Kengura 2013

Tarptautinio matematikoskonkurso

uduotys ir sprendimai

Biiulis

KENGROS KONKURSO ORGANIZAVIMO KOMITETAS

KENGRA 2013TARPTAUTINIO MATEMATIKOS KONKURSO

UDUOTYS IR SPRENDIMAI

Autorius ir sudarytojasPaulius arka

RedaktoriusJuozas Mays

MaketavimasPaulius arka

Paulius arka, 2013 Kengros organizavimo komitetas, 2013

Turinys

Pratarm 4

Geriausij sraai 6

Dalyvio kortels pavyzdys 8

Slygos 9

Sprendimai 13

Atsakymai 20

3

Pratarm

Paprastai irint, Kengros konkursas tra ne k daugiau kaip 30, o jaunesni klasi mokiniamsdar maiau (tiesa, labai nekasdieni) matematikos udavini, susitikimas su kuriais u sprendjosuolo trunka nepilnas dvi akademines valandas. Ir viskas. Tik tiek

Paprastai irint, ir ms garsiausiojo alpinisto Vlado Vitkausko paskutinis metras kopiant Everest irgi susidjo ne i imto judesi, o kai kurie i j gal ir apskritai tebuvo tik krusteljimai.Tiesa, tie krusteljimai turjo bti nemonikai sunks.

Taiau kodl tiek daug moni t kopim imasi realius kalnus ir kodl net per 5 milijonusvidurins mokyklos mokini kasmet pavasar kopia Kengros kalnelius? Kuo tie Kengros kal-neliai tokie patraukls, kokios ten auktumls atsiveria? Juk dabar jau nebeisisuksi burbteljs:jie neturi kur dtis, tai ir sprendinja visokius udavinukus. Juk nepasakysi, kad milijonai taipjau ir neturi kur dtis itokioje pramog gadynje.

Ar tik ne todl, kad tie milijonai gerai ino, jog baigiamajame kopime j laukia, nors irveikiami, bet kartu ir labai gras, patraukls udaviniai, kuriuos sprsdamas gali usikabintipaia tauriausia to odio teikiama prasme? Kaip tai inojo (o jei ne tai suinojo) per 53000Lietuvos mokini, dalyvavusi konkurse 2013 metais. Juk konkursas it avus tornadas (o tokiirgi bna) negriaudamas supurto tempt mokyklos dien tkm ir pralks palieka beveiknematom, bet aik pdsak vis susidrusi su juo vaizduotse. Jo imi ilgtis danai patsto nesuvokdamas ymia dalimi btent i to ilgesio pamatyti paprast, grai bei viliojaniudavini ir atsiranda milijonai dalyvaujanij.

75 lemtingos darbo minuts kiekvien met kovo mnesio treij ketvirtadien vainikuojabegal dt pastang ir kruopt tris, nekyriai visam iminties troktaniam pasauliui bepaliovos rodydamos, kad galv lauyti prasmingai, kad ir matematikos uduotis besprendiant,galima patiriant aismingum, spliojimo azart, aibikus, netiktus proto nuvitimus.

Nepamirkime, kad vertinami yra tik konkurso dalyvi 112 klasi kengriuk atsakymai,o atsakym kiekvienoje uduotyje reikia pasirinkti (ir kuo greiiau!) i penki duotj. Ar tikraiteisingas tas atsakymas, kuris i pirmo vilgsnio atrodo labiausiai tiktinas? Ar tas udavinystikrai toks sunkus, kad veriau j praleisti? O gal tereikia pastebti koki smulkmen, savaimenekrintani akis, ir udavinys i karto isisprs? Ar pasdti prie io udavinio dar keliasminutes? O gal veriau rizikuoti ir i karto spti labiausiai patinkant atsakym? Juk jei pataikysi priklausomai nuo udavinio sunkumo gausi 3, 4 ar 5 takus, taiau jei rizika nepasiteisins irpraausi pro al bus blogiau nei jei ivis jokio atsakymo neymtum. Mat u klaiding atsakymi bendros tak sumos su altu buhalteriniu tikslumu atimama ketvirtis to, kas bt pridtaatsakius teisingai. (Visgi pastebsime, kad minus nusiristi Kengros konkurse nemanoma, neskiekvienam mokiniui vien u dalyvavim dosniai skiriama 30 tak.)

Su panaiais klausimais konkurso dalyviai susiduria danai, nes Kengros udavini spren-dimai bna gana netikti, kvieiantys sprendj padaryti atradim perokti per standartiniomstymo barikadas. Taip kinta milijon sprendj poiris tai, kokia gi bna (maikti) uduo-tis ir i keli mini bei paprast sakini jau gali sukristi jos sprendimas tai jau, regis, net galiatskirti, u kuri slygos odi ar skaii slapstosi tikrasis atsakymas.

Dabar stabtelkime akimirkai ir paklausykime keli odi i Kengros gelmi Lietuvoje irvisame pasaulyje. Kas gi mums t kasmet viesul siunia?

Kaip nesunku nuspti, konkurso idja gim ir labai skmingai rutuliojosi Australijoje, o Eu-ropoje ji m sklisti i Pranczijos. Pranczai suteik Kengrai ir jos dabartin organizacin i-vaizd. Lietuvoje prie Kengros konkurso itak stovjo ir labai daug nuveik vairios institucijos,mokyklos ir kitos savo gyvenim vietimui paskyrusios organizacijos bei entuziastingi pradininkai.

5

Kalbant iek tiek aismingiau, btent j galingomis pastangomis graktaus bei efektyvaus moky-mo simboliu taps gyvnas su visa savo mokslo kariauna ir buvo atviliotas ir, drstame tai sakytinedvejodami, negrtamai atuoliavo pas mus bei sikr Nemuno emje.

Tarp sumaniai Lietuv Kengros konkurs viliojusi institucij pirmiausiai mintini vie-timo ir mokslo ministerija, Matematikos ir informatikos institutas bei Vilniaus universitetas, onenutylint moni pirmiausiai reikt paminti ia btent tas atvejis, kai nutylti bt nepa-doru Lietuvos matematikos olimpiad patriarch Juoz Juvencij Ma bei MM vyriausijmatematikos specialist Maryt Skakauskien.

O iaip, Kengrai nuolat ms gyvenime randantis, viskas vyksta kaip visur, kur rimtaidirbama. Ir Kengros ratas sukasi kiaurus metus net vasaromis, kai, atrodyt, tik atostogos,geriausiai konkurse pasirodiusieji mokiniai kvieiami stovyklas, kur gali dalyvauti tiek spor-tiniuose, tiek kengriniuose (matematikai sportiniuose), tiek kituose smagiuose renginiuose. Oruden ekspertai, suvaiav i viso pasaulio, renka udavinius konkursui, per iem jie veriami deimtis kalb, adaptuojami ir pritaikomi taip, jog kartais atrodo, kad jie sugalvoti kaimyniniamemiestelyje. Vien Lietuvoje Kengra kalba keturiomis pagrindinmis kalbomis: lietuvi, lenk,rus ir angl.

Tik taip, nepastebimai bei nenuleidiant rank, ir gali ugimti konkursas, keiiantis jo dalyvipoir matematik. Tik tai ir teparodo, kaip moderniam mogui duoti deram pasirengim darmodernesnei mus ugrinaniai ateiiai, kuri jam lemta engti.

is kelias neivengiamas juo teks eiti. Eiti bus domu, kartais iek tiek baugu, gal net sunku bet jo vingiai veikiami, o j pasirinkusij umojai stebinantys.

Kas gi ms laukia kelionje? ioje knygelje pateikti konkurso udaviniai, pro kuriuos2013met kovo 21 dien keliavo ir gausiai sprend 56 klasi (Biiulio amiaus grup) mokiniai.Be to, norintieji pasitikrinti, ar jie tikrai gerai sprend, pandusieji pasiirti, kaip dar galimasprsti iuos udavinius arba kaip juos pajgia sprsti j pateikjai, knygelje ras ir vis udaviniatsakymus su sprendimais.

Kaip jau seniai visi ino, norint rasti ar pasirinkti teising atsakym i penki duotj, nevisada btina grietai isprsti udavin ar kaip kitaip perkratyti vis pasaulio imint, todl irknygelje pateikiami kai kuri udavini ne tik grieti matematiniai sprendimai (jie ymimi enklu!), bet ir j kengriniai sprendimai, paaikinantys, kaip nusigauti iki teisingo atsakymo, udavinioiki galo taip ir neisprendus (tokie sprendimai-nusigavimai paymti enklu ?). Kai vienoki arkitoki sprendimo bd yra daugiau nei vienas, jie ymimi enklais ??, !!, !!! ir pan. Norskonkurseaidime pakanka klaustuku paymto sprendimo, tikims, kad matematikos galvoskisportu usikrtusiam skaitytojui nebus svetimas ir azartas isiaikinti visk iki galo bei pereitiudavinio lynu be penki atsakym apsaugos.

Tad kvieiame keliauti ir pavaiktinti juo kartu su Kengra imginti turimas jgas beiadinti savo krybines galias, kuri js, mielas skaitytojau, itiek daug turite!

Romualdas Kauba ir Aivaras Novikas

6

Biiulis, 5 klas, 50 geriausij

Ernestas Ramanauskas, Progimnazija Magis, Vilniaus m., 150,00Juozapas Ivanauskas, Jzuit gimnazija, Vilniaus m., 133,75Tadas Virbickas, Jeruzals vidurin mokykla, Vilniaus m., 132,50Jonas Gajdosihas, Jzuit gimnazija, Vilniaus m., 131,25Benas Ranauskas, iluts Martyno Jankaus pagrindin mokykla, iluts r., 127,50Matas Remeika, Vilnies pagrindin mokykla, Vilniaus m., 126,25Robert Kovalevski, Bezdoni Julijaus Slovackio vidurin mokykla, Vilniaus r., 126,25Dominykas Marma, Jzuit gimnazija, Kauno m., 125,00Joris Gagilas, vryno gimnazija, Vilniaus m., 125,00Ernestas Liekis, Progimnazija Magis, Vilniaus m., 123,75Emilija Palivonait, Mikalojaus Daukos vidurin mokykla, Vilniaus m., 122,50Agn Gudauskait, Marijampols marijon gimnazija, Marijampols sav., 121,25Arnas Vyniauskas, emynos progimnazija, Vilniaus m., 121,25Gabriel Jonauskait, Simono Staneviiaus vidurin mokykla, Vilniaus m., 121,25Mantas Liagas, Skriaudi pagrindin mokykla, Prien r., 119,75Vincas Turskis, KTU Vaiganto progimnazija, Kauno m., 118,75Juozapas Rokas ypas, Jzuit gimnazija, Vilniaus m., 118,50Aneta Jaglinska, Simono Konarskio vidurin mokykla, Vilniaus m., 117,50Tadas Laikonis, uolo pagrindin mokykla, Panevio m., 116,25Dominika Uvarova, Bezdoni Julijaus Slovackio vidurin mokykla, Vilniaus r., 115,00Tadas opis, Vak vidurin mokykla, Pasvalio r., 115,00Juozas Murinas, Panevio Royno pagrindin mokykla, Panevio m., 112,50Martynas Aurota, Kazl Rdos pagrindin mokykla, Kazl Rdos sav., 112,50Simonas Druskis, Emilijos Pliateryts progimnazija, Vilniaus m., 112,25Andrius Peiulis, Jzuit gimnazija, Vilniaus m., 111,25Ingrida Pliateryt, Jzuit gimnazija, Vilniaus m., 111,25Joris Benjaminas Rimkeviius, Serediaus S. imkaus pagrindin mokykla, Jurbarko r., 111,25Lukrecija Parnarauskait, irvint Atalyno progimnazija, irvint r., 111,25Benas Simanaviius, Vilties pagrindin mokykla, Panevio m., 111,00Viktorija Kuldo, alinink Lietuvos tkstantmeio gimnazija, alinink r., 110,00Redas Aliauskas, Ukmergs ilo pagrindin mokykla, Ukmergs r., 109,75Marius Davidaviius, Jzuit gimnazija, Kauno m., 108,75Matas Zinkeviius, vryno gimnazija, Vilniaus m., 108,75Kotryna Jankauskait, Marijampols Ryto pagrindin mokykla, Marijampols sav., 108,50Rapolas Lisonka, Jonavos Justino Vareikio pagrindin mokykla, Jonavos r., 108,50Donata Sniekait, Vilties pagrindin mokykla, Panevio m., 107,50Simonas Burkovskis, v. Kristoforo progimnazija, Vilniaus m., 107,50Matas Urbonas, vryno gimnazija, Vilniaus m., 106,25Vitalij Fokin, Pajrio pagrindin mokykla, Klaipdos m., 106,25Adomas Sida