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Kapitel 9

Die komplexen Zahlen

• Der Korper der komplexen Zahlen

• Die Gauß’sche Zahlenebene

• Algebraische Gleichungen

• Anwendungen

Der Korper der komplexen Zahlen

Die Definition der komplexen Zahlen

Definition

Die Zahl i mit i2 := −1 heißt imaginare Ein-heit.Die Menge C := {z = x + i · y | x, y ∈ IR}bezeichnet die Menge der komplexen Zah-len.Man nennt x = Re z den Realteil, y = Im z

den Imaginarteil der komplexen Zahl z =

x + i · y.

Mathematik kompakt 1


BeispielDie komplexe Zahl z = 5 − 7i hat den RealteilRe z = 5 und den Imaginarteil Im z = −7 (undnicht den Imaginarteil −7i). Die imaginare Einheiti = 0 + 1 · i selbst hat den Realteil Re i = 0 undden Imaginarteil Im i = 1.

Komplexe Zahlen werden gewohnlich mit z, reelleZahlen mit x oder y bezeichnet. Die imaginare Ein-heit heißt ubrigens in den technischen Disziplinenoft j, in ”Mathematikerkreisen“ wird sie hingegen im-mer mit i abgekurzt.



Reelle und komplexe ZahlenZahlbereichserweiterung

Die komplexen Zahlen, deren Imaginarteil 0ist, kann man mit den reellen Zahlen identifi-zieren. In diesem Sinne ist IR eine Teilmen-ge von C.Komplexe Zahlen, deren Realteil 0 ist, nenntman rein-imaginar.

BeispielDie komplexe Zahl

√2 + 0 · i entspricht der reel-

len Zahl√

2. Die (komplexe) Zahl −5/7 i ist rein-imaginar. Die imaginare Einheit i ist ebenfalls rein-imaginar.



Gleichheit komplexer Zahlen

Zwei komplexe Zahlen sind genau danngleich, wenn sowohl ihr Realteil als auch ihrImaginarteil ubereinstimmen:

x1 + i · y1 = x2 + i · y2⇐⇒

x1 = x2 und y1 = y2.

BeispielVon den komplexen Zahlen

z1 = 8/5 − 3/10 i,z2 = 8/5 − 4/10 i,

z3 =√

3 − 0.3i,z4 = 1.6 − 0.3i

sind nur z1 und z4 gleich.



Die Grundrechenarten

Definition

(x1 + i · y1) + (x2 + i · y2) :=

(x1 + x2) + i · (y1 + y2)

(x1 + i · y1) − (x2 + i · y2) :=

(x1 − x2) + i · (y1 − y2)

(x1 + i · y1) · (x2 + i · y2) :=

(x1x2 − y1y2) + i · (x1y2 + x2y1)

(x1 + i · y1)/(x2 + i · y2) :=x1x2 + y1y2

x22 + y2

2+ i · x2y1 − x1y2

x22 + y2

2

(Division nur im Falle von x2 + i · y2 6= 0)



Die GrundrechenartenMerkregeln

Die Definition der Summe bzw. Differenz zweier kom-plexer Zahlen ist jedenfalls ”straightforward“: Manaddiert bzw. subtrahiert jeweils sowohl die Real- alsauch die Imaginarteile getrennt.

Die Definition der Multiplikation sieht kompliziert aus,folgt aber einfach aus den ublichen (aus dem reellenRechnen bekannten) Regeln, wie man Klammernausmultipliziert:

(x1 + i · y1) · (x2 + i · y2) =

= x1 · x2 + x1 · i · y2 + i · y1 · x2 + i · y1 · i · y2

= x1x2 + i · x1y2 + i · x2y1 − y1y2

= (x1x2 − y1y2) + i · (x1y2 + x2y1),

dabei wurde nur i2 = −1 und das Umsortieren inReal- und Imaginarteil benutzt.



Die GrundrechenartenMerkregeln (Fortsetzung)

Auf die Formel fur die Division komplexer Zahlenkommen wir durch folgende Umformungen:

x1 + i · y1

x2 + i · y2=

(x1 + i · y1) · (x2 − i · y2)

(x2 + i · y2) · (x2 − i · y2)

=(x1x2 + y1y2) + i · (x2y1 − x1y2)

x22 + y2

2

.

Man erweitert also mit (x2 − i · y2) und stellt fest,dass beim Ausmultiplizieren der Nenner reell wird.Das ist schon der ganze Trick!



Die GrundrechenartenBeispiele

BeispielFur Addition und Subtraktion betrachten wir:

(3 + 4i) + (1 − 2i) = (3 + 1) + (4 − 2)i= 4 + 2i,

(3 + 4i) − (1 − 2i) = (3 − 1) + (4 − (−2))i= 2 + 6i.

Fur die Multiplikation ergibt sich durch Ausmultipli-zieren der Klammern:

(3 + 4i) · (1 − 2i) == 3 · 1︸︷︷︸

3

+3 · (−2i)︸︷︷︸

−6i

+4i · 1︸︷︷︸

4i

+4i · (−2i)︸︷︷︸

−8i2

= 3 − 6i + 4i + 8= (3 + 8) + (4 − 6)i = 11 − 2i .



Die GrundrechenartenBeispiele (Fortsetzung)

Und fur die Division erhalt man durch Erweitern mit(1 + 2i):

3 + 4i

1 − 2i=

(3 + 4i)(1 + 2i)

(1 − 2i)(1 + 2i)

=(3 − 8) + (4 + 6)i

1 + 22

=−5 + 10i

5= −1 + 2i .



Ubung

a) Gegeben seien die komplexen Zahlenz1 := −1 − 8i und z2 := −2 − 3i.Berechnen Sie 2z1, 2z1 + z2, z2 − z1, z1 · z2,z21 (:= z1 · z1) und z1 : z2.

b) Berechnen Sie die folgenden Potenzen von i:i2, i3, i4, i5, i6 und i27.



Losung

a)

2z1 = −2 − 16i,2z1 + z2 = −4 − 19i,z2 − z1 = −1 + 5i,z1 · z2 = −22 + 19i,

z21 = −63 + 16i,

z1 : z2 = 2 + i.

b)

i2 = −1,

i3 = i2 · i = (−1) · i = −i,

i4 = i3 · i = (−i) · i = −i2 = −(−1) = 1,

i5 = i,

i6 = −1,

i27 = i6·4+3 = i3 = −i.




Die komplexen Zahlen bilden bezuglich derAddition und Multiplikation einen Korper(C, +, ·).

Genau wie in IR sind also in C die Korperaxiome(z.B. gewisse einfache Rechenregeln wie die Kom-mutativgesetze) erfullt. Man rechnet mit anderenWorten wie gewohnt.



Keine Großer-/Kleiner-Beziehung in C !

Anders als in IR gibt es aber keine Großer-/Kleiner-Beziehung in C. Man kann also zwei komplexe Zah-len nur auf Gleichheit/Ungleichheit untersuchen,nicht aber sinnvoll sagen, welche von beiden diegroßere ist.



Keine positiven oder negativen Zahlen in C !

Außerdem gibt es keine positiven oder negativenkomplexen Zahlen.

Es ware also falsch zu sagen, dass +i positiv sei.Ebensowenig ist +i negativ.

Auch −2i ist weder positiv noch negativ!

Bedenken Sie dazu, dass das Produkt zweier posi-tiver oder zweier negativer Zahlen stets positiv ist:Das Produkt von i mit sich selbst ergibt aber −1,also eine negative Zahl!



Die konjugiert-komplexe Zahl

Definition

Die komplexe Zahl

z := x + i · (−y) = x − i · y

heißt die zu z = x+i·y konjugiert-komplexeZahl.

Fur die konjugiert-komplexe Zahl z ist auch die Ab-kurzung z∗ gebrauchlich.



Beispiel

Die zu z1 = −7−8i konjugiert-komplexe Zahl lautetz1 = −7 + 8i.

Fur z2 = 4i = 0 + 4 · i gilt z2 = −4i = −z2.

Fur z3 = −17 = −17 + 0 · i ist z3 = −17 = z3.



Merkregel fur die Division komplexer Zahlen

Man dividiert, indem man durch Erweiternmit dem Konjugiert-Komplexen des Nen-ners diesen Nenner reell macht.



Rechenregel fur konjugiert-komplexe Zahlen

Mit z = x + i · y und z = x − i · y giltfur konjugiert-komplexe Zahlen die folgen-de Rechenregel:

z · z = x2 + y2 ist stets reell und ≥ 0.

Dies kann man durch einfaches Nachrechnen zei-gen:

z · z = (x + iy) · (x − iy)= x · x + x · (−iy) + iy · x + iy · (−iy)

= x2 − ixy + ixy − i2y2

= x2 + y2 .



Ubung

a) Gegeben sei die komplexe Zahl z0 = 1 − 2i.Geben Sie an bzw. berechnen Sie: Re (z0),Im (z0), z0, Re (1/z0), Im (i · z0), Im (z0),i · Re (z0).

b) Bestimmen Sie alle komplexen Zahlenz = x + i · y mit Im (2z + z) = 1.



Losung

a)

Re (z0) = 1,Im (z0) = −2,z0 = 1 + 2i,Re (1/z0) = 1/5,Im (i · z0) = 1,

Im (z0) = −2,

i · Re (z0) = −i.

b) Alle komplexen Zahlen z = x + i · y mit Ima-ginarteil y = −1.



Rechenregeln fur konjugiert-komplexe Zahlen

Mit z = x + i · y und z = x − i · y gilt:a) Genau fur reelle z ist z = z.b) Das Bilden der konjugiert-komplexen

Zahl ist mit allen vier Grundrechenartenvertauschbar:

z1 + z2 = z1 + z2,

z1 − z2 = z1 − z2,

z1 · z2 = z1 · z2,

z1

z2

=

z1

z2

(Division nur im Falle von z2 6= 0).



UbungBeweisen Sie: z1 · z2 = z1 · z2.

LosungMit z1 = x1 + iy1 und z2 = x2 + iy2 ist:

z1 · z2 = (x1 + iy1) · (x2 + iy2)

= (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1)

= (x1x2 − y1y2) − i(x1y2 + x2y1) .

Umgekehrt gilt:

z1 · z2 = (x1 − iy1) · (x2 − iy2)

= (x1x2 − y1y2) − i(x1y2 + x2y1).


Die Gauß’sche Zahlenebene

Die Gauß’sche Zahlenebene als Briefmarke




Jeder komplexen Zahl z = x+i·y entspricht

genau ein Vektor

xy

bzw. genau ein Punkt

(x, y) der Ebene und umgekehrt.

0reelle Achse

imaginäre Achse

z=x+i y.

x

y

In der Technik spricht man anstelle von Ortsvekto-ren haufig von Zeigern auf komplexe Zahlen.



Beispiel

a) Der komplexen Zahl z = −3 + 4i entsprichtder Punkt (−3,4); z = 1 entspricht der Punkt(1,0); z = i entspricht der Punkt (0,1); z = 0

entspricht der Punkt (0,0), der Ursprung desKoordinatensystems.

-3+4i 3+4i4

1

10

-3 3Re(z)

Im(z)

b) Genau fur reelle Zahlen z gilt Im z = 0; siewerden durch die Punkte der reellen Achse dar-gestellt. Rein-imaginare Zahlen (Re z = 0) wer-den durch die Punkte der imaginaren Achseveranschaulicht.



Beispiel

a) Den zur konjugiert-komplexen Zahl z = x− i ·ygehorigen Ortsvektor findet man durch Spiege-lung des zu z = x+i ·y gehorigen Ortsvektorsan der reellen Achse:

0

z

z

x

y

-y

Im(z)

Re(z)

b) Punkte in der Gauß’schen Zahlenebene und folg-lich die komplexen Zahlen kann man nicht line-ar anordnen (keine Großer-/Kleiner-Beziehung!).



Rechenoperationen in IR × IR

Wenn wir

z = x + i · y = (x, y)

setzen und Addition und Multiplikation umschreiben,so erhalten wir fur die Rechenoperationen + und ·auf IR × IR = {(x, y)|x, y ∈ IR} die folgende Dar-stellung:

(x1, y1) + (x2, y2)

= (x1 + x2, y1 + y2),

(x1, y1) · (x2, y2)

= (x1x2 − y1y2, x1y2 + x2y1).

Die erste der beiden obigen Gleichungen besagt,dass die Addition komplexer Zahlen wie die Additionvon Vektoren in der Ebene (Krafteparallelogramm!)vorgenommen wird.



Polarkoordinaten

Die Lage eines Punktes der Ebene lasst sichdurch seinen Abstand r (”Radius“) vom Ko-ordinatenursprung und, wenn r > 0, durchden Winkel ϕ des Ortsvektors mit der positi-ven x-Achse (”Polarwinkel“) kennzeichnen.

(Im Fall r = 0, am Koordinatenursprung also, lasstsich ϕ nicht definieren.)

0reelle Achse

imaginäre Achse

.

x

y

r

z=(x,y) bzw. z=x+i y



Winkel

Winkel werden meist in Bogenmaß angegeben. Dasbekannte Gradmaß ϕ (Einheit: Grad) und das Bo-genmaß ϕ (Einheit: Radiant) hangen dabei wie folgtzusammen:

ϕ

360◦=

ϕ

2π.

Da der Winkel nur bis auf Vielfache von 2π (bzw.360◦) bestimmt ist, legt man willkurlich ein Intervallfest, in dem der Winkel angeben wird, z.B.

−π < ϕ ≤ +π .



Umrechnungsformeln

Die Umrechnungsformeln zwischen kartesischen Ko-ordinaten und Polarkoordinaten lauten:

x = r · cosϕ und y = r · sinϕ

sowie

r =

√

x2 + y2 und ϕ = ±arccos

(x

r

)

.

(Vorzeichen von ϕ je nachdem oby ≥ 0 oder y < 0.)

Man konnte hier auch die Beziehung tanϕ = y/x

verwenden, mußte aber bei der Umkehrfunktionarctan(y/x) vier Fallunterscheidungen, je nach Qua-drant, in dem (x, y) liegt, durchfuhren.



BeispielAus den kartesischen Koordinaten x = −3 undy = 4 der komplexen Zahl z = −3 + 4i ergebensich die Polarkoordinaten r =

√

(−3)2 + 42 =√25 = 5 und ϕ = +arccos(−3/5) ≈ 2.214

(bzw. ϕ ≈ 126.87◦).

Aus den Polarkoordinaten r = 4 und φ = −π/6

(ϕ = −30◦) erhalt man die kartesischen Koordi-naten x = 4 · cos (−π/6) = 4 · 1/2

√3 = 2

√3

und y = 4 · sin (−π/6) = 4 · (−1/2) = −2 derkomplexen Zahl z = 2

√3 − 2i.



Ubung

a) Geben Sie die Polarkoordinaten r und ϕ der fol-genden komplexen Zahlen an: z1 = 7, z2 =

4i, z3 = −6, z4 = −3i, z5 = 1 − i.

b) Berechnen Sie die kartesischen Koordinaten derkomplexen Zahl z6 mit den Polarkoordinaten r =

2, ϕ = π/3.



Losung

a)

r1 = 7, ϕ1 = 0;r2 = 4, ϕ2 = π/2;r3 = 6, ϕ3 = π;r4 = 3, ϕ4 = −π/2;

r5 =√

2, ϕ5 = −π/4.

b) x6 = 1, y6 =√

3.



Betrag einer komplexen Zahl

Anstelle vom Radius und Polarwinkel bei Polarko-ordinaten wird im Zusammenhang mit komplexenZahlen meist vom (Absolut-) Betrag und vom Ar-gument (oder Arcus oder Phase oder Winkel) einerkomplexen Zahl gesprochen:

Definition

Unter dem Betrag einer komplexen Zahl z =

x + iy versteht man

|z| = |x + i · y| :=√

x2 + y2 =√

z · z



BeispielDer Betrag der komplexen Zahl z = −3 + 4i istgleich 5 und das Argument von z ist ungefahr 2.214.



Veranschaulichung

Der Betrag einer komplexen Zahl ist anschaulich ge-sprochen die Lange ihres Ortsvektors bzw. ihr Ab-stand vom Nullpunkt.

Der Term |z1−z2|, der Betrag von z1−z2 also, stehtfur den Abstand der beiden Zahlen (d.h. Punkte imIR × IR) z1 und z2.



Rechenregeln fur den Betrag

a) |z| ≥ 0; |z| = 0 ⇐⇒ z = 0,

b) |z| = |z|,

c) |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|(Dreiecksungleichung),

d) |z1 · z2| = |z1| · |z2|,

e) |z1/z2| = |z1|/|z2| falls z2 6= 0.



Ubung

a) Zeigen Sie: |z| = |z|. Was bedeutet dies geo-metrisch?

b) Was besagt die Dreiecksungleichung anschau-lich?



Losung

a) Es sei z := x + i · y. Dann ist |z| =√

x2 + y2

und |z| =√

x2 + (−y)2 =√

x2 + y2. DieOrtsvektoren von |z| und |z|, welche durch Spie-gelung an der x-Achse auseinander hervorge-hen, sind gleich lang.

b) Die Lange des Vektors von z1 + z2 (Hypotenu-se des Dreiecks in Abb.) ist kleiner/gleich derSumme der Langen von z1 und z2 (Kathetendes Dreiecks in Abb.).

��*

��

��

��

��

��

��

��

��

��

z1

z2

z1 + z2



Die Polarform komplexer Zahlen

Die bisher in kartesischer Normalform ge-gebene komplexe Zahl z = x + i · y lasstsich bei Verwendung von Polarkoordinatenin der Polarform schreiben:

z = |z| · (cos ϕ + i · sin ϕ)

Die Umrechnung erfolgt gemaß den Formeln fur dieTransformation zwischen kartesischen Koordinatenund Polarkoordinaten.



BeispielEs gilt:

z = −3 + 4i≈ 5 · [cos(2.214) + i · sin(2.214)] .

Dabei ist −3 + 4i die Normalform und5 · [cos(2.214) + i · sin(2.214)] die Polarform derkomplexen Zahl z.

Umgekehrt:

4 · [cos(−π/6) + i · sin(−π/6)]

= 4 ·(√

3/2 + i · (−1/2))

= 2√

3 − 2i.

In diesem Fall wurde ausgehend von der Polarformauf die Normalform der komplexen Zahl umgerech-net.



Weitere Beispiele

Weitere Beispiele fur die Polarform komplexer Zah-len sind:

i = 1 · [cos(π/2) + i · sin(π/2)] ,

1 + i =√

2 · [cos(π/4) + i · sin(π/4)] ,

−7 = 7 · [cosπ + i · sinπ] .

Dabei sieht die Polarform von −7 nur auf den erstenBlick erstaunlich aus!



UbungGeben Sie die Polarform der folgenden komplexenZahlen an: z1 = 7, z2 = 4i, z3 = −6, z4 = −3i,z5 = 1 − i.



Losung

z1 = 7 = 7 · [cos 0 + i · sin 0] ,

z2 = 4i = 4 · [cos(π/2) + i · sin(π/2)] ,

z3 = −6 = 6 · [cosπ + i · sinπ] ,

z4 = −3i = 3 · [cos(−π/2) + i · sin(−π/2)] ,

z5 = 1 − i =√

2 · [cos(−π/4) + i · sin(−π/4)] .



Multiplikation und Division komplexer Zahlen

Die Polarform erlaubt nun eine sehr pragnante Be-schreibung der Multiplikation und Division komple-xer Zahlen:

Fur die Zahlen z1 := |z1|·(cos ϕ1+i·sin ϕ1)

und z2 := |z2| · (cos ϕ2 + i · sin ϕ2) gilt:

z1 · z2 = |z1| · |z2|· (cos(ϕ1 + ϕ2) + i · sin(ϕ1 + ϕ2)),

z1/z2 = |z1|/|z2|· (cos(ϕ1 − ϕ2) + i · sin(ϕ1 − ϕ2))

(Division nur im Falle von z2 6= 0).




Der Beweis dieses Satzes ist schlichtweg trivial; manbenotigt nur die aus der Schule bekannten Additi-onstheoreme von Sinus und Cosinus:

z1 · z2 = |z1|(cosϕ1 + i · sinϕ1)·|z2|(cosϕ2 + i · sinϕ2)

= |z1||z2| ·

(cosϕ1 cosϕ2 − sinϕ1 sinϕ2)︸︷︷︸

=cos(ϕ1+ϕ2)

+ i · (cosϕ1 sinϕ2 + sinϕ1 cosϕ2)︸︷︷︸

=sin(ϕ1+ϕ2)

.




Komplexe Zahlen werden multipliziert (divi-diert), indem man ihre Betrage multipliziert(dividiert) und ihre Winkel addiert (subtra-hiert) — und den resultierenden Winkel evtl.auf das Intervall (−π, +π] reduziert.



Multiplikation und Division komplexer ZahlenDrehstreckung

Geometrisch kann die Multiplikation komplexer Zah-len als Drehstreckung beschrieben werden:

Multipliziert man eine komplexe Zahl z1 miteiner komplexen Zahl z2, so wird der Betragvon z1 um den Faktor |z2| ”gestreckt“ (oder

”gestaucht“), der Winkel von z1 wird um denWinkel von z2 ”weitergedreht“.



BeispielMultiplikation einer Zahl z1 mit der Zahl z2 = 1 + i

bedeutet (wegen |z2| =√

2, ϕ2 = arccos(1/√

2) =

π/4 = 45◦): Der Ortvektor der Zahl z1 wird um√

2

gestreckt und um 45◦ (im mathematischen, also imGegenuhrzeigersinn) gedreht.

0

z1

z1 (1+i)

Re(z)

Im(z)

450



UbungGegeben seien die komplexen Zahlen z1 = 1 + i

und z2 = −1 + 2i.

a) Fuhren Sie zunachst z1 und z2 in Polarformuber und berechnen Sie z1 · z2.

b) Berechnen Sie z1 ·z2 in Normalform und fuhrenSie dann das Ergebnis in Polarform uber.

c) Interpretieren Sie z1 · z2 als Drehstreckung inder Gauß’schen Zahlenebene.



Losung

a) z1 =√

2 ·(

cosπ

4+ i sin

π

4

)

,

z2 =√

5 · (cos 2.034 + i sin 2.034),

z1 · z2=

√2·√

5·(

cos(π4 + 2.034) + i sin(π

4 + 2.034))

=√

10 · (cos 2.819 + i sin 2.819).

b) z1 · z2 = (1 + i) · (−1 + 2i) = −3 + i

=√

10 · (cos 2.819 + i sin 2.819).

c) Multiplikation mit z2 entspricht Streckung umFaktor

√5 und (ungefahre) Drehung um Win-

kel 2.034.



Die Euler’sche Beziehung

Fur den Term cosϕ + i · sinϕ bietet sich eine Ab-kurzung an. Wir benutzen dazu die folgende Glei-chung, die so genannte Euler’sche Beziehung:

eiϕ = cos ϕ + i · sin ϕ

Obige Gleichung ist zunachst als bloße Abkurzungzu sehen; es steckt aber noch ein tiefer liegendermathematischer Sachverhalt dahinter: s.Reihen.



Exponentialform von komplexen Zahlen

Die bisher in Polarform gegebene komplexeZahl

z = |z| · (cos ϕ + i · sin ϕ)

lasst sich unter Verwendung der Eu-ler’schen Beziehung nun in der Exponenti-alform schreiben:

z = |z| · eiϕ .

Der Anteil |z| beschreibt dabei die Lange des Orts-vektors von z, der Anteil eiϕ allein den Winkel:|eiϕ| = 1.



Beispiel

−3 + 4i ≈ 5 · (cos 2.214 + i · sin 2.214) = 5 · e2.214i,

2√

3 − 2i = 4 · (cos(−π/6) + i · sin(−π/6)) = 4 · e−iπ/6,

i = 1 · (cos(π/2) + i · sin(π/2)) = 1 · eiπ/2,

1 + i =√

2 · (cos(π/4) + i · sin(π/4)) =√

2 · eiπ/4,

−7 = 7 · (cosπ + i · sinπ) = 7 · eiπ.



UbungGeben Sie die Exponentialform der folgenden kom-plexen Zahlen an: z1 = 7, z2 = 4i, z3 = −6,z4 = −3i, z5 = 1 − i.

Losung

z1 = 7 = 7 · e0i,

z2 = 4i = 4 · eiπ/2,

z3 = −6 = 6 · eiπ,

z4 = −3i = 3 · e−iπ/2,

z5 = 1 − i =√

2 · e−iπ/4.



Satz von Moivre

Die ”Abkurzung“ eiϕ hat den großen Vorteil, dassman mit ihr wie mit einer ”richtigen Potenz“ rechnenkann:

eiϕ1 · eiϕ2 = ei(ϕ1+ϕ2),eiϕ1

eiϕ2= ei(ϕ1−ϕ2),

(eiϕ)n = ei(nϕ) (Satz von Moivre)



Potenzen komplexer Zahlen

Die Exponentialform komplexer Zahlen ist beson-ders hilfreich, wenn man etwa Potenzen komplexerZahlen berechnen will.

Beispiel

(1 − i)6 =

(√2ei(−π

4))6

=(√

2)6 · ei 6(−π

4)

= 8 · e−i3π2 = 8 · ei

(

−3π2 +2π

)

= 8 · eiπ2

= 8i.



UbungBerechnen Sie (1−

√3i)6 und (1+ i)4. Benutzen

Sie dazu die Darstellung komplexer Zahlen in Expo-nentialform!

Losung(

1 −√

3i)6

=(

2 · ei(−π3)

)6= 26 · ei(−6π

3 )

= 26 · ei(−2π) = 26 · ei0 = 64,

(1 + i)4 =(√

2 · eiπ4)4

=√

24 · ei4π4

= 4 · eiπ = −4.


Komplexe Zahlen — Algebr.Gleichungen

Losbarkeit quadratischer Gleichungen

Die Gleichung a2z2+a1z+a0 = 0 mit den Koeffi-zienten a2 6= 0, a0, a1, a2 ∈ IR lasst sich zunachstnormieren: z2 +(a1/a2)z + a0/a2 = 0, wofur wir

z2 + p · z + q = 0

schreiben. Durch quadratische Erganzung erhalt man

z2 + p · z +p2

4= −q +

p2

4

oder(

z +p

2

)2=

p2

4− q .

Der Term D := p2/4 − q heißt Diskriminante, dasich an ihm festmachen lasst, ob zwei Losungen,eine oder keine (reelle) Losung vorliegen.



Losbarkeit quadratischer Gleichungen(Fortsetzung)

Im Einzelnen gilt:

• Fur D > 0 gibt es zwei verschiedene reelleLosungen:

z1/2 = −p

2±

√D .

• Fur D = 0 gibt es eine (man sagt: doppelt auf-tretende) reelle Losung:

z = −p

2.

• Fur D < 0 existiert bekanntlich keine reelleLosung. Aber da wir mit Hilfe der imaginarenEinheit i inzwischen auch Gleichungen der Formz2 + 1 = 0 oder z2 = −1 losen konnen, daalso i mit anderen Worten Wurzel aus der nega-tiven Zahl −1 ist, konnen wir nun auch Wurzelnaus negativen Zahlen ziehen und finden Losun-gen fur D < 0: Fur D < 0, d. h. −D > 0, gibtes zwei konjugiert-komplexe Losungen:

z1/2 = −p

2± i ·

√−D .


Kom

plexeZahlen

—A

lgebr.Gleichungen


Beispiel

a) z2 + z − 12 = 0 :

Diskriminante: D = 12

4 − (−12) = 14 + 12 = 12.25 > 0

=⇒ 2 verschiedene reelle Losungen

=⇒

z1/2 = −12 ±

√14 − (−12) = −1

2 ±√

494

= −12 ± 7

2,

also Losungen: z1 = 3, z2 = −4,

und es gilt: z2 + z − 12 = (z − 3) · (z + 4) .

Mathem

atikkom

pakt61

Kom

plexeZahlen

—A

lgebr.Gleichungen


Beispiel

b) z2 + 14z + 49 = 0 :


4 − 49 = 49 − 49 = 0

=⇒ 1 (doppelt auftretende) reelle Losung=⇒ z1/2 = −14

2 ±√

0 = −7,

also Losungen: z1 = z2 = −7,

und es gilt: z2 + 14z + 49 = (z + 7) · (z + 7) .

Mathem

atikkom

pakt62

Kom

plexeZahlen

—A

lgebr.Gleichungen


Beispiel

c) z2 + 4z + 13 = 0 :


4 − 13 = 4 − 13 = −9 < 0

=⇒ 2 konjugiert-komplexe Losungen

=⇒

z1/2 =

{

−42 ± i ·

√

−(−9) = −2 ± i√

9

= −2 ± i · 3,

also Losungen: z1 = −2 + 3i, z2 = −2 − 3i,

und es gilt:z2 + 4z + 13 = (z − (−2 + 3i)) · (z − (−2 − 3i)) .

Die Probe liefert:(z − (−2 + 3i)) · (z − (−2 − 3i)) = ((z + 2) − 3i) · ((z + 2) + 3i)

= (z + 2)2 − (3i)2 = z2 + 4z + 4 − (−9) = z2 + 4z + 13.

Mathem

atikkom

pakt63


UbungLosen Sie die folgenden quadratischen Gleichun-gen in C:

a) z2 + 6z + 9 = 0,b) 2z2 + 9z − 5 = 0,c) 4z2 + 8z + 29 = 0,d) 4z2 + 17 = 0.

Losung

a) z1 = −3, z2 = −3,b) z1 = 1

2, z2 = −5,c) z1 = −1 + 5/2i, z2 = −1 − 5/2i,d) z1 =

√17i/2, z2 = −

√17i/2.



Komplexe Polynome

Definition

Fur n ∈ IN und an (6= 0), an−1, . . ., a1,a0 ∈ C heißt die Funktion P : C −→ C,z 7−→ P (z) mit

P (z) := anzn+an−1zn−1+. . .+a1z+a0

komplexes Polynom n-ten Grades mit den(im Allgemeinen) komplexen Koeffizientenak.



BeispielDie Funktion

P (z) = z4 + (−3 + i) z2 − iz + 3

ist ein Polynom 4.Grades mit den Koeffizientena4 = 1, a3 = 0, a2 = −3 + i, a1 = −i unda0 = 3.

Man kann fur z eine beliebige komplexe Zahl ein-setzen und erhalt als Funktionswert P (z) wieder-um eine komplexe Zahl, z.B. P (2) = 7 + 2i undP (1 + 2i) = 3 − 40i.



Komplexe Nullstellen und Linearfaktoren

Analog zum Reellen:

Definition

Die (komplexe) Zahl z1 heißt Nullstelle des(komplexen) Polynoms P (z), wenn gilt:

P (z1) = 0.

Es gilt wie im Reellen:

Ist z1 eine Nullstelle des Polynoms P (z)

vom Grade n > 0, so kann man den Line-arfaktor (z − z1) ohne Rest abdividieren:

P (z) = (z − z1) · P1(z).

Dabei ist P1(z) ein Polynom (n − 1)-tenGrades.


Kom

plexeZahlen

—A

lgebr.Gleichungen

BeispielDas (komplexe) Polynom P (z) = z4 − z3 + z2 + 9z − 10 hat (u.a.) dieNullstelle z1 = 1. Polynomdivision liefert

(z4 −z3 +z2 +9z −10) : (z − 1) = z3 + z + 10

z4 −z3

z2 +9z −10

z2 −z10z −1010z −10

0

und somit P (z) = (z3 + z + 10)︸︷︷︸

=:P1(z)

·(z − 1).

Mathem

atikkom

pakt68


UbungZeigen Sie, dass z2 = 1+2i Nullstelle des verblei-benden Polynoms P1(z) = z3+z+10 ist. Dividie-ren Sie den entsprechenden Linearfaktor (z − z2)

von P1(z) ab.


Kom

plexeZahlen

—A

lgebr.Gleichungen

Komplexe Nullstellen und Linearfaktoren

LosungPolynomdivision liefert:

(z3 +z +10) : (z − (1 + 2i)) = z2

z3 −(1 + 2i)z2 +(1 + 2i)z

(1 + 2i)z2 +z +10 +(−2 + 4i)

(1 + 2i)z2 +(3 − 4i)z(−2 + 4i)z +10(−2 + 4i)z +10

0

Insgesamt:P1(z) = z3 + z + 10

= (z2 + (1 + 2i) · z + (−2 + 4i)) · (z − (1 + 2i)).

Mathem

atikkom

pakt70

Kom

plexeZahlen

—A

lgebr.Gleichungen

Komplexe Nullstellen und Linearfaktoren (Fortsetzung)

LosungFur P (z) ergibt sich damit:P (z) = (z2 + (1 + 2i)z + (−2 + 4i))

︸︷︷︸

Polynom 2.Grades· (z − (1 + 2i)) · (z − 1).︸︷︷︸

zu denNullstellenz1 und z2gehorigeLinearfak-toren

Mathem

atikkom

pakt71


Hilfssatz

Folgender Hilfssatz erleichert das Auffinden vonNullstellen komplexer Polynome enorm: Sind dieKoeffizienten des Polynoms samtlich reell, so tretennamlich komplexe Losungen stets paarweise konju-giert auf.

Gegeben sei das komplexe Polynom

P (z) = anzn+an−1zn−1+ . . .+a1z+a0

vom Grade n > 1. Sind alle Koeffizientenan (6= 0), an−1, ..., a1, a0 reell, so ist mitz0 = x0 + i y0 auch z0 = x0 − i y0 eineNullstelle.



BeispielDas (komplexe) Polynom

P (z) = z4 − z3 + z2 + 9z − 10

hat die Nullstelle z2 = 1 + 2i.

Alle Koeffizienten von P (z) sind reell.

Also ist auch z2 = 1 − 2i Nullstelle von P (z).



UbungGegeben ist das komplexe Polynom

P (z) = z3 + 11z2 + 49z + 75.

Die komplexe Zahl z1 = −4 − 3i ist Nullstelle vonP (z). Wie lautet (ohne Rechnung) eine weitere Null-stelle von P (z)?

LosungEine weitere Nullstelle von P (z) ist

z2 = z1 = −4 + 3i.

Dies gilt, weil P (z) ausschließlich reelle Koeffizien-ten besitzt.



Fundamentalsatz der Algebra

Anders als im Reellen hat im Komplexen jedes Po-lynom n-ten Grades genau n (nicht unbedingt ver-schiedene) Nullstellen.

Jede algebraische Gleichung n-ten Grades(n > 0)

anzn + an−1zn−1 + . . . + a1z + a0 = 0

mit komplexen Koeffizienten an (6= 0),an−1, . . . , a1, a0 hat mindestens eine kom-plexe Losung.



Fundamentalsatz der Algebra

Eine andere Formulierung des Fundamentalsatzeslautet (wenn wir namlich sukzessive Linearfaktorenabdividieren):

Jedes Polynom n-ten Grades (n > 0)

P (z) = anzn+an−1zn−1+ . . .+a1z+a0

mit komplexen Koeffizienten an (6= 0),an−1, . . ., a1, a0 kann ganz in Linearfakto-ren zerlegt werden:

P (z) = an · (z − zn) · (z − zn−1) · . . .·(z − z2) · (z − z1)

Die komplexen Zahlen z1, z2, . . . , zn sinddie (nicht unbedingt verschiedenen) Null-stellen von P (z).


Kom

plexeZahlen

—A

lgebr.Gleichungen

BeispielDas Polynom P (z) = z4− z3+ z2+9z−10 hat die Nullstellen z1 = 1,z2 = 1 + 2i, z3 = 1 − 2i und z4 = −2. Damit lasst sich P (z) wie folgtin Linearfaktoren zerlegen:

P (z) = 1 · (z − 1) · (z − (1 + 2i)) · (z − (1 − 2i))︸︷︷︸

= ((z − 1) − 2i) · ((z − 1) + 2i)

= (z − 1)2 + 4

= z2 − 2z + 5

·(z + 2) .

Im Reellen ware (x − 1)2 + 4 > 0 unzerlegbar, also

P (x) = (x − 1) · (x2 − 2x + 5) · (x + 2) .

Mathem

atikkom

pakt77


Potenzen einer komplexen Zahl

BeispielDie ersten vier Potenzen der komplexen Zahl z0 :=

1 + i lauten:

z10 = 1 + i =

√2 · eiπ/4,

z20 = (1 + i)2 = 2 · eiπ/2 (= 2i),

z30 = (1 + i)3 =

√23 · ei 3π/4 (= −2 + 2i),

z40 = (1 + i)4 = 4 · eiπ (= −4).

0Re(z)

Im(z)

z0= 1+i

z02z0

3

z04= - 4

1

i



Beispiel

Wegen z40 = −4 konnen wir z0 = 1 + i offen-

bar als vierte Wurzel aus −4 interpretieren. Wennwir nun umgekehrt von −4 = 4eiπ ausgehen, somussen wir als vierte Wurzel davon diejenige Zahlnehmen, deren Betrag die vierte Wurzel des Betra-ges von −4 (also 4

√4) und deren Winkel der vierte

Teil des Winkels von −4 (also π4) ist. Dies ist aber

gerade z0 = 1 + i.

Die Frage ist nun noch, ob damit alle Wurzeln ge-funden sind. Das Polynom P (z) = z4+4 hat namlichnicht nur die Nullstelle z0 = 1+i, sondern auch dieweiteren Nullstellen (insgesamt vier) z1 = −1 + i,z2 = −1 − i und z3 = 1 − i.

Re z

Im z

1+i

1-i

-1+i

-1-i

/2| |

|



Wurzeln von komplexen Zahlen

Die Gleichung zn = c mit der komplexenZahl c = |c| · eiφ 6= 0 und n ∈ IN hat genaun verschiedene Losungen

zk = n√

|c| · ei

φ

n+ k · 2π

n

,

(k = 0, 1, 2, . . . , n − 1)

die so genannten n-ten Wurzeln aus c.



Wurzeln von komplexen ZahlenVeranschaulichung

Die n-ten Wurzeln aus c = |c| · eiφ 6= 0 liegenauf einem Kreis vom Radius n

√

|c| um 0 und bildendie Ecken eines regelmaßigen n-Ecks, weil sich be-nachbarte Arcuswerte um jeweils 2π/n unterschei-den. Der Winkel zwischen der positiven reellen Ach-se und der ”ersten“ Wurzel z0 betragt gerade φ/n:

Re z

Im z

z0

z1

z2

Winkel f/n

jeweilsWinkel 2 /n| |

|

n|c||


Kom

plexeZahlen

—A

lgebr.Gleichungen

Beispiel

Die Gleichung z3 = i = 1 · eiπ2 hat die 3 Losungen (Wurzeln)

z0 = 3√

1 · ei(π6+0·2π

3 ) = 1 · eiπ6 =√

32 + 1

2i,

z1 = 3√

1 · ei(π6+1·2π

3 ) = 1 · ei5π6 = −

√3

2 + 12i,

z2 = 3√

1 · ei(π6+2·2π

3 ) = 1 · ei3π2 = − i.

Die Wurzeln z0, z1 und z2 liegen auf einem Kreis vom Radius 1 um denNullpunkt. Sie bilden ein gleichseitiges Dreieck.

Mathem

atikkom

pakt82

Kom

plexeZahlen

—A

lgebr.Gleichungen

Beispiel

Die Gleichung z4 = −1 + i =√

2 · ei3π4 hat die 4 Losungen (Wurzeln)

z0 =4√√

2 · ei(3π16+0·2π

4 ) = 8√

2 · ei3π16 ≈ 0.907 + 0.606i,

z1 =4√√

2 · ei(3π16+1·2π

4 ) = 8√

2 · ei11π16 ≈ −0.606 + 0.907i,

z2 =4√√

2 · ei(3π16+2·2π

4 ) = 8√

2 · e−i13π16 ≈ −0.907 − 0.606i,

z3 =4√√

2 · ei(3π16+3·2π

4 ) = 8√

2 · e−i5π16 ≈ 0.606 − 0.907i.

Die Wurzeln z0, z1, z2 und z3 liegen auf einem Kreis vom Radius 8√

2 umden Nullpunkt. Sie bilden ein Quadrat.

Mathem

atikkom

pakt83


UbungBestimmen Sie alle (komplexen) vierten Wurzeln derZahl 2.

LosungDie Gleichung z4 = 2 = 2 ·ei·0 hat die 4 Losungen(Wurzeln)

z0 = 4√

2 · ei(0+0·2π4 ) = 4

√2 · ei0 = 4

√2,

z1 = 4√

2 · ei(0+1·2π4 ) = 4

√2 · eiπ2 = 4

√2i,

z2 = 4√

2 · ei(0+2·2π4 ) = 4

√2 · eiπ = − 4

√2,

z3 = 4√

2 · ei(0+3·2π4 ) = 4

√2 · ei3π

2 = − 4√

2i.

Die Wurzeln z0, z1, z2 und z3 liegen auf einem Kreisvom Radius 4

√2 um den Nullpunkt. Sie bilden ein

Quadrat.



Wurzeln von komplexen Zahlen (Graphiken)

Re z

Re z

Re z

Im z

Im z

Im z

z0

z0

z0

z3

z3

z1

z1

z1

z2

z2

z2

z = -1+i4z = i3

z = 24


Anwendung: Fraktale

Erzeugung von ”Apfelmannchen“

Wir wahlen zunachst einen Testpunkt c := a + b · i,eine komplexe Zahl also, und erzeugen nun suk-zessive eine Folge von weiteren komplexen Zahlen.Startwert ist dabei der Koordinatenursprung selbst:z0 := 0 + 0 · i. Die weiteren Elemente der Fol-ge berechnen wir mittels folgender Vorschrift: z1 :=

z20 + c, z2 := z2

1 + c, ..., allgemein

zn := z2n−1 + c.

(Dabei sind alle zn komplexe Zahlen, und die ver-wandten Operationen sind die komplexe Addition undMultiplikation.)


Anwendung: Fraktale

Erzeugung von ”Apfelmannchen“(Fortsetzung)

Die Frage ist nun, ob einer der erzeugten Werte zn

außerhalb eines Kreises vom Radius 2 um den Ko-ordinatenursprung liegt, d.h. ob gilt:

|zn| ≥ 2.

Ist dies der Fall, so wird unserem Testpunkt die Far-be ”weiß“ zugeordnet und wir brechen die ”Iterati-on“, die Berechnung von zn+1 etc., ab. Ansonstenfuhren wir den ”Algorithmus“, die Rechenvorschrift,fort und berechnen das nachste Folgenglied zn+1.


Anwendung: Fraktale


Wir konnen naturlich nicht alle (das sind namlich un-endlich viele!) Folgenglieder z0, z1, z2, ... erzeugenund testen. Deshalb bricht man die Schleife z.B. bein = 100 ab. Hat bis dahin kein Folgenglied den be-sagten Kreis verlassen, so erhalt unser Testpunkt c

die Farbe ”schwarz“. Insgesamt haben wir also un-serem Testpunkt c auf diese Weise eine der Farben

”schwarz“ oder ”weiß“ zugewiesen.


Anwendung: Fraktale


Nun ordnen wir einfach jedem (der endlich vielen)Pixel unseres Bildschirms eine komplexe Zahl c zu,wie ja schon Gauß die komplexen Zahlen durch dieGauß’sche Zahlenebene veranschaulicht hat. Wirfuhren dann mit jedem c den beschriebenen Algo-rithmus durch und farben jeden Bildschirm-Pixel ent-sprechend seines berechneten Farbwertes ”schwarz“oder ”weiß“ ein. Ein so genanntes Apfelmannchenentsteht.

Eine spektakularere Version erhalt man z.B., indemman die Punkte c, deren Iterierte dem Kreis entkom-men, wirklich farbig einfarbt — und zwar entspre-chend der Anzahl der Iterationsschritte, die bis zurFlucht aus dem Kreis durchgefuhrt werden mussen.


Anwendung: Fraktale

Erzeugung von ”Apfelmannchen“(Graphik)


Anwendung: Wechselspannungen in der Etechnik

Elektrische Wechselspannung

U(t) = U0 · cos(ωt + φ)

Dabei bezeichnet U0 die Amplitude, ω die Frequenzund φ die Phasenverschiebung.

Grob gesprochen gibt U0 an, um wieviel hoher oderniedriger als 1 die Cosinusfunktion schwingt; ω gibtan, um wieviel schneller oder langsamer U(t) imVergleich zur ublichen Cosinusfunktion schwingt; undschließlich besagt φ, um wieviel eher oder spaterals zur Zeit t = 0 der maximale Ausschlag erreichtwird.



Elektrische Wechselspannung komplexaufgefasst

Eine derartige Wechselspannung U(t), oder viel all-gemeiner jede so genannte harmonische Schwin-gung, kann nun aber komplex als U(t) aufgefasstwerden:

U(t) = U0 · (cos(ωt + φ) + i sin(ωt + φ))

= U0 · ei(ωt+φ).

(In der Elektrotechnik ist es ublich, komplexe Großendurch Unterstreichung zu kennzeichnen.)

U0

U0 eif

f

wt



Das Ohmsche Gesetz

Das Ohmsche Gesetz lautet nun bekanntlich

U = R · I,

es beschreibt den einfachen Zusammenhang zwi-schen Spannung U , Ohmschem Widerstand R undStromstarke I und gilt sowohl fur Gleich- als auchfur Wechselstrom.

Einen ahnlichen Zusammenhang kann man nun auchbei anderen Widerstanden wie Kondensator und Spu-le aufstellen, man muss aber die komplexe Darstel-lung verwenden:

U(t) = Z · I(t).

(Wieder stehen U fur die Spannung, I fur die Strom-starke (beide komplex aufgefasst), und Z bezeich-net den i.Allg. komplexen Widerstand.)



Komplexe Widerstande

Der Widerstand eines Kondensators (der KapazitatC) etwa betragt bei Wechselstrom der Frequenz ω

ZC =1

iωC= −i · 1

ωC;

und die Multiplikation von IC mit ZC zu UC spie-gelt wieder, dass die Spannung UC dem Strom IC

um 90◦”hinterherhinkt“. Im Komplexen wurde das

durch die Multiplikation mit −i, durch Drehung um90◦ im Gegenuhrzeigersinn also, ausgedruckt.

Ahnliches gilt auch fur so genannte Induktivitaten(Spulen also), und entsprechende Rechnungen kon-nen fur kompliziertere Schaltbilder mit Reihen- oderParallelschaltung mit Hilfe der Kirchhoffschen Re-geln und der beschriebenen komplexen Rechnungausgefuhrt werden.


Anw

endung:Wechselspannungen

inderE

technik

Schaltzeichen, Schaltelemente und komplexen Widerstande furOhm’sche Widerstande, Kondensatoren und Spulen

Schaltzeichen Schaltelement Widerstand

Widerstand R (Ohm’scher Widerstand) R

Kapazitat C (Kondensator) 1iωC

Induktivitat L (Spule) iωL

Mathem

atikkom

pakt95

kapitel 9: die komplexen zahlen - hochschule...

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