TEKNIK INFORMATIKA

MATERI KALKULUS 3

DOSEN : CHATARINA FERBRIYANTI, M. Pd

GUSTIFANI DIMAPUTRIE

201343500870

R 3 H

2

DAFTAR ISI

Daftar Isi....................................................................................................................... 2 1. Bilangan Kompleks.......................................................................... 3

1.1. Pengertian Bilangan Kompleks................................................. 3 1.2. Bidang Kompleks.. ....................................................................... 4

1.3. Operasi Aljabar.......................................................................................... 4 1.4. Modulus dan Bilangan Kompleks Sekawan ............................. 5 1.5. Bentuk Kutub.. 6 1.6. Bentuk Akar.... 7

2. Barisan Bilangan dan Deret 8 2.1. Barisan Bilangan. 8 2.2. Deret Bilangan 9 2.3. Barisan dan Deret Aritmatika. 9

2.3.1. Barisan Aritmatika... 9 2.3.2. Deret Aritmatika.. 10

2.4. Barisan dan Deret Geometri 11 2.4.1. Barisan Geometri. 11 2.4.2. Deret Geometri. 12

3. Notasi Sigma.. 13 3.1. Pengertian Notasi Sigma. 13

3.2.Menentukan Nilai Penjumlahan yang Dinyatakan dengan Notasi Sigma.. 14 3.3. Sifat Sifat Notasi Sigma. 14

4. Deret Kompleks............................................................................................ ... 15 4.1. Barisan dan Deret Bilangan Kompleks... 15

4.1.1. Barisan Bilangan Kompleks. 15 4.1.2. Deret Bilangan Kompleks 16

4.2. Deret Pangkat. 17 4.3. Deret Taylor dan MacLaurin... 18 4.4. Deret Laurent.. 19

5. Persamaan Differensial.. 19 5.1. Pengertian Persamaan Diferensial.. 19 5.2. Persamaan Differensial Terpisah Dan Mudah Dipisah.......................... .... 21 5.3. Persamaan Differensial Homogen.. 21 5.4. Persamaan Differensial Eksak. 22

6. Contoh Contoh Soal. 24 6.1. Sistem Bilangan Kompleks.. 24

6.1.1. Bentuk Akar.. 24 6.1.2. Bentuk Kutub... 24 6.1.3. Bilangan Kompleks Sekawan 25 6.1.4. Bilangan Kompleks 25

6.2. Deret Taylor dan Mc.Laurin. 25 6.3. Persamaan Differensial. 27

6.3.1. Persamaan Differensial Eksak................................................ ..... 27 6.3.2. Persamaan Differensial Homogen........................................... ..... 28 6.3.3. Persamaan Differensial yang Dipisah. 29

6.4. Barisan Dan Deret. 29 6.5. Deret Aritmatika 29

6.6. Barisan Geometri 30 6.7. Deret Geometri 30

DAFTAR PUSTAKA................................................................................................ 31

http://perpustakaancyber.blogspot.com/2013/05/contoh-soal-barisan-dan-deret-pengertian-rumus.html

3

1.BILANGAN KOMPLEKS Sistem bilangan yang sudah dikenal sebelumnya yaitu sistem bilangan real, tetapi sistem

bilangan real ternyata masih belum cukup untuk menyelesaikan semua bentuk persamaan. Oleh karena

itu, perlu suatu jenis bilangan baru yang disebut bilangan kompleks. Pengertian bilangan kompleks,

bidang kompleks dan sifat aljabar bilangan kompleks yang akan menguraikan :

Definisi bilangan kompleks.

Sifat aljabar dan tafsiran geometri bilangan kompleks.

Bilangan kompleks dalam bentuk kutub, eksponen, pangkat dan akar.

1.1. Pengertian Bilangan Kompleks Mengapa perlu bilangan kompleks ?

012 =x mempunyai penyelesaian dengan x .

012 =+x 12 =x tidak mempunyai penyelesaian jika x .

Sehingga perlu mengidentifikasi suatu bilangan sehingga 012 =+x mempunyai penyelesaian.

Selanjutnya perlu dikembangkan suatu sistem bilangan yaitu bilangan kompleks.

Definisi Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks z : merupakan pasangan berurut ( )yx, dengan yx , . Ditulis : ( )yxz ,= . merupakan bilangan yang berbentuk iyx + dengan yx ,

dan ( ) 11,0 ==i . Ditulis : iyxz += .

Jika ( ) iyxyxz +== , maka

( )zx Re= = bagian riil z,

( )zy Im= = bagian imajiner z,

i = satuan imajiner dan 12 =i .

Ada beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam bilangan kompleks yaitu

1. C = himpunan bilangan kompleks

= { }1&,, 2 =+= iyxiyxzz . 2. Jika ( ) 0Re =z dan ( ) 0Im z maka z dinamakan bilangan imajiner murni.

3. Jika ( ) 0Re z dan ( ) 0Im =z maka z merupakan bilangan riil. 4. Kesamaan bilangan kompleks.

Misalkan 111 iyxz += dan 222 iyxz += .

21 zz = jika dan hanya jika 21 xx = dan 21 yy = .

4

1.2. Bidang Kompleks Bilangan kompleks merupakan pasangan berurut ( )yx, , sehingga secara geometri dapat disajikan

sebagai titik ( )yx, pada bidang kompleks (bidang xy), dengan sumbu x (sumbu riil) dan sumbu y

(sumbu imajinair). Selain itu, bilangan kompleks ( )yxiyxz ,=+= juga dapat disajikan sebagai vektor dalam bidang kompleks dengan titik pangkal pada titik asal dan ujung vektor merupakan titik ( )yx, .

y (sumbu imajinair)

iyxyxz +== ),( O x (sumbu riil) Gambar 1. Bidang kompleks

1.3. Operasi Aljabar Operasi aljabar pada bilangan kompleks sesuai dengan operasi aljabar pada bilangan riil.

Operasi Aljabar pada bilangan kompleks

Misalkan 111 iyxz += dan 222 iyxz += . a. Penjumlahan : ( ) ( )212121 yyixxzz +++=+ b. Pengurangan : ( ) ( )212121 yyixxzz += c. Perkalian :

( ) ( )( ) ( )12212121

221121

yxyxiyyxxiyxiyxzz

++=++=

d. Pembagian :

0, 222

22

21122

22

2

2121121

2

1 +

+++

== zyx

yxyxiyx

yyxxzzzz

Perlu diperhatikan :

1. z ( negatif z ). Jika iyxz += maka iyxz = .

2. z

z 11 = ( kebalikan z )

Jika iyxz += maka 22221

yxyi

yxxz

+

+= .

Sifat Operasi Aljabar

a. Hukum komutatif

1221 zzzz +=+

1221 zzzz =

b. Hukum asosiatif

( ) ( )321321 zzzzzz ++=++ ( ) ( )321321 zzzzzz =

c. Hukum distributif

( ) 3121321 zzzzzzz +=+ d. Elemen netral dalam penjumlahan ( i000 += )

zzz =+=+ 00

e. Elemen netral dalam perkalian ( i011 += )

zzz == .11.

5

1.4. Modulus dan Bilangan Kompleks Sekawan Penyajian bilangan kompleks sebagai vektor dapat digunakan untuk mengembangkan konsep nilai

mutlak bilangan riil pada bilangan kompleks.

Definisi modulus (nilai mutlak)

Modulus (nilai mutlak) iyxz += didefinisikan sebagai bilangan

riil non negatif 22 yx + dan ditulis sebagai

Modulus z = z = 22 yx + .

Secara geometri, z menyatakan jarak antara titik ( )yx, dan titik asal.

Misalkan 111 iyxz += dan 222 iyxz += . Jarak antara 1z dan 2z didefinisikan dengan

( ) ( )22122121 yyxxzz += .

Selanjutnya, persamaan Rzz = 0 menyatakan bilangan kompleks z yang bersesuaian dengan titik-

titik pada lingkaran dengan pusat 0z dan jari-jari R.

Secara geometri, bilangan kompleks sekawan iyxz = dinyatakan dengan titik ( )yx , dan merupakan pencerminan titik ( )yx, terhadap sumbu riil. Sifat Modulus dan Bilangan Kompleks Sekawan

a. 2121 zzzz =

b. ( ) ( ) zzz ReRe

c. ( ) ( ) zzz ImIm

d. 2

1

2

1

zz

zz

=

e. zz =

f. zz =

g. 2121 zzzz +=+

h. 2121 zzzz =

i. 2121 zzzz =

j. 2

1

2

1

zz

zz

=

k. ( )2

Re zzz += , ( )izzz

2Im =

l. 2zzz =

m. Pertidaksamaan Segitiga : 2121 zzzz ++

n. 2121 zzzz +

o. 2121 zzzz

p. nn zzzzzz ++++++ LL 2121 .

Definisi bilangan kompleks sekawan

Bilangan kompleks sekawan dari iyxz += didefinisikan

sebagai bilangan kompleks iyxz = .

6

1.5. Bentuk Kutub Bentuk kutub bilangan kompleks

Bilangan kompleks iyxz += dapat disajikan dalam koordinat kutub ( ),r . Misalkan cosrx = dan sinry = maka iyxz += dapat dinyatakan dalam bentuk kutub

( )

cisrirrirz

=+=+= sincossincos

dengan

r = modulus (nilai mutlak) z = z = 22 yx + . = argumen dari z = zarg

= 0, xxytgarc .

y z = x+ iy r x

Nilai argumen dari z (arg z) tidak tunggal tetapi merupakan kelipatan 2 (sesuai dengan kuadran

dimana titik z berada). Sedangkan, nilai utama (principal value) dari zarg ditulis zArg dengan

7

1.6. Bentuk Akar Bentuk akar

Misalkan cisrz = , akar pangkat n dari bilangan kompleks z ditulis nz1

atau n z . Jika diberikan bilangan kompleks 0z dan n bilangan bulat

positif, maka diperoleh n buah akar untuk nz1

yaitu

++

+=

nki

nkn rkz

2sin2cos , )1(,,2,1,0 = nk K .

Secara geometri, n buah akar tersebut merupakan titik-titik sudut segi n

beraturan pada suatu lingkaran dengan pusat titik O dan jari-jari n r .

Ringkasan

Bilangan kompleks iyxz += mempunyai bentuk kutub cisrz = , dan bentuk eksponen ierz = ,

dengan zarg= .

Bentuk eksponen

Bentuk eksponen bilangan kompleks iyxz += yaitu

ierz =

dengan sincos iie += dinamakan rumus Euler.

Operasi aljabar bentuk eksponen

Misalkan 111ierz = dan 222

ierz = .

a. Perkalian

)( 2121212121 +== ierrieierrzz

b. Pembagian

)( 212

1

2

1 = ierr

zz

c. Invers sebarang bilangan kompleks ierz = yaitu

ierz

z == 111

Bentuk pangkat

Misalkan ierz = , maka menggunakan aturan pangkat seperti pada bilangan

riil diperoleh

nienrniernz == )( , K,2,1,0 =n

Rumus Moivre

Jika 1=r , maka bentuk pangkat di atas menjadi nienienz == )( , atau

nienie =)( , K,2,1,0 =n . Selanjutnya dapat ditulis dalam bentuk

ninni sincos)sin(cos +=+ yang disebut Rumus Moivre .

8

2. Barisan Bilangan dan Deret Kalian tentu pernah berpikir tentang nomor rumah di sisi kiri jalan yang bernomor ganjil 1, 3, 5, 7, dan seterusnya, sedangkan nomor rumah di sisi kanan jalan bernomor genap 2, 4, 6, 8, dan seterusnya. Mungkin juga kalian pernah berpikir dari mana para pakar menyatakan bahwa 10 tahun ke depan penduduk Indonesia akan menjadi x juta jiwa. Dua contoh di atas berkaitan dengan barisan dan deret dari suatu bilangan.

2.1. Barisan Bilangan Misalkan seorang anak diberi uang saku orang tuanya setiap minggu Rp10.000,00. Jika setiap minggu uang sakunya bertambah Rp500,00 maka dapat dituliskan uang saku dari minggu ke minggu berikutnya adalah Rp10.000,00, Rp10.500,00, Rp11.000,00, Rp11.500,00, .... Susunan bilangan-bilangan yang sesuai dengan contoh di atas adalah :

Perhatikan bahwa dari bilangan-bilangan yang disusun berbentuk 10.000, 10.500, 11.000, 11.500, ... mempunyai keteraturan dari urutan pertama, kedua, ketiga, keempat, dan seterusnya, yaitu bilangan berikutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah 500. Bilangan-bilangan yang disusun urut dengan aturan tertentu seperti itulah dikenal dengan nama barisan bilangan. Secara matematis, barisan bilangan merupakan nilai fungsi dengan daerah definisinya adalah bilangan asli. Misalkan barisan bilangan ditulis lambang U untuk menyatakan urutan suku-sukunya maka bilangan pertama ditulis U(1) atau U1, bilangan kedua ditulis U(2) atau U2, dan seterusnya. Jika kita buat korespondensi, akan terlihat seperti berikut.

Jadi, bentuk umum barisan bilangan adalah U1, U2, U3, ..., Un, ... Dalam hal ini, Un = f(n) disebut rumus umum suku ke-n dari barisan bilangan. Contoh Soal Barisan Bilangan 1 : Diketahui barisan bilangan dengan suku ke-n berbentuk Un = n2 2n. Tuliskan 5 suku pertama dari barisan tersebut. Pembahasan : Rumus suku ke-n adalah Un = n2 2n. Suku pertama dapat dicari dengan menyubstitusikan n = 1 dan diperoleh U1 = 12 2(1) = 1. Suku kedua dicari dengan mensubstitusikan n = 2 dan diperoleh U2 = 22 2(2) = 0. Dengan cara yang sama, diperoleh sebagai berikut. Suku ketiga = U3 = 32 2(3) = 3. Suku keempat = U4 = 42 2(4) = 8. Suku kelima = U5 = 52 2(5) = 15. Jadi, lima suku pertama dari barisan itu adalah 1, 0, 3, 8, 15. Misalkan diberikan suatu barisan bilangan dengan suku ke-n dari barisan bilangan tersebut tidak diketahui. Dapatkah kita menentukan rumus suku ke-n? Hal ini tidak selalu dapat ditentukan, tetapi pada beberapa barisan kita dapat melakukannya dengan memperhatikan pola suku-suku barisan tersebut.

9

2.2. Deret Bilangan

Misalkan kita mempunyai barisan bilangan U1, U2, U3, ..., Un dan Sn adalah jumlah dari suku-suku barisan itu. Sn = Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un disebut deret. Jadi, deret adalah jumlahan suku-suku dari suatu barisan.

2.3. Barisan dan Deret Aritmatika

2.3.1. Barisan Aritmatika

Indah menyisihkan sebagaian uang yang dimilikinya untuk disimpan. Pada bulan ke-1, ia menyimpan Rp 20.000,00. Bulan berikutnya ia selalu menaikkan simpanannya Rp 500,00 lebih besar dari bulan sebelumnya. Bear simpanan (dalam rupiah) Indah dari pertama dan seterusnya dapat ditulis sebagai berikut. Bulan Ke-1 Bulan Ke-2 Bulan Ke-3 Bulan Ke-4 ... 20.000 20.500 21.000 21.500 ... Jika kalian amati, selisih suku barisan ke suku berikutnya selalu tetap, yaitu 500. Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan yang selisih setiap dua suku berturutan selalu merupakan bilangan tetap (konstan). Bilangan yang tetap tersebut disebut beda dan dilambangkan dengan b. Perhatikan juga barisan-barisan bilangan berikut ini. a. 1, 4, 7, 10, 13, ... b. 2, 8, 14, 20, ... c. 30, 25, 20, 15, ... Barisan-barisan tersebut merupakan contoh dari barisan aritmatika. Mari kita tinjau satu per satu. a. Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 3. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 3 atau b = 3.

b. Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 6. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 6 atau b = 6.

c. Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 5. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 5 atau b = 5. Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut. Jika Un adalah suku ke-n dari suatu barisan aritmetika maka berlaku b = Un Un-1.

http://perpustakaancyber.blogspot.com/2013/05/contoh-soal-barisan-dan-deret-pengertian-rumus.html

10

Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika dengan suku pertama (U1) dilambangkan dengan a dan beda dengan b dapat ditentukan seperti berikut. U1 = a U2 = U1 + b = a + b U3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2b U4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b U5 = U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b . . n = Un1 + b = a + (n 1)b Jadi, rumus suku ke-n dari barisan aritmatika adalah : Un = a + (n 1)b Keterangan: Un = suku ke-n a = suku pertama b = beda n = banyak suku

2.3.2. Deret Aritmatika

Dari sembarang barisan aritmetika, misalnya 2, 5, 8, 11, 14, ... dapat dibentuk suatu deret yang merupakan penjumlahan berurut dari suku-suku barisan tersebut, yaitu 2 + 5 + 8 + 11 + .... Terlihat bahwa barisan aritmetika dapat dibentuk menjadi deret aritmetika dengan cara menjumlahkan suku-suku barisan aritmetika sehingga dapat didefinisikan secara umum. Misalkan U1, U2, U3, ..., Un merupakan suku-suku dari suatu barisan aritmetika. U1 + U2 + U3 + ... + Un disebut deret aritmetika, dengan : Un = a + (n 1)b. Seperti telah kalian ketahui, deret aritmetika adalah jumlah n suku pertama barisan aritmetika. Jumlah n suku pertama dari suatu barisan bilangan dinotasikan Sn. Dengan demikian, Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un. Untuk memahami langkah-langkah menentukan rumus Sn, perhatikan contoh berikut. Contoh Soal Deret Aritmatika 6 : Diketahui suatu barisan aritmetika 2, 5, 8, 11, 14. Tentukan jumlah kelima suku barisan tersebut. Pembahasan : Jumlah kelima suku 2, 5, 8, 11, 14 dapat dituliskan sebagai berikut.

S5 = 2 + 5 + 8 + 11 + 14 S5 = 14 + 11 + 8 + 5 + 2 + 2S5 = 16 + 16 + 16 + 16 + 16

2S5 = 5 x 16 S5 = 5 x 16 = 40

2

Jadi, jumlah kelima suku barisan tersebut adalah 40.

11

Setelah kalian amati contoh di atas, kita dapat menentukan rumus umum untuk Sn sebagai berikut. Diketahui rumus umum suku ke-n dari barisan aritmetika adalah Un = a + (n 1)b. Oleh karena itu, U1 = a = a U2 = a + b = Un (n 2)b U3 = a + 2b = Un (n 3)b . . . . . . . . . Un = a + (n 1)b = Un Dengan demikian, diperoleh : Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + ... + (a + (n 1)b) = a + (Un (n 2) b) + (Un (n 3) b) + ... + Un............ (1) Dapat pula dinyatakan bahwa besar setiap suku adalah b kurang dari suku berikutnya. Un1 = Un b Un2 = Un1 b = Un 2b Un3 = Un2 b = Un 3b Demikian seterusnya sehingga Sn dapat dituliskan Sn = a + (Un (n 1)b) + + (Un 2b) + (Un b) + Un ...... (2) Dari persamaan 1 dan 2 jika kita jumlahkan, diperoleh :

Dengan demikian, 2Sn = n(a + Un) Sn = n(a + Un) Sn = n(a + (a + (n 1)b)) Sn = n(2a + (n 1)b) Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah : Sn = n(a + Un) atau Sn = n [2a + (n 1)b] Keterangan: Sn= jumlah n suku pertama a = suku pertama b = beda Un = suku ke-n n = banyak suku

2.4. Barisan dan Deret Geometri

2.4.1. Barisan Geometri

Coba kalian amati barisan 1, 2, 4, 8, 16, 32, .... Terlihat, suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan 2 pada suku sebelumnya. Barisan ini termasuk barisan geometri. Jadi, secara umum, barisan geometri adalah suatu barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya

http://4.bp.blogspot.com/-c796wndxJaU/UZiAqONjipI/AAAAAAAATRs/lFxhI2yCRXQ/s1600/persamaan-jumlah-n-suku-pertama-barisan-aritmatika-1952013.jpg

12

dikalikan dengan suatu bilangan tetap (konstan). Bilangan yang tetap tersebut dinamakan rasio (pembanding) dan dinotasikan dengan r. Perhatikan contoh barisan-barisan berikut. a. 3, 6, 12, 24, ... b. 2, 1, , 1/4, ... c. 2, 4, 8, 16, ... Barisan di atas merupakan contoh barisan geometri. Untuk barisan di atas berturut-turut dapat dihitung rasionya sebagai berikut.

a. = ..... = 2. Jadi, r = 2.

b. = .... Jadi, r =

c. = 2. Jadi, r = 2. Dengan demikian, dapat disimpulkan jika U1, U2, ... Un barisan geometri dengan Un adalah rumus ke-n, berlaku :

Rumus umum suku ke-n barisan geometri dengan suku pertama (U1) dinyatakan a dan rasio r, dapat diturunkan sebagai berikut. U1 = a U2 = U1 r = ar U3 = U2 r = ar2 U4 = U3 r = ar3 . . . . . . Un = Un1 r = arn2 r = arn1 Dengan demikian, diperoleh barisan geometri a, ar, ar2, ..., arn1, ... Jadi, rumus umum suku ke-n (Un) barisan geometri adalah : Un = a.rn1 Keterangan: a = suku pertama r = rasio n = banyak suku

2.4.2. Deret Geometri

Jika U1, U2, U3, ... Un merupakan barisan geometri maka U1 + U2 + U3 + ... + Un adalah deret geometri dengan Un = arn1. Rumus umum untuk menentukan jumlah n suku pertama dari deret geometri dapat diturunkan sebagai berikut. Misalkan Sn notasi dari jumlah n suku pertama. Sn = U1 + U2 + ... + Un Sn = a + ar + ... + arn2 + arn1 .............................................. (1) Jika kedua ruas dikalikan r, diperoleh : rSn = ar + ar2 + ar3 + ... + arn1 + arn ................................... (2) Dari selisih persamaan (1) dan (2), diperoleh :

13

rSn = ar + ar2 + ar3 + ... + arn1 + arn Sn = a + ar + ar2 + ar3 + ... + arn1 - rSn - Sn = a + arn (r1)Sn =a(rn-1)

Sn = Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama dari deret geometri adalah sebagai berikut.

Sn = , untuk r > 1 Dan Sn = , untuk r < 1

Keterangan: Sn = jumlah n suku pertama a = suku pertama r = rasio n = banyak suku

3. Notasi Sigma

Salah satu ciri matematika adalah digunakannya lambang untuk mengungkapkan suatu pernyataan secara singkat, jelas, dan konsisten yang jika diungkapkan dengan kalimat biasa cukup panjang. Salah satu lambang yang penting adalah (dibaca: sigma). Lambang ini digunakan untuk menuliskan penjumlahan secara singkat.

3.1. Pengertian Notasi Sigma Perhatikan penjumlahan bilangan-bilangan di bawah ini. 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 50 Jika semua suku-sukunya ditulis, cara penulisan penjumlahan tersebut jelas tidak efektif. Apalagi jika banyak bilangan yang dijumlahkan makin besar. Dengan menggunakan notasi sigma, penulisan 1 + 2 +

3 + 4 + ... + 50 dipersingkat menjadi k (dibaca: sigma k mulai dari k = 1 sampai dengan k = 50). Atau, boleh dibaca sigma k, untuk k = 1 hingga 50. Huruf k digunakan sebagai variabel suku yang akan bergerak mulai 1 dan bertambah 1 sampai mencapai 50. Bilangan 1 disebut batas bawah dan 50 disebut batas atas penjumlahan. Secara umum, notasi sigma dinyatakan sebagai berikut.

Uk = U1 + U2 + ... + Un Keterangan: 1 = batas bawah n = batas atas k = indeks Uk = suku ke-k Batas bawah tidak harus bernilai 1. Jika batas bawah penjumlahan 1 dan batas atasnya n maka penjumlahan terdiri atas n suku, sedangkan jika batas bawahnya r dan batas atasnya n maka penjumlahan terdiri dari (n r + 1) suku. Contoh Soal Notasi Sigma 22 :

Nyatakan dalam bentuk penjumlahan k(k + 1).

14

Pembahasan :

k(k + 1) = 1(1 + 1) + 2(2 + 1) + 3(3 + 1) + 4(4 + 1) + 5(5 + 1) = 1 2 + 2 3 + 3 4 + 4 5 + 5 6 = 2 + 6 + 12 + 20 + 30

3.2. Menentukan Nilai Penjumlahan yang Dinyatakan dengan Notasi Sigma

Nilai penjumlahan yang dinyatakan dengan notasi sigma dapat dicari, antara lain dengan terlebih dahulu menyatakan ke dalam bentuk lengkapnya, kemudian dijumlahkan. Perhatikan contoh-contoh berikut ini. Contoh Soal : Tentukan nilai-nilai notasi sigma berikut.

Jawaban :

= 2(32) + 2(42) + 2(52) + 2(62) = 18 + 32 + 50 + 72 = 172

3.3. Sifat-Sifat Notasi Sigma

Untuk mempermudah perhitungan yang berhubungan dengan notasi sigma, dapat digunakan sifat-sifat yang berlaku pada notasi sigma. Sifat apakah yang berlaku pada notasi sigma? Lakukan Aktivitas berikut. Bukti: Pada kali ini, akan dibuktikan sifat b dan e saja. Sifat b:

Sifat e:

15

4. DERET KOMPLEKS Seperti halnya dalam bilangan riil, dalam bilangan kompleks juga dikenal istilah barisan dan

deret kompleks serta sifat-sifat kekonvergenannya. Hal penting dalam bab ini yaitu setiap fungsi

analitik dapat disajikan dalam deret pangkat (deret Taylor, deret MacLaurin atau deret Laurent).

Sebelumnya, perlu pengertian barisan dan deret bilangan kompleks, deret pangkat, dan jari-jari

kekonvergenanan.

Definisi barisan dan deret pangkat beserta sifat kekonvergenannya.

Fungsi analitik dalam deret Taylor, deret MacLaurin atau deret Laurent.

4.1. Barisan dan Deret Bilangan Kompleks 4.1.1. Barisan Bilangan Kompleks

Definisi Barisan Bilangan Kompleks

Barisan bilangan kompleks :

merupakan fungsi yang memetakan setiap bilangan bulat positif n

dengan suatu bilangan kompleks.

Notasi barisan bilangan kompleks :

nz atau { } { }nn zzzzz ,,,, 321 K= , 1n .

Kekonvergenan Barisan

Barisan nz konvergen jika ada Cz sehingga zznn =lim .

Jika Nn > 0,0 sehingga

16

Bilangan S menyatakan jumlah deret di atas apabila SSnn

=

lim . Jadi deret

=1nnz konvergen ke S

jika dan hanya jika SSnn

=

lim , dan ditulis Szn

n =

=1.

Teorema 5.3

Diberikan deret bilangan kompleks

=1nnz dengan nnn yixz += , nx dan

ny bilangan riil, maka berlaku sifat-sifat berikut :

1.

=1nnz konvergen

=1nnx dan

=1nny konvergen.

2.

=1nnz konvergen 0lim =

n

nz .

3.

=1nnz konvergen terdapat bilangan riil M sehingga

NnMzn , .

4.

=1nnz konvergen

=1nnz konvergen .

Seperti dalam deret bilangan riil, kekonvergenan deret

=1nnz dapat diuji dengan beberapa uji kekonvergenan

berikut.

1.

=1nnz konvergen 0lim = nn z .

0lim nn

z

=1nnz divergen.

2.

=1nnz konvergen

=1nnz konvergen mutlak.

=1nnz konvergen dan

=1nnz divergen

=1nnz konvergen bersyarat.

3.

=1nnz konvergen mutlak

=1nnz konvergen.

4. Uji Banding

nn bz dan

=1nnb konvergen

=1nnz konvergen.

nn za dan

=1nna divergen

=1nnz divergen.

5. Ratio Test

Lz

z

n

n

n=+

1lim

=

>

1, kita gunakan rumus : Sn =

363 =

726 = 3n+1 3

3n+1 = 729 3n+1 = 36 Dengan demikian, diperoleh n + 1 = 6 atau n = 5. Jadi, banyak suku dari deret tersebut adalah 5.

31

Daftar Pustaka

http://perpustakaancyber.blogspot.com/2013/05/contoh-soal-barisan-dan-deret-pengertian-rumus.html http://bambanghgmathunsoed.files.wordpress.com http://mariefh.lecture.ub.ac.id/files/2010/10/bilangan-kompleks.ppt http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_kompleks

http://perpustakaancyber.blogspot.com/2013/05/contoh-soal-barisan-dan-deret-pengertian-rumus.htmlhttp://perpustakaancyber.blogspot.com/2013/05/contoh-soal-barisan-dan-deret-pengertian-rumus.htmlhttp://bambanghgmathunsoed.files.wordpress.com/http://mariefh.lecture.ub.ac.id/files/2010/10/bilangan-kompleks.ppthttp://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_kompleks