RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN

MATEMATIKA

KEGIATAN PEMBELAJARAN

A. PENDAHULUAN

Melaksanakan vicon menggunakan google meet dengan siswa untuk:

1. Mengkondisikan kelas virtual (whatsapp group dan forum di google

classroom), memberi salam, menanyakan kabar dan mengingatkan

pentingnya menaati protocol covid-19

2. Menyampaikan tujuan pembelajaran pertemuan hari ini

3. Membuat apersepsi tentang integral tertentu

4. Memastikan siswa bergabung dengan google classroom dan sudah

melakukan presensi kehadiran

B. INTI (PERTEMUAN 1 : Integral Tertentu)

1. Peserta didik mempelajari dan mengidentifikasi konsep integral

tertentu melalui PDF, PPT atau video pembelajaran pada link

https://www.youtube.com/watch?v=QWh6aygxCns yang telah

diunggah pada google classroom.

2. Guru memberikan kesempatan kepada peserta didik untuk

mengidentifikasi hal yang belum dipahami berupa pertanyaan

yang berkaitan konsep integral tertentu melaui forum pada

google classroom atau whatsapp.

3. Peserta didik menerapkan konsep yang dipelajari untuk

menentukan nilai integral tertentu pada LKPD yang diberikan

oleh Guru pada google classroom

4. Peserta didik mengerjakan tugas yang telah diberikan di google

classroom

C. REFLEKSI DAN KONFIRMASI

1. Merefleksi kegiatan pembelajaran yang telah dilaksanakan.

2. Menginformasikan kegiatan pembelajaran yang akan dilakukan

pada pertemuan berikutnya.

3. Guru memberikan tugas dan memberikan informasi tentang

waktu pengumpulannya melalui classroom

4. Guru memberikan review serta mengembalikan tugas yang

telah diberikan melalui classroom

5. Kegiatan diakhiri dengan salam lewat forum chat Whatsapp

Group dan Forum Google Calssroom

D. PENILAIAN :

1. Penilaian Sikap

Melalui pengamatan perilaku sikap spiritual dan sikap sosial

pada saat pembelajaran berlangsung

2. Penilaian Pengetahuan

Melalui soal pilihan ganda dan esai sesuai dengan instrumen

NAMA SEKOLAH

SMK NEGERI 1

Purwodadi

BIDANG KEAHLIAN

Semua Kompetensi

Keahlian

MATERI

Integral Tertentu

KELAS / SEMESTER

XII / GANJIL

ALOKASI WAKTU

1x Pertemuan ( 2x30’)

TUJUAN

PEMBELAJARAN :

Peserta didik

diharapkan mampu

menentukan nilai

integral tertentu

secara baik dan

benar.

ALAT DAN MEDIA

PEMBELAJARAN

Alat Pembelajaran:

Laptop atau HP

Android

Media Pembelajaran

: Whatsapp, Google

Classroom, Google

Meet, Email dan

Youtube

https://www.youtube.com/watch?v=QWh6aygxCns

dan norma penilaian yang sudah di upload pada google

classroom

3. Penilaian Keterampilan

Melalui unjuk kerja berdasarkan tugas yang diberikan pada

saat pembelajaran

Mengetahui, Purwodadi, Juli 2020

Kepala Sekolah Guru Mata Pelajaran

Sukamto, S.Pd, M.M. Sugiharto

NIP. 19720302 199512 1 001 NIP.

MODUL INTEGRAL TERTENTU

Kelas XII Semester Ganjil Pertemuan 2

Oleh : Sugiharto

20031518010152

SMK Negeri 1 Purwodadi Tahun Pelajaran 2020/2021

PRAKATA

Konsep Integral banyak digunakan dalam kehidupan, misalnya dalam

bidang Ekonomi dan Bisnis. Integral misalnya, bisa digunakan untuk mencari fungsi

biaya total, fungsi penerimaan total, surplus konsumen, dan surplus produsen. Pada

penyampaian materi yang abstrak seperti Integral diperlukan sumber materi dan

sebuah perangkat yang bisa membantu siswa dalam memahami konsep. Kemajuan

teknologi informasi memberikan kemudahan kepada para pengajar untuk

memanfaatkan teknologi dalam pembelajaran.

Modul ini terintegrasi dengan penggunaan software Maple sehingga

diharapkan dapat membantu siswa dalam memahami konsep Integral serta

aplikasinya, termasuk dalan bidang kewirausahaan. Software Maple bisa

memberikan visualisasi atau gambaran dari fungsi-fungsi yang dipelajari pada

Integral sehingga lebih memudahkan siswa dalam memahami konsep. Dengan

software Maple, siswa bisa aktif menggali hubungan antara konsep-konsep integral

dan representasi grafisnya.

Modul ini memuat pengantar konsep integral dan penjabaran teorema-

teoremanya. Selain itu, modul ini juga menyajikan contoh soal untuk memberikan

gambaran yang lebih jelas tentang teorema-teorema integral. Pada akhir kegiatan,

terdapat beberapa Soal Evaluasi untuk mengetahui sejauh mana siswa memahami

materi yang telah dipelajari.

Purwodadi, September 2020

Penulis

DESKRIPSI DAN PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL

Deskripsi

Modul ini lanjutan dari model sebelumnya. Pada modul ini Modul ini berisi bahasan

tentang konsep integral tertentu dan sifat - sifatnya.

Petunjuk Penggunaan Modul Bagi Siswa

1. Siswa diharapkan mempunyai kemampuan prasyarat sebelum mempelajari modul

ini, yaitu materi Diferensial/Turunan

2. Perhatikan setiap kompetensi dasar dan tujuan pembelajaran pada setiap bab yang

Anda pelajari.

3. Pahami isi materi modul ini dengan seksama.

4. Mintalah penjelasan pada guru apabila ada materi yang tidak dapat dipahami.

5. Kerjakan semua soal latihaan yang ada pada masing-masing bab.

6. Kerjakan semua soal evaluasi yang ada pada setiap bab untuk mengukur.

pemahaman konsep Anda setelah mempelajari materi pada modul ini. Jika skor

yang Anda dapatkan belum mencapai 71% dari skor total, maka pelajarilah

kembali materi pada modul ini untuk meningkatkan pemahaman Anda.

7. Bacalah referensi lainnya yang berhubungan dengan materi modul agar Anda

mendapatkan tambahan pengetahuan.

8. Tunjukkan Karakter Bangsa Anda dalam menggunakan dan mempelajari modul ini.

Sifat-sifat Karakter Bangsa antara lain:

a. Percaya diri

Percaya dirilah pada kemampuan sendiri dalam mengerjakan soal-soal

sehingga Anda bisa mengukur kemampuan Anda sendiri.

b. Bekerja keras dan tidak pantang menyerah

Setiap mendapati soal yang sulit, teruslah berusaha menyelesaikannya. Anda

bisa meminta bantuan dari teman maupun guru.

c. Kerjasama

Dalam mempelajari materi dan mengerjakan latihan soal, bekerja sama

dengan teman akan memudahkan Anda memahami dan menyelesaikan soal-

soal.

d. Mandiri

Saat evaluasi, bersikaplah mandiri sehingga Anda bisa mengetahui sejauh

mana Anda memahami materi dan mengaplikasikan materi yang diperoleh

dalam soal-soal.

e. Aktif dan Kreatif

Anda harus aktif dalam pembelajaran dan Anda juga bisa berkreasi dengan

membuat contoh sendiri dari materi yang dipelajari.

PETA KONSEP

INTEGRAL

INTEGRAL TAK

Integral Tertentu

A. Kompetensi Inti :

3. Memahami, menerapkan, menganalisis, dan mengevaluasi tentang

pengetahuan factual, konseptual, procedural, dan metakognitif sesuai

dengan bidang dan lingkup kajian matematika pada tingkat teknis, spesifik,

detil, dan kompleks, berkenaan dengan ilmu pengetahuan, teknologi, seni,

budaya, dan humaniora dalam konteks pengembangan potensi diri sebagai

bagian dari keluarga, sekolah, dunia kerja, warga masyarakat nasional,

regional, dan internasional

4. - Melaksanakan tugas spesifik dengan menggunakan alat, informasi, dan

prosedur kerja yang lazim dilakukan serta memecahkan masalah sesuai

dengan bidang kajian Matematika

- Menampilkan kinerja di bawah bimbingan dengan mutu dan kuantitas

yang terukur sesuai dengan standar kompetensi kerja

- Menunjukkan ketrampilan menalar, mengolah, dan menyaji secara efektif,

kreatif, produktif, kritis, mandiri, kolaboratif, komunikatif, dan solutif

dalam ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang

dipelajarinya di sekolah serta mampu melaksanakan tugas spesifik di

bawah pengawasan langsung

- Menunjukkan ketrampilan mempersepsi, kesiapan, meniru,

membiasakan, gerak mahir, menjadikan gerak alami dalam ranah konkret

terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah, serta

mampu melaksanakan tugas spesifik di bawah pengawasan langsung

B. Kompetensi Dasar

3.33 Menentukan nilai integral tak tentu dan tertentu fungsi aljabar

4.33 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan integral tak tentu dan tertentu

fungsi aljabar

C. Indikator Pencapaian Kompetensi

3.33.2 Menentukan nilai integral tertentu dari fungsi aljabar

4.33.2 Menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan integral tertentu

D. Tujuan Pembelajaran

Setelah selesai pembelajaran, diharapkan siswa dapat :

Menemukan konsep integral tertentu

Menganalisis sifat-sifat integral tertentu

Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan integral tertentu fungsi aljabar

MATERI MODUL INTEGRAL TERTENTU

A. Konsep Integral Tertentu

Kita siap mendefinisikan integral tertentu, Newton dan Leibniz

keduanya memperkenalkan versi yang dini dari konsep ini. Tetapi

Riemannlah memberikan kita definisi modern.

Gambar di bawah ini memperlihatkan bagian sebuah kurva

dengan persamaan y = f ( x ) antara titik - titik dengan koordinat x = a

dan x = b. Kita akan menentukan suatu rumus untuk luas L dari

daerah yang dibatasi oleh kurva tersebut, sumbu X dan gari - garis x =

a dan x = b .

Interval [a, b] dibagi menjadi n interval dengan panjang masing

- masing ∆x1, ∆x2, ∆x3, . . . , ∆xn; x1, x2, x3, . . . , xn adalah koordinat x

dari n titik pada sumbu X, yang masing - masing terletak dalam tiap

interval itu, sehingga umumnya titik xi terletak dalam interval yang

panjangnya ∆xi; kemudian dibuatlah n persegi panjang seperti terlihat

(i)

a

y = f ( x )

f ( xn)

x1 O

Y

X x2 x3 xn x1

f ( x1)

f ( x1)

→→

→→

←←

− ∆x1 − b

(ii)

dalam gambar ( i ). Pada gambar ( ii ) telah digambar persegi panjang

yang pertama dengan skala yang sama. Tinggi persegi panjang itu

adalah f ( x1 ), yaitu nilai f di x = x1. Dengan demikian maka :

Luas persegi panjang pertama = f ( x1 ). ∆x1

Luas persegi panjang kedua = f ( x2 ). ∆x2

Luas persegi panjang ketiga = f ( x3 ). ∆x3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Luas persegi panjang terakhir = f ( xn ). ∆xn.

Dengan menggunakan huruf Yunani ∑ ( sigma ), untuk

menyingkat “ jumlah dari “, kita mendapatkan :

L ≈

n

i

ii xxf1

).( ( Jumlah Riemann )

Untuk menekankan bahwa pengambilan jumlah tersebut meliputi

interval [a, b], relasi di atas kerap kali ditulis sebagai

L ≈

bx

ax

xxf ).(

Dengan membuat n cukup besar, ini ekuivalen dengan membuat

∆x cukup kecil. Kita definisikan

bx

axx

xxfL ).(lim0

Sebagai penyederhanaan, kita tulis untuk limit tersebut

b

a

dxxfL )( ( Rumus Luas daerah )

yang menjadi cikal bakal definisi Integral Tertentu.

Definisi :

Andaikan f suatu fungsi yang terdefinisikan pada selang

tertutup [a, b]. Jika

bx

ax

b

ax

xxfdxxf ).(lim)(0

disebut Integral Tertentu atau Integral Riemann

Teorema (1.7)

( Teorema Dasar Kalkulus ). Andaikan f kontinu ( karenanya

terintegralkan ) pada [a, b] dan andaikan F sebarang anti turunan dari

f. Maka :

B. Sifat - Sifat Integral Tertentu

Untuk sifat - sifat integral tertentu,

Sifat - Sifat :

1. b

a

b

a

dxxfkdxxkf )()( , k adalah konstanta

2. b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([

3. b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([

4. b

a

a

b

dxxfdxxf )()(

5. b

a

c

b

c

a

dxxfdxxfdxxf )()()(

Contoh :

Tentukan nilai integral tertentu

1. 3

1

2dx

2. dxx2

1

26

3. 2

0

2 )143( dxxx

4. dxx

x

4

1

2

1

b

a

aFbFdxxf )()()(

5. 2

0

sin3

xdx

6. 2

3

)1cos2(

dxx

Penyelesaian :

1. 3

1

2dx = 312x 2. 2

1

26 dxx = 2132x . . . .sifat ( 1 )

= 2.3 - 2.1 = 2(2)3 - 2(1)3

= 6 - 2 = 2.8 - 2.1

= 4 = 16 - 2

= 14

3. 2

0

2 )143( dxxx = 2023 2 xxx . . . . . . sifat ( 2 )

= [ (2)3 + 2 (2)3 + 2 ]- [(0)3 + 2(0)2 + 0]

= [ 8 + 2.8 + 2] - [ 0 + 0 + 0 ]

= 8 + 16 + 2 - 0

= 26

4. dxx

x

4

1

2

1 = dxxx 2

4

1

)1( , diubah kepangkat negatif

= dxxx 24

1

2

1

)1( , diubah kedalam perpangkatan

= dxxx )(4

1

2

3

2

, hasil dari sifat distributif

=

4

1

21

xx, . . . . sifat ( 3 )

= )1

2

1

1()

4

2

4

1(

= )3(4

5

= 34

5

= 4

7

5. 2

0

sin3

xdx = 20]cos[3

x

=3 )]0cos()2

cos[(

=3 ( 0 - (- 1))

= 3

6. 2

3

)1cos2(

dxx = 23

sin2

xx

= (2sin 2

+

2

) - (2sin

3

+

3

)

= ( 2. 1 + 2

) - ( 2. 3

2

1 +

3

)

= 2 + 2

- 3 -

3

= 2 - 3 + 6

Latihan Soal 1

Dengan mempelajari uraian dimuka, Siswa diharapkan memperoleh

pengertian yang baik tentang konsep integral tertentu dan sifat - sifatnya.

Kerjakan soal - soal ini secara individual, seandainya ada masalah,

kerjakan dengan kelompok belajar kalian.

Pilihlah salah satu jawaban yang paling benar !

1. Nilai dari 2

0

5dx . . .

A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 E. 10

2. Nilai dari

2

2

33 dxx . . .

A. 0 B. 6 C. 12 D. 16 E. 24

3. Nilai dari

3

2

)35( dxx . . .

A. 4 B. 7 C. 11 D. 14 E. 23

4. Nilai dari

2

1

2 )2( dxxx . . .

A. -3 B. 2

12 C.

2

11 D.

2

11 E. 3

5. Nilai dari

4

2

)sin2cos6(

dxxx = . . .

A. 226 B. 246 C. 246 D. 246 E. 226

6. Nilai dari

dxx

x2

1

2

2 4. . .

A. -4 B. -3 C. -2 D. -1 E. 0

7. Nilai dari dtt2

1

0

)1( . . .

A. 2

5 B.

2

1 C. 0 D.

6

1 E.

2

3

8. Nilai dari dxxx1

0

32 . . .

A. 5

3 B.

7

3 C. - 1 D.

5

3 E.

7

3

9. Nilai a yang memenuhi 3

)12(a

dxx 6

A. -1 B. 0 C. 1 D. 0 atau -1 E. 0 atau 1

10.Jika f (x) = ax + b, 1

0

1)( dxxf dan 2

1

5)( dxxf , maka

a + b = . . .

A. 5 B. 4 C. 3 D. -3 E. -4

RANGKUMAN

Pelopor - Pelopor Kalkulus diantaranya : Newton , Leibniz dan

Riemann,

Reimannlah yang mendefinisikan integral tertentu paling modern, dengan

konsep Jumlah Luasnya.

Rumus Integral Tertentu

Sifat - Sifat Integral Tertentu :

b

a

aFbFdxxf )()()(

1. b

a

b

a

dxxfkdxxkf )()( , k adalah konstanta

2. b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([

3. b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([

4. b

a

a

b

dxxfdxxf )()(

5. b

a

c

b

c

a

dxxfdxxfdxxf )()()(

SOAL EVALUASI

Pilihlah salah satu jawaban yang paling benar !

1. Nilai dari b

a

dxxf )( . . .

A. c

a

c

b

dxxfdxxf )()( B. c

a

c

b

dxxfdxxf )()(

C. c

a

a

c

dxxfdxxf )()( D. b

c

a

b

dxxfdxxf )()(

E. a

b

c

a

dxxfdxxf )()(

2. Apabila f ( x ) dapat diintegralkan pada selang bxa , maka berlaku . . .

A. b

a

bFaFdxxf )()()( B. b

a

a

b

b

a

xfdxxfdxxf )(2)()(

C. b

a

abFdxxf )(2)(2 D. b

a

a

b

dxxfdxxf 0)()(

E. b

a

a

b

dxxfdxxf 0)()(

3. Nilai dari

3

1

4xdx . . .

A. 8 B. 16 C. 18 D. 20 E. 32

4. Nilai dari

1

2

)42( dxx . . .

A. -15 B. -10 C. -9 D. 10 E. 15

5. Nilai dari

0

3

2 )123( dxxx . . .

A. -39 B. -21 C. 21 D. 27 E. 39

6. Nilai dari 2

0

)sin6cos8(

dxxx . . .

A. -2 B. 2 C. 10 D. 14 E. 16

7. Nilai dari dxxx)

12(

2

2

1

3 . . .

A. 8

1 B.

4

1 C.

4

3 D.

4

7 E.

4

9

8. Nilai dari dxx )2(4

1

. . .

A. 3

26 B. 8 C.

3

210 D.

3

214 E. 16

9. Nilai 3

2 )223(p

dxxx 40, maka nilai p2

1 . . .

A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 E. 4

10.Jika 3

0

5)( dxxh dan 3

0

4)( dxxg , maka dxxhdxxg )](4)(21

0

3

. . .

A. 9 B. 15 C. 18 D. 21 E. 24

46

KRITERIA KEBERHASILAN

Rumus :

Tingkat penguasaan = x 100%

Arti tingkat penguasaan :

90 % - 100 % = baik sekali

80 % - 89 % = baik

70 % - 79 % = cukup

< 70 % = kurang

Apabila tingkat penguasaan kalian mencapai KKM, kalian berhasil dan

akan lebih mudah untuk mengikuti pembelajaran berikutnya, Ok !

Tetapi apabila tingkat penguasaan di bawah KKM, kalian masih harus

mengulang kembali

Jumlah jawaban benar

10

KUNCI JAWABAN

A. Latihan Soal 1

1. E

2. A

3. A

4. C

5. D

6. B

7. D

8. B

9. E

10. C

B. Soal Evaluasi

No Soal

Penyelesaian Kunci

Jawaban

1 Gunakan Teorema ( 7.1 ) B

2 Gunakan Teorema ( 7.1 ) dan sifat - Sifat Integral Tertentu

D

3 Seperti contoh B

4 Seperti contoh A

5 Seperti contoh E

6 - B

7 dxxx

)12

(2

2

1

3

2

1

23 )2( dxxx , mengubah pangkat

positif menjadi pangkat negatif, silahkan lanjutkan, bisa !!!

B

8 dxx )2(

4

1

dxx )2(

4

1

2

1

, mengubah bentuk akar ke

bentuk perpangkatan, silahkan lanjutkan . . .

C

9 Seperti Soal latihan 1 nomor 9, silahkan kalian buka kembali materi suku banyak di kelas XI

C

10

3

0

5)( dxxh → 0

3

5)( dxxh , 3

0

4)( dxxg → 0

3

4)( dxxg

....sifat 4

2)(2

10

3

dxxg , 0

3

20)(4 dxxh , dxxhdxxg )](4)(21

0

3

-2 -

(-20)=18

C

REFERENSI

Buku Matematika Pegangan Guru Kelas XII. 2015. Jakarta.Kementrian Pendidikan dan

Kebudayaan Republik Indonesia.

Buku Matematika Pegangan Siswa Kelas XII.2015.Jakarta. Kementrian Pendidikan dan

Kebudayaan Republik Indonesia

BPPTKPU. 2010. Bahan Ajar Mandiri. Bandung : Balai Pelatihan Pendidikan Tenaga

Kependidikan Umum. Provinsi Jawa Barat

Kasmina dkk. 2008. Matematika 3. Jakarta: Erlangga

Purcell, E.J. 1990. Integral dan Geometri Analitis. Jilid 1. ( edisi ke 4 ) ( Terjemahan I

Nyoman Susila, Bana Kartasasmita, & Rawuh ). Jakarta : Erlangga

Soemartojo, N. dkk.. 1992 . Integral II. Jakarta : Departemen Pendidikan dan

Kebudayaan

Setiawan, T. dkk.. 2007. Seri Integral 1000 Bank Soal SMA/MA Bandung : Yrama Widya

Tampomas Husein.2008. Seribupena Matematika SMA Kelas XII. Jakarta : Erlangga