlichen Daten (z.B. Schnittfreiheit von Tetraedern)

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4-Schnitt-Modell4-Schnitt-Modell(Wh. aus GIS1)(Wh. aus GIS1)

X Y X° Y° X Y° X° Y Operation X disjunkt Y

not X trifft Ynot not X gleicht Y not not X innerhalb Y

not not not Y überdeckt X

not not Y innerhalb Xnot not not X überdeckt Y

not not not not X überlappt Y

6 grundlegende Beziehungen

aus: Skript zur GIS-I Vorlesung

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Topologie für Topologie für Simpliziale 2-KomplexeSimpliziale 2-Komplexe

aus: Breunig1

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Weitere topolog. BeziehungenWeitere topolog. Beziehungen

Für 3D-GIS reicht es nicht aus, nur Objekte gleicher Dimension zu betrachten

Darstellung von Lagebeziehungen von Objekten verschiedener Dimension

(z.B. Punktlage bzgl. Linie, Dreieck oder Tetraeder)

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Weitere topolog. BeziehungenWeitere topolog. Beziehungen(Beispiele)(Beispiele)

aus: Breunig2

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Anwendungsmöglichkeiten Anwendungsmöglichkeiten in 3D-GISin 3D-GIS

Frage: Wozu sind Simpliziale Komplexe geeignet?

Betrachtung zweier Beispiele:

Geologie (Modellierung von Bodenschichten)

Stadtmodelle

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3D-Modellierung von 3D-Modellierung von BodenschichtenBodenschichten

Vorteile der Verwendung von simplizialen Komplexen:• Darstellung von Punkten, Linien, Flächen und Volumina

• Simplizes bestehen aus der einfachsten Geometrie

wenig Fallunterscheidungen bei einem geometrischen Algorithmus

• auch unregelmäßig verteilte Messpunkte werden erfasst

Geologische Anwendungen erfordern eine Verwaltung von Volumina

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3D-Modellierung von 3D-Modellierung von BodenschichtenBodenschichten

Was ist zu Modellieren?

Querschnitte (sections)

Schichtgrenzen (stratigraphic boundaries)

Störungen / Verwerfungen (faults)(durch tektonische Deformation)

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Beispiel: Niederrheinische BuchtBeispiel: Niederrheinische BuchtArbeit des SFB 370 der Uni Bonn

aus: Breunig2

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Ablauf der ModellierungAblauf der ModellierungGegeben: digitalisierte Punktdaten aus Messungen

1. Linien aus Punktdaten generieren

2. Flächen aus Linien generieren

3. Volumen aus Flächen generieren

aus: Breunig2

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Oberfläche einer Bodenschicht

aus: Breunig2

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StadtmodelleStadtmodelleBeispiel: „Bauklötzchen-Modell“

Darstellung von Häuserblöcken mit Simplizialen Komplexen

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Zerlegung von BlöckenZerlegung von Blöcken mindestens 5 Tetraeder benötigt

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ZerlegungsmöglichkeitenZerlegungsmöglichkeiten Darstellung nicht eindeutig

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FazitFazit

Simpliziale Komplexe sind für Geologische Modelle gutgut geeignet

Simpliziale Komplexe sind für Stadtmodelle weniger gutweniger gut geeignet

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LiteraturLiteratur1. Breunig, M.: Komponentenbasierte 3D/4D-Geoinformationssysteme für

Anwendungen in der Geologie, Habil. Thesis.

2. Breunig, M.: Integration of Spatial Information for Geo-Information Systems. In: Lecture Notes in Earth Sciences, No. 61. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 1996.

3. Breunig, M.: On the Way to Component-Based 3D/4D Geoinformation Systems. In: Lecture Notes in Earth Sciences, No. 94. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 2001.

4. Cremers, A.B.; Bode, T.; Breunig, M.; Floeren, J. and S. Shumilov: Object Oriented 3D/4D Geo Information System (GIS). Bonn, 2000. Abrufbar unter: http://www.geo.informatik.uni-bonn.de/index_en.html

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Literatur (Fortsetzung)Literatur (Fortsetzung)5. Hecht, S.: Konzeption und Implementierung topologischer 3D-

Beziehungen in einem GeoToolKit. Bonn, 1999. Abrufbar unter: http://www.geo.informatik.uni-bonn.de/publications/1999/dipl-hecht

6. Lenk, U. und C. Heipke: Neue Untersuchungen zur Integrationvon DGM und DSM mittels Triangulationen zur Berechnung integrierter 2.5D-Landschaftsmodelle. Abrufbar unter: http://www.ipi.uni-hannover.de/html/publikationen/2002/paper/ aga01_mit_bildern.pdf

7. Skript zur GIS1-Vorlesung. Abrufbar unter: http://www.ikg.uni-bonn.de/Lehre/Geoinfo

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Vielen Dank Vielen Dank

für eure für eure

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