kalkulus 2 pengajar kalkulus itk (institut teknologi kalimantan) kalkulus 2 januari 2018 26 / 36....

Kalkulus 2Teknik Pengintegralan ke - 1

Tim Pengajar Kalkulus ITK

Institut Teknologi Kalimantan

Januari 2018

Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 1 / 36

Daftar Isi

1 Teknik PengintegralanAturan Dasar PengintegralanIntegrasi SubstitusiIntegrasi Parsial

Latihan Soal Integrasi ParsialBeberapa Integral Trigonometri

Jenis 1 (∫

sinn x dx dan∫

cosn x dx)

Jenis 2 (∫

sinm x cosn x dx)

Jenis 3 (∫

sin mx cos nx dx,∫

sin mx sin nx dx, dan∫

cos mx cos nx dx)

Jenis 4 (∫

tann x dx dan∫

cotn x dx)

Jenis 5 (∫

tanm x secn x dx dan∫

cotm x cscn x dx)

Latihan Soal Integral Trigonometri


Kemampuan yang diinginkan pada Bab Ini adalah mahasiswamemiliki kejelian melihat bentuk soal.

sehingga faktor latihan sangat penting

untuk memperoleh hasil yang diinginkan.Jadi BANYAK BERLATIH dengan soal-soal, maka anda InsyaAllahakan menuai kesuksesan.


Aturan Dasar Pengintegralan

Fungsi - fungsi yang telah kita ketahui bersama adalah fungsi -fungsi Elementer, yaitu fungsi konstanta, fungsi pangkat, fungsilogaritma dan eksponen, trigonometri, dan fungsi invers, serta fungsiyang kita peroleh dari hasil penambahan, pengurangan, perkalian,pembagian, dan komposisi fungsi - fungsi tersebut. jadi

f (x) =ex + e−x

2= cosh x

adalah fungsi elementer.Integrasi (anti diferensiasi) adalah persoalan yang berbeda dengandiferensiasi/turunan. Integrasi melibatkan sedikit teknik dan lebihbanyak akal. dan perlu diingat hasilnya tidak selalu berupa fungsielementer. misalnya anti turunan dari ex2

bukan fungsi elementer.


Aturan Dasar Pengintegralan

Dua Teknik dasar untuk integrasi adalah substitusi dan integrasiparsial. metode substitusi telah kita kenal pada bab sebelumnya.tetapi yang perlu diingat teknik ini juga banyak digunakan pada babselanjutnya.Bentuk Baku. Penggunaan secara efektif metode substitusi bergantungketersediaan daftar integral - integral yang sudah dikenal.


Beberapa bentuk Integral Baku

Konstanta dan pangkat

∫k du = ku + C

∫ur du =

ur+1

r + 1+C r 6= −1

ln |u|+C r = −1

Eksponensial∫ex dx = ex + C

∫ax dx = ax

ln a + C, a 6= 1, a > 0

Fungsi Trigonometri∫cos u du = sin u + C

∫sin u du = − cos u + C∫

sec2 u du = tan u + C∫

csc2 u du = − cot u + C


Review Integral Substitusi

Teknik pengintegralan ini sudah kita kenal dalam bab sebelumnya.berikut teorema yang mendasari teknik integral substitusi,

Teorema(Substitusi dalam integral tak tentu) Misalkan g adalah fungsi yangterdiferensiasikan dan misalkan F adalah anti turunan f . Maka, jikau = g(x),∫

f (g(x))g′(x) dx =∫

f (u) du = F(u) + C = F(g(x)) + C


Contoh Integral Substitusi

Contoh

Carilah∫

x cos x2 dx.

Di dalam pikiran kita, substitusikan u = x2 sehingga du = 2xdx.Sehingga diperoleh∫

x cos x2 dx =12

∫cos x2(2x dx) =

12

∫cos x2dx2 =

12

sin x2 + C


Contoh Integral Substitusi

Contoh

Hitunglah∫

t√

t2−4 dt.

Misalkan u = t2 − 4, sehingga du = 2t dt, sehingga diperoleh∫t√

t2 − 4dt =12

∫ (t2 − 4

) 12 2t dt =

12

∫u

12 du

=12· 2

3u

32 + C =

13

u√

u + C

=13(t2 − 4

)√t2 − 4 + C


Integrasi Parsial

Jika integrasi menggunakan substitusi gagal, kita mungkin sajamenggunakan substitusi ganda (double substitusion), yang lebihdikenal sebagai integrasi Parsial. Metode ini didasarkan padaintegrasi dari rumus untuk turunan dari hasil kali dua fungsi.Misalkan u = u(x) dan v = v(x), maka

Dx [u(x)v(x)] = u′(x)v(x) + u(x)v′(x)

atauu(x)v′(x) = Dx [u(x)v(x)]− u′(x)v(x)

dengan mengintegrasi kedua ruas persamaan diperoleh∫u(x)v′(x) dx = u(x)v(x)−

∫u′(x)v(x) dx

dengan dv = v′(x) dx dan du = u′(x) dx.


Bentuk rumus Integrasi

DefinisiMisalkan u = u(x) dan v = v(x), maka rumus integrasi parsial adalah∫

u dv = uv−∫

v du

yang perlu diperhatikan adalah pemilihan yang tepat untuk u dan dv,kecakapan dan ketepatan dapat diasah melalui banyak berlatihmengerjakan soal latihan.Catatan : Ketentuan bahwa biasanya u adalah fungsi yang mudahjika diturunkan dan dapat habis diturunkan terhadap x, dv adalahbagian yang mudah diintegralkan.


Integrasi Parsial

Contoh

Carilah∫

x cos x dx.

Kita dapat menuliskan x cos x dx = u dv. Salah satu kemungkinan ialahdengan memisalkan u = x dan dv = cos x dx. Kemungkinan sudahtepat, (ingat dengan ketentuan pada halaman sebelumnya). Karenau = x maka du/dx = 1 diperoleh du = dx dan untuk dv = cos x dx jikadiintegralkan kedua ruas diperoleh

∫dv = v =

∫cos x dx = sin x.

Ringkasannya sebagai berikut,

u = x dv = cos x dxdu = dx v = sin x

Rumus integrasi parsial memberikan∫x︸︷︷︸u

cos x dx︸︷︷︸dv

= x︸︷︷︸u

sin x︸︷︷︸v

−∫

sin x︸︷︷︸v

dx︸︷︷︸du

= x sin x + cos x + C


Integrasi Parsial

Contoh

Carilah∫

ln x dx.

Kita buat substitusi sebagai berikut. (ingat dengan ketentuan padahalaman sebelumnya)

u = ln x dv = dx

du =

(1x

)dx v = x

maka ∫ln x dx = x ln x−

∫x

1x

dx

= x ln x−∫

dx

= x ln x− x + C


Integrasi Parsial

Contoh

Carilah∫

x2 sin x dx.

Misalkanu = x2 dv = sin x dxdu = 2x dx v = − cos x

maka ∫x2 sin x dx = −x2 cos x + 2

∫x cos x dx

Setelah ini lakukan lagi integrasi parsial pada bagian yang masihharus diintegralkan. karena telah diperoleh pada contoh sebelumnya,maka ∫

x2 sin x dx = −x2 cos x + 2(x sin x + cos x + C)

= −x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + K


Integrasi Parsial

Perhatikan contoh soal berikut, hal ini menarik karena hasil integrasiseperti terus berulang.

Contoh

Carilah∫

ex sin x dx.

Gunakan u = ex dan dv = sin x dx. Maka du = ex dx dan v = − cos x.Jadi,

∫ex sin x dx = −ex cos x +

∫ex cos x dx︸︷︷︸

i)

Perhatikan bagian i) harus diselesaikan dengan cara yang samadengan memisalkan u = ex dan dv = cos x dx. Maka du = ex dx danv = sin x. Maka ∫

ex cos x dx︸︷︷︸i)

= ex sin x−∫

ex sin x dx


Integrasi Parsial

Jika kita substitusikan lagi bagian i) maka kita peroleh∫ex sin x dx = −ex cos x + ex sin x−

∫ex sin x dx

dengan memindahkan suku terakhir ke ruas kiri dan menggabungkansuku - sukunya, maka diperoleh

2∫

ex sin x dx = −ex cos x + ex sin x + C∫ex sin x dx =

12

ex sin x− 12

ex cos x + K

perhatikan bahwa integral yang hendak kita cari muncul sepertiberulang di ruas kanan.


Latihan Soal

Gunakan Integrasi Parsial untuk menghitung Integral - integral dibawah ini.

1

∫xe3x dx.

2

∫x sin 2x dx.

3

∫ln 3x dx.

4

∫t 3√

2t + 7 dt.

5

π/2∫π/6

x csc2 x dx.


Beberapa Integral Trigonometri

Ketika kita menggabungkan metode substitusi dengan penggunaanidentitas trigonometri, kita dapat mengintegrasikan banyak bentuktrigonometri. Ada lima bentuk jenis integral yang sering muncul.

1

∫sinn x dx dan

∫cosn x dx

2

∫sinm x cosn x dx.

3

∫sin mx cos nx dx,

∫sin mx sin nx dx, dan

∫cos mx cos nx dx

4

∫tann x dx dan

∫cotn x dx

5

∫tanm x secn x dx dan

∫cotm x cscn x dx


Beberapa Identitas Trigonometri

Beberapa identitas yang perlu diingat dan berguna, antara lain :

Identitas Pythagoras

sin2 x + cos2 x = 1

sec2 x− tan2 x = 1

csc2 x− cot2 x = 1

Identitas Setengah Sudut

sin2 x =1− cos 2x

2

cos2 x =1 + cos 2x

2


Jenis 1

Pada bentuk∫

sinn x dx dan∫

cosn x dx, pertama perhatikanlah untuk

n adalah bilangan bulat positif ganjil. setelah mengeluarkan salah satufaktor sin x atau cos x dan selanjutnya gunakan identitas.

Contoh

(n Ganjil) Carilah∫

sin5 x dx.

∫sin5 x dx =

∫sin4 x sin x dx =

∫ (1− cos2 x

)2sin x dx

=∫ (

1− 2 cos2 x + cos4 x)

sin x dx

= −∫ (

1− 2 cos2 x + cos4 x)(− sin x dx)

= − cos x +23

cos3 x− 15

cos5 x + C


Untuk n genap gunakan identitas setengah sudut

Contoh

(n Genap) Carilah∫

sin2 x dx dan∫

cos4 x dx

∫sin2 x dx =

∫ 1− cos 2x2

dx =∫ 1

2− cos 2x

2dx

=12

∫dx− 1

4

∫cos 2x(2 dx)

=12

x− 14

sin 2x + C


∫cos4 x dx =

∫ (1 + cos 2x2

)2

dx =14

∫ (1 + 2 cos 2x + cos2 2x

)dx

=14

∫dx +

14

∫cos 2x(2 dx) +

18

∫(1 + cos 4x) dx

=38

∫dx +

14

∫cos 2x(2 dx) +

132

∫cos 4x(4 dx)

=38

x +14

sin 2x +1

32sin 4x + C


Jenis 2

Perhatikan bentuk∫

sinm x cosn x dx.Jika salah satu dari m atau n

adalah bilangan bulat positif ganjil sedangkan yg lainnya sembarang,kita faktorkan sin x atau cos x dan gunakan identitas.

Contoh(m atau n ganjil) Carilah

∫sin3 x cos2 x dx.

∫sin3 x cos2 x dx =

∫(sin2 x)

(cos2 x

)(sin x) dx

=∫(1− cos2 x)

(cos2 x

)(sin x) dx

= −∫ (

cos2 x− cos4 x)(− sin x dx)

= −13

cos3 x +15

cos5 x + C


Jika m dan n keduanya adalah bilangan bulat positif genap, makagunakanlah identitas setengah sudut.

Contoh(m dan n genap) Carilah

∫sin2 x cos4 x dx.

∫sin2 x cos4 x dx =

∫ (1− cos 2x2

)(1 + cos 2x

2

)2

dx

=18

∫ (1 + cos 2x− cos2 2x− cos3 2x

)dx


=18

∫ [1 + cos 2x− 1

2(1 + cos 4x)− (1− sin2 2x) cos 2x

]dx

=18

∫ [12− 1

2cos 4x + sin2 2x cos 2x

]dx

=18

[12

x− 18

sin 4x +16

sin3 2x]+ C


Jenis 3

Integral jenis∫

sin mx cos nx dx,∫

sin mx sin nx dx, dan∫

cos mx

cos nx dx muncul dalam banyak aplikasi fisika dan engineering (BacaHal 14, Bab 7 Teknik Pengintegralan, Purcell edisi 9, jilid 2). Untukmenangani integral - integral ini, kita gunakan identitas hasil kali.

1 sin mx cos nx =12[sin(m + n)x + sin(m− n)x] .

2 sin mx sin nx = −12[cos(m + n)x− cos(m− n)x] .

3 cos mx cos nx =12[cos(m + n)x + cos(m− n)x]


Bentuk pertama

Contoh

Carilah∫

sin 2x cos 3x dx.

∫sin 2x cos 3x dx =

12

∫[sin(5)x + sin(−1)x] dx

=110

∫sin 5x (5 dx)− 1

2

∫sin x dx

= − 110

cos 5x +12

cos x + C


Bentuk Kedua

Contoh

Carilah∫

sin 3u sin u du.

∫sin 3u sin u du = −1

2

∫[cos(4)u− cos(2)u] du

= −18

∫cos 4u (4 du) +

14

∫cos 2u (2 du)

= −18

sin 4u +14

sin 2u + C


Bentuk Ketiga

Contoh

Carilah∫

cos t cos(−2t) dt.

∫cos t cos(−2t)dt =

12

∫[cos(−1)t + cos(3)t] dt

=12

∫cos t dt +

16

∫cos 3t (3 dt)

=12

sin t +16

sin 3t + C


Jenis 4

Pada Bentuk∫

tann x dx dan∫

cotn x dx ini, sesungguhnya serupa

dengan jenis 1. Namun alat yang diperlukan adalah identitassec2 x− 1 = tan2 x dan csc2 x− 1 = cot2 x.

Contoh

Carilah∫

cot4 x dx.

∫cot4 x dx =

∫cot2 x

(csc2 x− 1

)dx

=∫

cot2 x csc2 x dx−∫

cot2 x dx

= −∫

cot2 x (− csc2 x dx)−∫ (

csc2 x− 1)

dx

= −13

cot3 x + cot x + x + C


Jenis 4

Untuk bentuk∫

tann x dx, cobalah cari∫

tan2 x dx dan∫

tan5 x dx


Jenis 5

Pada jenis terakhir ini yaitu∫

tanm x secn x dx dan∫

cotm x cscn x dx

serupa dengan bentuk pada jenis 2. sekali lagi ingatlah denganidentitas sec2 x− tan2 x = 1 dan csc2 x− cot2 x = 1.

Contoh

(m sembarang bilangan, n genap) Carilah∫

tan−3/2 x sec4 x dx.

∫tan−3/2 x sec4 x dx =

∫ (tan−3/2 x

) (1 + tan2 x

)sec2 x dx

=∫ (

tan−3/2 x)

sec2 x dx+

+∫ (

tan1/2 x)

sec2 x dx

= −2 tan−1/2 x +23

tan3/2 x + C


Contoh

(m ganjil, n Sebarang Bilangan) Carilah∫

tan3 x sec−1/2 x dx.

∫tan3 x sec−1/2 x dx =

∫ (tan2 x

) (sec−3/2 x

)(sec x tan x) dx

=∫ (

sec2 x− 1) (

sec−3/2 x)(sec x tan x dx)

=∫

sec1/2 x (sec x tan x dx)−

+∫

sec−3/2 x (sec x tan x dx)

=23

sec3/2 x + 2 sec−1/2 x + C



Agar lebih mengenal dan memahami bentuk integral Trigonometri,cobalah beberapa soal di bawah iniLakukanlah Integrasi pada pada soal - soal di bawah ini.

1

∫cos3 θ dθ

2

∫sin4 6x dx.

3

∫ π/2

0cos5 θ dθ.

4

∫sin−2 3x cos3 3x dx.

5

∫cos y cos 4y dy.



Kerjakanlah sebagai latihan dan tugas nomor - nomor ganjil darino. 17 s.d 29 pada buku Purcell edisi 9, jilid 2 Bab 7 TeknikPengintegralan, hal 17)


Daftar Pustaka

Varberg, Purcell, Rigdon, “ Calkulus Ninth Edition”, PearsonEducation, 2007.

Azka, M, ”∫

23 statistic”, 2017


Daftar Pustaka

Varberg, Purcell, Rigdon, “ Calkulus Ninth Edition”, PearsonEducation, 2007.Azka, M, ”

∫23 statistic”, 2017


kalkulus 2 pengajar kalkulus itk (institut teknologi kalimantan) kalkulus 2 januari 2018 26 / 36....

Documents