kajian pemodelan matematika berbentuk optimasi …

KAJIAN PEMODELAN MATEMATIKA BERBENTUK

OPTIMASI GRAPH

SKRIPSI

GLORIA CYNTHIA SIMANJUNTAK

130823007

PROGRAM STUDI MATEMATIKA EKSTENSI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2017


KAJIAN PEMODELAN MATEMATIKA BERBENTUK

OPTIMASI GRAPH

SKRIPSI

Diajukan Untuk Melengkapi Tugas Dan Memenuhi Syarat Mencapai Gelar

Sarjana Sains


130823007

PROGRAM STUDI MATEMATIKA EKSTENSI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM


MEDAN

2017


PERSETUJUAN

Judul : KAJIAN PEMODELAN MATEMATIKA

BERBENTUK OPTIMASI GRAPH

Kategori : SKRIPSI

Nama : GLORIA CYNTHIA SIMANJUNTAK

Nomor Induk Mahasiswa : 130823007

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA

Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA

UTARA

Medan, Desember 2017

Komisi Pembimbing

Pebimbing

Dr. Mardiningsih, M. Si

NIP. 19630405 198811 2 001

Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU

Ketua.


Dr. Suyanto, M. Kom

NIP 19590813 198601 1 002


PERNYATAAN

KAJIAN PEMODELAN MATEMATIKA BERBENTUK OPTIMASI GRAPH

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa

kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.



130823007


PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis hanturkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Kuasa Atas rahmat dan

karuniaNya sehingga dengan kemampuan yang terbatas penulis dapat menyelesaikan

penulisan tugas akhir ini.

Tugas akhir ini dibuat dan diajukan sebagai salah satu syarat untuk menempuh

ujian sarjana matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sumatera Utara.

Penulis menyadari sepenuhnya keterbatasan ilmu pengetahuan dan kemampuan

penulis, sehingga tugas akhir ini masih jauh dari sempurna. Untuk itu, segala saran dan

kritik dari pembaca tugas akhir ini sangat penulis harapkan demi kesempurnaan tugas

akhir ini.

Dalam penulisan tugas akhir ini, penulis telah banyak dibantu oleh berbagai

pihak dan pada kesempatan ini penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada:

1. Bapak Dr. Suyanto, M.Kom dan Bapak Drs. Rosman Siregar, M.Si selaku Ketua

dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU

2. Ibu Dr. Mardiningsih, M. Si, selaku dosen pembimbing yang telah menyediakan

tenaga, pikiran dan waktunya untuk mengarahkan penulis dalam penyusunan

skripsi ini.

3. Bapak Drs. Henry Rani Sitepu, M. Si dan Bapak Drs. Ujian Sinulingga, M. Si

selaku dosen penguji saya.

4. Rekan-rekan mahasiswa jurusan Matematika khususnya angkatan 2013 yang telah

memberi banyak masukan bagi penulis terkhusus untuk Siska dan Fadhlina.

5. Teman teman SMA Ruth Stephani dan Theresia Sihiteyang banyak memberi

semangat dan dorongan bagi penulis selama pengerjaan tulisan ini.

6. Ayahanda G Simanjuntak dan ibunda B. Simamora yang memberi segala bantuan,

dorongan dan semangat kepada saya.

Kiranya Tuhan Yang Maha Kuasa melimpahkan rahmat dan kasihnya atas segala jerih

payah, bantuan serta pengorbanan yang telah diberikan oleh semua pihak dalam

membantu penulisan selama ini.



Penulis

GLORIA CYNTHIA

SIMANJUNTAK


ABSTRAK

Graph secara kasar dapat diartikan sebagai suatu diagram yang memuat informasi

tertentu jika di interpretasikan secara tepat. Teori graph sudah dapat diselesaikan

menggunakan beberapa algoritma, seperti masalah Spanning Tree dapat diselesaikan

menggunakan algoritma Kruskal dan Prim. Penyelesaikan masalah pada teori graph

bisa menggunakan model matematika, khususnya model optimasi seperti program

linier, non linier, integer. Untuk model spanning tree bentuk pemogramannya Linier

Biner, Pewarnaan Graph bentuk pemogramannya Non Linier Biner, Bilangan Stabil

pada Graph bentuk pemogramannya Non Liner Biner, Hub bentuk pemogramannya

Linier Integer.


ABSTRACT

Graph can be roughly interpreted as a diagram that contains certain information if

interpreted appropriately. Graph theory can be solved using several algorithms, such as

Spanning Tree problem can be solved using Kruskal and Prim algorithm. Problem

solving on graph theory can use mathematical model, especially optimization model

like linear program, non linear, integer. For model spanning tree form pemogramming

Linear Biner, Graph Colouring form pemogramming Non Linear Biner, Stable Number

on Graph form pemogramming Non Liner Biner, Hub form pemogramming linear

Integer.


DAFTAR ISI

Halaman

PERSETUJUAN ...........................................................................................................

i

PERNYATAAN ............................................................................................................

ii

PENGHARGAAN ........................................................................................................

iii

ABSTRAK .....................................................................................................................

iv

ABSTRACT ...................................................................................................................

v

DAFTAR ISI ..................................................................................................................

vi

DAFTAR GAMBAR ....................................................................................................

viii

BAB 1. . PENDAHULUAN ..........................................................................................

1

1.1. Latar Belakang .......................................................................................

1

1.2. Perumusan Masalah ................................................................................

2

1.3. Batasam Masalah .....................................................................................

2

1.4. Tujuan Penelitian .....................................................................................

2

1.5. Manfaat Penelitian .................................................................................

2

1.6. Metodologi Penelitian .............................................................................

3

BAB 2. LANDASAN TEORI ....................................................................................

4

2.1. Konsep Dasar Graph ..............................................................................

4

2.2. Tree .........................................................................................................

12

2.3. Degree Costrained Minimum Spanning Tree .........................................

17


2.4. Pewarnaan Graph ...................................................................................

20

2.5. Bilangan Stabil Pada Graph ...................................................................

21

2.6. Hub .........................................................................................................

22

2.7. Optimasi .................................................................................................

27

BAB 3. PEMBAHASAN ............................................................................................

34

3.1. Model Matematika Dari Masalah Minimal Spanning Tree Berbentuk

Pemograman Linier Biner ......................................................................

34

3.2. Model Matematika Masalah Pewarnaan Graph .....................................

37

3.3. Model Matematika Masalah Bilangan Stanil Pada Graph .....................

38

3.4. Model Matematika Masalah Hub ...........................................................

39

BAB 4. KESIMPULAN DAN SARAN .....................................................................

43

4.1. Kesimpulan .............................................................................................

43

4.2. Saran .......................................................................................................

43

BAB 5. DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................

44


DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1. Graph .........................................................................................................

4

Gambar 2.2. Graph Berbobot .........................................................................................

5

Gambar 2.3. (a) Graph Lengkap dan (b) Graph Sederhana ............................................

5

Gambar 1. Verteks Ujung dan Verteks Terisolasi ..........................................................

6

Gambar 2.5 (5,8) Graph .................................................................................................

8

Gambar 2.6 (G) Graph dan (T) Subgraph ......................................................................

9

Gambar 2.7. Graph Terhubung dan (b) Graph Tak Berhubung .....................................

10

Gambar 2.8 Bridge .........................................................................................................

11

Gambar 2.9 Tree .............................................................................................................

12

Gambar 2 Spanning Tree dari G .....................................................................................

15

Gambar 3.1. Graf Berbobot dan Pohon Perentang Minimum ........................................

35


BAB 1

PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG

Graph secara kasar dapat diartikan sebagai suatu diagram yang memuat informasi

tertentu jika di interpretasikan secara tepat. Dalam kehidupan sehari – hari graph

digunakan untuk menggambar berbagai macam struktur yang ada. Tujuannya

adalah sebagai visualisasi objek – objek agar lebih mudah dimengerti. Beberapa

contoh graph yang dijumpai dalam kehidupan nyata, antara lain struktur organisasi,

bagan alur pengambilan mata kuliah, peta, rangkaian listrik, dll.

Dalam berbagai situasi kehidupan kita, banyak diantaranya yang dapat kita

presentasikan secara grafik yang terdiri atas titik-titik dan garis-garis yang menghu-

bungkan titik-titik tersebut. Misalnya, titik-titik tersebut mewakili kota, dengan

garis-garis mewakili jalan yang menghubungkan kota tersebut dengan kota lainnya

atau bisa juga titik-titik itu mewakili manusia dengan garis mewakili hubungan

manusia tersebut dengan manusia yang lainnya. Pada matematika, hubungan titik

dan garis yang demikian diamati oleh suatu objek yang disebut dengan graph.

Teori graph dimulai pada tahun 1736 ketika seorang matematikawan Swiss,

Leonhard Euler mempublikasikan tulisan yang berisi solusi untuk menyelesaikan

masalah jembatan Konigsberg di Prussia (sekarang Kaliningrad di Russia)

(Susanna, 2010). Sejak itu, penelitian terhadap graph terus mengalami

perkembangan seiring dengan semakin bervariasinya masalah yang dihadapi. Salah

satu diantaranya adalah permasalahan minimal Spanning Tree, masalah pewarnaan

graf, masalah bilangan stabil pada graf dan masalah hub.

Optimisasi adalah aktivitas untuk mendapatkan hasil terbaik di bawah

keadaan yang diberikan. Tujuan akhir dari semua aktivitas tersebut adalah

meminimumkan effort (usaha) atau memaksimalkan manfaat yang diinginkan.

Karena usaha yang di perlukan atau manfaat yang diiinginkan dapat dinyatakan

sebagai fungsi dari variable keputusan, optimasi dapat di definisikan sebagai proses


untuk menemukan kondisi yang memberikan nilai minimum atau maksimum dari

sebuah fungsi.

Permasalahan pada teori graph dapat disajikan dalam bentuk optimasi yang

selanjutnya pada tulisan ini disebut optimasi Graph. Berdasarkan titik tolak di atas,

maka penulis ingin membuat tulisan dengan judul “KAJIAN PEMODELAN

MATEMATIKA BERBENTUK OPTIMASI GRAPH”.

B. PERUMUSAN MASALAH

Beberapa masalah teori graph sudah dapat diselesaikan menggunakan beberapa

algoritma, seperti masalah Spanning Tree dapat diselesaikan menggunakan

algoritma Kruskal dan Prim, sehingga permasalahannya adalah Bagaimana

menyelesaikan masalah pada teori graph menggunakan model matematika,

khususnya model optimasi seperti program linier, non linier, integer, sehingga perlu

dikaji bagaimana merepresentasikan masalah graph tersebut ke dalam model

optimasi.

C. BATASAN MASALAH

Dalam tugas akhir ini masalah yang dibahas terbatas pada graph tak berarah,

Spanning Tree, Pewarnaan Graph, Bilangan Stabil pada Graph dan Hub.

D. TUJUAN PENELITIAN

Tujuan dari penelitian dalam tugas akhir ini ialah untuk mengkaji beberapa

pemodelan model matematika yang berbentuk optimasi graf.

E. MANFAAT PENELITIAN

Kontribusi yang diharapkan dari penelitian ini adalah:

1. Model yang diperoleh dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan

yang dibutuhkan pada kasus yang sesuai.

2. Dapat menambah referensi dalam menyelesaikan berbagai masalah yang

berhubungan dengan masalah graph.


F. METODE PENELITIAN

Penelitian ini adalah penelitian literatur yang disusun berdasarkan rujukan pustaka

dengan langkah – langkah sebagai berikut:

1. Mengkaji masalah teori umum graph

2. Mengkaji masalah Spanning Tree, Pewarnaan Graph, Bilangan Stabil pada

Graph dan Hub

3. Mengkaji masalah optimasi secara umum

4. Mengkaji masalah kriteria dari optimasi

5. Mengkaji pemodelan matematika khususnya menyajikan masalah graph ke

dalam optimasi


BAB 2

LANDASAN TEORI

Pada bab ini Pada bab ini diberikan beberapa konsep dasar seperti beberapa definisi dan

teorema sebagai landasan berfikir dalam melakukan penelitian ini dan akan

mempermudah dalam hal pembahasan hasil utama pada bab berikutnya. Konsep dasar

tersebut berkaitan dengan masalah yang dibahas dalam penelitian ini, yakni: konsep

dasar graph, tree, dan degree constrained tree minimum spanning tree.

2.1. Konsep Dasar Graph

Istilah baku graph diadopsi dari Vasudev, 2006. Suatu graph G = (V,E)

merupakan himpunan objek V = {v1, v2, v3, ...} disebut verteks (disebut juga

point atau node) dan himpunan E = {e1, e2, ...} yang elemennya disebut edge

(disebut juga line atau arc), sehingga untuk setiap edge em dikenal sebagai

penghubung pasangan verteks (vi, vj). Verteks vi, vj yang dihubungkan oleh edge

em disebut verteks ujung dari em. Suatu graph dapat direpresentasikan secara

grafis dengan cara setiap verteks direpresentasikan sebagai titik dan setiap edge

vi, vj sebagai garis dari titik vi ke titik vj.

Contoh 2.1.a. berikut diberikan representasi dari graph

Gambar 2.1. Graph

Dari gambar 2.1.a dapat diketahui bahwa V(G) = {v1, v2, v3, v4} dan E(G) =

{v1v1, v1v2, v1v3, v1v4, v2v3, v2v4, v3v3, v3v4}


Berdasarkan definisi, edge merupakan penghubung pasangan verteks vj, vk.

Untuk suatu edge yang memiliki kedua verteks ujung yang sama disebut loop.

Dari gambar 2.1a dapat dilihat bahwa edge v1 dan v3 merupakan loop. Jika

untuk setiap edge pada graph G diberi suatu nilai atau bobot W = {w1 ,w2 , ...,

wm }, maka graph tersebut dikatakan graph berbobot.

Gambar 2.2. Graph Berbobot

Graph yang tidak memiliki loop maupun edge ganda disebut graph sederhana.

Graph sederhana, dimana setiap vertex dihubungkan tepat satu edge ke verteks

lainnya disebut graph lengkap.

Contoh 2.1.c. Berikut diberikan representasi dari graph sederhana dan graph

lengkap.

Gambar 2.3. (a) Graph Lengkap dan (b) Graph Sederhana

2.1.1. Incident dan Degree

Ketika verteks Vi merupakan verteks ujung dari beberapa edge ej , Vi

dan ej dikatakan incident satu sama lain. Dua edge nonparalel dikatakan


adjacent jika mereka incident pada verteks yang sama. Dengan cara

yang sama, dua verteks dikatakan adjacent jika mereka merupakan

verteks ujung dari edge yang sama. Sebagai contoh pada gambar 1 dapat

dilihat bahwa V1V2, V1V3,V1V4 merupakan incident pada V1 . Adjacent

untuk V1 adalah V2V3 V4. Sedangkan, V1 dan V3 adjacent untuk diri

mereka sendiri.

Jumlah edge incident dari suatu verteks Vi, dengan edge yang

merupakan loop dihitung 2 disebut degree dari verteks tersebut. Degree

dari suatu verteks dinotasikan dengan degG (Vi) atau degVi atau d(Vi)

atau d(V). Verteks yang tidak memiliki edge incident disebut verteks

terisolasi. Sedangkan verteks yang berdegree satu disebut verteks

pendent atau verteks ujung.

Contoh2.1.1. Berikut diberikan representasi dari verteks ujung

dan verteks terisolasi

Gambar 1. Verteks ujung dan Verteks terisolasi

Adapun degree dari setiap verteks pada gambar 2.3, d(Vi) = 1,

disebut pendant verteks, dan d(V2) = 3, d(V3) = 2, d(V4) = 3, dan d(V5)

= 0 karena tidak memiliki edge incident V5 disebut verteks terisolasi

Teorema 1: Untuk sebarang graph jumlah degree dari seluruh

verteks G sama dengan dua kali jumlah edge di G

Bukti: Diberikan Graph G dengan n verteks v1, v2, …, vn dan e

edge. Karena setiap edge memiliki tepat dua verteks vi dan vj (untuk


loop, i = j), maka edge memberikan konstribusi 2 degree, yakni 1 degree

untuk verteks vi dan 1 degree untuk verteks vj. Hal ini mengakibatkan

perjumlahan degree dari seluruh verteks di G adalah dua kali dari edge

di G, yaitu

evdn

ii 2

1

Teorema 2.2. banyak verteks berdegree ganjil pada suatu graph

selalu genap.

Bukti teorema 2.1. diketahui bahwa

evdn

ii 2

1

Jika verteks yang berdegree ganjil dan berdegree genap dipisahkan,

maka persamaan di atas dapat dibentuk menjadi

odd

keven

j

n

ii vdvdvd

1

Karena

n

i ivd1

adalah genap dan even jvd juga genap,

maka odd kvd juga suatu bilangan genap. d(vk) adalah ganjil, maka

syarat agar jumlah seluruh d(vk) genap, banyaknya vk haruslah genap.

Hal ini membuktikan bahwa banyak verteks berdegree ganjil pada suatu

graph selalu genap.

2.1.2. Walk, Path and Cycle

Diberikan graph G dengan verteks v dan w. Sebuah walk dengan

panjang m dari v ke w didefinisikan sebagai barisan edge dan dituliskan

sebagai berikut:

(v0v1), (v1v2), …, (vm – 1vm)


Untuk m > 0, v0 = v dan vm = w. sebuah walk biasa dinotasikan dengan v

→ ww dan panjangnya dinotasikan dengan l(w)

Sebuah trail dari v ke w adalah walk dari v ke w tanpa perulangan edge.

Sebuah path didefinisikan sebagai sebuah trail tanpa perulangan verteks.

Path tertutup adalah path yang dimulai dan diakhiri dengan verteks yang

sama. Sebuah cycle merupakan sebuah path tertutup, dan sebuah loop

merupakan sebuah cycle dengan panjang 1.

Contoh 2.1.2: Sebagai contoh masing-masing untuk walk, trail, path,

cycle, dan loop dapat dilihat pada gambar berikut:

Gambar 2.5 (5,8) Graph

a. v1 → v3 → v5 → v3 → v2 → v4 disebut walk

b. v1 → v2 → v3 → v5 → v2 → v4 disebut trail, walk tanpa pengulangan

edge

c. v1 → v2 → v4 → v5 disebut path, walk tanpa pengulangan edge dan

verteks

d. v1 → v2 → v4 → v5 → v3 → v1 disebut cycle, karena adanya

pengulangna pada verteks awal dan akhir disebut juga path tertutup

e. v1 → v1 dan v3 → v3 disebut loop, cycle dengan panjang 1

2.1.3. Subgraph

Suatu subgraph dari G adalah graph yang memiliki verteks dan edge

yang ada di G. Jika G dan T merupakan dua graph dengan himpunan


verteks V (T), V(G) dan himpunan edge E(T) dan E(G) sehingga V(T)

V(G) dan E(T) E(G), maka T disebut sugraph G atau G disebut

supergraph T.

Contoh 2.1.3 berikut diberikan representasi dari subgraph G

Gambar 2.6: (G) Graph dan (T) Subhraph

Berdasarkan definisi, dapat dikatakan bahwa:

1. Setiap graph merupakan subgraph itu sendiri.

2. Sebuah subgraph dari subgraph G merupakan subgraph G

3. Sebuah verteks tunggal di G merupakan subgraph G.

4. Sebuah edge tunggal di G, bersama dengan verteks ujungnya, juga

merupakan subgraph G.

2.1.4. Graph Terhubung, Graph Tidak Terhubung dan Komponen

Diberikan graph G dengan v dan w merupakan dua verteks di G. Graph

G dikatakan terhubung jika dan hanya jika diberikan sebarang dua

verteks v dan w di G sedemikian hingga terdapat paling sedikit satu path

dari v ke w. Selebihnya, G dikatakan tidak terhubung.

Pada gambar 2.6 menunjukkan bahwa (a) adalah graph

terhubung karena terdapat path dari satu verteks ke verteks yang

lainnya, dan (b) adalah graph tak berhubung karena tidak terdapat path

dari v ke v . Dari gambar 2.3 dapat kita lihat bahwa graph tersebut terdiri

dari dua bagian. Bagian pertama adalah verteks v1, v2 dengan edge v1v2,

sedangkan bagian kedua adalah verteks v3, v4 dan v5 dengan edge v3v4,

v3v5 dan v4v5 masing – masing bagian ini disebut komponen.

Contoh 2.1.4 berikut diberikan representasi dari 2 buah graph

terhubung dan tidak terhubung


Gambar 2.7. (a) Graph Terhubung dan (b) Graph Tak Berhubung

Teorema 2.3. Suatu graph G dikatakan tidak terhubung jika dan

hanya jika verteks himpunan V dapat dibagi ke dalam dua komponen tak

kosong, himpunan bagian V1 dan V2 terpisah, sehingga tidak ada edge di

G yang memiliki satu verteks ujung di dalam himpunan bagian V1 begitu

juga di himpunan bagian V2.

Bukti:

Andaikan komponen ada. Anggap dua sembarang verteks a dan b di G,

sehingga a ∈ V1 dan b ∈ V2 . Tidak ada path yang bisa diantara verteks a

dan b; sebaliknya terdapat paling sedikit satu edge dimiliki verteks

ujung V1 dan lainnya di V2. Akibatnya jika komponen ada, G tidak

terhubung.

Dan sebaliknya, andaikan G menjadi graph tidak terhubung. Anggap

sebuah verteks a di G. Andaikan V1 menjadi himpunan seluruh verteks

yang dihubungkan oleh path ke a. Karena G tidak terhubung, maka V1

tidak memasukkan semua verteks G. Selebihnya verteks akan

berbentuk(tak kosong) himpunan V2 . Tidak ada verteks di V1 yang

dihubungkan ke sebarang V2 dengan sebuah edge. Hal ini berakibat

adanya komponen.

Teorema 2.4 Jika suatu graph memiliki tepat dua verteks berdegree

ganjil, pasti terdapat path yang menyertai dua verteks tersebut.


Bukti: Andaikan G sebuah graph dengan seluruh verteksnya berdegree

genap kecuali verteks v1 dan v2 , yang berdegree ganjil. Berdasarkan

teorema 2.2, hal ini berlaku untuk seluruh graph, oleh karenanya untuk

setiap komponen graph tak terhubung, tak ada graph yang bisa memiliki

jumlah ganjil dari verteks ganjil. Karenanya, di graph G v1 dan v2 harus

berada pada komponen yang sama, akibatnya pasti ada path diantara

mereka.

2.1.5. Bridge

Suatu edge vivj pada graph G terhubung dikatakan bridge jika

penghapusan edge vivj mengakibatkan G menjadi tidak terhubung.

Contoh 1.1.5: Berikut diberikan representasi dari bridge.

Gambar 2.8. Bridge

v3v5 merupakan bridge karena penghapusan edge v3v5 akan

menyebabkan graph menjadi tak terhubung.

2.2. Tree

Suatu tree merupakan graph terhubung tanpa adanya cycle. Untuk graph tak

terhubung dan tanpa cycle disebut forest. Suatu verteks tunggal juga termasuk

tree yang disebut trivial tree.

Gambar 2.2.a. berikut diberikan representasi dari tree


Gambar 2.9 Tree

Teorema 2.5. hanya ada satu path antara setiap pasangan verteks di

tree T

Bukti Karena T terhubung, maka terdapat paling sedikit satu path diantara

semua pasangan verteks di T. Sekarang anggap bahwa diantara dua verteks a

dan b di T terdapat path yang berbeda. Penggabungan dari dua path yang

berbeda akan menghasilkan cycle, karenanya T bukanlah tree. Sebaliknya

Teorema 2.6 Jika pada graph G hanya ada satu path diantara setiap

pasangan verteks, maka G merupakan tree.

Bukti: Adanya path diantara setiap pasangan verteks menjamin bahwa G

terhubung. Suatu cycle di G (dengan dua atau lebih verteks) secara tidak

langsung menyatakan bahwa terdapat paling sedikit satu pasangan verteks a, b

sehingga terdapat dua path yang berbeda antara a dan b. Karena G hanya

memiliki satu path diantara setiap pasangan verteks, maka G tidak bisa

memiliki cycle. Oleh karena itu, G merupakan tree.

Teorema 2.7 Suatu tree dengan n verteks memiliki n − 1 edge.

Bukti: Hasilnya akan diperlihatkan dengan induksi. Andaikan e menjadi edge di

T dengan verteks ujung vi dan vj , berdasarkan teorema 2.3. tidak ada path lain

diantara vi dan vj, kecuali ek . Oleh karenanya jika e dihapus, maka T menjadi

graph tak terhubung. Selanjutnya, T − ek akan membentuk dua komponen, dan k

karena tidak ada cycle di T, maka masing-masing komponen tersebut

merupakan tree. Kedua tree t1 dan t2 , masing – masing memiliki lebih sedikit

dari n verteks, oleh karenanya dengan induksi, masing – masing memiliki edge

lebih sedikit dari jumlah verteks di dalamnya. Dengan demikian T − ek

mengandung n − 2 edge. Hal ini berakibat T memiliki tepat n − 1 edge.


Teorema 2.8 Untuk sebarang graph terhubung dengan n verteks dan n −

1 edge merupakan tree.

Bukti: Berdasarkan definisi graph terhubung, terdapat paling sedikit satu path di

G, berdasarkan teorema 2.3 tidak ada path lain diantara vi dan vj, kecuali ek

berdasarkan definisi suatu tree merupakan graph terhubung tanpa adanya cycle.

karenanya berdasarkan teorema 2.5, suatu tree dengan n verteks memiliki n − 1

edge. Hal ini berakibat graph terhubung dengan n verteks dan n − 1 edge

merupakan tree.

Teorema 2.9 Suatu graph merupakan tree jika dan hanya jika

terhubung.

Bukti: Andaikan graph G merupakan tree, berdasarkan definisi suatu tree

merupakan graph terhubung tanpa adanya cycle. Andaikan G tidak terhubung,

maka berdasarkan teorema 2.1 graph bukanlah tree. Hal ini berakibat bahwa

untuk graph yang merupakan tree, haruslah graph terhubung.

Teorema 2.10 Suatu graph G dengan n verteks, n − 1 edge, dan tanpa

cycle adalah terhubung

Bukti: Andaikan bahwa ada sedikit cycle graph G dengan n verteks dan n − 1

edge yang tak terhubung. Pada kasus ini, G akan mengandung dua atau lebih

sedikit komponen cycle. Tanpa kehilangan sifat umumnya, andaikan G

memiliki komponen g1 dan g2 . Lalu tambahkan sebuah edge e dintara suatu

verteks v1 di g1, dan v2 di g2 . Karena tidak ada path diantara v1 dan v2 di G,

tambahkan e tanpa membentuk cycle. Dengan demikian G e memiliki cycle

sedikit, graph terhubung dari n verteks dan n edge, yang tidak mungkin terjadi.

Hal ini berakibat graph G dengan n verteks, n − 1 edge, dan tanpa cycle adalah

terhubung.

Berdasarkan teorema – teorema diatas, dapat disimpulkan bahwa suatu

graph G dengan n verteks disebut tree, jika:

1. G terhubung dan tanpa cycle, atau

2. G terhubung dan memiliki n − 1 edge, atau


3. G tanpa cycle dan memiliki n − 1 edge, atau

4. Tepat terdapat satu path diantara setiap pasangan verteks di G, atau

5. G paling tidak merupakan graph terhubung.

2.2.1. Verteks Ujung Dalam Tree

Verteks ujung merupakan verteks dengan jumlah degree adalah 1.

Teorema 2.11 Pada sebarang tree (dengan dua atau lebih

verteks), terdapat paling sedikit dua verteks ujung.

Bukti: Karena tree yang memiliki n verteks dan n − 1 edge, maka 2(n −

1) degree terbagi diantara n verteks. Karenanya tidak akan bisa ada

verteks yang tidak memiliki degree, paling tidak harus memiliki dua

verteks yang berdegree 1 dalam degree. Tentu saja ini hanya berlaku

jika n ≥ 2

2.2.2. Spanning Tree

Suatu tree T dikatakan spanning tree dari graph G terhubung, jika T

adalah suatu subgraph G dan T mengandung seluruh verteks G. Dengan

kata lain, T dikatakan spanning tree jika T terhubung, mengandung n

verteks G dan n − 1 edge.

Contoh 2: Berikut diberikan representasi dari spanning tree.

Gambar 2 Spanning Tree dari G

Dari gambar 2.9, untuk (6,7) graph menghasilkan spanning tree dengan

6 verteks dan 5 edge. Untuk menemukan spanning tree dari graph G

terhubung dapat dilakukan dengan cara yang sederhana. Jika G tidak

memiliki cycle, maka G merupakan spanning tree itu sendiri. Jika G


memiliki cycle maka hapus semua edge yang membentuk cycle, dengan

G masih terhubung.

Proposisi 2.12

Setiap graph terhubung memiliki paling sedikit satu spanning tree.

Bukti: Andaikan G adalah suatu graph terhubung. Jika G bebas cycle,

maka G itu sendiri merupakan spanning tree. Jika tidak, G memiliki

paling sedikit satu cycle C1 . Dengan teorema 1.8 subgraph G tetap

terhubung meski satu edge C1 dihapus. Jika subgraph bebas cycle, maka

subgraph tersebut merupakan spanning tree. Jika tidak, maka paling

sedikit ada satu cycle di C2 dan seperti sebelumnya, hapus edge di C2

untuk memperoleh spanning tree. Jika tidak, lakukan seperti

sebelummya hingga diperoleh subgraph T dari G yang terhubung dan

bebas cycle. T juga mengandung seluruh verteks G karena tidak ada

verteks di G yang dihapus. Oleh karenanya T merupakan spanning tree

untuk G.

Pohon perentang minimum dapat dimodelkan dengan pemograman

linier . untuk itu kita definisikan

Persoalan kita menjadi

Min i

m

ii eew

1

Agar sisi – sisi terpilih membentuk sebuah pohon dua persyaratan harus

dipenuhi. Yakni pertama harus terpilih tepat n – 1 sisi dan kedua sisi –

sisi terpilih tidak membentuk lingkaran.


Kendala sisi – sisi terpilih tidak membentuk sebuah lingkaran dapat

dimodelkan dengan cara sebagai berikut. Andaikan S V(G), jadi

untuk setiap S V(G) dengan |S| 3 harus dijamin bahwa (S) tidak

membentuk lingkaran. Kendala ini dapat dinyatakan dengan

Se

i

i

Se ,1 3, SGVS

Sehingga permodelan pemograman linier biner untuk persoalan pohon

perentang minimum adalah sebagai berikut:

Min i

m

ii eew

1

Kendala

m

ii ne

1

1

,1 Se

i

i

Se 3),( SGVS

Ket:

w(ei) = bobot pada sisi ei

n = banyaknya vertek

ei = sisi

GVS

S tidak memiliki lingkaran

2.3. Degree Constrained Minimum Spanning Tree

Andaikan G merupakan graph terhubung, T merupakan subgraph dari iT vdG,

merupakan degree dari verteks vi yang ada di T, dan bi merupakan batasan

degree di T. Degree constrained spanning tree T adalah menemukan spanning

tree T di G, sehingga iiT bvd , untuk setiap verteks vi di T.


Berikut diberikan graph G dimana T merupakan DCST dari G

Gambar 2.11. DCST dari G

Andaikan G = (V,E) adalah suatu graph berbobot terhubung tak berarah

dimana V = {v1 ,v2 , ..., vn } adalah himpunan verteks dan E = {e1, e2, ..., em }

himpunan edge di G. Andaikan W = {w1 ,w2 , ...,wm } mewakili bobot dari

setiap edge, dimana bobot merupakan bilangan real nonnegatif. Subgraph dari G

bisa dideskripsikan menggunakan vektor X = {x1, x2, ..., xm }, dimana setiap

element xi didefinisikan oleh:

Andaikan T menjadi subgraph G, T dikatakan spanning tree dari G jika

T terhubung, mengandung seluruh verteks G, dan tidak cycle. Kemudian anggap

d(vi) degree dari verteks vi di G dan K(vi) himpunan degree pada G serta bi

merupakan batasan degree iT vd di T, permasalahan degree constrained

minimum spanning tree dapat diformulasikan ke dalam program integer sebagai

berikut:


Fungsi Tujuan:

Min

m

iii xwxz

1

Kendala:

11

Vxm

ii

(1)

11

Nxm

ii 3, NVN (2)

,ivKx

i bxii

niVbi ,...,2,1,11 (3)

,1,0ix

Exi (4)

Dari formulasi diatas, kendala pertama menyatakan bahwa hanya ada n

− 1 edge yang terpilih, karenanya kendala kedua menjamin bahwa edge yang

diperoleh akan menghubungkan seluruh verteks tanpa terjadi cycle, sedangkan

kendala ketiga merupakan batas degree yang dikehendaki.

Untuk menyelesaikan DCMST yang diformulasikan diatas, maka untuk

graph lengkap akan ada 2n − 1 −

2

n kendala. Bagaimanapun, untuk n = 30,

cara ini sangat tidak praktis. Misalnya untuk graph lengkap dengan 30 verteks

akan ada 930 1007,12

3012

kendala. Jika untuk setiap kendala yang ada

dapat ditemukan dalam sepersepuluh detik, maka paling tidak akan dibutuhkan

waktu 3,4 tahun untuk dapat menuliskan seluruh kendala sebelum perhitungan

dilakukan.

Pada dasarnya persoalan DCMST merupakan perkembangan dari

permasalahan minimum spanning tree dengan syarat memenuhi batasan degree

yang diberikan. Karenanya algoritma yang biasa digunakan untuk

menyelesaikan minimum spanning tree dapat pula digunakan untuk

menyelesaikan permasalahan DCMST. Salah satunya adalah algoritma Kruskal.


Ning, Ma, dan Xiong (2008) menggunakan algoritma Kruskal untuk

menyelesaikan permasalahan DCMST dengan terlebih dahulu menggunakan

teknik reduksi untuk mengurangi ukuran graph dengan cara menghilangkan

edge yang dianggap tidak perlu.

Algoritma Kruskal pertama kali diperkenalkan pada tahun 1956 oleh

Joseph Kruskal untuk menyelesaikan minimum spanning tree. Algoritma

Kruskal ditulis kembali pada tahun 1957 oleh Loberman dan Weinberger,

namun pencantuman nama mereka ditolak (Erickson, 2011).

Pada algoritma Kruskal, awalnya seluruh edge diurutkan mulai bobot

terkecil hingga terbesar. Lalu pemilihan edge dimulai dari bobot yang terkecil

tersebut. Seluruh verteks vi yang ada di G dimasukkan ke T tanpa memasukkan

edge, dengan kata lain pada awalnya tidak ada edge di T. Karena pemilihan

edge berdasarkan nilai dari bobot setiap edge, maka pada prosesnya akan

dihasilkan beberapa tree (forest). Untuk setiap edge (vj, vk) yang telah terurut

dilakukan hal berikut, jika verteks vj dan vk berada pada dua tree yang berbeda,

maka tambahkan (vj, vk) ke forest, kombinasikan dua tree ke dalam tree tunggal.

Proses dihentikan jika edge (vj, vk) tepat berjumlah |V|−1.

2.4. Pewarnaan Graph

Pewarnaan graf adalah kasus khusus dari pelabelan graf. Pelabelan disini

maksudnya, yaitu memberikan warna pada titik-titik pada batas tertentu.

Ada tiga macam pewarnaan graf.

Pertama, pewarnaan titik (vertex coloring) yaitu memeberikan warna

berbeda pada setiap titik yang bertetangga sehingga tidak ada dua titik yang

bertengga dengan warna yang sama.


Kedua, pewarnna sisi (edge coloring), yaitu memberikan warna berbeda

pada sisi yang bertetangga sehingga tidak ada dua sisi yang bertetangga

mempunyai warna yang sama.

Ketiga, pewarnaan bidang, yaitu memberikan warna pada bidang

sehingga tidak ada bidang yang bertetangga mempunyai warna yang sama.

Definisi 1. Pewarnaan simpul (Vertex coloring), singkatnya pewarnaan

(coloring), suatu Graf adalah pemberian warna terhadap simpul sedemikian

sehingga dua simpul yang berdampingan mempunyai warna yang berlainan.


http://adekasamawa.files.wordpress.com/2010/01/180px-petersen_graph_3-coloring-svg.png

http://adekasamawa.files.wordpress.com/2010/01/edge-coloring.gif

http://adekasamawa.files.wordpress.com/2010/01/regions-of-spain.jpg







Definisi 2. Kita katakan G berwarna n, bila terdapat pewarnaan dengan

menggunakan n warna.

Definisi 3. Jumlah minimum warna yang dibutuhkan disebut bilangan

khromatis dari G, ditulis K(G). Dalam memecahkan problem pewarnaan, kita

selalu berusaha mewarnai simpul menggunakan banyak warna minimal.

2.5. Bilangan Stabil Pada graph

Suatu Graph G’ = (X’, E’) dikatakan subgraph dari graph G, jika setiap titik dan

ruas dari G’ berada di dalam G. jika himpunan ruas dari Graph G’ berada di

dalam G yang tidak memuat E – E’, sedangkan himpunan titik kedua graph

tersebut adalah sama (X’ = X) maka graph G’ dikatakan Graph Parsial (partial

graph) dari graph G.

Salah satu kejadian adanya keterkaitan atau tidaknya titik – titik dalam

graph G adalah terbentuknya himpunan stabil (Stable set), yaitu tidak

ditemukannya dua titik yang berbeda dalam himpunan tersebut yang adjacent.

Untuk himpunan stabil yang jumlah anggotanya terbesar (maximum) dapat

didefinisikan sebagai bilangan stabilitas (stability number), dinotasikan α (G)

yang artinya bilangan stabilitas dari graph G.

Dalam penulisan bilangan stabilitas pada graph kritis terdapat hubungan

erat antara graph dan graph parsialnya yang berkaitan dengan bilangan stabilitas

kedua graph tersebut. Dalam suatu graph G dengan semua graph parsialnya

dapat terlihat bahwa tidak semua graph parsialnya mempunyai bilangan

stabilitas yang sama dengan bilangan stabilitas yang dimiliki graph G, misalnya

graph sederhana. Namun ada beberapa graph G yang mempunyai bilangan

stabilitas yang berbeda dengan semua bilangan stabilitas pada graph parsialnya,

misalnya graph lengkap.

2.6. Hub


Aplikasi jaringan hub digunakan pada sistem komunikasi, transportasi, dan

sistem pengiriman pos. Layanan tidak langsung diberikan dari setiap simpul

awal ke pasangan tujuan, Hub berfungsi sebagai titik transit atau titik pemilihan

untuk aliran antara simpul nonhub. Arus keberangkatan dari tempat tujuan

dikumpulkan pada suatu hub, dikirimkanan antar hub jika perlu, dan akhirnya

didistribusikan ke titik tujuan dengan kombinasi dari titik asal yang berbeda

tetapi titik tujuannya sama. Fasilitas hub menggabungkan lintasan dengan

maksud untuk memperoleh keuntungan ekonomi dalam transportasi antar hub.

Masalah lokasi hub berhubungan dengan pengalokasian fasilitas hub dan

penugasan dari titik nonhub kepada titik hub untuk menentukan lalu lintas rute

antara pasangan titik asal dan tujuan. Setiap nonhub dapat dialokasikan ke

sebuah hub (alokasi tunggal) atau lebih (multi alokasi). Jika jumlah hub

sebelumnya ditentukan sebanyak p, maka hal ini disebut masalah alokasi p-hub

(WANG dan TING, 2009)

Problema program linier melibatkan optimisasi dari fungsi objektif

linier, dengan subjeknya adalah persamaan linier dan kendala merupakan

pertidaksamaan. Program linier mencoba mendapatkan keluaran terbaik

(contoh: memaksimalkan laba, mengurangi biaya dan lain – lain) dengan

memberikan beberapa daftar kendala menggunakan model matematika linier.

Program linear bilangan bulat campuran diperkenalkan untuk desain

berkelanjutan dari jaringan dan penyebaran armada dari sebuah penyedia

layanan kapal antar samudera untuk pengiriman laut. Permintaan dianggap

elastis pada penyedia jasa layanan yang dapat menerima fraksi permintaan dari

asal ke tujuan serta menggunakan metode dekomposisi primal untuk

menyelesaikan masalah optimalitas (Shahih Geraleh dan David Pissinger,

2010).

Program integer adalah bentuk dari program linier dimana asumsi

divisibilitasnya melemah atau hilang sama sekali. Bentuk ini muncul karena


dalam kenyataannya tidak semua variable keputusan dapat berupa bilangan

pecahan. Asumsi divisibilitas melemah artinya sebagian dari nilai variable

keputusan harus berupa bilangan bulat (integer) dan sebagian lainnya boleh

berupa bilangan pecahan. Persoalan program integer disebut sebagai persoalan

Mixed Integer Programming. Tetapi jika seluruh variable keputusan dari suatu

persoalan program linier harus berharga integer, maka persoalan tersebut

disebut sebagai Pure Integer Programming.

Masalah program bilangan bulat campuran dalam pemilihan lokasi hub

telah digunakan di pantai timur Amerika Selatan, diantara sekumpulan dari

sebelas pelabuhan yang ada yang melayani permintaan regional untuk

transportasi kontainer. Pelabuhan di Brasil, Argentina, Uruguay

dipertimbangkan bersama dengan beberapa simpul pelabuhan asal-tujuan di

dunia. Model program bilangan bulat campuran ini digunakan untuk

meminimalkan biaya total sistem dari kedua biaya di pelabuhan (biaya terminal)

dan biaya pengiriman (bahan bakar dan transportasi) (Aversa et al. 2005).

Salah satu yang penting dalam masalah lokasi hub disebut dengan

masalah p- hub median. Dalam masalah ini tujuannya ialah untuk

mengalokasikan p hub dalam sebuah jaringan dan mengalokasikan simpul

nonhub kepada simpul hub sehingga jumlah dari biaya transportasi antara

pasangan simpul asal dan simpul tujuan di dalam jaringan menjadi minimal

(Dongdong et al. 2007).

Shahin Gelareh, 2010, menjelaskan dalam masalah klasik p-hub median,

perlu mengalokasikan p simpul hub dari himpunan n simpul dalam sebuah graf,

menetapkan subgraph lengkap dari simpul hub, mengalokasikan setiap simpul

nonhub ke simpul hub dan arah aliran antara pasangan simpul asal-tujuan

melalui jaringan hub. Biaya transportasi pada garis dari tingkat kentungan

jaringan hub dari sebuah potongan oleh sebuah faktor (0 < < 1) sebagai hasil

dari skala ekonomi berdasarkan gabungan dari aliran transportasi. Pertama

sekali akan didefinisikan beberapa parameter, kemudian akan diperkenalkan


variabel keputusan dalam model. Diberikan sebuah jaringan yang terdiri dari n

buah simpul permintaan, misalkan:

N = himpunan simpul – simpul dalam jaringannya, N = {1, 2, …, n}

p = banyaknya hub

Wiji = total aliran dari lokasi i ke lokasi j

Cijkl = biaya aliran per unit dari sampul asal i ke simpul tujuan j melalui hub

k dan l dengan urutan tersebut

dij = jarak antara simpul i dan j

Xijkl = fraksi dari aliran asal simpul i ke simpul tujuan j yang melalui hub k

dan l dalam urutan tersebut

Hk = variable biner yang bernilai 1 jika k adalah hub, 0 yang lain

Untuk variable Xijkl dan parameter Cijkl, indeks k digunakan untuk inisial

hub dan indeks l digunakan untuk terminal hub dengan menganggap aliran

berasal dari simpul i dengan tujuan j . jika k = m maka lalu lintas rute melalui

hub yang sama.

Biaya transportasi aliran per unit dapat dihitung dengan:

Cijkl = ljklik ddd

Secara implisit diasumsikan bahwa semua fasilitas hub memiliki

karakteristik yang sama dan hampir selalu diasumsikan memiliki memiliki

diskon faktor yang sama ke semua link.

Biaya Cijkl digambarkan seperti gambar di bawah ini:


Sohn dan Park (1996) mempertimbangkan masalah lokasi dua hub.

Kedua hub dipilih dari sebuah himpunan simpul-simpul. Simpul yang tersisa

dihubungkan kepada salah satu dari dua hub yang ada sebagai tindakan

pemilihan simpul untuk aliran antar modal. Sebuah susunan yang

meminimumkan total aliran biaya yang ingin diketahui. Masalah ini dapat

diselesaikan dalam bentuk polynomial ketika lokasi hub ditetapkan.

Sohn dan Park (1998) mempertimbangkan masalah lokasi p-hub tanpa

batasan kapasitas dengan mempertimbangkan kasus dengan alokasi tunggal dan

ganda dan juga dalam mereduksi ukuran formulasi serta formulasi program

bilangan bulat hub campuran untuk model dengan lokasi yang tetap, di mana

juga mempertimbangkan biaya tetap untuk link yang terbuka.

Lampiran A Campbell (1994a) mendefinisikan median p – hub pada

neetwork. Analog ke p – median (Hakimi 1965). Definisi singkat ini diulang

disini. Perhatikan grafik G dengan n nodes (lokasi permintaan atau asal / tujuan)

dilambangkan vi, i = 1, 2, ..., n. Aliran dari simpul i ke simpul j adalah Wij dan

biaya transportasi minimum dari titik i ke titik j adalah cij dimana cii = 0 dan αcij

adalah biaya transportasi diskon jika kedua i dan j adalah hub jika xk dan xm

adalah dua titik pada G Yang menunjukkan lokasi hub, lalu

d( vi, vj, xk, xm) = cik + cmj + αckm ,i

Apakah biaya per unit transportasi dari i ke j melalui hub k dan m, dalam

urutan itu. Jika k = m, tidak ada transportasi interhub. Misalkan Xp menjadi

himpunan p titik x1, x2, ..., xp pada G dan misalkan

D (vi, vj, Xp) = min [d(vi, vj, x1, xi), d(vi, vj, x1, x2) , . . ., d(vi, vj, xp, xp)]

Jadilah biaya transportasi minimum dari i ke j untuk rangkaian hub Xp

yang diberikan. Himpunan titik Xp adalah median p-hub G jika untuk setiap Xp

pada G

i i j

pjiijj

pjiij XvvdWXvvdW ,,,, *


Goldman (1969) memperluas hasil optimalitas node Hakimi (Hakimi

1964, 1965) dan menunjukkan bahwa median p – hub akan terjadi pada simpul G

(Istilah "center", bukan "hub median" digunakan oleh Goldman). Menariknya,

Goldman mungkin yang pertama menangani masalah lokasi hub. Goldman

dengan jelas menyadari bahwa pergerakan interhub akan memiliki biaya

transportasi unit yang lebih rendah daripada gerakan asal – ke – hub dan hub –

ke – tujuan. Goldman juga mempresentasikan tujuannya sebagai penjumlahan

biaya transportasi untuk semua pasang o – d ; Sehingga memungkinkan setiap

pasangan o – d disalurkan secara berbeda dan karenanya memungkinkan banyak

alokasi untuk setiap asal dan tujuan.

2.7. Optimasi

Optimasi (Optimization) adalah aktivitas untuk mendapatkan hasil terbaik di

bawah keadaan yang diberikan. Tujuan akhir dari semua aktivitas tersebut

adalah meminimumkan usaha (effort) atau memaksimumkan manfaat (benefit)

yang diinginkan. Karena usaha yang diperlukan atau manfaat yang diinginkan

dapat dinyatakan sebagai fungsi dari variabel keputusan, maka optimasi dapat

didefinisikan sebagai proses untuk menemukan kondisi yang memberikan nilai

minimum atau maksimum dari sebuah fungsi. Optimasi dapat diartikan sebagai

aktivitas untuk mendapatkan nilai minimum suatu fungsi karena untuk

mendapatkan nilai maksimum suatu fungsi dapat dilakukan dengan mencari

minimum dari negatif fungsi yang sama.

Tidak ada metode tunggal yang dapat dipakai untuk menyelesaikan

semua masalah optimasi. Banyak metode optimasi telah dikembangkan untuk

menyelesaikan tipe optimasi yang berbeda – beda seperti metode Lagrange.

Dalam optimasi diselidiki masalah penentuan suatu titik minimum suatu

fungsi pada subset ruang bilangan riil tak kosong. Untuk lebih spesifik

dirumuskan sebagai berikut: Misalkan R ruang bilangan riil dan S subset tak

kosong dari R, dan misalkan f: S → R sebuah fungsi yang diberikan. Kita akan


mencari titik minimum f pada S. sebuah elemen Sx dikatakan titik minimum

f pada S jika:

xfxf untuk semua Sx

Himpunan S dinamakan himpunan pembatas (constraint set) dan fungsi f

dinamakan fungsi objektif.

Metode pencari titik optimum juga dikenal sebagai teknik pemrograman

matematikal dan menjadi bagian dari penelitian operasional (operations

research). Penelitian operasional adalah suatu cabang matematika yang

menekankan kepada aplikasi teknik dan metode saintifik untuk masalah-

masalah pengambilan keputusan dan pencarian solusi terbaik atau optimal.

Teknik pemrograman matematikal sangat berguna dalam pencarian

minimum suatu fungsi beberapa variabel di bawa kendala yang ada. Teknik

proses stokastik dapat digunakan untuk menganalisis masalah yang

didiskripsikan dengan sekumpulan variabel acak dimana distribusi

probabilitasnya diketahui. Metode statistikal dapat digunakan untuk

menganalisis data eksperimen dan untuk membangun model secara empirik

untuk memperoleh representasi yang lebih akurat mengenai situasi fiskal.

2.7.1. Perumusan Masalah Optimasi

Optimasi atau masalah pemrograman matematika dapat dinyatakan

sebagai berikut:

a. Optimasi Tanpa Kendala

Masalah optimasi yang tidak melibatkan sebarang kendala

dinamakan optimasi tanpa kendala dan dinyatakan sebagai:

Minimumkan xff

b. Optimasi Dengan Kendala

Masalah optimasi yang melibatkan sebarang kendala dinamakan

optimasi terkendala dan dinyatakan sebagai:

Minimumkan xff


TnxxxX ,...,, 21

Dengan kendala:

0xgi i = 1, 2, …, m

0Xl j j = 1, 2, …, p

2.7.2. Klasifikasi Masalah Optimasi

Masalah optimasi dapat diklasifikasikan dalam 6 (enam) cara, seperti

diuraikan berikut:

a. Klasifikasi Berdasarkan Kepada Keberadaan Kendala

Seperti dinyatakan sebelumnya, sebarang masalah optimasi

dapat diklasifikasikan sebagai masalah optimasi terkendala,

tergantung kepada ada tidaknya kendala dalam masalah optimasi

b. Klasifikasi Berdasarkan Kepada Bentuk Persamaan Fungsi

yang Terlibat

Masalah optimasi dapat juga diklasifikasikan berdasarkan kepada

bentuk fungsi obyektif dan fungsi kendala. Menurut klasifikasi ini,

masalah optimasi dapat diklasifikasikan sebagai masalah

pemrograman linier, nonlinier, geometrik, dan kuadratik.

Masalah Pemrograman Linier

Jika fungsi obyektif dan semua kendala adalah fungsi linier dari

variabel keputusan, maka masalah pemrograman matematika

tersebut dinamakan pemrograman linier (LP). Masalah

pemrograman linier dapat dinyatakan dalam bentuk standar

berikut:

Minimumkan

n

i ii xcXf1


nx

x

x

x...

2

1

Dengan kendala:

n

ijiij bxa

1

j = 1, 2, …, m

0ix i = 1, 2, …, n

Dimana ci, aij dan bj adalah konstanta (yang selanjutnya

dinamakan sebagai parameter)

Masalah Pemrograman NonLinier

Jika terdapat fungsi nonlinier di antara fungsi obyektif dan

fungsi – fungsi kendala, maka masalah tersebut dinamakan

masalah pemrograman nonlinier (nonlinier programming).

Masalah Pemrograman Geometrik

Sebuah fungsi h(X) dinamakan posynomial n suku jika h

dapat dituliskan sebagai

nmnnn a

n

aa

n

a

n

aa xxxcxxxcXh ........., 2111211

21211

Dimana ci dan aij adalah konstanta dengan ci > 0 dan xi > 0

Suatu masalah pemrograman geometric (GMP) adalah

masalah pemrograman nonlinier dimana fungsi obyektif dan

fungsi kendala dinyatakan sebagai posynomial dalam

variabel keputusan. Jadi masalah GMP dapat dituliskan

sebagai:

Minimumkan ,0

1 1

N

i

n

j

p

jiijxcxf ci > 0, xi > 0

nx

x

x

x...

2

1


Dengan kendala:

01 1

k

ijk

N

i

n

i

a

jikk xaxg aik > 0, xi > 0

Dimana N0 dan Nk berturut – turut menyatakan banyaknya

suku posynomial dari fungsi obyektif dan fungsi kendala ke

– k.

c. Klasifikasi Berdasarkan Kepada Nilai Variabel Keputusan

Yang Diperbolehkan

Berdasarkan kepada nilai variabel keputusan yang diperbolehkan,


pemrograman bilangan bulat (integer) dan pemrograman bilangan

riil.

Masalah Pemrograman Bilangan Bulat (Integer)

Jika beberapa atau semua variabel keputusan xi = (i = 1, 2, …, n)

dari suatu masalah optimasi dibatasi hanya bernilai bilangan

bulat (integer) atau diskrit, masalah optimasi tersebut dinamakan

pemrograman bilangan bulat.

Masalah Pemrograman Bilangan Riil

Jika semua variabel keputusan bernilai bilangan riil maka

masalah optimasi dinamakan masalah pemrograman riil.

d. Klasifikasi Berdasarkan Kepada Nilai Parameter yang

Diperbolehkan

Berdasarkan kepada nilai parameter yang diperbolehkan, masalah

optimasi dapat diklasifikasikan sebagai masalah pemrograman

stokastik dan masalah pemrograman deterministik.

Masalah Pemrograman Stokastik


Suatu masalah pemrograman stokastik adalah masalah optimasi

dimana beberapa atau semua parameter dalam optimasi bersifat

probabilistik (non deterministik atau stokastik)

Masalah Pemrograman Deterministik

Jika semua parameter dalam optimasi bersifat deterministik,

masalah optimasi tersebut dinamakan masalah pemrograman

deterministik.

e. Klasifikasi Berdasarkan Kepada Separabilitas Fungsi

Masalah optimasi dapat diklasifikasikan sebagai masalah

pemrograman separabel atau nonseparabel berdasarkan kepada

separabilitas fungsi obyektif dan fungsi kendala.

Masalah Pemrograman Separabel

Suatu fungsi (𝑋) dikatakan separabel jika dapat dituliskan

sebagai jumlah dari 𝑛 fungsi tunggal 𝑓1 (𝑥1 ), … , 𝑓𝑛 (𝑥𝑛 ) yaitu

n

iii xfxf

1

Masalah pemrograman separabel adalah masalah optimasi

dimana fungsi obyektif dan fungsi kendala adalah separabel

dan dapat dituliskan dalam bentuk standar:

Minimumkan

n

i ii xfxf1

Tnxxxx ),...,,( 21

Dengan kendala:

j

n

iiiji bxgxg

1

j = 1, 2, …, m

Dengan bj konstanta.

Masalah Pemrograman Nonseparabel

Jika fungsi obyektif atau fungsi kendala dari masalah optimasi

non separabel, masalah tersebut dinamakan masalah

pemrograman nonseparabel.

f. Klasifikasi Berdasarkan Kepada Banyaknya Fungsi Obyektif


Bergantung kepada banyaknya fungsi obyektif yang diminimumkan,


pemrograman obyektif-tunggal dan multi obyektif.

Masalah Pemrograman Obyektif – Tunggal

Masalah optimasi yang hanya melibatkan sebuah fungsi obyektif

dinamakan pemrograman obyektif-tunggal. Pemrograman linier

merupakan salah satu contoh dari masalah pemrograman

obyektif-tunggal.

Masalah Pemrograman Multi Obyektif

Suatu masalah pemrograman multi obyektif dapat dinyatakan

sebagai berikut:

Minimumkan:

xfxfxf k,...,21

Tnxxxx ),...,,( 21

Dengan kendala:

𝑔𝑗 (x) ≤ 0, 𝑗 = 1,2, … , m

dimana 𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑘 adalah fungsi – fungsi obyektif yang

diminimumkan secara simultan.


BAB 3

PEMBAHASAN

Kajian pemodelan matematika berbentuk optimasi graf

Pada bab ini akan dikaji 4 model matematika yang berbetuk optimasi yaitu

a. Model matematika dari masalah minimal spanning Tree berbentuk Pemograman

Linear Biner

b. Model matematika masalah pewarnaan graf

c. Model matematika masalah bilangan stabil pada graf

d. Model matematika masalah hub

3.1. Model Matematika Dari Masalah Minimal Spanning

Sekelompok mahasiswa sedang melaksanakan kuliah kerja nyata di sebuah

daerah terpencil. Masalah yang dihadapi oleh masyarakat adalah ketiadaan

prasarana listrik. Untuk itu mahasiswa bermaksud membuat proposal untuk

membangun jaringan listrik yang menghubungkan beberapa desa terpencil.

Persoalan yang mereka hadapi adalah pada ruas jalan mana kabel harus

dibentangkan agar setiap desa dapat aliran listrik dan biaya pengadaan kabel

seminimal mungkin?

Persoalan mahasiswa ini dapat dimodelkan dengan menggunakan graf.

Masing – masing desa direpresentasikan sebagai sebuah titik dan ruas jalan

yang menghubungkan dua desa direpresentasikan sebagai sebuah sisi, dimana

setiap sisi mempunyai bobot yang berbanding lurus dengan panjang ruas jalan.

Graf yang demikian disebut sebagai sebuahΓgraf berbobot, yakni sebuah graf G

(V,E) bersama dengan fungsi bernilai nyata w : E → R. Untuk setiap sisi {u, v}

di E(G) nilai dari w ({u, v} – disebut sebagai bobot dari sisi {u, v}. Agar setiap

desa mendapat aliran listrik, maka ruas jalan harus dipilih sehingga ruas-ruas

jalan terpilih membentuk sebuah pohon perentang dengan total panjang ruas

jalan seminimal mungkin. Jadi persoalan berubah menjadi persoalan

menentukan pohon perentang dengan total bobot sisi yang minimum. Persoalan

ini dikenal sebagai persoalan pohon perentang minimum. Pada gambar berikut

diberikan sebuah graf terhubung berbobot beserta dengan sebuah pohon


perentang minimum.

Gambar 3.1. Graf berbobot dan pohon perentang minimum

Pohon perentang minimum dapat dimodelkan dengan pemograman linier .

untuk itu kita definisikan

Persoalan kita menjadi

Min i

m

ii eew

1

Agar sisi – sisi terpilih membentuk sebuah pohon dua persyaratan harus

dipenuhi. Yakni pertama harus terpilih tepat n – 1 sisi dan kedua sisi – sisi

terpilih tidak membentuk lingkaran.

Kendala sisi – sisi terpilih tidak membentuk sebuah lingkaran dapat dimodelkan

dengan cara sebagai berikut. Andaikan S V(G), jadi untuk setiap S V(G)

dengan |S| 3 harus dijamin bahwa (S) tidak membentuk lingkaran. Kendala ini

dapat dinyatakan dengan

Se

i

i

Se ,1 3, SGVS


Sehingga permodelan pemograman linier biner untuk persoalan pohon

perentang minimum adalah sebagai berikut:

Min i

m

ii eew

1

Kendala

m

ii ne

1

1

,1 Se

i

i

Se 3),( SGVS

Ket:

w(ei) = bobot pada sisi ei

n = banyaknya vertek

ei = sisi

GVS

S tidak memiliki lingkaran

Contoh

Bila e1 = {v1,v2}, e2= {v2,v3}, e3 = {v3,v4}, e4 = {v4,v1}, e5 = {v1,v3}, maka model

pemograman linier biner dari persoalan pohon perentang minimum pada graf

pada gambar di atas adalah sebagai berikut:

min


min 2e1 + 2e2 + 2e3 + e4 + e5

Kendala

e1 + e2 + e3 + e4 + e5 = 3

Untuk {v1,v2,v3}

e1 + e2 + e5 ≤ 2

Untuk { v1,v2,v4}

e1 + e4 ≤ 2

Untuk { v1,v3,v3}

e3 + e4 + e5 ≤ 2

Untuk { v2,v3,v4}

e2 + e3 ≤ 2

5,4,3,2,1,1,0 iei

Satu hal perlu dicatat bahwa pemodelan persoalan pohon perentang minimum

dengan pemograman linier memerlukan kendala yang cukup besar. Untuk graf

dengan n titik, terdapat

2

03

2i

nn

i i

n

i

n

2

4

1

4

0

424

64116

16 – 11

5 Kendala

3.2. Model Matematika Masalah Pewarnaan Graph

Definisi: k-colorabel pada suatu graph G(V,E) adalah banyaknya minimum k-

warna yang diberikan untuk setiap edge atau verteks pada G(V,E) sehingga

tidak ada dua edge atau verteks yang adjasen mempunyai warna yang sama.

Berikut ini adalah polinomial kombinatorik dari k-colorable suatu graph

G(V,E)

Fungsi Tujuan:


Minimumkan

n

ii kx

1

Kendala:

1 0k

ix , untuk setiap vertex ( )i V G

1 2 1... 0k k k

i i j jx x x x ,untuk setiap edge { , } ( )i j E G

3.3. Model Matematika Masalah Bilangan Stabil Pada Graph

Definisi: Himpunan Stabil pada suatu graph G(V,E) adalah subset dari vertex –

vertex di V pada G(V,E) sehingga tidak ada dua vertex disubset tersebut yang

adjasen. Ukuran maksimal dari himpunan stabil tersebut disebut bilangan stabil.

Untuk membuat model kombinatorial dari bilangan stabil k suatu graph

G(V,H), dimisalkan variable ix yang menyatakan vertex ( )i V G dan vertex i

hanya dipilih atau tidak mempuai nilai 1 atau 0.Oleh karena itu bentuk

aljabarnya adalah 2 0,i ix x untuk setiap ( )i V G . Dan karena setiap vertex

yang beradjasent tidak boleh dalam satu himpunan maka jika ix sudah diberi

nilai 1, maka jx harus bernilai 0 untuk setiap i dan j beradjasen. Jadi untuk

setiap edge { , } ( )i j E G , bentuk persamaannya 0,i jx x selanjutnya dicari

total nilai ix dan misalkan total nilainya adalah k .Sehingga sistem persamaan

polynomial yang dperoleh adalah:

Fungsi Tujuan:

Maksimumkan

n

iix

1

Kendala:

2 0,i ix x untuk setiap vertex ( )i V G

0,i jx x untuk setiap edge { , } ( )i j E G

Merupakan sistem persamaan polinomial.

3.4. Model matematika masalah hub


Untuk sisa makalah ini, kami mempertimbangkan masalah median p – hub

diskrit dimana n titik permintaan (asal / tujuan) adalah simpul grafik lengkap

dan biaya transportasi di antara titik permintaan i dan j sebanding dengan

Euclidean. Jarak dari i ke j.

Masalah median p – hub (HMP) dapat dirumuskan sebagai berikut:

Fungsi Tujuan:

Minimumkan

i j k mijkmijkmij CXWZ

Kendala:

k m

ijkmX 1untuk semua i, j (1)

k

k pY (2)

kijkm YX 0 untuk semua i, j, k, m (3)

mijkm YX 0 untuk semua i, j, k, m (4)

10 kY bilangan bulat untuk semua k, dimana (5)

Dimana;

ijkmX = pecahan arus dari asal i ke tujuan j yang diarahkan melalui hub di lokasi

k dan m dalam urutan itu

kY = 1 jika lokasi k adalah hub, jika 0 sebaliknya

ijW = arus dari lokasi i ke lokasi j

ijkmC = kmmjik CCC

dan

ijC = Biaya transportasi standar per unit dari lokasi i sampai j

Fungsi obyektif meringkas biaya transportasi untuk semua pasangan o-d.

Kendala (1) memastikan bahwa aliran untuk setiap pasangan o-d diarahkan

melalui beberapa pasangan hub dan consistraint (2) menetapkan p hub yang


tepat. Kendala (3) dan (4) memastikan bahwa arus diarahkan melalui lokasi

yang merupakan hub. Kendala (3) dan (4) dapat dinyatakan secara bergantian.

i j m

kijkm YpnnX 1 untuk semua k

i j m

mijkm YpnnX 1 untuk semua m

Solusi optimal akan memiliki semua Xijkm sama dengan nol atau satu,

karena total arus untuk setiap pasang o-d harus diarahkan melalui pasangan hub

biaya paling rendah. Perumusan HMP analog dengan rumusan masalah p –

median, kecuali bahwa masing-masing variabel nolnja nol dapat memaksakan

dua hub untuk terbuka. Masalah p – median dapat dirumuskan sebagai

Minimum

i kikiki cZWZ

Subject to k

ikZ 1untuk semua i (6)

k

k pY (7)

kik YZ 0 untuk semua i, k (8)

10 kY untuk semua bilangan bulat k, dimana (9)

ikZ = bilangan pecahan permintaan di lokasi i dipenuhi dari fasilitas di lokasi k

kY = 1 jika lokasi k adalah facility dan 0 jika sebaliknya

iW = permintaan di lokasi i

ikc = biaya transportasi dari lokasi i ke k

Kendala (6) dan (7) sama dengan batasan (1) dan (2), batasan (8) sama

dengan batasan (3) dan (4) dan batasan (9) sama dengan batasan (5). Ini juga

bisa diformulasikan dengan variabel nol – satu Zik, karena solusi optimalnya

adalah dengan semua Zik sama dengan nol atau satu.

Dalam banyak hal, dan pasangan dalam masalah median hub analog

dengan titik permintaan (simpul) dalam masalah p – median. Dalam masalah p

– median ada transportasi dari setiap titik permintaan ke fasilitas dan setiap titik


permintaan dialokasikan untuk meminimalkan biaya transportasi. Dalam

masalah median hub ada transportasi untuk masing-masing pasangan o-d, dan

masing-masing pasangan o-d dialokasikan. Atau diarahkan, untuk

meminimalkan biaya transportasi.

Perumusan O'Kelly tentang masalah lokasi hub (1987) membatasi setiap

node untuk dialokasikan ke satu hub dari antara p pilihan. Pemrograman integer

kuadrat ini untuk mulasi masalah medik p – hub alokasi tunggal (HMP-S)

adalah

Minimumkan i j k m

kmjmikjmjmikikij cZZcZcZWZ

Subject to k

ikZ 1untuk semua i (10)

k

k pY (11)

kik YZ 0 untuk semua i, k (12)

10 kY untuk semua bilangan bulat k, dimana (13)

10 ikZ untuk semua bilangan bulat i, k dimana (14)

ikZ = bilangan pecahan permintaan di lokasi i dipenuhi dari fasilitas di lokasi k

kY = 1 jika lokasi k adalah hub dan 0 jika sebaliknya

ijW = arus dari lokasi i ke j

ijc = biaya transportasi dari lokasi i ke j

Formulasi O’Kelly sebenarnya menggunakan bentuk kendala (12)

i

kik YpnZ 1 untuk semua k

Definisi variabel ikZ (kendala 14) ialah membatasi setiap titik permintaan

yang akan dialokasikan ke satu hub. Kendala (10) – (13) adalah analog dengan kendala

(6) – (9) pada masalah p – median. Memaksa alokasi atau variabel arus ikZ menjadi

nol satu menciptakan istilah kuadrat dalam fungsi objektif. Masalah median p – hub

alokasi tunggal telah disebut masalah loation p – hub dalam konteks lain.


Masalah HMP-S adalah masalah yang sangat sulit dipecahkan karena tujuan

kuadrat dan variabel nol-satu. (HMP, HMP-S, and masalah p – median adalah NP-

Sulit)


BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1. Kesimpulan

Adapun kesimpulan dari pembahasan kajian ini ialah model optimasi graph

a. Untuk model spanning tree bentuk pemogramannya Linier Biner

b. Untuk Pewarnaan Graph bentuk pemogramannya Non Linier Biner

c. Untuk Bilangan Stabil pada Graph bentuk pemogramannya Non Liner Biner

d. Untuk Hub bentuk pemogramannya Linier Integer

4.2. Saran

Berdasarkan proses dan hasil penelitian, penulis menyampaikan beberapa saran

sebagai berikut:

1. Peneliti selanjutnya diharapkan meneliti masalah permodelan matematika

menggunakan lebih dari tiga fungsi tujuan.

2. Peneliti selanjutnya dapat menggunakan alat bantu atau software yang lebih

canggih, karena software LINGO 13.0 yang penulis pergunakan masih

terbatas.

3. Peneliti selanjutnya diharapkan mengkaji pemodelan matematika yang

mengombinasikan seluruh fungsi tujuan ke dalam satu fungsi tujuan untuk

menyelesaikan program tujuan ganda, sebagai perbandingan dengan metode

preferensi.


DAFTAR PUSTAKA

Campbell, James F. 6 December 1996. Hub Location and the p-Hub Median Problem.

Diambil dari: http://dl.acm.org/citation.cfm?id=2778175

Isnanto, Rizal. 1998. Pewarnaan Graf. Diambil dari:

http://eprints.undip.ac.id/32304/4/M98_Isnanto_chapter_I.pdf

Moengin, Parwadi. Februari 2009. Optimasi Teori, Metode dan Aplikasi. Universitas

Trisakti. Jakarta.

Syamsy, Saka. 5 November 2013. Pewarnaan Graf (Graph Clouring). Diambil dari:

http://dhukhasyamsy.blogspot.co.id/2013/05/pewarnaan-graf-graph-

coloring.html


http://dl.acm.org/citation.cfm?id=2778175

http://eprints.undip.ac.id/32304/4/M98_Isnanto_chapter_I.pdf

http://dhukhasyamsy.blogspot.co.id/2013/05/pewarnaan-graf-graph-coloring.html

http://dhukhasyamsy.blogspot.co.id/2013/05/pewarnaan-graf-graph-coloring.html

kajian pemodelan matematika berbentuk optimasi …

Documents