6Komposisi Fungsi dan Invers FungsiRelasi dan Fungsi ; Aljabar Fungsi ; Fungsi Komposisi ;Fungsi Invers ;Jika sebuah benda terletak di depan cermin datar, tentu bayangan benda itu akan terlihat di dalam cermin yang persis seperti benda aslinya. Dengan demikian dapatt- dikatakan bahwa bayangan di dalam cermin merupakan invers dari benda yangberada di depan cermin. Dalam bab ini, kamu akan mempelajari lebih lanjut mengenai ~.komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi.t-

,"""_'

-l- rrto- In f~t,J

.--i ~

Komposisi Fungsi dan Invers Fungsitt

171.p i:l-:l-:i:i r f.~.. t r: t . to-Komposisi fungsi dan invers fungsimempelajariSyarat dan

Fungsikomposisi Fungsi inversmenentukan terdiri dariaturan fungsi yang dapat dikomposisikan

Nilai fungsikomposisi dan pembentuknya

Sifat-sifat fungsi invers

Fungsi komposisi dari beberapa fungsi

Sifat-sifat komposisi fungsi

Grafik fungsi invers

Fungsi invers dari suatu fungsi

komposisi fungsi domain fungsi kodomain fungsi range fungsi fungsi injektif fungsi surjektif fungsi bijektif fungsi genap fungsi ganjil fungsi inversA Relasi dan Fungsi1. RelasiRelasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunan lain. Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau perkawanan atau korespondensi dari anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B.

Jika diketahui himpunan A = {0, 1, 2, 5}; B = {1, 2, 3, 4, 6}, maka relasi satu kurangnya dari himpunan A ke himpunan B dapat disajikan dalam diagram panah, diagram Cartesius, himpunan pasangan berurutan, dan dengan rumus.a. Diagram panah0 11 22 35 46A Bb. Diagram CartesiusB6

(5, 6)32(0, 1)

(2, 3) (1, 2)

0 1 2 3 4 5 Ac. Himpunan pasangan berurutanR = {(0, 1), (1, 2), (2, 3), (5, 6)}d. Dengan rumusf(x) = x + 1, di mana x {0, 1, 2, 5} dan f(x) {1, 2, 3, 4, 6}2. Fungsia. Pengertian FungsiB

Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan BA f >x

Cf(x)

disebut fungsi dari A ke B jika setiap anggota

A dipasangkan dengan tepat satu anggota B.

-----------------------------------------------------~--~--~----~---Jika f adalah suatu fungsi dari A ke B, maka:- himpunan A disebut domain (daerah asal),

-himpunan B disebut kodomain (daerah kawan) dan himpunan anggota B yang pasangan (himpunan C) disebut range (hasil) fungsi f.

Aturan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B disebut aturan fungsi f.

Misal diketahui fungsi-fungsi:f : A B ditentukan dengan notasi f(x)g : C D ditentukan dengan notasi g(x)Untuk lebih memahami tentang fungsi, pelajarilah contoh soal berikut.Contoh soalDiketahui A = {1, 2, 3, 4} dan B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Suatu fungsi f : A B ditentukanoleh f(x) = 2x 1.1. Gambarlah fungsi f dengan diagram panah.2. Tentukan range fungsi f.3. Gambarlah grafik fungsi f.Penyelesaiana. f 1 B2A 1 32 43 54 678b. Dari diagram di atas, terlihat bahwa:f(x) = 2x 1 f(3) = 2 3 1 = 5 f(1) = 2 1 1 = 1 f(4) = 2 4 1 = 7 f(2) = 2 2 1 = 3Jadi, range fungsi f adalah {1, 3, 5, 7}.c. Grafik fungsi f(x)87 6

5 4

3 2

1 0 1 2 3 4

b. Macam-Macam Fungsi1) Fungsi konstan (fungsi tetap)Suatu fungsi f : A B ditentukan dengan rumus f(x) disebut fungsi konstanapabila untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku f(x) = C, di mana Cbilangan konstan. Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini.

Contoh soalDiketahui f : R R dengan rumus f(x) = 3 dengan daerah domain: {x | 3 x < 2}.Tentukan gambar grafiknya.Penyelesaianx32101

f(x)33333

Grafik:

Y

f(x) = 3

321X3 2 1 0 12) Fungsi linearSuatu fungsi f(x) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan olehf(x) = ax + b, di mana a 0, a dan b bilangan konstan dan grafiknya berupagaris lurus.Pelajarilah contoh soal berikut ini agar kamu lebih jelas memahami fungsi linear.

Contoh soalJika diketahui f(x) = 2x + 3, gambarlah grafiknya.PenyelesaianGrafik:

Y

f(x) = 2x + 3

3

3) Fungsi kuadrat

X1 1 0

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan olehf(x) = ax2 + bx + c, di mana a 0 dan a, b, dan c bilangan konstan dangrafiknya berupa parabola.Perhatikan contoh soal berikut ini untuk lebih memahami tentang fungsi kuadrat.Contoh soalPerhatikan gambar di bawah ini, fungsi f ditentukan oleh f(x) = x2 + 2x 3.Y514 3 1 2

a. Domain fungsi f.b. Nilai minimum fungsi f.c. Nilai maksimum fungsi f.X d. Range fungsi f.3 f. Koordinat titik balik minimum.4Penyelesaiana. Domain fungsi f adalah {x | 4 x < 2}.b. Nilai minimum fungsi f adalah 4.c. Nilai maksimum fungsi f adalah 5.d. Range fungsi f adalah {y | 4 y 5}.e. Pembuat nol fungsi f adalah 3 dan 1.f. Koordinat titik balik minimum grafik fungsi f adalah (1, 4)....,)

Ingat!!iFw_ ''''Di kelas X kamu sudah mempelajari cara membuat grafik fungsi kuadraty = ax2 + bx + c, a 0. Caranya adalah sebagai berikut.a. Menentukan titik potong dengan sumbu X y = 0.b. Menentukan titik potong dengan sumbu Y x = 0.c. Menentukan persamaan sumbu simetri x = b .b D 2a d. Menentukan titik puncak ( 2a , 4a ) .

4) Fungsi identitasSuatu fungsi f(x) disebut fungsi identitas apabila setiap anggota domain fungsi berlaku f(x) = x atau setiap anggota domain fungsi dipetakan pada dirinya sendiri. Grafik fungsi identitas berupa garis lurus yang melalui titik asal dan semua titik absis maupun ordinatnya sama. Fungsi identitas ditentukan oleh f(x) = x. Agar kamu lebih memahami tentang fungsi identitas, pelajarilah contoh soal berikut ini.

Contoh soalFungsi pada R didefinisikan sebagai f(x) = x untuk setiap x. a. Carilah f(2), f(0), f(1), f(3).

b. Gambarlah grafiknya.

f(2) = 2 f(0) = 0 f(1) = 1 f(3) = 3

Y32 1 1

y = xX1 3125) Fungsi tangga (bertingkat)Suatu fungsi f(x) disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi f(x) berbentuk interval-interval yang sejajar.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh soalDiketahui fungsi: f(x) =

1, jika x 1

0, jika 1 < x 2

2, jika 2 < x 4

3, jika x > 4Tentukan interval dari:

a. f(2) d. f(5)

b. f(0) e. gambar grafiknya. c. f(3)Penyelesaiana. f(2) = 1 e. grafiknya: Y

b. f(0) = 0c. f(3) = 2 d. f(5) = 3

3

2

1X0 1 2 416) Fungsi modulusSuatu fungsi f(x) disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini memetakan setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya.f : x | x | atau f : x | ax + b |f(x) = | x | artinya:

| x |

x, jika x 0 x, jika x < 0

y = x Y0

y = xX-----------------------------------------------------~--~--~----~---7) Fungsi ganjil dan fungsi genapSuatu fungsi f(x) disebut fungsi ganjil apabila berlaku f(x) = f(x) dan disebut

fungsi genap apabila berlaku f(x) = f(x). Jika f(x) f(x) maka fungsi initidak genap dan tidak ganjil. Untuk memahami fungsi ganjil dan fungsi genap,perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh soalTentukan fungsi f di bawah ini termasuk fungsi genap, fungsi ganjil, atau tidak genap dan tidak ganjil.

1. f(x) = 2x3 + x2. f(x) = 3 cos x 5

3. f(x) = x2 8xPenyelesaian1. f(x) = 2x3 + xf(x) = 2(x)3 + (x)

= 2x3 x= (2x3 + x)

= f(x)

Jadi, fungsi f(x) merupakan fungsi ganjil.2. f(x) = 3 cos x 5

f(x) = 3 cos (x) 5

= 3 cos x 5

Jadi, fungsi f(x) merupakan fungsi genap.3. f(x) = x2 8xf(x) = (x)2 8 (x)

= x2 + 8xFungsi f(x) f(x) dan f(x) f(x).Jadi, fungsi f(x) adalah tidak genap dan tidak ganjil.c. Sifat Fungsi1) Fungsi injektif (satu-satu)Jika fungsi f : A B, setiap b B hanya mempunyai satu kawan saja di A,maka fungsi itu disebut fungsi satu-satu atau injektif.a > p b qcA B A B A Bfungsi injektif fungsi injektif bukan fungsi injektif2) Fungsi surjektif (onto)Pada fungsi f : A B, setiap b B mempunyai kawan di A, maka f disebutfungsi surjektif atau onto.a p a p b q b q c r c rd sA B A Bfungsi surjektif bukan fungsi surjektif3) Fungsi bijektif (korespondensi satu-satu)Suatu fungsi yang bersifat injektif sekaligus surjektif disebut fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu.a p a p b q b q c r c rd s dA B A Bfungsi bijektif bukan fungsi bijektif6.1Kerjakan soal-soal di bawah ini.1. Dari himpunan A dan B berikut, manakah yang merupakan fungsi? Sebutkan pula domain, kodomain, dan rumusnya.

a. b. c. 12 0

1 > 1

0 4

1 9

0 11 2 0 312 323 4

BA B A B A2. Gambarlah grafik dari:

0, jika 0 < x 1a. f(x) =

2, jika 1 < x 2 4, jika 2 < x 3Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi

179b. f(x) = x2 + 2x 3 c. f(x) = | x + 2 |

3. Selidiki fungsi berikut termasuk fungsi ganjil, genap, atau bukan keduanya. a. f(x) = x2 3

b. f(x) = 2 sin x + cos xc. f(x) = 3x5 2x34. Tentukan daerah asal dan range fungsi berikut bila x B dan B = {x | 3 < x 2}.a. f(x) = 2x 1b. f(x) = x2 + 3 c. f(x) = 4

d. f(x) = | x + 1 |

5. Diketahui fungsi A = {1, 2, 3, 4} ke B = {5, 6, 7} yang dinyatakan dalam pasangan berurutan berikut ini, manakah yang merupakan pasangan surjektif?a. f = {(1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6)} b. f = {(1, 5), (2, 6), (3, 6), (4, 5)} c. f = {(1, 6), (2, 7), (3, 5), (4, 5)} d. f = {(1, 5), (2, 6), (3, 7), (4, 7)}B Aljabar FungsiBila f dan g suatu fungsi, maka pada operasi aljabar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dapat dinyatakan sebagai berikut.1. Penjumlahan f dan g berlaku (f + g)(x) = f(x) + g(x)Perhatikan contoh soal berikut ini.Contoh soalDiketahui f(x) = x + 2 dan g(x) = x2 4. Tentukan (f + g)(x).Penyelesaian(f + g)(x) = f(x) + g(x)

= x + 2 + x2 4

= x2 + x 2

2. Pengurangan f dan g berlaku (f g)(x) = f(x) g(x) Untuk memahami sifat tersebut, pelajarilah contoh soal berikut ini. Contoh soalDiketahui f(x) = x2 3x dan g(x) = 2x + 1. Tentukan (f g)(x).180

Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA_;.,Penyelesaian(f g)(x) = f(x) g(x)

= x2 3x (2x + 1)= x2 3x 2x 1

= x2 5x 1

3. Perkalian f dan g berlaku (f g)(x) = f(x) g(x)Perhatikan contoh soal berikut ini untuk memahami fungsi tersebut.Contoh soalDiketahui f(x) = x 5 dan g(x) = x2 + x. Tentukan (f g)(x).Penyelesaian(f g)(x) = f(x) g(x)= (x 5)(x2 + x)= x3 + x2 5x2 5x= x3 4x2 5x f

f (x)4. Pembagian f dan g berlaku

(x ) = g

g(x)Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini.

Contoh soalDiketahui f(x) = x2 4 dan g(x) = x + 2. Tentukan f ( x) . g Penyelesaian f ( x)

f ( x) = =

g ( x)x2 4x + 2

( x 2)( x + 2)= x + 2

= x 2-C _Fungsi Komposisi1. Syarat dan Aturan Fungsi yang Dapat DikomposisikanJika diketahui A = {a1, a2, a3}, B = {b1, b2, b3, b4}, dan C = {c1, c2, c3}, maka fungsif : A B dan g : B C didefinisikan seperti diagram berikut.a1 b1

f(a ) = b b1

c1 g(b ) = ca2 > b2a3 f b3

f(a ) = b b2b3

c2 g(b ) = cc3 1b4 f(a ) = bA B

b4 gB

g(b ) = cCf:n: ~;:~'.'~f~ ;"

/-: :'lt:~r::-,:

Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi A

181-----------------------------------------------------~--~--~----~---Dari kedua diagram di atas, dapat diperoleh fungsi yang memetakan langsung dariA ke C sebagai berikut.a1 b1a2 b2

c1 f(a ) = b dan g(b ) = cc2

sehingga (g D f) (a ) = c1 2 2 2 1 2) = c dan g(b ) = c

sehingga (g

f) (a ) = ca3 f b3

g(b2 1 1 13

D 2 1b4 gA B

g(b3) = c3 dan g(b3) = c3 sehingga (g D f) (a3) = c3CJika fungsi yang langsung memetakan A ke C itu dianggap fungsi tunggal, maka diagramnya adalah sebagai berikut.a1 c1 a2 c2 a3 c3 (g D f)

(g D f) (a1) = c2(g D f) (a2) = c1(g D f) (a3) = c3A CFungsi tunggal tersebut merupakan fungsi komposisi dan dilambangkan dengan g D f dibaca fungsi g bundaran f. g D f adalah fungsi komposisi dengan f dikerjakan lebih dahulu daripada g.

Fungsi komposisi tersebut dapat ditulis:(g D f)(x) = g(f(x)) (f D g)(x) = f(g(x))A B Cx f(x)

g(f(x))g fSedangkan, untuk f D g dibaca fungsi f b undaran g. Jadi, f D g adalah fungsi komposisi dengan g dikerjakan lebih dahulu daripada f.

A B Cx g(x)

f(g(x))f g( Tugas Kel_o01p.ok )~~~"""""~~"+4I,""""""-.e1j----~""'", ,~..".",~~~~~d