kalkulus i

Download KALKULUS I

Post on 15-Jan-2016

134 views

Category:

Documents

7 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

KALKULUS I. FUNGSI. Fungsi. - PowerPoint PPT Presentation

TRANSCRIPT

Fungsi Dan Limit

KALKULUS IFUNGSI1FungsiFungsi dalam kehidupan sehari hari berarti guna/manfaat. Tetapi dalam matematika fungsi sebagaimana dikatakan oleh Leibniz (1646 1716) adalah suatu hubungan atau kaitan yang khas antara dua himpunan. Atau dengan kata lain relasi antara dua himpunan.Suatu fungsi dapat dibayang sebagai suatu mesin yang digambarkan:

Ia memproses bilangan (masukan) sehingga diperoleh suatu hasil (keluaran). Setiap bilangan yang masuk akan memperoleh satu keluaran, tapi terkadang ada bilangan yang masuk berbeda menghasilkan keluaran yang sama.

X(masukan)Fungsi fY (keluaran)2Cont.Untuk mendefinisikan suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B diperlukan:Suatu himpunan ASuatu himpunan BAturan bahwa

3ContFungsi f adalah suatu aturan padanan yang memetakan setiap objek x dan satu himpunan dengan satu nilai f(x) dari himpunan ke dua.Himpunan yang pertama disebut daerah asal (domain)Himpunan yang kedua disebut daerah hasil (range)

****+++

XY4Cont.Fungsi tidak membolehkan objek dalam daerah asal dipasangkan lebih dari satu pada daerah hasil.****+++

XY****+++

XYBukan fungsi5Jenis fungsiFungsi injektifFungsi f:A B dikatakan fungsi satu satu atau fungsi injektif jika dan hanya jika a a sehingga f(a) f(a)***

+++++

XY6Cont..Fungsi surjektifFungsi f:A B dikatakan fungsi kepada atau surjektif jika dan hanya jika dalam satu kodomain b terdapat paling sedikit satu domain a, f(a) = b

****+++

XY7ContFungsi BijektifFungsi f:A B dikatakan bijektif jika dan hanya jika untuk satu b kodomain terdapat satu a domain, dan tidak ada anggota A yang tidak terpetakan di B.***

+++

XY8Notasi FungsiUntuk memberi nama suatu fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti f (atau g atau F).Maka f(x), yang dibaca f dari x atau f pada x, menunjukkan nilai yang diberikan oleh f kepada x.Contoh 1:Untuk f(x) = x2 2x, cari dan sederhanakan:f(4)f(4 + h)f(4 + h) f(4)[f(4 + h) f(4)]/h9Penyelesaian f(4) = 42 2 . 4 = 8f(4 + h) = (4+h)2 2(4+h) = 8 + 6h + h2f(4 + h) f(4) = 6h + h2[f(4 + h) f(4)]/h = 6 + hContoh 2:Untuk g(x) = 1/x, cari dan sederhanakan:g(5)g(5 + h)g(a + h)[g(a + h) g(a)]/h 10Operasi Dalam FungsiPenjumlahan : (f+g)(x) = f(x) + g(x)Pengurangan : (f-g)(x) = f(x) g(x)Perkalian : (f.g)(x) = f(x) . g(x)Pembagian : (f/g)(x) = f(x) / g(x)Contoh :F(x) = 4 + x dan g(x) = 16 xhitung penjumlahan pengurangan, dan perkalian fungsi diatas?11DAERAH ASAL DAN DAERAH HASILDaerah asal adalah himpunan elemen-elemen pada mana fungsi itu mendapat nilai. Daerah hasil adalah himpunan nilai-nilai yang diperoleh secara demikian. Misalnya, jika F adalah fungsi dengan aturan F (X) = x2 + 1 jika daerah asal dirinci dengan {-1, 0, 1, 2, 3}, maka daerah hasilnya adalah {1, 2, 5, 10}. 105213210-1Daerah asalDaerah HasilF (x) =x2 + 112ContBilamana untuk sebuah fungsi daerah asalnya tidak dirinci, kita selalu menganggap bahwa daerah asalnya adalah himpunan bilangan riil yang terbesar sehingga aturan fungsi ada maknanya dan memberikan nilai bilangan riil. Ini disebut daerah asal mula (domain natural).CONTOH 3. Cari daerah asal mula (natural) untuk: f(x) = l/(x - 3);PenyelesaianDaerah asal mula untuk f adalah {xR: x3 } . Ini dibaca "himpunan x dalam R (bilangan riil) sedemikian sehingga x tidak sama dengan 3". Kita kecualikan 3 untuk menghindari pembagian oleh 0.13ContJika aturan untuk suatu fungsi diberikan oleh sebuah persamaan berbentuk y = f(x) (misalnya, y = x3 + 3x - 6), x seringkali disebut variabel bebas dan y variabel tak bebas. Sebarang elemen dari daerah asal boleh dipilih sebagai nilai dari variabel bebas x, tetapi pilihan itu secara tuntas menentukan nilai padanan dari variabel tak bebas. Jadi, nilai y tergantung dari pilihan nilai x.14Grafik fungsiBilamana daerah asal dan daerah hasil sebuah fungsi merupakan bilangan riil, kita dapat membayangkan fungsi itu dengan menggambarkan grafiknya pada suatu bidang koordinat. Dan grafik fungsi dari persamaan= f(x)CONTOH 4. Buatlah sketsa grafik dari:(a) f(x) =x2-2; (b) g(x) =x3 2x; (c) h (x) = 2/(x 1)Penyelesaian Kita gunakan daerah asal mula (domain natural). Dalam kasus f dan g, ini berupa himpunan semua bilangan riil R; untuk h, ini adalah semua R kecuali 1. Dengan membuat sebuah tabel nilai, rajah titik-titik yang berpadanan, hubungkan titik-titik ini dengan sebuah kurva mulus, kita peroleh tiga grafik yang diperlihatkan dalam:15Perhatikan grafik dari h secara lebih saksama; grafik ini menunjukkan suatu penyederhanaan berlebihan yang kita buat dan sekarang perlu diperbaiki. Pada waktu meng-hubungkan titik-titik yang dirajah dengan sebuah kurva mulus jangan melakukannya secara mekanis sehingga mengabaikan keistimewaan yang mungkin jelas kelihatan dari rumus fungsi tersebut. Dalam kasus h(x) = 2/(x - 1) jelas bahwa sesuatu yang dramatis harus terjadi bilamana x mendekati 1. Nyatanya, nilai-nilai |h(x)| membesar tanpa batas (misalnya, A(0,99) = -200 dan h(l,001) = 2000). Kita telah menunjukkan ini dengan menarik sebuah garis tegak putus-putus yang disebut asimtot, pada x = 1. Bila x mendekati 1, grafik semakin mendekati garis ini, walaupun garis ini sendiri bukan merupakan bagian dari grafik, melainkan lebih merupakan suatu garis petunjuk. Perhatikan bahwa grafik dari h juga mempunyai sebuah asimtot mendatar, yakni sumbu x.

16Tugas 1. Untuk f(x) = 1 x2 , hitunglah:a. f(1) = 1-1=0b. f(-2) = 1-4=-3c. f(k) = 1-k2d. f(2x) = 1-4x2e. f(0) = 12. Untuk F(t) = 4t3, cari dan sederhanakan [F(a+h) F(a)]/h3. Buatlah sketsa grafik grafik dari :a. f(x) = x2 1b. g(x) = x3 x

17FUNGSI GENAP DAN GANJIL Seringkali kita memperkirakan kesimetrian grafik suatu fungsi dengan memeriksa rumus fungsi tersebut. Jika f (-x) = f (x), maka grafik simetri terhadap sumbu y. Fungsi yang demikian disebut fungsi genap, barangkali karena fungsi yang merinci f(x) sebagai jumlah dari pangkat-pangkat genap x adalah genap. Fungsi f(x)=x2-2 adalah genap; demikian juga f (x) = 3x6- 2x4 + 11x25, f(x)= x2 /(1+x4) dan f(x) = (x3-2x)/3x18Jika f(-x) = - f(x), grafik simetri terhadap titik asal. Kita sebut fungsi yang demikian fungsi ganjil. Fungsi yang memberikan f(x) sebagai jumlah dari pangkat-pangkat ganjil x adalah ganjil. Jadi, g(x) = x3 -2x (digrafikkan dalam Gambar 5) adalah ganjil. Perhatikan bahwa g(-x) = (-x)3 - 2(-x) = -x3 + 2x = -(x3 - 2x) = -g(x)19ContCONTOH apakah fungsi genap, ganjil, atau bukan keduanya?Penyelesaian: Karena

f adalah fungsi ganjil

20Operasi pada FungsiFungsi bukanlah bilangan. Tetapi seperti halnya dua bilangan a dan b dapat ditambahkan untuk menghasilkan sebuah bilangan baru a + b, demikian juga dua fungsi f dan g dapat ditambahkan untuk menghasilkan sebuah fungsi baru f + g. Ini baru salah satu dari beberapa operasi pada fungsi yang akan dijelaskan21JUMLAH, SELISIH, HASIL KALI, HASIL BAGI, PANGKAT. Pandanglah fungsi-fungsi f dan g dengan rumus-rumus

Kita dapat membuat sebuah fungsi baru f + g dengan cara membenkan pada x nilai (x 3)/2 + yakni, (f +g) (x) = f (x) + g (x) =

22ContDaerah asal fDaerah asal g Tentu saja kita harus sedikit hati-hati mengenai daerah asal. Jelas x harus berupa sebuah bilang-an pada mana f maupun g berlaku. Dengan lain perkataan, daerah asal f + g adalah irisan (bagian irisan/bagian bersama) dari daerah asal f dan g.

Daerah asalf + g23Fungsi-fungsi f g, f . g dan f/g diperkenalkan dengan cara yang analog. RUMUS

24Kita harus mengecualikan 0 dan daerah asal f/g untuk menghindari pembagian oleh 0. Kita juga boleh memangkatkan suatu fungsi. Dengan fn, kita maksudkan fungsi yang memberikan nilai [f(x)]n pada x. Jadi:

25ContCONTOH 1. Andaikan F(x) = dan G(x) = dengan masing-masing daerah asal natural [-1, ) dan [-3,3]. Can rumus. untuk F + G, F - G.F/G, dan F5 berikan daerah asal naturalnya.

RUMUS

26KOMPOSISI FUNGSISebelunmya, anda diminta untuk membayangkan sebuah fungsi Sekarang anda diminta memikirkan fungsi f sebagai sebuah mesin. Fungsi ini menerima x sebagai masukan, bekerja pada x, dan menghasilkan f(x) sebagai keluaran. Dua mesin seringkali dapat diletakkan berdampingan untuk membuat sebuah mesin yang lebih rumit; demikian juga halnya dengan dua fungsi f dan g. Jika f bekerja pada x untuk menghasilkan f(x) dan kemudian g bekerja pada f(x) untuk menghasilkan g(f(x)), dikatakan bahwa kita telah menyusun g dengan f .Fungsi yang dihasilkan, disebut komposit g dengan f, dinyatakan oleh g f. Jadi,27

(g o f)(x) = g(f(x))28Ingat kembali contoh kita yang terdahulu, f(x) = (x - 3)/2 dan g(x) = x . Kita dapat menyusunnya dalam dua cara,

Segera kita perhatikan satu hal: Susunan (komposisi) fungsi tidak komutatif; g of dan f o g umumnya berlainan.

29ContCONTOH Andaikan f(x) = 6x/(x2- 9) dan g(x)= 3x . Pertama, cari (f og) (12) ;kemudian cari (f o g)(x)Penyelesaian

30Dalam kalkulus, kita akan seringkali perlu mengambil suatu fungsi yang diketahui dan mendekomposisinya yaitu, memecahnya menjadi potongan-potongan komposit. Biasanya ini dapat dilakukan dalam beberapa cara. Misalnya, ambil p(x) = . Kita dapat memikirkannya sebagaiP (x) = g(f(x)) dengan g(x) = dan f (x) = x2 + 4Atau sebagaiP (x) = g (f(x)) dengan g(x) = dan f (x) = x2

31Contoh:Tuliskan fungsi p(x) = (x + 2)5 sebagai sebuah fungsi komposit g o f Penyelesaian. Cara yang paling mudah untuk melakukannya adalah menuliskan P(x) =g(f(x)) dengan g(x) = x5 dan f(x) = x + 2

32Tugas Untuk f(x) = x/(x-1) dan g(x) = 1+x2, carilah:(f + g)(2)(f . g)(0)(g/f)(3)(fog)(0)(gof)(0)Untuk f(x) = x2+x dan g(x) = 2/(x+3), carilah:(f - g)(2)(f /g)(1)g2(3)(fog)(1)(gof)(1)

33

Recommended

View more >