kalkulus integral 2013 - ebook.repo.mercubuana...

1

KALKULUS INTEGRAL 2013

PENDAHULUAN

A. DESKRIPSI MATA KULIAH

Isi pokok mata kuliah ini memuat pemahaman tentang: (1) Anti turunan:

pengertian anti turunan, teorema-teorema, dan teknik anti turunan, (2) Integral

tertentu: jumlah Riemann, teorema-teorema integral tertentu, dan teorema dasar

kalkulus, (3) Aplikasi Integral tertentu: luas bidang, volum benda putar, panjang

busur kurva, luas permukaan benda putar, usaha, dan pusat massa, (4) Fungsi

logaritma, fungsi eksponen, dan fungsi hiperbolik, dan (5) Teknik pengintegralan.

B. PERENCANAAN PEMBELAJARAN

1. Nama Mata Kuliah : Kalkulus II

2. Kode / sks : MAT 38/2 sks

3. Semester : II (genap)

4. Tujuan Pembelajaran

Setelah menyelesaikan mata kuliah ini diharapkan mahasiswa dapat menjelaskan

dan mengaplikasikan konsep anti turunan, integral tak tentu, integral tertentu,

aplikasi integral tertentu, fungsi logaritma, fungsi eksponen, dan fungsi hiperbolik

serta integral fungsi trigonometri dan integral fungsi rasional.

5. Outcome Pembelajaran

a. Mahasiswa memahami anti turunan dan integral tak tentu.

b. Mahasiswa memahami penggunaan teorema dan rumus teknis integral.

c. Mahasiswa memahami notasi sigma, induksi matematika, dan jumlah Riemann

d. Mahasiswa dapat menghitung integral terntentu dengan limit jumlah Riemann.

e. Mahasiswa dapat membuktikan beberapa teorema integral tertentu.

f. Mahasiswa dapat menjelaskan teorema dasar Kalkulus integral.

g. Mahasiswa dapat menghitung integral tertentu berdasarkan teorema-teorema

dasar kalkulus.

h. Mahasiswa dapat menghitung luas daerah dan volum benda putar.

i. Mahasiswa dapat menghitung panjang busur suatu kurva dan luas permukaan

benda putar.

j. Mahasiswa dapat menentukan integral parsial dan fungsi trigonometri

k. Mahasiswa dapat menentukan integral bentuk pecahan dalam sinus dan cosinus.

l. Mahasiswa dapat menentukan integral fungsi rasional.

2


6. Jumlah Jam dan Pembagiannya

7. Bahan, Sumber Informasi dan Referensi

a. Purcell, E.J. & Varberg, D. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitis. (Diterjemahkan

oleh I Nyoman, Bana Kartasasmita, dan Rawuh). Jilid 1. Jakarta: Penerbit erlangga.

b. Jasman, Pardede.2010. Kalkulus I. Jakarta : Erlangga

No Jenis Kegiatan Cacah Kegiatan

Jumlah Jam

1 Pengantar Kuliah Kalkulus II: Menjelaskan pengertian anti turunan dan menjelaskan penghitungan integral tak tentu yang sederhana. ( minggu ke 1)

1 kali 2 jam

2 Menjelaskan bentuk-bentuk Integral (Integral Trigonometri dan Integral Substitusi) ( minggu ke 2 )

1 kali 2 jam

3 Menjelaskan Integral pecah rasional. ( minggu ke 3 dan 4 )

2 kali 4 jam

4

Menjelaskan pengertian tertentu sebagai limit jumlah Riemann Menjelaskan dan membuktian teorema-teorema integral tertentu

1 kali

2 jam

Menjelaskan teorema dasar Kalkulus 1 dan 2 (minggu ke 5)

5 Menjelaskan luas daerah bidang datar dan volum benda putar ( minggu ke 6 )

1 kali 2 jam

6 Menjelaskan panjang busur kurva dan luas permukaan bidang benda putar. (minggu ke-7)

1 kali 2 jam

7 Ujian Tengah Semester (minggu ke 8) 1 kali 2 jam

8 Menjelaskan teorema fundamental Integral dan pembuktiannya. (minggu ke 9 dan 10)

2 kali 3 jam

9 Menjelaskan integral parsial yang melibatkan fungsi transenden. (minggu ke 11)

1 kali 2 jam

10 Menjelaskan integral yang memuat bentuk 22 ax ,

22 ax dan 22 xa

Menjelaskan integral yang memuat bentuk n xp )( ,

dengan p(x) suku banyak. Menjelaskan integral bentuk pecahan dalam sinus dan cosinus. (minggu ke-12 dan 13)

2kali 3 jam

11 Menjelaskan integral fungsi rasional Memberikan contoh dan latihan soal. (minggu ke-14 dan 15)

2 kali 3 jam

12 Ujian Akhir Semester (minggu ke 16) 1 kali 2 jam

3


c. Frank Ayres, Differential and Integral Calculus 2/ed, McGraw-Hill Book Company, NewYork, 1978

d. Leithold, L ., 1981, The Calculus with Analitic Geometry, 3th . Harper International

Edition, Harper and Row, Publishers, New York, Hagerstown, San Francisco, London.

C. PENILAIAN

Prosentase penilaian masing-masing adalah sebagai berikut :

No. Komponen penilaian Prosentase

1. Quiz ( 4 kali) 10 %

2. Ujian Mid Semester 20 %

3. Ujian Akhir Semester 20 %

4. Tugas ( 2 kali ) 20 %

5 Presensi 15 %

6 Keaktifan 15 %

PERTEMUAN I

4


INTEGRAL

A.

Anti turunan merupakan kebalikan (invers) dari suatu turunan. Seperti didefinisikan pada

definisi 1 berikut

Kita sebut F suatu anti turunan dari pada selang I jika pada I, yakni jika ( ) ( ) untuk semua x dalam I. Jika x suatu titik ujung dari I, ( ) hanya perlu berupa turunan satu sisi. Sebagai contoh :

Misalkan suatu fungsi maka apabila diturunkan menjadi

. Hasil

dari turunan tersebut, apabila dikembalikan ke fungsi semula sering disebut anti derivatif (turunan). Teorema 1. Aturan Pangkat

Dimana

Contoh :

1. ∫

Penyelesaian :

∫

2. Carilah anti turunan dari

∫

Penyelesaian :

∫

DEFINISI ANTI TURUNAN (INTEGRAL TAK TENTU)

∫𝒙𝒓𝒅𝒙 𝒙𝒓 𝟏

𝒓 𝟏 𝑪

5


Teorema 2. Anti-turunan Sinus-Kosinus

∫ ∫

Teorema 3. Kelinieran dari integral Misalkan f dan g mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan andaikan k suatu

konstanta. Maka

∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ∫

∫, ( ) ( )- ∫ ( ) ∫ ( ) ∫( ) ∫ ∫

∫, ( ) ( )- ∫ ( ) ∫ ( )

RUMUS-RUMUS INTEGRAL

1. ∫

2. ∫

3. ∫

4. ∫

5. ∫

Misal :

∫

∫

∫

∫

Dimana C merupakan konstanta integrasi.

1. Find the following antiderivatives

a. ∫(

)

b. ∫ √

SOLVED

PROBLEMS

6


c. ∫( )

d. ∫( )√

e. ∫

2. Find an equation of the curve passing through the point (2, 3) and having slope

at each point (x, y). The slope is given by the derivative.

B. TEKNIK PENGINTEGRALAN TAK TENTU

1. PENGINTEGRALAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Sebelum membahas mengenai teknik pengintegralan khususnya yang

berkaitan dengan fungsi trigonometri, anda harus mengingat terlebih dahulu

aturan-aturan dalam trigonometri dan sifat-sifat fungsi trigonometri

Aturan integral tak tentu fungsi trigonometri

a. xsin dx = -cos x + C

b. xcos dx = sin x + C

c. tan x dx = ln Cx sec

= -ln Cx cos

d. cot x dx = - ln Cx csc

= ln Cx sin

e. xsec dx = ln Cxx tansec

f. csc x dx = ln Cxx cotcsc

a. 𝑥 𝑥

b. 𝑥

( 𝑥)

c. 𝑥

( 𝑥)

d. 𝑥 𝑥 𝑥

e. ta 𝑥 e 𝑥

f. 𝑥 𝑥 𝑥

g. 𝑥 𝑥

𝑥

h. 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥

7


g. ∫ ta e e

h. ∫ t

i. ∫

j. ∫

Contoh 1:

Tentukan integral tak tentu

∫(( ) )

Penyelesaian :

∫( ) ) =∫( ) ∫

=

Contoh 2:

Tentukan integral tak tentu

∫( )

Penyelesaian :

Perhatikan :

( )

Sehingga :

∫( ) ∫( )

∫ ∫

(

)

Berdasarkan bentuk di atas selanjutnya diberikan beberapa kasus bentuk

integral fungsi trigonometri yang dibahas pada bagian ini, diantaranya adalah:

8


a. ,sin xdxm dan xdxmcos dengan m bilangan ganjil atau genap positip

Jika m bulat positip dan ganjil, maka m diubah menjadi (m-1) + 1, atau m

digenapkan terdekat. Selanjutnya substitusi dengan menggunakan kesamaan

identitas 1cossin 22 xx atau sin x2 = 1 - cos x2 atau cos x2 = 1 - sin x2 .

Akhirnya dengan substitusi tersebut didapat kesamaan antara integran

dengan tanda integrasinya, sehingga dengan mudah dapat diselesaikan.

Contoh :

∫

Penyelesaian :

∫

∫

∫( )

∫( ) ( )

∫( )( )

∫( ) ( ))

∫ ∫ ∫

(

)

Ingat :

atau

9


b. Bentuk xdxmcos , dxxm sin , jika m bilangan bulat positip genap,

Contoh:

1. xdx2sin

Karena pangkatnya genap, digunakan kesamaan setengah sudut, maka

xdx2sin =

dxxdxx

)2cos2

1

2

1(

2

2cos1

= xdxdx 2cos2

1

2

1

= Cxx

4

2 sin

2

2. xdx4cos

Jawab

xdx4cos = 22 )(cos x dx

=

dxxdx

x 2

2

)2cos2

1

2

1(

2

2cos1

Sifat : ( )

= dxxx

)2cos4

1

2

2cos

4

1(

2

= xdxdxx

dx 2cos4

1

2

2cos

4

1 2

= 4

2sin

4

xx +

dx

x

2

)4cos1(

4

1

.∫

∫

/

.

/

= Cxxxx

32

4sin

84

2sin

4

= Cxxx

32

4sin

4

2sin

8

3

3. xdx2sin4

10


Misal u = 2x , du = 2dx atau dx = 2

du, sehingga

xdx2sin4 = 2sin

4 duu

=

du

u2

2

2cos1

2

1

= duuu )2cos2cos21(4

1

2

1 2

= uduududu 2cos8

12cos

4

1

8

1 2

=

du

uududu

2

4cos1

8

12cos

4

1

8

1

= ududuududu 4cos16

1

16

12cos

4

1

8

1

= Cuuuu 4sin64

1

16

12sin

8

1

8

1

Karena u = 2x, maka

xdx2sin4 = Cxxxx )2(4sin64

1)2(

16

1)2(2sin

8

1)2(

8

1

TUGAS

1. Selesaikan integral tak tentu di bawah ini

a. ∫ .( ) √ /

b. ∫

√

c. ∫

d. ∫( )

e. ∫( √( )

)

2. Buktikan

∫ta e

3. Selesaikan integral tak tentu berikut :

∫

11


Hint :

* ( ) ( )+

Tugas di kumpulkan dan presensi sesuai jam kuliah

2. INTEGRAL DENGAN MENGGUNAKAN SUBSTITUSI

a. METODE SUBSTITUSI FUNGSI ALJABAR

Metode substitusi sering kali dinamakan dengan metode mengganti

bukan menghilangkan. Suatu bentuk integral tidak semuanya dapat diselesaikan

dengan metode substitusi, dengan kata lain suatu bentuk integral dapat di

selesaikan dengan cara/metode yang bersifat coba-coba.

Diberikan fungsi terdefinisi pada [ a,b] dan fungsi , - , -

mempunyai invers . Jika dan mempunyai derivatif dan kontinu

masing-masing pada interval , - dan , - serta kontinu pada , -, maka :

∫ ( ) ∫ ( ( )) ( )

Contoh :

1. ∫√( ) ( )

Penyelesaian :

Langkahnya :

Misal:

( )

Maka :

∫√( ) ( ) = ∫√

= ∫

=

=

( )

12


2. ∫

Penyelesaian :

Misal

∫

∫

∫

∫

3. ∫ ( )

∫ ∫

∫

(diteruskan sebagai tugas mahasiswa)

Contoh lain :

Buktikan

∫ta e

Penyelesaian :

∫ta ∫

Misal

Maka :

∫ta

∫

∫

∫

13


Ingat : sifat

e

e

Tugas di rumah :

1. Selesaikan integral di bawah ini :

∫ ( )

2. Selesaikan integral fungsi trigonometri berikut:

a. ∫( ) ( )

b. ∫

Ujian Sisipan

1. Selesaikan integral tak tentu berikut integral

a. ∫

b. ∫

2. Hitunglah integral tak tentu berikut

∫

b. INTEGRAL PECAH RASIONAL

Di berikan persamaan ( ) , dengan

dan . Selanjutnya P(x) disebut Polinomial berderajat n. Di

berikan polinomial-polinomial P(x) dan Q(x) dengan berderakat masing-masing

adalah m dan n, maka ( )

( ) disebut Pecah Rasional

Bentuk umumnya dapat diberikan sebagai )(

)()(

xQ

xPxH , dimana P(x)

adalah numerator, sedangkan Q(x) adalah denumerator. Jika P(x) > Q(x) maka

P(x) harus dibagi Q(x) terlebih dahulu. Integral dengan bentuk rasional ini

terdiri dari beberapa kasus, yang masing-masing akan dibahas dibawah ini. Jika

pangkat P(x) lebih rendah dari pangkat Q(x), maka P(x) disebut PROPER dan

14


sebaliknya P(x) disebut IMPROPER. Bentuk pecahan rasional yang improper

dapat dinyatakan sebagai jumlahan dari polinomial dan suatu pecahan rasional

yang proper.

1. Kasus 1 :

Apabila faktor Q(x)=0 semuanya linier dan berbeda.

( ) ( )( ) ( ) dengan real dan berbeda.

Maka ( )

( ) dapat dinyatakan sebagai berikut :

n

n

xx

A

xx

A

xx

A

xQ

xP

.....

)(

)(

2

2

1

1 , dengan RAAA n ,...,, 21 konstanta-

konstanta yang akan dicari.

Contoh :

1. ∫

.......

Penyelesaian :

( ) ( )( )

Jadi Q(x) mempunyai dua akar real yang berbeda.

Sehingga di peroleh :

( )

( )

( ) ( )

Sehingga diperoleh :

( ) ( )

.......(1)

......(2)

Dari persamaan (1) dan (2) dengan metode eliminasi didapat

dan

Jadi

15


∫

∫(

. /

)

∫

∫

. /

2. ∫

......

Penyelesaian :

xxx

x

2

123

=

)1)(2(

1

xxx

x

xxx

x

2

123

=

1)2(

x

C

x

B

x

A

1x = )2)(()1)(()1)(2( xxCxxBxxA

= )2()()2( 222 xxCxxBxxA

= )2()2()(2 AxCABCBAx

2

1

12

12

0

A

A

ACB

CBA

122

1

02

1

CB

CB

2

1CB

2

32 CB

3C =

2

4

C =

6

4

16


03

2

2

1

B

B = 2

1

3

2

= 6

34

= 6

1

Jadi

dx

xxx

x

)1)(2(

1 =

dxx

dxx

dxx 1

32

2

61

21

= cxxx 1ln3

22ln

6

1ln

2

1

= 4

3

)1(

)2(ln

6

1

x

xcx

Latihan :

1. Tentukan

∫

2. Tentukan

∫

3. Tentukan

∫

2. Kasus 2 :

Jika ( ) mempunyai akar riil dan ada yang sama. Maksudnya semua

faktor dari penyebut linier, tetapi ada beberapa yang sama (berulang).

=

3

2

17


( ) ( ) ( )

( ) dengan real. Maka

( )

( )

dapat dinyatakan sebagai berikut :

rt

r

tt

q

q

p

p

xx

C

xx

C

xx

C

xx

B

xx

B

xx

B

xx

A

xx

A

xx

A

xQ

xP

)(.....

)()(

.....)(

.....)()(

)(.....

)()(

)(

221

22

2

2

2

1

12

1

2

1

1

Dengan konstanta-konstanta yang akan dicari,

Contoh :

1. ∫

( )( ) .....

Penyelesaian :

( ) ( )( ) ( )( )

Jadi Q(x) mempunyai tiga akar real dan ada yang sama.

Sehingga di peroleh :

( )

( )

( )( )

( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )

carilah nilai ?

2. ∫

( )( )

Penyelesaian :

dx

xx

x32

3

)2(

1 =

)2()2()2( 232 x

E

x

D

x

C

x

B

x

A

x3-1 = 222233 )2()2()2()2( xExxDxCxxBxxA

18


x3-1 = 34 )46()( xEDBAxEB

= AxBAxEDCBA 8)812()42126( 2

16

3;

4

5;

4

7;

16

3;

8

1 EDCBA

dx

xx

x32

3

2

1 =

)2(16

3

)2(4

5

24

7

16

3

8

1232 x

dx

x

dx

x

dx

x

dx

x

dx

=

cxxx

xx

2ln

16

3

24

5

)2(8

)7(ln

16

3

8

12

3. Kasus 3 :

Jika tidak semua akar riil dan yang tidak riil semuanya berbeda. Artinya

penyebut dapat di faktorkan dalam bentuk kombinasi linier dengan kuadrat.

Selanjutnya integran dengan bentuk seperti ini dijadikan jumlah pecahan

parsial

( )

( )

( )

Berdasarkan jumlah tersebut dapat ditentukan A,B, dan C

Contoh :

1. ∫

( )( )

Penyelesaian :

∫

( )( ) =∫

( ) ∫

=∫ ( ) ( )( )

( )( )

= ∫( ) ( ) ( )

( )( )

Di peroleh :

19


, ( ) ( ) atau

sehingga:

∫

( )( ) = ∫

∫

= ∫

∫

∫

=

2. Selesaikan integral

∫

( )( )

Penyelesaian : (sebagai latihan mahasiswa)

Latihan :

Tentukan :

a. ∫

b. ∫

( )

4. Kasus 4 :

Jika tidak semua akar riil dan akar yang tidak riil ada yang sama.

Maksudnya untuk faktor kuadratis dengan bentuk yang

berulang n kali dalam penyebut pada pecahan rasional yang proper, ditulis

sebagai jumlahan dari n pecahan parsiil dalam bentuk :

( )

( )

Dimana A1 dan B1 konstanta yang harus di cari

Contoh :

∫

( ) )

Penyelesaian :

20


Latihan :

Tentukan

∫

( ) ( )

Penyelesaian :

( ) ( )=

( )

( )

(teruskan sebagai latihan mahasiswa)

c. INTEGRAL DENGAN SUBSTITUSI FUNGSI TRIGONOMETRI

Teknik substitusi fungsi trigonometri digunakan untuk menyelesaikan

integral jika integrannya memuat bentuk-bentuk:

1. 22 xa , a > 0, a Real

2. 22 ax = 22 xa , a > 0, a Real

3. 22 ax , a > 0, a Real

atau bentuk lain yang dapat diubah menjadi bentuk di atas, misalnya

222 xba = 2

2

xb

a

xba 22 = 2

2

xb

a

222 bxa = 2

2

a

bx atau cbxax 2 yang dapat diubah menjadi bentuk

kuadrat sempurna.

21


Integrannya memuat 22 xa atau sejenisnya, Gunakan substitusi

x = a sin t atau sin t = a

x

x = a sin t dx = a cos t dt

dengan -2

2

t sehingga,

22 xa = 22 )sin( taa

= )sin1( 22 ta

= a cos t

Catatan

Gambar segitiga siku-siku di atas yang masing-masing sisinya diketahui berguna

untuk menentukan nilai fungsi trigonometri yang lain, yaitu cos t, tan t, cot t, sec

t, dan csc t. Hal ini dikarenakan sangat mungkin hasil dari pengintegralan adalah

fungsi-fungsi tersebut.

Contoh:

Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:

1. 24 x dx

Jawab

Substitusi x = 2 sin t

sin t = 2

x

dx = 2 cos t dt

t

x

a

22 xa

tx

2

24 x

22


24 x = tt cos2sin44 2

Sehingga

24 x dx = tdtt cos2.cos2

= tdtt coscos4

= 4 tdt2cos = 4

dtt

2

)2cos1(

= 2 dt + 2 t2cos dt

= 2t + sin 2t + C

= 2t + 2 sin t cos t

= 2 arc sin2

4

22

2xxx

+ C

Atau 4 tdt2cos = 4 (2

cossin tt + Ct

2

1)

= 2 sint cost + 2t + C

= 2

2

x

2

4 2x + 2 arc sin

2

x+ C

= Cxxx

2arcsin2

2

4 2

2. 24 xx

dx

23


Jawab

24 xx

dx =

2)2(4 x

dx

Substitusi (x-2) = 2 sin t,

dx = 2 cos t dt

tx cos2)2(4 2 , sehingga

2)2(4 x

dx = t

tdt

cos2

cos2

= dt

= t + C

= arc sin

2

2x + C

Kerjakan soal berikut sebagai latihan (sebagai tugas pertemuan ke-8)

1. 225 xx

dx

2. 22 9 xx

dx

3. 2

3

2 )4( xx

dx

4. dxxx 22 1

5. dxx

x

2

3

16

2x

24 xx

2

t

24


INTEGRAL TERTENTU

I. Landasan Teori Definisi:

catatan : definite integral sering disebut sebagai Integral Riemann.

Untuk menentukan nilai definite integral secara langsung dengan definisi di atas

maka kita harus menggunkan jumlah Riemann (jumlah Riemann akan dijelaskan dalam

contoh). Hal ini kurang efisien, terkadang dalam perhitungannya menemui kesalahan. Oleh

karena itu, nilai definite integral ditentukan dengan menggunakan teorema dasar integral

kalkulus berikut ini :

Sifat- Sifat Umum Definite Integral :

Misalkan f(x) dan g(x) merupakan fungsi-fungsi kontinu dalam interval tertutup

[a,b], maka definite integral memenuhi sifat-sifat umum sebagai berikut :

25


Menentukan Luas dengan Proses Limit

Luasan Di Bawah Suatu Kurva

Bila digambarkan suatu persegi panjang pada suatu koordinat cartesius,luas persegi

panjang tersebut dengan mudah dapat dicari. Perhatikan gambar 5.1 Luas persegi

panjang adalah A=f(x)∆x.

Gambar 5.1

26


Bila jumlah persegi panjang kita perbanyak menjadi 4 dengan lebar yang sama namun

tinggi f(x)-nya berbeda-beda maka keadaannya akan terlihat seperti gambar 5.2.

Gambar 5.2

Luas keseluruhan persegi panjang adalah :

( ) ( ) ( )

∑ ( )

Jika jumlah persegi panjangnya kita perbanyak lagi menjadi 10 dengan tinggi f(x)-nya

yang berbeda-beda dan dengan Δx –nya kita perkecil. Hasilnya akan menjadi seperti

ditunjukkan pada gambar 5.3.

Gambar 5.3

27


Luas totalnya dirumuskan sebagai :

∑ ( )

Jika jumlah persegi panjangnya kita perbanyak lagi menjadi 100 dengan tinggi f(x)-nya

yang berbeda-beda dan dengan Δx –nya kita perkecil lagi. Hasilnya akan menjadi seperti

ditunjukkan pada gambar 5.4.

Gambar 5.4

Pada gambar 5.1 sampai gambar 5.4 secara tidak disadari kita telah membuat tinggi

persegi panjang berubah memenuhi keteraturan mendekati pola persamaan :

( )

Bila jumlah persegi panjang kita tambah lagi menjadi n , dan seiring dengan itu

membuat 0x , maka tinggi f(x) untuk setiap Δx berubah secara kontinu mengikuti

persamaan : ( ) . Sehingga luas keseluruhan persegi panjangnya dinyatakan

sebagai :

∑ ( )

∑( )

Jika kita membuat Δx mendekati 0, maka penulisan

1lim

nox

berubah menjadi ∫ dan Δx

berubah menjadi dx. Sehingga selengkapnya ditulis menjadi :

28


∫ ( ) ∫( )

Fungsi f(x) pada contoh di atas adalah fungsi satu variable bebas, yaitu : variable x. Jika

fungsi yang diintegralkan adalah fungsi satu variable bebas maka hasilnya adalah

merupakan luasan (A) yang dibatasi oleh fungsi tersebut dengan sumbu-x. Maka untuk

mencari suatu luasan yang berada di bawah kurva suatu fungsi dapat dilakukan dengan

cara integral.s

Misalkan kurva y = f(x) kontinu dalam interval a < x < b. Luas daerah yang dibatasi

oleh kurva y = f(x), sumbu x, dan garis-garis x = a dan x = b, dapat ditentukan dengan

menggunakan proses limit sebagai berikut :

1. Mula-mula interval [a,b] dibagi menjadi n buah sub-interval (panjang tiap sub interval

tidak perlu sama) dengan cara menyisipkan (n-1) buah titik. Misalkan titik-titik itu

adalah 132,1 ..., n Ditetapkan pula bahwa 0a dan nb , sehingg

ba n ...310 Dengan demikian, panjang setiap sub-0 1 2 ninterval adalah

11122011 .....,,............,,........., nnniii xxxx . Dalam setiap

sub-interval 1 iiix , kita tentukan titik dengan absis ix dan koordinatnya )( ixf

. Kemudian dibuat persegi panjang - persegi panjang dengan lebar ix dan tinggi )( ixf

, seperti diperlihatkan pada gambar dibawah ini. Perhatikan bahwa banyaknya persegi

panjang yang dibuat dengan cara seperti itu ada n buah, dan luas masing-masing

persegi panjang itu adalah:

29


2. Luas daerah L didekati dengan jumlah semua luas persegi panjang tadi,

Jadi, nn xxfxxfxxfxxfL )(.....)()()( 332211

Dengan menggunakan notasi sigma bagian ruas kanan dari bentuk di atas dapat

dituliskan menjadi :

i

n

i

i xxfL

)(1

Untuk menunjukkan bahwa penjumlahan tersebut mencakup ujung-ujung interval a

dan b, maka hubungan di atas dapat ditulis sebagai berikut :

xxfLbx

ax

)(

Bentuk penjumlahan i

n

i

i xxfL

)(1

disebut sebagai jumlah Reimann.

3. Luas daerah L yang sebenarnya diperoleh dengan mengambil nilai n yang

Cukup besar )6( n . Ini berarti baha nilai x menjadi kecil sekali )60( x . Dengan

demikian, luas daerah L ditentukan dengan :

i

n

i

in

xxfL

)(1

lim atau xxfLbx

axx

)(lim60

Untuk menyederhanakan cara penulisan, bentuk-bentuk limit di atas dapat dituliskan

menjadi :

b

a

bx

axxi

n

i

in

dxxfxxfxxf )()()( limlim601

Jadi, luas daerah L ditentukan oleh rumus :

b

a

dxxfL )(

30


Menentukan Luas Daerah Antara Dua Kurva Misalkan dua kurva masing-masing dengan persamaan y = f(x) dan y = g(x),

merupakan kurva-kurva yang kontinu dan f(x) > g(x) dalam interval a < x < b. Daerah yang

dibatasi oleh kurva y = f(x), kurva y = g(x), garis x = a dan garis x = b diperlihatkan pada

gambar di bawah. Kita dapat menentukan luas daerah yang

diarsir (ABCD) dengan cara sebagai berikut :

Luas ABCD = Luas EFCD – Luas EFBA

=

b

a

b

a

dxxgdxxf )()(

= dxxgxf

b

a

)()(

Jadi, luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x) dan y = g(x), garis x = a dan garis x = b,

ditentukan dengan rumus :

dxxgxfL

b

a

)()(

Dengan catatan bahwa f(x) > g(x) dalam interval a < x < b

kalkulus integral 2013 - ebook.repo.mercubuana...

Documents